25.1.2投影
【学习目标】
1.理解正投影概念，了解点、直线、平面多边形与投影面成三种不同的位置关系时的正投影.
2.掌握正投影的成像规律，会画一个立体图形的正投影.
【学习重难点】
重点：掌握正投影的概念，了解中心投影、平行投影和正投影的关系.
难点：掌握线段、正方形、正方体的正投影特征.
【课前预习】
1．由平行的光线所形成的投影为平行投影．
2．由一点(点光源)发出的光线形成的投影为中心投影．
3．在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影称为正投影．
4．线段正投影有如下的规律：平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点．
5．平面图形正投影有如下的规律：平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段．
6．一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形．
7．几何体在一个面上的正投影叫做这个几何体的视图．
【课堂探究】
作物体的正投影
【例题】画出下图中圆柱的正投影．
解：图形中的四边形ABCD是圆柱的正投影．
点拨：物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．
【课后练习】
1．小明拿一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角形木框在某平面上形成的正投影不可能是( )．
答案：B
2．下图是一个水管的三叉接头，平行光线从左向右照射得到的正投影是( )．
答案：A
3．在一个晴朗的上午，小丽拿着一块矩形木板在阳光下做投影实验，矩形木板在地面上形成的投影不可能是( )．
答案：A
4．下列命题中，真命题有( )．
①正方形的平行投影一定是菱形；②平行四边形的平行投影一定是平行四边形；③三角形的平行投影一定是三角形．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析：投影方向不同，投影也不同．
答案：A
5．正方体正投影是__________．
答案：正方形25.2.2三视图
【学习目标】
1.进一步明确正投影与三视图的关系。
2.经历探索简单立体图形的三视图的画法，能识别物体的三视图；培养动手实践能力，发展空间想象能力。
3.使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。
【学习重难点】
重点：简单立体图形的三视图的画法
难点：三视图中三个位置关系的理解
【课前预习】
1．几何体的三视图包括：主视图、左视图、俯视图．
2．在生活和生产实践中，我们经常需要运用三视图来描述物体的形状和大小．小亮在观察左边的热水瓶时，得到的左视图是( )．
答案：B
新课早知
下图这样的几何体叫做棱柱，它的上、下两个面叫做底面，其余各面叫做侧面，相邻侧面的交线叫做侧棱．
底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，有三条棱的直棱柱叫做正三棱柱．
【课堂探究】
1．正棱柱的三视图
【例1】画下面正五棱柱的三视图．
分析：正五棱柱的五个面是全等的矩形．主视图中有三个面，一条看不到的棱画成虚线；左视图只能看到两个面；俯视图是一个正五边形．
解：三视图如图．
点拨：看不见的线画成虚线，三种视图的大小要一致．
2．正棱柱的有关计算
【例2】
下图为一几何体的三视图：
(1)写出这个几何体的名称；
(2)任意画出它的一种表面展开图；
(3)若主视图的长为10
cm，俯视图中三角形的边长为4
cm，求这个几何体的侧面积．
分析：此三视图的主视图和左视图是矩形，俯视图是正三角形，可以确定此图形是正三棱柱．正三棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，上、下两面是正三角形，上面的展开图在某个矩形的上面，下面的展开图在某个矩形的下面．
解：(1)三棱柱．
(2)如下图．
(3)由主视图的长为10
cm，俯视图中三角形的边长为4
cm，确定正三棱柱的高为10
cm，底面边长为4
cm.
所以其侧面积为4×3×10＝120(cm2)．
点拨：正三棱柱的展开图有多种，关键是上下两个面的位置不同．
3．确定组合几何体的个数
【例3】
如图，是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体最多块数是( )．
A．9
B．10
C．11
D．12
解析：在俯视图中标出每个位置的小正方体的个数．如图，最少7个(竖列的小正方体的个数可以相互变化)，最多11个．
答案：C
点拨：通常在俯视图上标出每个位置小正方体的个数．确定小正方体个数的方法是：根据主视图确定物体每列和高的个数，俯视图确定物体每列和每行的个数，左视图确定物体每行和高的个数．
【课后练习】
1．下列几何体中，其主视图、俯视图和左视图分别是图中三个图形的是( )．
解析：由左视图可排除B和D，由俯视图可排除C.
答案：A
2．如图是由几块小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方体中的数字表示该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图是( )．
答案：A
3．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的名称是____________．
答案：直三棱柱
4．下图所示是某种型号的正六角螺母毛坯的三视图，则它的表面积为________
cm2.
解析：正六角螺母毛坯有六个侧面(都是矩形)和两个底面(都是正六边形)，因此这个正六角螺母毛坯的表面积为6×××2×2×2＋6×3×2＝12＋36(cm2)．
答案：(12＋36)25.1.1投影
【学习目标】
1.了解正投影的概念；
2.能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影
3.培养动手实践能力，发展空间想象能力。
【学习重难点】
重点：正投影的含义及能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影
难点：归纳正投影的性质,正确画出简单平面图形的正投影
【课前预习】
1．两个三角形相似，它们的对应角相等，对应边成比例．
2．比例的基本性质：如果＝，那么ad＝bc(b、d≠0)，反之也成立．
3．一个物体放在阳光下或者灯光下，就会在底面上或者墙壁上留下它的影子，这个影子称为物体的投影，投影从某个侧面反应这个物体的形状．
4．由平行的光线所形成的投影为平行投影．
5．由一点(点光源)发出的光线形成的投影为中心投影．
【课堂探究】
中心投影
【例1】
如下图，电影胶片上每一个图片的规格为3.5
cm×3.5
cm，放映屏幕的规格为2
m×2
m，若放映机的光源S距胶片20
cm，那么光源S距屏幕__________米时，放映的图象刚好布满整个屏幕．
解析：由于图片和屏幕形成的图形相似，所以“图片的边长∶屏幕的边长＝光源距胶片的距离∶光源距屏幕的距离”．
设光源S距屏幕x米时符合要求，得＝，
解得x＝.
从而可求出光源距屏幕的距离为米．
答案：
点拨：将投影问题转化为相似三角形的知识进行解决．
【例2】
如下图所示，点P表示广场上的一盏照明灯．
(1)请你在图中画出小敏在照明灯P照射下的影子(用线段表示)；
(2)若小丽到灯柱MO的距离为4.5米，照明灯P到灯柱的距离为1.5米，小丽目测照明灯P的仰角为55°，她的目高QB为1.6米，试求照明灯P到地面的距离(结果精确到0.1米)．(参考数据：tan55°≈1.428，sin55°≈0.819，cos55°≈0.574)
分析：根据灯和小敏头顶的位置确定小敏的影子．
解：(1)如下图，线段AC是小敏的影子．
(2)过点Q作QE⊥MO于E，过点P作PF⊥AB于F，交EQ于点D，则PF⊥EQ.
在Rt△PDQ中，
∠PQD＝55°，DQ＝EQ－ED＝4.5－1.5＝3(米)．
∵tan55°＝，
∴PD＝3tan55°≈4.3(米)．
∵DF＝QB＝1.6米，
∴PF＝PD＋DF＝4.3＋1.6＝5.9(米)，
即照明灯到地面的距离为5.9米．
点拨：解决此类题的关键是：发光点、物体上的点及其影子上的对应点在一条直线上．
【课后练习】
1．平行投影中的光线是( )．
A．平行的
B．聚成一点的
C．不平行的
D．向四面八方发散的
答案：A
2．同一灯光下两个物体的影子可以是( )．
A．同一方向
B．不同方向
C．相反方向
D．以上都有可能
答案：D
3．某时刻两根木棒在同一平面内的影子如图，此时，第三根木棒的影子表示正确的是( )．
解析：根据两根木棒及其影子可以判断出它们是灯光下形成的，从而由灯的位置确定第三根木棒的影子．
答案：D
4．星期天小川和爸爸到公园散步，小川身高是160
cm，在阳光下他的影长为80
cm，爸爸身高180
cm，则此时爸爸的影长为__________
cm.
答案：90
5．确定下图中路灯灯泡的位置，并画出小赵在灯光下的影子．
解：路灯下的影子是中心投影，所以分别连接图中人的头顶和影子的端点，即可确定灯泡的位置．由灯泡位置可确定小赵的影子．25.2.1三视图
【学习目标】
1．学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型；
2．经历探索简单的几何体的三视图的还原，进一步发展空间想象能力；
3．了解将三视图转换成立体图开在生产中的作用，使学生体会到所学的知识有重要的实用价值。
【学习重难点】
重点：根据三视图描述基本几何体和实物原型及三视图在生产中的作用
难点：根据三视图想象基本几何体和实物原型的形状
【课前预习】
1．在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影称为正投影．
2．几何体在一个面上的正投影叫做这个几何体的视图．
3．自几何体的前方向后投射，在正面投影面上得到的视图称为主视图；自几何体的上方向下投射，在水平投影面上得到的视图称为俯视图；自几何体的左侧向右投射，在侧面投影面上得到的视图称为左视图；主视图、俯视图和左视图就组成了三视图．
4．三视图的画法必须符合以下规律：(1)主视图的长与俯视图的长对正；(2)主视图的高与左视图的高平齐；(3)俯视图的宽与左视图的宽相等．
以上规律可简述为：长对正，高平齐，宽相等．
【课堂探究】
1．画简单几何体的三视图
【例1】图甲所示是一个圆锥体，它的俯视图是( )．
图甲
解析：立放着的圆锥的俯视图应是中间有点的实圆．
答案：C
点拨：圆锥的俯视图是带实心点的圆，立放着的圆柱的俯视图是圆．
2．复杂几何体的三视图
【例2】
画出下面物体的三视图．
分析：下面长方体的宽与上面圆柱的直径相等．
解：
点拨：三视图的位置有规定，并且三视图必须满足“长对正，高平齐，宽相等”．
3．组合几何体的三视图
【例3】下面几何体是由5个相同的小正方体组成，画出它的三视图．
分析：从不同方向看到的小正方体都是一个面，其三视图画成正方形即可．
解：三视图如图．
点拨：小正方体的位置是一定的，看不见的不用画出，因此三视图中的小正方体的个数小于(或等于)实际个数．
【课后练习】
1．从不同方向看一只茶壶，你认为是俯视效果图的是( )．
答案：A
2．下图所示的几何体的主视图是( )．
答案：D
3．如图所示，一个斜插吸管的盒装饮料从正面看的图形是( )．
答案：A
4．如图所示的几何体的左视图是
( )．
答案：B
5．图甲所示的几何体的俯视图是( )．
甲
答案：D
6．四个小正方体组合成的组合体如图，画出它的三视图．
解：如下图．
