高中数学全一册学案（打包27套）新人教A版必修4

3.2　简单的三角恒等变换
1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用.(重点)
2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.(难点、易错点)
[基础·初探]
教材整理　半角公式
阅读教材P139～P140例2以上内容，完成下列问题.
sin＝±
，
cos＝±
，
tan＝±
，
tan＝＝＝，
tan＝＝＝.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)cos
＝.(　　)
(2)存在α∈R，使得cos
＝cos
α.(　　)
(3)对于任意α∈R，sin
＝sin
α都不成立.(　　)
(4)若α是第一象限角，则tan
＝.(　　)
【解析】　(1)×.只有当－＋2kπ≤≤＋2kπ(k∈Z)，即－π＋4kπ≤α≤π＋4kπ(k∈Z)时，cos
＝.
(2)√.当cos
α＝－＋1时，上式成立，但一般情况下不成立.
(3)×.当α＝2kπ(k∈Z)时，上式成立，但一般情况下不成立.
(4)√.若α是第一象限角，则是第一、三象限角，此时tan
＝成立.
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
[小组合作型]
化简求值问题
　(1)已知cos
θ＝－，且180°<θ<270°，求tan
；
(2)化简：(180°<α<360°).
【精彩点拨】　(1)①cos
θ＝－→tan
＝
±→tan
的值；
②cos
θ＝－→tan
＝→tan
的值.
对于(1)的思考要注意符号的选择.
(2)化α为，消去数值1，再升幂判断的范围，然后化简得结论.
【自主解答】　(1)法一：∵180°<θ<270°，∴90°<<135°，即是第二象限角，∴tan
<0，
∴tan
＝－＝－＝－2.
法二：∵180°<θ<270°，即θ是第三象限角，
∴sin
θ＝－＝－＝－，
∴tan
＝＝＝－2.
(2)原式
＝
＝
＝.
∵180°<α<360°，∴90°<<180°，∴cos
<0，
∴原式＝＝cos
α.
1.解决给值求值问题的方法及思路
(1)给值求值问题，其关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函数的差异，经过适当变换已知式或变换欲求式解题.
(2)给值求值的重要思想是建立已知式与欲求式之间的联系，应注意“配角”方法的应用.
2.三角函数化简的思路及原则：
(1)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次.
(2)根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面加以考虑：
①运用公式之后能否出现特殊角；
②运用公式之后能否进行提取公因式，能否约分，能否合并或消项；
③运用公式之后能否使三角函数式结构更加简单，各种关系更加明显，从而为下一步选用公式进行变换创造条件.
(3)对于三角函数的和差化积，有时因为使用公式不同，或选择题的思路不同，化积结果可能不一致.
[再练一题]
1.(1)已知sin
α＝，cos
α＝，则tan
等于(　　)
A.2－
B.2＋
C.－2
D.±(－2)
(2)已知π<α<，化简：
＋.
【导学号：00680075】
【解析】　(1)因为sin
α＝>0，cos
α＝>0，
所以α的终边落在第一象限，的终边落在第一、三象限，
所以tan
>0，故tan
＝
＝＝－2.
【答案】　C
(2)原式＝
＋.
∵π<α<，∴<<，∴cos
<0，sin
>0，
∴原式＝＋
＝－＋
＝－cos
.
三角恒等式的证明
　(1)求证：1＋2cos2θ－cos
2θ＝2；
(2)求证：
＝.
【精彩点拨】　(1)可由左向右证：先把左边cos2
θ降幂化为同角后整理可证.
(2)可先从左边表达式分母中升幂缩角入手，再通过改变函数结构向右边转化.
【自主解答】　(1)左边＝1＋2cos2θ－cos
2θ＝1＋2×－cos
2θ＝2＝右边.
所以原等式成立.
(2)左边＝
＝＝
＝＝＝＝右边.
所以原等式成立.
三角恒等式证明的五种常用方法：
(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简.
(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子.
(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同.
(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”.
(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.
[再练一题]
2.求证：＝1－.
【证明】　法一：左边
＝
＝＝1－
＝1－＝右边，
∴原等式成立.
法二：右边＝1－
＝
＝
＝＝左边，
∴原等式成立.
三角函数在实际问题中的应用
　如图3 2 1所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？
图3 2 1
【精彩点拨】　→→
【自主解答】　设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝Rsin
α，OB＝Rcos
α，
∴l＝OA＋AB＋OB
＝R＋Rsin
α＋Rcos
α
＝R(sin
α＋cos
α)＋R
＝Rsin＋R.
∵0<α<，∴<α＋<，
∴l的最大值为R＋R＝(＋1)R，此时，α＋＝，即α＝，
即当α＝时，△OAB的周长最大.
1.解答此类问题，关键是合理引入辅助角α，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.
2.在求解过程中，要注意三点：(1)充分借助平面几何性质，寻找数量关系；(2)注意实际问题中变量(角α)的范围；(3)重视三角函数有界性的影响.
[再练一题]
3.有一块以O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿地，使其一边AD落在圆的直径上，另外两点B，C落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？
【解】　如图所示，设∠AOB＝θ，则AB＝asin
θ，OA＝acos
θ.
设矩形ABCD的面积为S，则S＝2OA·AB，
∴S＝2acos
θ·asin
θ＝a2·2sin
θcos
θ＝a2sin
2θ.
∵θ∈，∴2θ∈(0，π).
因此，当2θ＝，
即θ＝时，Smax＝a2.
这时点A，D到点O的距离为a，
矩形ABCD的面积最大值为a2.
[探究共研型]
三角恒等变换与三角函数图象性质的综合
探究1　如何求函数y＝sin＋2sin2(x∈R)的最小正周期？
【提示】　y＝sin＋1－cos
＝sin＋1＝sin＋1，
所以函数的最小正周期T＝π.
探究2　研究形如f(x)＝asin2ωx＋bsin
ωxcos
ωx＋ccos2ωx的性质时应首先把函数f(x)化简成什么形式再解答？
【提示】　研究形如f(x)＝asin2ωx＋bsin
ωxcos
ωx＋ccos2ωx的性质时，先化成f(x)＝sin(ωx＋φ)＋c的形式再解答.
　已知函数f(x)＝4cos
ωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性.
【精彩点拨】　利用三角公式化简函数式，写为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式，再讨论函数的性质.
【自主解答】　(1)f(x)＝4cos
ωx·sin
＝2sin
ωx·cos
ωx＋2cos2
ωx
＝(sin
2ωx＋cos
2ωx)＋＝2sin＋.
因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，从而有＝π，故ω＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝2sin＋.
若0≤x≤，则≤2x＋≤.
当≤2x＋≤，
即0≤x≤时，f(x)单调递增；
当<2x＋≤，
即综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.
三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y＝asin
ωx＋bcos
ωx＋k的形式，借助辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k(或y＝Acos(ωx＋φ)＋k)的形式，将ωx＋φ看作一个整体研究函数的性质.
[再练一题]
4.已知函数f(x)＝－sin＋6sin
xcos
x－2cos2
x＋1，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
【解】　(1)f(x)＝－sin
2x－cos
2x＋3sin
2x－cos
2x
＝2sin
2x－2cos
2x
＝2sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝2sin，
由于x∈，所以2x－∈，
则sin∈，
所以f(x)在上的最大值为2，最小值为－2.
1.若cos
α＝，α∈(0，π)，则cos
的值为(　　)
A.　　　　　
B.－
C.
D.－
【解析】　由题意知∈，∴cos
>0，
cos
＝＝.
【答案】　C
2.已知cos
α＝，α∈，则sin
等于(　　)
A.
B.－
C.
D.
【解析】　由题知∈，∴sin
>0，sin
＝＝.
【答案】　A
3.已知sin
α－cos
α＝－，则sin
2α的值等于(　　)
A.
B.－
C.－
D.
【解析】　由sin
α－cos
α＝－，
(sin
α－cos
α)2＝1－2sin
αcos
α＝1－sin
2α＝，所以sin
2α＝－.
【答案】　C
4.函数y＝sin
2x＋cos2x的最小正周期为________.
【解析】　∵y＝sin
2x＋cos2x＝sin
2x＋cos
2x＋＝sin＋，∴函数的最小正周期T＝＝π.
【答案】　π
5.求证：4sin
θcos2＝2sin
θ＋sin
2θ.
【证明】　法一：左边＝2sin
θ·2cos2＝2sin
θ(1＋cos
θ)
＝2sin
θ＋2sin
θcos
θ＝2sin
θ＋sin
2θ＝右边，
所以原式成立.
法二：右边＝2sin
θ＋2sin
θcos
θ
＝2sin
θ(1＋cos
θ)＝2sin
θ·2cos2
＝4sin
θcos2＝左边，
所以原式成立.2.2.1　向量加法运算及其几何意义
1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及其运算律.(难点)
2.掌握向量加法运算法则，能熟练地进行加法运算.(重点)
3.数的加法与向量的加法的联系与区别.(易混点)
[基础·初探]
教材整理1　向量加法的定义及其运算法则
阅读教材P80～P81“例1”以上内容，完成下列问题.
1.向量加法的定义
定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
对于零向量与任一向量a，规定＝a＋0＝a.
2.向量求和的法则
三角形法则
已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作A＝a，B＝b，则向量A叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝A＋B＝A
平行四边形法则
已知两个不共线向量a，b，作A＝a，A＝b，以A，A为邻边作 ABCD，则对角线上的向量A＝a＋b.
对于任意一个四边形ABCD，下列式子不能化简为的是________.
(1)＋＋；(2)＋＋；
(3)＋＋.
【解析】　在(1)中，＋＋＝＋＝；在(2)中，＋＋＝＋＝；在(3)中，＋＋＝＋＝.
【答案】　(3)
教材整理2　向量加法的运算律
阅读教材P82～P83例2以上内容，完成下列问题.
交换律
结合律
a＋b＝b＋a
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)a＋0a.(　　)
(2)a＋b＝b＋a.(　　)
(3)a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c.(　　)
(4)＋＝2.(　　)
【解析】　根据运算律知，(1)(2)(3)显然正确，对于(4)，应为＋＝0.故(4)错误.
【答案】　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
[小组合作型]
向量加法运算法则的应用
　(1)如图2 2 1，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)：
图2 2 1
①＋＝________；
②＋＝________；
③＋＋＝________.
(2)若正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c.试作出向量a＋b＋c，并求出其模的大小.
【精彩点拨】　利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则求和及作图.
【自主解答】　(1)如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：
①＋＝＋＝.
②＋＝＋＝.
③＋＋＝＋＋＝.
【答案】　(1)①　②　③
(2)根据平行四边形法则可知，a＋b＝＋＝.
根据三角形法则，延长AC，在AC的延长线上作＝，则a＋b＋c＝＋＝＋＝(如图所示).
所以|a＋b＋c|＝||＝2＝2.
1.向量求和的注意点：
(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用.
(2)两个向量的和向量仍是一个向量.
(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用.
2.利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量.
[再练一题]
1.如图2 2 2所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：
图2 2 2
(1)＋；
(2)＋.
【解】　(1)由图可知，四边形OABC为平行四边形.由向量加法的平行四边形法则，得＋＝.
(2)由图可知，＝＝＝，
∴＋＝＋＝.
向量加法运算律的应用
　(1)下列等式不正确的是(　　)
①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；②＋＝0；③＝＋＋.
A.②③　　　　　　　
B.②
C.①
D.③
(2)设A，B，C，D是平面上任意四点，试化简：
①＋＋；
②＋＋＋.
【精彩点拨】　可利用向量加法的交换律使求和的各向量首尾相接，然后再利用加法法则求和.
【自主解答】　(1)由向量的加法满足结合律知①正确；因为＋＝0，故②不正确；＋＋＝＋＋＝成立，故③正确.
【答案】　B
(2)①＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
②＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝00.
向量加法运算律的意义和应用原则：
(1)意义：
向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.
实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
(2)应用原则：
利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.
[再练一题]
2.化简：(1)(＋)＋(＋)；
(2)＋(＋)＋.
【解】　(1)(＋)＋(＋)
＝(＋)＋(＋)
＝＋＝.
(2)＋(＋)＋
＝＋＋＋＝0.
向量加法的实际应用
　如图2 2 3所示，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800
km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800
km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.
【导学号：00680036】
图2 2 3
【精彩点拨】　解答本题先明确飞行路程与两次位移和的含义，再解Rt△ABC，求出||和∠BAC，最后结合图形作答.
【自主解答】　设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800
km，从B地按南偏东55°的方向飞行800
km，则飞机飞行的路程指的是||＋||；
两次飞行的位移的和指的是＋＝.
依题意，有||＋||＝800＋800＝1
600(km)，
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
所以||＝＝＝800(km).
其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.
从而飞机飞行的路程是1
600
km，两次飞行的位移和的大小为800
km，方向为北偏东80°.
[再练一题]
3.为了调运急需物资，如图2 2 4所示，一艘船从江南岸A点出发，以5
km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东5
km/h.　
图2 2 4
(1)试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度；
(2)求船实际航行的速度的大小与方向.(用与江水的速度方向间的夹角表示)
【解】　(1)如图所示，表示船速，表示水速.
易知AD⊥AB，以AD，AB为邻边作矩形ABCD，
则表示船实际航行的速度.
(2)在Rt△ABC中，||＝5，||＝5，
所以||＝＝
＝＝10.
因为tan∠CAB＝＝，所以∠CAB＝60°.
因此，船实际航行的速度大小为10
km/h，方向与江水的速度方向间的夹角为60°.
[探究共研型]
向量加法的多边形法则
探究1　在△ABC中，若＝a，＝b，＝c，那么a＋b＋c＝0一定成立吗？
【提示】　一定成立.因为在△ABC中，由向量加法的三角形法则＋＝，所以＋＋＝0，那么a＋b＋c＝0.
探究2　如果任意三个向量a，b，c满足条件a＋b＋c＝0，那么表示它们的有向线段是否一定构成三角形？
【提示】　若任意三个向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，则表示它们的有向线段不一定构成三角形，因为当这三个向量为共线向量时，同样有可能满足a＋b＋c＝0，此时，表示它们的有向线段肯定不能构成三角形，所以任意三个向量a，b，c满足a＋b＋c＝时，表示它们的有向线段不一定构成三角形.
探究3　设A1，A2，A3，…，An(n∈N，且n≥3)是平面内的点，则一般情况下，＝＋＋＋…＋.当A1与An重合时，＋＋＋…＋满足什么关系？
【提示】　当A1与An重合时，有＋＋＋…＋＝0.
　如图2 2 5，正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　)
【导学号：70512024】
图2 2 5
A.0　　　　
B.　　　　
C.　　　　
D.
【精彩点拨】　用向量加法的运算律可以实现简化运算的目的，将＋＋变形为＋＋就可以利用向量加法的多边形法则求和向量.
【自主解答】　因为ABCDEF是正六边形，所以BA∥DE，BA＝DE，所以＝，所以＋＋＝＋＋＝＋＋＝.
【答案】　D
三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向量；三是能根据多边形法则作出向量的和向量.
[再练一题]
4.如图2 2 6，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
图2 2 6
(1)＋＋；
(2)＋＋＋.
【解】　(1)＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝.
(2)＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.
1.化简＋＋＋的结果等于(　　)
A.　　　　　　
B.
C.
D.
【解析】　＋＋＋＝＋0.
【答案】　B
2.下列命题中正确的个数为(　　)【导学号：00680037】
(1)如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么(a＋b)∥a；
(2)在平行四边形ABCD中，必有＝；
(3)若＝，则A，B，C，D为平行四边形的四个顶点；
(4)若a，b均为非零向量，则|a＋b|≤|a|＋|b|.
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】　(1)正确；(2)在平行四边形ABCD中，BC∥AD，且BC＝AD，所以＝，正确；(3)A，B，C，D可能共线，所以错误；(4)为向量的三角不等式，所以正确.
【答案】　D
3.在四边形ABCD中，＝＋，则一定有(　　)
A.四边形ABCD是矩形
B.四边形ABCD是菱形
C.四边形ABCD是正方形
D.四边形ABCD是平行四边形
【解析】　由＝＋得＝，即AD＝BC，且AD∥BC，所以四边形ABCD一组对边平行且相等，故为平行四边形.
【答案】　D
4.若a表示“向东走8
km”，b表示“向北走8
km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________.
【解析】　如图所示，作＝a，＝b，
则a＋b＝＋＝.
所以|a＋b|＝||
＝＝8(km)，
因为∠AOB＝45°，
所以a＋b的方向是东北方向.
【答案】　8
km　东北方向
5.已知向量a，b，c，如图2 2 7，求作a＋b＋c.
图2 2 7
【解】　在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，如图，
则由向量加法的三角形法则，得＝a＋b，＝a＋b＋c，
即为所作向量.1.5　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
1.理解参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响；能够将y＝sin
x的图象进行交换得到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象.(难点)
2.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图；能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式.(重点)
3.求函数解析式时φ值的确定.(易错点)
[基础·初探]
教材整理1　φ对函数y＝sin(x＋φ)的图象的影响
阅读教材P49～P50“探索二”以上内容，完成下列问题.
y＝sin
xy＝sin(x＋φ).
将函数y＝sin
x的图象向右平移个单位长度，所得图象的解析式是________.
【解析】　将函数y＝sin
x的图象向右平移个单位长度，所得图象的解析式是y＝sin.
【答案】　y＝sin
教材整理2　ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
阅读教材P50“探索二”以下至P51第六行以上内容，完成下列问题.
y＝sin(x＋φ)ω>1时，所有点的横坐标缩短到原来,0<ω<1时，所有点的横坐标伸长到原来倍
y＝sin(ωx＋φ).
要得到函数y＝sin
2x的图象，只需将函数y＝sin
x图象上所有点的横坐标________.
【解析】　要得到函数y＝sin
2x的图象，只需将函数y＝sin
x图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍.
【答案】　缩短为原来的倍
教材整理3　A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
阅读教材P51第六行以下至P53“例1”以上内容，完成下列问题.
1.y＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ).
2.正弦曲线到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的变换过程：
y＝sin
x的图象y＝sin(x＋φ)的图象y＝sin(ωx＋φ)的图象y＝Asin(ωx＋φ)的图象.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝sin
x的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍所得到的图象的解析式为y＝sin
x.(　　)
(2)把y＝sin的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，所得图象的解析式为y＝sin.(　　)
【答案】　(1)×　(2)×
教材整理4　A，ω，φ的物理意义
阅读教材P54“例2”以上内容，完成下列问题.
在y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)(A>0，ω>0)中，各参数的物理意义.
振幅
A
它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离
周期
T＝
它是物体往复运动一次所需要的时间
频率
f＝＝
它是单位时间内往复运动的次数
相位
ωx＋φ
其中φ为初相
已知函数y＝3sin，则该函数的最小正周期、振幅、初相分别是________，________，________.
【解析】　由函数y＝3sin的解析式知，振幅为3，最小正周期为T＝＝10π，初相为.
【答案】　10π　3　
[小组合作型]
“五点法”作函数图象及相关问题
　作出函数y＝3sin，x∈R的简图，并说明它与y＝sin
x的图象之间的关系.
【导学号：00680024】
【精彩点拨】　列表、描点、连线、成图是“五点法”作图的四个基本步骤，令2x＋取0，，π，，2π即可找到五点.
【自主解答】　列表：
x
－
2x＋
0
π
2π
3sin
0
3
0
－3
0
描点画图，如图：
利用函数的周期性，可以把上述简图向左、右扩展，就得到y＝3sin，x∈R的简图.
从图可以看出，y＝3sin的图象是用下面方法得到的.
法一：，
y＝sin
x的图象
y＝sin的图象
y＝sin的图象
y＝3sin的图象.
法二：，
y＝sin
x的图象
y＝sin
2x的图象y＝sin＝sin的图象y＝3sin的图象.
1.用五点法作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，五个点应是使函数取得最大值、最小值以及曲线与x轴相交的点.
2.图象变换方法一是先平移，后伸缩；方法二是先伸缩，后平移.表面上看，两种变换方法中的平移|φ|和是不同的，但由于平移时的对象已有变化，所以得到的结果都是一致的.
[再练一题]
1.作出函数y＝sin在x∈上的图象.
【解】　令X＝2x－，列表如下：
X
0
π
2π
x
y
0
0
－
0
描点连线得图象如图所示.
三角函数图象之间的变换
　(1)要得到y＝3sin的图象，只需将y＝3sin
2x的图象(　　)
A.向左平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位
(2)把函数y＝sin
x的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移个单位，则所得图象的解析式为(　　)
A.y＝sin　　　　
B.y＝－sin
2x
C.y＝cos
2x
D.y＝sin
(3)已知函数y＝f(x)的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位，这样得到的曲线和y＝2sin
x的图象相同，则函数y＝f(x)的解析式为________.
【精彩点拨】　(1)可利用左右平移时“左加右减”，自变量“x”的加减来判断；
(2)可利用横坐标伸缩到(ω>0)倍时，解析式中“x”换为“ωx”；
(3)可利用纵坐标变为A(A>0)倍时，解析式中在原表达式前应乘以A.
【自主解答】　(1)y＝3sin
2x的图象y＝3sin
2的图象，即y＝3sin的图象.
(2)由题意y＝sin
x的图象
y＝sin
2x的图象
y＝sin
2的图象，
即y＝sin＝cos
2x的图象.
(3)y＝2sin
x的图象
y＝2siny＝2siny＝sin的图象，即f(x)＝－cos
2x的图象.
【答案】　(1)C　(2)C　(3)f(x)＝－cos
2x
三角函数图象平移变换问题的分类及解题策略：
(1)确定函数y＝sin
x的图象经过平移变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行.
(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位.
[再练一题]
2.为了得到函数y＝sin，x∈R的图象，只需把函数y＝sin
x，x∈R的图象上所有的点：
①向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)；
②向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)；
③向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)；
④向右平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变).
其中正确的是________.
【解析】　y＝sin
xy＝sin
y＝sin.
【答案】　③
求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
　如图1 5 1所示的是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，确定其中一个函数解析式.
图1 5 1
【精彩点拨】　解答本题可由最高点、最低点确定A，再由周期确定ω，然后由图象所过的点确定φ.
【自主解答】　法一：由图象知振幅A＝3.
又T＝－＝π，
∴ω＝＝2.又过点，
则得sin＝0，得φ＝，
∴y＝3sin.
法二：由图象知A＝3，且图象过点和，
根据五点作图法原理，有
解得ω＝2，φ＝，∴y＝3sin.
法三：由图象，知A＝3，T＝π，又图象过点A，
∴所求图象由y＝3sin
2x的图象向左平移个单位得到，
∴y＝3sin
2，即y＝3sin.
确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在升区间上还是在下降区间上).
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口.“五点”的ωx＋φ的值具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
[再练一题]
3.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的部分函数图象如图1 5 2所示.求此函数的解析式.
图1 5 2
【解】　由图象可知A＝2，＝－＝1，∴T＝2，
∴T＝＝2，∴ω＝π，
∴y＝2sin(πx＋φ).
代入得2sin＝2，
∴sin＝1.∵|φ|＜，∴φ＝，
∴y＝2sin.
[探究共研型]
函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的对称性
探究1　如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴方程？
【提示】　与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y＝Asin(ω＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x轴.
函数y＝Asin(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)；
函数y＝Acos(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令cos(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴方程为x＝(k∈Z).
探究2　如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的对称中心？
【提示】　与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)图象的对称中心即函数图象与x轴的交点.
函数y＝Asin(ωx＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(k∈Z)成中心对称；
函数y＝Acos(ωx＋φ)对称中心的求法：令cos(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象关于点(k∈Z)成中心对称.
　设函数y＝cos
πx的图象位于y轴右侧的所有对称中心从左依次为A1，A2，…，An，…，则A1
009的坐标是________.
【精彩点拨】　利用y＝Acos(ωx＋φ)的对称中心的坐标即可解出.
【尝试解答】　因为函数y＝cos
ωx的图象的对称中心是点(k∈Z)，所以y＝cos
πx的图象的对称中心为(2k＋1,0)(k∈Z)，所以A1(1,0)，A2(3,0)，…，An(2(n－1)＋1,0)，…，故A1
009的坐标为(2
017,0).
【答案】　(2
017,0)
对于y＝Acos ωx＋φ 的图象的对称轴可由ωx＋φ＝kπ k∈Z 解出，对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ±\f(π,2) k∈Z 解出.
[再练一题]
4.函数f(x)＝3sin的图象为C，则以下结论中正确的是________.(写出所有正确结论的编号)
①图象C关于直线x＝对称；
②图象C关于点对称；
③函数f(x)在区间内是增函数；
④由y＝3sin
2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
【解析】　f＝3sin＝3sin＝－.
f＝3sin＝0，
故①错，②正确.
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤π＋kπ，k∈Z，故③正确.
函数y＝3sin
2x的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝3sin
2＝3sin的图象，故④错.
【答案】　②③
1.函数y＝3sin的振幅和周期分别为(　　)
A.3,4
B.3，
C.，4
D.，3
【解析】　由于函数y＝3sin，∴振幅是3，周期T＝＝4.
【答案】　A
2.将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为(　　)
【导学号：00680025】
A.y＝sin
B.y＝sin
C.y＝sinx
D.y＝sin
【解析】　函数y＝sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得y＝sin的图象，再将此图象向左平移个单位，得y＝sin＝sin的图象，选D.
【答案】　D
3.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的最大值是3，最小正周期是，初相是，则这个函数的表达式是(　　)
A.y＝3sin
B.y＝3sin
C.y＝3sin
D.y＝3sin
【解析】　由已知得A＝3，T＝，φ＝，ω＝＝7，所以y＝3sin.故选B.
【答案】　B
4.函数y＝2sin图象的一条对称轴是____.(填序号)　
①x＝－；②x＝0；③x＝；④x＝－.
【解析】　由正弦函数对称轴可知.
x＋＝kπ＋，k∈Z，x＝kπ＋，k∈Z，k＝0时，x＝.
【答案】　③
5.已知函数f(x)＝2sin，x∈R.
(1)写出函数f(x)的对称轴方程、对称中心的坐标及单调区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.
【导学号：70512016】
【解】　(1)由2x－＝kπ＋，k∈Z，解得f(x)的对称轴方程是x＝＋π，k∈Z；由2x－＝kπ，k∈Z解得对称中心是，k∈Z；由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z解得单调递增区间是，k∈Z；由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，解得单调递减区间是，k∈Z.
(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤π，
∴当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取最小值为－1；
当2x－＝，即x＝时，f(x)取最大值为2.1.1.2　弧
度
制
1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系.
2.理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数.(重点、难点)
3.“角度制”与“弧度制”的区别与联系.(易错点)
[基础·初探]
教材整理1　角度制与弧度制的定义
阅读教材P6～P7第三行以上内容，完成下列问题.
1.
角度制与弧度制的定义
角度制
用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的
弧度制
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度，以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制
2.角的弧度数的计算
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1弧度是1度的圆心角所对的弧.(　　)
(2)1弧度是长度为半径的弧.(　　)
(3)1弧度是1度的弧与1度的角之和.(　　)
(4)1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位.(　　)
【解析】　根据弧度制的定义知(4)正确.
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
教材整理2　角度制与弧度制的换算
阅读教材P7第四行至P8例3以上内容，完成下列问题.
1.角度与弧度的互化
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π
rad
2π
rad＝360°
180°＝π
rad
π
rad＝180°
1°＝
rad≈0.017
45
rad
1
rad＝°≈57.30°
2.一些特殊角与弧度数的对应关系
度
0°
1°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
0
π
2π
将下列角度与弧度进行互化.
(1)20°＝________；(2)－15°＝________；
(3)＝________；(4)－π＝________.
【解析】　(1)20°＝20×＝；(2)－15°＝－15×＝－；(3)π＝π×°＝105°；(4)－π＝－π×°＝－396°.
【答案】　(1)　(2)－　(3)105°　(4)－396°
教材整理3　扇形的弧长与面积公式
阅读教材P8例3内容，完成下列问题.
设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角，则
α为度数
α为弧度数
扇形的弧长
l＝
l＝αR
扇形的面积
S＝
S＝lR＝αR2
圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为________.
【解析】　扇形的面积为×62×＝6π.
【答案】　6π
[小组合作型]
角度与弧度的互化与应用
　(1)把－157°30′化成弧度为________，－化成度为________.
(2)在[0,4π]中，与72°角终边相同的角有________.(用弧度表示)
【精彩点拨】　在进行角度与弧度的换算时，关键是抓住π
rad＝180°，1°＝
rad这一关系.
【自主解答】　(1)－157°30′＝－157.5°＝－×
rad＝－π
rad.－＝－×°＝－75°.
(2)因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z).
当k＝0时，θ＝72°＝π；
当k＝1时，θ＝432°＝π，
所以在[0,4π]中与72°终边相同的角有π，π.
【答案】　(1)－π，－75°
(2)π，π
[再练一题]
1.把56°15′化为弧度是(　　)
【导学号：00680003】
A.　　　　　　　
B.
C.
D.
【解析】　56°15′＝56.25°＝×
rad＝
rad.
【答案】　D
用弧度数表示角
　(1)与角π终边相同的角是(　　)
A.π
B.2kπ－π(k∈Z)
C.2kπ－π(k∈Z)
D.(2k＋1)π＋π(k∈Z)
(2)若α是第三象限的角，则π－是(　　)
A.第一或第二象限的角
B.第一或第三象限的角
C.第二或第三象限的角
D.第二或第四象限的角
【精彩点拨】　(1)可把选择题中角写成2kπ＋α(k∈Z，α∈[0,2π))形式来判断；
(2)可由α范围写出π－范围后，根据k为奇数或偶数来确定π－终边位置.
【自主解答】　(1)A中，＝2π＋π，与角π终边相同，故A错；B中，2kπ－π，k∈Z，当k＝1时，得[0,2π)之间的角为π，故与π有相同的终边，B错；C中，2kπ－π，k∈Z，当k＝2时，得[0,2π)之间的角为π，与π有相同的终边，故C对；D中，(2k＋1)π＋π，k∈Z，当k＝0时，得[0,2π)之间的角为π，故D错.
(2)因为α为第三象限的角，所以有2kπ＋π<α<2kπ＋π，k∈Z，
kπ＋<－kπ－π<－<－kπ－，k∈Z，
故－kπ＋<π－<－kπ＋，k∈Z.
当k为偶数时，π－在第一象限；
当k为奇数时，π－在第三象限，故选B.
【答案】　(1)C　(2)B
1.弧度制下与角α终边相同的角的表示：
在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍.
2.确定角范围时，k的值的取法：
在表示角或角的范围时，通常会用到k，如α＝＋2kπ(k∈Z)①，kπ－<β[再练一题]
2.用弧度表示终边落在如图1 1 6所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合.
图1 1 6
【解】　因为30°＝
rad,210°＝
rad，
这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z，而终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z，从而终边落在阴影部分内的角的集合为.
[探究共研型]
弧长公式与扇形面积公式的应用
探究1　用公式|α|＝求圆心角时，应注意什么问题？
【提示】　应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负.
探究2　在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？
【提示】　若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果出错.
　(1)设扇形的周长为8
cm，面积为4
cm2，则扇形的圆心角的弧度数是(　　)
【导学号：70512003】
A.1
rad　　　　　　
B.2
rad
C.3
rad
D.4
rad
(2)已知扇形的周长为20
cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
【精彩点拨】　(1)可由扇形周长和面积建立方程组，通过解方程组求得；(2)可通过建立扇形面积的目标函数来求解.
【自主解答】　(1)设扇形半径为r，弧长为l，由题意得解得则圆心角α＝＝2
rad.
【答案】　B
(2)设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S，
则l＝20－2r，∴S＝lr＝(20－2r)·r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25(0＜r＜10)，
∴当半径r＝5
cm时，扇形的面积最大，为25
cm2，
此时α＝＝＝2
rad.
∴当它的半径为5
cm，圆心角为2
rad时，
扇形面积最大，最大值为25
cm2.
弧度制下解决扇形相关问题的步骤：
(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝αr2和S＝lr.(这里α必须是弧度制下的角)
(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式.
(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解.
[再练一题]
3.已知一扇形的圆心角为α，所在圆半径为R，周长为4R，则扇形中所含弓形的面积是________.
【解析】　由周长为4R可知扇形的弧长为2R，面积为S＝lR＝·2R·R＝R2，圆心角弧度数为|α|＝＝＝2，所以扇形中除弓形外所含的三角形的高为Rcos
1，底为2Rsin
1，所以此三角形面积为S1＝·Rcos
1·2Rsin
1＝R2sin
1cos
1，从而弓形面积为S2＝S－S1＝R2(1－sin
1cos
1).
【答案】　R2(1－sin
1cos
1)
1.下列转化结果错误的是(　　)
A.22°30′化成弧度是　
B.－化成度是－600°
C.－150°化成弧度是－
D.化成度是15°
【解析】　对于A,22°30′＝22.5×＝，正确；对于B，－＝°＝－600°，正确；对于C，－150°＝－150×＝－，错误；对于D，＝°＝15°，正确.
【答案】　C
2.正确表示终边落在第一象限的角的范围的是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
【解析】　B中，k＝1时为，显然不正确；因为第一象限角不含终边在坐标轴的角，故C，D均错，只有A正确.
【答案】　A
3.与30°角终边相同的角的集合是(　　)
A.
B.{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}
C.{α|α＝2k·360°＋30°，k∈Z}
D.
【解析】　∵30°＝30×
rad＝
rad，
∴与30°终边相同的所有角可表示为α＝2kπ＋，k∈Z，故选
D.
【答案】　D
4.在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为(　　)
【导学号：00680004】
A.π
B.π
C.π
D.π
【解析】　240°＝240×
rad＝π
rad，
∴弧长l＝|α|·r＝π×10＝π，选A.
【答案】　A
5.一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数.
【解】　设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α，
则2R＋l＝4.①
由扇形的面积公式S＝lR，得lR＝1.②
由①②得R＝1，l＝2，∴α＝＝2
rad.
∴扇形的圆心角为2
rad.3.1.3　二倍角的正弦、余弦、正切公式
1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.(重点)
2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.(难点)
3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.(易错点)
[基础·初探]
教材整理　二倍角的正弦、余弦、正切公式
阅读教材P132～P133例5以上内容，完成下列问题.
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
记法
公式
S2α
sin
2α＝2sin
αcos
α
C2α
cos
2α＝cos2α－sin2α
T2α
tan
2α＝
2.余弦的二倍角公式的变形
3.正弦的二倍角公式的变形
(1)sin
αcos
α＝sin
2α，cos
α＝.
(2)1±sin
2α＝(sin
α±cos
α)2.
1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.(　　)
(2)存在角α，使得sin
2α＝2sin
α成立.(　　)
(3)对于任意的角α，cos
2α＝2cos
α都不成立.(　　)
【解析】　(1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠＋kπ(k∈Z)且α≠±＋kπ(k∈Z)，故此说法错误.
(2)√.当α＝kπ(k∈Z)时，sin
2α＝2sin
α.
(3)×.当cos
α＝时，cos
2α＝2cos
α.
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×
2.已知cos
α＝，则cos
2α等于________.
【解析】　由cos
α＝，得cos
2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－.
【答案】　－
[小组合作型]
利用二倍角公式化简三角函数式
　化简求值.
(1)cos4
－sin4
；
(2)sin
·cos
·cos
；
(3)1－2sin2
750°；
(4)tan
150°＋.
【精彩点拨】　灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得.
【自主解答】　(1)cos4
－sin4
＝
＝cos
α.
(2)原式＝·cos
＝sin
·cos
＝
＝sin
＝.
∴原式＝.
(3)原式＝cos(2×750°)＝cos
1
500°
＝cos(4×360°＋60°)＝cos
60°＝.
∴原式＝.
(4)原式＝
＝＝
＝＝
＝－＝－.
∴原式＝－.
二倍角公式的灵活运用：
(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现.主要形式有：
2sin
αcos
α＝sin
2α，sin
αcos
α＝sin
2α，
cos
α＝，cos2
α－sin2
α＝cos
2α，＝tan
2α.
(2)公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式.主要形式有：
1±sin
2α＝sin2
α＋cos2
α±2sin
αcos
α＝(sin
α±cos
α)2，1＋cos
2α＝2cos2
α，cos2
α＝，sin2
α＝.
[再练一题]
1.求下列各式的值：
(1)sin
cos
；
(2)；
(3)－；
(4)cos
20°cos
40°cos
80°.
【解】　(1)原式＝＝＝.
(2)原式＝tan(2×150°)＝tan
300°＝tan(360°－60°)
＝－tan
60°＝－.
(3)原式＝＝
＝
＝＝4.
(4)原式＝
＝
＝＝＝.
利用二倍角公式解决求值问题
　(1)已知sin
α＝3cos
α，那么tan
2α的值为(　　)
A.2　　　　　　　
B.－2
C.
D.－
(2)已知sin＝，则cos的值等于(　　)
A.
B.
C.－
D.－
(3)已知cos
α＝－，sin
β＝，α是第三象限角，β∈.
①求sin
2α的值；②求cos(2α＋β)的值.
【精彩点拨】　(1)可先求tan
α，再求tan
2α；
(2)可利用π－2α＝2及－α＝－求值；
(3)可先求sin
2α，cos
2α，cos
β，再利用两角和的余弦公式求cos(2α＋β).
【自主解答】　(1)因为sin
α＝3cos
α，
所以tan
α＝3，
所以tan
2α＝＝＝－.
(2)因为cos＝sin
＝sin＝，
所以cos＝2cos2－1
＝2×2－1＝－.
【答案】　(1)D　(2)C
(3)①因为α是第三象限角，cos
α＝－，
所以sin
α＝－＝－，
所以sin
2α＝2sin
αcos
α＝2××＝.
②因为β∈，sin
β＝，
所以cos
β＝－＝－，
cos
2α＝2cos2
α－1＝2×－1＝，
所以cos(2α＋β)＝cos
2αcos
β－sin
2αsin
β＝×－×＝－.
直接应用二倍角公式求值的三种类型
(1)sin
α(或cos
α)cos
α(或sin
α)sin
2α(或cos
2α).
(2)sin
α(或cos
α)cos
2α＝1－2sin2
α(或2cos2
α－1).
(3)sin
α(或cos
α)
[再练一题]
2.(1)已知α∈，sin
α＝，则sin
2α＝______，cos
2α＝________，tan
2α＝________.
(2)已知sinsin＝，且α∈，求tan
4α的值.
【导学号：70512043】
【解析】　(1)因为α∈，sin
α＝，所以cos
α＝－，所以sin
2α＝2sin
αcos
α＝2××＝－，cos
2α＝1－2sin2
α＝1－2×2＝，tan
2α＝＝－.
【答案】　－　　－
(2)因为sin＝sin
＝cos，
则已知条件可化为sincos＝，
即sin＝，
所以sin＝，
所以cos
2α＝.因为α∈，所以2α∈(π，2π)，
从而sin
2α＝－＝－，
所以tan
2α＝＝－2，
故tan
4α＝＝－＝.
利用二倍角公式证明
　求证：(1)cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos
2Acos
2B；
(2)cos2θ(1－tan2θ)＝cos
2θ.
【精彩点拨】　(1)可考虑从左向右证的思路：先把左边降幂扩角，再用余弦的和、差角公式转化为右边形式.
(2)证法一：从左向右：切化弦降幂扩角化为右边形式；
证法二：从右向左：利用余弦二倍角公式升幂后向左边形式转化.
【自主解答】　
(1)左边＝－
＝
＝(cos
2Acos
2B－sin
2Asin
2B＋cos
2Acos
2B＋sin
2Asin
2B)
＝cos
2Acos
2B＝右边，
∴等式成立.
(2)法一：左边＝cos2θ
＝cos2θ－sin2θ＝cos
2θ＝右边.
法二：右边＝cos
2θ＝cos2θ－sin2θ
＝cos2θ＝cos2θ(1－tan2θ)＝左边.
证明问题的原则及一般步骤：
1 观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.
2 证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.
[再练一题]
3.证明：＝tan
α＋.
【导学号：00680072】
【证明】　左边＝＝
＝＝tan
α＋＝右边.
所以
＝tan
α＋成立.
[探究共研型]
倍角公式的灵活运用
探究1　请利用倍角公式化简：(2π<α<3π).
【提示】　∵2π<α<3π，
∴π<<，<<，
∴＝＝＝＝2sin
.
探究2　如何求函数f(x)＝2cos2x－1－2·sin
xcos
x(x∈R)的最小正周期？
【提示】　求函数f(x)的最小正周期，可由f(x)＝(2cos2x－1)－×(2sin
xcos
x)＝cos
2x－sin
2x＝2sin，知其最小正周期为π.
　求函数f(x)＝5cos2x＋sin2x－4sin
xcos
x，x∈的最小值，并求其单调减区间.
【精彩点拨】　→→→
【自主解答】　f(x)＝5·＋·－2sin
2x
＝3＋2cos
2x－2sin
2x
＝3＋4
＝3＋4
＝3＋4sin＝3－4sin.
∵≤x≤，∴≤2x－≤，
∴sin∈，
∴当2x－＝，即x＝时，
f(x)取最小值为3－2.
∵y＝sin在上单调递增，
∴f(x)在上单调递减.
本题考查二倍角公式，辅助角公式及三角函数的性质.解决这类问题经常是先利用公式将函数表达式化成形如y＝Asin ωx＋φ 的形式，再利用函数图象解决问题.
[再练一题]
4.求函数y＝sin4x＋2sin
xcos
x－cos4
x的最小正周期和最小值，并写出该函数在[0，π]上的单调递减区间.
【解】　y＝sin4x＋2sin
xcos
x－cos4x
＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＋2sin
xcos
x
＝－cos
2x＋sin
2x
＝2＝2sin，
所以T＝＝π，ymin＝－2.
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
又x∈[0，π]，所以令k＝0，得函数的单调递减区间为.
1.sin
22°30′·cos
22°30′的值为(　　)
A.
B.
C.－
D.
【解析】　原式＝sin
45°＝.
【答案】　B
2.已知sin
x＝，则cos
2x的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】　因为sin
x＝，
所以cos
2x＝1－2sin2
x＝1－2×2＝.
【答案】　A
3.的值为(　　)
【导学号：00680073】
A.－
B.－
C.
D.
【解析】　原式＝cos2－sin2＝cos
＝.
【答案】　D
4.已知tan
α＝－，则＝________.
【解析】　＝＝＝tan
α－＝－.
【答案】　－
5.求下列各式的值：
(1)cos
cos
；
(2)－cos2.
【解】　(1)原式＝
＝＝＝＝.
(2)原式＝
＝－
＝－cos
＝－.3.1.2　两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式.(重点)
2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.(难点)
3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.(易错点)
[基础·初探]
教材整理1　两角和与差的余弦公式
阅读教材P128“思考”以下至“探究”以上内容，完成下列问题.
名称
简记符号
公式
使用条件
两角差的余弦公式
C(α－β)
cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
α，β∈R
两角和的余弦公式
C(α＋β)
cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β
α，β∈R
cos
75°cos
15°－sin
75°sin
15°的值等于________.
【解析】　逆用两角和的余弦公式可得
cos
75°cos
15°－sin
75°sin
15°＝cos(75°＋15°)＝cos
90°＝0.
【答案】　0
教材整理2　两角和与差的正弦公式
阅读教材P128“探究”以下内容，完成下列问题.
1.公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正弦
S(α＋β)
sin(α＋β)＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β
α，β∈R
两角差的正弦
S(α－β)
sin(α－β)＝sin
αcos
β－cos
αsin
β
α，β∈R
2.重要结论－辅助角公式
y＝asin
x＋bcos
x＝sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos
θ＝，sin
θ＝.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.(　　)
(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin
α－sin
β成立.(　　)
(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin
α＋sin
β都不成立.(　　)
(4)sin
54°cos
24°－sin
36°sin
24°＝sin
30°.(　　)
【解析】　(1)√.根据公式的推导过程可得.
(2)√.当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin
α－sin
β.
(3)×.当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin
α＋sin
β成立.
(4)√.因为sin
54°cos
24°－sin
36°sin
24°
＝sin
54°cos
24°－cos
54°sin
24°＝sin(54°－24°)＝sin
30°，故原式正确.
【答案】　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
教材整理3　两角和与差的正切公式
阅读教材P129“探究”以下至“例3”以上内容，完成下列问题.
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正切
T(α＋β)
tan(α＋β)＝
α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
且tan
α·tan
β≠1
两角差的正切
T(α－β)
tan(α－β)＝
α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
且tan
α·tan
β≠－1
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan
α＋tan
β成立.(　　)
(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立.(　　)
(3)tan(α＋β)＝等价于tan
α＋tan
β＝tan(α＋β)·(1－tan
αtan
β).(　　)
【解析】　(1)√.当α＝0，β＝时，tan(α＋β)＝tan＝tan
0＋tan
，但一般情况下不成立.
(2)×.两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z).
(3)√.当α≠kπ＋(k∈Z)，β≠kπ＋(k∈Z)，α＋β≠kπ＋(k∈Z)时，由前一个式子两边同乘以1－tan
αtan
β可得后一个式子.
【答案】　(1)√　(2)×　(3)√
[小组合作型]
灵活应用和、差角公式化简三角函数式
　(1)＝(　　)
A.－
B.－
C.
D.
(2)化简求值：
①；
②sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)；
③tan
20°＋tan
40°＋tan
20°·tan
40°.
【精彩点拨】　(1)化简求值应注意公式的逆用.
(2)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值.
【自主解答】　(1)
＝
＝
＝＝sin
30°＝.
【答案】　C
(2)①原式＝
＝tan(45°＋75°)＝tan
120°＝－.
∴原式＝－.
②设α＝θ＋15°，
则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－cos
α
＝＋－cos
α＝0.
∴原式＝0.
③原式＝tan
60°(1－tan
20°tan
40°)＋tan
20°·tan
40°＝.
∴原式＝.
1.公式T(α＋β)，T(α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan
α·tan
β，tan
α＋tan
β(或tan
α－tan
β)，tan(α＋β)(或tan(α－β)).三者知二可表示出或求出第三个.
2.化简过程中注意“1”与“tan
”，“”与“tan
”，“”与“cos
”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化.
[再练一题]
1.化简求值：
(1)cos
61°cos
16°＋sin
61°sin
16°；
(2)sin
13°cos
17°＋cos
13°sin
17°；
(3).
【解】　(1)原式＝cos(61°－16°)＝cos
45°＝.
(2)原式＝sin(13°＋17°)＝sin
30°＝.
(3)原式＝＝－＝－.
给值求值
　已知<α<，0<β<，cos＝－，sin＝，求sin(α＋β)的值.
【导学号：00680069】
【精彩点拨】　可先考虑拆角，π＋α＋β＝＋，然后再利用sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)求值.
【自主解答】　因为<α<π，所以<＋α<π，
所以sin＝＝.
又因为0<β<，π<π＋β<π，
所以cos＝－＝－，
所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)
＝－sin
＝－
＝－
＝.
1.本题属于给值求值问题，求解时，关键是从已知角间的关系入手，分析出已知角和待求角的关系.如本题中巧用β＝(α＋β)－α这一关系.
2.常见角的变换为
(1)2α＋β＝(α＋β)＋α，2α－β＝(α－β)＋α；
(2)＝－，
＝－；
(3)＋＝＋(α＋β)；
(4)＋＝＋(α－β).
[再练一题]
2.已知cos
α＝－，α∈，tan
β＝－，β∈，求cos(α＋β).
【解】　因为α∈，
cos
α＝－，所以sin
α＝－.
因为β∈，tan
β＝－，
所以cos
β＝－，sin
β＝.
所以cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β
＝×－×＝.
给值求角
　已知sin
α＝，sin
β＝，且α，β为锐角，求α＋β的值.
【精彩点拨】　→→→→
【自主解答】　∵sin
α＝，α为锐角，
∴cos
α＝＝.
又sin
β＝，β为锐角，
∴cos
β＝＝.
∴cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β
＝×－×＝.
又α，β∈，
∴0<α＋β<π，
因此α＋β＝.
1.求解该类问题常犯的错误是对角的范围讨论程度过大(小)，导致求出的角不合题意或者漏解.
2.求角的大小，要解决两点：(1)确定所求角的范围，(2)求角的某一三角函数值，特别是要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值.
[再练一题]
3.已知α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sin
β＝－，试求角α的大小.
【解】　∵α∈，β∈，∴α－β∈(0，π)，
由cos(α－β)＝，知sin(α－β)＝.
由sin
β＝－，知cos
β＝.
∴sin
α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos
β＋cos(α－β)sin
β
＝×＋×＝.
又α∈，∴α＝.
[探究共研型]
辅助角公式的应用
探究1　能否将函数y＝sin
x＋cos
x(x∈R)化为y＝Asin(x＋φ)的形式？
【提示】　sin
x＋cos
x
＝
＝
＝sin.
探究2　函数f(x)＝sin
x－cos
x(x∈R)的最大值是多少？
【提示】　f(x)＝sin
x－cos
x＝2＝2sin，
∴f(x)的最大值为2.
探究3　如何推导asin
x＋bcos
x＝sin(x＋φ)公式.
【提示】　asin
x＋bcos
x
＝，
令cos
φ＝，sin
φ＝，则
asin
x＋bcos
x＝(sin
xcos
φ＋cos
xsin
φ)
＝sin(x＋φ)(其中φ角所在象限由a，b的符号确定，φ角的值由tan
φ＝确定，或由sin
φ＝和cos
φ＝共同确定).
　求函数f(x)＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)的最大值.
【精彩点拨】　先将f(x)化为asin(x＋20°)＋bcos(x＋20°)形式，再利用辅助角公式化为·sin(x＋φ)的形式，即可求得f(x)的最大值.
【自主解答】　f(x)＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)
＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋20°)cos
60°＋5cos(x＋20°)sin
60°
＝sin(x＋20°)＋cos(x＋20°)
＝sin(x＋20°＋φ)
＝7sin(x＋20°＋φ)，
其中cos
φ＝，sin
φ＝，
所以f(x)max＝7.
1.对于形如sin
α±cos
α，sin
α±cos
α的三角函数式均可利用特殊值与特殊角的关系，运用和差角正、余弦公式化简为含有一个三角函数的形式.
2.在解法上充分体现了角的变换和整体思想，在三角函数求值化简的变换过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则.
[再练一题]
4.函数f(x)＝sin
x－cos的值域为(　　)
A.[－2,2]
B.
C.[－1,1]
D.
【解析】　f(x)＝sin
x－cos
＝sin
x－cos
x＋sin
x
＝sin
x－cos
x
＝sin，
所以函数f(x)的值域为[－，].
故选B.
【答案】　B
1.化简：sin
21°cos
81°－cos
21°·sin
81°等于(　　)
A.
B.－
C.
D.－
【解析】　原式＝sin(21°－81°)＝－sin
60°＝－.故选D.
【答案】　D
2.已知α是锐角，sin
α＝，则cos等于(　　)【导学号：00680070】
A.－
B.
C.－
D.
【解析】　因为α是锐角，sin
α＝，
所以cos
α＝，
所以cos＝×－×＝.故选B.
【答案】　B
3.函数f(x)＝sin
x－cos
x，x∈的最小值为(　　)
A.－2
B.－
C.－
D.－1
【解析】　f(x)＝sin，∵0≤x≤，
∴－≤x－≤，－≤sin≤，
∴f(x)的最小值为－1.
【答案】　D
4.计算＝________.
【解析】　＝
＝tan
45°＝1.
【答案】　1
5.已知α，β均为锐角，sin
α＝，cos
β＝，求α－β.
【解】　∵α，β均为锐角，sin
α＝，cos
β＝，
∴sin
β＝，cos
α＝.
∵sin
αβ，∴α<β，∴－<α－β<0，
∴sin(α－β)＝sin
αcos
β－cos
αsin
β
＝×－×＝－，∴α－β＝－.2.5.1　平面几何中的向量方法
2.5.2　向量在物理中的应用举例
1.掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题.(重点)
2.体会向量是一种处理几何问题、物理问题的重要工具.(重点)
3.培养运用向量知识解决实际问题和物理问题的能力.(难点)
[基础·初探]
教材整理1　平面几何中的向量方法
阅读教材P109～P110例2以上内容，完成下列问题.
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若△ABC是直角三角形，则有·＝0.(　　)
(2)若∥，则直线AB与CD平行.(　　)
【解析】　(1)错误.因为△ABC为直角三角形，∠B并不一定是直角，有可能是∠A或∠C为直角.
(2)错误.向量∥时，直线AB∥CD或AB与CD重合.
【答案】　(1)×　(2)×
教材整理2　向量在物理中的应用
阅读教材P111例3至P112例4以上内容，完成下列问题.
1.物理问题中常见的向量有力，速度，加速度，位移等.
2.向量的加减法运算体现在力，速度，加速度，位移的合成与分解.
3.动量mv是向量的数乘运算.
4.功是力F与所产生的位移s的数量积.
已知力F＝(2,3)作用在一物体上，使物体从A(2,0)移动到B(－2,3)，则F对物体所做的功为________焦耳.
【解析】　由已知位移＝(－4,3)，∴力F做的功为W＝F·＝2×(－4)＋3×3＝1.
【答案】　1
[小组合作型]
向量在平面几何中的应用
　如图2 5 1，在正三角形ABC中，D，E分别是AB，BC上的一个三等分点，且AE，CD交于点P，求证：BP⊥DC.
图2 5 1
【精彩点拨】　先表示出图中向量对应的线段，再计算所需向量的数量积.
【自主解答】　设＝λ，并设正三角形ABC的边长为a，则有：＝－，
＝＋＝λ＋＝λ＋＝(2λ＋1)－λ.
又＝－，∥，
∴(2λ＋1)－λ＝k－k，
于是有解得
∴＝，
∴＝＋＝＋，
从而·＝·
＝a2－a2－a2cos
60°＝0.
由向量垂直的条件知，BP⊥DC.
垂直问题的解决，一般的思路是将目标线段的垂直转化为向量的数量积为零，而在此过程中，则需运用线性运算，将目标向量用基底表示，通过基底的数量积运算式使问题获解，如本题便是将向量，由基底，线性表示.当然基底的选取应以能够方便运算为准，即它们的夹角是明确的，且长度易知.
[再练一题]
1.已知正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
【证明】　设正方形的边长为2，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，则中点E(1,0)，F(2,1)，
∴＝(2,1)，＝(1，－2)，
∴·＝2×1＋1×(－2)＝0，
∴⊥，∴AF⊥DE.
向量在解析几何中的应用
　过点A(－2,1)，求：
(1)与向量a＝(3,1)平行的直线方程；
(2)与向量b＝(－1,2)垂直的直线方程.
【精彩点拨】　在直线上任取一点P(x，y)，则＝(x＋2，y－1)，由∥a可以得(1)，由⊥b可以得(2).
【自主解答】　设所求直线上任意一点P(x，y)，
∵A(－2,1)，∴＝(x＋2，y－1).
(1)由题意知∥a，∴(x＋2)×1－3(y－1)＝0，
即x－3y＋5＝0，
∴所求直线方程为x－3y＋5＝0.
(2)由题意，知⊥b，
∴(x＋2)×(－1)＋(y－1)×2＝0，
即x－2y＋4＝0，
∴所求直线方程为x－2y＋4＝0.
1.本题求解的关键是在所求直线上任取一点P(x，y)，从而得到向量的坐标.
2.用向量方法解决解析几何问题的步骤：一是把解析几何问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原为解析几何问题.
[再练一题]
2.已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－6，点R是直线l上的一点，若＝2，求点P的轨迹方程.
【解】　设P(x，y)，R(x0，y0)，
则＝(1,0)－(x0，y0)＝(1－x0，－y0)，
＝(x，y)－(1,0)＝(x－1，y).
由＝2，得
又∵点R在直线l：y＝2x－6上，∴y0＝2x0－6，
∴
由①得x0＝3－2x，代入②得6－2(3－2x)＝2y，整理得y＝2x，即为点P的轨迹方程.
向量在物理中的应用
　(1)一个质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60°角且|F1|＝2，|F2|＝4，则|F3|＝(　　)
A.6　　　　　　　
B.2
C.2
D.2
(2)在风速为75(－)km/h的西风中，飞机以150
km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向.
【精彩点拨】　(1)可利用F1＋F2＋F3＝0分离F3得F3＝－F1－F2，平方可求|F3|.
(2)解本题首先根据题意作图，再把物理问题转化为向量的有关运算求解.
【自主解答】　(1)因为物体处于平衡状态，所以F1＋F2＋F3＝0，所以F3＝－(F1＋F2)，所以|F3|＝|F1＋F2|
＝
＝
＝＝2.
【答案】　D
(2)设ω＝风速，νa＝有风时飞机的航行速度，νb＝无风时飞机的航行速度，νb＝νa－ω.如图所示.
设||＝|νa|，||＝|ω|，||＝|νb|，
作AD∥BC，CD⊥AD于D，BE⊥AD于E，
则∠BAD＝45°.
设||＝150，则||＝75(－)，
∴||＝||＝||＝75，||＝75.
从而||＝150，∠CAD＝30°，
∴|νb|＝150
km/h，方向为北偏西60°.
向量在物理中的应用：
(1)求力向量，速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的平行四边形法则求解.
(2)用向量方法解决物理问题的步骤：
①把物理问题中的相关量用向量表示；
②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决；
③结果还原为物理问题.
[再练一题]
3.在静水中划船速度的大小是每分钟40
m，水流速度的大小是每分钟20
m，如果一小船从岸边O处出发，沿着垂直于水流的航线到达对岸，则小船的行进方向应指向哪里？
【解】　如图所示，设向量的长度和方向表示水流速度的大小和方向，向量的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向，以，为邻边作平行四边形OACB，连接OC.
依题意OC⊥OA，BC＝OA＝20，OB＝40，
∴∠BOC＝30°.
故船应向上游(左)与河岸夹角为60°的方向行进.
[探究共研型]
向量的数量积在物理中的应用
探究1　向量的数量积与功有什么联系？
【提示】　物理上力作功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积.
探究2　用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么？
【提示】　用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：
①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题中.
　两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从点A(20,15)移动到点B(7,0)(其中i，j分别是与x轴、y轴同方向的单位向量).
求：(1)F1，F2分别对该质点做的功；
(2)F1，F2的合力F对该质点做的功.
【精彩点拨】　向量数量积的物理背景是做功问题，所以本题需将做功问题转化为求向量的数量积的问题.
【自主解答】　＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j.
(1)F1做的功W1＝F1·s＝F1·
＝(i＋j)·(－13i－15j)＝－28
J.
F2做的功W2＝F2·s＝F2·
＝(4i－5j)·(－13i－15j)＝23
J.
(2)F＝F1＋F2＝5i－4j，
所以F做的功W＝F·s＝F·＝(5i－4j)·(－13i－15j)＝－5
J.
1.求几个力的合力：可以用几何法，通过解三角形求边长及角，也可以用向量法求解.
2.如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝|F||s|cos
θ，其中θ是F与s的夹角.由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力与位移的数量积.
[再练一题]
4.如图2 5 2所示，已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50
N，一个质量为8
kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20
m，则力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(|g|＝10
m/s2)
图2 5 2
【解】　设木块的位移为s，则：
W＝F·s＝|F|·|s|cos
30°＝50×20×＝500(J).
因为F在竖直方向上的分力的大小为
|F1|＝|F|·sin
30°＝50×＝25(N)，
所以物体所受的支持力的大小为
|FN|＝|mg|－|F1|＝8×10－25＝55(N).
所以摩擦力的大小为
|f|＝|μFN|＝0.02×55＝1.1(N).
又f与s反向，所以f·s＝|f|·|s|cos
180°
＝1.1×20×(－1)＝－22(J).
即F与f所做的功分别是500
J与－22
J.
1.过点M(2,3)，且垂直于向量u＝(2,1)的直线方程为(　　)
A.2x＋y－7＝0　　　　
B.2x＋y＋7＝0
C.x－2y＋4＝0
D.x－2y－4＝0
【解析】　设P(x，y)是所求直线上任一点，则⊥u.又∵＝(x－2，y－3)，∴2(x－2)＋(y－3)＝0，即2x＋y－7＝0.
【答案】　A
2.若向量＝(1,1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为(　　)
A.
B.2
C.
D.
【解析】　由于F1＋F2＝(1,1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，所以|F1＋F2|＝＝，故选C.
【答案】　C
3.在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC为(　　)
A.正三角形　　　　　
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.形状无法确定
【解析】　∵(＋)·(－)＝0，
∴2－2＝0，2＝2，∴CA＝CB，△ABC为等腰三角形.
【答案】　C
4.若＝3e，＝5e，且||＝||，则四边形ABCD的形状为________.
【解析】　由＝3e，＝5e，得∥，≠，又因为ABCD为四边形，所以AB∥DC，AB≠DC.又||＝||，得AD＝BC，所以四边形ABCD为等腰梯形.
【答案】　等腰梯形
5.求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值.
【解】　如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系，
设A(2a,0)，B(0,2a)，则D(a,0)，C(0，a)，
从而可求＝(－2a，a)，＝(a，－2a)，不妨设，的夹角为θ，则cos
θ＝
＝＝＝－.故所求钝角的余弦值为－.1.2.2　同角三角函数的基本关系
1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.(重点)
2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明.(难点)
[基础·初探]
教材整理　同角三角函数的基本关系
阅读教材P18“探究”至P19例6以上内容，完成下列问题.
1.平方关系：sin2
α＋cos2
α＝1.
商数关系：＝tan
α.
2.语言叙述：同一个角α
的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立.(　　)
(2)对任意角α，＝tan
都成立.(　　)
(3)因为sin2
π＋cos2
＝1，所以sin2α＋cos2β＝1成立，其中α，β为任意角.(　　)
(4)对任意角α，sin
α＝cos
α·tan
α都成立.(　　)
【解析】　由同角三角函数的基本关系知(1)√，(3)×，由正切函数的定义域知α不能取任意角，所以(2)×，(4)×.
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
[小组合作型]
应用同角三角函数关系求值
　(1)若sin
α＝－，且α是第三象限角，求cos
α，tan
α的值；
(2)若cos
α＝，求tan
α的值；
(3)若tan
α＝－，求sin
α的值.
【精彩点拨】　对(1)中明确α是第三象限角，所以只有一种结果.对(2)，(3)中未指出角α所在象限的情况，需按α所在象限讨论、分类求解，一般有两种结果.
【自主解答】　(1)∵sin
α＝－，α是第三象限角，
∴cos
α＝－＝－，
tan
α＝＝－×＝.
(2)∵cos
α＝>0，∴α是第一、四象限角.
当α是第一象限角时，
sin
α＝＝＝，
∴tan
α＝＝；
当α是第四象限角时，
sin
α＝－＝－＝－，
∴tan
α＝－.
(3)∵tan
α＝－<0，∴α是第二、四象限角.
由可得sin2α＝2.
当α是第二象限角时，sin
α＝；
当α是第四象限角时，sin
α＝－.
利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：
(1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系.
(2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果.
[再练一题]
1.已知sin
α＋3cos
α＝0，求sin
α，cos
α的值.
【导学号：00680009】
【解】　∵sin
α＋3cos
α＝0，
∴sin
α＝－3cos
α.
又sin2α＋cos2α＝1，
∴(－3cos
α)2＋cos2α＝1，
即10cos2α＝1，
∴cos
α＝±.
又由sin
α＝－3cos
α，可知sin
α与cos
α异号，
∴角α的终边在第二或第四象限.
当角α的终边在第二象限时，cos
α＝－，sin
α＝；
当角α的终边在第四象限时，cos
α＝，sin
α＝－.
利用sin
α±cos
α，sin
α·cos
α之间的关系求值
　已知0<α<π，sin
α＋cos
α＝，求tan
α的值.
【精彩点拨】　→→→
→
【自主解答】　由sin
α＋cos
α＝，①
得sin
αcos
α＝－<0.
又∵0<α<π，∴sin
α>0，cos
α<0，则sin
α－cos
α>0，
∴sin
α－cos
α＝
＝
＝＝，②
由①②解得sin
α＝，cos
α＝－，
∴tan
α＝＝－.
1.sin
α＋cos
α，sin
α－cos
α，sin
αcos
α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin
α±cos
α)2＝1±2sin
αcos
α.
2.求sin
α＋cos
α或sin
α－cos
α的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号.
[再练一题]
2.若θ是△ABC的一个内角，且sin
θcos
θ＝－，则sin
θ－cos
θ的值为(　　)
【导学号：70512006】
A.－　　　　　　　
B.
C.－
D.
【解析】　由题意知θ∈，所以sin
θ－cos
θ>0，
sin
θ－cos
θ＝＝＝，故选
D.
【答案】　D
利用tan
α求值
　设tan
α＝2，求的值.
【精彩点拨】　把分子、分母化成正、余弦齐次分式后，分子、分母同除以cos2α，化tan
α求解.
【自主解答】　
＝，
将上式分子、分母同除以cos2α，得
原式＝＝＝3.
这是一道在已知tan
α＝m的条件下，求关于sin
α，cos
α的齐次式的值的题目，解决这类问题需注意以下两点： 1 一定是关于sin
α，cos
α的齐次式 或能化为齐次式 的三角函数式； 2 因为cos
α≠0，所以可除以cos
α，这样可将被求式化为关于tan
α的表示式，然后代入tan
α＝m的值，从而完成被求式的求值.
[再练一题]
3.已知tan
α＝3，则2sin2
α＋4sin
αcos
α－9cos2
α的值为(　　)
A.3　　　　　　　　
B.
C.
D.
【解析】　2sin2
α＋4sin
αcos
α－9cos2
α
＝
＝，
由于tan
α＝3，原式＝
＝.
【答案】　B
[探究共研型]
三角恒等式的证明
探究1　证明三角恒等式常用哪些方法？
【提示】　(1)从右证到左.
(2)从左证到右.
(3)证明左右归一.
(4)变更命题法.如：欲证明＝，则可证MQ＝NP，或证＝等.
探究2　在证明＝sin
α＋cos
α时如何巧用“1”的代换.
【提示】　在求证＝sin
α＋cos
α时，观察等式左边有2sin
αcos
α，它和1相加应该想到“1”的代换，即1＝sin2＋cos2α，所以等式左边
＝
＝
＝
＝sin
α＋cos
α＝右边.
　求证：(1)＝；
(2)2(sin6
θ＋cos6
θ)－3(sin4
θ＋cos4
θ)＋1＝0.
【精彩点拨】　解答本例题可以从左边推到右边，也可以作差比较.关键是利用好“1”的代换和乘法公式等变形技巧.
【自主解答】　(1)证明：左边
＝
＝
＝
＝
＝＝＝右边，
∴原等式成立.
(2)证明：左边＝2[(sin2
θ)3＋(cos2
θ)3]－3(sin4
θ＋cos4
θ)＋1
＝2(sin2
θ＋cos2
θ)(sin4
θ－sin2
θcos2
θ＋cos4
θ)
－3(sin4
θ＋cos4
θ)＋1
＝(2sin4
θ－2sin2
θcos2
θ＋2cos4
θ)－(3sin4
θ＋3cos4
θ)＋1
＝－(sin4
θ＋2sin2
θcos2
θ＋cos4
θ)＋1
＝－(sin2
θ＋cos2
θ)2＋1＝－1＋1＝0＝右边，
∴原等式成立.
1.证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(作差，作比法).
2.技巧感悟：朝目标奔.常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式).
3.解决此类问题要有整体代换思想.
[再练一题]
4.求证：＝.
【证明】　法一：右边＝＝
＝
＝＝＝左边，
∴原等式成立.
法二：左边＝
＝＝
＝＝＝右边，
∴原等式成立.
1.如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是(　　)
A.tan
α＝－
B.cos
α＝－
C.sin
α＝－
D.tan
α＝
【解析】　由商数关系可知A，D均不正确.当α为第二象限角时，cos
α＜0，sin
α＞0，故B正确.
【答案】　B
2.已知α是第四象限角，cos
α＝，则sin
α等于(　　)
A.
B.－
C.
D.－
【解析】　由条件知sin
α＝－
＝－
＝－.
【答案】　B
3.已知sin
α＝，则sin4α－cos4α的值为(　　)
A.－
B.－
C.
D.
【解析】　sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－.
【答案】　B
4.已知3sin
α＋cos
α＝0，则tan
α＝________.
【解析】　由题意得：3sin
α＝－cos
α≠0，
∴tan
α＝－.
【答案】　－
5.已知θ∈(0，π)，sin
θ＋cos
θ＝，求tan
θ的值.
【导学号：00680010】
【解】　将sin
θ＋cos
θ＝的两边分别平方，
得1＋2sin
θcos
θ＝1－，
即sin
θcos
θ＝－.
∴sin
θcos
θ＝＝＝－，
解得tan
θ＝－或tan
θ＝－.
∵θ∈(0，π)，0θ＋cos
θ＝<1，
∴θ∈，且|sin
θ|>|cos
θ|，
∴|tan
θ|>1，即θ∈，∴tan
θ<－1，
∴tan
θ＝－.第二章
平面向量
[自我校对]
①加法
②减法
③实数与向量的积
④向量的数量积
⑤垂直
⑥平行
⑦长度
⑧夹角
⑨平行
⑩垂直
合成与分解
平面向量的线性运算
1.向量的加法、减法和向量数乘的综合运算通常叫作向量的线性运算.
2.向量线性运算的结果仍是一个向量.因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面.
3.向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题.
4.题型主要有证明三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等.
　如图2 1，在△ABC中，点M是AB边的中点，E是中线CM的中点，AE的延长线交BC于F.MH∥AF交BC于H.求证：＝＝.
图2 1
【精彩点拨】　选择两不共线向量作基底，然后用基底向量表示出，与即可证得.
【规范解答】　设＝a，＝b，则＝a＋b，
＝＋＋＝－＋2＋2
＝－a－b＋2a＋2b＝a＋b，
＝＋＝＋
＝－＋＋
＝－b＋＋－
＝－b＋a＋2－
＝－b＋a＋2b－b＝a＋b.
综上，得＝＝.
[再练一题]
1.如图2 2，平行四边形ABCD中，点M在AB的延长线上，且BM＝AB，点N在BC上，且BN＝BC，求证：M，N，D三点共线.
【导学号：00680063】
图2 2
【证明】　设＝e1，＝e2，
则＝＝e2.
∵＝e2，＝＝e1，
∴＝－＝e2－e1.
又∵＝－＝e2－e1
＝3＝3，
∴向量与共线，
又M是公共点，
故M，N，D三点共线.
平面向量的数量积
平面向量的数量积是由物理问题中的做功问题引入的，向量数量积的结果是一个数量，根据定义式可知，当向量夹角为锐角、钝角和直角时，其结果分别为正值、负值和零，零向量与任何一个向量的数量积均为零.平面向量的数量积是向量的核心内容，通过向量的数量积考查向量的平行、垂直等关系，利用向量的数量积可以计算向量的夹角和长度.
　非零向量a，b满足(a＋b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，求a，b的夹角的余弦值.
【精彩点拨】　
→→
【规范解答】　由
解得所以|a||b|＝－a·b，
所以cos
θ＝＝－.
[再练一题]
2.如图2 3所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝________.
图2 3
【解析】　∵·＝·(＋)
＝·＋·
＝·＋·(＋)
＝·＋2·.
∵AP⊥BD，∴·＝0.
∵·＝||||cos∠BAP＝||2，
∴·＝2||2＝2×9＝18.
【答案】　18
向量的坐标运算
1.向量的坐标表示实际上是向量的代数表示.引入向量的坐标表示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统一.
2.向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现.
3.通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角判断共线、平行、垂直等问题.
　已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4).
(1)求证：AB⊥AD；
(2)若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值.
【精彩点拨】　(1)证明·＝0.
(2)利用＝求点C的坐标，利用坐标形式的夹角公式求两对角线所夹锐角的余弦值.
【自主解答】　(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3).
∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD.
(2)∵⊥，四边形ABCD为矩形，∴＝.设C点坐标为(x，y)，
则＝(x＋1，y－4)，
∴解得
∴点C坐标为(0,5).
从而＝(－2,4)，＝(－4,2)，且||＝2，||＝2，·＝8＋8＝16，设与的夹角为θ，则cos
θ
＝＝＝，
∴矩形ABCD的两条对角线所夹锐角的余弦值为.
[再练一题]
3.设a＝(1,2)，b＝(－2，－3)，又c＝2a＋b，d＝a＋mb，若c与d的夹角为45°，求实数m的值.
【解】　∵a＝(1,2)，b＝(－2，－3)，
∴c＝2a＋b＝2(1,2)＋(－2，－3)＝(0,1)，
d＝a＋mb＝(1,2)＋m(－2，－3)＝(1－2m,2－3m)，
∴c·d＝0×(1－2m)＋1×(2－3m)＝2－3m.
又∵|c|＝1，
|d|＝，
∴cos
45°＝
＝＝，
化简得5m2－8m＋3＝0，解得m＝1或m＝.
平面向量的应用
1.向量在平面几何中的应用，向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则，数乘运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密切，因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题.
2.向量在解析几何中的应用，主要利用向量平行与垂直的坐标条件求直线的方程.
3.在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题.
　如图2 4所示，P是正方形ABCD的对角线BD上一点，四边形PECF是矩形，求证：
图2 4
(1)PA＝EF；
(2)PA⊥EF.
【精彩点拨】　可分别以BC，BA所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系后，用坐标法来证明.
【规范解答】　(1)建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，||＝λ，
则A(0,1)，P，E，F，
＝，
＝.
因为||2＝2＋2＝λ2－λ＋1，
||2＝2＋2＝λ2－λ＋1，
所以||2＝||2，故PA＝EF.
(2)因为·
＝＋
＝0，
所以⊥，故PA⊥EF.
[再练一题]
4.已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4).
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD的两对角线所夹的锐角的余弦值.
【解】　(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)，
∴·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD.
(2)∵四边形ABCD为矩形，
∴⊥，＝.
设C点的坐标为(x，y)，
则＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)，
∴解得∴C点的坐标为(0,5).
从而＝(－2,4)，＝(－4,2)，
∴||＝2，||＝2，·＝8＋8＝16.设与的夹角为θ，则cos
θ＝＝＝，∴矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为.
数形结合思想
平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、运算律的推导中都渗透了数形结合思想.向量的坐标表示的引入，使向量运算完全代数化，将数和形紧密地结合在一起.运用数形结合思想可解决三点共线，两条线段(或射线、直线)平行、垂直，夹角、距离、面积等问题.
　如图2 5所示，以△ABC的两边AB，AC为边向外作正方形ABGF，ACDE，M为BC的中点，求证：AM⊥EF.
图2 5
【精彩点拨】　要证AM⊥EF，只需证明·＝0.先将用，表示，将用，表示，然后通过向量运算得出·＝0.
【规范解答】　因为M是BC的中点，
所以＝(＋)，又＝－，
所以·＝(＋)·(－)
＝(·＋·－·－·)
＝(0＋·－·－0)
＝(·－·)
＝[||||cos(90°＋∠BAC)
－||||cos(90°＋∠BAC)]＝0，
所以⊥，即AM⊥EF.
[再练一题]
5.如图2 6，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为________.
图2 6
【解析】　设A(2,0)，B(2,1)，由题意知劣弧长为2，∠ABP＝＝2.
设P(x，y)，则x＝2－1×cos＝2－sin
2，y＝1＋1×sin＝1－cos
2，
∴的坐标为(2－sin
2,1－cos
2).
【答案】　(2－sin
2,1－cos
2)
1.已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　)
A.30°　　　　　　　　
B.45°
C.60°
D.120°
【解析】　因为＝，＝，所以·＝＋＝.又因为·＝||·||cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC，所以cos∠ABC＝.又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.故选A.
【答案】　A
2.已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝(　　)
A.－8　　
B.－6　　　
C.6　　
D.8
【解析】　法一：因为a＝(1，m)，b＝(3，－2)，所以a＋b＝(4，m－2).
因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，所以12－2(m－2)＝0，解得m＝8.
法二：因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，即a·b＋b2＝3－2m＋32＋(－2)2＝16－2m＝0，解得m＝8.
【答案】　D
3.已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　)
A.4
B.－4
C.
D.－
【解析】　∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋|n|2＝0，
∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0.
又4|m|＝3|n|，∴t×|n|2×＋|n|2＝0，
解得t＝－4.故选B.
【答案】　B2.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.3　平面向量的坐标运算
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.(难点)
2.理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.(重点)
3.向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系.(易混点)
[基础·初探]
教材整理1　平面向量的正交分解及坐标表示
阅读教材P94～P95内容，完成下列问题.
1.平面向量的正交分解：
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
2.平面向量的坐标表示：
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量的坐标表示.显然，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若＝(2，－1)，则点A的坐标为(2，－1).(　　)
(2)若点A的坐标为(2，－1)，则以A为终点的向量的坐标为(2，－1).(　　)
(3)平面内的一个向量a，其坐标是唯一的.(　　)
【解析】　(1)正确.对于从原点出发的向量，其终点坐标与向量的坐标表示相同.
(2)错误.以A为终点的向量有无数个，它们不一定全相等.
(3)正确.由平面向量坐标的概念可知.
【答案】　(1)√　(2)×　(3)√
教材整理2　平面向量的坐标运算
阅读教材P96“思考”以下至P97例4以上内容，完成下列问题.
1.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.
2.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝(x1－x2，y1－y2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.
3.若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
4.向量坐标的几何意义：
图2 3 13
在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则＝(x，y)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1).如图2 3 13所示.
1.已知a＝(2,1)，b＝(3，－2)，则3a－2b的坐标是(　　)
A.(0，－7)　　　　　
B.(0,7)
C.(－1,3)
D.(12，－1)
【解析】　3a－2b＝3(2,1)－2(3，－2)
＝(6,3)－(6，－4)＝(0,7).
【答案】　B
2.已知A(3,1)，B(2，－1)，则的坐标是(　　)
A.(－2，－1)
B.(2,1)
C.(1,2)
D.(－1，－2)
【解析】　＝(3,1)－(2，－1)＝(1,2).
【答案】　C
[小组合作型]
平面向量的坐标表示
　(1)已知＝(1,3)，且点A(－2,5)，则点B的坐标为(　　)
A.(1,8)
B.(－1,8)
C.(3,2)
D.(－3,2)
(2)如图2 3 14，在正方形ABCD中，O为中心，且＝(－1，－1)，则＝________；＝________；＝________.
　图2 3 14
　　　图2 3 15
(3)如图2 3 15，已知在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角，求点B和点D的坐标和与的坐标.
【精彩点拨】　→→
【自主解答】　(1)设B的坐标为(x，y)，＝(x，y)－(－2,5)＝(x＋2，y－5)＝(1,3)，所以解得
所以点B的坐标为(－1,8).
(2)如题干图，＝－＝－(－1，－1)＝(1,1)，
由正方形的对称性可知，B(1，－1)，所以＝(1，－1)，
同理＝(－1,1).
【答案】　(1)B　(2)(1，－1)　(1,1)　(－1,1)
(3)由题意知B,
D分别是30°，120°角的终边与以点O为圆心的单位圆的交点.设B(x1，y1)，D(x2，y2).由三角函数的定义，
得x1＝cos
30°＝，y1＝sin
30°＝，
所以B.
x2＝cos
120°＝－，
y2＝sin
120°＝，
所以D.
所以＝，＝.
求点、向量坐标的常用方法：
(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标.
(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标.
[再练一题]
1.已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，，，的坐标.
【导学号：00680048】
【解】　如图，正三角形ABC的边长为2，
则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos
60°，2sin
60°)，
∴C(1，)，D，
∴＝(2,0)，＝(1，)，
＝(1－2，－0)＝(－1，)，
＝＝.
平面向量的坐标运算
　(1)设＝(2,3)，＝(m，n)，＝(－1,4)，则等于(　　)
A.(1＋m,7＋n)
B.(－1－m，－7－n)
C.(1－m,7－n)
D.(－1＋m
，－7＋n)
(2)已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是(　　)
A.
B.
C.
D.(8,1)
(3)若A，B，C三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求＋2，－的坐标.
【精彩点拨】　(1)可利用向量加法的三角形法则将分解为＋＋来求解.
(2)可借助＝－来求坐标.
(3)可利用＝(xB－xA，yB－yA)来求解.
【自主解答】　(1)＝＋＋
＝－－－
＝－(－1,4)－(m，n)－(2,3)
＝(－1－m，－7－n).
(2)A＝(－)
＝
＝(－8,1)＝，∴＝.
【答案】　(1)B　(2)A
(3)∵＝(－2,10)，＝(－8,4)，＝(－10,14)，
∴＋2＝(－2,10)＋2(－8,4)
＝(－2,10)＋(－16,8)
＝(－18,18)，
－＝(－8,4)－(－10,14)
＝(－8,4)－(－5,7)
＝(－3，－3).
[再练一题]
2.已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：
(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b.
【解】　(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)
＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7).
(2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1).
(3)a－b＝(－1,2)－(2,1)
＝－＝.
[探究共研型]
向量坐标运算的综合应用
探究1　已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及＝＋t.当t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
【提示】　∵＝＋t＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t).
若点P在x轴上，则2＋3t＝0，
∴t＝－.
若点P在y轴上，则1＋3t＝0，
∴t＝－.
若点P在第二象限，则
∴－探究2　对于探究1条件不变，四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由.
【提示】　∵＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t).
若四边形OABP为平行四边形，
则＝，
∴该方程组无解.
故四边形不能成为平行四边形.
　已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10).若A＝A＋λA(λ∈R)，试求λ为何值时，
(1)点P在一、三象限角平分线上；
(2)点P在第三象限内.
【导学号：70512032】
【精彩点拨】　解答本题可先用λ表示点P的横、纵坐标，再根据条件列方程或不等式求解.
【自主解答】　设点P的坐标为(x，y)，
则A＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，
A＋λ·A＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]
＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ).
∵A＝A＋λA，
∴则
(1)若P在一、三象限角平分线上，
则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝，
∴λ＝时，点P在一、三象限角平分线上.
(2)若P在第三象限内，则∴λ<－1.
当λ<－1时，点P在第三象限内.
1.解答本题可用待定系数法.此法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用.
2.坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.
[再练一题]
3.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图2 3 16所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.
图2 3 16
【解析】　以向量a的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3).由c＝λa＋μb，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－，则＝4.
【答案】　4
1.已知＝(4,8)，＝(－7，－2)，则3＝(　　)
A.(－9,18)　　　　　　
B.(9，－18)
C.(－33，－30)
D.(33,30)
【解析】　3＝3(－)＝3[(－7，－2)－(4,8)]＝(－33，－30).
【答案】　C
2.若a＝(2,1)，b＝(1,0)，则3a＋2b的坐标是(　　)
A.(5,3)
B.(4,3)
C.(8,3)
D.(0，－1)
【解析】　3a＋2b＝3(2,1)＋2(1,0)＝(8,3).
【答案】　C
3.若向量＝(1,2)，＝(3,4)，则等于(　　)
A.(4,6)
B.(－4，－6)
C.(－2，－2)
D.(2,2)
【解析】　由＝＋＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6).故选A.
【答案】　A
4.已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为________.
【导学号：00680049】
【解析】　＝(3，－4)，则与同方向的单位向量为＝(3，－4)＝.
【答案】　
5.已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，＝3，＝2，求的坐标.
【解】　因为A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，所以＝(－2＋3,4＋4)＝(1,8)，
＝(3＋3，－1＋4)＝(6,3)，
所以＝3＝(3,24)，
＝2＝(12,6).
设M(x，y)，则＝(x＋3，y＋4)，
即解得
所以M(0,20)，同理可得N(9,2)，
所以＝(9－0,2－20)＝(9，－18).2.4.2　平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算.(重点)
2.会运用向量坐标运算求解与向量垂直、夹角等相关问题.(难点)
3.分清向量平行与垂直的坐标表示.(易混点)
[基础·初探]
教材整理　平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
阅读教材P106“探究”以下至P107例6以上内容，完成下列问题.
1.平面向量数量积的坐标表示：
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
数量积
a·b＝x1x2＋y1y2
向量垂直
a⊥b x1x2＋y1y2＝0
2.向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝.
3.两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝.
4.向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b
夹角为θ，则
cos
θ＝＝.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为0°.(　　)
(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b x1x2－y1y2＝0.(　　)
(3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角.(　　)
【解析】　(1)×.因为当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b的夹角也可能为180°.
(2)×.a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
(3)×.因为两向量的夹角有可能为180°.
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×
[小组合作型]
平面向量数量积的坐标运算
　(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，x)，且a·b＝－1，则x的值等于(　　)
A.　　　　　　　
B.－
C.
D.－
(2)已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,2)，则a·b＝________，a·(a－b)＝________.
(3)已知a＝(2，－1)，b＝(3,2)，若存在向量c，满足a·c＝2，b·c＝5，则向量c＝________.
【精彩点拨】　根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解.
【自主解答】　(1)因为a＝(1,2)，b＝(2，x)，
所以a·b＝(1,2)·(2，x)＝1×2＋2x＝－1，
解得x＝－.
(2)a·b＝(－1,2)·(3,2)＝(－1)×3＋2×2＝1，
a·(a－b)＝(－1,2)·[(－1,2)－(3,2)]＝(－1,2)·(－4,0)＝4.
(3)设c＝(x，y)，因为a·c＝2，b·c＝5，
所以解得所以c＝.
【答案】　(1)D　(2)1　4　(3)
1.进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：
|a|2＝a·a；(a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2；
(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
2.通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化，应注意与函数、方程等知识的联系.
3.向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另一种是坐标式，两者相互补充.
[再练一题]
1.设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3,4)，向量c＝(3,2)，则向量(a＋2b)·c＝(　　)
A.(－15,12)
B.0
C.－3
D.－11
【解析】　依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－5×3＋6×2＝－3.
【答案】　C
向量模的坐标表示
　(1)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|2a－b|等于(　　)
A.4
B.5
C.3
D.4
(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.
【精彩点拨】　(1)两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标表示：x1y2－x2y1＝0.
(2)已知a＝(x，y)，则|a|＝.
【自主解答】　(1)由y＋4＝0知
y＝－4，b＝(－2，－4)，
∴2a－b＝(4,8)，∴|2a－b|＝4.故选D.
(2)由题意知，a＋b＝(－2,4)，a－b＝(4,0)，
因此|a＋b|＝＝2，|a－b|＝4.
【答案】　(1)D　(2)2　4
向量模的问题的解题策略：
(1)字母表示下的运算，利用|a|2＝a2将向量模的运算转化为向量的数量积的运算.
(2)坐标表示下的运算，若a＝(x，y)，则|a|＝.
[再练一题]
2.已知向量a＝(2x＋3,2－x)，b＝(－3－x,2x)(x∈R)，则|a＋b|的取值范围为________.
【导学号：00680057】
【解析】　∵a＋b＝(x，x＋2)，
∴|a＋b|＝＝
＝≥，
∴|a＋b|∈[，＋∞).
【答案】　[，＋∞)
[探究共研型]
向量的夹角与垂直问题
探究1　设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，那么cos
θ如何用坐标表示？
【提示】　cos
θ＝＝.
探究2　已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于？
【提示】　由已知得a－b＝(1－x,4).
∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝0.
∵a＝(1,2)，∴1－x＋8＝0，∴x＝9.
　(1)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是(　　)
A.(－2，＋∞)
B.∪
C.(－∞，－2)
D.(－2,2)
(2)已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标.
【精彩点拨】　(1)可利用a，b的夹角为锐角 求解.
(2)设出点D的坐标，利用与共线，⊥列方程组求解点D的坐标.
【自主解答】　(1)当a·b共线时，2k－1＝0，k＝，此时a，b方向相同，夹角为0°，所以要使a与b的夹角为锐角，则有a·b>0且a，b不同向.由a·b＝2＋k>0得k>－2，且k≠，即实数k的取值范围是∪，选B.
【答案】　B
(2)设点D的坐标为(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2).
∵D在直线BC上，即与共线，
∴存在实数λ，使＝λ，
即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)，
∴
∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.①
又∵AD⊥BC，∴·＝0，
即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，②
即2x＋y－3＝0.
由①②可得
即D点坐标为(1,1)，＝(－1,2)，
∴||＝＝，
综上，||＝，D(1,1).
1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤：
(1)求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积.
(2)求模.利用|a|＝计算两向量的模.
(3)求夹角余弦值.由公式cos
θ＝
求夹角余弦值.
(4)求角.由向量夹角的范围及cos
θ求θ的值.
2.涉及非零向量a，b垂直问题时，一般借助a⊥b a·b＝x1x2＋y1y2＝0来解决.
[再练一题]
3.已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角.
【解】　设a与b的夹角为θ，
则a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.
(1)因为a与b的夹角为直角，所以cos
θ＝0，所以a·b＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－.
(2)因为a与b的夹角为钝角，
所以cos
θ<0且cos
θ≠－1，
所以a·b<0且a与b不反向.
由a·b<0得1＋2λ<0，故λ<－，
由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向，
所以λ的取值范围为.
(3)因为a与b的夹角为锐角，
所以cos
θ>0，且cos
θ≠1，
所以a·b>0且a，b不同向.
由a·b>0，得λ>－，由a与b同向得λ＝2，所以λ的取值范围为∪(2，＋∞).
1.已知a＝(1，－1)，b＝(2,3)，则a·b＝(　　)
A.5
B.4
C.－2
D.－1
【解析】　a·b＝(1，－1)·(2,3)＝1×2＋(－1)×3＝－1.
【答案】　D
2.已知a＝(－2,1)，b＝(x，－2)，且a⊥b，则x的值为(　　)
A.－1
B.0
C.1
D.2
【解析】　由题意，a·b＝(－2,1)·(x，－2)＝－2x－2＝0，解得x＝－1.故选A.
【答案】　A
3.已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】　a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，|a|＝＝，|b|＝＝，
故a与b的夹角为θ，则cos
θ＝＝＝.又0≤θ≤π，∴θ＝.
【答案】　B
4.已知a＝(3，－4)，则|a|＝________.
【解析】　因为a＝(3，－4)，所以|a|＝＝5.
【答案】　5
5.已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，
求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(a＋b)·(a－b).
【解】　(1)因为a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，
所以a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝3＋2＝5.
(2)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，
所以(a＋b)2＝|a＋b|2＝42＋(－3)2＝25.
(3)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，
a－b＝(3，－1)－(1，－2)＝(2,1)，
(a＋b)·(a－b)＝(4，－3)·(2,1)＝8－3＝5.1.1.1　任意角
1.理解任意角的概念.
2.掌握终边相同角的含义及其表示.(重点、难点)
3.掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法.(易错点)
[基础·初探]
教材整理1　任意角的概念
阅读教材P2～P3“第5行”以上内容，完成下列问题.
1.角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.
2.角的表示：如图1 1 1，
图1 1 1
(1)始边：射线的开始位置OA，
(2)终边：射线的终止位置OB，
(3)顶点：射线的端点O.
这时，图中的角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”.
3.角的分类：按旋转方向，角可以分为三类：
正角
按逆时针方向旋转形成的角
零角
射线没有作任何旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
时钟经过1小时，时针转动的角的大小是________.　
【解析】　时钟是顺时针转，故形成的角是负角，又经过12个小时时针转动一个周角，故经过1个小时时针转动周角的，所以转动的角的大小是－×360°＝－30°.
【答案】　－30°
教材整理2　象限角与轴线角
阅读教材P3“图1.1 3至探究”以上内容，完成下列问题.
1.象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角.
2.如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角.
下列说法：
①第一象限角一定不是负角；
②第二象限角大于第一象限角；
③第二象限角是钝角；
④小于180°的角是钝角、直角或锐角.
其中错误的序号为________(把错误的序号都写上).
【解析】　由象限角定义可知①②③④都不正确.
【答案】　①②③④
教材整理3　终边相同的角
阅读教材P3“探究”以下至P4“例1”以上内容，完成下列问题.
1.前提：α表示任意角.
2.表示：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.(　　)
(2)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.(　　)
(3)终边相同的角的表示不唯一.(　　)
【解析】　由终边相同角的定义可知(1)(2)(3)正确.
【答案】　(1)√　(2)√　(3)√
[小组合作型]
任意角的概念与终边相同的角
　(1)已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是(　　)
A.A＝B＝C
B.A C
C.A∩C＝B
D.B∪C C
(2)下面与－850°12′终边相同的角是(　　)
【导学号：00680000】
A.230°12′
B.229°48′
C.129°48′
D.130°12′
【精彩点拨】　正确理解第一象限角、锐角、小于90°的角的概念.
【自主解答】　(1)第一象限角可表示为k·360°<αD.
(2)与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，当k＝3时，α＝－850°12′＋1
080°＝229°48′.
【答案】　(1)D　(2)B
1.判断角的概念问题的关键与技巧：
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.
(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可.
2.在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法：
(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β<360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角.
(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止.
[再练一题]
1.有下列说法：
①相差360°整数倍的两个角，其终边不一定相同；
②终边相同的角一定相等；
③终边关于x轴对称的两个角α，β之和为k·360°(k∈Z).
其中正确说法的序号是________.
【解析】　①不正确.终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立；
②不正确.由①可知终边相同的两个角一定相差k·360°(k∈Z).
③正确.因为终边关于x轴对称的两个角，当α∈(－180°，180°)，且β∈(－180°，180°)时α＋β＝0°，当α，β为任意角时，α＋β＝k·360°(k∈Z).
【答案】　③
象限角与区间角的表示
　(1)－1
154°是(　　)
A.第一象限角　　　　　　　　
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
(2)已知角β的终边在如图1 1 2所示的阴影部分内，试指出角β的取值范围.
图1 1 2
【精彩点拨】　
【自主解答】　(1)∵－1
154°＝－4×360°＋286°，∴在0°～360°之间，与－1
154°终边相同的角α＝286°，286°是第四象限角.故－1
154°角为第四象限角.
【答案】　D
(2)阴影在x轴上方部分的角的集合为：
A＝{β|k·360°＋60°≤β阴影在x轴下方部分的角的集合为：
B＝{β|k·360°＋240°≤β所以阴影部分内角β的取值范围是A∪B，即{β|k·360°＋60°≤β即{β|(2m＋1)×180°＋60°≤β<(2m＋1)×180°＋105°，m∈Z}.
集合A可以化为
{β|2m×180°＋60°≤β<2m＋180°＋105°，m∈Z}.
故A∪B可化为{β|n·180°＋60°≤β1.象限角的判定方法：
(1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限.
(2)第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式；
第二步，判断β的终边所在的象限；
第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限.
2.表示区间角的三个步骤：
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合.
[再练一题]
2.写出图1 1 3中阴影部分(不含边界)表示的角的集合.
【导学号：70512000】
图1 1 3
【解】　在－180°～180°内落在阴影部分的角的集合为大于－45°小于45°，所以终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合为{α|－45°＋k·360°<α<45°＋k·360°，k∈Z}.
[探究共研型]
所在象限的判定方法及角的终边对称问题
探究1　若α是第二象限角，则是第几象限角？
【提示】　(1)代数推导法：
由题意知90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，
30°＋k·120°<<60°＋k·120°(k∈Z).
故是第一或第二或第四象限角.
(2)画图法：
如图①将各个象限2等分，从x轴正半轴开始逆时针方向依次标注1,2,3,4，循环下去，直到填满为止，就在标注2的区域，即第一或第三象限的后半区(如图①阴影区域).
同理，可得在第一、二、四象限(如图②阴影区域).
探究2　若角α与β的终边关于x轴、y轴、原点、直线y＝x对称，则角α与β分别具有怎样的关系？
【提示】　(1)关于x轴对称：若角α与β的终边关于x轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k·360°，k∈Z.
(2)关于y轴对称：若角α与β的终边关于y轴对称，则角α与β的关系是β＝180°－α＋k·360°，k∈Z.
(3)关于原点对称：若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180°＋α＋k·360°，k∈Z.
(4)关于直线y＝x对称：若角α与β的终边关于直线y＝x对称，则角α与β的关系是β＝－α＋90°＋k·360°，k∈Z.
　已知α为第二象限角，则2α，分别是第几象限角？
【导学号：70512001】
【精彩点拨】　可由α范围写出2α，的范围后，直接求得2α的范围，然后分k为奇数或偶数两种情况确定的位置.
【自主解答】　∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，
∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°，k∈Z，
∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角.
同理45°＋·360°<<90°＋·360°.
当k为偶数时，不妨令k＝2n，n∈Z，
则45°＋n·360°<<90°＋n·360°，
此时，为第一象限角；
当k为奇数时，令k＝2n＋1，n∈Z，
则225°＋n·360°<<270°＋n·360°，
此时，为第三象限角.∴为第一或第三象限角.
1.解决此类问题，要先确定α的范围，进一步确定出nα或的范围，再根据k与n的关系进行讨论.
2.一般地，要确定所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把圆周等分成4n个区域，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上号码1,2,3,4，则标号为n的区域就是根据α所在第几象限时的终边所落在的区域.
[再练一题]
3.若α是第四象限角，则180°－α是(　　)
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
【解析】　∵α是第四象限角，则角α应满足：k·360°－90°<α∴－k·360°<－α<－k·360°＋90°，
则－k·360°＋180°<180°－α<－k·360°＋90°＋180°，k∈Z，
当k＝0时，180°<180°－α<270°，
故180°－α为第三象限角.
【答案】　C
1.若α是第一象限角，则－是(　　)
A.第一象限角　　　　
B.第一、四象限角
C.第二象限角
D.第二、四象限角
【解析】　因为α是第一象限角，所以为第一、三象限角，所以－是第二、四象限角.
【答案】　D
2.与－457°角终边相同的角的集合是(　　)
A.{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B.{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C.{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
D.{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
【解析】　当选项C的集合中k＝－2时，α＝－457°.
【答案】　C
3.下列各角中，与角330°的终边相同的角是(　　)
A.510°
B.150°
C.－150°
D.－390°
【解析】　与330°终边相同的角的集合为S＝{β|β＝330°＋k·360°，k∈Z}，
当k＝－2时，β＝330°－720°＝－390°，故选
D.
【答案】　D
4.若角α与角β终边相同，则α－β＝________.
【解析】　根据终边相同角的定义可知：
α－β＝k·360°(k∈Z).
【答案】　k·360°(k∈Z)
5.在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：
(1)－120°；(2)640°.
【解】　(1)与－120°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z}.
当k＝1时，β＝－120°＋1×360°＝240°，
∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角.
(2)与640°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝640°＋k·360°，k∈Z}.
当k＝－1时，β＝640°－360°＝280°，
∴在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限的角.3.1.1　两角差的余弦公式
1.了解两角差的余弦公式的推导过程.(重点)
2.理解用向量法导出公式的主要步骤.(难点)
3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.(重点、易混点)
[基础·初探]
教材整理　两角差的余弦公式
阅读教材P124～P126例1以上内容，完成下列问题.
cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β.
(1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角.
(2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)cos(60°－30°)＝cos
60°－cos
30°.(　　)
(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos
α－cos
β都不成立.(　　)
(3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β都成立.(　　)
(4)cos
30°cos
120°＋sin
30°sin
120°＝0.(　　)
【解析】　(1)×.cos(60°－30°)＝cos
30°≠cos
60°－cos
30°.
(2)×.当α＝－45°，β＝45°时，cos(α－β)＝cos(－45°－45°)＝cos(－90°)＝0，cos
α－cos
β＝cos(－45°)－cos
45°＝0，此时cos(α－β)＝cos
α－cos
β.
(3)√.结论为两角差的余弦公式.
(4)√.cos
30°cos
120°＋sin
30°sin
120°＝cos(120°－30°)＝cos
90°＝0.
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
[小组合作型]
利用两角差的余弦公式化简求值
　(1)cos
345°的值等于(　　)
A.　　　　　　
B.
C.
D.－
(2)的值是(　　)
A.
B.
C.
D.
(3)化简下列各式：
①cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)·sin(θ－24°)；
②－sin
167°·sin
223°＋sin
257°·sin
313°.
【精彩点拨】　(1)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解.
(2)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解.
(3)对较复杂的式子化简时应注意两角差余弦公式的逆用.
【自主解答】　(1)cos
345°＝cos(360°－15°)
＝cos
15°＝cos(45°－30°)
＝cos
45°cos
30°＋sin
45°sin
30°
＝.
(2)原式＝
＝
＝＝＝.
(3)①原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)]
＝cos
45°＝，所以原式＝；
②原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)
＝sin
13°sin
43°＋sin
77°sin
47°
＝sin
13°sin
43°＋cos
13°cos
43°
＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝.
【答案】　(1)C　(2)C　(3)①　②
1.解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：
(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值.
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值.
2.两角差的余弦公式的结构特点：
(1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦.
(2)把所得的积相加.
[再练一题]
1.求下列各式的值：
(1)cos
；
(2)sin
460°sin(－160°)＋cos
560°cos(－280°)；
(3)cos(α－20°)cos(40°＋α)＋sin(α－20°)sin(40°＋α).
【解】　(1)cos
＝cos＝－cos
＝－cos＝－cos
＝－
＝－＝－.
(2)原式＝－sin
100°sin
160°＋cos
200°cos
280°
＝－sin
100°sin
20°－cos
20°cos
80°
＝－(cos
80°cos
20°＋sin
80°sin
20°)
＝－cos
60°＝－.
(3)cos(α－20°)cos(40°＋α)＋sin(α－20°)·sin(40°＋α)
＝cos[(α－20°)－(α＋40°)]
＝cos(－60°)＝.
已知三角函数值求角
　已知α，β为锐角，cos
α＝，sin(α＋β)＝，求β.
【导学号：00680066】
【精彩点拨】　本题是已知三角函数值求角的问题.解答此类问题一般先确定所求角的某一个三角函数的值，然后由角的范围来确定该角的大小.
【自主解答】　∵α为锐角，且cos
α＝，
∴sin
α＝＝＝.
又α，β为锐角，∴α＋β∈(0，π).
又sin(α＋β)＝α，∴α＋β∈.
∴cos(α＋β)＝－
＝－＝－.
∴cos
β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α
＝×＋×＝.
又β为锐角，∴β＝.
1.这类问题的求解，关键环节有两点：
(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图象，角可求解.
2.确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定.
[再练一题]
2.已知α，β均为锐角，且cos
α＝，cos
β＝，求α－β的值.
【导学号：70512041】
【解】　∵α，β均为锐角，
∴sin
α＝，sin
β＝.
∴cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
＝×＋×＝.
又sin
αβ，
∴0<α<β<，∴－<α－β<0.
故α－β＝－.
[探究共研型]
利用角的变换求三角函数值
探究1　若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos
α的值？
【提示】　cos
α＝cos[(α＋β)－β]
＝cos(α＋β)cos
β＋sin(α＋β)sin
β.
探究2　利用α－(α－β)＝β可得cos
β等于什么？
【提示】　cos
β＝cos[α－(α－β)]＝cos
αcos(α－β)＋sin
αsin(α－β).
探究3　若cos
α－cos
β＝a，sin
α－sin
β＝b，则cos(α－β)等于什么？
【提示】　cos(α－β)＝.
　已知sin＝，且<α<，求cos
α的值.
【精彩点拨】　先根据sin＝求出cos的值，再根据α＝－构造两角差的余弦，求出cos
α的值.
【自主解答】　∵sin＝，且<α<，
∴<α＋<π，
∴cos＝－＝－，
∴cos
α＝cos
＝coscos
＋sinsin
＝－×＋×＝.
巧妙变角是指将已知角灵活分拆、配凑成待求的角.主要针对已知某些角的三角函数值，求 或证明 另外角的三角函数值的题目，解决问题的关键是要善于观察.常见的“变角”有：①单角变为和差角，如α＝ α－β ＋β，β＝－等；②倍角化为和差角，如2α＝ α＋β ＋ α－β 等等.
[再练一题]
3.设cos＝－，sin＝，其中α∈，β∈，求cos
的值.
【解】　∵α∈，β∈，
∴α－∈，－β∈，
∴sin＝＝＝，cos＝
＝＝.
∴cos
＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝.
1.cos
65°cos
35°＋sin
65°sin
35°等于(　　)
A.cos
100°　　　　　
B.sin
100°
C.
D.
【解析】　原式＝cos(65°－35°)＝cos
30°＝.
【答案】　C
2.若a＝(cos
60°，sin
60°)，b＝(cos
15°，sin
15°)，则a·b＝(　　)
A.
B.
C.
D.－
【解析】　a·b＝cos
60°cos
15°＋sin
60°sin
15°
＝cos(60°－15°)＝cos
45°＝.
【答案】　A
3.已知锐角α，β满足cos
α＝，cos(α＋β)＝－，则cos
β等于(　　)
A.
B.－
C.
D.－
【解析】　因为α，β为锐角，cos
α＝，cos(α＋β)＝－，
所以sin
α＝，sin(α＋β)＝.
所以cos
β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)·cos
α＋sin(α＋β)·sin
α
＝－×＋×
＝.故选A.
【答案】　A
4.sin
75°＝________.
【解析】　sin
75°＝cos
15°
＝cos(45°－30°)
＝cos
45°·cos
30°＋sin
45°·sin
30°
＝×＋×
＝.
【答案】　
5.已知α，β为锐角，cos(α＋β)＝，cos(2α＋β)＝，求cos
α的值.
【解】　因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π.
又因为cos(α＋β)＝，所以0<α＋β<，所以0<2α＋β<π.
又因为cos(2α＋β)＝，所以0<2α＋β<，
所以sin(α＋β)＝，sin(2α＋β)＝，
所以cos
α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]
＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β)
＝×＋×＝.1.4.1　正弦函数、余弦函数的图象
1.了解正弦函数、余弦函数图象的来历，掌握“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象的方法.(重点)
2.正、余弦函数图象的简单应用.(难点)
3.正、余弦函数图象的区别与联系.(易混点)
[基础·初探]
教材整理1　正弦曲线和余弦曲线
阅读教材P30～P32“思考”以上内容，完成下列问题.
1.可以利用单位圆中的正弦线作y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象.
2.y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin
x，x∈R的图象.
3.正弦函数y＝sin
x，x∈R的图象和余弦函数y＝cos
x，x∈R的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦函数的图象向左右是无限伸展的.(　　)
(2)正弦函数y＝sin
x的图象在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同.(　　)
(3)正弦函数y＝sin
x(x∈R)的图象关于x轴对称.(　　)
(4)正弦函数y＝sin
x(x∈R)的图象关于原点成中心对称.(　　)
【解析】　由正弦曲线的定义可知只有(3)错误.
【答案】　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
教材整理2　正弦曲线和余弦曲线“五点法”作图
阅读教材P32“思考”以下至例1以上内容，完成下列问题.
1.“五点法”作图的一般步骤是 .
2.画正弦函数图象的五点
(0,0)
(π，0)
(2π，0)
画余弦函数图象的五点
(0,1)
(π，－1)
(2π，1)
用五点法作函数y＝2sin
x－1的图象时，首先应指出的五点的横坐标可以是_______.
①0，，π，，2π；②0，，，，π；
③0，π，2π，3π，4π；④0，，，，.
【解析】　与作函数y＝sin
x的图象所取的五点的横坐标一样，应是0，，π，，2π.
【答案】　①
[小组合作型]
正弦函数、余弦函数图象的初步认识
　(1)下列叙述正确的是(　　)
①y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；
②y＝cos
x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；
③正、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围.
A.0
B.1个
C.2个
D.3个
(2)对于余弦函数y＝cos
x的图象，有以下三项描述：
①向左向右无限延伸；
②与x轴有无数多个交点；
③与y＝sin
x的图象形状一样，只是位置不同.
其中正确的有(　　)
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【精彩点拨】　分别画出正弦函数、余弦函数的图象即可.
【自主解答】　(1)分别画出函数y＝sin
x，x∈[0,2π]和y＝cos
x，x∈[0,2π]的图象，由图象(略)观察可知①②③均正确.
(2)如图所示为y＝cos
x的图象.
可知三项描述均正确.
【答案】　(1)D　(2)D
1.解决正、余弦函数的图象问题，关键是要正确的画出正、余弦曲线.
2.正、余弦曲线的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到.
[再练一题]
1.关于三角函数的图象，有下列说法：
①y＝sin|x|与y＝sin
x的图象关于y轴对称；
②y＝cos(－x)与y＝cos
|x|的图象相同；
③y＝|sin
x|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；
④y＝cos
x与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称.
其中正确的序号是________.
【解析】　对②，y＝cos(－x)＝cos
x，y＝cos
|x|＝cos
x，故其图象相同；
对④，y＝cos(－x)＝cos
x，故其图象关于y轴对称；作图(略)可知①③均不正确.
【答案】　②④
用“五点法”作三角函数的图象
　用“五点法”作出下列函数的简图.
(1)y＝1＋2sin
x，x∈[0,2π]；
(2)y＝2＋cos
x，x∈[0,2π].
【导学号：00680015】
【精彩点拨】　在[0,2π]上找出五个关键点，用光滑的曲线连接即可.
【自主解答】　(1)列表：
x
0
π
2π
sin
x
0
1
0
－1
0
1＋2sin
x
1
3
1
－1
1
在直角坐标系中描出五点(0,1)，，(π，1)，(2π，1)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y＝1＋2sin
x，x∈[0,2π]的图象.
(2)列表：
x
0
π
π
2π
cos
x
1
0
－1
0
1
2＋cos
x
3
2
1
2
3
描点连线，如图
1.“五点法”是作三角函数图象的常用方法，“五点”即函数图象最高点、最低点与x轴的交点.
2.列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用光滑的曲线连接五个关键点.
[再练一题]
2.用“五点法”作出下列函数的简图.
y＝－sin
x(0≤x≤2π).
【解】　列表如下：
x
0
π
2π
sin
x
0
1
0
－1
0
－sin
x
0
－1
0
1
0
描点、连线，如图所示.
正弦(余弦)函数图象的应用
　写出不等式sin
x≥的解集.
【精彩点拨】　解答本题可利用数形结合，分别画出y＝sin
x和y＝的图象，通过图象写出不等式的解集.
【自主解答】　在同一坐标系下，作函数y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象以及直线y＝.
由函数的图象知，sin＝sinπ＝.
∴当0≤x≤2π时，sin
x≥的解为≤x≤π，
∴不等式sin
x≥的解集为
.
1.用三角函数的图象解sin
x>a(或cos
x>a)的方法：
(1)作出直线y＝a，y＝sin
x(或y＝cos
x)的图象；
(2)确定sin
x＝a(或cos
x＝a)的x值；
(3)选取一个合适周期写出sin
x>a(或cos
x>a)的解集，要尽量使解集为一个连续区间.
2.用三角函数线解sin
x>a(或cos
x>a)的方法：
(1)找出使sin
x＝a(或cos
x＝a)的两个x值的终边所在位置.
(2)根据变化趋势，确定不等式的解集.
[再练一题]
3.求函数y＝的定义域.
【解】　要使y＝有意义，则必须满足2sin
x＋1≥0，即sin
x≥－.
结合正弦曲线或三角函数线，如图所示：
知函数y＝的定义域为
.
[探究共研型]
与正弦、余弦函数图象有关的零点问题
探究1　方程sin
x＝x的实根个数有多少个？
【提示】　在同一坐标系内分别作出y＝sin
x，y＝x图象可知在x∈[0,1]内，sin
x1时不会相交，所以方程只有一个实根为0.
探究2　函数f(x)＝－cos
x在[0，＋∞)内有多少个零点？
【提示】　令f(x)＝0，所以＝cos
x，分别作出y＝，y＝cos
x的图象(略)，可知两函数只有一个交点，所以f(x)在[0，＋∞)内只有一个零点.
　判断方程－cos
x＝0根的个数.
【精彩点拨】　当求解的方程不是普通方程时，经常采用数形结合法求解，即分别画出两个函数图象来求方程解的个数.
【自主解答】　设f(x)＝，g(x)＝cos
x，在同一直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图象，如图：
由图可知，f(x)与g(x)的图象有三个交点，故方程－cos
x＝0有三个根.
1.求f(x)－Asin
x＝0(A≠0)或f(x)－Acos
x＝0(A≠0)的根的个数，运用数形结合，转化为函数图象交点的个数，由于正弦函数和余弦函数的图象都是介于y＝－1与y＝1之间，只需考虑－A≤f(x)≤A的x的范围，在该范围内f(x)的图象与Asin
x或Acos
x的图象的交点的个数即方程根的个数.
2.准确画出图象是解决此类问题的关键，同时要注意相关问题的求解.
[再练一题]
4.方程x2－cos
x＝0的实数解的个数是__________.
【解析】　作函数y＝cos
x与y＝x2的图象，如图所示，
由图象，可知原方程有两个实数解.
【答案】　2
1.以下对于正弦函数y＝sin
x的图象描述不正确的是(　　)
A.在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k∈Z上的图象形状相同，只是位置不同
B.关于x轴对称
C.介于直线y＝1和y＝－1之间
D.与y轴仅有一个交点
【解析】　观察y＝sin
x的图象可知A，C，D正确，且关于原点中心对称，故选B.
【答案】　B
2.用“五点法”作函数y＝cos
2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是(　　)
【导学号：00680016】
A.0，，π，，2π　　　
B.0，，，，π
C.0，π，2π，3π，4π
D.0，，，，
【解析】　令2x＝0，，π，和2π，得x＝0，，，，π，故选B.
【答案】　B
3.点M在函数y＝sin
x的图象上，则m等于(　　)
A.0
B.1
C.－1
D.2
【解析】　由题意－m＝sin
，∴－m＝1，∴m＝－1.
【答案】　C
4.函数y＝cos
x与函数y＝－cos
x的图象(　　)
A.关于直线x＝1对称
B.关于原点对称
C.关于x轴对称
D.关于y轴对称
【解析】　作出函数y＝cos
x与函数y＝－cos
x的简图(略)，易知它们关于x轴对称，故选C.
【答案】　C
5.用“五点法”画出y＝cos，x∈[0,2π]的简图.
【解】　由诱导公式得y＝cos＝－sin
x，
(1)列表：
x
0
π
2π
－sin
x
0
－1
0
1
0
(2)描点：在坐标系内描出点(0,0)，，(π，0)，，(2π，0).
(3)作图：将上述五点用平滑的曲线顺次连接起来.1.4.3　正切函数的性质与图象
1.能画出正切函数的图象.(重点)
2.掌握正切函数的性质.(重点、难点)
3.正切函数的定义域及正切曲线的渐近线.(易错点)
[基础·初探]
教材整理1　正切函数的图象
阅读教材P43倒数第二行至P44思考以上内容，完成下列问题.
1.正切函数的图象：
图1 4 2
2.正切函数的图象叫做正切曲线.
3.正切函数的图象特征：
正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正切函数的定义域和值域都是R.(　　)
(2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心.(　　)
(3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是x＝kπ±，k∈Z.(　　)
(4)正切函数是增函数.(　　)
【解析】　由正切函数图象可知(1)×，(2)√，(3)×，(4)×.
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
教材整理2　正切函数的性质
阅读教材P42～P43倒数第三行以上内容，完成下列问题.
1.函数y＝tan
x的图象与性质见下表：
解析式
y＝tan
x
图象
定义域
值域
R
周期
π
奇偶性
奇
单调性
在开区间k∈Z内都是增函数
2.函数y＝tan
ωx(ω≠0)的最小正周期是.
(1)函数y＝tan的定义域为________.
(2)函数y＝tan的单调增区间为________.
【解析】　(1)∵2x－≠kπ＋，k∈Z，
∴x≠＋π，k∈Z.
(2)令kπ－得kπ－π即y＝tan的单调增区间为
，k∈Z.
【答案】　(1)　
(2)，k∈Z
[小组合作型]
正切函数的定义域、值域问题
　求函数y＝＋lg(1－tan
x)的定义域.
【导学号：70512013】
【精彩点拨】　求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线.
【自主解答】　要使函数y＝＋lg(1－tan
x)有意义，则
即－1≤tan
x<1.
在上满足上述不等式的x的取值范围是.
又因为y＝tan
x的周期为π，所以所求x的定义域为.
1.求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan
x有意义即x≠＋kπ，k∈Z.
2.解正切不等式的两种方法：
(1)图象法：先画出函数图象，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合.
(2)三角函数线法：先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域.要特别注意函数的定义域.
[再练一题]
1.求函数y＝的定义域.
【导学号：00680021】
【解】　根据题意，
得
解得(k∈Z).
所以函数的定义域为∪(k∈Z).
正切函数的奇偶性、周期性
　(1)函数y＝4tan的周期为________.
(2)判断下列函数的奇偶性：
①f(x)＝；
②f(x)＝tan＋tan.
【精彩点拨】　(1)可用定义法求，也可用公式法求，也可作出函数图象来求.
(2)可按定义法的步骤判断.
【自主解答】　(1)由于ω＝3，故函数的周期为T＝＝.
【答案】　
(2)①由
得f(x)的定义域为，
不关于原点对称，
所以函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数.
②函数定义域为，
关于原点对称，
又f(－x)＝tan＋tan
＝－tan－tan
＝－f(x)，
所以函数是奇函数.
1.函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法：
(1)定义法.
(2)公式法：对于函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝.
(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现.
2.判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：
先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系.
[再练一题]
2.(1)函数f(x)＝tan的周期为________.
(2)函数y＝sin
x＋tan
x是________函数.(填“奇”或“偶”)
【解析】　(1)∵tan＝tan，即tan＝tan，
∴f(x)＝tan的周期是.
(2)定义域为，关于原点对称，
∵f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin
x－tan
x＝－f(x)，
∴函数是奇函数.
【答案】　(1)　(2)奇
[探究共研型]
正切函数的单调性及其应用
探究1　正切函数y＝tan
x在其定义域内是否为增函数？
【提示】　不是.正切函数的图象被直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开，所以它的单调区间只在(k∈Z)内，而不能说它在定义域内是增函数.假设x1＝，x2＝π，x1x1＝tan
x2.
探究2　如果让你比较tan与tan的大小，你应该怎样做？
【提示】　先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较.
　(1)求函数y＝tan的单调区间；
(2)比较tan
1，tan
2，tan
3的大小；
(3)求函数y＝tan(sin
x)的值域.
【精彩点拨】　解答本题(1)可先令y＝－tan，从而把x－整体代入(k∈Z)这个区间内解出x便可.
解答本题(2)可先把角化归到同一单调区间内，即利用tan
2＝tan(2－π)，tan
3＝tan(3－π)，最后利用y＝tan
x在上的单调性判断大小关系.
解答本题(3)可先确定sin
x的范围，然后根据y＝tan
x的单调性求值域.
【自主解答】　(1)y＝tan＝－tan，
由kπ－得2kπ－∴函数y＝tan的单调递减区间是(k∈Z).
(2)∵tan
2＝tan(2－π)，tan
3＝tan(3－π).
又∵<2<π，∴－<2－π<0.
∵<3<π，∴－<3－π<0，
显然－<2－π<3－π<1<，
且y＝tan
x在内是增函数，
∴tan(2－π)1，即tan
231.
(3)因为－1≤sin
x≤1，且[－1,1] ，所以y＝tan
x在[－1,1]上是增函数，
因此y＝tan(sin
x)的值域为[－tan
1，tan
1].
1.求y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间时，由kπ－<ωx＋φ2.运用正切函数的单调性比较tan
α与tan
β大小的步骤：
(1)利用诱导公式将角α，β转化到同一单调区间内，通常是转化到区间内；
(2)运用正切函数的单调性比较大小.
3.求与正切函数有关的函数的值域时，要注意定义域；当所给函数为复合函数时，要注意内层函数的范围.
[再练一题]
3.(1)求函数y＝tan的单调区间；
(2)比较tan与tan的大小.
【解】　(1)由kπ－2kπ－所以函数y＝tan的单调递增区间是(k∈Z).
(2)由于tan＝tan＝tan
＝－tan
，tan＝－tan
＝－tan
，又0<<<，
而y＝tan
x在上单调递增，所以tan
，－tan
>－tan
，
即tan>tan.
1.函数y＝tan
x的值域是(　　)
A.[－1,1]　　　　　　B.[－1,0)∪(0,1]
C.(－∞，1]
D.[－1，＋∞)
【解析】　根据函数的单调性可得.
【答案】　B
2.函数f(x)＝tan的定义域是________，f＝________.
【导学号：00680022】
【解析】　由题意知x＋≠kπ＋(k∈Z)，
即x≠＋kπ(k∈Z).
故定义域为，
且f＝tan＝.
【答案】　　
3.函数y＝－tan
x的单调递减区间是________.
【解析】　因为y＝tan
x与y＝－tan
x的单调性相反，所以y＝－tan
x的单调递减区间为(k∈Z).
【答案】　(k∈Z)
4.函数y＝|tan
x|的周期为________.
【解析】　作出y＝|tan
x|的图象，如图所示.
由图可知，函数y＝|tan
x|的最小正周期是π.
【答案】　π
5.求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝lg(－tan
x).
【解】　(1)要使函数y＝有意义，需使
所以函数的定义域为.
(2)因为－tan
x>0，所以tan
x<.
又因为tan
x＝时，x＝＋kπ(k∈Z)，
根据正切函数图象(图略)，
得kπ－1.能借助单位圆中的三角函数线推导诱导公式二，并由此探究相关的其他诱导公式.(难点)
2.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简与证明问题.(重点)
3.各种诱导公式的特征.(易混点)
[基础·初探]
教材整理1　诱导公式二～公式四
阅读教材P23～P24例1以上内容，完成下列问题.
1.诱导公式二
(1)对应角终边之间的对称关系
在平面直角坐标系中，π＋α的终边与角α的终边关于原点对称.
(2)诱导公式二
sin(π＋α)＝－sin
α；cos(π＋α)＝－cos
α；
tan(π＋α)＝tan
α.
2.诱导公式三
(1)对应角终边之间的对称关系
在平面直角坐标系中，－α的终边与角α的终边关于x轴对称.
(2)诱导公式三
sin(－α)＝－sin
α；cos(－α)＝cos
α；
tan(－α)＝－tan
α.
3.诱导公式四
(1)对应角终边之间的对称关系
在平面直角坐标系中，π－α的终边与角α的终边关于y轴对称.
(2)诱导公式四
sin(π－α)＝sin
α；cos(π－α)＝－cos
α；
tan(π－α)＝－tan
α.
(3)公式一～四可以概括为：
α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)tan
210°＝.(　　)
(2)对于诱导公式中的角α一定是锐角.(　　)
(3)由公式三知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β).(　　)
(4)在△ABC中，sin(A＋B)＝sin
C.(　　)
【解析】　(1)tan
210°＝tan
30°＝.
(2)诱导公式中的角α是任意角，不一定是锐角.
(3)由公式三知cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，
故cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)是不正确的.
(4)因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，
所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin
C.
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
教材整理2　诱导公式五、六
阅读教材P26第七行以下至“例3”以上内容，完成下列问题.
1.公式五：sin＝cos
α，cos＝sin
α.
2.公式六：sin＝cos
α，cos＝－sin
α.
3.公式五和公式六可以概括为：
±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
公式一～六都叫做诱导公式.
若cos＝，则cos＝________.
【解析】　∵cos＝sin
α＝，
∴cos
＝－sin
α＝－.
【答案】　－
[小组合作型]
给角求值问题
　求下列各三角函数值.
(1)sin；(2)cos
π.
【精彩点拨】　先化负角为正角，再将大于360°的角化为0°到360°内的角，进而利用诱导公式求得结果.
【自主解答】　(1)sin
＝－sin
＝－sin＝－sin
＝－sin＝sin
＝.
(2)cos
π＝cos＝cos
＝cos＝－cos
＝－.
已知角求值的问题主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解.如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角后，再转化到范围内的角的三角函数，同时，准确记忆特殊角的三角函数值.
[再练一题]
1.求下列各三角函数值.
(1)tan(－855°)；(2)sin
π.
【解】　(1)tan(－855°)＝－tan
855°＝－tan(2×360°＋135°)
＝－tan
135°＝－tan(180°－45°)＝tan
45°＝1.
(2)sin
π＝sin＝sin
π
＝sin
＝cos
＝.
给值(式)求值问题
　已知cos＝，求cos－sin2的值.
【导学号：70512008】
【精彩点拨】　
【自主解答】　因为cos＝cos
＝－cos＝－，
sin2＝sin2＝1－cos2＝，所以cos－sin2＝－－＝－.
1.解决条件求值问题的策略：
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
(2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化.
2.常见的互余关系有：－α与＋α，＋α与－α等；
常见的互补关系有：＋θ与－θ，＋θ与－θ等.
[再练一题]
2.已知cos＝，则sin＝________.
【解析】　sin＝sin
＝sin＝sin
＝cos＝.
【答案】　
利用诱导公式证明三角恒等式
　求证：＝－tan
α.
【导学号：00680012】
【精彩点拨】　观察被证式两端，左繁右简，可以从左端入手，利用诱导公式进行化简，逐步地推向右边.
【自主解答】　原式左边＝
＝＝
＝－tan
α＝右边.
原式得证.
关于三角恒等式的证明，常用方法：
(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般由繁到简.
(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子.无论用哪种方法都要针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除其差异.
[再练一题]
3.已知tan(7π＋α)＝2，
求证：＝2.
【证明】　∵tan(7π＋α)＝2，∴tan
α＝2，
∴＝＝＝＝2.
[探究共研型]
诱导公式中的分类讨论思想
探究1　利用诱导公式能否直接写出sin(kπ＋α)的值？
【提示】　不能.因为k是奇数还是偶数不确定.
当k是奇数时，即k＝2n＋1(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin(π＋α)＝－sin
α；
当k是偶数时，即k＝2n(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin
α.
探究2　如何化简tan呢？
【提示】　当k为奇数时，即k＝2n＋1(n∈Z)，
tan＝tan＝＝＝；
当k为偶数时，即k＝2n(n∈Z)，
tan＝tan
α.
所以tan＝
　设k为整数，化简：
.
【精彩点拨】　本题主要考查分类讨论的思想以及诱导公式.常用的解决方法有两种：①为了便于运用诱导公式，必须把k分成偶数和奇数两种情况讨论；②观察式子结构，kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，可使用配角法.
【自主解答】　法一：当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则原式＝＝＝＝－1；
当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1.
法二：由于kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，故cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)，sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)，sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α).
所以原式＝＝－1.
由于k∈Z的任意性，对于不同的k值，可能导致不同的结果，因而要加以分类讨论，正确的思维就是分为奇数与偶数加以分析.
[再练一题]
4.化简(n∈Z)的结果为________.
【解析】　(1)当n＝2k(k∈Z)时，
原式＝＝
＝－sin
α.
(2)当n＝2k＋1(k∈Z)时，
原式＝
＝＝sin
α.
所以化简所得的结果为(－1)n＋1·sin
α.
【答案】　(－1)n＋1sin
α
1.下列各式不正确的是(　　)
A.sin(α＋180°)＝－sin
α
B.cos(－α＋β)＝－cos(α－β)
C.sin(－α－360°)＝－sin
α
D.cos(－α－β)＝cos(α＋β)
【解析】　cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故B项错误.
【答案】　B
2.sin
600°的值为(　　)
A.
B.－
C.
D.－
【解析】　sin
600°＝sin(720°－120°)＝－sin
120°
＝－sin(180°－60°)＝－sin
60°＝－.故选
D.
【答案】　D
3.cos
1
030°＝(　　)
A.cos
50°
B.－cos
50°
C.sin
50°
D.－sin
50°
【解析】　cos
1
030°＝cos(3×360°－50°)
＝cos(－50°)＝cos
50°.
【答案】　A
4.若sin<0，且cos>0，则θ是(　　)
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三角限角
D.第四象限角
【解析】　由于sin＝cos
θ<0，
cos＝sin
θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.
【答案】　B
5.已知sin
φ＝，求cos＋sin(3π－φ)的值.
【导学号：00680013】
【解】　∵sin
φ＝，
∴cos＝cos
＝cos
＝cos＝sin
φ＝，
∴cos＋sin(3π－φ)＝＋sin(π－φ)
＝＋sin
φ＝.2.2.3　向量数乘运算及其几何意义
1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义.(重点)
2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算.(重点)
3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.(难点)
4.理解实数相乘与向量数乘的区别.(易混点)
[基础·初探]
教材整理1　向量的数乘运算
阅读教材P87～P88例5以上内容，完成下列问题.
1.定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.
2.规定：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
3.运算律：
设λ，μ为实数，则
(1)λ(μa)＝λμa；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
特别地，我们有
(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有________.
①a与－λa的方向相反；
②|－λa|≥|a|；
③a与λ2a方向相同；
④|－2λa|＝2|λ|·|a|.
【解析】　由向量数乘的几何意义知③④正确.
【答案】　③④
教材整理2　共线向量与向量的线性运算
阅读教材P88例5以下至P89例7以上内容，完成下列问题.
1.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.
2.向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
如图2 2 18，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.
图2 2 18
【解析】　由向量加法的平行四边形法则知＋＝.
又∵O是AC的中点，∴AC＝2AO，
∴＝2，∴＋＝2，
∴λ＝2.
【答案】　2
[小组合作型]
数乘向量的定义及其几何意义
　(1)若两个非零向量a与(2x－1)a方向相同，则x的取值范围为________.
(2)已知点C在线段AB的延长线上(在B点右侧)，且AB∶AC＝2∶3.
①用表示；
②用表示.
【精彩点拨】　对数乘运算的理解，关键是对系数λ的作用的认识：
λ>0时，λa与a同向，模是|a|的λ倍；
λ<0时，λa与a反向，模是|a|的－λ倍；
λ＝0时，λa＝0.
【自主解答】　(1)由定义可知，2x－1>0，即x>.
【答案】　x>
(2)如图a，因为点C在线段AB的延长线上，且AB∶AC＝2∶3，所以AB＝2BC，AC＝3BC.
①如图b，向量与方向相同，所以＝2；
②如图c，向量与方向相反，所以＝－3.
对向量数乘运算的三点说明：
(1)λa中的实数λ叫做向量a的系数.
(2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小.
(3)当λ＝0或a＝0时，λa＝.注意是0，而不是0.
[再练一题]
1.已知a，b是两个非零向量，判断下列各命题的真假，并说明理由.
(1)a的方向与a的方向相同，且a的模是a的模的倍；
(2)－3a的方向与6a的方向相反，且－3a的模是6a的模的；
(3)－4a与4a是一对相反向量；
(4)a－b与－(b－a)是一对相反向量；
(5)若a，b不共线，则0·a与b不共线.
【导学号：00680042】
【解】　(1)真命题.∵>0，∴a与a同向.
∵|a|＝|a|，
∴a的模是a的模的倍.
(2)真命题.∵－3<0，
∴－3a与a方向相反且|－3a|＝3|a|.
又∵6>0，∴6a与a方向相同且|6a|＝6|a|，
∴－3a与6a方向相反且模是6a的模的.
(3)真命题.由数乘定义和相反向量定义可知.
(4)假命题.
∵a－b与b－a是相反向量，
∴a－b与－(b－a)是相等向量.
(5)假命题.0·a＝0，∴0·a与b共线.
向量的线性运算
　(1)化简：(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)＝________.
(2)已知向量a，b，x，且(x－a)－(b－x)＝x－(a＋b)，则x＝________.
【精彩点拨】　(1)可类比实数运算中的合并同类项方法化简；
(2)可类比解方程方法求解.
【自主解答】　(1)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)＝2a－3a＋3b＋2b－c－c＝－a＋5b－2c.
(2)因为(x－a)－(b－x)＝2x－(a＋b)，所以2x－a－b＝x－a－b，即x＝0.
【答案】　(1)－a＋5b－2c　(2)0
向量数乘运算的方法：
(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.
(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算.
[再练一题]
2.化简的结果是(　　)
A.2a－b
B.2b－a
C.b－a
D.a－b
【解】　原式＝(a＋4b－4a＋2b)＝(6b－3a)＝2b－a.
【答案】　B
[探究共研型]
向量共线问题
探究1　已知m，n是不共线向量，a＝3m＋4n，b＝6m－8n，判断a与b是否共线？
【提示】　要判断两向量是否共线，只需看是否能找到一个实数λ，使得a＝λb即可.
若a与b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，即3m＋4n＝λ(6m－8n).
∵m，n不共线，∴
∵不存在λ同时满足此方程组，∴a与b不共线.
探究2　已知e1，e2是共线向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，则a与b是否共线？
【提示】　∵e1，e2共线，
∴存在λ∈R，使e1＝λe2.
∴a＝3e1＋4e2＝3λe2＋4e2＝(3λ＋4)e2，
b＝6e1－8e2＝6λe2－8e2＝(6λ－8)e2，
∴a＝b，
∴a与b共线.
当λ＝时，b＝0，∴a与b共线.
探究3　设两非零向量e1和e2不共线，是否存在实数k，使ke1＋e2和e1＋ke2共线？
【提示】　设ke1＋e2与e1＋ke2共线，
∴存在λ使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
则(k－λ)e1＝(λk－1)e2.
∵e1与e2不共线，∴只能有则k＝±1.
　已知非零向量e1，e2不共线.
如果A＝e1＋e2，B＝2e1＋8e2，C＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线.
【精彩点拨】　欲证A，B，D共线，只需证存在实数λ，使B＝λA即可.
【自主解答】　∵A＝e1＋e2，
B＝B＋C＝2e1＋8e2＋3e1－3e2
＝5(e1＋e2)
＝5A.
∴A，B共线，且有公共点B，
∴A，B，D三点共线.
1.本题充分利用了向量共线定理，即b与a(a≠0)共线 b＝λa，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值.
2.向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线.
[再练一题]
3.设两个非零向量e1，e2不共线，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.问：是否存在实数k，使得A，B，D三点共线，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
【导学号：70512028】
【解】　设存在k∈R，使得A，B，D三点共线，
∵＝－＝(e1＋3e2)－(2e1－e2)＝－e1＋4e2，＝2e1＋ke2.
又∵A，B，D三点共线，∴＝λ，
∴2e1＋ke2＝λ(－e1＋4e2)，
∴∴k＝－8，
所以存在k＝－8，使得A，B，D三点共线.
1.下列各式中不表示向量的是(　　)
A.0·a
B.a＋3b
C.|3a|
D.e(x，y∈R，且x≠y)
【解析】　向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a|不是向量.
【答案】　C
2.下列计算正确的个数是(　　)
①(－3)·2a＝－6a；②2(a＋b)－(2b－a)＝3a；③(a＋2b)－(2b＋a)＝0.
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】　因为(－3)·2a＝－6a，故①正确；②中，左＝2a＋2b－2b＋a＝3a成立，故②正确；③中，左＝a＋2b－2b－a＝0≠0，故③错误.
【答案】　C
3.－等于(　　)
A.a－b＋2c
B.5a－b＋2c
C.a＋b＋2c
D.5a＋b
【解析】　－＝(3a－2a)＋＋(c＋c)＝a－b＋2c.故选A.
【答案】　A
4.O为平行四边形ABCD的中心，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1＝________.
【解析】　设点E为平行四边形ABCD的BC边中点，点F为AB边中点，则3e2－2e1＝＋＝＝.
【答案】　(或)
5.在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，证明：直线AD∥BC.
【导学号：00680043】
【证明】　∵＝＋＝＋＋＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，∴与共线.
又AD与BC不重合，∴直线AD∥BC.1.4.2　正弦函数、余弦函数的性质
1.掌握y＝sin
x(x∈R)，y＝cos
x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值.(重点)
2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期，单调区间及最值.(难点)
3.了解周期函数、周期、最小正周期的含义.(易混点)
[基础·初探]
教材整理1　函数的周期性
阅读教材P34～P35“例2”以上部分，完成下列问题.
1.函数的周期性
(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
2.两种特殊的周期函数
(1)正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.
(2)余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.
函数y＝2cos
x＋5的最小正周期是________.
【解析】　函数y＝2cos
x＋5的最小正周期为T＝2π.
【答案】　2π
教材整理2　正、余弦函数的奇偶性
阅读教材P37“思考”以下至P37第14行以上内容，完成下列问题.
1.对于y＝sin
x，x∈R恒有sin(－x)＝－sin
x，所以正弦函数y＝sin
x是奇函数，正弦曲线关于原点对称.
2.对于y＝cos
x，x∈R恒有cos(－x)＝cos
x，所以余弦函数y＝cos
x是偶函数，余弦曲线关于y轴对称.
判断函数f(x)＝sin的奇偶性.
【解】　因为f(x)＝sin＝－cos
2x.
且f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos
2x＝f(x)，所以f(x)为偶函数.
教材整理3　正、余弦函数的图象和性质
阅读教材P37～P38“例3”以上内容，完成下列问题.
函数名称图象与性质性质分类
y＝sin
x
y＝cos
x
相同处
定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
周期性
最小正周期为2π
最小正周期为2π
不同处
图象
奇偶性
奇函数
偶函数
单调性
在(k∈Z)上是增函数；在(k∈Z)上是减函数
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增函数；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上减函数
对称轴
x＝kπ＋(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
对称中心
(kπ，0)(k∈Z)
(k∈Z)
最值
x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1；x＝2kπ－(k∈Z)时，ymin＝－1
x＝2kπ时，ymax＝1；x＝2kπ＋π时，ymin＝－1
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若sin＝sin，则是函数y＝sin
x的一个周期.(　　)
(2)函数y＝sin
x在第一象限内是增函数.(　　)
(3)余弦函数y＝cos
x是偶函数，图象关于y轴对称，对称轴有无数多条.(　　)
(4)函数y＝－sin
x，x∈的最大值为0.(　　)
【解析】　(1)×.因为对任意x，sin与sin
x并不一定相等.
(2)×.y＝sin
x的单调性针对的是某一区间，不能用象限角表示.
(3)√.由余弦函数图象可知正确.
(4)√.函数y＝－sin
x在x∈上为减函数，故当x＝0时，取最大值0.
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
[小组合作型]
三角函数的周期问题及简单应用
　(1)下列函数是以π为最小正周期的函数是(　　)
A.y＝sin
x
B.y＝sin
x＋2
C.y＝cos
2x＋2
D.y＝cos
3x－1
(2)函数y＝sin的最小正周期为________.
(3)求函数y＝|sin
x|的最小正周期.
【精彩点拨】　(1)(2)利用周期定义或公式T＝求解.(3)利用图象求解.
【自主解答】　(1)y＝sin
x及y＝sin
x＋2的最小正周期为2π，y＝cos
2x＋2的最小正周期为π，y＝cos
3x－1的最小正周期为，所以选C.
(2)法一：y＝sin＝sin
＝sin，所以最小正周期为π.
法二：因为函数y＝sin中ω＝2，所以其最小正周期T＝＝＝π.
【答案】　(1)C　(2)π
(3)作函数y＝|sin
x|的简图如下：
由图象可知y＝|sin
x|的最小正周期为π.
求三角函数周期的方法：
(1)定义法：即利用周期函数的定义求解.
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝.
(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期.
[再练一题]
1.求下列三角函数的周期：
(1)y＝cos
2x，x∈R；
(2)y＝sin，x∈R.
【导学号：00680018】
【解】　(1)因为cos
2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＝cos
2x，由周期函数的定义知，y＝cos
2x的周期为π.
(2)因为sin
＝sin＝sin，由周期函数的定义知，y＝sin的周期为6π.
三角函数奇偶性的判断
　(1)函数y＝sin是(　　)
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
(2)已知a∈R，函数f(x)＝sin
x－|a|(x∈R)为奇函数，则a等于(　　)
A.0
B.1
C.－1
D.±1
【精彩点拨】　(1)可先化简解析式再判断奇偶性.(2)可由f(－x)＝－f(x)恒成立来求a.
【自主解答】　(1)因为y＝sin
＝sin
＝－sin＝－cos
2
016x，
所以为偶函数.
(2)函数的定义域为R，因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝sin(－x)－|a|＝－f(x)＝－sin
x＋|a|，所以|a|＝0，从而a＝0，故选A.
【答案】　(1)B　(2)A
1.判断函数奇偶性应把握好的两个方面：
一看函数的定义域是否关于原点对称；
二看f(x)与f(－x)的关系.
2.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.
[再练一题]
2.(1)函数f(x)＝sin
2x的奇偶性为
(　　)
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
(2)判断函数f(x)＝sin的奇偶性.
【解析】　(1)∵f(x)的定义域是R，
且f(－x)＝sin
2(－x)＝－sin
2x
＝－f(x)，∴函数为奇函数.
【答案】　A
(2)∵f(x)＝sin＝－cos
x，
∴f(－x)＝－cos＝－cos
x，
∴函数f(x)＝sin为偶函数.
求正、余弦函数的单调区间
　(1)下列函数，在上是增函数的是(　　)
A.y＝sin
x
B.y＝cos
x
C.y＝sin
2x
D.y＝cos
2x
(2)函数y＝cos
x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________.
(3)求函数y＝sin的单调递减区间.
【精彩点拨】　(1)可借助于正、余弦函数的单调区间来判断；(2)可利用[－π，a]为y＝cos
x对应增区间子集求a范围；(3)可先化为y＝－sin后，利用复合函数在对应区间上同增异减方法来求解.
【自主解答】　(1)因为y＝sin
x与y＝cos
x在上都是减函数，所以排除A，B.因为≤x≤π，所以π≤2x≤2π.
因为y＝sin
2x在2x∈[π，2π]内不具有单调性，所以排除C.
(2)因为y＝cos
x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π【答案】　(1)D　(2)(－π，0]
(3)y＝sin＝－sin，
令z＝x－，则y＝－sin
z，
要求y＝－sin
z的递减区间，只需求sin
z的递增区间，
即2kπ－≤z≤2kπ＋，k∈Z，
所以2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，
所以2kπ－≤x≤2kπ＋π，k∈Z.
故函数y＝sin的单调递减区间为(k∈Z).
1.求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或形如y＝Acos(ωx＋φ)＋b(其中A≠0，ω>0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得.
2.具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；②在A>0，ω>0时，将“ωx＋φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，ω>0时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间.
[再练一题]
3.求函数y＝2cos的单调递减区间.
【解】　令2kπ≤3x－≤π＋2kπ(k∈Z)，
解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
所以函数y＝2cos的单调递减区间为(k∈Z).
[探究共研型]
正、余弦函数的值域与最值问题
探究1　函数y＝sin在x∈[0，π]上最小值是多少？
【提示】　因为x∈[0，π]，所以x＋∈，由正弦函数图象可知函数的最小值为－.
探究2　函数y＝Asin
x＋b，x∈R的最大值一定是A＋b吗？
【提示】　不是.因为A>0时最大值为A＋b，若A<0时最大值应为－A＋b.
　求下列函数的值域：
(1)y＝3－2sin
2x；
(2)y＝cos，x∈；
(3)y＝cos2
x－4cos
x＋5.
【精彩点拨】　(1)利用－1≤sin
2x≤1求解.
(2)可换元令z＝x＋∈，转化为求y＝cos
z值域来求解；
(3)可换元，令cos
x＝t，转化为一元二次函数来解决.
【自主解答】　(1)∵－1≤sin
2x≤1，
∴－2≤－2sin
2x≤2，
∴1≤3－2sin
2x≤5，
∴原函数的值域是[1,5].
(2)由y＝cos，x∈可得x＋∈，
∵函数y＝cos
x在区间上单调递减，
∴函数的值域为.
(3)y＝cos2
x－4cos
x＋5，令t＝cos
x，则－1≤t≤1.
y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，
当t＝－1，函数取得最大值10；
t＝1时，函数取得最小值2，所以函数的值域为[2,10].
三角函数最值问题的常见类型及求解方法：
1 y＝asin2x＋bsin
x＋c a≠0 ，利用换元思想设t＝sin
x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定.
2 y＝Asin ωx＋φ ＋b，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin ωx＋φ 的范围，最后得最值.
[再练一题]
4.(1)函数y＝2cos，x∈的值域为________.
(2)函数f(x)＝2sin2
x＋2sin
x－，x∈的值域为________.
【解析】　(1)∵x∈，
∴2x＋∈，
∴cos∈
∴函数的值域为[－1,2].
(2)令t＝sin
x，
∵x∈，∴≤sin
x≤1，
即≤t≤1.
∴f(t)＝2t2＋2t－＝22－1，
t∈，且该函数在上单调递增.
∴f(t)的最小值为f＝1，最大值为f(1)＝.即函数f(x)的值域为.
【答案】　(1)[－1,2]　(2)
1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若sin(60°＋60°)＝sin
60°，则60°为正弦函数y＝sin
x的一个周期.(　　)
(2)若T是函数f(x)的周期，则kT，k∈N
也是函数f(x)的周期.(　　)
(3)函数y＝sin
x，x∈(－π，π]是奇函数.(　　)
【解析】　(1)×.举反例，sin(40°＋60°)≠sin
40°，所以60°不是正弦函数y＝sin
x的一个周期.
(2)√.根据周期函数的定义知，该说法正确.
(3)×.因为定义域不关于原点对称.
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×
2.函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为(　　)
【导学号：70512011】
A.　　　　　　　　
B.π
C.2π
D.4π
【解析】　因为sin
＝sin
＝sin，即f(x＋4π)＝f(x)，所以函数f(x)的最小正周期为4π.
【答案】　D
3.函数f(x)＝sin的一个递减区间是(　　)
【导学号：00680019】
A.
B.[－π，0]
C.
D.
【解析】　令x＋∈，k∈Z，
得x∈，k∈Z，
k＝0时，区间是函数f(x)的一个单调递减区间，而 .故选D.
【答案】　D
4.比较下列各组数的大小：
(1)cos
150°与cos
170°；(2)sin
与sin.
【解】　(1)因为90°<150°<170°<180°，函数y＝cos
x在区间[90°，180°]上是减函数，所以cos
150°>cos
170°.
(2)sin＝sin＝sin
＝sin＝sin
.因为0<<<，函数y＝sin
x在区间上是增函数，所以sin
，即sin
1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题.(重点)
2.实际问题抽象为三角函数模型.(难点)
[基础·初探]
教材整理　三角函数的实际应用
阅读教材P60～P64所有内容，完成下列问题.
1.三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型.
2.y＝|sin
x|是以π为周期的波浪形曲线.
3.解三角函数应用题的基本步骤：
(1)审清题意；(2)搜集整理数据，建立数学模型；
(3)讨论变量关系，求解数学模型；
(4)检验，作出结论.
单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(厘米)和时间t(秒)的函数关系为s＝3sin，那么单摆来回摆的振幅为________厘米，一次所需的时间为________秒.
【解析】　因为s＝3sin，
所以振幅为A＝3(厘米)，周期T＝＝4(秒).
【答案】　3　4
[小组合作型]
三角函数模型简单的实际应用
　如图1 6 1，某动物种群数量1月1日低至700只，7月1日高至900只，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化.
图1 6 1
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位)；
(2)估计当年3月1日动物种群数量.
【导学号：00680027】
【精彩点拨】　可设y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)来求解.
【自主解答】　(1)设动物种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)，
则
解得A＝100，b＝800.
又周期T＝2×(6－0)＝12，
∴ω＝＝，
∴y＝100sin＋800.
又当t＝6时，y＝900，
∴900＝100sin＋800，
∴sin(π＋φ)＝1，
∴sin
φ＝－1，
∴取φ＝－，
∴y＝100sin＋800.
(2)当t＝2时，y＝100sin＋800＝750，
即当年3月1日动物种群数量约是750只.
解三角函数应用问题的基本步骤
[再练一题]
1.已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4,16].
(1)求该地这一段时间内温度的最大温差；
(2)若有一种细菌在15
℃到25
℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？
【解】　(1)当x＝14时函数取最大值，此时最高温度为30
℃，当x＝6时函数取最小值，此时最低温度为10
℃，所以最大温差为30
℃－10
℃＝20
℃.
(2)令10sin＋20＝15，
得sin＝－，
而x∈[4,16]，所以x＝.
令10sin＋20＝25，
得sin＝，
而x∈[4,16]，所以x＝.
故该细菌能存活的最长时间为－＝小时.
三角函数模型在物理学中的应用
　已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞).用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题.
(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
(3)经过多长时间小球往复振动一次？
【精彩点拨】　确定函数y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A，ω，φ的物理意义是解题关键.
【自主解答】　列表如下：
t
－
2t＋
0
π
2π
sin
0
1
0
－1
0
s
0
4
0
－4
0
描点、连线，图象如图所示.
(1)将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin
＝2，所以小球开始振动时的位移是2
cm.
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4
cm和－4
cm.
(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π
s.
在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝Asin ωx＋φ 表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f＝为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数.
[再练一题]
2.弹簧挂着的小球做上下振动，它在t
s时相对于平衡位置(就是静止时的位置)的高度h
cm由函数关系式h＝3sin确定.
(1)以t为横坐标，h为纵坐标，作出函数的图象(0≤t≤π)；
(2)求小球开始振动(即t＝0)时的位移；
(3)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位移；
(4)经过多少时间小球往复振动一次？
(5)每秒钟小球能往复振动多少次？
【解】　(1)函数h＝3sin，0≤t≤π的图象如图所示.
(2)令t＝0，得h＝，所以小球开始振动时的位移为
cm.
(3)结合图象可知，最高点和最低点的坐标分别是，，所以小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是3
cm和－3
cm.
(4)由图可知周期T＝π，即经过π
s小球往复振动一次.
(5)f＝＝，即每秒钟小球能往复振动次.
[探究共研型]
数据拟合问题
探究　在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？
【提示】　(1)根据原始数据给出散点图.
(2)通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线.
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据.
　某港口的水深y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是有关时间与水深的数据：
t(h)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(m)
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
根据上述数据描出的曲线如图1 6 2所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型函数y＝Asin
ωt＋b的图象.
(1)试根据以上数据，求出y＝Asin
ωt＋b的表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5
m时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7
m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出港所用的时间)
图1 6 2
【精彩点拨】　(1)从拟合曲线可知：函数y＝Asin
ωt＋b的周期；由t＝0时的函数值，t＝3时取得的最大值，进而可求得ω，A，b的值.
(2)根据(1)中求得的函数表达式，求出数值不小于4.5＋7＝11.5(m)的时段.
【自主解答】　(1)从拟合曲线可知：函数y＝Asin
ωt＋b在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12
h，因此＝12，ω＝.
又∵当t＝0时，y＝10；当t＝3时，ymax＝13，
∴b＝10，A＝13－10＝3，
∴所求函数的表达式为y＝3sin
t＋10(0≤t≤24).
(2)由于船的吃水深度为7
m，船底与海底的距离不少于4.5
m，故在船舶航行时，水深y应大于或等于7＋4.5＝11.5(m).令y＝3sin
t＋10≥11.5，
可得sin
t≥，
∴2kπ＋≤t≤2kπ＋(k∈Z)，
∴12k＋1≤t≤12k＋5(k∈Z).
取k＝0，则1≤t≤5，取k＝1，则13≤t≤17；
而取k＝2时，25≤t≤29(不合题意，舍).
从而可知船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时(1时到5时都可以)进港，而下午的17时(即13时到17时之间)离港，在港内停留的时间最长为16
h.
1.本题中没有明确函数的类型，则可通过画散点图来拟合曲线.
2.此类问题的一般解法是先由表中数据分析求出待定系数，再转化为三角不等式对实际问题进行预测判断.由于实际问题的背景往往比较复杂，所以要注意认真审题从中抽取基本的数学关系.
[再练一题]
3.已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据.
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
(1)根据以上数据，求函数y＝f(t)的函数解析式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行运动？
【导学号：70512018】
【解】　(1)由表中数据描出各点，并把这些点用平滑的曲线连接起来(如图)，
由图知，可设f(t)＝Acos
ωt＋b，并且周期T＝12，
∴ω＝＝＝.
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5；
由t＝3，y＝1.0，得b＝1.
∴A＝0.5，b＝1.∴y＝cos
t＋1.
(2)由题知，当y>1时才可对冲浪爱好者开放，
∴cos
t＋1>1，
∴cos
t>0，
∴2kπ－即12k－3∵0≤t≤24，故可令①中k分别取0,1,2，
得0≤t<3或9∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，
有6个小时的时间可供冲浪爱好者运动，即上午9：00至下午15：00.
1.如图1 6 3所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是(　　)
图1 6 3
A.该质点的运动周期为0.7
s
B.该质点的振幅为5
cm
C.该质点在0.1
s和0.5
s时运动速度最大
D.该质点在0.3
s和0.7
s时运动速度为零
【解析】　由题图可知，该质点的振幅为5
cm.
【答案】　B
2.与图1 6 4中曲线对应的函数解析式是(　　)
图1 6 4
A.y＝|sin
x|　　　　　　
B.y＝sin
|x|
C.y＝－sin
|x|
D.y＝－|sin
x|
【解析】　注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A，D.当x∈(0，π)时，sin
|x|>0，而图中显然是小于零，因此排除选项B，故选C.
【答案】　C
3.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的(　　)【导学号：00680028】
A.[0,5]
B.[5,10]
C.[10,15]
D.[15,20]
【解析】　当10≤t≤15时，有π<5≤≤<π，此时F(t)＝50＋4sin是增函数，即车流量在增加.故应选C.
【答案】　C
4.在电流强度I与时间t的关系I＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，要使t在任意秒的时间内电流强度I能取得最大值A与最小值－A，求正整数ω的最小值.
【解】　由题意得：
T≤，即≤，
∴ω≥200π，
∴正整数ω的最小值为629.2.3.4　平面向量共线的坐标表示
1.理解用坐标表示两向量共线的条件.(难点)
2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线；并掌握三点共线的判断方法.(重点)
3.两直线平行与两向量共线的判定.(易混点)
[基础·初探]
教材整理　平面向量共线的坐标表示
阅读教材P98“思考”以下至“例6”以上内容，完成下列问题.
1.设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线，当且仅当存在实数λ，使a＝λb.
2.如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，
当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线.
注意：对于2的形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量(1,2)与向量(4,8)共线.(　　)
(2)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向.(　　)
【解析】　(1)正确.因为(4,8)＝4(1,2)，所以向量(1,2)与向量(4,8)共线.
(2)正确.因为(－4，－6)＝－2(2,3)，所以向量(2,3)与向量(－4，－6)反向.
【答案】　(1)√　(2)√
[小组合作型]
判定直线平行、三点共线
　(1)已知A(1，－3)，B，且A，B，C三点共线，则C的坐标可以是(　　)
A.(－9,1)
B.(9，－1)
C.(9,1)
D.(－9，－1)
(2)已知四点坐标A(－1,1)，B(1,5)，C(－2，－1)，D(4,11)，请判断直线AB与CD是否平行？
【精彩点拨】　(1)利用向量的平行条件x1y2－x2y1＝0，可证明有公共点的两个平行向量共线，从而可证明三点共线.
(2)判定两直线平行，先判定两向量平行，再说明两向量上的相关点不共线.
【自主解答】　(1)设点C的坐标是(x，y)，
因为A，B，C三点共线，
所以∥.
因为＝－(1，－3)＝，
＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)，
所以7(y＋3)－(x－1)＝0，整理得x－2y＝7，
经检验可知点(9,1)符合要求，故选C.
【答案】　C
(2)因为＝(1,5)－(－1,1)＝(2,4)，＝(4,11)－(－1，1)＝(5,10)，＝(－2，－1)－(－1,1)＝(－1，－2)，
所以＝－2，＝－5.
所以∥∥.
由于与，有共同的起点A，
所以A，B，C，D四点共线，
因此直线AB与CD重合.
[再练一题]
1.已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？
【解】　因为＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)，
＝(2－1,7－5)＝(1,2).
又因为2×2－4×1＝0，
所以∥.
又因为＝(1－(－1)，5－(－1))＝(2,6)，＝(2,4)，
所以2×4－2×6≠0，
所以A，B，C不共线，
所以AB与CD不重合，
所以AB∥CD.
已知平面向量共线求参数
　(1)已知向量a＝(x,3)，b＝(－3，x)，则
①存在实数x，使a∥b；
②存在实数x，使(a＋b)∥a；
③存在实数x，m，使(ma＋b)∥a；
④存在实数x，m，使(ma＋b)∥b.
其中，所有叙述正确的序号为________.
(2)已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
【精彩点拨】　(1)可利用向量共线定理列方程判断方程解的情况来解决.
(2)方法一：可利用b与非零向量a共线等价于b＝λa(λ>0，b与a同向；λ<0，b与a反向)求解；
方法二：可先利用坐标形式的等价条件求k，再利用b＝λa判定同向还是反向.
【自主解答】　(1)由a∥b x2＝－9无实数解，故①不对；
又a＋b＝(x－3,3＋x)，由(a＋b)∥a得3(x－3)－x(3＋x)＝0，即x2＝－9无实数解，故②不对；
因为ma＋b＝(mx－3,3m＋x)，
由(ma＋b)∥a得(3m＋x)x－3(mx－3)＝0.
即x2＝－9无实数解，故③不对；
由(ma＋b)∥b得－3(3m＋x)－x(mx－3)＝0，
即m(x2＋9)＝0，所以m＝0，x∈R，故④正确.
【答案】　④
(2)法一：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，
使ka＋b＝λ(a－3b).
由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，
所以
解得k＝λ＝－.
当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，
因为λ＝－<0，
所以ka＋b与a－3b反向.
法二：由题知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)，
因为ka＋b与a－3b平行，
所以(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，
解得k＝－.
这时ka＋b＝＝－(a－3b).
所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向.
利用向量平行的条件处理求值问题的思路：
(1)利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解.
(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解.
[再练一题]
2.(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.
(2)已知向量a＝(1，－2)，b＝(3,4)，若(3a－b)∥(a＋kb)，求实数k的值.
【解析】　(1)∵a＝(1,2)，b＝(2,3)，
∴λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3).
∵向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，
∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0，
∴λ＝2.
【答案】　2
(2)3a－b＝(0，－10)，a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)，
∵(3a－b)∥(a＋kb)，
∴0－(－10－30k)＝0，
∴k＝－.
向量共线的综合应用
　如图2 3 17所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，求AC与OB的交点P的坐标.
图2 3 17
【精彩点拨】　要求点P的坐标，只需求出向量的坐标，由与共线得到＝λ，利用与共线的坐标表示求出λ即可；也可设P(x，y)，由∥及∥，列出关于x，y的方程组求解.
【自主解答】　法一：由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4,4λ)，＝－＝(－2,6).
由与共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，所以＝＝(3,3)，所以P点的坐标为(3,3).
法二：设P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4,4)，且与共线，所以＝，即x＝y.
又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且与共线，则得(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以P点的坐标为(3,3).
1.关于解决两线段的交点问题可以用解析几何的知识联立两直线方程求交点的坐标；也可以使用对应向量共线列等式，再列方程组求解.
2.本例利用了向量共线定理，已知四边形四个顶点坐标求对角线交点坐标的向量解法，为我们展示了向量的坐标运算在解决平面几何、平面解析几何问题中的应用，在以后学习中应加以体会运用.
[再练一题]
3.如图2 3 18，已知A(4,5)，B(1,2)，C(12,1)，D(11,6)，求AC与BD的交点P的坐标.
图2 3 18
【解】　设＝λ＝λ(11－1,6－2)＝(10λ，4λ).
易得＝(－11,1)，
∴＝＋＝(10λ－11,4λ＋1).
又＝(－8,4)，而与共线，
∴4×(10λ－11)＋8×(4λ＋1)＝0，
解得λ＝.
设点P的坐标为(xP，yP)，
∴＝(5,2)＝(xP－1，yP－2)，
∴
即
故点P的坐标为(6,4).
[探究共研型]
共线向量与中点坐标公式
探究1　设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，如何求线段P1P2的中点P的坐标？
【提示】　
如图所示，∵P为P1P2的中点，
∴＝，
∴－＝－，
∴＝(＋)
＝，
∴线段P1P2的中点坐标是.
探究2　设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是线段P1P2的一个三等分点，则P点坐标是什么？
【提示】　点P是线段P1P2的一个三等分点，分两种情况：
①当＝时，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋
＝；
②当＝时，
＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝.
探究3　当＝λ时，点P的坐标是什么？
【提示】　∵＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝＋λ－λ，
∴＝
＝(x1，y1)＋(x2，y2)
＝＋
＝，
∴P.
　已知点A(3，－4)与点B(－1,2)，点P在直线AB上，且||＝2||，求点P的坐标.
【精彩点拨】　点P在直线AB上，包括点P在线段AB内和在线段AB的延长线上，因此应分类讨论.
【自主解答】　设P点坐标为(x，y)，
||＝2||.
当P在线段AB上时，＝2，
∴(x－3，y＋4)＝2(－1－x,2－y)，
∴解得
∴P点坐标为.
当P在线段AB延长线上时，＝－2，
∴(x－3，y＋4)＝－2(－1－x,2－y)，
∴解得
∴P点坐标为(－5,8).
综上所述，点P的坐标为或(－5,8).
在求有向线段分点坐标时，不必过分强调公式记忆，可以转化为向量问题后解方程组求解，同时应注意分类讨论.
[再练一题]
4.已知△ABC的三个顶点坐标依次为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，求△ABC的重心G的坐标.
【解】　延长AG交BC于点D，
∵G为△ABC的重心，
∴D为BC的中点，
∴＝＝＝＋，
∴＝＋＝＋＋＝＋(－)＋(－)
＝(＋＋)＝.
综上所述，G的坐标为.
1.下列满足平行的一组向量是(　　)
A.a＝(1，－4)，b＝(504，－2
016)
B.a＝(2,3)，b＝(4，－6)
C.a＝(1,2)，b＝(－1
008,2
016)
D.a＝(－1,4)，b＝(3,12)
【解析】　A中，∵x1y2－x2y1＝1×(－2
016)－504×(－4)＝0，∴a∥b；B中，∵x1y2－x2y1＝2×(－6)－4×3＝－24≠0，∴a与b不平行；C中，∵x1y2－x2y1＝1×2
016－(－1
008)×2＝4
032≠0，∴a与b不平行；D中，∵x1y2－x2y1＝－1×12－3×4＝－24≠0，∴a与b不平行.
【答案】　A
2.设k∈R，下列向量中，与向量a＝(1，－1)一定不平行的向量是(　　)
【导学号：00680052】
A.b＝(k，k)
B.c＝(－k，－k)
C.d＝(k2＋1，k2＋1)
D.e＝(k2－1，k2－1)
【解析】　由向量共线的判定条件，当k＝0时，向量b，c分别与a平行；当k＝±1时，向量e与a平行.
对任意k∈R,1·(k2＋1)＋1·(k2＋1)≠0，∴a与d不平行.
【答案】　C
3.已知a＝(－6,2)，b＝(m，－3)，且a∥b，则m＝(　　)
A.－9　　　
B.9　　　　
C.3　　　
D.－3
【解析】　因为a＝(－6,2)，b＝(m，－3)，
若a∥b，则－6×(－3)－2m＝0，解得m＝9.
【答案】　B
4.与向量a＝(1,2)平行，且模等于的向量为________.
【解析】　因为所求向量与向量a＝(1,2)平行，所以可设所求向量为x(1,2)，又因为其模为，所以x2＋(2x)2＝5，解得x＝±1.
因此所求向量为(1,2)或(－1，－2).
【答案】　(1,2)或(－1，－2)
5.设O是坐标原点，＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？
【导学号：00680051】
【解】　∵＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(10－k，k－12)，
又A，B，C三点共线，
∴由两向量平行的充要条件，得(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，
解得k＝－2或k＝11.
∴当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线.1.2.1　任意角的三角函数
1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，会判断三角函数值的符号.(重点)
2.掌握诱导公式及其应用.(重点)
3.了解三角函数线的意义，会利用三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切.(难点)
[基础·初探]
教材整理1　任意角的三角函数
阅读教材P11～P12例1以上内容，完成下列问题.
1.单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.
2.定义：
图1 2 1
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(1)y叫做α的正弦，记作sin
α，即sin
α＝y；
(2)x叫做α的余弦，记作cos
α，即cos
α＝x；
(3)叫做α的正切，记作tan
α，即tan
α＝(x≠0).
对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数.
3.正弦函数sin
α的定义域是R；余弦函数cos
α的定义域是R；正切函数tan
α的定义域是.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由sin
α＝，故角α终边上的点P(x，y)满足y越大，sin
α的值越大.(　　)
(2)终边相同的角，其三角函数值也相等.(　　)
(3)三角函数是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.(　　)
【解析】　(1)当y越大时，比值不变，故sin
α不变.
(2)由正弦定义知正确.
(3)由三角函数定义知正确.
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√
教材整理2　正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
阅读教材P13“探究”内容，完成下列问题.
图1 2 2
口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.
已知α是第三象限角，则sin
α________0，cos
α________0，tan
α________0.(填“>”或“<”)
【答案】　<　<　>
教材整理3　诱导公式一
阅读教材P14“例4”以上内容，完成下列问题.
cos等于________.
【解析】　cos＝cos＝cos＝.
【答案】　
教材整理4　三角函数线
阅读教材P15倒数第四行至P17“练习”以上部分，完成下列问题.
1.(1)把规定了正方向的直线称为有向直线.
(2)有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段.
2.三角函数线的定义：如图1 2 3，①设任意角α的顶点在原点O(O亦为单位圆圆心)，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，y)，②过点P作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0)作单位圆的切线，③设它与角α的终边(当α位于第一、四象限时)或其反向延长线(当α位于第二、三象限时)相交于点T(由于过切点的半径垂直于圆的切线，所以AT平行于y轴).
图1 2 3
于是sin
α＝y＝MP，cos
α＝x＝OM，tan
α＝＝＝＝AT.
我们规定与坐标轴同向时，方向为正向，与坐标轴反向时，方向为负向，则有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.
3.轴线角的三角函数线：当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的正切值不存在.
如图1 2 4，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是(　　)
图1 2 4
A.正弦线PM，正切线A′T′
B.正弦线MP，正切线A′T′
C.正弦线MP，正切线AT
D.正弦线PM，正切线AT
【解析】　α为第三象限角，故正弦线为MP，正切线为AT，C正确.
【答案】　C
[小组合作型]
任意角三角函数的定义及应用
　(1)若sin
α＝，cos
α＝－，则在角α终边上的点有(　　)
A.(－4,3)
B.(3，－4)
C.(4，－3)
D.(－3,4)
(2)若α＝－，则sin
α＝________，cos
α＝________，tan
α＝________.
(3)已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，则2sin
α＋cos
α＝________.
【精彩点拨】　准确理解任意角三角函数的定义是解题的关键.
【自主解答】　(1)由sin
α，cos
α的定义知x＝－4，y＝3，r＝5时，满足题意，故选A.
(2)因为角－的终边与单位圆交于P，
所以sin
α＝－，cos
α＝，tan
α＝－.
(3)因为r＝＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，
sin
α＝＝＝，cos
α＝＝＝－，
所以2sin
α＋cos
α＝－＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin
α＝＝－，cos
α＝＝，
所以2sin
α＋cos
α＝－＋＝－1.
【答案】　(1)A　(2)－　　－　(3)1或－1
由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤：
(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值.
②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0).则sin
α＝，cos
α＝.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便.
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论.
[再练一题]
1.设函数f(θ)＝sin
θ＋cos
θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.若点P的坐标为，求f(θ)的值.
【导学号：00680006】
【解】　由点P的坐标为和三角函数定义得sin
θ＝，cos
θ＝，
所以f(θ)＝sin
θ＋cos
θ＝×＋＝2.
三角函数符号的判断
　判断下列各式的符号.
(1)sin
2
015°cos
2
016°tan
2
017°；
(2)tan
191°－cos
190°；
(3)sin
2cos
3tan
4.
【精彩点拨】　角度确定了，所在的象限就确定了，三角函数值的符号也就确定了，因此只需确定角所在象限，即可进一步确定各式的符号.
【自主解答】　(1)∵2
015°＝1
800°＋215°＝5×360°＋215°，
2
016°＝5×360°＋216°，2
017°＝5×360°＋217°，
∴它们都是第三象限角，
∴sin
2
015°<0，cos
2
016°<0，tan
2
017°>0，
∴sin
2
015°cos
2
016°tan
2
017°>0.
(2)∵191°角是第三象限角，
∴tan
191°>0，cos
191°<0，
∴tan
191°－cos
191°>0.
(3)∵<2<π，<3<π，π<4<，
∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角，
∴sin
2>0，cos
3<0，tan
4>0，
∴sin
2cos
3tan
4<0.
[再练一题]
2.(1)已知点P(tan
α，cos
α)在第四象限，则角α终边在(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
(2)下列各式：
①sin(－100°)；②cos(－220°)；
③tan(－10)；④cos
π.
其中符号为负的有(　　)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】　(1)因为点P在第四象限，所以有由此可判断角α终边在第三象限.
(2)－100°在第三象限，故sin
(－100°)<0；－220°在第二象限，故cos(－220°)<0；－10∈，在第二象限，故tan(－10)<0；cos
π＝－1<0.
【答案】　(1)C　(2)D
诱导公式一的应用
　求下列各式的值：
(1)a2sin(－1
350°)＋b2tan
405°－2abcos(－1
080°)；
(2)sin＋cosπ·tan
4π.
【精彩点拨】　利用诱导公式，把每个角化为[0,2π)间的角，再利用特殊角的三角函数求值.
【自主解答】　(1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)
＝a2sin
90°＋b2tan
45°－2abcos
0°
＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.
(2)sin＋cosπ·tan
4π
＝sin＋cosπ·tan
0
＝sin＋0＝.
1.利用诱导公式一可把任意角的三角函数化归为[0,2π)内的三角函数，实现“负化正，大化小”，体现了数学中的化归转化思想.
2.一定要熟记一些特殊角的三角函数，有利于准确求值.
[再练一题]
3.求下列各式的值：
(1)cosπ＋tan；
(2)sin
810°＋tan
1
125°＋cos
420°.
【解】　(1)cosπ＋tan
＝cos＋tan＝cos＋tan
＝＋1＝.
(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin
90°＋tan
45°＋cos
60°＝1＋1＋＝.
[探究共研型]
三角函数线问题
探究1　有人说：在三角函数线上，点P的坐标为(cos
α，sin
α)，点T的坐标为(1，tan
α)，你认为正确吗？
【提示】　正确.由三角函数的定义可知sin
α＝，cos
α＝，而在单位圆中，r＝1，所以单位圆上的点都是(cos
α，sin
α)；另外角的终边与直线x＝1的交点的横坐标都是1，所以根据tan
α＝，知纵坐标y＝tan
α，所以点T的坐标为(1，tan
α).
探究2　利用三角函数线如何解答形如sin
α≥a，sin
α≤a(|a|≤1)；cos
α≥a，cos
α≤a(|a|≤1)的不等式.
【提示】　(1)对形如sin
α≥a，sin
α≤a(|a|≤1)的不等式：
画出如图①所示的单位圆；在y轴上截取OM＝a，过点(0，a)作y轴的垂线交单位圆于两点P和P′，并作射线OP和OP′；写出终边在OP和OP′上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式sin
α≤a的角α的范围，其余部分即为满足不等式sin
α≥a的角α的范围.
图①
(2)对形如cos
α≥a，cos
α≤a(|a|≤1)的不等式：
画出如图②所示的单位圆；在x轴上截取OM＝a，过点(a,0)作x轴的垂线交单位圆于两点P和P′，作射线OP和OP′；写出终边在OP和OP′上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式cos
α≤a的角α的范围，其余部分即为满足不等式cos
α≥a的角α的范围.
图②
　在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边范围，并由此写出角α的集合.
(1)sin
α≥；(2)cos
α≤－.
【精彩点拨】　根据三角函数线，在单位圆中首先作出满足sin
α＝，cos
α＝－的角的终边，然后由已知条件确定角α的终边范围.
【自主解答】　(1)作直线y＝，交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图(1)中阴影部分)即为角α的终边的范围.
故满足条件的角α的集合为：.
(2)作直线x＝－，交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(图(2)中的阴影部分)即为角α的终边的范围.
故满足条件的角α的集合为
.
1.三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的工具，要注意利用其来解决问题.
2.三角函数线的主要作用是解三角不等式、比较大小及求函数的定义域，在求三角函数定义域时，一般转化为不等式(组)，因此必须牢固掌握三角函数线的画法及意义.
[再练一题]
4.求函数y＝的定义域.
【解】　由题意得：2cos
x－1≥0，
则有cos
x≥.
如图在x轴上取点M1使OM1＝，过M1作x轴的垂线交单位圆于点P1，P2，连接OP1，OP2.
则OP1与OP2围成的区域(如图中阴影部分)即为角x的终边的范围.
∴满足cos
x≥的角的集合即y＝的定义域为.
1.已知角α终边经过P，则cos
α等于(　　)
A.
B.
C.
D.±
【解析】　由三角函数定义可知，角α的终边与单位圆交点的横坐标为角α的余弦值，故cos
α＝.
【答案】　B
2.已知角α终边过点P(1，－1)，则tan
α的值为(　　)
A.1
B.－1
C.
D.－
【解析】　由三角函数定义知tan
α＝＝－1.
【答案】　B
3.sin
1·cos
2·tan
3的值是(　　)【导学号：00680007】
A.正数
B.负数
C.0
D.不存在
【解析】　∵0<1<，<2<π，<3<π，∴sin
1>0，cos
2<0，tan
3<0，∴sin
1·cos
2·tan
3>0.
【答案】　A
4.已知tan
α＝3，则tan(α＋4π)的值为________.
【解析】　因为tan
α＝3，所以tan(α＋4π)＝tan
α＝3.
【答案】　3
5.已知＝－，且lg
cos
α有意义.
(1)试判断角α的终边所在的象限；
(2)若角α的终边上一点M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin
α的值.
【解】　(1)由＝－，可知sin
α<0.
由lg
cos
α有意义，可知cos
α>0，
∴角α的终边在第四象限.
(2)∵|OM|＝1，∴2＋m2＝1，解得m＝±.
又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－.
由正弦函数的定义可知
sin
α＝＝＝＝－.2.1.1　向量的物理背景与概念
2.1.2　向量的几何表示
2.1.3　相等向量与共线向量
1.理解向量的有关概念及向量的几何表示.(重点)
2.理解共线向量、相等向量的概念.(难点)
3.正确区分向量平行与直线平行.(易混点)
[基础·初探]
教材整理1　向量及其几何表示
阅读教材P74～P75例1以上内容，完成下列问题.
1.向量与数量
(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量.
(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量.
2.向量的几何表示
(1)带有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素：起点、方向、长度.
(2)向量可以用有向线段表示.向量的大小，也就是向量
的长度(或称模)，记作||.向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如，，.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量可以比较大小.(　　)
(2)坐标平面上的x轴和y轴都是向量.(　　)
(3)某个角是一个向量.(　　)
(4)体积、面积和时间都不是向量.(　　)
【解析】　因为向量之间不可以比较大小，故(1)错；x轴、y轴只有方向，没有大小，故(2)错；因为角只有大小没有方向，故(3)错；因为体积、面积和时间只有大小没有方向，都不是向量，所以(4)正确.
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
教材整理2　向量的有关概念
阅读教材P75第十八行以下至P76例2以上内容，完成下列问题.
零向量
长度为0的向量，记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
平行向量(共线向量)
方向相同或相反的非零向量向量a，b平行，记作a∥b规定：零向量与任一向量平行
相等向量
长度相等且方向相同的向量向量a与b相等，记作a＝b
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)单位向量都平行.(　　)
(2)零向量与任意向量都平行.(　　)
(3)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　　)
(4)||＝||.(　　)
【解析】　(1)错误，长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，单位向量有无数多个且每个都有确定的方向，故单位向量不一定平行；(2)正确，零向量的方向是任意的，故零向量与任意向量都平行；(3)错误，若b＝0，则(3)不成立；(4)正确.
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
[小组合作型]
向量的有关概念
　判断下列命题是否正确，请说明理由：
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；
(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；
(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反.
【精彩点拨】　解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向两个要素.
【自主解答】　(1)不正确.因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小.
(2)不正确.由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系.
(3)正确.因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b.
(4)不正确.依据规定：0与任意向量平行.
(5)不正确.因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定.
求解向量的平行问题时不可忽视零向量的大小为零，方向任意；零向量与任一向量平行；所有的零向量相等.
[再练一题]
1.给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
②向量的模一定是正数；
③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上.
其中正确命题的序号是________.
【解析】　①错误.由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系.
②错误.0的模|0|0.
③正确.对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的.
④错误.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可.并不要求两个向量，必须在同一直线上.
【答案】　③
向量的表示及应用
　某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点.
(1)作出向量，，；
(2)求的模.
【导学号：00680033】
【精彩点拨】　可先选定向量的起点及方向，并根据其长度作出相关向量.可把放在直角三角形中求得||.
【自主解答】　(1)作出向量，，，如图所示：
(2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10米，CD＝10米，所以BD＝10米.△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝＝5(米)，所以||＝5米.
1.向量的两种表示方法：
(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点.
(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如，，等.
2.两种向量表示方法的作用：
(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础.
(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算.
[再练一题]
2.一辆汽车从点A出发，向西行驶了100公里到达点B，然后又改变方向，向西偏北50°的方向行驶了200公里到达点C，最后又改变方向，向东行驶了100公里达到点D.
(1)作出向量，，；
(2)求||.
【解】　(1)如图所示.
(2)由题意知与方向相反，∴与共线，
∴在四边形ABCD中，AB∥CD.又∵||＝||，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴||＝||＝200(公里).
[探究共研型]
相等向量与共线向量
探究1　向量a，b共线，向量b，c共线，向量a与c是否共线？
【提示】　向量a与c不一定共线，因为零向量与任意向量都共线，若b＝0，则向量a与c不一定共线.
探究2　两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？
【提示】　不一定.因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关.
　(1)如图2 1 1，在等腰梯形ABCD中.
图2 1 1
①与是共线向量；
②＝；③>.
以上结论中正确的个数是(　　)
A.0　　　
B.1　　　　
C.2　　　
D.3
(2)下列说法中，正确的序号是________.
①若与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上；
②零向量都相等；
③任一向量与它的平行向量不相等；
④若四边形ABCD是平行四边形，则＝；
⑤共线的向量，若始点不同，则终点一定不同.
【精彩点拨】　可借助几何图形性质及向量相关概念进行判断.
【自主解答】　(1)①因为与的方向不相同，也不相反，所以与不共线，即①不正确；②由①可知②也不正确；③因为两个向量不能比较大小，所以③不正确.
(2)因为向量与是共线向量，它们的基线不一定是同一个，所以A，B，C，D也不一定在一条直线上，所以①错误；因为零向量的长度都为零，且其方向任意，所以零向量相等，所以②正确；因为平行向量的方向可以相同且大小也可以相等，所以任一向量与它的平行向量可能相等，即③错误；画出图形，可得＝，所以④正确；由共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同，所以⑤不正确.
【答案】　(1)A　(2)②④
相等向量与共线向量需注意的四个问题：
(1)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量.
(2)两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念；两个向量平行包含两个向量有相同基线，但两条直线平行不包含两条直线重合.
(3)平行(共线)向量无传递性(因为有0).
(4)三点A，B，C共线 ，共线.
[再练一题]
3.如图2 1 2所示，O是正六边形ABCDEF的中心.
图2 1 2
(1)分别写出图中与，，相等的向量；
(2)与的长度相等、方向相反的向量有哪些？
【解】　(1)与相等的向量有，，；与相等的向量有，，；与相等的向量有，，.
(2)与的长度相等、方向相反的向量有，，，.
1.下列说法中正确的个数是(　　)
①身高是一个向量；
②∠AOB的两条边都是向量；
③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；
④物理学中的加速度是向量.
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】　只有④中物理学中的加速度既有大小又有方向是向量，①②③错误.④正确.
【答案】　B
2.在下列判断中，正确的是(　　)【导学号：00680034】
①长度为0的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③单位向量的长度都相等；
④单位向量都是同方向；
⑤任意向量与零向量都共线.
A.①②③
B.②③④
C.①②⑤
D.①③⑤
【解析】　由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确.显然③⑤正确，④不正确，故选D.
【答案】　D
3.设e1，e2是两个单位向量，则下列结论中正确的是(　　)
A.e1＝e2
B.e1∥e2
C.|e1|＝|e2|
D.以上都不对
【解析】　单位向量的模都等于1个单位，故C正确.
【答案】　C
4.在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量.正确的命题是________.
【导学号：70512022】
【解析】　由向量的相关概念可知④⑥正确.
【答案】　④⑥
5.如图2 1 3所示，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，找出与向量相等的向量.
图2 1 3
【解】　由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，知，与的长度相等且方向相同，所以与向量相等的向量为和.第一章
三角函数
①180°
②|α|R
③lR
④相等
⑤1
⑥
⑦周期性
⑧奇偶性
⑨单调性
⑩定义域
值域
任意角的三角函数的定义及三角函数线
掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域.
　函数y＝lg(2sin
x－1)＋的定义域为________.
【精彩点拨】　先列出三角函数的不等式组，再借助于三角函数线或三角函数的图象求解.
【规范解答】　要使函数有意义，必须有
即
解得(k∈Z)
∴＋2kπ≤x<＋2kπ(k∈Z).
故所求函数的定义域为.
【答案】　
[再练一题]
1.求函数f(x)＝＋的定义域.
【导学号：00680030】
【解】　要使函数f(x)有意义，则
即
如图所示，结合三角函数线知
∴2kπ＋≤x<2kπ＋(k∈Z).
故f(x)的定义域为(k∈Z).
三角函数的最值问题
三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，它往往与二次函数、三角函数图象、函数的单调性等知识联系在一起，有一定的综合性.在求解时，一要注意三角函数式的变形方向；二要注意正弦、余弦函数本身的有界性，还要注意灵活运用方法.
　求函数f(x)＝cos2x＋sin
x＋1
的最小值.
【精彩点拨】　本题应先通过同角三角函数关系式将函数转化成关于sin
x的二次函数，然后再求最小值.
【规范解答】　f(x)＝cos2x＋sin
x＋1＝1－sin2x＋sin
x＋1
＝－sin2x＋sin
x＋2＝－2＋，
又－≤x≤，所以－≤sin
x≤.
故当sin
x＝－时，f(x)取最小值.
[再练一题]
2.求函数y＝cos2x－sin
x，x∈的值域.
【解】　y＝－sin2x－sin
x＋1，令t＝sin
x.
∵x∈，∴t∈.
原函数可化为y＝－t2－t＋1＝－2＋，
∴当t＝－时，有ymax＝；
当t＝时，有ymin＝.
故原函数值域为.
三角函数的图象及变换
三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现.在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质.
　如图1 1是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的一段图象.
图1 1
(1)求此函数解析式；
(2)分析一下该函数是如何通过y＝sin
x变换得来的？
【精彩点拨】　(1)先确定A，k，再根据周期求ω，最后确定φ.
(2)可先平移再伸缩，也可先伸缩再平移.
【规范解答】　(1)由图象知A＝＝，
k＝＝－1，T＝2×＝π，
∴ω＝＝2，∴y＝sin(2x＋φ)－1.
当x＝时，2×＋φ＝，∴φ＝，
∴所求函数解析式为y＝sin－1.
(2)把y＝sin
x向左平移个单位得到y＝sin，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的，得到y＝sin，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的得到y＝sin，
最后把函数y＝sin的图象向下平移1个单位，得到y＝sin－1的图象.
[再练一题]
3.已知函数y＝cos
x＋|cos
x|.
(1)画出函数的简图；
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期；
(3)指出这个函数的单调增区间.
【解】　(1)y＝cos
x＋|cos
x|
＝
函数图象如图所示.
(2)该函数是周期函数，且由图象可知函数的最小正周期是2π.
(3)由图象可知函数的单调增区间为(k∈Z).
三角函数的性质
三角函数的性质，重点应掌握y＝sin
x，y＝cos
x，y＝tan
x的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)及y＝Atan(ωx＋φ)的相关性质.在研究其相关性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧.
　已知函数f(x)＝2sin＋a＋1(其中a为常数).
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)求f(x)取最大值时x的取值集合.
【精彩点拨】　(1)将2x＋看成一个整体，利用y＝sin
x的单调区间求解.
(2)先求x∈时2x＋的范围，再根据最值求a的值.
(3)先求f(x)取最大值时2x＋的值，再求x的值.
【规范解答】　(1)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)，
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴函数f(x)的单调减区间为(k∈Z).
(2)∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，
∴－≤sin≤1，
∴f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，∴a＝1.
(3)当f(x)取最大值时，2x＋＝＋2kπ，
∴2x＝＋2kπ，∴x＝＋kπ，k∈Z，
∴当f(x)取最大值时，x的取值集合是
.
[再练一题]
4.已知函数f(x)＝(sin
x＋cos
x)2＋cos
2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
【解】　(1)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sin
xcos
x＋cos
2x＝1＋sin
2x＋cos
2x＝sin＋1，
所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由(1)的计算结果知，f(x)＝sin＋1.
当x∈时，2x＋∈，
由正弦函数y＝sin
x在上的图象知，
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值＋1；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值0.
综上，f(x)在上的最大值为＋1，最小值为0.
数形结合思想
数形结合思想就是把抽象的数学语言与直观图形相结合进行思考，使抽象思维和形象思维结合，通过“以形助数”和“以数解形”使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而起到优化解题过程的目的.“以形助数”是借助形的生动和直观来阐述数间的联系.“以数解形”是借助于数的精确性、规范性、严密性来阐明形的某些属性.由于三角函数具有实际的几何背景，因此，在本章中，处处可见“数形结合”思想的身影.
　函数y＝的最小值为________，最大值为________.
【精彩点拨】　根据题目特征，构造符合题意图形，运用“数形结合”思想往往可以很简捷地解决问题.
【规范解答】　如图所示，y＝可看做定点A(3,2)与动点B(－cos
x，sin
x)连线的斜率，而动点(－cos
x，sin
x)是单位圆上点，故问题转化为定点与单位圆上点B连线的斜率的最值问题.根据数形结合不难得知，当连线与圆相切时，斜率取最值，解得ymin＝，ymax＝.
【答案】　　
[再练一题]
5.求函数y＝的值域.
【解】　将y＝看成是单位圆上的点(cos
x，sin
x)到点(2，－1)的斜率，即求斜率的范围.如图所示，由解析几何知识可求得过点(2，－1)，且与单位圆有交点的直线的斜率k∈，即y∈.
转化与化归的思想
化归思想贯穿本章的始终，在三角函数的恒等变形中，同角关系式和诱导公式常化繁为简，化异为同，弦切互化；在研究三角函数的图象与性质时，常把函数y＝Asin(ωx＋φ)化归为简单的y＝sin
x来研究.这些均体现三角函数中的转化与化归的思想方法.
　求函数y＝sin的单调区间.
【精彩点拨】　求三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，需先保证x的系数为正值，如果ω<0，那么应先进行转化，将x的系数化为正数，再求解.
【规范解答】　将原函数化为y＝－sin.
由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得3kπ－π≤x≤3kπ＋π(k∈Z)，
此时函数单调递减；
由2kπ＋≤x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
得3kπ＋π≤x≤3kπ＋π(k∈Z)，
此时函数单调递增.
故原函数的单调递减区间为(k∈Z)，
单调递增区间为(k∈Z).
[再练一题]
6.求函数y＝2sin的单调递增区间.
【解】　y＝2sin＝－2sin.
令z＝x－，则y＝－2sin
z.
∵z是x的一次函数，∴要取y＝－2sin
z的递增区间，
即取sin
z的递减区间，
即2kπ＋≤z≤2kπ＋(k∈Z)，
∴2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴函数y＝2sin的递增区间为
(k∈Z).
1.将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　)
A.y＝2sin　　
B.y＝2sin
C.y＝2sin
D.y＝2sin
【解析】　函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期即个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin＝2sin，故选D.
【答案】　D
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图1 2所示，则(　　)
图1 2
A.y＝2sin
B.y＝2sin
C.y＝2sin
D.y＝2sin
【解析】　由图象知＝－＝，故T＝π，因此ω＝＝2.又图象的一个最高点坐标为，所以A＝2，且2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ－(k∈Z)，结合选项可知y＝2sin.故选A.
【答案】　A
3.函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图1 3所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)
图1 3
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
【解析】　由图象知，周期T＝2＝2，
∴＝2，∴ω＝π.
由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，
∴f(x)＝cos.
由2kπ<πx＋<2kπ＋π，得2k－∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z.故选D.
【答案】　D
4.设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin
x.当0≤x<π时，f(x)＝0，则f＝(　　)
A.　　　　
B.
C.0
D.－
【解析】　∵f(x＋π)＝f(x)＋sin
x，
∴f(x＋2π)＝f(x＋π)－sin
x.
∴f(x＋2π)＝f(x)＋sin
x－sin
x＝f(x).
∴f(x)是以2π为周期的周期函数.
又f＝f＝f.
f＝f＋sin，
∴f＝f－.
∵当0≤x<π时，f(x)＝0，∴f＝0，
∴f＝f＝.故选A.
【答案】　A
5.为了得到函数y＝sin(2x＋1)的图象，只需把函数y＝sin
2x的图象上所有的点(　　)
A.向左平行移动个单位长度
B.向右平行移动个单位长度
C.向左平行移动1个单位长度
D.向右平行移动1个单位长度
【解析】　y＝sin
2x的图象向左平移个单位长度得到函数y＝sin2的图象，即函数y＝sin(2x＋1)的图象.
【答案】　A
6.函数f(x)＝cos的最小正周期是(　　)
A.
B.π
C.2π
D.4π
【解析】　最小正周期为T＝＝＝π.故选B.
【答案】　B
7.已知ω>0，在函数y＝2sin
ωx与y＝2cos
ωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω＝__________.
【解析】　由得sin
ωx＝cos
ωx，
∴tan
ωx＝1，ωx＝kπ＋(k∈Z).
∵ω>0，∴x＝＋(k∈Z).
设距离最短的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，不妨取x1＝，x2＝，则|x2－x1|＝＝.
又结合图形知|y2－y1|＝＝2，且(x1，y1)与(x2，y2)间的距离为2，∴(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝(2)2，
∴2＋(2)2＝12，∴ω＝.
【答案】　2.3.1　平面向量基本定理
1.了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量.(重点)
2.掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义.(难点)
3.两个向量的夹角与两条直线所成的角.(易混点)
[基础·初探]
教材整理1　平面向量基本定理
阅读教材P93至P94第六行以上内容，完成下列问题.
1.定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2.基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底.(　　)
(2)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量.(　　)
(3)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d.(　　)
(4)基底向量可以是零向量.(　　)
【解析】　(1)错误.根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底.
(2)正确.根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由向量e1，e2线性表示.
(3)错误.当e1与e2共线时，结论不一定成立.
(4)基底向量是不共线的，一定是非零向量.
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
教材整理2　两向量的夹角与垂直
阅读教材P94第六行以下至例1内容，完成下列问题.
1.夹角：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角(如图2 3 1所示).
图2 3 1
(1)范围：向量a与b的夹角的范围是0°≤θ≤180°.
(2)当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向.
2.垂直：如果a与b的夹角是90°，
我们说a与b垂直，记作a⊥b.
如图2 3 2，在△ABC中，，的夹角与，的夹角的关系为________.
图2 3 2
【解析】　根据向量夹角定义可知向量，的夹角为∠BAC，而向量，夹角为π－∠BAC.故二者互补.
【答案】　互补
[小组合作型]
用基底表示向量
　(1)已知AD是△ABC的BC边上的中线，若＝a，＝b，则＝(　　)
A.(a－b)　　　　　
B.－(a－b)
C.－(a＋b)
D.(a＋b)
(2)如图2 3 3，设点P，Q是线段AB的三等分点，若＝a，＝b，则＝________，＝________.(用a，b表示)
图2 3 3
【精彩点拨】　用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则.
【自主解答】　(1)如图所示，
因为＝＋＝2，
所以＝(a＋b).
(2)＝－＝＋
＝(－)＋
＝＋＝a＋b，
＝－＝＋＝(－)＋
＝＋＝a＋b.
【答案】　(1)D　(2)a＋b　a＋b
平面向量基本定理的作用以及注意点：
(1)根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算.
(2)要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量.
[再练一题]
1.已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若＝a，＝b，用a，b表示，，.
图2 3 4
【解】　＝＋＝＋
＝a＋(b－a)＝a＋b；
＝＋＝＋(b－a)＝a＋b；
＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b.
向量的夹角问题
　(1)已知向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，c⊥a，则a，b的夹角等于________.
(2)若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角.
【精彩点拨】　可作出平面图形利用向量夹角定义及平面几何知识来解决.
【自主解答】　(1)作＝a，＝b，则c＝a＋b＝(如图所示)，
则a，b夹角为180°－∠C.
∵|a|＝1，|b|＝2，c⊥a，
∴∠C＝60°，
∴a，b的夹角为120°.
【答案】　120°
(2)由向量运算的几何意义知a＋b，a－b是以a，b为邻边的平行四边形两条对角线.
如图，∵|a|＝|b|＝|a－b|，
∴∠BOA＝60°.
又∵＝a＋b，且在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，
∴a与a＋b的夹角是30°.
两向量夹角的实质与求解方法：
(1)两向量夹角的实质：从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决.
(2)求解方法：利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.
[再练一题]
2.已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是________，a－b与a的夹角是________.
【导学号：00680045】
【解析】　如图所示，作＝a，＝b，则∠AOB＝60°，以OA，OB为邻边作 OACB，则＝＋＝a＋b，＝－＝a－b，＝＝a.因为|a|＝|b|＝2，所以△OAB为正三角形，所以∠OAB＝60°＝∠ABC，即a－b与a的夹角为60°.因为|a|＝|b|，所以平行四边形OACB为菱形，所以OC⊥AB，所以∠COA＝90°－60°＝30°，即a＋b与a的夹角为30°.
【答案】　30°　60°
[探究共研型]
平面向量基本定理的综合应用
探究1　若存在实数λ1，λ2，μ1，μ2及不共线的向量e1，e2，使向量a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，则λ1，λ2，μ1，μ2有怎样的大小关系？
【提示】　由题意λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即(λ1－μ1)e1＝(λ2－μ2)e2，由于e1，e2不共线，故λ1＝μ1，λ2＝μ2.
探究2　在向量等式＝x＋y中，若x＋y＝1，则三点P，A，B具有什么样的位置关系？
【提示】　三点P，A，B在同一直线上.在向量等式＝x＋y中，若x＋y＝1，则P，A，B三点共线；若P，A，B三点共线，则x＋y＝1.
　如图2 3 5所示，在△OAB中，＝a，＝b，点M是AB的靠近B的一个三等分点，点N是OA的靠近A的一个四等分点.若OM与BN相交于点P，求.
【导学号：70512030】
图2 3 5
【精彩点拨】　可利用＝t及＝＋＝＋s两种形式来表示，并都转化为以a，b为基底的表达式.根据任一向量基底表示的唯一性求得s，t，进而求得.
【自主解答】　＝＋A＝＋
＝＋(－)＝a＋b.
因为与共线，
故可设＝t＝a＋b.
又与共线，可设＝s，＝＋s＝＋s(－)＝(1－s)a＋sb，
所以解得
所以＝a＋b.
1.任意一向量基底表示的唯一性的理解：
条件一
平面内任一向量a和同一平面内两个不共线向量e1，e2
条件二
a＝λ1e1＋μ1e2且a＝λ2e1＋μ2e2
结论
2.任意一向量基底表示的唯一性的应用：
平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1，e2的线性组合λ1e1＋λ2e2.在具体求λ1，λ2时有两种方法：
(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理.
(2)利用待定系数法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程组求解.
[再练一题]
3.如图2 3 6所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且＝，BN与CM相交于E，设＝a，＝b，试用基底a，b表示向量.
图2 3 6
【解】　易得＝＝b，＝＝a，
由N，E，B三点共线，设存在实数m，
满足＝m＋(1－m)＝mb＋(1－m)a.
由C，E，M三点共线，设存在实数n满足：＝n＋(1－n)＝na＋(1－n)b.
所以mb＋(1－m)a＝na＋(1－n)b，
由于a，b为基底，所以
解之得
所以＝a＋b.
1.已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是(　　)
A.，　　　　
B.，
C.，
D.，
【解析】　由于，不共线，所以是一组基底.
【答案】　D
2.已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是(　　)
A.不共线
B.共线
C.相等
D.不确定
【解析】　∵a＋b＝3e1－e2，
∴c＝2(a＋b)，
∴a＋b与c共线.
【答案】　B
3.如图2 3 7，在矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，则＝(　　)
图2 3 7
A.(5e1＋3e2)
B.(5e1－3e2)
C.(3e2－5e1)
D.(5e2－3e1)
【解析】　＝＝(＋)
＝(＋)＝(5e1＋3e2).
【答案】　A
4.在锐角△ABC中，下列说法正确的是(　　)
A.与的夹角是锐角
B.与的夹角是锐角
C.与的夹角是钝角
D.与的夹角是锐角
【解析】　由两向量夹角定义知，与的夹角是180°－∠B，与的夹角是∠A，与的夹角是∠C，与的夹角是180°－∠C，只有B正确.
【答案】　B
5.已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.
【解】　∵a，b不共线，
∴可设c＝xa＋yb，
则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)
＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.
又∵e1，e2不共线，
∴解得
∴c＝a－2b.第三章
三角恒等变换
[自我校对]
①cos
αcos
β＋sin
αsin
β
②sin
αcos
β－cos
αsin
β
③
④cos
αcos
β－sin
αsin
β
⑤sin
αcos
β＋cos
αsin
β
⑥
⑦cos2α－sin2α
⑧2cos2α－1
⑨1－2sin2α
⑩2sin
αcos
α

给值求值问题
给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”.使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示.②将已知条件转化而推出可用的结论.其中“凑角法”是解决此类问题的常用技巧.解题时首先是分析已知式与待求式之间角、函数、结构间的差异，有目的的将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求出待求式的值.
　已知<α<π，tan
α＋＝－.
(1)求tan
α的值；
(2)求的值.
【精彩点拨】　(1)结合α的取值范围，求解tan
α的值；(2)利用降幂公式和诱导公式先统一角，通过三角变换转化成关于tan
α的式子代入求值即可.
【规范解答】　(1)由tan
α＋＝－，得3tan2α＋10tan
α＋3＝0，
即tan
α＝－3或tan
α＝－.
又<α<π，所以tan
α＝－.
(2)原式＝＝
＝＝＝－.
[再练一题]
1.已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝－，求的值.
【解】　由sin(α＋β)＝，得
sin
αcos
β＋cos
αsin
β＝，①
由sin(α－β)＝－，得
sin
αcos
β－cos
αsin
β＝－，②
①＋②得：sin
αcos
β＝，
①－②得：cos
αsin
β＝，
＝＝＝.
三角函数式的化简与证明
三角函数式的化简是三角变换应用的一个重要方面，其基本思想方法是统一角、统一三角函数的名称.在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一.通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简.
三角函数式的证明实质上也是化简，是有方向目标的化简；根本原则：由繁到简，消除两端差异，达到证明目的.
　证明：＝tan
θ.
【精彩点拨】　可从左边向右边证明，先把角由2θ向θ转化，再实现函数名称向tan
θ转化.
【规范解答】　法一：
左边＝
＝
＝
＝tan
θ＝右边.
法二：
左边＝
＝
＝
＝tan
θ＝右边.
法三：
左边＝
＝
＝
＝
＝＝tan
θ
＝右边.
[再练一题]
2.求证：tan
－tan
＝.
【证明】　
＝
＝＝－＝tan
－tan
.
三角恒等变形的综合应用
与三角恒等变形有关的综合问题一般有以下两种类型：
(1)以三角恒等变形为主要的化简手段，考查三角函数的性质.当给出的三角函数关系式较为复杂，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，将函数表达式变形为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.
(2)以向量运算为载体，考查三角恒等变形.这类问题往往利用向量的知识和公式，通过向量的运算，将向量条件转化为三角条件，然后通过三角变换解决问题；有时还从三角与向量的关联点处设置问题，把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查.
　已知向量a＝(1，－)，b＝(sin
x，cos
x)，f(x)＝a·b.
(1)若f(θ)＝0，求的值；
(2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的值域.
【精彩点拨】　(1)可先由f(θ)＝0求tan
θ，再化简后，由tan
θ值代入求值；
(2)先化简得f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，再据x范围求ωx＋φ范围，进而求得f(x)的值域.
【规范解答】　(1)∵a＝(1，－)，
b＝(sin
x，cos
x)，
∴f(x)＝a·b＝sin
x－cos
x.
∵f(θ)＝0，即sin
θ－cos
θ＝0，
∴tan
θ＝，
∴
＝
＝
＝
＝－2＋.
(2)f(x)＝sin
x－cos
x＝2sin.
∵x∈[0，π]，∴x－∈，
当x－＝－，即x＝0时，f(x)min＝－，
当x－＝，即x＝时，f(x)max＝2，
∴当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域为[－，2].
[再练一题]
3.已知向量m＝(sin
A，cos
A)，n＝(，－1)，且m·n＝1，且A为锐角.
(1)求角A的大小；
(2)求函数f(x)＝cos
2x＋4cos
Asin
x(x∈R)的值域.
【导学号：00680078】
【解】　(1)由题意得m·n＝sin
A－cos
A＝1，
2sin＝1，sin＝.
由A为锐角得A－＝，A＝.
(2)由(1)知cos
A＝.
所以f(x)＝cos
2x＋2sin
x＝1－2sin2x＋2sin
x
＝－22＋.
因为x∈R，所以sin
x∈[－1,1]，因此，
当sin
x＝时，f(x)有最大值，
当sin
x＝－1时，f(x)有最小值－3，
所以所求函数f(x)的值域为.
转化与化归的思想
三角式的恒等变换是解三角函数问题的方法基础，所谓三角式的恒等变换，就是运用有关概念和公式把给定的三角式化为另一等价形式.转化与化归的思想是三角恒等变换应用最广泛的，也是最基本的数学思想，它贯穿于三角恒等变换的始终，要认真体会理解，在解题过程中学会灵活应用.
　已知sin＝，cos＝－，且α－和－β分别为第二、第三象限角，求tan的值.
【精彩点拨】　先根据α－，－β的范围求得其正、余弦再求正切值，最后由＝－求解.
【规范解答】　∵sin＝，且α－为第二象限角，
∴cos＝－＝－.
又cos＝－，且－β为第三象限角，
∴sin＝－＝－.
∴tan＝－，tan＝，
∴tan＝tan
＝＝
＝－.
[再练一题]
4.已知sin
α－cos
α＝－，α∈，sin＝，β∈.
(1)求sin
α和cos
α的值；
(2)求cos的值.
【解】　(1)由题意得(sin
α－cos
α)2＝，
即1－sin
2α＝，
∴sin
2α＝.又2α∈，
∴cos
2α＝＝，
∴cos2
α＝＝.
∵α∈，∴cos
α＝＝，
sin
α＝＝.
(2)∵β∈，β－∈，
∴cos＝，
cos
＝cos
＝cos
αcos＋sin
αsin
＝×＋×＝.
1.若tan
θ＝－，则cos
2θ＝(　　)
A.－　　　　　　　　
B.－
C.
D.
【解析】　∵cos
2θ＝＝，
又∵tan
θ＝－，∴cos
2θ＝＝.
【答案】　D
2.函数f(x)＝cos
2x＋6cos的最大值为(　　)
A.4　　　　　　　
B.5
C.6
D.7
【解析】　∵f(x)＝cos
2x＋6cos＝cos
2x＋6sin
x
＝1－2sin2x＋6sin
x＝－22＋，
又sin
x∈[－1,1]，∴当sin
x＝1时，f(x)取得最大值5.故选B.
【答案】　B
3.已知2cos2x＋sin
2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝________，b＝________.
【解析】　∵2cos2x＋sin
2x＝1＋cos
2x＋sin
2x＝sin＋1＝Asin(ωx＋φ)＋b，∴A＝，b＝1.
【答案】　　1
4.已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.
【解析】　由题意知sin＝，θ是第四象限角，所以cos＞0，所以cos＝＝.
tan＝tan＝－
＝－＝－＝－.
【答案】　－
5.已知函数f(x)＝2sin
ωxcos
ωx＋cos
2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)求f(x)的单调递增区间.
【解】　(1)因为f(x)＝2sin
ωxcos
ωx＋cos
2ωx
＝sin
2ωx＋cos
2ωx＝sin，
所以f(x)的最小正周期T＝＝.
依题意，得＝π，解得ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin.
函数y＝sin
x的单调递增区间为(k∈Z).
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z).
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).2.2.2　向量减法运算及其几何意义
1.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量相减的意义.(难点)
2.掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算.(重点)
3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算.(易混点)
[基础·初探]
教材整理1　相反向量
阅读教材P85探究以下至倒数第九行以上内容，完成下列问题.
1.定义：如果两个向量长度相等，而方向相反，那么称这两个向量是相反向量.
2.性质：(1)对于相反向量有：a＋(－a)＝0.
(2)若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0.
(3)零向量的相反向量仍是零向量.
设b是a的相反向量，则下列说法错误的有________.
①a与b的长度必相等；
②a∥b；
③a与b一定不相等；
④a是b的相反向量.
【解析】　因为0的相反向量是0，故③不正确.
【答案】　③
教材整理2　向量的减法
阅读教材P85倒数第九行至P86例3以上内容，完成下列问题.
1.定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
2.作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图2 2 11所示.
图2 2 11
3.几何意义：a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
　在△ABC中，D是BC的中点，设＝c，＝b，＝a，＝d，则d－a＝________.
【解析】　d－a＝d＋(－a)＝＋＝＝c.
【答案】　c
[小组合作型]
向量减法及其几何意义
　(1)可以写成：①＋；②－；③－；④－.其中正确的是(　　)
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
(2)化简：①＋－＝________；
②＋(＋)＋＝________；
③－－－＝________.
【精彩点拨】　(1)用三角形法则求向量和的关键是“首尾相连”，用平行四边形法则求向量和的关键是“共起点”.
(2)求两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后用加法a＋(－b)即可，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把减向量与被减向量的起点重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.
【自主解答】　(1)因为＋＝，－＝，所以选D.
(2)①＋－＝＋(－)＝＋＝0；
②＋(＋)＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0；
③－－－＝(－)－(＋)＝.
【答案】　(1)D　(2)①0　0　
1.向量加法与减法的几何意义的联系：
如图所示，平行四边形ABCD中，若＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b.
2.向量加减法化简的两种形式：
(1)首尾相连且为和.
(2)起点相同且为差.
做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用.
[再练一题]
1.下列各式中不能化简为的是(　　)
A.(－)－
B.－(＋)
C.－(＋)－(＋)
D.－－＋
【解析】　选项A中，(－)－＝＋＋＝＋＋＝；选项B中，－(＋)＝－0；选项C中，－(＋)－(＋)＝－－－－＝＋＋＋＝(＋＋)＋＝.
【答案】　D
利用已知向量表示其他向量
　如图2 2 12所示，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示：
图2 2 12
(1)－；(2)＋；(3)－.
【精彩点拨】　运用三角形法则和平行四边形法则，将所求向量用已知向量a，b，c，d，e，f的和与差来表示.
【自主解答】　(1)∵＝b，＝d，∴－＝＝－＝d－b.
(2)∵＝a，＝b，＝c，＝f，
∴＋＝(－)＋(－)＝b＋f－a－c.
(3)∵＝d，＝f，
∴－＝＝－＝f－d.
1.解决此类问题应搞清楚图形中的相等向量、相反向量、平行向量以及构成三角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道.
2.通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决问题时，运算过程中，将“－”改为“＋”，只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可，如“－”改为“”.
[再练一题]
2.如图2 2 13，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及.【导学号：00680039】
图2 2 13
【解】　∵四边形ACDE为平行四边形，
∴＝＝c，＝－＝b－a，
＝－＝c－a，
＝－＝c－b，
∴＝＋＝b－a＋c.
[探究共研型]
向量减法的三角不等式及其取等条件
探究1　若||＝8，||＝5，则||的取值范围是什么？
【提示】　由＝＋及三角不等式，得||－||≤|＋|≤||＋||，又因为||＝||＝8，所以3≤||＝|＋|≤13，即||∈[3,13].
探究2　已知向量a，b，那么|a|－|b|与|a±b|及|a|＋|b|三者具有什么样的大小关系？
【提示】　它们之间的关系为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
(1)当a，b有一个为零向量时，不等式显然成立.
(2)当a，b不共线时，作＝a，＝b，则a＋b＝，如图(1)所示，根据三角形的性质，有||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.同理可证||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|.
(3)当a，b非零且共线时，①当向量a与b同向时，作法同上，如图(2)所示，此时|a＋b|＝|a|＋|b|.②当向量a，b反向时，不妨设|a|>|b|，作法同上，如图(3)所示，此时|a＋b|＝|a|－|b|.
综上所述，得不等式
||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
　已知菱形ABCD的边长为2，则向量－＋的模为________；||的范围是________.
【精彩点拨】　画出平行四边形数形结合求解.
【自主解答】　因为－＋＝＋＋＝，又||＝2，所以|－＋|＝||＝2.又因为＝＋，且在菱形ABCD中，||＝2，
所以|||－|||<||＝|＋|<||＋||，即0<||<4.
【答案】　2　(0,4)
利用“三角形法则、平行四边形法则”把向量问题转化为平面几何的问题，然后利用平面几何中的方法进行数量的计算或位置关系的判断也是本节的一个解题技巧，采用数形结合的方法常可以简化运算，达到巧解的目的.
[再练一题]
3.已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|.
【解】　如图，作＝a，＝b，再以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则有＝a＋b，＝a－b，
即|a＋b|与|a－b|是平行四边形的两条对角线的长度，又因为|a＋b|＝|a－b|，所以该四边形为矩形，从而|a－b|＝＝10.
1.在△ABC中，若＝a，＝b，则等于(　　)
A.a　　　　　
B.a＋b
C.b－a
D.a－b
【解析】　＝－＝a－b.故选D.
【答案】　D
2.如图2 2 14，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝(　　)
图2 2 14
A.a－b＋c
B.b－(a＋c)
C.a＋b＋c
D.b－a＋c
【解析】　＝＋＋＝a－b＋c.
【答案】　A
3.若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是(　　)
【导学号：70512026】
A.＝＋
B.＝－
C.＝－＋
D.＝－－
【解析】　因为O，E，F三点不共线，所以在△OEF中，由向量减法的几何意义，得＝－，故选B.
【答案】　B
4.已知＝a，＝b，若||＝5，||＝12，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________.
【解析】　
如图，在矩形OACB中，－＝，则|a－b|＝||＝＝＝13.
【答案】　13
5.化简(－)－(－).
【解】　法一：(－)－(－)
＝－－＋
＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)
＝＋＝0.
法二：(－)－(－)
＝－－＋
＝(－)＋(－)
＝＋＝0.2.4.1　平面向量数量积的物理背景及其含义
1.平面向量的数量积.(重点)
2.平面向量的数量积的几何意义.(难点)
3.向量的数量积与实数的乘法的区别.(易混点)
[基础·初探]
教材整理1　向量数量积的定义及性质
阅读教材P103～P104“例1”以上内容，完成下列问题.
1.向量的数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos
θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos
θ.
规定零向量与任一向量的数量积为0.
2.向量的数量积的性质
设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角.
(1)a⊥b a·b＝0.
(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
(3)a·a＝|a|2或|a|＝＝.
(4)cos
θ＝.
(5)|a·b|≤|a||b|.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量的夹角和直线的倾斜角的范围相同.(　　)
(2)两个向量的数量积是向量.(　　)
(3)设向量a与b的夹角为θ，则cos
θ>0 a·b>0.(　　)
【解析】　(1)×.因向量的夹角包括180°，直线的倾斜角不包括180°.
(2)×.因两个向量的数量积没有方向，不是向量.
(3)√.由数量积的定义可知.
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√
教材整理2　向量的数量积的几何意义及运算律
阅读教材P104例1以下至P105例2以上内容，完成下列问题.
1.向量的数量积的几何意义
(1)投影的概念
如图2 4 1所示：＝a，＝b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝|b|cos
θ.
|b|cos
θ叫做向量b在a方向上的投影，|a|cos
θ叫做向量a在b方向上的投影.
图2 4 1
(2)数量积的几何意义：
a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos
θ的乘积.
2.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
已知|a|＝3，向量a与b的夹角为，则a在b方向上的投影为________.
【解析】　向量a在b方向上的投影为|a|cos
θ＝3×cos
＝.
【答案】　
[小组合作型]
与向量数量积有关的概念
　(1)以下四种说法中正确的是________.
①如果a·b＝0，则a＝0或b＝0；
②如果向量a与b满足a·b<0，则a与b所成的角为钝角；
③△ABC中，如果·＝0，那么△ABC为直角三角形；
④如果向量a与b是两个单位向量，则a2＝b2.
(2)已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝－12，则a在b方向上的投影为________，b在a方向上的投影为________.
(3)已知等腰△ABC的底边BC长为4，则·＝________.
【精彩点拨】　根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答.
【自主解答】　(1)由数量积的定义知a·b＝|a||b|cos
θ(θ为向量a，b的夹角).
①若a·b＝0，则θ＝90°或a＝0或b＝0，故①错；
②若a·b<0，则θ为钝角或θ＝180°，故②错；
③由·＝0知B＝90°，故△ABC为直角三角形，故③正确；
④由a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故④正确.
(2)设a与b的夹角为θ，则有
a·b＝|a|·|b|cos
θ＝－12，
所以向量a在向量b方向上的投影为|a|·cos
θ＝＝＝－；向量b在向量a方向上的投影为|b|·cos
θ＝＝＝－4.
(3)如图，过A作AD⊥BC，垂足为D.
因为AB＝AC，
所以BD＝BC＝2，
于是||cos∠ABC＝||
＝||＝×4＝2.
所以·＝||||cos∠ABC＝4×2＝8.
【答案】　(1)③④　(2)－　－4　(3)8
1.在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写.
2.求平面向量数量积的方法：
(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos
θ.
(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b.
[再练一题]
1.给出下列判断：①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝，则|a·c|＝|b·c|；③a，b共线 a·b＝|a||b|；④|a||b|0，则a与b的夹角为锐角；⑧若a，b的夹角为θ，则|b|cos
θ表示向量b在向量a方向上的投影长.
其中正确的是________.
【解析】　由于a2≥0，b2≥0，所以，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故①正确；
若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正确；a，b共线 a·b＝±|a||b|，所以③不正确；
对于④，应有|a||b|≥a·b；
对于⑤，应该是a·a·a＝|a|2a；
⑥a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故正确；
当a与b的夹角为0时，也有a·b>0，因此⑦错；
|b|cos
θ表示向量b在向量a方向上的投影的数量，而非投影长，故⑧错.综上可知①②⑥正确.
【答案】　①②⑥
数量积的基本运算
　已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为135°时，分别求a与b的数量积.
【导学号：00680054】
【精彩点拨】　(1)当a∥b时，a与b夹角可能为0°或180°.(2)当a⊥b时，a与b夹角为90°.(3)若a与b夹角及模已知时可利用a·b＝|a|·|b|·cos
θ(θ为a，b夹角)求值.
【自主解答】　设向量a与b的夹角为θ，
(1)a∥b时，有两种情况：
①若a和b同向，则θ＝0°，a·b＝|a||b|＝20；
②若a与b反向，则θ＝180°，a·b＝－|a||b|＝－20.
(2)当a⊥b时，θ＝90°，
∴a·b＝0.
(3)当a与b夹角为135°时，
a·b＝|a||b|cos
135°＝－10.
1.求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a||b|cos
θ.
2.非零向量a与b共线的条件是a·b＝±|a||b|.
[再练一题]
2.已知正三角形ABC的边长为1，求：
图2 4 2
(1)·；(2)·；
(3)·.
【解】　(1)与的夹角为60°，
∴·＝||||cos
60°＝1×1×＝.
(2)与的夹角为120°，
∴·＝||||cos
120°＝1×1×＝－.
(3)与的夹角为60°，
∴·＝||||cos
60°＝1×1×＝.
与向量模有关的问题
　已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：
(1)|a＋b|；
(2)|(a＋b)·(a－2b)|.
【导学号：70512035】
【精彩点拨】　利用a·a＝a2或|a|＝求解.
【自主解答】　由已知a·b＝|a||b|cos
θ＝4×2×cos
120°＝－4，a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.
(1)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12，∴|a＋b|＝2.
(2)∵(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12，∴|(a＋b)·(a－2b)|＝12.
1.此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系.
2.利用a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
[再练一题]
3.题干条件不变，求|a－b|.
【解】　因为|a|＝4，|b|＝2，且a与b的夹角θ＝120°.
所以|a－b|＝＝
＝＝2，
所以|a－b|＝2.
[探究共研型]
平面向量数量积的性质
探究1　设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？
【提示】　a⊥b a·b＝0.
探究2　当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？
【提示】　当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；a·a＝a2＝|a|2或|a|＝.
探究3　|a·b|与|a||b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？
【提示】　|a·b|≤|a||b|，设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos
θ.
两边取绝对值得：
|a·b|＝|a||b||cos
θ|≤|a||b|.
当且仅当|cos
θ|＝1，
即cos
θ＝±1，θ＝0或π时，取“＝”，
所以|a·b|≤|a||b|.
cos
θ＝.
　已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直？
【精彩点拨】　由条件计算a·b，当c⊥d时，c·d＝0，列方程求解m.
【自主解答】　由已知得a·b＝3×2×cos
60°＝3.
由c⊥d，知c·d＝0，
即c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b)＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2
＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0，
∴m＝，即m＝时，c与d垂直.
1.已知非零向量a，b，若a⊥b，则a·b＝0，反之也成立.
2.设a与b夹角为θ，利用公式cos
θ＝可求夹角θ，求解时注意向量夹角θ的取值范围θ∈[0，π].
[再练一题]
4.若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________.
【解析】　设a与b夹角为θ，因为|a|＝3|b|，
所以|a|2＝9|b|2.
又|a|＝|a＋2b|，所以|a|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b
＝|a|2＋4|b|2＋4|a|·|b|·cos
θ＝13|b|2＋12|b|2cos
θ，
即9|b|2＝13|b|2＋12|b|2cos
θ，故有cos
θ＝－.
【答案】　－
1.在△ABC中，BC＝5，AC＝8，∠C＝60°，则·＝(　　)
A.20　　　　　　　
B.－20
C.20
D.－20
【解析】　·＝||||cos
120°＝5×8×＝－20.
【答案】　B
2.设e1，e2是两个平行的单位向量.则下面的结果正确的是(　　)
A.e1·e2＝1
B.e1·e2＝－1
C.|e1·e2|＝1
D.|e1·e2|<1
【解析】　e1·e2＝|e1||e2|cos〈e1，e2〉＝±1.
【答案】　C
3.在△ABC中，＝a，＝b，且b·a＝0，则△ABC是(　　)
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.无法确定
【解析】　在△ABC中，因为b·a＝0，所以b⊥a，故△ABC为直角三角形.
【答案】　C
4.已知|a|＝4，e为单位向量，a在e方向上的投影为－2，则a与e的夹角为________.
【导学号：00680055】
【解析】　因为a在e方向上的投影为－2，
即|a|cos〈a，e〉＝－2，
所以cos〈a，e〉＝＝－，〈a，e〉＝120°.
【答案】　120°
5.已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b).
【解】　(a＋2b)·(a－3b)
＝a·a－a·b－6b·b
＝|a|2－a·b－6|b|2
＝|a|2－|a|·|b|cos
θ－6|b|2
＝62－6×4×cos
60°－6×42
＝－72.