2.1
函数的概念和图象（3）
教学目标
1．知识与技能
（1）能根据函数的解析式利用描点法作出常见函数的图象；
（2）能利用基本初等函数图象结合图象变换作出所求函数的图象．
2．过程与方法
通过作出函数的图象，渗透数形结合的思想．
3．情感、态度与价值观
培养学生勇于探索，善于探究的精神，从而激发学生的主体意识，培养学生良好的数学学习品质。
重点难点
1．教学重点：根据函数的解析式利用描点法作出常见函数的图象；
2．教学难点：函数图象可以是一些点、一些线段、一段曲线等，利用图象变换作出所求函数的图象．
教学过程
一、情境创设
下列图象哪些是函数图象？那些不是？为什么？
二、讲解新课
例1试画出下列函数的图象：
（1）y＝（—1≤x≤2，且x∈Z)；（2）y＝|2x－1|；（3）y＝x2－4x+3(1≤x≤3)
．
解：图象如下：
（1）
（2）
（3）
点评：做函数的图像，主要是描点法，要注意函数的定义域，如（1），定义域是一些整数构成的集合，图像是一些孤立的点，如（3），图像是一抛物线的一部分．
例2、作出下列函数的图象：
（1）；
（2）．
解：（1），此函数图象可看作把函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位所得．
（2）y＝|x2－2x－3|＝
分别作出图象如下：
（1）
（2）
点评：函数y＝f(x)的图象和函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称；函数y＝|f(x)|的图象可以看作将y＝f(x)
的图象在x轴下方的部分对折到x轴上方（并保持在x轴上方的图象不变）得到．
三、课堂小结
（1）列表、描点法是我们作出函数图象的基本方法．
（2）函数的图象不一定都是连续的曲线，可以是一些离散的点,也可以是一段曲线.
（3）有时利用图象变换作出函数的图象，常见的变换有平移变换(包括左右平移、上下平移)、对称变换(包括关于直线对称、关于点对称)．以后还要学习到伸缩变换、旋转变换等．
四、课后作业
（1）P28练习2；（2）P29习题3，5，7，8，9．
O
x
y
3
3
O
x
y
3
3
O
x
y
3
3
O
x
y
3
3
－1
1
O
x
y
1
3
O
x
y
－1
1
O
y
x
－1
3
1
2
O
x
y
x
y
o
－
1
1§2.1函数的概念和图象(1)
【学习目标】：
1、理解函数的概念及函数的三要素；2、会求一些简单函数的定义域、值域。
【教学过程】：
一、回顾引入：
１．根据初中所学知识，回答什么叫函数？
２．初中学过的具体函数有哪些？图象特点是什么？
初中学过常数函数、一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数，请写出这些函数的一般形式以及图象特点．
常数函数
一次函数
二次函数
正比例函数
反比例函数
函数的一般形式
图象特点
二、
新课讲授：
下面观察实例：课本中的三个问题，如何用集合语言来简述三个问题的共同特点？
1．单值对应：具有
的特征的对应.
2．函数的定义：设是两个_________数集，如果按某种对应法则，对于集合中的__________元素，在集合中都有____________的元素和它对应，这样的对应叫做从到的一个函数，记为
______________________．
3．定义域：在的对应中____
________组成的集合叫做函数的定义域.
4．值域：对于A中的每一个，都有一个输出值与之对应，将
组成的集合叫做函数的值域，则C
B。
练习1：求下列函数的定义域：（1）；
（2）．
练习2：判断下列对应是否是函数：
（１）；
（２）
5．注意点：
①
函数是非空数集到非空数集上的一种对应，且是一个
对应。.
②
符号“f:：A→B”表示A到B的一个函数，它有三个要素：
，
三者缺一不可.
③集合A中数的任意性，集合B中数的惟一性.
④f表示对应关系，在不同的函数中，f的具体含义不一样.
⑤f(x)是一个符号，绝对不能理解为f与x的乘积.，符号y=f(x)的含义：
三、典例欣赏：
例１．下列各组中的两个函数是否为同一个函数？为什么？
（１）与；（２）与；
（３）与；
思考：函数y=f（x），x∈A与函数z=f（t），t∈A是否为同一函数？
变题：下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数？
（1）y=；（2）y=；（3）y=；（4）y=；（5）y=x，x∈Z．
例２．求下列函数的定义域：
（１）；
（２）；
（3）f（x）=．
总结：求函数的定义域的步骤：
思考：求函数定义域的主要依据有哪些？
变题1：函数的定义域为，那么的值为 ．
变题2：已知函数的定义域为，则的取值范围是
变题3：已知函数的定义域为，则的取值范围是
例３．已知f（x）=|x-1|-2，x∈{-2，-1，0，1，2，3}
求f；f；（２）求f(x)值域、最大值、最小值；（３）画出函数的图象．
变式练习：
1．已知函数．则
；
；
；
；
；
．
2．求下列函数的值域。
（1）；
（2）；
（3）．
拓展思考：已知函数的定义域为，求
的定义域。
【反思小结】：
【针对训练】：
班级
姓名
学号
１．下列四组中的函数f(x)、g(x)，表示同一个函数的是
.
（１）f（x）=1，g（x）=x0
；
（２）f（x）=x-1，g（x）；
（３）f（x）=x2，g（x）=；
（４）f（x）=x3，g（x）=；
（５）f（x）=|x|，g（x）=；
（６）f（x）=，g（x）=．
２．已知，则的值是
．
３．函数f(x)=+的定义域是
.
4．已知函数的定义域为，则=
；=
．
5．函数的定义域为，那么其值域为
．
6．画出下列函数的图象，并写出函数的定义域、值域：
（1）y
=；
(2)y=；
(4)y=x2-6x+7．
7．求下列函数的定义域：
f(x)=；
(2)f(x)=；
(3)f(x)=；
(4)f(x)=；
(5)f(x)=；
(6)．
8．函数的定义域为,求实数m的取值范围．
9．函数的定义域为R，求实数的取值范围．
10．已知．
（1）求f(2),
g(2)的值；（2）求的值；（3）求的解析式。
【拓展提高】
11．设，对任意表示从A到B的函数，求实数m的值．2.1
函数的概念和图象（2）
教学目标
1．知识与技能
（1）进一步加深对函数概念的理解；
（2）掌握同一函数的标准；
（3）了解函数值域的概念并能熟练求解常见函数的定义域和值域．
2．过程与方法
经历求函数定义域及值域的过程，提高学生解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观
培养学生勇于探索，善于探究的精神，从而激发学生的主体意识，培养学生良好的数学学习品质。
重点难点
1．教学重点：能熟练求解常见函数的定义域和值域．
2．教学难点：对同一函数标准的理解，尤其对函数的对应法则相同的理解．
教学过程
一、创设情境
下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数？为什么？
（1）
；
（2）；；
（3）；
；
、
（4）；．
二、讲解新课
总结同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同
例1、求下列函数的定义域：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
分析：一般来说，如果函数由解析式给出，则其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围．当一个函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合．
解：（1）由得即，故函数的定义域是，．
（2）由得
故函数是{x|x<0，且x≠}．
（3）由得即≤x≤且x≠±，
故函数的定义域是{x|≤x≤且x≠±}．
（4）由即
∴≤x＜2，且x≠0，
故函数的定义域是{x|≤x＜2，且x≠0}．
说明：求函数的定义域，其实质就是求使解析式各部分有意义的的取值范围，列出不等式（组），然后求出它们的解集．其准则一般来说有以下几个：
①
分式中，分母不等于零．
②
偶次根式中，被开方数为非负数．
③
对于中，要求
x≠0．
若A是函数的定义域，则对于A中的每一个x，在集合B都有一个值输出值y与之对应．我们将所有的输出值y组成的集合称为函数的值域．
因此我们可以知道：对于函数f：A
B而言，如果值域是C，那么，因此不能将集合B当成是函数的值域．
我们把函数的定义域、对应法则、值域称为函数的三要素．如果函数的对应法则与定义域都确定了，那么函数的值域也就确定了．
例2．求下列两个函数的定义域与值域：
（1）f
(x)=(x-1)2+1，x∈{-1，0，1，2，3}；
（2）f
(x)=(
x-1)2+1．
解：（1）函数的定义域为{-1，0，1，2，3}，f(-1)=
5，f(0)=2，f(1)=1，f(2)=2，f(3)=5，
所以这个函数的值域为{1，2，5}．
（2）函数的定义域为R，因为(x-1)2+1≥1，所以这个函数的值域为{y∣y≥1}
说明：通过对函数的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，来求出函数的值域的方法我们称为观察法．
例3
求下列函数的值域：
（1），，；（2）；
解：（1）．
作出函数，，的图象，由图观察得函数的值域为≤＜．
（2）解法一：，显然可取0以外的一切实数，即所求函数的值域为｛y|y≠3｝．
解法二：把看成关于x的方程，变形得，该方程在原函数定义域内有解的条件是
eq
\b
\lc
\{(\a
\al
\co(y－3≠0，,－≠－1))，
解得y≠3，即所求函数的值域为｛y|y≠3｝．
说明：解法一的方法我们称为分离常数法，解法二的方法我们称为反函数法。
点评：（1）求函数值域是一个难点，应熟练掌握一些基本函数的值域和求值域的一些常用方法；
（2）求二次函数在区间上的值域问题，一般先配方，找出对称轴，在对照图象观察．
三、课堂小结
（1）同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同
（2）求解函数值域问题主要有两种方法：一是根据函数的图象和性质（或借助基本的函数的值域）由定义域直接推算；二是对于分式函数，利用分离常数法得到y的取值范围．
四．课后作业
（1）P25练习7；
（2）求下列函数的值域：
（1）；（2）,，6]．（3）．
A
B
C
f
