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2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
5.4 数列求和
考纲剖析
1．熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．
2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.
知识回顾
1．公式法
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝ .
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝
2．数列求和的几种常用方法
(1)分组求和法
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．21世纪教育网版权所有
(2)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
(3)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．21cnjy.com
(4)倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．2·1·c·n·j·y
(5)并项求和法
在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．
形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.【来源：21·世纪·教育·网】
3．常见的拆项公式
(1)＝ ；
(2)＝ ；
(3)＝ .
精讲方法
二、数列的综合应用
（一）等差、等比数列的综合问题
1、等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点；
2、利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值。同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解。
（二）以等差数列为模型的实际应用
1、解等差数列应用题，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列问题，使关系明朗化、标准化。然后用等差数列知识求解。这其中体现了把实际问题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力。
2、解等差数列应用题的关键是建模，建模的思路是：
从实际出发，通过抽象概括建立数列模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：
(三)以等比数列为模型的实际应用
1、函数的实际应用问题中，有许多问题以等比数列为模型，此类问题往往从应用问题给出的初始条件入手，推出若干项，逐步探索数列通项或前n项和，或前后两项的递推关系，从而建立等比数列模型，要注意题目给出的一些量的结果，合理应用。
2、与等比数列联系较大的是“增长率”、“递减率”的概念，在经济上多涉及利润、成本、效益的增减问题；在人口数量的研究中也要研究增长率问题；金融问题更多涉及复利的问题。这都与等比数列有关。21·世纪*教育网
真题精析
一、选择题
1．（2017新课标Ⅱ）等差数列的前项和为，，，则 ．
2．（2013大纲）已知数列满足，则的前10项和等于
A． B． C． D．
3．设，，在中，正数的个数是
A．25 B．50 C．75 D．100
二、填空题
4．（2015新课标Ⅱ）设是数列的前项和，且，则=___．
5．（2015江苏）数列满足，且（），则数列前10项的和为 ．
6．（2013新课标Ⅰ）若数列{}的前n项和为＝，则数列{}的通项公式是=______.
7．（2013湖南）设为数列的前n项和，则
（1）_____；
（2）___________．
三、解答题
8．（2017江苏）对于给定的正整数，若数列满足
对任意正整数总成立，则称数列是“数列”．
（1）证明：等差数列是“数列”；
（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列．
9．（2016年全国II）为等差数列的前n项和，且，．记，其中表示不超过x的最大整数，如，．21教育网
（Ⅰ）求，，；
（Ⅱ）求数列的前项和．
10．（2015新课标Ⅰ）为数列的前项和，已知，
（Ⅰ）求的通项公式：
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
11．（2014广东）设各项均为正数的数列的前项和为，且满足
．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）证明：对一切正整数，有
12．（2013湖南）设为数列{}的前项和，已知，2，N
(Ⅰ)求，，并求数列｛｝的通项公式；
(Ⅱ)求数列｛｝的前项和．
模拟题精练
一、单选题
1、数列1，﹣3，5，﹣7，9，…的一个通项公式为（ ）
A、an=2n﹣1
B、an=（1﹣2n）
C、an=（2n﹣1）
D、an=（2n+1）
二、填空题
2、已知等差数列{an）的前n项和为Sn=﹣n2+（10+k）n+（k﹣1），则实数k=________ ，an=________ 21·cn·jy·com
3、（2017浙江绍兴一模）已知等差数列{an}，等比数列{bn}的前n项和为Sn ， Tn（n∈N*），若Sn= n2+ n，b1=a1 ， b2=a3 ， 则an=________，Tn=________．
解答题
4、已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），等比数列{bn}的公比为q（q＞0），且满足a1=b1=1，a2=b3 ， a6=b5
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}的前n项和为Tn ， 求证：++…+＜2．
5、已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1=1且a1 ， a3 ， a9成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若求数列{bn}的前n项和Sn ． www.21-cn-jy.com
四、综合题
6、在等差数列{an}中，a2=4，a3+a8=15．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=2 +2n+1，求b1+b2+b3+…+b10的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
5.4 数列求和（答案）
考纲剖析
1．熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．
2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.
知识回顾
1．公式法
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝＝na1＋d.
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝
3．常见的拆项公式
(1)＝－；
(2)＝；
(3)＝－.
真题精析
1．【解析】设等差数列的首项为，公差为，则，
解得，，
∴，所以，
所以．
2．【解析】∵，∴是等比数列
又，∴，∴，故选C．
3．D 【解析】由数列通项可知，当，时，，当，
时，，因为，∴都是
正数；当，同理也都是正数，所以正数的个
数是100.
4．【解析】当时，，所以，因为，所以，即，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以．21世纪教育网版权所有
5．【解析】由题意得：
所以．
6．【解析】当=1时，==，解得=1，
当≥2时，==－()=，即=，
∴{}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴=.
7．（1），（2）
【解析】(1)∵．
时，a1＋a2＋a3＝－a3－ ①
时，a1＋a2＋a3＋a4＝a4－，∴a1＋a2＋a3＝－. ②
由①②知a3＝－．
(2)时，，∴
当n为奇数时，；
当n为偶数时，．
故，
∴
．
8．【解析】证明:（1）因为是等差数列，设其公差为，则，
从而，当时，
，
所以，
因此等差数列是“数列”.
（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此，
当时，，①
当时，.②
由①知，，③
，④
将③④代入②，得，其中，
所以是等差数列，设其公差为.
在①中，取，则，所以，
在①中，取，则，所以，
所以数列是等差数列.
9．【解析】（Ⅰ）设的公差为，，
∴，∴，∴．
∴，，．
（Ⅱ）记的前项和为，则
．
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
∴．
10．【解析】（Ⅰ）当时，，因为，所以=3，
当时，，即，因为，所以=2，
所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，
所以=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，
所以数列{}前n项和为
=
=.
11．【解析】（Ⅰ）
所以，
（Ⅱ）
（Ⅲ）
．
12．【解析】(Ⅰ)
-
（Ⅱ）
上式错位相减：
．
模拟题精练
一、单选题
1、数列1，﹣3，5，﹣7，9，…的一个通项公式为（ ）
A、an=2n﹣1
B、an=（1﹣2n）
C、an=（2n﹣1）
D、an=（2n+1）
【答案】B
【考点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】∵数列{an}各项值为1，﹣3，5，﹣7，9，…
∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴|an|=2n﹣1
又∵数列的奇数项为正，偶数项为负，
∴an=（﹣1）n+1（2n﹣1）=（﹣1）n（1﹣2n）．
故选B．
【分析】首先注意到数列的奇数项为正，偶数项为负，其次数列各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，从而易求出其通项公式． 21教育网
二、填空题
2、已知等差数列{an）的前n项和为Sn=﹣n2+（10+k）n+（k﹣1），则实数k=________ ，an=________ 21cnjy.com
【答案】1；﹣2n+12
【考点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】∵等差数列{an）的前n项和为Sn=﹣n2+（10+k）n+（k﹣1），
∴k=1，
∴Sn=﹣n2+11n，
当n=1时，a1=﹣1+11=10；
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣n2+11n﹣[﹣（n﹣1）2+11（n﹣1）]=﹣2n+12，
当n=1时上式也成立．
∴an=﹣2n+12．
故答案为：1；﹣2n+12．
【分析】等差数列{an）的前n项和为Sn=﹣n2+（10+k）n+（k﹣1），可得k=1，可得Sn=﹣n2+11n；当n=1时，可得a1；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 即可得出． 21·cn·jy·com
3、（2017浙江绍兴一模）已知等差数列{an}，等比数列{bn}的前n项和为Sn ， Tn（n∈N*），若Sn= n2+ n，b1=a1 ， b2=a3 ， 则an=________，Tn=________．
【答案】3n﹣1；
【考点】等差数列的前n项和，等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：a1=2=b1 ， n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1= n2+ n﹣ =3n﹣1．
n=1时也成立，∴an=3n﹣1．
b2=a3=8，公比q= =4．
∴Tn= = ．
故答案为：3n﹣1， ．
【分析】利用a1=2=b1 ， n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 可得an ． b2=a3=8，公比q=4．再利用等比数列的求和公式即可得出． www.21-cn-jy.com
解答题
4、已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），等比数列{bn}的公比为q（q＞0），且满足a1=b1=1，a2=b3 ， a6=b5
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}的前n项和为Tn ， 求证：++…+＜2．
【答案】（1）解：满足a1=b1=1，a2=b3 ， a6=b5 ，
∴，解得：，
故an=3n﹣2．
（2）证明：由（1）可得：bn=2n﹣1 ，
∴Tn==2n﹣1，
∵＜ （n≥2时），
∴当n≥2时，
∴++…+=++…+
＜+…+=1+++…+==2(1-)＜2．
当n=1时，=1＜2符合．
综上所述，不等式成立．
【考点】数列的求和，等差数列的性质
【解析】【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）由（1）可得：bn=2n﹣1 ， 可得Tn=2n﹣1，可得＜ （n≥2时），即可证明． 2·1·c·n·j·y
5、已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1=1且a1 ， a3 ， a9成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若求数列{bn}的前n项和Sn ． 【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，
∵a1=1，∴a3=1+2d，a9=1+8d，
又∵a1 ， a3 ， a9成等比数列，
∴（1+2d）2=1+8d，
解得：d=1或d=0（舍），
∴数列{an}的通项an=1+（n﹣1）=n；
（Ⅱ）∵an=n，
∴=4n+2n，
∴Sn=b1+b2+…+bn
=（4+42+…+4n）+2（1+2+…+n）
=+n2+n
= 4n+1+n2+n﹣．
【考点】数列的求和，等比数列的性质
【解析】【分析】（Ⅰ）通过设数列{an}的公差为d，利用a1 ， a3 ， a9成等比数列，计算即可；
（Ⅱ）通过an=n，可得bn=4n+2n，分类计算即可． 21·世纪*教育网
四、综合题
6、在等差数列{an}中，a2=4，a3+a8=15．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=2 +2n+1，求b1+b2+b3+…+b10的值．
【答案】（1）解：等差数列{an}的公差为d，∵a2=4，a3+a8=15． ∴ ，解得a1=3，d=1．
∴an=3+（n﹣1）=n+2
（2）解：bn=2 +2n+1=2n+（2n+1）， ∴b1+b2+b3+…+b10= + =211﹣118
【考点】等差数列的通项公式，数列的求和
【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出．（2）利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出． www-2-1-cnjy-com
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