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2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
4.4 平面向量应用举例
考纲剖析
1．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．
2．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
知识回顾
1．向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．21教育网
(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b(b≠0) a＝λb .21cnjy.com
(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质
a⊥b a·b＝0 ．
(3)求夹角问题，利用夹角公式
cos θ＝＝ ．
2．向量在三角函数中的应用
与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．21*cnjy*com
3．向量在解析几何中的应用
向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．
4．向量在物理中的应用
物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解、合成与向量的加减法相似，因此可以用向量的知识来解决某些物理问题.
精讲方法
（一）平面向量的数量积的运算及向量的模问题
1、向量的数量积有两种计算方法，一是利用公式来计算，二是利用来计算，具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用。
2、利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
（二）平面向量的垂直问题
1、非零向量
2、当向量与是非坐标形式时，要把、用已知的不共线的向量表示。
注：把向量都用坐标表示，并不一定都能够简化运算，要因题而异。
（三）平面向量的夹角问题
1、当与是非坐标形式时，求与的夹角。需求得及或得出它们的关系。
2、若已知与的坐标，则可直接利用公式.
注：平面向量、的夹角
真题精析
一、单选题
1、（2013 福建）在四边形ABCD中， =（1，2）， =（﹣4，2），则该四边形的面积为（ ） 2·1·c·n·j·y
A、
B、2
C、5
D、10
2、（2013 重庆）在平面上， ⊥ ，| |=| |=1， = + ．若| |＜ ，则| |的取值范围是（ ） 【来源：21·世纪·教育·网】
A、（0， ]
B、（ ， ]
C、（ ， ]
D、（ ， ]
3、（2014 安徽）在平面直角坐标系xOy中．已知向量 、 ，| |=| |=1， =0，点Q满足 = （ + ），曲线C={P| = cosθ+ sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤| |≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（ ）
A、1＜r＜R＜3
B、1＜r＜3≤R
C、r≤1＜R＜3
D、1＜r＜3＜R
4、（2017 新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若 =λ +μ ，则λ+μ的最大值为（ ）
A、3
B、2
C、
D、2
二、填空题
5、 （2015天津）在等腰梯形中，已知,动点和分别在线段和上，且则的最小值为________ 。
（2016 上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2…A8的中心，A1（1，0）任取不同的两点Ai ， Aj ， 点P满足 + + = ，则点P落在第一象限的概率是________． www.21-cn-jy.com
（2016 上海）如图，已知点O（0,0）,A（1．0）,B（0, 1）,P是曲线 上一个动点，则 的取值范围是________．21·世纪*教育网
8、（2014 湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0， ），C（3，0），动点D满足| |=1，则| + + |的最大值是________．
模拟题精练
一、单选题
1、已知平面向量=（2sin2x，cos2x），=（﹣sin2x，2cos2x），f（x）= ． 要得到y=sin2x﹣cos2x的图象，只需将y=f（x）的图象（ ）
A、向左平移个单位长度
B、向右平移个单位长度
C、向左平移个单位长度
D、向右平移在个单位长度21·cn·jy·com
2、点P在平面上作匀速直线运动，速度向量 （即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为各单位）。设开始时点P的坐标为（-10，10），求5秒后点P的坐标为 （ ） www-2-1-cnjy-com
A、
B、
C、
D、
3、已知 ， ， ， 其中 ,,为单位正交基底，若， ， 共同作用在一个物体上，使物体从点M1（1，﹣2，1）移到M2（3，1，2），则这三个合力所作的功为（ ）
A、14
B、6
C、﹣14
D、-6
4、已知三个力 =(-2,-1)，=(-3,2)，=(4,-3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力， 则等于（ ）
A、（﹣1，﹣2）
B、（1，﹣2）
C、（﹣1，2）
D、（1，2）
5、把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记录第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b、设向量=（a,b）,=（1,-2），则向量的概率为（ ）
A、
B、
C、
D、
6、在△ABC中， =7，|﹣|=6，则△ABC面积的最大值为（ ）
A、24
B、16
C、12
D、8
7、河水的流速为5m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以12m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为（ ） 2-1-c-n-j-y
A、13m/s
B、12m/s
C、17m/s
D、15m/s
8、已知三个向量=， =， =共线，其中a、b、c、A、B、C分别是△ABC的三条边及相对三个角，则△ABC的形状是（ ）
A、等腰三角形
B、等边三角形
C、直角三角形
D、等腰直角三角形
9、在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则=（ ） 【来源：21cnj*y.co*m】
A、
B、
C、
D、
（2017广东梅州蕉岭中学）如图，空间四边形OABC中， = ， = ， = ，点M在OA上，且 = ，点N为BC中点，则 等于（ ）
A、
B、
C、
D、
（2017湖南郴州三模）如图，在边长为4的长方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心Q在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量 =m +n （m，n为实数），则m+n的取值范围是（ ）【出处：21教育名师】
A、
B、
C、
D、
12、（2017安徽师大附中期中）在直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P为AB边上的点且 =λ ，若 ≥ ，则λ的取值范围是（ ）
A、[ ，1]
B、[ ，1]
C、[ ， ]
D、[ ， ]
13、（2017福建达标校考前模拟）设D是线段BC的中点，且 + =4 ，则（ ） 【版权所有：21教育】
A、
B、
C、
D、
二、填空题
14、一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距5海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西30°方向上，另一灯塔在南偏西60°方向上，则该船的速度是________ 海里/小时．
15、如图，点O为作简谐振动的物体的平衡位置，取向右方向为正方向，若振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．则该物体5s时刻的位移为________ cm．
21教育名师原创作品
16、（2017上海崇明一模）已知AB为单位圆O的一条弦，P为单位圆O上的点．若f（λ）=| ﹣λ |（λ∈R）的最小值为m，当点P在单位圆上运动时，m的最大值为 ，则线段AB的长度为________． 21*cnjy*com
17、（2017江西九校联考一模）已知半径为1的球O内切于正四面体A﹣BCD，线段MN是球O的一条动直径（M，N是直径的两端点），点P是正四面体A﹣BCD的表面上的一个动点，则 的取值范围是________．
18、（2017湖南郴州三模）在直角三角形△ABC中， ， ，对平面内的任意一点M，平面内有一点D使得 ，则 =________．
19、（2017河北衡水武邑中学四模）直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=16相交于两点M、N，若c2=a2+b2 ， P为圆O上任意一点，则 的取值范围是________． 21世纪教育网版权所有
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2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
4.4 平面向量应用举例（答案）
知识回顾
1．向量在平面几何中的应用
(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b(b≠0) a＝λb x1y2－x2y1＝0.
(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质
a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0(a，b均为非零向量)．
(3)求夹角问题，利用夹角公式
cos θ＝＝(θ为a与b的夹角)．
真题精析
一、单选题
1、（2013 福建）在四边形ABCD中， =（1，2）， =（﹣4，2），则该四边形的面积为（ ）
A、
B、2
C、5
D、10
【答案】C
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系，向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：因为在四边形ABCD中， ， ， =0，
所以四边形ABCD的对角线互相垂直，又 ，
，
该四边形的面积： = =5．
故选C．
【分析】通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可．
2、（2013 重庆）在平面上， ⊥ ，| |=| |=1， = + ．若| |＜ ，则| |的取值范围是（ ）
A、（0， ]
B、（ ， ]
C、（ ， ]
D、（ ， ]
【答案】D
【考点】平面向量的基本定理及其意义，向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：根据条件知A，B1 ， P，B2构成一个矩形AB1PB2 ， 以AB1 ， AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，
设|AB1|=a，|AB2|=b，点O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b），
由| |=| |=1，得 ，则
∵| |＜ ，∴
∴
∴
∵（x﹣a）2+y2=1，∴y2=1﹣（x﹣a）2≤1，
∴y2≤1
同理x2≤1
∴x2+y2≤2②
由①②知 ，
∵| |= ，∴ ＜| |≤
故选D．
【分析】建立坐标系，将向量条件用等式与不等式表示，利用向量模的计算公式，即可得到结论．
3、（2014 安徽）在平面直角坐标系xOy中．已知向量 、 ，| |=| |=1， =0，点Q满足 = （ + ），曲线C={P| = cosθ+ sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤| |≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（ ）
A、1＜r＜R＜3
B、1＜r＜3≤R
C、r≤1＜R＜3
D、1＜r＜3＜R
【答案】A
【考点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：∵平面直角坐标系xOy中．已知向量 、 ，| |=| |=1， =0，
不妨令 =（1，0）， =（0，1），
则 = （ + ）=（ ， ），
= cosθ+ sinθ=（cosθ，sinθ），
故P点的轨迹为单位圆，
Ω={P|（0＜r≤| |≤R，r＜R}表示的平面区域为：
以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，
若C∩Ω为两段分离的曲线，
则单位圆与圆环的内外圆均相交，
故|OQ|﹣1＜r＜R＜|OQ|+1，
∵|OQ|=2，
故1＜r＜R＜3，
故选：A
【分析】不妨令 =（1，0）， =（0，1），则P点的轨迹为单位圆，Ω={P|（0＜r≤| |≤R，r＜R}表示的平面区域为：以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，若C∩Ω为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，进而根据圆圆相交的充要条件得到答案．
4、（2017 新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若 =λ +μ ，则λ+μ的最大值为（ ）
A、3
B、2
C、
D、2
【答案】A
【考点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，
则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），
∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，
设圆的半径为r，
∵BC=2，CD=1，
∴BD= =
∴ BC CD= BD r，
∴r= ，
∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2= ，
设点P的坐标为（ cosθ+1， sinθ+2），
∵ =λ +μ ，
∴（ cosθ+1， sinθ﹣2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），
∴ cosθ+1=λ， sinθ+2=2μ，
∴λ+μ= cosθ+ sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，
∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，
∴1≤λ+μ≤3，
故λ+μ的最大值为3，
故选：A
【分析】如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为（ cosθ+1， sinθ+2），根据 =λ +μ ，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．
二、填空题
5、 （2015天津）在等腰梯形中，已知,动点和分别在线段和上，且则的最小值为________ 。
【答案】
【考点】向量的几何表示，向量在几何中的应用
【解析】【解答】因为当且仅当即时的最小值为
【分析】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式，运用向量的几何运算求,体现了数形结合的基本思想，再运用向量数量积的定义计算，体现了数字定义的运用，再利用基本不等式求最小值，体现了数学知识的综合应用能力，是思维能力与计算能力的综合体现。
（2016 上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2…A8的中心，A1（1，0）任取不同的两点Ai ， Aj ， 点P满足 + + = ，则点P落在第一象限的概率是________．
【答案】
【考点】平面向量的综合题
【解析】【解答】解：从正八边形A1A2…A8的八个顶点中任取两个，基本事件总数为 ． 满足 + + = ，且点P落在第一象限，对应的Ai ， Aj ， 为：（A4 ， A7），（A5 ， A8），（A5 ， A6），（A6 ， A7），（A5 ， A7）共5种取法．∴点P落在第一象限的概率是 P= ，故答案为： ．
【分析】利用组合数公式求出从正八边形A1A2…A8的八个顶点中任取两个的事件总数，满足 + + = ，且点P落在第一象限，则需向量 + 的终点落在第三象限，列出事件数，再利用古典概型概率计算公式求得答案．；本题考查平面向量的综合运用，考查了古典概型概率计算公式，理解题意是关键，是中档题．
（2016 上海）如图，已知点O（0,0）,A（1．0）,B（0, 1）,P是曲线 上一个动点，则 的取值范围是________．
【答案】
【考点】平面向量数量积的运算，向量在几何中的应用
【解析】【解答】设 =（x，y），则 =（x， ）， 由A（1，0），B（0，﹣1），得： =（1，1），∴ =x+ ，
令x=sinθ， =sinθ+cosθ= sin（θ+ ），故 的范围是[﹣ ， ]，故答案为：[﹣ ， ]．
【分析】设出 =（x，y），得到 =x+ ，令x=sinθ，根据三角函数的性质得到 =sinθ+cosθ= sin（θ+ ），从而求出 的范围即可．本题考查了向量的运算性质，考查三角函数问题，是一道基础题．
8、（2014 湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0， ），C（3，0），动点D满足| |=1，则| + + |的最大值是________．
【答案】+1
【考点】向量在几何中的应用，参数方程化成普通方程
【解析】【解答】解：由题意可得，点D在以C（3，0）为圆心的单位圆上，设点D的坐标为（3+cosθ，sinθ），
则| + + |≤| + + |+| |= +1．
∴| + + |的最大值是 +1，
故答案为： +1．
【分析】由题意可得，点D在以C（3，0）为圆心的单位圆上，设点D的坐标为（3+cosθ，sinθ），求得| + + |≤| + + |+| |，可得| + + |的最大值．
模拟题精练
一、单选题
1、已知平面向量=（2sin2x，cos2x），=（﹣sin2x，2cos2x），f（x）= ． 要得到y=sin2x﹣cos2x的图象，只需将y=f（x）的图象（ ）
A、向左平移个单位长度
B、向右平移个单位长度
C、向左平移个单位长度
D、向右平移在个单位长度
【答案】D
【考点】平面向量的综合题
【解析】【解答】y=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）=2sin2（x﹣），
f（x）= =﹣2sin4x+2cos4x=2（cos2x﹣sin2x）=2cos2x=sin（2x+）=2sin2（x+），
∵
∴把y=f（x）的图象向右平行移动个单位，可得y=sin2x﹣cos2x的图象，
故选：D．
【分析】由条件利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，即可得出结论。
2、点P在平面上作匀速直线运动，速度向量 （即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为各单位）。设开始时点P的坐标为（-10，10），求5秒后点P的坐标为 （ ）
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【考点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】根据题意，由于点P在平面上作匀速直线运动，速度向量,那么可知设开始时点P的坐标为（-10，10），则5秒后向右运动了20，-10+20=10，向下运动了15， 10-15=-5那么可知该点的坐标为， 故选C.
【分析】主要是考查了向量的表示的平移方向的运用，属于基础题。
3、已知 ， ， ， 其中 ,,为单位正交基底，若， ， 共同作用在一个物体上，使物体从点M1（1，﹣2，1）移到M2（3，1，2），则这三个合力所作的功为（ ）
A、14
B、6
C、﹣14
D、-6
【答案】A
【考点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】解：∵， ， ，
∴++=
即合力 坐标为（2，1，7）
当物体从点M1（1，﹣2，1）移到M2（3，1，2）时，
平移向量 =（2，3，1）
故三个合力所作的功W= =（2，1，7） （2，3，1）=4+3+7=14
故选A
【分析】由， ， ， 其中 ,,为单位正交基底，可得合力的坐标，进而由平移前后点的坐标，可得平移向量的坐标，代入向量数量积公式，可得三个合力所作的功
4、已知三个力 =(-2,-1)，=(-3,2)，=(4,-3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力， 则等于（ ）
A、（﹣1，﹣2）
B、（1，﹣2）
C、（﹣1，2）
D、（1，2）
【答案】D
【考点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】为使物体平衡，
即合外力为零，
即4个向量相加等于零向量，
∴=（0﹣（﹣2）﹣（﹣3）﹣4，0﹣（﹣1）﹣2﹣（﹣3））=（1，2）．
故选D．
【分析】为使物体平衡，即合外力为零，即4个向量相加等于零向量．
5、把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记录第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b、设向量=（a,b）,=（1,-2），则向量的概率为（ ）
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【考点】平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【解答】解：∵∴的
∴（a，b） （1，﹣2）=a﹣2b=0，即a=2b
把一颗骰子投掷两次的基本事件数一共为36，设a=2b时的事件为A，则事件A的个数为3
故p（A）=
故选B．
【分析】先根据向量的数量积运算求出a，b的关系，进而求出满足a，b的事件数，再与基本事件数相除即可得到答案．
6、在△ABC中， =7，|﹣|=6，则△ABC面积的最大值为（ ）
A、24
B、16
C、12
D、8
【答案】C
【考点】平面向量的综合题
【解析】【解答】设A、B、C所对边分别为a，b，c，
由 =7，|﹣|=6，得bccosA=7，a=6①，
S△ABC=bcsinA=bc
由余弦定理可得b2+c2﹣2bccosA=36②，
由①②消掉cosA得b2+c2=50，所以b2+c2≥2bc，
所以bc≤25，当且仅当b=c=5时取等号，
所以S△ABC=≤12，
故△ABC的面积的最大值为12，
故选：C．
【分析】设A、B、C所对边分别为a，b，c，由 =7，|﹣|=6，得bccosA=7，a=6①，由余弦定理可得b2+c2﹣2bccosA=36②，联立①②可得b2+c2=50，由不等式可得bc≤25，即可求出△ABC面积的最大值。
7、河水的流速为5m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以12m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为（ ）
A、13m/s
B、12m/s
C、17m/s
D、15m/s
【答案】A
【考点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】解：设河水的流速v2=5m/s，
静水速度与河水速度的合速度v=12m/s，
小船的静水速度为v1 ，
∵为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，
即：静水速度v1斜向上游方向，
河水速度v2=5m/s平行于河岸，
静水速度与河水速度的合速度v=12m/s指向对岸，
∴静水速度=13（m/s）．
故答案为：A．
【分析】为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即：静水速度v1斜向上游方向，河水速度v2=2m/s平行于河岸，静水速度与河水速度的合速度v=12m/s指向对岸，由此能求出静水速度．
8、已知三个向量=， =， =共线，其中a、b、c、A、B、C分别是△ABC的三条边及相对三个角，则△ABC的形状是（ ）
A、等腰三角形
B、等边三角形
C、直角三角形
D、等腰直角三角形
【答案】B
【考点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：∵=， =共线，∴acos=bcos，
由正弦定理得sinAcos=sinBcos，
∵sinA=2sincos， sinB=2sincos，
∴2sincoscos=2sincoscos，
化简得sin=sin．
又∵0＜＜， 0＜＜， ∴=， 可得A=B．
同理，由=， =共线得到B=C，
∴△ABC中，A=B=C，可得△ABC是等边三角形．
故选：B
【分析】根据向量、共线得acos=bcos， 结合正弦定理与二倍角的正弦公式化简，可得sin=sin， 从而得到A=B．同理由、共线算出B=C，从而得到A=B=C，所以△ABC是等边三角形．
9、在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则=（ ）
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【考点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，
∴根据余弦定理可知BC=
由AB=2，AC=1，BC=满足勾股定理可知∠BCA=90°
以C为坐标原点，CA、CB方向为x，y轴正方向建立坐标系
∵AC=1，BC=， 则C（0，0），A（1，0），B（0，）
又∵E，F分别是Rt△ABC中BC上的两个三等分点，
则E（0，），F（0，）
则=（﹣1，），=（﹣1，）
∴=1+=
故选A．
【分析】先判定三角形形状，然后建立直角坐标系，分别求出， 向量的坐标，代入向量数量积的运算公式，即可求出答案．
（2017广东梅州蕉岭中学）如图，空间四边形OABC中， = ， = ， = ，点M在OA上，且 = ，点N为BC中点，则 等于（ ）
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【考点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】解： = = = ；又 ， ， ，
∴ ．
故选B．
【分析】 = = = ．
（2017湖南郴州三模）如图，在边长为4的长方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心Q在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量 =m +n （m，n为实数），则m+n的取值范围是（ ）
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【考点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：如图所示，边长为4的长方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心Q在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，向量 =m +n （m，n为实数）； =（ 4，0）， =（0，4）．可得 =m +n =（ 4m，4n）． 当动圆Q的圆心经过点C时，如图：P（ ， ）．
此时m+n取得最大值：4m+4n=8+ ，可得m+n=2+ ．
当动圆Q的圆心为点B时，AP与⊙B相切且点P在x轴的下方时， ，
此时，4m+4n=4﹣ sin（ ），
m+n取得最小值为：1﹣ ；此时P（ 4﹣ ，﹣ ）．
∴则m+n的取值范围为 ．
故选：A．
【分析】如图所示， =（ 4，0）， =（0，4）．可得 =m +n =（ 4m，4n）．当圆心为点B时，AP与⊙B相切且点P在x轴的下方时，P（ 4﹣ ，﹣ ）．
此时m+n取得最小值；当圆心为点C时，AP经过圆心时，P（ ， ）．此时m+n取得最大值．
12、（2017安徽师大附中期中）在直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P为AB边上的点且 =λ ，若 ≥ ，则λ的取值范围是（ ）
A、[ ，1]
B、[ ，1]
C、[ ， ]
D、[ ， ]
【答案】B
【考点】平面向量数量积的运算，向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：∵直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1， ∴以C为坐标原点CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建立直角坐标系，如图：
C（0，0），A（1，0），B（0，1）， ，
∵ =λ ，
∴λ∈[0，1]
， ， ．
≥ ，
∴λ﹣1+λ≥λ2﹣λ+λ2﹣λ．
2λ2﹣4λ+1≤0，
解得： ，
∵λ∈[0，1]
∴λ∈[ ，1]
故选：B．
【分析】把三角形放入直角坐标系中，求出相关点的坐标，利用已知条件即可求出λ的取值范围．
13、（2017福建达标校考前模拟）设D是线段BC的中点，且 + =4 ，则（ ）
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【考点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：∵D是线段BC的中点， ∴ + =2 ，
∵ + =4 ，
∴ =2 ，
故选：A
【分析】由已知可得 + =2 ，结合 + =4 ，进而可得 =2 ．
二、填空题
14、一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距5海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西30°方向上，另一灯塔在南偏西60°方向上，则该船的速度是________ 海里/小时．
【答案】15
【考点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】根据题意得：AB=5海里，∠ADC=60°，∠BDC=30°，DC⊥AC，
∴∠DBC=60°，∠BDA=∠A=30°，∴BD=AB=5海里，
∵DC⊥AC，∴在Rt△BDC中，DC=BD×sin∠DBC=5×=，
∵从C到D行驶了半小时，∴速度为÷=10海里/小时
故答案为：15．
【分析】作出图形，求得线段BD=AB=5海里，然后解直角三角形求得线段DC，即可得到速度．
15、如图，点O为作简谐振动的物体的平衡位置，取向右方向为正方向，若振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．则该物体5s时刻的位移为________ cm．
【答案】﹣1.5
【考点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】解：根据题意，设该物体在ts时刻的位移为ycm，则
∵物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时，振幅为3cm，
∴当t=0时，y达到最大值3．因此，设y=3cosωt，
∵函数的周期为3s，∴ =3，解之得ω= ，得函数解析式为y=3cost，
由此可得，该物体5s时刻的位移为3cos（ 5）=3 =﹣1.5cm
故答案为：﹣1.5
【分析】设该物体在ts时刻的位移为ycm，根据当t=0时y达到最大值3，可设y=3cosωt，由三角函数的周期公式算出ω=，得函数解析式为y=3cost，再将t=5s代入即可得到该物体5s时刻的位移值．
16、（2017上海崇明一模）已知AB为单位圆O的一条弦，P为单位圆O上的点．若f（λ）=| ﹣λ |（λ∈R）的最小值为m，当点P在单位圆上运动时，m的最大值为 ，则线段AB的长度为________．
【答案】
【考点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：设λ = ，则f（λ）=| ﹣λ |=| ﹣ |=| |， ∵λ = ，
∴点C在直线AB上，
∴f（λ）的最小值m为点P到AB的距离，
∴mmax= ，
∴| |=2 = ，
故答案为： ，
【分析】设λ = ，则f（λ）=| ﹣λ |=| ﹣ |=| |，点C在直线AB上，故f（λ）的最小值M为点P到AB的距离，由此可得结论
17、（2017江西九校联考一模）已知半径为1的球O内切于正四面体A﹣BCD，线段MN是球O的一条动直径（M，N是直径的两端点），点P是正四面体A﹣BCD的表面上的一个动点，则 的取值范围是________．
【答案】[0，8]
【考点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：由题意M，N是直径的两端点，可得 = ， =﹣1， 则 =（ + ） （ + ）= 2+ （ ）+
= 2+0﹣1= 2﹣1，
即求正四面体表面上的动点P到O的距离的范围．
当P位于E（切点）时，OP取得最小值1；
当P位于A处时，OP即为正四面体外接球半径最大即为3．
设正四面体的边长为a，由O为正四面体的中心，
可得直角三角形ABE中，AE= a，BE= a，OE= a，AO= a，
综上可得 2﹣1的最小值为1﹣1=0，最大值为9﹣1=8．
则 的取值范围是[0，8]．
故答案为：[0，8]．
【分析】运用向量的加减运算和数量积的性质：向量的平方即为模的平方，讨论P位于切点E和顶点时分别取得最值，即可得到所求取值范围．
18、（2017湖南郴州三模）在直角三角形△ABC中， ， ，对平面内的任意一点M，平面内有一点D使得 ，则 =________．
【答案】6
【考点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：根据题意，分别以CB，CA为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：
A（0，3），设M（x，y），B（b，0），D（x′，y′）；
∴由 得：
3（x′﹣x，y′﹣y）=（b﹣x，﹣y）+2（﹣x，3﹣y）；
∴ ；
∴ ；
∴ ．
故答案为：6．
【分析】据题意，可分别以边CB，CA所在直线为x轴，y轴，建立一平面直角坐标系，得到A（0，3），并设M（x，y），D（x′，y′），B（b，0），这样根据条件 即可得到 ，即得到 ，进行数量积的坐标运算即可求出 的值．
19、（2017河北衡水武邑中学四模）直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=16相交于两点M、N，若c2=a2+b2 ， P为圆O上任意一点，则 的取值范围是________．
【答案】[﹣6.10]
【考点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：取MN的中点A，连接OA，则OA⊥MN， ∵c2=a2+b2 ，
∴O点到直线MN的距离OA= =1，
x2+y2=16的半径r=4，
∴Rt△AON中，设∠AON=θ，得cosθ= = ，
cos∠MON=cos2θ=2cos2θ﹣1= ﹣1=﹣ ，
由此可得， =| | | |cos∠MON
=4×4×（﹣ ）=﹣14，
则 =（ ﹣ ） （ ﹣ ）= + 2﹣ （ + ）
=﹣14+16﹣2 =2﹣2| | | | cos∠AOP=2﹣8cos∠AOP，
当 ， 同向时，取得最小值且为2﹣8=﹣6，
当 ， 反向时，取得最大值且为2+8=10．
则 的取值范围是[﹣6.10]．
故答案为：[﹣6.10]．
【分析】取MN的中点A，连接OA，则OA⊥MN．由点到直线的距离公式算出OA=1，从而在Rt△AON中，得到cos∠AON= ，得cos∠MON=﹣ ，最后根据向量数量积的公式即可算出 的值，运用向量的加减运算和向量数量积的定义，可得 =2﹣8cos∠AOP，考虑 ， 同向和反向，可得最值，即可得到所求范围．
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