2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
6.2一元二次不等式及其解法
考纲剖析
1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．
2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系．
3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.
知识回顾
1．一元二次不等式的解法
(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．【来源：21·世纪·教育·网】
(2)计算相应的判别式．
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．
(4)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．
2．三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集
精讲方法
当Δ＜0时，不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集为R还是?，要注意区别，对于不等式ax2＋bx＋c＞0求解时不要忘记讨论a＝0时的情形，当a＝b＝0，c≤0时，不等式ax2＋bx＋c≤0在R上也是恒成立的．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论分类要不重不漏. 【来源：21cnj*y.co*m】
1. 一元二次不等式的解法
解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集.
2.含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式分类讨论的依据
(1)二次项中若含有参数应讨论是小于0，等于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．21教育名师原创作品
(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
3.一元二次不等式恒成立问题
1)不等式ax2＋bx＋c＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＞0；当a≠0时，不等式ax2＋bx＋c＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＜0；当a≠0时，
(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单．
方法概述
①解不等式的基本思路是等价转化，分式不等式整式化，使要求解的不等式转化为一元一次不等式或一元二次不等式，进而获得解决．
②当判别式Δ＜0时，ax2＋bx＋c＞0(a＞0)解集为R；ax2＋bx＋c＜0(a＞0)解集为?.二者不要混为一谈．
③含参数的不等式的求解，注意选好分类标准，避免盲目讨论．
④对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；
(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.
例题精讲
考点一 一元二次不等式的解法
【例题1】不等式的解集是(???? )
A、 B、 C、 D、
【答案】A 【考点】一元二次不等式的解法 【解析】【解答】因为根据一元二次不等式的解法，结合二次函数的图像以及根的大小，可知或， 可知不等式的解集是， 故答案为A. www-2-1-cnjy-com
【变式训练1】不等式x2﹣5x+6≤0的解集为________
考点二 含参数的一元二次不等式的解法
【例题2】已知函数f（x）=， 若关于x的不等式[f（x）]2+af（x）﹣b2＜0恰有1个整数解，则实数a的最大值是（ ） 2-1-c-n-j-y
A、2 B、3 C、5 D、8
【答案】D 【考点】一元二次不等式的解法 【解析】【解答】函数f（x）=， 如图所示， ①当b=0时，[f（x）]2+af（x）﹣b2＜0化为[f（x）]2+af（x）＜0， 当a＞0时，﹣a＜f（x）＜0， 由于关于x的不等式[f（x）]2+af（x）﹣b2＜0恰有1个整数解， 因此其整数解为3，又f（3）=﹣9+6=﹣3， ∴﹣a＜﹣3＜0，﹣a≥f（4）=﹣8， 则8≥a＞3， a≤0不必考虑． ②当b≠0时，对于[f（x）]2+af（x）﹣b2＜0， △=a2+4b2＞0， 解得： 只考虑a＞0， 则 由于f（x）=0时，不等式的解集中含有多与一个整数解（例如，0，2），舍去． 综上可得：a的最大值为8． 故选：D． 【分析】画出函数f（x）=的图象，对b，a分类讨论，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出． 【出处：21教育名师】
【变式训练2】（2016安徽安庆期末）不等式x2﹣4x＞2ax+a对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是（?? ） 【版权所有：21教育】
A、（1，4） B、（﹣4，﹣1） C、（﹣∞，﹣4）∪（﹣1，+∞） D、（﹣∞，1）∪（4，+∞）
考点三一元二次不等式恒成立问题
【例题3】(2015·皖南八校联考)不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．[－1,4]
B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
D．[－2,5]
解析：x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.
答案：A
【变式训练3】对于任意a∈[－1,1]，f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于0，那么x取值范围是________．21教育网
真题精析
一、单选题
1、（2015·重庆）函数的定义域是（? ）
A、 B、 C、 D、
2、（2013?安徽）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞ }，则f（10x）＞0的解集为（?? ）
21*cnjy*com
A、{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2} B、{x|﹣1＜x＜﹣lg2} C、{x|x＞﹣lg2} D、{x|x＜﹣lg2}
3、（2013?新课标Ⅰ）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}， ，则（?? ）
A、A∩B=? B、A∪B=R C、B?A D、A?B
4、（2013?新课标Ⅱ）已知集合M={x|（x﹣1）2＜4，x∈R}，N={﹣1，0，1，2，3}，则M∩N=（??? ） 2·1·c·n·j·y
A、{0，1，2} B、{﹣1，0，1，2} C、{﹣1，0，2，3} D、{0，1，2，3}
5、（2017?新课标Ⅱ）函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（??? ）
A、（﹣∞，﹣2） B、（﹣∞，﹣1） C、（1，+∞） D、（4，+∞）
6、（2017·山东）已知命题p：?x∈R，x2﹣x+1≥0．命题q：若a2＜b2 ， 则a＜b，下列命题为真命题的是（ ）
A、p∧q B、p∧￢q C、￢p∧q D、￢p∧￢q
7、（2017?山东）设函数y= 的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（ ） www.21-cn-jy.com
A、（1，2） B、（1，2] C、（﹣2，1） D、[﹣2，1）
二、填空题
8、（2013?广东）不等式x2+x﹣2＜0的解集为________．
9、（2017?江苏）记函数f（x）= 定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________． 21世纪教育网版权所有
10、（2017?江苏）已知函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣ ，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是________．
11、（2017?新课标Ⅲ）已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x．（12分）
(1)讨论f（x）的单调性；
(2)当a＜0时，证明f（x）≤﹣ ﹣2．
模拟题精练
一、单选题
1、（2017押题预测）已知集合 ，则 （?? ）
A、 B、 C、 D、
2、若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、若坐标原点在圆（x-m)2+(y+m)2=4的内部，则实数m的取值范围是（ ）
A、-14、(2016·郑州模拟)已知不等式ax2－5x＋b>0的解集为{x|－30的解集是( )21·cn·jy·com
A.
B.
C.
D.
二、填空题
5、关于x的不等式（mx﹣1）（x﹣2）＞0，若此不等式的解集为{x|＜x＜2}，则m的取值范围是________21cnjy.com
6、已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是________21·世纪*教育网
7．(2016·福州质检)已知关于x的不等式<0的解集是(－∞，－1)∪，则a＝________.21*cnjy*com
在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为________．
三、解答题
9.（2017广西钦州期末）设a∈R，解关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＜0．
10．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋b.
(1)解关于a的不等式f(1)>0；
(2)若不等式f(x)>0的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．
2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
6.2一元二次不等式及其解法（答案）
知识回顾
2．三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根
有两相异实根x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集
{x|x＞x2或x＜x1}
R
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
?
?
精讲方法
当Δ＜0时，不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集为R还是?，要注意区别，对于不等式ax2＋bx＋c＞0求解时不要忘记讨论a＝0时的情形，当a＝b＝0，c≤0时，不等式ax2＋bx＋c≤0在R上也是恒成立的．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论分类要不重不漏. 21世纪教育网版权所有
1. 一元二次不等式的解法
解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集.
2.含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式分类讨论的依据
(1)二次项中若含有参数应讨论是小于0，等于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．21*cnjy*com
(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
3.一元二次不等式恒成立问题
1)不等式ax2＋bx＋c＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＞0；当a≠0时，不等式ax2＋bx＋c＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＜0；当a≠0时，【出处：21教育名师】
(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单．21*cnjy*com
方法概述
①解不等式的基本思路是等价转化，分式不等式整式化，使要求解的不等式转化为一元一次不等式或一元二次不等式，进而获得解决．
②当判别式Δ＜0时，ax2＋bx＋c＞0(a＞0)解集为R；ax2＋bx＋c＜0(a＞0)解集为?.二者不要混为一谈．
③含参数的不等式的求解，注意选好分类标准，避免盲目讨论．
④对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；
(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.
例题精讲
考点一 一元二次不等式的解法
【变式训练1】不等式x2﹣5x+6≤0的解集为________
【答案】 {x|2≤x≤3} 【考点】一元二次不等式的解法 【解析】【解答】不等式x2﹣5x+6≤0， 因式分解得：（x﹣2）（x﹣3）≤0， 可化为： 解得：2≤x≤3， 则原不等式的解集为{x|2≤x≤3}． 故答案为：{x|2≤x≤3}． 【分析】把不等式的左边分解因式后，根据两数相乘的取符号法则：同号得正，异号得负，转化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集。
考点二 含参数的一元二次不等式的解法
【变式训练2】（2016安徽安庆期末）不等式x2﹣4x＞2ax+a对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是（?? ） www.21-cn-jy.com
A、（1，4） B、（﹣4，﹣1） C、（﹣∞，﹣4）∪（﹣1，+∞） D、（﹣∞，1）∪（4，+∞）
【答案】B 【考点】一元二次不等式的解法 【解析】【解答】解：不等式x2﹣4x＞2ax+a变形为 x2﹣（4+2a）x﹣a＞0， 该不等式对一切实数x恒成立， ∴△＜0， 即（4+2a）2﹣4?（﹣a）＜0； 化简得a2+5a+4＜0， 解得﹣4＜a＜﹣1； ∴实数a的取值范围是（﹣4，﹣1）． 故答案为：B． 【分析】把不等式x2﹣4x＞2ax+a化为x2﹣（4+2a）x﹣a＞0，根据不等式恒成立时△＜0，求出a的取值范围．
考点三一元二次不等式恒成立问题
【变式训练3】对于任意a∈[－1,1]，f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于0，那么x取值范围是________．21教育名师原创作品
解析：令g(a)＝x2＋(a－4)x＋4－2a＝(x－2)a＋x2－4x＋4，由题意知g(－1)>0且g(1)>0，解得x<1或x>3.
答案：(－∞，1)∪(3，＋∞)
真题精析
一、单选题
1、（2015·重庆）函数的定义域是（? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】D 【考点】函数的定义域及其求法，一元二次不等式 【解析】【解答】由解得或；故选D。 【分析】本题考查对函数的定义域与一元二不等式的解法，由对数的真数大于零得不等式求解。本体属于基础题，注意不等式只能是大于零不能等于零。 21cnjy.com
2、（2013?安徽）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞ }，则f（10x）＞0的解集为（?? ）
A、{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2} B、{x|﹣1＜x＜﹣lg2} C、{x|x＞﹣lg2} D、{x|x＜﹣lg2}
【答案】 D 【考点】一元二次不等式的解法，其他不等式的解法 【解析】【解答】解：由题意可知f（x）＞0的解集为{x|﹣1＜x＜ }， 故可得f（10x）＞0等价于﹣1＜10x＜ ， 由指数函数的值域为（0，+∞）一定有10x＞﹣1， 而10x＜ 可化为10x＜ ，即10x＜10﹣lg2 ， 由指数函数的单调性可知：x＜﹣lg2 故选：D 【分析】由题意可得f（10x）＞0等价于﹣1＜10x＜ ，由指数函数的单调性可得解集．
3、（2013?新课标Ⅰ）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}， ，则（?? ）
A、A∩B=? B、A∪B=R C、B?A D、A?B
【答案】B 【考点】并集及其运算，一元二次不等式的解法 【解析】【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}， ∴A∩B={x|2＜x＜ 或﹣ ＜x＜0}，A∪B=R， 故选B． 【分析】根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B和A∪B．
4、（2013?新课标Ⅱ）已知集合M={x|（x﹣1）2＜4，x∈R}，N={﹣1，0，1，2，3}，则M∩N=（??? ）
A、{0，1，2} B、{﹣1，0，1，2} C、{﹣1，0，2，3} D、{0，1，2，3}
【答案】A 【考点】交集及其运算，一元二次不等式的解法 【解析】【解答】解：由（x﹣1）2＜4，解得：﹣1＜x＜3，即M={x|﹣1＜x＜3}， ∵N={﹣1，0，1，2，3}， ∴M∩N={0，1，2}． 故选A 【分析】求出集合M中不等式的解集，确定出M，找出M与N的公共元素，即可确定出两集合的交集．
5、（2017?新课标Ⅱ）函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（??? ）
A、（﹣∞，﹣2） B、（﹣∞，﹣1） C、（1，+∞） D、（4，+∞）
【答案】D 【考点】复合函数的单调性，一元二次不等式的解法 【解析】【解答】解：由x2﹣2x﹣8＞0得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）， 令t=x2﹣2x﹣8，则y=lnt， ∵x∈（﹣∞，﹣2）时，t=x2﹣2x﹣8为减函数； x∈（4，+∞）时，t=x2﹣2x﹣8为增函数； y=lnt为增函数， 故函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（4，+∞）， 故选：D． 【分析】由x2﹣2x﹣8＞0得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），令t=x2﹣2x﹣8，则y=lnt，结合复合函数单调性“同增异减”的原则，可得答案．
6、（2017·山东）已知命题p：?x∈R，x2﹣x+1≥0．命题q：若a2＜b2 ， 则a＜b，下列命题为真命题的是（ ）
A、p∧q B、p∧￢q C、￢p∧q D、￢p∧￢q
【答案】B 【考点】逻辑联结词“且”，逻辑联结词“非”，复合命题的真假，命题的真假判断与应用，不等式比较大小，一元二次不等式的解法 【解析】【解答】解：命题p：?x=0∈R，使x2﹣x+1≥0成立． 故命题p为真命题； 当a=1，b=﹣2时，a2＜b2成立，但a＜b不成立， 故命题q为假命题， 故命题p∧q，￢p∧q，￢p∧￢q均为假命题； 命题p∧￢q为真命题， 故选：B． 【分析】先判断命题p，q的真假，进而根据复合命题真假的真值表，可得答案．
7、（2017?山东）设函数y= 的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（ ） 2-1-c-n-j-y
A、（1，2） B、（1，2] C、（﹣2，1） D、[﹣2，1）
【答案】D 【考点】交集及其运算，函数的定义域及其求法，一元二次不等式的解法 【解析】【解答】解：由4﹣x2≥0，解得：﹣2≤x≤2，则函数y= 的定义域[﹣2，2]， 由对数函数的定义域可知：1﹣x＞0，解得：x＜1，则函数y=ln（1﹣x）的定义域（﹣∞，1）， 则A∩B=[﹣2，1）， 故选D． 【分析】根据幂函数及对数函数定义域的求法，即可求得A和B，即可求得A∩B．
二、填空题
8、（2013?广东）不等式x2+x﹣2＜0的解集为________．
【答案】 （﹣2，1） 【考点】一元二次不等式的解法 【解析】【解答】解：方程x2+x﹣2=0的两根为﹣2，1， 且函数y=x2+x﹣2的图象开口向上， 所以不等式x2+x﹣2＜0的解集为（﹣2，1）． 故答案为：（﹣2，1）． 【分析】先求相应二次方程x2+x﹣2=0的两根，根据二次函数y=x2+x﹣2的图象即可写出不等式的解集．
9、（2017?江苏）记函数f（x）= 定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．
【答案】 ? 【考点】一元二次不等式的解法，几何概型 【解析】【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3， 则D=[﹣2，3]， 则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P= = ， 故答案为： 【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．
10、（2017?江苏）已知函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣ ，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是________．
【答案】[-1， ] 【考点】函数奇偶性的性质，利用导数研究函数的单调性，一元二次不等式的解法，基本不等式 【解析】【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣ 的导数为： f′（x）=3x2﹣2+ex+ ≥﹣2+2 =0， 可得f（x）在R上递增； 又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣ex+x3﹣2x+ex﹣ =0， 可得f（x）为奇函数， 则f（a﹣1）+f（2a2）≤0， 即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a）， 即有2a2≤1﹣a， 解得﹣1≤a≤ ， 故答案为：[﹣1， ]． 【分析】求出f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f（x）在R上递增；再由奇偶性的定义，可得f（x）为奇函数，原不等式即为2a2≤1﹣a，运用二次不等式的解法即可得到所求范围．
11、（2017?新课标Ⅲ）已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x．（12分）
(1)讨论f（x）的单调性；
(2)当a＜0时，证明f（x）≤﹣ ﹣2．
【答案】（1）解：因为f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x， 求导f′（x）= +2ax+（2a+1）= = ，（x＞0）， ①当a=0时，f′（x）= +1＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增； ②当a＞0，由于x＞0，所以（2ax+1）（x+1）＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增； ③当a＜0时，令f′（x）=0，解得：x=﹣ ． 因为当x∈（0，﹣ ）时，f′（x）＞0、当x∈（﹣ ，+∞）时，f′（x）＜0， 所以y=f（x）在（0，﹣ ）上单调递增、在（﹣ ，+∞）上单调递减． 综上可知：当a≥0时f（x）在（0，+∞）上单调递增， 当a＜0时，f（x）在（0，﹣ ）上单调递增、在（﹣ ，+∞）上单调递减； （2）证明：由（1）可知：当a＜0时f（x）在（0，﹣ ）上单调递增、在（﹣ ，+∞）上单调递减， 所以当x=﹣ 时函数y=f（x）取最大值f（x）max=f（﹣ ）=﹣1﹣ln2﹣ +ln（﹣ ）． 从而要证f（x）≤﹣ ﹣2，即证f（﹣ ）≤﹣ ﹣2， 即证﹣1﹣ln2﹣ +ln（﹣ ）≤﹣ ﹣2，即证﹣ （﹣ ）+ln（﹣ ）≤﹣1+ln2． 令t=﹣ ，则t＞0，问题转化为证明：﹣ t+lnt≤﹣1+ln2．…（*） 令g（t）=﹣ t+lnt，则g′（t）=﹣ + ， 令g′（t）=0可知t=2，则当0＜t＜2时g′（t）＞0，当t＞2时g′（t）＜0， 所以y=g（t）在（0，2）上单调递增、在（2，+∞）上单调递减， 即g（t）≤g（2）=﹣ ×2+ln2=﹣1+ln2，即（*）式成立， 所以当a＜0时，f（x）≤﹣ ﹣2成立． 【考点】利用导数研究函数的单调性，导数在最大值、最小值问题中的应用，一元二次不等式的解法，分析法的思考过程、特点及应用 【解析】【分析】（1.）题干求导可知f′（x）= （x＞0），分a=0、a＞0、a＜0三种情况讨论f′（x）与0的大小关系可得结论； （2.）通过（1）可知f（x）max=f（﹣ ）=﹣1﹣ln2﹣ +ln（﹣ ），进而转化可知问题转化为证明：当t＞0时﹣ t+lnt≤﹣1+ln2．进而令g（t）=﹣ t+lnt，利用导数求出y=g（t）的最大值即可． www-2-1-cnjy-com
模拟题精练
一、单选题
1、（2017押题预测）已知集合 ，则 （?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】C 【考点】补集及其运算，一元二次不等式的解法 【解析】【解答】 , ，所以 ，所以 ； 故选 C. 2·1·c·n·j·y
2、若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】 A 【考点】一元二次不等式的解法 【解析】【解答】不等式在区间内有解等价于 ， 令 ， ， 所以 ， 所以.选A.
3、若坐标原点在圆（x-m)2+(y+m)2=4的内部，则实数m的取值范围是（ ）
A、-1【答案】 C 【考点】一元二次不等式的解法，点与圆的位置关系 【解析】【解答】∵在的内部，则有 ， 解得 ， 选C.21教育网
4、(2016·郑州模拟)已知不等式ax2－5x＋b>0的解集为{x|－30的解集是( )【来源：21cnj*y.co*m】
A.
B.
C.
D.
解析：本题考查一元二次不等式与一元二次方程之间的关系．由题意得方程ax2－5x＋b＝0的两根分别为－3,2，于是?于是不等式bx2－5x＋a>0即为30x2－5x－5>0，即(3x＋1)(2x－1)>0?x<－或x>.【版权所有：21教育】
答案：C
二、填空题
5、关于x的不等式（mx﹣1）（x﹣2）＞0，若此不等式的解集为{x|＜x＜2}，则m的取值范围是________【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】 m＜0 【考点】一元二次不等式的解法 【解析】【解答】解：∵不等式（mx﹣1）（x﹣2）＞0的解集为{x|＜x＜2}， ∴方程（mx﹣1）（x﹣2）=0的两个实数根为和2， 且； 解得m＜0； ∴m的取值范围是m＜0． 故答案为：m＜0． 【分析】根据不等式（mx﹣1）（x﹣2）＞0的解集，得出m应满足的条件，从而求出m的取值范围．
6、已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是________
【答案】 （﹣7，3） 【考点】函数单调性的性质，一元二次不等式的解法 【解析】【解答】因为f（x）为偶函数，所以f（|x+2|）=f（x+2）， 则f（x+2）＜5可化为f（|x+2|）＜5， 即|x+2|2﹣4|x+2|＜5，（|x+2|+1）（|x+2|﹣5）＜0， 所以|x+2|＜5， 解得﹣7＜x＜3， 所以不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）． 故答案为：（﹣7，3）． 【分析】由偶函数性质得：f（|x+2|）=f（x+2），则f（x+2）＜5可变为f（|x+2|）＜5，代入已知表达式可表示出不等式，先解出|x+2|的范围，再求x范围即可。
7．(2016·福州质检)已知关于x的不等式<0的解集是(－∞，－1)∪，则a＝________.21·cn·jy·com
解析：由不等式可得a≠0，且不等式等价于a(x＋1)<0，由解集特点可得a<0，且＝－，所以a＝－2.
答案：－2
8．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为________．
解析：根据定义可知，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2<0，解得－2答案：(－2,1)
三、解答题
9.（2017广西钦州期末）设a∈R，解关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＜0．
【答案】解：①当a=0时，不等式化为﹣x+1＜0，解得x＞1； 当a≠0时，分解因式得a（x﹣ ）（x﹣1）＜0； ②当a＜0时，原不等式等价于（x﹣ ）（x﹣1）＞0， 且 ＜1，解不等式得x＞1或x＜ ； ③当0＜a＜1时，1＜ ，解不等式得1＜x＜ ； ④当a＞1时， ＜1，解不等式得 ＜x＜1； ⑤当a=1时，不等式化为（x﹣1）2＜0，解为?； 综上，a=0时，不等式的解集是{x|x＞1}； a＜0时，不等式的解集为{x|x＞1或x＜ }； 0＜a＜1时，不等式的解集为{x|1＜x＜ }； a＞1时，不等式的解集为{x| ＜x＜1}； a=1时，不等式的解集为? 【考点】一元二次不等式的解法 【解析】【分析】讨论a=0和a≠0时，求出对应不等式的解集即可． 21·世纪*教育网
10．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋b.
(1)解关于a的不等式f(1)>0；
(2)若不等式f(x)>0的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．
解：(1)∵f(1)>0，∴－3＋a(6－a)＋b>0.
即a2－6a＋3－b<0.
Δ＝(－6)2－4(3－b)＝24＋4b.
①当Δ≤0，即b≤－6时，原不等式的解集为?.
②当Δ>0，即b>－6时，
方程a2－6a＋3－b＝0有两根a1＝3－，
a2＝3＋，
∴不等式的解集为(3－，3＋)．
综上所述：当b≤－6时，原不等式的解集为?；
当b>－6时，原不等式的解集为(3－，3＋)．
(2)由f(x)>0，得－3x2＋a(6－a)x＋b>0，
即3x2－a(6－a)x－b<0.
∵它的解集为(－1,3)，
∴－1与3是方程3x2－a(6－a)x－b＝0的两根．
∴
解得或
