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2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
5.1数列的概念与简单表示法
考纲剖析
1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．
2．了解数列是自变量为正整数的一类函数.
知识回顾
1．数列的概念
(1)数列的定义
按照一定顺序排列的一列数称为 ．数列中的每一个数叫做 ．排在第一位的数称为这个数列的 ，通常也叫做 ．
(2)数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做 ．2-1-c-n-j-y
(3)数列的前n项和
在数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做 ．
2．数列的表示方法
(1)表示方法
列表法
图象法
公式法 通项公式
递推公式
(
2)数列的函数特征：上面数列的三种表示方法也是函数的表示方法，数列可以看作是定义域为正整数集(或它的有限子集{1,2，…，n}的函数an＝f(n))当自变量由小到大依次取值时所对应的一列函数值．2·1·c·n·j·y
3．数列的分类
分类原则 类型 满足条件
按项数分类 有穷数列
无穷数列
单调性 递增数列
递减数列
常数列
摆动数列
周期性
4.an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝
精讲方法
一、数列的概念与简单表示法
（一）由数列的前几项求数列的通项公式
数列的通项公式
（1）据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察观察分析，抓住以下几方面的特征：
①分式中分子、分母的特征；
②相邻项的变化特征；
③拆项后的特征；
④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想。
（2）观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列（如自然数列、奇偶数列等）转换而使问题得到解决。
（3）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着从特殊到一般的思想，由不完全归纳提出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用或来调整。21*cnjy*com
（二）由递推公式求数列通项公式
1、由和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用化归法、累加法、累乘法等。
（1）构造等比数列，已知首项，递推关系为，求数列的通项公式的关键是将转化为的形式，其中a的值可由待定系数法确定，即【来源：21cnj*y.co*m】
（2）已知且可以用累加法，即，，……，，。
所有等式左右两边分别相加，得
即：
（3）已知且可以用累乘法，即，，……，，，所有等式左右两边分别相乘，得
注：并不是每一个数列都有通项公式，如果一个数列有通项公式，那么它的通项公式在形式上也可以不止一个。
2、由与的关系求
由求时，要分n=1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为。
（三）数列的单调性及其应用
(1)数列的单调性是高考常考内容之一,有关数列最大、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用①作差法，②作商法，③结合函数图象等方法。
（2）求最大项，则满足；若求最小项，则满足。
真题精析
一、单选题
1、（2013 上海）在数列（an）中，an=2n﹣1，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素cij=ai aj+ai+aj（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ） 21cnjy.com
A、18
B、28
C、48
D、63
2、（2014 辽宁）设等差数列{an}的公差为d，若数列{ }为递减数列，则（ ）
A、d＜0
B、d＞0
C、a1d＜0
D、a1d＞0
二、填空题
3、（2016 浙江）设数列{an}的前n项和为Sn ， 若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N* ， 则a1=________，S5=________． 【来源：21·世纪·教育·网】
4、（2013 安徽）如图，互不相同的点A1 ， A2 ， …，An ， …和B1 ， B2 ， …，Bn ， …分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等，设OAn=an ， 若a1=1，a2=2，则数列{an}的通项公式是________．
www.21-cn-jy.com
5、（2013 湖南）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=（﹣1）nan﹣ ，n∈N* ， 则
①a3=________；
②S1+S2+…+S100=________． 21·世纪*教育网
三、解答题
6、（2017 浙江）已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时，
（Ⅰ）0＜xn+1＜xn；
（Ⅱ）2xn+1﹣xn≤ ；
（Ⅲ） ≤xn≤ ． www-2-1-cnjy-com
模拟题精练
一、单选题
1、定义：数列{an},满足,d为常数，我们称{an}为等差比数列，已知在等差比数列{an}中，a1=a2=1,a3=2，则的个位数（ ）
A、3
B、4
C、6
D、8
2、已知数列{an}的前n项和Sn=2n+1-2，等差数列{bn}中，b2=a2 ， 且bn+3+bn-1=2bn+4,(n2,nN+),则bn=( ) 21世纪教育网版权所有
A、2n+2
B、2
C、n-2
D、2n-2
3、已知数列满足：对于任意的， 则
A、
B、
C、
D、
4、数列1，﹣3，5，﹣7，9，…的一个通项公式为（ ）
A、an=2n﹣1
B、an=
C、an=
D、an=
5、已知数列,,,,,， 则5是它的第（ ）项．
A、19
B、20
C、21
D、22
6、已知函数f （x） 的部分对应值如表所示．数列{an}满足a1=1，且对任意n∈N* ， 点（an ， an+1）都在函数f（x）的图象上，则a2016的值为（ ）
x 1 2 3 4
f（x） 3 1 2 4
A、1
B、2
C、3
D、4
7、数列1，﹣3，5，﹣7，9，…的一个通项公式为（ ）
A、an=2n﹣1
B、an=（1﹣2n）
C、an=（2n﹣1）
D、an=（2n+1）
8、对于数列{an}，a1=4，an+1=f（an），依照如表，则a2018等于（ ）
x 1 2 3 4 5
f（x） 5 4 3 1 2
A、2
B、1
C、4
D、5
9、已知数列1，4，9，16，…，则256是数列的（ ）
A、第14项
B、第15项
C、第16项
D、第17项
二、填空题
10、已知an=， 删除数列{an}中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{bn}，则b51=________ 21教育网
11、已知数列{an}满足a1=1，an=logn（n+1）（n≥2，n∈N*）．定义：使乘积a1 a2…ak为正整数的k（k∈N*）叫做“易整数”．则在[1，2015]内所有“易整数”的和为________ ．
12、（2017上海青浦一模）设数列{an}的通项公式为an=n2+bn，若数列{an}是单调递增数列，则实数b的取值范围为________ 21·cn·jy·com
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2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
5.1数列的概念与简单表示法（答案）
知识回顾
1．数列的概念
(1)数列的定义
按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项．
(2)数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
(3)数列的前n项和
在数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和．
2．数列的表示方法
(1)表示方法
列表法 列表格表达n与f(n)的对应关系
图象法 把点(n，f(n))画在平面直角坐标系中
公式法 通项公式 把数列的通项使用通项公式表达的方法
递推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表达数列的方法
(2)数列的函数特征：上面数列的三种表示方法也是函数的表示方法，数列可以看作是定义域为正整数集(或它的有限子集{1,2，…，n}的函数an＝f(n))当自变量由小到大依次取值时所对应的一列函数值．
3．数列的分类
分类原则 类型 满足条件
按项数分类 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
单调性 递增数列 an＋1＞an 其中n∈N*
递减数列 an＋1＜an
常数列 an＋1＝an
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
周期性 n∈N*，存在正整数常数k，an＋k＝an
4.an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝
真题精析
一、单选题
1、（2013 上海）在数列（an）中，an=2n﹣1，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素cij=ai aj+ai+aj（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）
A、18
B、28
C、48
D、63
【答案】A
【考点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：该矩阵的第i行第j列的元素cij=ai aj+ai+aj=（2i﹣1）（2j﹣1）+2i﹣1+2j﹣1=2i+j﹣1（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），
当且仅当：i+j=m+n时，aij=amn（i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12），
因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，其和为2，3，…，19，共18个不同数值．
故选A．
【分析】由于该矩阵的第i行第j列的元素cij=ai aj+ai+aj=（2i﹣1）（2j﹣1）+2i﹣1+2j﹣1=2i+j﹣1（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），要使aij=amn（i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12）．
则满足2i+j﹣1=2m+n﹣1，得到i+j=m+n，由指数函数的单调性可得：当i+j≠m+n时，aij≠amn ， 因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，即可得出．
2、（2014 辽宁）设等差数列{an}的公差为d，若数列{ }为递减数列，则（ ）
A、d＜0
B、d＞0
C、a1d＜0
D、a1d＞0
【答案】C
【考点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：∵等差数列{an}的公差为d，∴an+1﹣an=d，
又数列{ }为递减数列，
∴ = ＜1，
∴a1d＜0．
故选：C．
【分析】由于数列{ }为递减数列，可得 = ＜1，解出即可．
二、填空题
3、（2016 浙江）设数列{an}的前n项和为Sn ， 若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N* ， 则a1=________，S5=________．
【答案】1；121
【考点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】解：由n=1时，a1=S1 ， 可得a2=2S1+1=2a1+1，
又S2=4，即a1+a2=4，
即有3a1+1=4，解得a1=1；
由an+1=Sn+1﹣Sn ， 可得
Sn+1=3Sn+1，
由S2=4，可得S3=3×4+1=13，
S4=3×13+1=40，
S5=3×40+1=121．
故答案为：1，121．
【分析】运用n=1时，a1=S1 ， 代入条件，结合S2=4，解方程可得首项；再由n＞1时，an+1=Sn+1﹣Sn ， 结合条件，计算即可得到所求和．本题考查数列的通项和前n项和的关系：n=1时，a1=S1 ， n＞1时，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 考查运算能力，属于中档题．
4、（2013 安徽）如图，互不相同的点A1 ， A2 ， …，An ， …和B1 ， B2 ， …，Bn ， …分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等，设OAn=an ， 若a1=1，a2=2，则数列{an}的通项公式是________．
【答案】
【考点】数列的函数特性，数列的应用
【解析】【解答】解：设 ，∵OA1=a1=1，OA2=a2=2，A1B1∥A2B2 ，
∴A1B1是三角形OA2B2的中位线，∴ = = ，∴梯形A1B1B2A2的面积=3S．
故梯形AnBnBn+1An+1的面积=3S．
∵所有AnBn相互平行，∴所有△OAnBn（n∈N*）都相似，∴ ， ， ，…，
∵ ，∴ ， ，…．
∴数列{ }是一个等差数列，其公差d=3，故 =1+（n﹣1）×3=3n﹣2．
∴ ．
因此数列{an}的通项公式是 ．
故答案为 ．
【分析】设 ，利用已知可得A1B1是三角形OA2B2的中位线，得到 = = ，梯形A1B1B2A2的面积=3S．由已知可得梯形AnBnBn+1An+1的面积=3S．利用相似三角形的性质面积的比等于相似比的平方可得： ， ， ，…，已知 ， ，可得 ，…．因此数列{ }是一个首项为1，公差为3等差数列，即可得到an ．
5、（2013 湖南）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=（﹣1）nan﹣ ，n∈N* ， 则
①a3=________；
②S1+S2+…+S100=________．
【答案】﹣ ；
【考点】数列的函数特性，数列的求和
【解析】【解答】解：由 ，n∈N* ，
当n=1时，有 ，得 ．
当n≥2时， ．
即 ．
若n为偶数，则 ．
所以 （n为正奇数）；
若n为奇数，则 = ．
所以 （n为正偶数）．
所以① ．
故答案为﹣ ；
②因为 （n为正奇数），所以﹣ ，
又 （n为正偶数），所以 ．
则 ．
， ．
则 ．
…
．
所以，S1+S2+S3+S4+…+S99+S100
=
=
=
= ．
故答案为 ．
【分析】①把给出的数列递推式先分n=1和n≥2讨论，由此求出首项和n≥2时的关系式 ．对此关系式再分n为偶数和奇数分别得到当n为偶数和奇数时的通项公式，则a3可求；②把①中求出的数列的通项公式代入 ，n∈N* ， 则利用数列的分组求和和等比数列的前n项和公式可求得结果．
三、解答题
6、（2017 浙江）已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*），证明：当n∈N*时，
（Ⅰ）0＜xn+1＜xn；
（Ⅱ）2xn+1﹣xn≤ ；
（Ⅲ） ≤xn≤ ．
【答案】解：（Ⅰ）用数学归纳法证明：xn＞0，
当n=1时，x1=1＞0，成立，
假设当n=k时成立，则xk＞0，
那么n=k+1时，若xk+1＜0，则0＜xk=xk+1+ln（1+xk+1）＜0，矛盾，
故xn+1＞0，
因此xn＞0，（n∈N*）
∴xn=xn+1+ln（1+xn+1）＞xn+1 ，
因此0＜xn+1＜xn（n∈N*），
（Ⅱ）由xn=xn+1+ln（1+xn+1）得xnxn+1﹣4xn+1+2xn=xn+12﹣2xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1），
记函数f（x）=x2﹣2x+（x+2）ln（1+x），x≥0
∴f′（x）= +ln（1+x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴f（x）≥f（0）=0，
因此xn+12﹣2xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1）≥0，
故2xn+1﹣xn≤ ；
（Ⅲ）∵xn=xn+1+ln（1+xn+1）≤xn+1+xn+1=2xn+1 ，
∴xn≥ ，
由 ≥2xn+1﹣xn得 ﹣ ≥2（ ﹣ ）＞0，
∴ ﹣ ≥2（ ﹣ ）≥…≥2n﹣1（ ﹣ ）=2n﹣2 ，
∴xn≤ ，
综上所述 ≤xn≤ ．
【考点】利用导数研究函数的单调性，数列的函数特性，数列递推式，数列与不等式的综合，数学归纳法
【解析】【分析】（Ⅰ）用数学归纳法即可证明，
（Ⅱ）构造函数，利用导数判断函数的单调性，把数列问题转化为函数问题，即可证明，
（Ⅲ）由 ≥2xn+1﹣xn得 ﹣ ≥2（ ﹣ ）＞0，继续放缩即可证明
模拟题精练
一、单选题
1、定义：数列{an},满足,d为常数，我们称{an}为等差比数列，已知在等差比数列{an}中，a1=a2=1,a3=2，则的个位数（ ）
A、3
B、4
C、6
D、8
【答案】C
【考点】数列的概念及简单表示法，等比数列
【解析】【解答】由题意可知：． ∴数列{}为以1为首项以1为公差的等差数列．∴=1+(n-1)1=n．n∈N*∴=2006．所以的末位数字是6．故选C．
【分析】在解答的过程当中充分体现了新定义的知识、等比数列的知识以及数据的观察和处理能力．值得同学们体会和反思
2、已知数列{an}的前n项和Sn=2n+1-2，等差数列{bn}中，b2=a2 ， 且bn+3+bn-1=2bn+4,(n2,nN+),则bn=( )
A、2n+2
B、2
C、n-2
D、2n-2
【答案】B
【考点】数列的概念及简单表示法，数列的求和
【解析】【解答】.时，， 故.所以， 由此可排除A、C、D.
对B选项，若， 则满足题设，选B.
3、已知数列满足：对于任意的， 则
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【考点】数列的概念及简单表示法，数学归纳法
【解析】【解答】由数学归纳法可证明:当为大于的奇数时, ；当为正偶数时, 故故选D.
4、数列1，﹣3，5，﹣7，9，…的一个通项公式为（ ）
A、an=2n﹣1
B、an=
C、an=
D、an=
【答案】C
【考点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】由数列{an}中 1，﹣3，5，﹣7，9，…可以看出：符号正负相间，通项的绝对值为1，3，5，7，9…为等差数列{bn}，其通项公式bn=2n﹣1．
∴数列1，﹣3，5，﹣7，9，…的一个通项公式为an=（﹣1）n+1（2n﹣1）．
故选C．
【分析】把数列{an}中1，﹣3，5，﹣7，9，…符号与通项的绝对值分别考虑，再利用等差数列的通项公式即可解答此题。
5、已知数列,,,,,， 则5是它的第（ ）项．
A、19
B、20
C、21
D、22
【答案】C
【考点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】数列,,,,,， 中的各项可变形为：
∴通项公式为an=
令得，n=21
故选C
【分析】根据数列的前几项找规律，归纳出数列的通项公式，再令an=5， 解方程即可.
6、已知函数f （x） 的部分对应值如表所示．数列{an}满足a1=1，且对任意n∈N* ， 点（an ， an+1）都在函数f（x）的图象上，则a2016的值为（ ）
x 1 2 3 4
f（x） 3 1 2 4
A、1
B、2
C、3
D、4
【答案】B
【考点】数列的函数特性
【解析】【解答】an+1=f（an），a1=1．
∴a2=f（1）=3，a3=f（a2）=f（3）=2，a4=f（a3）=f（2）=1，…，
∴an+3=an ．
∴a2016=a662×3=a3=2．
故选：B．
【分析】an+1=f（an），a1=1．可得：an+3=an ． 即可得出．
7、数列1，﹣3，5，﹣7，9，…的一个通项公式为（ ）
A、an=2n﹣1
B、an=（1﹣2n）
C、an=（2n﹣1）
D、an=（2n+1）
【答案】B
【考点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】∵数列{an}各项值为1，﹣3，5，﹣7，9，…
∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴|an|=2n﹣1
又∵数列的奇数项为正，偶数项为负，
∴an=（﹣1）n+1（2n﹣1）=（﹣1）n（1﹣2n）．
故选B．
【分析】首先注意到数列的奇数项为正，偶数项为负，其次数列各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，从而易求出其通项公式．
8、对于数列{an}，a1=4，an+1=f（an），依照如表，则a2018等于（ ）
x 1 2 3 4 5
f（x） 5 4 3 1 2
A、2
B、1
C、4
D、5
【答案】B
【考点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】解析：由题意a2=f（a1）=f（4）=1，a3=f（a2）=f（1）=5，a4=f（a3）=f（5）=2，a5=f（a4）=f（2）=4，a6=f（a5）=f（4）=1， 则数列{an}的项周期性出现，循环节为{4，1，5，2}，周期为4，a2018=a4×504+2=a2=1，
故选：B．
【分析】由已知可得：a1=4，a2=f（a1）=f（4）=2，a3=f（a2）=f（2）=4，可得数列{an}为周期数列，an+2=an ， 即可得出
9、已知数列1，4，9，16，…，则256是数列的（ ）
A、第14项
B、第15项
C、第16项
D、第17项
【答案】C
【考点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】解：根据题意，数列1，4，9，16，…， 则其通项公式为an=n2 ，
而256=（16）2 ， 即256是数列的第16项，
故选：C．
【分析】根据题意，由所给数列的前几项可得数列的通项公式an=n2 ， 256=（16）2 ， 即256是数列的第16项，即可得答案．
二、填空题
10、已知an=， 删除数列{an}中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{bn}，则b51=________
【答案】5151
【考点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】解：∵
…
∵an=， 删除数列{an}中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{bn}，
∴b51=a101==5151．
故答案为：5151．
【分析】求出数列{an}的前8项，由an=不能被2整除，剩下的数从小到大排成数列{bn}，则b51=a101 ， 由此能求出结果．
11、已知数列{an}满足a1=1，an=logn（n+1）（n≥2，n∈N*）．定义：使乘积a1 a2…ak为正整数的k（k∈N*）叫做“易整数”．则在[1，2015]内所有“易整数”的和为________ ．
【答案】2036
【考点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：∵an=logn（n+1），
∴由a1 a2…ak为整数得1 log23 log34…logk（k+1）=log2（k+1）为整数，
设log2（k+1）=m，则k+1=2m ，
∴k=2m﹣1；
∵211=2048＞2015，
∴区间[1，2015]内所有“易整数”为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，24﹣1，…，210﹣1，
其和M=21﹣1+22﹣1+23﹣1+24﹣1+…+210﹣1=﹣10=211﹣2﹣10=2036．
故答案为：2036．
【分析】由题意，及对数的换底公式知，a1 a2 a3…ak=log2（k+1），结合等比数列的前n项和进行求解即可．
12、（2017上海青浦一模）设数列{an}的通项公式为an=n2+bn，若数列{an}是单调递增数列，则实数b的取值范围为________
【答案】（﹣3，+∞）
【考点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：∵数列{an}是单调递增数列， ∴ n∈N* ， an+1＞an ，
（n+1）2+b（n+1）＞n2+bn，
化为：b＞﹣（2n+1），
∵数列{﹣（2n+1）}是单调递减数列，
∴n=1，﹣（2n+1）取得最大值﹣3，
∴b＞﹣3．
即实数b的取值范围为（﹣3，+∞）．
故答案为：（﹣3，+∞）．
【分析】数列{an}是单调递增数列，可得 n∈N* ， an+1＞an ， 化简整理，再利用数列的单调性即可得出．
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