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2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
5.2等差数列及其前n项和
考纲剖析
1．理解等差数列的概念．
2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．
3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．
4．了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.
知识回顾
1．等差数列的定义
如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，公差通常用字母d表示．
数学语言表达式： ．
2．等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝ .
若等差数列{an}的第m项为am，则其第n项an可以表示为an＝ .
(2)等差数列的前n项和公式
Sn＝ .
3．等差数列及前n项和的性质
(1)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且
(2)若{an}为等差数列，当m＋n＝p＋q，
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．www-2-1-cnjy-com
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)若n为偶数，则S偶－S奇＝；
若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．
4．等差数列与函数的关系
(1)等差数列与一次函数的区别与联系
等差数列 一次函数
解析式
不同点
相同点
(2)等差数列前n项和公式可变形为Sn＝n2＋n，当d≠0时，它是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝x2＋x上横坐标为正整数的均匀分布的一群孤立的点．
精讲方法
一、等差数列及其前n项和
（一）等差数列的基本运算
1.等差数列运算问题的通法
等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程（组）求解.
2.等差数列前n项和公式的应用方法
等差数列前n项和公式有两个，如果已知项数n、首项a1和第n项an，则利用该公式经常和等差数列的性质结合应用.如果已知项数n、首项a1和公差d，则利用在求解等差数列的基本运算问题时，有时会和通项公式结合使用.21*cnjy*com
注：1、等差数列的通项公式=+（n-1）d及前n项和公式，共涉及五个量，，d,n, ,知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题；
2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。
因为，故数列{}是等差数列。
（二）等差数列的判定
1、等差数列的判定通常有两种方法：
第一种是利用定义，，第二种是利用等差中项，即。
2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断。
（1）通项法：若数列{}的通项公式为n的一次函数，即=n+B,则{}是等差数列；
（2）前n项和法：若数列{}的前n项和是的形式（，B是常数），则{}是等差数列。
注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。
（三）等差数列的性质
1、等差数列的单调性：
等差数列公差为d，若d>0,则数列递增；若d<0,则数列递减；若d=0,则数列为常数列。
2、等差数列的简单性质：
已知数列{}是等差数列，是其前n项和。
（1）若m+n=p+q,则,特别：若m+n=2p，则。
（2）仍是等差数列，公差为kd;
（3）数列也是等差数列；
（4）；
（5）若n为偶数，则；若n为奇数，则；
（6）数列也是等差数列，其中均为常数，是等差数列。
3、等差数列的最值：
若是等差数列，求前n项和的最值时，
（1）若a1>0,d>0,且满足，前n项和最大；
（2）若a1<0,d>0，且满足，前n项和最小；
（3）除上面方法外，还可将的前n项和的最值问题看作关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意。21世纪教育网版权所有
真题精析
一、单选题
1、（2015全国统考II）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）
A、5
B、7
C、9
D、11
2、（2013 新课标Ⅰ）设等差数列{an}的前n项和为Sn ， 若Sm﹣1=﹣2，Sm=0，Sm+1=3，则m=（ ） 21教育网
A、3
B、4
C、5
D、6
3、（2014 福建）等差数列{an}的前n项和为Sn ， 若a1=2，S3=12，则a6等于（ ）
A、8
B、10
C、12
D、14
4、（2017 新课标Ⅲ）等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2 ， a3 ， a6成等比数列，则{an}前6项的和为（ ） 【来源：21·世纪·教育·网】
A、﹣24
B、﹣3
C、3
D、8
5、（2017 浙江）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn ， 则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（ ） 【来源：21cnj*y.co*m】
A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充分必要条件
D、既不充分也不必要条件
二、填空题
6、(2015·陕西）中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________ ． 21·世纪*教育网
7、（2016 江苏）已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和.若a1+a22= - 3，S5=10，则a9的值是________. 2-1-c-n-j-y
8、（2016 北京）已知 为等差数列， 为其前n项和，若 ， ，则 =________ 【出处：21教育名师】
9、（2013 新课标Ⅱ）等差数列{an}的前n项和为Sn ， 已知S10=0，S15=25，则nSn的最小值为________． 21*cnjy*com
10、（2013 上海）若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和Sn=________．
三、综合题
11、(2015·四川）设数列{an}的前n项和Sn=2an-a1 ， 且a1, a2+1, a3成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记数列{}的前n项和Tn ， 求Tn。
12、（2016 全国） 为等差数列 的前n项和，且 记 ，其中 表示不超过x的最大整数，如 . 21cnjy.com
(1)求 ；
(2)求数列 的前1 000项和.
13、（2014 新课标I）已知数列{an}的前n项和为Sn ， a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，其中λ为常数． 21教育名师原创作品
(1)证明：an+2﹣an=λ
(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
四、解答题
14、（2017 江苏）对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an﹣k+an﹣k+1+…+an﹣1+an+1+…an+k﹣1+an+k=2kan对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{an}是“P（k）数列”．
（Ⅰ）证明：等差数列{an}是“P（3）数列”；
（Ⅱ）若数列{an}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{an}是等差数列．
模拟题精练
一、单选题
1、（2017湖北武汉五月调考）已知数列{an}为等差数列，Sn其前n项和，且a2=3a4﹣6，则S9等于（ ） www.21-cn-jy.com
A、25
B、27
C、50
D、54
2、（2017甘肃一诊）在等差数列{an}中，a1+a2=1，a2016+a2017=3，Sn是数列{an}的前n项和，则S2017=（ ） 【版权所有：21教育】
A、6051
B、4034
C、2017
D、1009
3、（2017山西晋中二模）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，则2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则S11=（ ） 21·cn·jy·com
A、66
B、55
C、44
D、33
4、（2017福建福州二模）已知Sn为等差数列{an}的前n项和．若S9=18，则a3+a5+a7=（ ）
A、2
B、4
C、6
D、8
5、（2017福建厦门二模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有五人五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“现有甲乙丙丁戊五人依次差值等额分五钱，要使甲乙两人所得的钱与丙丁戊三人所得的钱相等，问每人各得多少钱？”根据题意，乙得（ ） 2·1·c·n·j·y
A、钱
B、钱
C、1钱
D、钱
6、（2017广东深圳二模）设等差数列{an}的前n项和为Sn ， 若a3+a5=4，S15=60则a20=（ ）
A、4
B、6
C、10
D、12
7、（2017河南南阳一中三模）已知公差不为0的等差数列{an}满足a1 ， a3 ， a4成等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，则 的值为（ ）
A、2
B、3
C、﹣2
D、﹣3
8、（2017广西柳州一模）《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？”
A、3
B、4
C、5
D、6
9、（2017湖南常德一模）《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸① ， 头圈一尺三② ． 逐节多三分③ ， 逐圈少分三④ ． 一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远？”（注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺） 问：此民谣提出的问题的答案是（ ）
A、72.705尺
B、61.395尺
C、61.905尺
D、73.995尺
10、（2017安徽安庆一中三模）设Sn是等差数列{an}的前n项和，且a11=S13=13，则a9=（ ）
A、9
B、8
C、7
D、6
11、（2017福建泉州高二模）公差为2的等差数列{an}的前n项和为Sn ． 若S3=12，则a3=（ ）
A、4
B、6
C、8
D、14
12、（2017山东济宁二模）我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（ ）
A、104人
B、108人
C、112人
D、120人
13、（2017广东汕头潮南考前冲刺）已知等差数列{an}中，a3=9，a5=17，记数列 的前n项和为Sn ， 若 ，对任意的n∈N*成立，则整数m的最小值为（ ）
A、5
B、4
C、3
D、2
14、（2017山东枣庄十六中模拟）等差数列{an}的前n项和为Sn ， 若公差d＞0，（S8﹣S5）（S9﹣S5）＜0，则（ ）
A、|a7|＞|a8|
B、|a7|＜|a8|
C、|a7|=|a8|
D、|a7|=0
15、（2017湖北调考）设等差数列{an}的前n项和为Sn ， 若a1=4，a2+a4+a6=30，则S6=（ ）
A、54
B、44
C、34
D、24
二、填空题
16、（2017福建达标校考前模拟）设各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn ， 且满足a1a2=35，a1a3=45，则S10=________．
17、（2017江苏扬州模拟）设等差数列{an}的前n项和为Sn ， 若a5=3，S10=40，则nSn的最小值为________．
18、（2017辽宁葫芦岛考前模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn ， 且满足 ，则数列{an}的公差是 ________．
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2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
5.2等差数列及其前n项和（答案）
知识回顾
1．等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*)，d为常数．
2．等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
若等差数列{an}的第m项为am，则其第n项an可以表示为an＝am＋(n－m)d.
(2)等差数列的前n项和公式
Sn＝＝na1＋d.(其中n∈N*，a1为首项，d为公差，an为第n项)
3．等差数列及前n项和的性质
(1)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝.
(2)若{an}为等差数列，当m＋n＝p＋q，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．21·cn·jy·com
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)若n为偶数，则S偶－S奇＝；
若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．
4．等差数列与函数的关系
(1)等差数列与一次函数的区别与联系
等差数列 一次函数
解析式 an＝kn＋b(n∈N*) f(x)＝kx＋b(k≠0)
不同点 定义域为N*，图象是一系列孤立的点(在直线上)，k为公差 定义域为R，图象是一条直线，k为斜率
相同点 数列的通项公式与函数解析式都是关于自变量的一次函数．①k≠0时，数列an＝kn＋b(n∈N*)图象所表示的点均匀分布在函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的图象上；②k＞0时，数列为递增数列，函数为增函数；③k＜0时，数列为递减数列，函数为减函数
(2)等差数列前n项和公式可变形为Sn＝n2＋n，当d≠0时，它是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝x2＋x上横坐标为正整数的均匀分布的一群孤立的点．【出处：21教育名师】
真题精析
一、单选题
1、（2015全国统考II）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）
A、5
B、7
C、9
D、11
【答案】A
【考点】等差数列的前n项和，等差数列的性质
【解析】【解答】由a1+a3+a5=3a3=3a3=1，所以S5==5a3=5，故选A
【分析】本题解答过程中用到了等差数列的一个基本性质即等差中项的性质，利用此性质可得a1+a5=2a3。高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点，在解答时要注意数列相关性质的应用，尽量避免小题大做。 21教育网
2、（2013 新课标Ⅰ）设等差数列{an}的前n项和为Sn ， 若Sm﹣1=﹣2，Sm=0，Sm+1=3，则m=（ ）
A、3
B、4
C、5
D、6
【答案】C
【考点】等差数列的前n项和，等差数列的性质
【解析】【解答】解：am=Sm﹣Sm﹣1=2，am+1=Sm+1﹣Sm=3，
所以公差d=am+1﹣am=1，
Sm= =0，得a1=﹣2，
所以am=﹣2+（m﹣1） 1=2，解得m=5，
故选C．
【分析】由an与Sn的关系可求得am+1与am ， 进而得到公差d，由前n项和公式及Sm=0可求得a1 ， 再由通项公式及am=2可得m值．
3、（2014 福建）等差数列{an}的前n项和为Sn ， 若a1=2，S3=12，则a6等于（ ）
A、8
B、10
C、12
D、14
【答案】C
【考点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意可得S3=a1+a2+a3=3a2=12，
解得a2=4，∴公差d=a2﹣a1=4﹣2=2，
∴a6=a1+5d=2+5×2=12，
故选：C．
【分析】由等差数列的性质和已知可得a2 ， 进而可得公差，可得a6
4、（2017 新课标Ⅲ）等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2 ， a3 ， a6成等比数列，则{an}前6项的和为（ ） www.21-cn-jy.com
A、﹣24
B、﹣3
C、3
D、8
【答案】A
【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，等比数列
【解析】【解答】解：∵等差数列{an}的首项为1，公差不为0．a2 ， a3 ， a6成等比数列，
∴ ，
∴（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），且a1=1，d≠0，
解得d=﹣2，
∴{an}前6项的和为 = =﹣24．
故选：A．
【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出{an}前6项的和． 【版权所有：21教育】
5、（2017 浙江）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn ， 则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（ ）
A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充分必要条件
D、既不充分也不必要条件
【答案】C
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵S4+S6＞2S5 ，
∴4a1+6d+6a1+15d＞2（5a1+10d），
∴21d＞20d，
∴d＞0，
故“d＞0”是“S4+S6＞2S5”充分必要条件，
故选：C
【分析】根据等差数列的求和公式和S4+S6＞2S5 ， 可以得到d＞0，根据充分必要条件的定义即可判断． 【来源：21·世纪·教育·网】
二、填空题
6、(2015·陕西）中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________ ．
【答案】5
【考点】等差数列的性质
【解析】【解答】设数列的首项为a1 ， 则a1+2015=2x1010=2020，所以a1=5故该数列的首项为5，所以答案应填：5
【分析】本题主要考查的是等差中项，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“中位数”和“等差数列”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是等差中项的概念，即若a，A，b成等差数列，则A称为A与B的等差中项，即2A=a+b． 21*cnjy*com
7、（2016 江苏）已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和.若a1+a22= - 3，S5=10，则a9的值是________.
【答案】20
【考点】等差数列的前n项和，等差数列的性质
【解析】【解答】设公差为 ，则由题意可得 ， ， 解得 ， ，则
【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a9的值．
8、（2016 北京）已知 为等差数列， 为其前n项和，若 ， ，则 =________
【答案】6
【考点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】∵ ∴
∵ ， ∴
∴
【分析】由已知条件利用等差数列的性质求出公差，由此利用等差数列的前n项和公式能求出S6 ．
9、（2013 新课标Ⅱ）等差数列{an}的前n项和为Sn ， 已知S10=0，S15=25，则nSn的最小值为________．
【答案】-49
【考点】利用导数研究函数的极值，等差数列的前n项和，等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1 ， 公差为d，
∵S10=10a1+45d=0，S15=15a1+105d=25，
∴a1=﹣3，d= ，
∴Sn=na1+ d= n2﹣ n，
∴nSn= n3﹣ n2 ， 令nSn=f（n），
∴f′（n）=n2﹣ n，
∴当n= 时，f（n）取得极值，当n＜ 时，f（n）递减；当n＞ 时，f（n）递增；
因此只需比较f（6）和f（7）的大小即可．
f（6）=﹣48，f（7）=﹣49，
故nSn的最小值为﹣49．
故答案为：﹣49．
【分析】由等差数列的前n项和公式化简已知两等式，联立求出首项a1与公差d的值，结合导数求出nSn的最小值．
10、（2013 上海）若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和Sn=________．
【答案】
【考点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的前n项和Sn=an2+bn，则由题意可得 ，解得 ，
故数列的前n项和Sn= ，
故答案为 ．
【分析】设等差数列的前n项和Sn=an2+bn，则由题意可得 ，解得a、b的值，即可求得数列的前n项和Sn的解析式．
三、综合题
11、(2015·四川）设数列{an}的前n项和Sn=2an-a1 ， 且a1, a2+1, a3成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记数列{}的前n项和Tn ， 求Tn。
【答案】（1） an=2n
（2）Tn=1-
【考点】等差数列
【解析】【解答】(1)由已知Sn=2an-a1, 有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(a>1), 即an=2an-1(n>1), 从而a2=2a1 ， a3=4a1 ， 由因为a1 ， a2 +1， a3成等差数列， 即a1+a3=2（a2+1), 所以a1+4a1=2(2a1+1）,解得a1=2， 所以数列{an}是首项为2， 公比为2的等比数列，故an=2n。
(2). 由（1）得=, 所以Tn=+++...+==1-.
【分析】凡是有Sn与an间的关系，都是考虑消去Sn或an（多数时候是消去an ， 得an与an-1间的递推关系）.在本题中，得到an与an-1间的递推关系式后，便知道这是一个等比数列，利用等比数列的相关公式即可求解.等差数列与等比数列是高考中的必考内容，多属容易题，考生应立足得满分. 21cnjy.com
12、（2016 全国） 为等差数列 的前n项和，且 记 ，其中 表示不超过x的最大整数，如 . 2-1-c-n-j-y
(1)求 ；
(2)求数列 的前1 000项和.
【答案】（1）解：设 的公差为 ， ，
∴ ，∴ ，∴ ．
∴ ， ，
（2）解：记 的前 项和为 ，则
．
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
∴
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【考点】数列的求和，等差数列的性质
【解析】【分析】（1）利用已知条件求出等差数列的公差，求出通项公式，然后求解b1 ， b11 ， b101；（2）找出数列的规律，然后求数列{bn}的前1000项和
13、（2014 新课标I）已知数列{an}的前n项和为Sn ， a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，其中λ为常数．
(1)证明：an+2﹣an=λ
(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
【答案】（1）证明：∵anan+1=λSn﹣1，an+1an+2=λSn+1﹣1，
∴an+1（an+2﹣an）=λan+1
∵an+1≠0，
∴an+2﹣an=λ．
（2）解：①当λ=0时，anan+1=﹣1，假设{an}为等差数列，设公差为d．
则an+2﹣an=0，∴2d=0，解得d=0，
∴an=an+1=1，
∴12=﹣1，矛盾，因此λ=0时{an}不为等差数列．
②当λ≠0时，假设存在λ，使得{an}为等差数列，设公差为d．
则λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）=2d，
∴ ．
∴ ， ，
∴λSn=1+ = ，
根据{an}为等差数列的充要条件是 ，解得λ=4．
此时可得 ，an=2n﹣1．
因此存在λ=4，使得{an}为等差数列
【考点】等差关系的确定，数列递推式
【解析】【分析】（1）利用anan+1=λSn﹣1，an+1an+2=λSn+1﹣1，相减即可得出；（2）对λ分类讨论：λ=0直接验证即可；λ≠0，假设存在λ，使得{an}为等差数列，设公差为d．可得λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）=2d， ．得到λSn= ，根据{an}为等差数列的充要条件是 ，解得λ即可． 21世纪教育网版权所有
四、解答题
14、（2017 江苏）对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an﹣k+an﹣k+1+…+an﹣1+an+1+…an+k﹣1+an+k=2kan对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{an}是“P（k）数列”．
（Ⅰ）证明：等差数列{an}是“P（3）数列”；
（Ⅱ）若数列{an}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{an}是等差数列．
【答案】解：（Ⅰ）证明：设等差数列{an}首项为a1 ， 公差为d，则an=a1+（n﹣1）d，
则an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3 ，
=（an﹣3+an+3）+（an﹣2+an+2）+（an﹣1+an+1），
=2an+2an+2an ，
=2×3an ，
∴等差数列{an}是“P（3）数列”；
（Ⅱ）证明：由数列{an}是“P（2）数列”则an﹣2+an﹣1+an+1+an+2=4an ， ①
数列{an}是“P（3）数列”an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=6an ， ②
由①可知：an﹣3+an﹣2+an+an+1=4an﹣1 ， ③
an﹣1+an+an+2+an+3=4an+1 ， ④
由②﹣（③+④）：﹣2an=6an﹣4an﹣1﹣4an+1 ，
整理得：2an=an﹣1+an+1 ，
∴数列{an}是等差数列．
【考点】等差数列的通项公式，数列的应用，等差关系的确定，等差数列的性质
【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可知根据等差数列的性质，an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=（an﹣3+an+3）+（an﹣2+an+2）+（an﹣1+an+1）═2×3an ， 根据“P（k）数列”的定义，可得数列{an}是“P（3）数列”；
（Ⅱ）由“P（k）数列”的定义，则an﹣2+an﹣1+an+1+an+2=4an ， an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=6an ， 变形整理即可求得2an=an﹣1+an+1 ， 即可证明数列{an}是等差数列．
模拟题精练
一、单选题
1、（2017湖北武汉五月调考）已知数列{an}为等差数列，Sn其前n项和，且a2=3a4﹣6，则S9等于（ ）
A、25
B、27
C、50
D、54
【答案】B
【考点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：设数列{an}的首项为a1 ， 公差为d， 因为a2=3a4﹣6，
所以a1+d=3（a1+3d）﹣6，
所以a5=3．
所以S9=9a5=27．
故选B．
【分析】由题意得a2=3a4﹣6，所以得a5=3．所以由等差数列的性质得S9=9a5=27．
2、（2017甘肃一诊）在等差数列{an}中，a1+a2=1，a2016+a2017=3，Sn是数列{an}的前n项和，则S2017=（ ）
A、6051
B、4034
C、2017
D、1009
【答案】C
【考点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：在等差数列{an}中， 因为a1+a2=1，a2016+a2017=3，
所以a1+a2017=a2+a2016=2，
所以S2017= =2017，
故选C．
【分析】根据题意和等差数列的性质求出a1+a2017的值，由等差数列的前n项和公式求出S2017的值．
3、（2017山西晋中二模）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，则2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则S11=（ ）
A、66
B、55
C、44
D、33
【答案】D
【考点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：由等差数列的性质可得：2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，∴6a3+6a9=36，即a1+a11=6． 则S11= =11×3=33．
故选：D．
【分析】利用等差数列的通项公式与性质与求和公式即可得出．
4、（2017福建福州二模）已知Sn为等差数列{an}的前n项和．若S9=18，则a3+a5+a7=（ ）
A、2
B、4
C、6
D、8
【答案】C
【考点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和．S9=18， ∴ ，
解得a5=2，
∴a3+a5+a7=3a5=6．
故选：C．
【分析】利用等差数列的通项公式及前n项和公式求得a5=2，再由a3+a5+a7=3a5 ， 能求出结果．
5、（2017福建厦门二模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有五人五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“现有甲乙丙丁戊五人依次差值等额分五钱，要使甲乙两人所得的钱与丙丁戊三人所得的钱相等，问每人各得多少钱？”根据题意，乙得（ ）
A、钱
B、钱
C、1钱
D、钱
【答案】D
【考点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d， 则由题意可知，a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d，即a=﹣6d，
又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，
∴a=1，d=﹣ =﹣ ，
则a﹣d=1﹣（﹣ ）=
故乙得 钱．
故选：D．
【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得a=﹣6d，结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5求得a=1，则答案可求．
6、（2017广东深圳二模）设等差数列{an}的前n项和为Sn ， 若a3+a5=4，S15=60则a20=（ ）
A、4
B、6
C、10
D、12
【答案】C
【考点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn ， ∵a3+a5=4，S15=60，
∴ ，
解得a1= ，d= ，
∴a20=a1+19d= =10．
故选：C．
【分析】利用等差数列{an}的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出a1= ，d= ，由此能求出a20 ．
7、（2017河南南阳一中三模）已知公差不为0的等差数列{an}满足a1 ， a3 ， a4成等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，则 的值为（ ） 21*cnjy*com
A、2
B、3
C、﹣2
D、﹣3
【答案】A
【考点】等差数列的性质，等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为d，首项为a1 ， 所以a3=a1+2d，a4=a1+3d．
因为a1、a3、a4成等比数列，
所以（a1+2d）2=a1（a1+3d），解得：a1=﹣4d．
所以 = =2，
故选：A．
【分析】由题意可得：a3=a1+2d，a4=a1+3d．结合a1、a3、a4成等比数列，得到a1=﹣4d，进而根据等差数列的通项公式化简所求的式子即可得出答案．
8、（2017广西柳州一模）《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？” www-2-1-cnjy-com
A、3
B、4
C、5
D、6
【答案】A
【考点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意设塔顶有a盏灯， 由题意由上往下数第n层就有2n﹣1 a盏灯，
∴共有（1+2+4+8+16+32+64）a=381盏灯，
即 ．
解得：a=3．
故选：A．
【分析】设出塔顶灯的盏数，由题意可知灯的盏数自上而下构成等比数列，且公比为2，然后由等比数列的前7项和等于381列式计算即可．
9、（2017湖南常德一模）《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸① ， 头圈一尺三② ． 逐节多三分③ ， 逐圈少分三④ ． 一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远？”（注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺） 问：此民谣提出的问题的答案是（ ）
A、72.705尺
B、61.395尺
C、61.905尺
D、73.995尺
【答案】B
【考点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵每竹节间的长相差0.03尺， 设从地面往长，每节竹长为a1 ， a2 ， a3 ， …，a30 ，
∴{an}是以a1=0.5为首项，以d′=0.03为公差的等差数列，
由题意知竹节圈长，后一圏比前一圏细1分3厘，即0.013尺，
设从地面往上，每节节圈长为b1 ， b2 ， b3 ， …，b30 ，
由{bn}是以b1=1.3为首项，d=﹣0.013为公差的等差数列，
∴一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是：
S30=（30×0.5+ ×0.03）+[30×1.3+ ×（﹣0013）]=61.395．
故选：B．
【分析】设从地面往长，每节竹长为a1 ， a2 ， a3 ， …，a30 ， 则{an}是以a1=0.5为首项，以d′=0.03为公差的等差数列，设从地面往上，每节节圈长为b1 ， b2 ， b3 ， …，b30 ， 则{bn}是以b1=1.3为首项，d=﹣0.013为公差的等差数列，由此能求出一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶的行程．
10、（2017安徽安庆一中三模）设Sn是等差数列{an}的前n项和，且a11=S13=13，则a9=（ ）
A、9
B、8
C、7
D、6
【答案】C
【考点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a11=S13=13，∴a1+10d=13a1+ d=13， 解得a1=﹣17，d=3．
则a9=﹣17+8×3=7．
故选：C．
【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
11、（2017福建泉州高二模）公差为2的等差数列{an}的前n项和为Sn ． 若S3=12，则a3=（ ）
A、4
B、6
C、8
D、14
【答案】B
【考点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵S3=12，∴3a1+ =12，解得a1=2． 则a3=2+2×2=6．
故选：B．
【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
12、（2017山东济宁二模）我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（ ）
A、104人
B、108人
C、112人
D、120人
【答案】B
【考点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：由题意可得 ×300=108， 故选：B
【分析】根据分层抽样即可求出答案．
13、（2017广东汕头潮南考前冲刺）已知等差数列{an}中，a3=9，a5=17，记数列 的前n项和为Sn ， 若 ，对任意的n∈N*成立，则整数m的最小值为（ ）
A、5
B、4
C、3
D、2
【答案】B
【考点】等差数列的通项公式，数列与不等式的综合
【解析】【解答】解：设公差为d， 由a3=9，a5=17，得 ，解得a1=1，d=4，
∴an=4n﹣3，
故Sn=1+ +…+ ，
令bn=S2n+1﹣Sn= ，
则bn+1﹣bn=[ …+ ]﹣[ ]= ﹣ ，
∴{bn}是递减数列，
∴b1最大，为 = ，
∴根据题意，S2n+1﹣Sn ，∴ ，m ，
∴m的最小值为4．
故选B．
【分析】设公差为d，由a3=9，a5=17，得a1 ， d的方程组，可解出a1 ， d，从而得到an ， ，对任意的n∈N*成立，等价于（S2n+1﹣Sn）max ，令bn=S2n+1﹣Sn ， 通过作差可判断{bn}的单调性，根据单调性即可得到bn的最大值．
14、（2017山东枣庄十六中模拟）等差数列{an}的前n项和为Sn ， 若公差d＞0，（S8﹣S5）（S9﹣S5）＜0，则（ ） 21·世纪*教育网
A、|a7|＞|a8|
B、|a7|＜|a8|
C、|a7|=|a8|
D、|a7|=0
【答案】B
【考点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：根据题意，等差数列{an}中，有（S8﹣S5）（S9﹣S5）＜0， 即（a6+a7+a8）（a6+a7+a8+a9）＜0，
又由{an}为等差数列，则有（a6+a7+a8）=3a7 ， （a6+a7+a8+a9）=2（a7+a8），
（a6+a7+a8）（a6+a7+a8+a9）＜0 a7×（a7+a8）＜0，
a7与（a7+a8）异号，
又由公差d＞0，
必有a7＜0，a8＞0，且|a7|＜|a8|；
故选：B．
【分析】根据题意，由（S8﹣S5）（S9﹣S5）＜0分析可得（a6+a7+a8）（a6+a7+a8+a9）＜0，结合等差数列的性质可得（a6+a7+a8）（a6+a7+a8+a9）＜0 a7×（a7+a8）＜0，
又由{an}的公差d＞0，分析可得a7＜0，a8＞0，且|a7|＜|a8|；即可得答案．
15、（2017湖北调考）设等差数列{an}的前n项和为Sn ， 若a1=4，a2+a4+a6=30，则S6=（ ）
A、54
B、44
C、34
D、24
【答案】A
【考点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1=4，a2+a4+a6=30， ∴4×3+9d=30，解得d=2．
则S6=6×4+ ×2=54．
故选：A．
【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． 2·1·c·n·j·y
二、填空题
16、（2017福建达标校考前模拟）设各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn ， 且满足a1a2=35，a1a3=45，则S10=________．
【答案】140
【考点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设各项均为正数的等差数列{an}的公差为d＞0，∵a1a2=35，a1a3=45， ∴a1（a1+d）=35，a1（a1+2d）=45，
解得a1=5，d=2．
则S10=10×5+ =140．
故答案为：140．
【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
17、（2017江苏扬州模拟）设等差数列{an}的前n项和为Sn ， 若a5=3，S10=40，则nSn的最小值为________． 21教育名师原创作品
【答案】-32
【考点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a5=3，S10=40， ∴a1+4d=3，10a1+ d=40，
解得a1=﹣5，d=2．
∴Sn=﹣5n+ =n2﹣6n．
则nSn=n2（n﹣6）．
n≤5时，nSn＜0．
n≥6时，nSn≥0．
可得：n=4时，nSn取得最小值﹣32．
故答案为：﹣32．
【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式可得Sn ， 再利用数列的单调性即可得出．
18、（2017辽宁葫芦岛考前模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn ， 且满足 ，则数列{an}的公差是 ________．
【答案】2
【考点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：∵ ， ∴ ，
∴6a1+6d﹣6a1﹣3d=6，
∴d=2．
故答案为：2．
【分析】在题设条件 的两边同时乘以6，然后借助前n项和公式进行求解．
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