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2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
5.5 数列的综合应用
考纲剖析
能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题．
知识回顾
1．等差数列和等比数列的综合
等差数列中最基本的量是其首项a1和公差d，等比数列中最基本的量是其首项a1和公比q，在等差数列和等比数列的综合问题中就是根据已知的条件建立方程组求解出这两个数列的基本量解决问题的．【版权所有：21教育】
2．数列和函数、不等式的综合
(1)等差数列的通项公式和前n项和公式是在公差d≠0的情况下关于n的一次或二次函数．
(2)等比数列的通项公式和前n项和公式在公比q≠1的情况下是公比q的指数函数模型．
(3)数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等，需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题．
3．数列的应用题
(1)解决数列应用题的基本步骤是：
①根据实际问题的要求，识别是等差数列还是等比数列，用数列表示问题的已知；
②根据等差数列和等比数列的知识以及实际问题的要求建立数学模型；
③求出数学模型，根据求解结果对实际问题作出结论．
(2)数列应用题常见模型：
①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量，该模型是等差数列模型，增加(或减少)的量就是公差；
②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比；
③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an－1的递推关系，或前n项和Sn与Sn－1之间的递推关系．
精讲方法
一、数列的综合应用
（一）等差、等比数列的综合问题
1、等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点；
2、利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值。同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解。
（二）以等差数列为模型的实际应用
1、解等差数列应用题，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列问题，使关系明朗化、标准化。然后用等差数列知识求解。这其中体现了把实际问题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力。
2、解等差数列应用题的关键是建模，建模的思路是：
从实际出发，通过抽象概括建立数列模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：
(三)以等比数列为模型的实际应用
1、函数的实际应用问题中，有许多问题以等比数列为模型，此类问题往往从应用问题给出的初始条件入手，推出若干项，逐步探索数列通项或前n项和，或前后两项的递推关系，从而建立等比数列模型，要注意题目给出的一些量的结果，合理应用。
2、与等比数列联系较大的是“增长率”、“递减率”的概念，在经济上多涉及利润、成本、效益的增减问题；在人口数量的研究中也要研究增长率问题；金融问题更多涉及复利的问题。这都与等比数列有关。
（四）数列与解析几何、不等式的综合应用
数列、解析几何、不等式是高考的重点内容，将三者综合在一起，强强联合命题大型综合题是历年高考的热点和重点。数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数作为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，而一直成为高考命题者的首选。
方法提示：数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合力度.所以，解决此类题目仅靠掌握单一知识点，无异于杯水车薪，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重要作用，常用的数学思想方法主要有：“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等.
注：数列与函数的综合问题主要有以下两类：
①已知函数条件，解决数列问题。此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；②已知数列条件，解决函数问题。解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形。21世纪教育网版权所有
例题精讲
考点一 等差、等比数列的综合问题
【例题1】在等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn ， 等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=
（Ⅰ）求an与bn；
（Ⅱ）设数列{cn}满足cn=， 求{cn}的前n项和Tn ． 【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】解：（Ⅰ）设{an}的公差为d，
因为所以
解得 q=3或q=﹣4（舍），d=3．
故an=3+3（n﹣1）=3n，．
（Ⅱ）∵Sn=，
∴cn===（﹣），
∴Tn=[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣）=．
【考点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）利用待定系数法，建立方程组，求出d，q，即可求an与bn；
（Ⅱ）确定数列{cn}的通项，利用裂项法，可求{cn}的前n项和Tn ．
【变式训练1】（2017河南诊断）已知数列{an}，{bn}满足a1=b1=1，,， 则数列的前10项的和为（ ）
A、
B、
C、
D、
考点二 数列与函数、不等式的综合应用
【例题2】已知数列{an}中，a1=1，an+1= （n∈N*）．
(1)求a2、a3的值；
(2)求{an}的通项公式an；
(3)设bn=（4n﹣1） an ， 记其前n项和为Tn ， 若不等式2n﹣1λ＜2n﹣1Tn+ 对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围． www.21-cn-jy.com
【答案】（1）解：由题意，代入可得a2= ，a3=
（2）解：∵an+1= ， ∴ ，
∴ ，
∴{ + }是首项为 ，公比为4的等比数列，
∴ + = ，
∴ = ﹣ ，
∴an=
（3）解：bn=（4n﹣1） an= ， Tn=3（ + +…+ ），
∴ Tn=3（ +…+ ），
两式相减得 Tn=3（ + +…+ ﹣ ）=3（1﹣ ﹣ ），
∴2n﹣1Tn=3（2n﹣1﹣ ），
∵不等式2n﹣1λ＜2n﹣1Tn+ 对一切n∈N*恒成立，
∴2n﹣1λ＜3（2n﹣1），
∴λ＜3（2﹣ ），∴λ＜3
【考点】数列递推式，数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）由题意，代入可得求a2、a3的值；（2）由数列{an}中，a1=1，an+1= 可得{ + }是首项为 ，公比为4的等比数列，即可得出{an}的通项公式an；（3）由（2）可知：bn ， 利用“错位相减法”即可得出Tn ， 利用不等式2n﹣1λ＜2n﹣1Tn+ 对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围． 21*cnjy*com
【变式训练2】（2017湖南衡阳三模）已知数列{an}的首项a1=4，当n≥2时，an﹣1an﹣4an﹣1+4=0，数列{bn}满足bn=
(1)求证：数列{bn}是等差数列，并求{bn}的通项公式；
(2)若cn=4bn （nan﹣6），如果对任意n∈N* ， 都有cn+ t≤2t2 ， 求实数t的取值范围．
考点三 数列与几何的综合
【例3】椭圆的焦点是F1（﹣3，0）F2（3，0），P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则椭圆的方程为________ 21cnjy.com
【答案】
【考点】数列与解析几何的综合
【解析】【解答】∵椭圆的焦点是F1（﹣3，0）F2（3，0），
P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，
∴|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=12，
∴2a=12，2c=6，即a=6，c=3
∴b2=36﹣9=27，
∴椭圆的方程为．
故答案为：．
【分析】根据椭圆和数列的基本性质以及题中已知条件便可求出a和b值，进而求得椭圆方程． 2-1-c-n-j-y
【变式训练3】设直线（k+1）x+（k+2）y﹣2=0与两坐标轴围成的三角形面积为Sk ， 则S1+S2+…+S10=________ 21*cnjy*com
考点四 数列与三角函数的综合
【例4】（2017浙江省温州中学期中）已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=（1+cos2 ）an+sin2 ，则该数列的前10项和为________．
【答案】77
【考点】数列的求和，数列与三角函数的综合
【解析】【解答】解：因为a1=1，a2=2，所以a3=（1+cos2 ）a1+sin2 =a1+1=2，a4=（1+cos2π）a2+sin2π=2a2=4．
一般地，当n=2k﹣1（k∈N*）时，a2k+1=[1+cos2 ]a2k﹣1+sin2 =a2k﹣1+1，即a2k+1﹣a2k﹣1=1．
所以数列{a2k﹣1}是首项为1、公差为1的等差数列，因此a2k﹣1=k．
当n=2k（k∈N*）时，a2k+2=（1+cos2 ）a2k+sin2 =2a2k ．
所以数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列，因此a2k=2k ．
该数列的前10项的和为1+2+2+4+3+8+4+16+5+32=77
故答案为：77
【分析】根据数列递推式，可得数列{a2k﹣1}是首项为1、公差为1的等差数列，因此a2k﹣1=k，数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列，因此a2k=2k ， 从而可求数列的前10项的和．
【变式训练4】（2017江西鹰潭二模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，并且b=2 21教育网
(1)若角A，B，C成等差数列，求△ABC外接圆的半径；
(2)若三边a，b，c成等差数列，求△ABC内切圆半径的最大值．
真题精析
一、单选题
1、（2015陕西）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3,据此函数可知，这段时间水深（单位：m)的最大值为（ ）21·世纪*教育网
A、5
B、6
C、8
D、10
2、（2015·湖南）将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，，有，则（ ）
A、
B、
C、
D、
3、（2016 浙江）如图，点列{An}、{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+1 ， n∈N* ， |BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+1 ， n∈N* ， （P≠Q表示点P与Q不重合）若dn=|AnBn|，Sn为△AnBnBn+1的面积，则（ ）
A、{Sn}是等差数列
B、{Sn2}是等差数列
C、{dn}是等差数列
D、{dn2}是等差数列
4、（2017 北京卷）已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5 ． （13分）
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1 ．
填空题
5、（2015·湖南）已知，在函数Y=2sinx与y=2cosx的图像的交点中。距离最短的是两个交点的距离为，则=________ .
6、（2016 上海）无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和，若对任意n∈N* ， Sn∈{2，3}，则k的最大值为________．
三、解答题
7、（2013 四川）在等差数列{an}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项，公差及前n项和．
8、（2017 天津）已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N*），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1 ， S11=11b4 ． （13分）
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a2nbn}的前n项和（n∈N*）．
．
四、综合题
9、（2014 浙江）已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an= （n∈N*）．若{an}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2 ． 21·cn·jy·com
(1)求an和bn；
(2)设cn= （n∈N*）．记数列{cn}的前n项和为Sn ．
（i）求Sn；
（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有Sk≥Sn ． 【出处：21教育名师】
模拟题精练
一、单选题
1、将棱长相等的正方体按如右图所示的形状摆放, 从上往下依次为第1层, 第2层, 第3层……. 则第2005层正方体的个数是（ ）
A、4011
B、4009
C、2011015
D、2009010
2、数列an=， 其前n项之和为， 则在平面直角坐标系中，直线（n+1）x+y+n=0在y轴上的截距为（ ）
A、-10
B、-9
C、10
D、9
3、（2017陕西西北大学附中期中）两个正数a，b的等差中项是 ，一个等比中项是 ，且a＞b，则抛物线y2= 的焦点坐标是（ ）
A、（ ）
B、
C、
D、
4、（2017广东汕头潮南考前冲刺）已知等差数列{an}中，a3=9，a5=17，记数列 的前n项和为Sn ， 若 ，对任意的n∈N*成立，则整数m的最小值为（ ） 2·1·c·n·j·y
A、5
B、4
C、3
D、2
5、（2017河南诊断）已知各项均不相等的等比数列{an}中，a2=1，且 a1 ， a3 ， a5成等差数列，则a4等于（ ）
A、
B、49
C、
D、7
二、解答题
6、（2017广西桂林一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos2 +acos2 = c．
（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；
（Ⅱ）若C= ，△ABC的面积为2 ，求c．
7、（2017江苏扬州中学）设不等式组 所表示的平面区域为Dn ， 记Dn内的整点个数为an（n∈N*）．（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）记数列{an}的前n项和为Sn ， 且 ，若对于一切的正整数n，总有Tn≤m，求实数m的取值范围．
8、（2017浙江湖州期中）已知数列{an}满足a1=1，an+1= ．
（Ⅰ）求证：an+1＜an；
（Ⅱ）求证： ≤an≤ ．
9、（2017黑龙江佳木斯六中三模）已知数列{an}的前n项和为Sn ， 满足 ，且a1=3．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求证： ． www-2-1-cnjy-com
10、在数列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4且an ， bn ， an+1成等差数列，bn ， an+1 ， bn+1成等比数列（n∈N*）
（1）求a2 ， a3 ， a4及b2 ， b3 ， b4；由此归纳出{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论．
（2）若cn=log2（），Sn=c1+c2+…+cn ， 试问是否存在正整数m，使Sm≥5，若存在，求最小的正整数m．
11、已知等差数列{an}的前n项和为Sn ， 公差d≠0，且S3+S5=50，a1 ， a4 ， a13成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn ．
12、（2017广西白色模拟）已知各项均为正数的等差数列{an}满足：a4=2a2 ， 且a1 ， 4，a4成等比数列，设{an}的前n项和为Sn ．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列 的前n项和为Tn ， 求证：Tn＜3．
三、综合题
13、已知数列{an}中，a1=1，其前n项和为Sn ， 且满足an= （n≥2）
(1)求Sn；
(2)证明：当n≥2时，S1+ S2+ S3+…+ Sn＜ ﹣ ．
14、（2016河北唐山开滦一中期末）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．角A，B，C成等差数列．
(1)求cosB的值；
(2)边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．
15、（2017福建厦门一考前模拟）已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn﹣2an=n﹣4．
(1)证明{Sn﹣n+2}为等比数列；
(2)设数列{Sn}的前n项和Tn ， 比较Tn与2n+2﹣5n的大小．
16、（2016江西师大附中期末）在公比为2的等比数列{an}中，a2与a3的等差中项是9 ．
(1)求a1的值；
(2)若函数y=|a1|sin（ x+φ），|φ|＜π，的一部分图象如图所示，M（﹣1，|a1|），N（3，﹣|a1|）为图象上的两点，设∠MPN=β，其中P与坐标原点O重合，0＜β＜π，求tan（φ﹣β）的值．
【来源：21cnj*y.co*m】
17、（2016安徽阜阳临泉一中）设数列{an}的前n项和为Sn ， 已知a1=1， ，n∈N* ． 21教育名师原创作品
(1)求a2的值；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有 ．
18、在各项均为正数的等比数列{an}中，a1=2，且2a1 ， a3 ， 3a2成等差数列．
(1) 求等比数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn=11﹣2log2an ， 求数列{bn}的前n项和Tn的最大值．
19、（2017江苏南通第二次调研）设数列 的前n项和为Sn ，且满足：
① ；② ，其中 且 ．
(1)求p的值；
(2)数列 能否是等比数列？请说明理由；
(3)求证：当r 2时，数列 是等差数列．
20、（2017江西九校联考一模）等差数列{an}的前n项和为Sn ， 数列{bn}是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣2b2=a3 ．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)令cn=an bn ， 设数列{cn}的前n项和为Tn ， 求Tn ．
21、（2017辽宁辽南协作体模拟）已知等差数列{an}，a1=﹣ll，公差d≠0，且a2 ， a5 ， a6成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=|an|，求数列{bn}的前n项和Tn ．
四、填空题
22、（2017黑龙江大庆一中）已知数列{an}中，a1=1，且P（an ， an+1）（n∈N+）在直线x﹣y+1=0上，若函数f（n）= + + +…+ （n∈N* ， 且n≥2），函数f（n）的最小值________．
23、（2017湖北四月调考）已知数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且an＞0，bn＞0，记数列{an bn}的前n项和为Sn ， 若a1=b1=1，Sn=（n﹣1） 3n+1（n∈N*），则数列{ }的最大项为第________项．
24、（2017宁夏六盘山高级中学四模）设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn ， 若a2 ， a5 ， a11成等比数列，且a11=2（Sm﹣Sn）（m＞n＞0，m，n∈N*），则m+n的值是________．
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2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
5.5 数列的综合应用（答案）
知识回顾
1．等差数列和等比数列的综合
等差数列中最基本的量是其首项a1和公差d，等比数列中最基本的量是其首项a1和公比q，在等差数列和等比数列的综合问题中就是根据已知的条件建立方程组求解出这两个数列的基本量解决问题的．
2．数列和函数、不等式的综合
(1)等差数列的通项公式和前n项和公式是在公差d≠0的情况下关于n的一次或二次函数．
(2)等比数列的通项公式和前n项和公式在公比q≠1的情况下是公比q的指数函数模型．
(3)数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等，需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题．
3．数列的应用题
(1)解决数列应用题的基本步骤是：
①根据实际问题的要求，识别是等差数列还是等比数列，用数列表示问题的已知；
②根据等差数列和等比数列的知识以及实际问题的要求建立数学模型；
③求出数学模型，根据求解结果对实际问题作出结论．
(2)数列应用题常见模型：
①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量，该模型是等差数列模型，增加(或减少)的量就是公差；
②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比；
③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an－1的递推关系，或前n项和Sn与Sn－1之间的递推关系．
例题精讲
考点一 等差、等比数列的综合问题
【变式训练1】（2017河南诊断）已知数列{an}，{bn}满足a1=b1=1，,， 则数列的前10项的和为（ ） 21*cnjy*com
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【考点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【解答】由题意可得，
所以数列{an}是等差数列，且公差是2，{bn}是等比数列，且公比是2．
又因为a1=1，所以an=a1+（n﹣1）d=2n﹣1．
所以=b2n-1=b1 22n﹣2=22n﹣2 ．
设cn=， 所以cn=22n﹣2 ，
所以， 所以数列{cn}是等比数列，且公比为4，首项为1．
由等比数列的前n项和的公式得：其前10 项的和为．
故选D．
【分析】根据等差数列与等比数列的定义结合题中的条件得到数列{an}与{bn}的通项公式，进而表达出的通项公式并且可以证明此数列为等比数列，再利用等比数列前n项和的公式计算出答案即可。 www.21-cn-jy.com
考点二 数列与函数、不等式的综合应用
【变式训练2】（2017湖南衡阳三模）已知数列{an}的首项a1=4，当n≥2时，an﹣1an﹣4an﹣1+4=0，数列{bn}满足bn= www-2-1-cnjy-com
(1)求证：数列{bn}是等差数列，并求{bn}的通项公式；
(2)若cn=4bn （nan﹣6），如果对任意n∈N* ， 都有cn+ t≤2t2 ， 求实数t的取值范围．
【答案】（1）证明：当n≥2时，bn﹣bn﹣1= ﹣ = ， 由于an﹣1an﹣4an﹣1+4=0，
所以bn﹣bn﹣1=﹣ ，即数列{bn}是等差数列，
又因为b1= =﹣ ，
所以bn= +（n﹣1）（ ）=﹣
（2）由（1）及bn=bn= 可知an= +2， 所以cn=4bn （nan﹣6）= （2n﹣4），
由单调性可知：﹣1≤cn≤ ，
令y=cn+ t﹣2t2 ， 则y是关于cn的一次函数，且单调递增，
所以当cn= 时y≤0即可，
所以 + t﹣2t2≤0，解得：t≤﹣ 或t≥ ，
故实数t的取值范围是：（﹣∞，﹣ ]∪[ ，+∞）
【考点】数列递推式，数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）通过作差可知bn﹣bn﹣1= ，结合an﹣1an﹣4an﹣1+4=0可知bn﹣bn﹣1=﹣ ，进而利用数列{bn}是等差数列即可求出通项公式；（2）通过（1）及bn=bn= 可知an= +2，进而可知cn= （2n﹣4），结合单调性可知﹣1≤cn≤ ，将y=cn+ t﹣2t2看作是关于cn的一次函数，结合其单调递增可知当cn= 时y≤0即可，进而问题转化为解不等式 + t﹣2t2≤0，计算即得结论．
考点三 数列与几何的综合
【变式训练3】设直线（k+1）x+（k+2）y﹣2=0与两坐标轴围成的三角形面积为Sk ， 则S1+S2+…+S10=________
【答案】
【考点】数列与解析几何的综合
【解析】【解答】依题意，得直线与y轴交于（0，），与x轴交于（， 0），则
则Sk= =2（），
S1+S2+…+S10=2[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]
=2×(-)
=．
故答案为：．
【分析】令x=0，求出y，令y=0，求出x，然后求出Sk ， 根据三角形面积公式求和
考点四 数列与三角函数的综合
【变式训练4】（2017江西鹰潭二模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，并且b=2
(1)若角A，B，C成等差数列，求△ABC外接圆的半径；
(2)若三边a，b，c成等差数列，求△ABC内切圆半径的最大值．
【答案】（1）解：由A，B，C成等差数列及A+B+C=π，得B= ， 设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理2R= ，R=
（2）解：由三边a，b，c成等差数列得2b=a+c， 所以a+b+c=6，
设△ABC内切圆半径为r，面积为S，则S= （a+b+c）r= accosB，
所以r= ，
因为a+c=4≥2，
所以ac≤4，
cosB= = = = ﹣1≥ ﹣1= （a=c取等号），
所以B∈（0， ]，
所以sinB≤ ，（B= 时取等号），
所以r= ≤ = （a=c，B= 时取等号，即三角形为正三角形时）
【考点】数列与三角函数的综合
【解析】【分析】（1）由等差数列的性质，可得B= ，根据正弦定理，即可求出半径；（2）由等差数列的性质可得a+b+c=6，根据三角的面积公式和余弦定理和基本不等式即可求出
真题精析
一、单选题
1、（2015陕西）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3,据此函数可知，这段时间水深（单位：m)的最大值为（ ）21世纪教育网版权所有
A、5
B、6
C、8
D、10
【答案】C
【考点】数列与三角函数的综合，三角函数线，三角函数的定义域
【解析】【解答】由图像知：=2,因为=-3+k,所以-3+k=2,解得：k=5,所以这段时间水深的最大值是=3+k=3+5=8,故选C.
【分析】本题主要考查的是三角函数的图象与性质，解题时一定要抓住重要字眼“最大值”，否则很容易出现错误．解三角函数求最值的试题时，我们经常使用的是整体法．本题从图象中可知=-1时，y取得最小值，进而求出k的值，当=1时，y取得最大值．
2、（2015·湖南）将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，，有，则（ ）
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【考点】数列与三角函数的综合
【解析】【解答】向右平移各单位后，得到,又,不妨所以，又,所以故选D
【分析】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.
3、（2016 浙江）如图，点列{An}、{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+1 ， n∈N* ， |BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+1 ， n∈N* ， （P≠Q表示点P与Q不重合）若dn=|AnBn|，Sn为△AnBnBn+1的面积，则（ ）
A、{Sn}是等差数列
B、{Sn2}是等差数列
C、{dn}是等差数列
D、{dn2}是等差数列
【答案】A
【考点】数列与函数的综合
【解析】【解答】解：设锐角的顶点为O，|OA1|=a，|OB1|=b，
|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，
由于a，b不确定，则{dn}不一定是等差数列，
{dn2}不一定是等差数列，
设△AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn ，
由三角形的相似可得 = = ，= = ，两式相加可得， = =2，
即有hn+hn+2=2hn+1 ，
由Sn= d hn ， 可得Sn+Sn+2=2Sn+1 ，
即为Sn+2﹣Sn+1=Sn+1﹣Sn ，
则数列{Sn}为等差数列．
故选：A．
【分析】设锐角的顶点为O，再设|OA1|=a，|OB1|=b，|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，由于a，b不确定，判断C，D不正确，设△AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn ， 运用三角形相似知识，hn+hn+2=2hn+1 ， 由Sn= d hn ， 可得Sn+Sn+2=2Sn+1 ， 进而得到数列{Sn}为等差数列．本题考查等差数列的判断，注意运用三角形的相似和等差数列的性质，考查化简整理的推理能力，属于中档题．
4、（2017 北京卷）已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5 ． （13分）
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1 ．
【答案】解：（Ⅰ）等差数列{an}，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，
所以{an}的通项公式：an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5=a1+4d=9，
等比数列{bn}满足b1=1，b2b4=9．可得b3=3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．
∴q2=3，
{b2n﹣1}是等比数列，公比为3，首项为1．
b1+b3+b5+…+b2n﹣1= = ．
【考点】数列的求和，等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，然后求{an}的通项公式；
（Ⅱ）利用已知条件求出公比，然后求解数列的和即可．
填空题
5、（2015·湖南）已知，在函数Y=2sinx与y=2cosx的图像的交点中。距离最短的是两个交点的距离为，则=________ .
【答案】
【考点】数列与三角函数的综合
【解析】【解答】,,距离最短的两个交点一定在同一个周期内所以所以，=
【分析】正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形. 应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一.这样就能理解条件“距离最短的两个交点” 一定在同一个周期内，本题也可从五点作图法上理解.
6、（2016 上海）无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和，若对任意n∈N* ， Sn∈{2，3}，则k的最大值为________．
【答案】4
【考点】数列与函数的综合
【解析】【解答】解：对任意n∈N* ， Sn∈{2，3}，可得
当n=1时，a1=S1=2或3；
若n=2，由S2∈{2，3}，可得数列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，﹣1；
若n=3，由S3∈{2，3}，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1；
或2，1，0；或2，1，﹣1；或3，0，0；或3，0，﹣1；或3，1，0；或3，1，﹣1；
若n=4，由S3∈{2，3}，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1；
或2，0，1，0；或2，0，1，﹣1；或2，1，0，0；或2，1，0，﹣1；
或2，1，﹣1，0；或2，1，﹣1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，﹣1；
或3，0，﹣1，0；或3，0，﹣1，1；或3，﹣1，0，0；或3，﹣1，0，1；
或3，﹣1，1，0；或3，﹣1，1，﹣1；
…
即有n＞4后一项都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4，
不同的四个数均为2，0，1，﹣1，或3，0，1，﹣1．
故答案为：4．
【分析】对任意n∈N* ， Sn∈{2，3}，列举出n=1，2，3，4的情况，归纳可得n＞4后都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4．；本题考查数列与集合的关系，考查分类讨论思想方法，注意运用归纳思想，属于中档题．
三、解答题
7、（2013 四川）在等差数列{an}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项，公差及前n项和． 2·1·c·n·j·y
【答案】解：设该数列的公差为d，前n项和为Sn ， 则
∵a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，
∴2a1+2d=8，（a1+3d）2=（a1+d）（a1+8d）
解得a1=4，d=0或a1=1，d=3
∴前n项和为Sn=4n或Sn=
【考点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】设该数列的公差为d，前n项和为Sn ， 则利用a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，建立方程，即可求得数列{an}的首项，公差；利用等差数列的前n项和公式可求和．．
8、（2017 天津）已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N*），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1 ， S11=11b4 ． （13分）
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a2nbn}的前n项和（n∈N*）． 2-1-c-n-j-y
【答案】（Ⅰ）解：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．由已知b2+b3=12，得 ，而b1=2，所以q2+q﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以， ．
由b3=a4﹣2a1 ， 可得3d﹣a1=8．
由S11=11b4 ， 可得a1+5d=16，联立①②，解得a1=1，d=3，
由此可得an=3n﹣2．
所以，{an}的通项公式为an=3n﹣2，{bn}的通项公式为 ．
（Ⅱ）解：设数列{a2nbn}的前n项和为Tn ， 由a2n=6n﹣2，有 ， ，
上述两式相减，得 = ．
得 ．
所以，数列{a2nbn}的前n项和为（3n﹣4）2n+2+16．
【考点】数列的求和，等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．通过b2+b3=12，求出q，得到 ．然后求出公差d，推出an=3n﹣2．
（Ⅱ）设数列{a2nbn}的前n项和为Tn ， 利用错位相减法，转化求解数列{a2nbn}的前n项和即可．
四、综合题
9、（2014 浙江）已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an= （n∈N*）．若{an}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2 ．
(1)求an和bn；
(2)设cn= （n∈N*）．记数列{cn}的前n项和为Sn ．
（i）求Sn；
（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有Sk≥Sn ．
【答案】（1）解：∵a1a2a3…an= （n∈N*） ①，
当n≥2，n∈N*时， ②，
由①②知： ，
令n=3，则有 ．
∵b3=6+b2 ，
∴a3=8．
∵{an}为等比数列，且a1=2，
∴{an}的公比为q，则 =4，
由题意知an＞0 ， ∴q＞0，∴q=2．
∴ （n∈N*）．
又由a1a2a3…an= （n∈N*）得：
，
，
∴bn=n（n+1）（n∈N*）．
（2）解：（i）∵cn= = = ．
∴Sn=c1+c2+c3+…+cn
=
=
=
= ；
（ii）因为c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0；
当n≥5时，
，
而
= ＞0，
得
，
所以，当n≥5时，cn＜0，
综上，对任意n∈N*恒有S4≥Sn ， 故k=4
【考点】数列的求和，数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）先利用前n项积与前（n﹣1）项积的关系，得到等比数列{an}的第三项的值，结合首项的值，求出通项an ， 然后现利用条件求出通项bn；（2）（i）利用数列特征进行分组求和，一组用等比数列求和公式，另一组用裂项法求和，得出本小题结论；（ii）本小题可以采用猜想的方法，得到结论，再加以证明．
模拟题精练
一、单选题
1、将棱长相等的正方体按如右图所示的形状摆放, 从上往下依次为第1层, 第2层, 第3层……. 则第2005层正方体的个数是（ ）
A、4011
B、4009
C、2011015
D、2009010
【答案】C
【考点】数列与立体几何的综合
【解析】【分析】
解：设上往下各层的正方体数目组成数列{an}
由题得：a2﹣a1=2，
a3﹣a2=3
…
an﹣an﹣1=n．
把上面各式相加得：an﹣a1=2+3+4+…+n
所以an=a1+2+3+…+n=1+2+3+…+n=．
故 a2005==2011015．
选C.
2、数列an=， 其前n项之和为， 则在平面直角坐标系中，直线（n+1）x+y+n=0在y轴上的截距为（ ）
A、-10
B、-9
C、10
D、9
【答案】B
【考点】数列与解析几何的综合
【解析】【解答】解：因为数列{an}的通项公式为an=且其前n项和为：
∴n=9，
∴直线方程为10x+y+9=0．
令x=0，得y=﹣9，
∴在y轴上的截距为﹣9．
故选B
【分析】由题意因为数列an=， 其前n项之和为， 有数列通项的特点利用裂项相消得方法得到n的方程解出n的值是直线（n+1）x+y+n=0的方程具体化，再利用直线在y轴上的截距求出所求． 21cnjy.com
3、（2017陕西西北大学附中期中）两个正数a，b的等差中项是 ，一个等比中项是 ，且a＞b，则抛物线y2= 的焦点坐标是（ ）
A、（ ）
B、
C、
D、
【答案】C
【考点】数列与解析几何的综合
【解析】【解答】解：根据题意，可得a+b=9，ab=20，
又由a＞b，
解可得，a=5，b=4，
代入抛物线方程得：
y2= ，
则其焦点坐标是为 ，
故选C．
【分析】根据题意，由等差中项、等比中项的性质，可得a+b=9，ab=20，解可得a、b的值，代入抛物线方程，抛物线的焦点坐标公式，计算可得答案．
4、（2017广东汕头潮南考前冲刺）已知等差数列{an}中，a3=9，a5=17，记数列 的前n项和为Sn ， 若 ，对任意的n∈N*成立，则整数m的最小值为（ ） 21*cnjy*com
A、5
B、4
C、3
D、2
【答案】B
【考点】等差数列的通项公式，数列与不等式的综合
【解析】【解答】解：设公差为d， 由a3=9，a5=17，得 ，解得a1=1，d=4，
∴an=4n﹣3，
故Sn=1+ +…+ ，
令bn=S2n+1﹣Sn= ，
则bn+1﹣bn=[ …+ ]﹣[ ]= ﹣ ，
∴{bn}是递减数列，
∴b1最大，为 = ，
∴根据题意，S2n+1﹣Sn ，∴ ，m ，
∴m的最小值为4．
故选B．
【分析】设公差为d，由a3=9，a5=17，得a1 ， d的方程组，可解出a1 ， d，从而得到an ， ，对任意的n∈N*成立，等价于（S2n+1﹣Sn）max ，令bn=S2n+1﹣Sn ， 通过作差可判断{bn}的单调性，根据单调性即可得到bn的最大值．
5、（2017河南诊断）已知各项均不相等的等比数列{an}中，a2=1，且 a1 ， a3 ， a5成等差数列，则a4等于（ ） 21教育名师原创作品
A、
B、49
C、
D、7
【答案】C
【考点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【解答】解：设各项均不相等的等比数列{an}的公比为q（q≠±1）， a2=1，可得a1q=1，①
a1 ， a3 ， a5成等差数列，可得2a3= a1+ a5 ，
即为2a1q2= a1+ a1q4 ， ②
由①②解得q2= （1舍去），
则a4=a2q2= ．
故选：C．
【分析】由题意可得q≠±1，运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，解方程可得q2 ， 再由a4=a2q2 ， 计算即可得到所求值．
二、解答题
6、（2017广西桂林一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos2 +acos2 = c．
（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；
（Ⅱ）若C= ，△ABC的面积为2 ，求c．
【答案】解：（Ⅰ）证明：由正弦定理得：
即 ，
∴sinB+sinA+sinBcosA+cosBsinA=3sinC
∴sinB+sinA+sin（A+B）=3sinC
∴sinB+sinA+sinC=3sinC
∴sinB+sinA=2sinC
∴a+b=2c
∴a，c，b成等差数列．
（Ⅱ）
∴ab=8
c2=a2+b2﹣2abcosC
=a2+b2﹣ab
=（a+b）2﹣3ab
=4c2﹣24．
∴c2=8得
【考点】数列与三角函数的综合，正弦定理，余弦定理的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数，三角形的内角和，化简求解即可．（Ⅱ）利用三角形的面积以及余弦定理化简求解即可．
7、（2017江苏扬州中学）设不等式组 所表示的平面区域为Dn ， 记Dn内的整点个数为an（n∈N*）．（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）记数列{an}的前n项和为Sn ， 且 ，若对于一切的正整数n，总有Tn≤m，求实数m的取值范围．
【答案】解：（I）由x＞0，y＞0，3n﹣nx＞0，得0＜x＜3，∴x=1或x=2， ∴Dn内的整点在直线x=1和x=2上，记直线y=﹣nx+3n为l，l与直线x=1，x=2的交点的纵坐标分别为y1、y2 ，
则y1=﹣n+3n=2n，y2=﹣2n+3n=n，
∴ ；
（II）∵ ，
∴当n≥3时，Tn＞Tn+1 ， 且 ，
∴T2 ， T3是数列{Tn}中的最大项，故
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域，数列与不等式的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）由x＞0，y＞0，3n﹣nx＞0，可求得x=1，或x=2，则Dn内的整点在直线x=1和x=2上，联立可求得整点纵坐标，进而可得整点个数；（Ⅱ）先求出Sn ， 从而可得Tn ， 通过作差可求得Tn的最大项，则m大于等于最大项；
8、（2017浙江湖州期中）已知数列{an}满足a1=1，an+1= ．
（Ⅰ）求证：an+1＜an；
（Ⅱ）求证： ≤an≤ ．
【答案】解：（Ⅰ）证明：由a1=1，an+1= ，得an＞0，（n∈N）， 则an+1﹣an= ﹣an= ＜0，
∴an+1＜an；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知0＜an＜1，又an+1= ．，∴ = ≥ ，即an+1＞ an ，
∴an＞ an﹣1≥（ ）2an﹣1≥…≥（ ）2an﹣1≥（ ）n﹣1a1= ，即an≥ ．
由an+1= ，则 =an+ ，
∴ ﹣ =an ，
∴ ﹣ =a1=1， ﹣ =a2= ， ﹣ =a3=（ ）2… ﹣ =an﹣1≥（ ）n﹣2 ，
累加得 ﹣ =1+ +（ ）2+…+（ ）n﹣2= =2﹣（ ）n﹣2 ，
而a1=1，
∴ ≥3﹣（ ）n﹣2= = ，
∴an≤ ．
综上得 ≤an≤
【考点】数列与不等式的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）由an＞0，则做差an+1﹣an= ﹣an= ＜0，即可证明an+1＜an；（Ⅱ）由an+1＞ an ， an＞ an﹣1≥（ ）2an﹣1≥…≥（ ）2an﹣1≥（ ）n﹣1a1= ，则an≥ ．由 ﹣ =an ， 采用“累加法”即可求得 ≥3﹣（ ）n﹣2= = ，即可求得 ≤an≤ ．
9、（2017黑龙江佳木斯六中三模）已知数列{an}的前n项和为Sn ， 满足 ，且a1=3．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求证： ．
【答案】解：（Ⅰ）数列{an}的前n项和为Sn ， 且 ， ∴Sn﹣Sn﹣1=2an﹣1+1，（n≥2，n∈N*），
即an=2an﹣1+1（n≥2，n∈N*），
∴an+1=2（an﹣1+1），
∴数列{an+1}是等比数列；
又a1+1=3+1=4，
∴ ，
∴ ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，
∴{ }是首项为 ，公比为 的等比数列，
因此
=
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【考点】数列递推式，数列与不等式的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）由数列{an}的前n项和与通项公式的定义，得出an=2an﹣1+1（n≥2，n∈N*），从而得出数列{an+1}是等比数列，由此求出{an}的通项公式； （Ⅱ）由（Ⅰ）写出数列{an+1}的通项公式，从而得出{ }是等比数列，求出其前n项和，即可证明不等式成立．
10、在数列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4且an ， bn ， an+1成等差数列，bn ， an+1 ， bn+1成等比数列（n∈N*）
（1）求a2 ， a3 ， a4及b2 ， b3 ， b4；由此归纳出{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论．
（2）若cn=log2（），Sn=c1+c2+…+cn ， 试问是否存在正整数m，使Sm≥5，若存在，求最小的正整数m． 【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】解：（1）由条件可得，2bn=an+an+1 ， a2n+1=bnbn+1 ，
则由a1=2，b1=4，可得，
a2=6，a3=12，a4=20；
b2=9，b3=16，b4=25；
猜想：an=n（n+1），bn=（n+1）2；
证明如下：
①当n=1时，结论成立；
②假设当n=k时成立，即ak=k（k+1），bk=（k+1）2；
则当n=k+1时，
ak+1=2bk﹣ak=2（k+1）2﹣k（k+1）=（k+2）（k+1），
bk+1=a2k+1÷bk=（k+2）2（k+1）2÷（k+1）2=（k+2）2；
故an=n（n+1），bn=（n+1）2对一切正整数n都成立．
（2）∵cn=log2（）=log2，
∴Sn=c1+c2+…+cn=log2+log2+…+log2=log2（n+1），
则Sm≥5可化为log2（m+1）≥5，
则m≥31，
故存在正整数m，且最小的正整数m为31．
【考点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）由题意，2bn=an+an+1 ， a2n+1=bnbn+1 ， 从而写出a2 ， a3 ， a4及b2 ， b3 ， b4；利用数学归纳法证明通项公式；
（2）由题意，cn=log2（）=log2， 化简Sn=c1+c2+…+cn=log2+log2+…+log2=log2（n+1），从而求m．
11、已知等差数列{an}的前n项和为Sn ， 公差d≠0，且S3+S5=50，a1 ， a4 ， a13成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn ．
【答案】解：（Ⅰ）依题意得
解得，
∴an=a1+（n﹣1）d=3+2（n﹣1）=2n+1，
即an=2n+1．
（Ⅱ）=，
bn=an 3n﹣1=（2n+1） 3n﹣1
Tn=3+5 3+7 32+…+（2n+1） 3n﹣13Tn=3 3+5 32+7 33+…+（2n﹣1） 3n﹣1+（2n+1） 3n
﹣2Tn=3+2 3+2 32+…+2 3n﹣1﹣（2n+1）3n=3+2
∴Tn=n 3n ．
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【考点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（I）将已知等式用等差数列{an}的首项、公差表示，列出方程组，求出首项、公差；利用等差数列的通项公式求出数列{an}的通项公式．
（II）利用等比数列的通项公式求出， 进一步求出bn ， 根据数列{bn}通项的特点，选择错位相减法求出数列{bn}的前n项和Tn ．
12、（2017广西白色模拟）已知各项均为正数的等差数列{an}满足：a4=2a2 ， 且a1 ， 4，a4成等比数列，设{an}的前n项和为Sn ．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列 的前n项和为Tn ， 求证：Tn＜3．
【答案】解：（Ⅰ）解：根据题意，等差数列{an}中，设公差为d，a4=2a2 ， 且a1 ， 4，a4成等比数列，a1＞0， 即 解得a1=2，d=2，
所以数列{an}的通项公式为an=a1+（n﹣1）d=2+2（n﹣1）=2n．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知a1=d=2，则 ，
∴ ．
∴ ，（*） ，（**）
∴ ，
∴ ．
∴Tn＜3
【考点】数列的求和，等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）利用等差数列以及等比数列的关系，求出数列的首项与公差，然后求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）化简通项公式，利用错位相减法求和求解即可．
三、综合题
13、已知数列{an}中，a1=1，其前n项和为Sn ， 且满足an= （n≥2）
(1)求Sn；
(2)证明：当n≥2时，S1+ S2+ S3+…+ Sn＜ ﹣ ．
【答案】（1）解：由an= （n≥2），得 ， ∴Sn﹣1﹣Sn=2SnSn﹣1 ， 得 ，
∴数列{ }是以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴ ，
则
（2）证明：当n≥2时， ， ∴S1+ S2+ S3+…+ Sn＜ = ﹣
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【考点】数列的求和，数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）把已知数列递推式变形，可得数列{ }是以1为首项，以2为公差的等差数列，由此求得Sn；（2）由 [MISSING IMAGE: , ]，求和后由放缩法可得S1+ S2+ S3+…+ Sn＜ ﹣ ． 【版权所有：21教育】
14、（2016河北唐山开滦一中期末）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．角A，B，C成等差数列．
(1)求cosB的值；
(2)边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．
【答案】（1）解：由2B=A+C，A+B+C=180°，解得B=60°，
∴cosB= ；
（2）解：（解法一）
由已知b2=ac，根据正弦定理得sin2B=sinAsinC，
又cosB= ，
∴sinAsinC=1﹣cos2B=
（解法二）
由已知b2=ac及cosB= ，
根据余弦定理cosB= 解得a=c，
∴B=A=C=60°，
∴sinAsinC=
【考点】数列与三角函数的综合
【解析】【分析】（1）在△ABC中，由角A，B，C成等差数列可知B=60°，从而可得cosB的值；（2）（解法一），由b2=ac，cosB= ，结合正弦定理可求得sinAsinC的值；（解法二），由b2=ac，cosB= ，根据余弦定理cosB= 可求得a=c，从而可得△ABC为等边三角形，从而可求得sinAsinC的值．
15、（2017福建厦门一考前模拟）已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn﹣2an=n﹣4．
(1)证明{Sn﹣n+2}为等比数列；
(2)设数列{Sn}的前n项和Tn ， 比较Tn与2n+2﹣5n的大小．
【答案】（1）证明：注意到n=1时，S1﹣1+2=4， n≥2时原式转化为：Sn=2（Sn﹣Sn﹣1）=n﹣4，即Sn=2Sn﹣1﹣n+4，
所以Sn﹣n+2=2[Sn﹣1﹣（n﹣1）+2]，
所以{Sn﹣n+2}为首项为4，公比为2等比数列
（2）解：由（1）知：Sn﹣n+2=2n+1 ， 所以Sn=2n+1+n﹣2， 于是Tn=（22+23+…+2n+1）+（1+2+…+n）﹣2n
= = ．
所以 = = ，
因为n≥1，所以 即 ，当且仅当n=1时取等号
【考点】等比数列的通项公式，数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）根据数列的递推公式可得Sn﹣n+2=2[Sn﹣1﹣（n﹣1）+2]，即可证明，（2）利用分组求和求出Tn ， 再利用作差法比较大小即可
16、（2016江西师大附中期末）在公比为2的等比数列{an}中，a2与a3的等差中项是9 ．
(1)求a1的值；
(2)若函数y=|a1|sin（ x+φ），|φ|＜π，的一部分图象如图所示，M（﹣1，|a1|），N（3，﹣|a1|）为图象上的两点，设∠MPN=β，其中P与坐标原点O重合，0＜β＜π，求tan（φ﹣β）的值．
【答案】（1）解：由题可知 ，又a5=8a2 ，
故 ，
∴a1=
（2）解：∵点M（﹣1，|a1|），在函数y=|a1|sin（ x+φ），|φ|＜π的图象上，
∴sin（﹣ +φ）=1，
又∵|φ|＜π，∴φ=
如图，连接MN，在△MPN中，由余弦定理得
，
又∵0＜β＜π，∴
∴ ，
∴tan（φ﹣β）=﹣tan =﹣tan（ ﹣ ）=﹣2+
【考点】等比数列的通项公式，数列与三角函数的综合，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】（1）根据等比数列和等差数列的性质进行求解即可．（2）根据三角函数的图象确实A，ω和φ的值即可．
17、（2016安徽阜阳临泉一中）设数列{an}的前n项和为Sn ， 已知a1=1， ，n∈N* ．
(1)求a2的值；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有 ．
【答案】（1）解：当n=1时， ，解得a2=4
（2）解： ① 当n≥2时， ②
①﹣②得
整理得nan+1=（n+1）an+n（n+1），即 ，
当n=1时，
所以数列{ }是以1为首项，1为公差的等差数列
所以 ，即
所以数列{an}的通项公式为 ，n∈N*
（3）证明：因为 （n≥2） 所以 = ．
当n=1，2时，也成立
【考点】数列与不等式的综合，等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）利用已知a1=1， ，n∈N* ． 令n=1即可求出；（2）利用an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）即可得到nan+1=（n+1）an+n（n+1），可化为 ， ．再利用等差数列的通项公式即可得出；（3）利用（2），通过放缩法 （n≥2）即可证明．
18、在各项均为正数的等比数列{an}中，a1=2，且2a1 ， a3 ， 3a2成等差数列．
(1) 求等比数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn=11﹣2log2an ， 求数列{bn}的前n项和Tn的最大值．
【答案】（1）解：设数列{an}的公比为q，an＞0
因为2a1 ， a3 ， 3a2成等差数列，所以2a1+3a2=2a3 ，
即2a1+3a1q=2a1q2
所以2q2﹣3q﹣2=0，解得q=2或q=-（舍去），
又a1=2，所以数列{an}的通项公式a1=2n ．
（2）解：由题意得，bn=11﹣2log2an=11﹣2n，
则b1=9，且bn+1﹣bn=﹣2，
故数列{bn}是首项为9，公差为﹣2的等差数列，
所以Tn==-n2+10n=﹣（n﹣5）2+25，
所以当n=5时，Tn的最大值为25．
【考点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由等差中项和等比数列的通项公式列出方程，结合题意求出q的值，再代入等比数列的通项公式化简；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和题意化简 bn ， 并判断出数列{bn}是等差数列，求出首项和公差，代入等差数列的前n项和公式，再对Tn进行配方，根据二次函数的性质求出它的最大值．
19、（2017江苏南通第二次调研）设数列 的前n项和为Sn ，且满足：
① ；② ，其中 且 ．
(1)求p的值；
(2)数列 能否是等比数列？请说明理由；
(3)求证：当r 2时，数列 是等差数列．
【答案】（1）解：（1）n 1时， ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以p 1．
（2）
不是等比数列．理由如下：
假设 是等比数列，公比为q，
当n 2时， ，即 ，
所以 （i）
当n 3时， ，即 ，
所以 ， （ii）
由（i）（ii）得q 1，与 矛盾，所以假设不成立．
故 不是等比数列．
（3）当r 2时，易知 ．
由 ，得
时， ， ①
，②
②-①得， ，
即 ，
，
即
……
，
所以
令 d，则 ．
所以 .
又 时，也适合上式，
所以 ．
所以 ．
所以当r 2时，数列 是等差数列．
【考点】数列递推式，等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1.）将n=1代入②得 分析可知只能是 =0，可算出p
（2.）假设是等比数列，将n=2、3分别代入得到q，判断是否与已知条件矛盾.
（3.）当n=2时，用前 项和减去 项和可得 之间关系，分析判断可证 是等差数列.
20、（2017江西九校联考一模）等差数列{an}的前n项和为Sn ， 数列{bn}是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣2b2=a3 ．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)令cn=an bn ， 设数列{cn}的前n项和为Tn ， 求Tn ．
【答案】（1）解：设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，则 由 ，得 ，解得 ，
所以an=3+2（n﹣1）=2n+1，
（2）解：由（1）可知cn=（2n+1） 2n﹣1 ． ∴Tn=3+5×2+7×22+…+（2n+1） 2n﹣1 ， …①
…②
①﹣②得：﹣Tn=3+2×（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1） 2n=1+2+22+…+2n﹣（2n+1） 2n=2n+1﹣1﹣（2n+1） 2n=（1﹣2n） 2n﹣1，
∴Tn=（2n﹣1） 2n+1
【考点】数列的求和，等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2）利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．
21、（2017辽宁辽南协作体模拟）已知等差数列{an}，a1=﹣ll，公差d≠0，且a2 ， a5 ， a6成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=|an|，求数列{bn}的前n项和Tn ．
【答案】（1）解：a1=﹣ll，公差d≠0，且a2 ， a5 ， a6成等比数列． 可得a52=a2a6 ，
即为（﹣11+4d）2=（﹣11+d）（﹣11+5d），
解方程可得d=2，
则数列{an}的通项公式为an=﹣11+2（n﹣1）=2n﹣13
（2）解：设等差数列{an}的前n项和为Sn ， 则Sn= n（a1+an）= n（2n﹣24）=n2﹣12n，
由an=2n﹣13，当n≤6时，an＜0，当n≥7时，an＞0．
bn=|an|，数列{bn}的前n项和Tn ．
即有当n≤6时，前n项和Tn=﹣Sn=12n﹣n2；
当n≥7时，前n项和Tn=Sn﹣S6﹣S6=n2﹣12n﹣2×（﹣36）=n2﹣12n+72．
综上可得，Tn=
【考点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）运用等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质，列方程解方程可得公差，进而得到所求通项公式；（2）由数列{an}的通项公式，可得等差数列中项的正负，运用等差数列的求和公式，分类讨论即可得到所求和．
四、填空题
22、（2017黑龙江大庆一中）已知数列{an}中，a1=1，且P（an ， an+1）（n∈N+）在直线x﹣y+1=0上，若函数f（n）= + + +…+ （n∈N* ， 且n≥2），函数f（n）的最小值________． 【出处：21教育名师】
【答案】
【考点】数列与函数的综合
【解析】【解答】解：由题意可得，an+1﹣an=1 数列{an}为等差数列，公差为1
∴an=1+（n﹣1）×1=n
∴f（n）= + + +…+ =
则 ﹣（ ）
= + = ＞0
∴f（n+1）＞f（n）
即f（n）为递增的数列，则当n=2时，f（n）有最小值f（2）=
故答案为： ．
【分析】由题意可得，an+1﹣an=1，从而可得an=1+（n﹣1）×1=n，f（n）= ，通过判断f（n）的 单调性确定取得最小值
23、（2017湖北四月调考）已知数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且an＞0，bn＞0，记数列{an bn}的前n项和为Sn ， 若a1=b1=1，Sn=（n﹣1） 3n+1（n∈N*），则数列{ }的最大项为第________项．
【答案】14
【考点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【解答】解：设等差数列{an}的公差为d（d＞0），等比数列{bn}的公比为q（q＞0）， 由Sn=（n﹣1） 3n+1，得
，
即 ，解得d=2，q=3．
∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1， ．
∴ = ，
令 ，由 ，
得 ，
由①得 ，由②得n ．
∴n=14．
即数列{ }的最大项为第14项．
故答案为：14．
【分析】设等差数列{an}的公差为d（d＞0），等比数列{bn}的公比为q（q＞0），由已知列式求得公差和公比，得到等差数列与等比数列的通项公式，代入 ，化简整理，令cn= ，由 求得n值． 21·世纪*教育网
24、（2017宁夏六盘山高级中学四模）设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn ， 若a2 ， a5 ， a11成等比数列，且a11=2（Sm﹣Sn）（m＞n＞0，m，n∈N*），则m+n的值是________．
【答案】9
【考点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【解答】解：设公差d不为0的等差数列{an}， a2 ， a5 ， a11成等比数列，
可得a52=a2a11 ，
即为（a1+4d）2=（a1+d）（a1+10d），
化简可得a1=2d，
a11=2（Sm﹣Sn），
即有12d=2[ma1+ d﹣na1﹣ d]，
12d=4md﹣4nd+d（m2﹣m﹣n2+n），
即有（m﹣n）（m+n+3）=12，
由于m＞n＞0，m，n∈N*，
可得m+n+3≥6，m﹣n≤2，
若m=2，3，n=1则方程不成立；
若m=3，4，n=2，则方程不成立；
若m=4，5，n=3，则方程不成立；
若m=5，n=4，则方程成立；
m=6，n=4则方程不成立．
故m+n=5+4=9．
故答案为：9．
【分析】设公差d不为0的等差数列{an}，运用等比数列中项的性质，化简可得a1=2d，再由等差数列的求和公式，化简可得（m﹣n）（m+n+3）=12，通过m＞n，且m，n为自然数，列举判断即可得到所求和．
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