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2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
5.3等比数列及其前n项和
考纲剖析
1．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及前n项和公式．
2．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．
3．了解等比数列与指数函数的关系.
知识回顾
1．等比数列的有关概念
(1)等比数列的定义
如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比等于 非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母q(q≠0)表示．
数学语言表达式 ．
(2)等比中项
如果 成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项 a，G，b成等比数列 .
2．等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝ ；
若等比数列{an}的第m项为am，公比是q，则其第n项an可以表示为an＝ .
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝ .
3．等比数列及前n项和的性质
(1)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 .
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为 .21·世纪*教育网
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为 .
(4)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
精讲方法
一、等比数列及其前n项和
（一）等比数列的的运算
1.等比数列基本量的运算是等比数列中一类基本问题，数列中有五个量，，，，，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）所求问题可迎刃而解。
2.解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程。21教育网
3.在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式。【来源：21·世纪·教育·网】
（二）等比数列的判定
等比数列的判定方法有：
（1）定义法：若，则是等比数列；
（2）中项公式法：若数列中，，则数列是等比数列；
（3）通项公式法：若数列通项公式可写成，则数列是等比数列；
（4）前n项和公式法：若数列的前n项和，则数列是等比数列；
注：（1）前两种方法是判定等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中的判定；（2）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可。
（三）等比数列性质的应用
1.等比数列的性质可以分为三类：(1)通项公式的变形，(2)等比中项的变形，(3)前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.
2.等比数列的常用性质
(1)数列{an}是等比数列，则数列{pan}(p≠0，p是常数)也是等比数列；
(2)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列，公比为qk.21世纪教育网版权所有
(3)an=am·qn-m(n,m∈N+)
(4)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)，则am·an=ap·aq；
(5)若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sk、S2k-Sk、
S3k-S2k、S4k-S3k是等比数列.
（6）等比数列的单调性
3. 由于数列和函数之间有着密切的联系，所以在解决许多数列问题时，可以借鉴函数的有关思想和方法，本例在求解过程中，就是先求导数，利用数列这一特殊函数的性质解决的，所以在解决数列问题时，应善于运用函数的思想方法解决问题.【来源：21cnj*y.co*m】
注：等比数列中所有奇数项的符号相同，所有偶数项的符号也相同。
真题精析
一、单选题
1、（2015·新课标Ⅱ）已知等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）
A、21
B、42
C、63
D、84
2、（2016 四川）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）
（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30） 2-1-c-n-j-y
A、2018年
B、2019年
C、2020年
D、2021年
3、（2013 新课标Ⅱ）等比数列{an}的前n项和为Sn ， 已知S3=a2+10a1 ， a5=9，则a1=（ ） 21*cnjy*com
A、
B、-
C、
D、-
4、（2013 江西）等比数列x，3x+3，6x+6，…的第四项等于（ ）
A、﹣24
B、0
C、12
D、24
5、（2014 重庆）对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是（ ）
A、a1 ， a3 ， a9成等比数列
B、a2 ， a3 ， a6成等比数列
C、a2 ， a4 ， a8成等比数列
D、a3 ， a6 ， a9成等比数列
21·cn·jy·com
6、等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lgan}的前8项和等于（ ）
A、6
B、5
C、4
D、3
7、（2017 新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A、1盏
B、3盏
C、5盏
D、9盏
二、填空题
8、（2015湖南）设为等比数列的前项和，若,且成等差数列，则________ 。 21教育名师原创作品
9、（2013 北京）若等比数列{an}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=________；前n项和Sn=________．
10、（2013 新课标Ⅰ）若数列{an}的前n项和为Sn= an+ ，则数列{an}的通项公式是an=________．
11、（2014 广东）若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5 ， 则lna1+lna2+…lna20=________．
12、（2014 江苏）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4 ， 则a6的值是________．
13、（2014 天津）设{an}是首项为a1 ， 公差为﹣1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1 ， S2 ， S4成等比数列，则a1的值为________．
三、综合题
14、（2014 新课标II）已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1．
(1)证明{an+ }是等比数列，并求{an}的通项公式；
(2)证明： + +…+ ＜ ．
四、解答题
15、（2017·山东）已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3 ．
(1)求数列{an}通项公式；
(2){bn} 为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn ， 已知S2n+1=bnbn+1 ， 求数列 的前n项和Tn ． www-2-1-cnjy-com
16、（2017 山东）已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．（12分）
（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1 ， 1），P2（x2 ， 2）…Pn+1（xn+1 ， n+1）得到折线P1 P2…Pn+1 ， 求由该折线与直线y=0，x=x1 ， x=xn+1所围成的区域的面积Tn ．
模拟题精练
一、单选题
1、（2017广西桂林中学模拟）在等比数列{an}中，若公比q=4，S3=21，则该数列的通项公式an=（ ）
A、4n﹣1
B、4n
C、3n
D、3n﹣1
2、（2017四川自贡二诊）2015年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利70周年大会在北京天安门广场隆重举行，大会中的阅兵活动向全世界展示了我军威武文明之师的良好形象，展示了科技强军的伟大成就以及维护世界和平的坚定决心，在阅兵活动的训练工作中，不仅使用了北斗导航、电子沙盘、仿真系统、激光测距机、迈速表和高清摄像头等新技术装备，还通过管理中心对每天产生的大数据进行存储、分析、有效保证了阅兵活动的顺利进行，假如训练过程过程中第一天产生的数据量为a，其后每天产生的数据量都是前一天的q（q＞1）倍，那么训练n天产生的总数据量为（ ）
A、a
B、a
C、
D、
3、（2017四川自贡二诊）《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为40%，今共有粮m（m＞0）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m的值分别为（ ） 2·1·c·n·j·y
A、20% 369
B、80% 369
C、40% 360
D、60% 365
4、（2017河北衡水中学大联考）中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里其意是：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走 了 700里．若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为（ ）
A、里
B、1050 里
C、里
D、2100里
5、（2017陕西汉中一模）已知等比数列{an}的前n项积为Tn ， 若log2a2+log2a8=2，则T9的值为（ ）
A、±512
B、512
C、±1024
D、1024
6、（2017湖南郴州三模）《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则塔从上至下的第三层有（ ）盏灯．
A、14
B、12
C、8
D、10
7、（2017吉林白山二模）在数列{an}中，若 为定值，且a4=2，则a2a3a5a6等于（ ）
A、32
B、4
C、8
D、16
8、（2017河南洛阳三模）已知等比数列{an}满足a1= +3，则a9=（ ）
A、
B、
C、648
D、18
9、（2017黑龙江大庆实验中学三模）若等比数列{an}的前n项和为Sn ， =（ ） 21*cnjy*com
A、3
B、7
C、10
D、15
10、（2017黑龙江大庆实验中学三模）在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（ ）盏灯．
A、2
B、3
C、5
D、6
11、（2017湖北黄石三中学模拟）等比数列{an}的前n项和为Sn ， 已知a2a5=2a3 ， 且a4与2a7的等差中项为 ，则S5=（ ）
A、29
B、31
C、33
D、36
12、（2017湖北襄阳四中五模）已知公差不为0的等差数列{an}与等比数列 ，则{bn}的前5项的和为（ ）
A、142
B、124
C、128
D、144
13、（2017全国100所名校冲刺）已知数列{an}是等比数列，a1= ，a4=2，则a1+a2+…+a10等于（ ）
A、+31
B、31 +31
C、80
D、+80
填空题
14、（2017安徽示范高中皖北协作区模拟）我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于20尺，该女子所需的天数至少为________． www.21-cn-jy.com
15、（2017河北衡水武邑中学四模）已知正项等比数列{an}中，a1=1，其前n项和为Sn（n∈N*），且 ，则S4=________． 【出处：21教育名师】
16、（2017湖南长沙天心长郡中学模拟）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”，如果墙厚 ，________天后两只老鼠打穿城墙． 【版权所有：21教育】
17、（2017湖南师大附中一模）等比数列{an}中，若a2a5=2a3 ， a4与a6的等差中项为 ，则a1=________． 21cnjy.com
三、综合题
18、（2017辽宁大连二模）已知数列{an}的前n项和为Sn ． 已知a1=2，Sn+1=4an+2．
(1)设bn=an+1﹣2an ， 证明数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
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2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
5.3等比数列及其前n项和（答案）
知识回顾
1．等比数列的有关概念
(1)等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．【出处：21教育名师】
数学语言表达式：＝q(n≥2)，q为常数．
(2)等比中项
如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项 a，G，b成等比数列 G2＝ab.
2．等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
若等比数列{an}的第m项为am，公比是q，则其第n项an可以表示为an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
3．等比数列及前n项和的性质
(1)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.
(4)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
真题精析
一、单选题
1、（2015·新课标Ⅱ）已知等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）
A、21
B、42
C、63
D、84
【答案】B
【考点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】设等比数列公比为q，则a1+a1q2+a1q4=21，又因为a1=3，所以q4+q2-6=0，解得q2=2，所以a3+a5+a7=（a1+a3+a5）q2=42，故选B
【分析】本题考查等比数列的通项公式和性质，通过求等比数列的基本量，利用通项公式求解，若注意到项的序号之间的关系，则可减少运算量，属于基础题
2、（2016 四川）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）
（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30） 21·cn·jy·com
A、2018年
B、2019年
C、2020年
D、2021年
【答案】B
【考点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：设第n年开始超过200万元，
则130×（1+12%）n﹣2015＞200，
化为：（n﹣2015）lg1.12＞lg2﹣lg1.3，
n﹣2015＞ =3.8．
取n=2019．
因此开始超过200万元的年份是2019年．
故选：B．
【分析】设第n年开始超过200万元，可得130×（1+12%）n﹣2015＞200，两边取对数即可得出．；本题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 21教育名师原创作品
3、（2013 新课标Ⅱ）等比数列{an}的前n项和为Sn ， 已知S3=a2+10a1 ， a5=9，则a1=（ ）
A、
B、-
C、
D、-
【答案】C
【考点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
∵S3=a2+10a1 ， a5=9，
∴ ，解得 ．
∴ ．
故选C．
【分析】设等比数列{an}的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到 ，解出即可．
4、（2013 江西）等比数列x，3x+3，6x+6，…的第四项等于（ ）
A、﹣24
B、0
C、12
D、24
【答案】A
【考点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：由于 x，3x+3，6x+6是等比数列的前三项，故有（3x+3）2=x（6x+6），解x=﹣3，
故此等比数列的前三项分别为﹣3，﹣6，﹣12，故此等比数列的公比为2，故第四项为﹣24，
故选A．
【分析】由题意可得（3x+3）2=x（6x+6），解x的值，可得此等比数列的前三项，从而求得此等比数列的公比，从而求得第四项．
5、（2014 重庆）对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是（ ）
A、a1 ， a3 ， a9成等比数列
B、a2 ， a3 ， a6成等比数列
C、a2 ， a4 ， a8成等比数列
D、a3 ， a6 ， a9成等比数列
【答案】D
【考点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：A项中a3=a1 q2 ， a1 a9= q8 ， （a3）2≠a1 a9 ， 故A项说法错误，
B项中（a3）2=（a1 q2）2≠a2 a6= q6 ， 故B项说法错误，
C项中（a4）2=（a1 q3）2≠a2 a8= q8 ， 故C项说法错误，
D项中（a6）2=（a1 q5）2=a3 a9= q10 ， 故D项说法正确，
故选D．
【分析】利用等比中项的性质，对四个选项中的数进行验证即可．
6、等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lgan}的前8项和等于（ ）
A、6
B、5
C、4
D、3
【答案】C
【考点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵数列{an}是等比数列，a4=2，a5=5，
∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．
∴lga1+lga2+…+lga8
=lg（a1a2 … a8）
=
4lg10
=4．
故选：C．
【分析】利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用对数的运算性质即可得出．
7、（2017 新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A、1盏
B、3盏
C、5盏
D、9盏
【答案】B
【考点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设这个塔顶层有a盏灯，
∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，
∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，
又总共有灯381盏，
∴381= =127a，解得a=3，
则这个塔顶层有3盏灯，
故选B．
【分析】设这个塔顶层有a盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n项公式列出方程，求出a的值．
二、填空题
8、（2015湖南）设为等比数列的前项和，若,且成等差数列，则________ 。 21·世纪*教育网
【答案】
【考点】等差数列的性质，等比数列的性质
【解析】【解答】成等差数列，所以又等比数列所以。
【分析】本题主要考查等差与等比数列的性质，属于容易题，在解题过程中，需要建立关于等比数列基本量的方程即可求解，考查学生等价转化的思想与方程思想.
9、（2013 北京）若等比数列{an}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=________；前n项和Sn=________． 21*cnjy*com
【答案】2；2n+1﹣2
【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
∵a2+a4=20，a3+a5=40，∴ ，解得 ．
∴ = =2n+1﹣2．
故答案为：2，2n+1﹣2．
【分析】利用等比数列的通项公式和已知即可得出 ，解出即可得到a1及q，再利用等比数列的前n项和公式即可得出 ． 【来源：21cnj*y.co*m】
10、（2013 新课标Ⅰ）若数列{an}的前n项和为Sn= an+ ，则数列{an}的通项公式是an=________．
【答案】（﹣2）n﹣1
【考点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：当n=1时，a1=S1= ，解得a1=1
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（ ）﹣（ ）= ，
整理可得 ，即 =﹣2，
故数列{an}从第二项开始是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列，
故当n≥2时，an=（﹣2）n﹣1=（﹣2）n﹣1
经验证当n=1时，上式也适合，
故答案为：（﹣2）n﹣1
【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．
11、（2014 广东）若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5 ， 则lna1+lna2+…lna20=________． 21*cnjy*com
【答案】50
【考点】对数的运算性质，等比数列的性质
【解析】【解答】解：∵数列{an}为等比数列，且a10a11+a9a12=2e5 ，
∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5 ，
则a10a11=e5 ，
∴lna1+lna2+…lna20=
=ln（e5）10=lne50=50．
故答案为：50．
【分析】直接由等比数列的性质结合已知得到a10a11=e5 ， 然后利用对数的运算性质化简后得答案．
12、（2014 江苏）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4 ， 则a6的值是________．
【答案】4
【考点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，a1＞0．
∵a8=a6+2a4 ，
∴ ，
化为q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2．
∴a6= = =1×22=4．
故答案为：4．
【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．
13、（2014 天津）设{an}是首项为a1 ， 公差为﹣1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1 ， S2 ， S4成等比数列，则a1的值为________．
【答案】﹣
【考点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，an=a1+（n﹣1）（﹣1）=a1+1﹣n，Sn= = ，
再根据若S1 ， S2 ， S4成等比数列，可得 =S1 S4 ， 即 =a1 （4a1﹣6），
解得 a1=﹣ ，
故答案为：﹣ ．
【分析】由条件求得，Sn= ，再根据S1 ， S2 ， S4成等比数列，可得 =S1 S4 ， 由此求得a1的值． 2·1·c·n·j·y
三、综合题
14、（2014 新课标II）已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1．
(1)证明{an+ }是等比数列，并求{an}的通项公式；
(2)证明： + +…+ ＜ ．
【答案】（1）证明： =3，
∵ ≠0，
∴数列{an+ }是以首项为 ，公比为3的等比数列；
∴an+ = = ，即 ；
（2）证明：由（1）知 ，
当n≥2时，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1 ， ∴ ＜ = ，
∴当n=1时， 成立，
当n≥2时， + +…+ ＜1+ …+ = = ＜ ．
∴对n∈N+时， + +…+ ＜ ．
【来源：21·世纪·教育·网】
【考点】数列的求和，等比数列的性质
【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即 =常数，又首项不为0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出{an}的通项公式；（2）将 进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．
四、解答题
15、（2017·山东）已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3 ．
(1)求数列{an}通项公式；
(2){bn} 为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn ， 已知S2n+1=bnbn+1 ， 求数列 的前n项和Tn ． 2-1-c-n-j-y
【答案】（1）解：记正项等比数列{an}的公比为q，
因为a1+a2=6，a1a2=a3 ，
所以（1+q）a1=6，q =q2a1 ，
解得：a1=q=2，
所以an=2n；
（2）因为{bn} 为各项非零的等差数列，
所以S2n+1=（2n+1）bn+1 ，
又因为S2n+1=bnbn+1 ，
所以bn=2n+1， = ，
所以Tn=3 +5 +…+（2n+1） ，
Tn=3 +5 +…+（2n﹣1） +（2n+1） ，
两式相减得： Tn=3 +2（ + +…+ ）﹣（2n+1） ，
即 Tn=3 +（ + + +…+ ）﹣（2n+1） ，
即Tn=3+1+ + + +…+ ）﹣（2n+1） =3+ ﹣（2n+1）
=5﹣ ．
【考点】等比数列的通项公式，数列的求和，数列递推式
【解析】【分析】（1）通过首项和公比，联立a1+a2=6、a1a2=a3 ， 可求出a1=q=2，进而利用等比数列的通项公式可得结论；（2）利用等差数列的性质可知S2n+1=（2n+1）bn+1 ， 结合S2n+1=bnbn+1可知bn=2n+1，进而可知 = ，利用错位相减法计算即得结论．
16、（2017 山东）已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3﹣x2=2．（12分）
（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；
（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1 ， 1），P2（x2 ， 2）…Pn+1（xn+1 ， n+1）得到折线P1 P2…Pn+1 ， 求由该折线与直线y=0，x=x1 ， x=xn+1所围成的区域的面积Tn ．
【版权所有：21教育】
【答案】解：（I）设数列{xn}的公比为q，则q＞0，
由题意得 ，
两式相比得： ，解得q=2或q=﹣ （舍），
∴x1=1，
∴xn=2n﹣1 ．
（II）过P1 ， P2 ， P3 ， …，Pn向x轴作垂线，垂足为Q1 ， Q2 ， Q3 ， …，Qn ，
即梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn ，
则bn= =（2n+1）×2n﹣2 ，
∴Tn=3×2﹣1+5×20+7×21+…+（2n+1）×2n﹣2 ， ①
∴2Tn=3×20+5×21+7×22+…+（2n+1）×2n﹣1 ， ②
①﹣②得：﹣Tn= +（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）×2n﹣1
= + ﹣（2n+1）×2n﹣1=﹣ +（1﹣2n）×2n﹣1 ．
∴Tn= ．
【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和
【解析】【分析】（I）列方程组求出首项和公比即可得出通项公式；
（II）从各点向x轴作垂线，求出梯形的面积的通项公式，利用错位相减法求和即可．
模拟题精练
一、单选题
1、（2017广西桂林中学模拟）在等比数列{an}中，若公比q=4，S3=21，则该数列的通项公式an=（ ）
A、4n﹣1
B、4n
C、3n
D、3n﹣1
【答案】A
【考点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：设等比数列{an}的首项为a1 ， 由公比q=4，S3=21， 得 ，∴a1=1．
则 ．
故选：A．
【分析】设出等比数列的首项，结合已知列式求得首项，代入等比数列的通项公式得答案．
2、（2017四川自贡二诊）2015年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利70周年大会在北京天安门广场隆重举行，大会中的阅兵活动向全世界展示了我军威武文明之师的良好形象，展示了科技强军的伟大成就以及维护世界和平的坚定决心，在阅兵活动的训练工作中，不仅使用了北斗导航、电子沙盘、仿真系统、激光测距机、迈速表和高清摄像头等新技术装备，还通过管理中心对每天产生的大数据进行存储、分析、有效保证了阅兵活动的顺利进行，假如训练过程过程中第一天产生的数据量为a，其后每天产生的数据量都是前一天的q（q＞1）倍，那么训练n天产生的总数据量为（ ）
A、a
B、a
C、
D、
【答案】D
【考点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】∵训练过程中第一天产生的数据量为a，其后每天产生的数据量都是前一天的q（q＞1）倍，
∴那么训练n天产生的总数据量为：
Sn=a+aq+aq2+…+aqn﹣1
=．
故选：D．
【分析】由已知得训练n天产生的总数据量为Sn=a+aq+aq2+…+aqn﹣1 ， 由此能求出结果．
3、（2017四川自贡二诊）《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为40%，今共有粮m（m＞0）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m的值分别为（ ） www-2-1-cnjy-com
A、20% 369
B、80% 369
C、40% 360
D、60% 365
【答案】A
【考点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：设“衰分比”为a，甲衰分得b石， 由题意得 ，
解得b=125，a=20%，m=369．
故选：A．
【分析】设“衰分比”为a，甲衰分得b石，由题意列出方程组，由此能求出结果．
4、（2017河北衡水中学大联考）中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里其意是：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走 了 700里．若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为（ ）
A、里
B、1050 里
C、里
D、2100里
【答案】C
【考点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意，设该匹马首日路程（即首项）为a1 ， 公比 ，S7=700，即 ， 解得：
那么：
故选C．
【分析】由题意，可得该匹马每日的路程成等比数列，首项为a1 ， 公比 ，连续行走7天，共走 了 700里，即S7=700，求解a1 ， 即可求解它这14天内所走的总路程S14 ．
5、（2017陕西汉中一模）已知等比数列{an}的前n项积为Tn ， 若log2a2+log2a8=2，则T9的值为（ ） 21cnjy.com
A、±512
B、512
C、±1024
D、1024
【答案】A
【考点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：log2a2+log2a8=2， 可得log2（a2a8）=2，
可得：a2a8=4，则a5=±2，
等比数列{an}的前9项积为T9=a1a2…a8a9=（a5）9=±512．
故选：A．
【分析】利用已知条件求出a2a8的值，然后利用等比数列的性质求解T9的值．
6、（2017湖南郴州三模）《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则塔从上至下的第三层有（ ）盏灯．
A、14
B、12
C、8
D、10
【答案】B
【考点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设第一层有a盏灯， 则由题意知第一层至第七层的灯的盏数构成一个以a1为首项，以 为公比的等比数列，
∴ =381，
解得a1=192，
∴a5=a1×（ ）4=192× =12，
故选：B．
【分析】设第一层有a盏灯，则由题意知第一层至第七层的灯的盏数构成一个以a1为首项，以 为公比的等比数列，由此能求出结果． www.21-cn-jy.com
7、（2017吉林白山二模）在数列{an}中，若 为定值，且a4=2，则a2a3a5a6等于（ ）
A、32
B、4
C、8
D、16
【答案】D
【考点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：设定值 =q，且a4=2，则a2a3a5a6= × = =24=16． 故选：D．
【分析】设定值 =q，且a4=2，可得a2a3a5a6= × = ，即可得出．
8、（2017河南洛阳三模）已知等比数列{an}满足a1= +3，则a9=（ ）
A、
B、
C、648
D、18
【答案】D
【考点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：等比数列{an}满足a1= +3， ∴a52=2a5+3，
解得a5=3或a5=﹣1（舍去）
∵a1= ，
∴a9a1=a52=9，
∴a9=18，
故选：D
【分析】根据等比数列的性质即可求出
9、（2017黑龙江大庆实验中学三模）若等比数列{an}的前n项和为Sn ， =（ ）
A、3
B、7
C、10
D、15
【答案】D
【考点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：∵据 =3，（q≠1），若q=1可得据 =2≠3，故q≠1， ∴ = =3，化简得1﹣q8=3（1﹣q4），可得q8﹣3q4+2=0，解得q4=1或2，q≠1，解得q4=2，
= = =15．
故选：D．
【分析】根据等比数列的性质可知：可设其中公比为q，根据 =3求出q4 ， 再代入 进行求解．
10、（2017黑龙江大庆实验中学三模）在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（ ）盏灯．
A、2
B、3
C、5
D、6
【答案】B
【考点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设第七层有a盏灯，由题意知第七层至第一层的灯的盏数 构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，
∴由等比数列的求和公式可得 =381，解得a=3，
∴顶层有3盏灯，
故选：B．
【分析】由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的求和公式可得a的方程，解方程可得．
11、（2017湖北黄石三中学模拟）等比数列{an}的前n项和为Sn ， 已知a2a5=2a3 ， 且a4与2a7的等差中项为 ，则S5=（ ）
A、29
B、31
C、33
D、36
【答案】B
【考点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：∵数列{an}是等比数列，a2 a3=2a1=a1q =a1 a4 ， ∴a4=2．
∵a4与2a7的等差中项为 ，
∴a4 +2a7 = ，
故有a7 = ．
∴q3= = ，
∴q= ，
∴a1= =16．
∴S5= =31．
故选：B．
【分析】利用a2 a3=2a1 ， 且a4与2a7的等差中项为 ，求出数列的首项与公比，再利用等比数列的求和公式，即可得出结论．
12、（2017湖北襄阳四中五模）已知公差不为0的等差数列{an}与等比数列 ，则{bn}的前5项的和为（ ）
A、142
B、124
C、128
D、144
【答案】B
【考点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：b1=a2=2+d，b2=a4=2+3d，b3=a8=2+7d， 则（2+3d）2=（2+d）（2+7d），d≠0，解得d=2．
∴b1=4，b2=8，公比q=2．
∴{bn}的前5项的和= =124．
故选：B．
【分析】b1=a2=2+d，b2=a4=2+3d，b3=a8=2+7d，利用（2+3d）2=（2+d）（2+7d），d≠0，解得d．即可得出公比q，再利用求和公式即可得出．
13、（2017全国100所名校冲刺）已知数列{an}是等比数列，a1= ，a4=2，则a1+a2+…+a10等于（ ）
A、+31
B、31 +31
C、80
D、+80
【答案】A
【考点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：数列{an}是等比数列，设公比为q，a1= ，a4=2， ∴q3= = =2 =（ ）3 ，
∴q= ，
∴a1+a2+…+a10= = +31，
故选：A
【分析】先求出公比，再根据等比数列的求和公式计算即可． 21教育网
填空题
14、（2017安徽示范高中皖北协作区模拟）我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于20尺，该女子所需的天数至少为________．
【答案】7
【考点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意可得：该女子每天织布的量组成了等比数列{an}，且其公比q=2， 若她5天共织布5尺，即S5=5，则 =5，解可得a1= ，
若Sn≥20，则有 ≥20，即2n≥125
解可得n≥7，
即若要使织布的总尺数不少于20尺，该女子所需7天；
故答案为：7．
【分析】根据题意，分析可得该女子每天织布的量组成了等比数列{an}，且其公比q=2，又由她5天共织布5尺，可得S5= =5，解可得a1的值，结合题意，可得Sn= ≥20，解可得n的范围，即可得答案．
15、（2017河北衡水武邑中学四模）已知正项等比数列{an}中，a1=1，其前n项和为Sn（n∈N*），且 ，则S4=________． 21世纪教育网版权所有
【答案】15
【考点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：正项等比数列{an}中，a1=1，且 ， ∴1﹣ = ，
即q2﹣q﹣2=0，
解得q=2或q=﹣1（舍去），
∴S4= =15，
故答案为：15．
【分析】由题意先求出公比，再根据前n项和公式计算即可．
16、（2017湖南长沙天心长郡中学模拟）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”，如果墙厚 ，________天后两只老鼠打穿城墙．
【答案】6
【考点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意，n天后两只老鼠打洞之和： Sn= + = = ，
∵墙厚 ，
∴Sn= = ，
解得n=6．
故答案为：6．
【分析】由题意，n天后两只老鼠打洞之和：Sn= + = ，由墙厚 ，能求出结果．
17、（2017湖南师大附中一模）等比数列{an}中，若a2a5=2a3 ， a4与a6的等差中项为 ，则a1=________．
【答案】±16
【考点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：设等比数列{an}的公比为q． ∵a2a5=2a3 ，
∴ =2a1q2 ， 化为： =2=a4 ．
∵a4与a6的等差中项为 ，∴a4+a6=2× ，
∴ = ．
∴q2= ，解得q= ．
则a1× =2，解得a1=±16．
故答案为：±16．
【分析】设等比数列{an}的公比为q．由a2a5=2a3 ， 可得 =2a1q2 ， 化为： =2=a4 ． 由a4与a6的等差中项为 ，可得a4+a6=2× ，即 = ．代入解出即可得出．
三、综合题
18、（2017辽宁大连二模）已知数列{an}的前n项和为Sn ． 已知a1=2，Sn+1=4an+2．
(1)设bn=an+1﹣2an ， 证明数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【答案】（1）解：由S2=4a1+2有a1+a2=4a1+2，解得a2=3a1+2=8， 故a2﹣2a1=4，
又an+2=Sn+2﹣Sn+1=4an+1+2﹣（4an+2）=4an+1﹣4an ，
于是an+2﹣2an+1=2（an+1﹣2an），
因此数列{an+1﹣2an}是首项为4，公比为2的等比数列．
因为bn=an+1﹣2an ，
所以数列{bn}是等比数列
（2）解：由（1）可得an+1﹣2an=4×2n﹣1=2n+1 ， 于是 ﹣ =1，
因此数列{ }是以1为首项，以1为公差的等差数列，
所以 =1+n﹣1=n，
所以an=n 2n
【考点】等比数列的通项公式，数列递推式
【解析】【分析】（1）由已知推导出数列{an+1﹣2an}是首项为4，公比为2的等比数列，问题得以证明；（2）由an+1﹣2an=2n+1 ， 得到数列{ }是以1为首项，以1为公差的等差数列，问题得以解决．
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