| 名称 | 【备考2018】高考数学真题精讲精练专题6.4 基本不等式（2013-2017） | | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 920.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-08-17 17:58:31 | ||
p C、p=r p C、p=rq
11、（2017?新课标Ⅱ）已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明： （Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4； （Ⅱ）a+b≤2．
12、（2017?新课标Ⅱ）已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明： （Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4； （Ⅱ）a+b≤2．
模拟题精练
一、单选题
1、（2017安徽合肥柘皋中学最后一次模拟）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC=a，BC=b，则该图形可以完成的无字证明为（?? ）
A、（a＞0，b＞0） B、a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） C、（a＞0，b＞0） D、（a＞0，b＞0）
2、（2017河北邢台二中二模）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当 取得最大值时， 的最大值为（??? ）
A、0 B、1 C、 D、3
3、（2017湖南师大附中一模）若a，b∈R，ab≠0，且a+b=1，则下列不等式中，恒成立的是（?? ） 21*cnjy*com
A、a2b2≤ B、a2+b2≥ C、（1+ ）（1+ ）≥9 D、+ ≥4
二、填空题
4、（2017湖北新联考四模）已知函数f（x）= ，若f（a）=f（b）（0＜a＜b），则 当取得最小值时，f（a+b）=________．
5、（2017湖南师大附中模拟（二））设a+b=2，b＞0，则 的最小值为________．
6、（2017江苏盐城三模）若a，b均为非负实数，且a+b=1，则 + 的最小值为________．
7、（2017甘肃张掖高台一中四模）设x，y，z为正实数，满足x﹣y+2z=0，则 的最小值是________．
8、（2017广东东莞北师大石竹附中三模）某颜料公司生产A，B两种产品，其中生产每吨A产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨，生产每吨B产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一条之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨和200吨，如果A产品的利润为300元/吨，B产品的利润为200元/吨，则该颜料公司一天之内可获得的最大利润为________．
9、（2017河南南阳一中四模）在等腰△ABC中，AB=AC，若AC边上的中线BD的长为6，则△ABC的面积的最大值是________．
10、（2017江苏省南通四模）已知a，b∈R，a＞b，若2a2﹣ab﹣b2﹣4=0，则2a﹣b的最小值为________． 2·1·c·n·j·y
11、（2017江苏扬州中学考前最后一卷）若a，b∈R+ ， 且a+b=1，则 的最大值是________． 【来源：21cnj*y.co*m】
12、（2017四川成都三诊）如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为三、解答题
13、某工厂接到一标识制作订单，标识如图所示，分为两部分，“T型”部分为宽为10cm 的两个矩形相接而成，圆面部分的圆周是A，C，D，F的外接圆．要求如下：①“T型”部分的面积不得小于800cm2；②两矩形的长均大于外接圆半径．为了节约成本，设计时应尽量减小圆面的面积．此工厂的设计师，凭直觉认为当“T型”部分的面积取800cm2且两矩形的长相等时，成本是最低的．你同意他的观点吗？试通过计算，说说你的理由．
四、综合题
14、（2016江苏模拟）将一个半径为3分米，圆心角为α（α∈（0，2π））的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）． 【版权所有：21教育】
(1)求V关于α的函数关系式；
(2)当α为何值时，V取得最大值；
(3)容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由．
15、在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b． (1)当a=90时，求纸盒侧面积的最大值；(2)试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．
2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
6.4 基本不等式（答案）
知识回顾
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)重要不等式：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．当且仅当a＝b时取等号．
(2)ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(3)≥2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
3．利用基本不等式求最值
已知x＞0，y＞0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．
例题精讲
考点一 利用基本不等式求最值
【变式训练1】（2017山东枣庄四十六中模拟）已知m＞0，n＞0，2m+n=1，则 + 的最小值为（?? ） 21·cn·jy·com
A、4 B、2 C、8 D、16
【答案】C 【考点】基本不等式 【解析】【解答】解：∵m＞0，n＞0，2m+n=1， 则 + =（2m+n） =4+ ≥4+2 =8，当且仅当n=2m= 时取等号． 故选：C． 【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 2·1·c·n·j·y
考点二 基本不等式的实际应用
【变式训练2】 （2016上海市八校联考模拟）要制作一个容积为8m3 ， 高为2m的无盖长方体容器，若容器的底面造价是每平方米200元，侧面造型是每平方米100元，则该容器的最低总造价为（?? ）
21*cnjy*com
A、1200元 B、2400元 C、3600元 D、3800元
【答案】 B 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】【解答】解：设长方体容器的长为xm，宽为ym， 则x?y?2=8， 即xy=4， 则该容器的造价为： z=200xy+100（2x+2x+2y+2y） =800+400（x+y） ≥800+400×2 =800+1600=2400． （当且仅当x=y=2时，等号成立） 故该容器的最低总价是2400元． 故选：B． 【分析】设长方体容器的长为xm，宽为ym；从而可得xy=4，从而写出该容器的造价为200xy+100（2x+2x+2y+2y）=800+400（x+y），再利用基本不等式求最值即可．21·世纪*教育网
真题精析
1、（2015湖南）若实数a,b满足，则的最小值为(????)
A、 B、2 C、 D、4
【答案】C 【考点】基本不等式，基本不等式在最值问题中的应用 【解析】【解答】所以所以,所以ab,(当且仅当b=2a时取等号），所以ab的最小值为2，故选C。 【分析】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解． 【出处：21教育名师】
2、（2014?陕西）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则 的最小值为________．
【答案】 【考点】基本不等式 【解析】【解答】解：由柯西不等式得， （ma+nb）2≤（m2+n2）（a2+b2） ∵a2+b2=5，ma+nb=5， ∴（m2+n2）≥5 ∴ 的最小值为 故答案为： 【分析】根据柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad=bc取等号，问题即可解决．
3、（2017?天津）若a，b∈R，ab＞0，则 的最小值为________．
【答案】4 【考点】基本不等式 【解析】【解答】解：a，b∈R，ab＞0， ∴ ≥ = =4ab+ ≥2 =4， 当且仅当 ， 即 ， 即a= ，b= 或a=﹣ ，b=﹣ 时取“=”； ∴上式的最小值为4． 故答案为：4． 【分析】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么．
4、（2017·山东）若直线 =1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为________．
【答案】8 【考点】基本不等式，基本不等式在最值问题中的应用，直线的一般式方程与直线的性质 【解析】【解答】解：直线 =1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则 + =1， 由2a+b=（2a+b）×（ + ）=2+ + +2=4+ + ≥4+2 =4+4=8， 当且仅当 = ，即a= ，b=1时，取等号， ∴2a+b的最小值为8， 故答案为：8． 【分析】将（1，2）代入直线方程，求得 + =1，利用“1”代换，根据基本不等式的性质，即可求得2a+b的最小值． 【来源：21cnj*y.co*m】
5、（2017?江苏）已知函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣ ，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是________．
【答案】[-1， ] 【考点】函数奇偶性的性质，利用导数研究函数的单调性，一元二次不等式的解法，基本不等式 【解析】【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣ 的导数为： f′（x）=3x2﹣2+ex+ ≥﹣2+2 =0， 可得f（x）在R上递增； 又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣ex+x3﹣2x+ex﹣ =0， 可得f（x）为奇函数， 则f（a﹣1）+f（2a2）≤0， 即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a）， 即有2a2≤1﹣a， 解得﹣1≤a≤ ， 故答案为：[﹣1， ]． 【分析】求出f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f（x）在R上递增；再由奇偶性的定义，可得f（x）为奇函数，原不等式即为2a2≤1﹣a，运用二次不等式的解法即可得到所求范围．
6、（2017?江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．
【答案】30 【考点】基本不等式，基本不等式在最值问题中的应用 【解析】【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和= +4x≥4×2× =240（万元）． 当且仅当x=30时取等号． 故答案为：30． 【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和= +4x，利用基本不等式的性质即可得出． 21世纪教育网版权所有
7、（2013?天津）设a+b=2，b＞0，则当a=________时， 取得最小值．
【答案】 ﹣2 【考点】基本不等式 【解析】【解答】解：∵a+b=2，b＞0， ∴ ?= ，（a＜2） 设f（a）= ，（a＜2），画出此函数的图象，如图所示． 利用导数研究其单调性得， 当a＜0时，f（a）=﹣ ?+ ， f′（a）= = ，当a＜﹣2时，f′（a）＜0，当﹣2＜a＜0时，f′（a）＞0， 故函数在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数， ∴当a=﹣2时， 取得最小值 ． 同样地，当0＜a＜2时，得到当a= 时， 取得最小值 ． 综合，则当a=﹣2时， 取得最小值． 故答案为：﹣2． 【分析】由于a+b=2，b＞0，从而 ?= ，（a＜2），设f（a）= ，（a＜2），画出此函数的图象，结合导数研究其单调性，即可得出答案．
8、（2016?上海）设a＞0，b＞0，若关于x，y的方程组 无解，则a+b的取值范围为________．www.21-cn-jy.com
【答案】 （2，+∞） 【考点】基本不等式，两条直线平行的判定 【解析】【解答】解：∵关于x，y的方程组 无解， ∴直线ax+y=1与x+by=1平行， ∵a＞0，b＞0， ∴ ≠ 1 ，即a≠1，b≠1，且ab=1，则b= ，则a+b=a+ ，则设f（a）=a+ ，（a＞0且a≠1），则函数的导数f′（a）=1﹣ = ，当0＜a＜1时，f′（a）= ＜0，此时函数为减函数，此时f（a）＞f（1）=2，当a＞1时，f′（a）= ＞0，此时函数为增函数，f（a）＞f（1）=2， 综上f（a）＞2， 即a+b的取值范围是（2，+∞）， 故答案为：（2，+∞）． 【分析】根据方程组无解，得到两直线平行，建立a，b的方程关系，利用转化法，构造函数，求函数的导数，利用函数的单调性进行求解即可．；本题主要考查直线平行的应用以及构造函数，求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系进行求解是解决本题的关键．
9、（2015·山东）定义运算“”：?.当时，的最小值是????________??????.?
【答案】 【考点】基本不等式，基本不等式在最值问题中的应用 【解析】【解答】又新定义运算知，， 因为， 所以，==，但且仅当的最小值是 【分析】本题考查了基本不等式及新定义运算的理解能力，解答本题的关键，首先是理解新定义运算，准确地得到不等式，然后根据其特征，想到应用基本不等式求解.
10、(2015·陕西）设f(x)=lnx, 0q
【答案】C 【考点】基本不等式 【解析】【解答】, 函数f(x)=lnx在（0，+ ∞ ）上单调递增，因为, 所以, 所以p=r
【答案】证明：（Ⅰ）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（ + ）2=（a3+b3）2≥4， 当且仅当 = ，即a=b=1时取等号， （Ⅱ）∵a3+b3=2， ∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2， ∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2， ∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2， ∴ =ab， 由均值不等式可得： =ab≤（ ）2 ， ∴（a+b）3﹣2≤ ， ∴ （a+b）3≤2， ∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立． 【考点】基本不等式，不等式的证明，二维形式的柯西不等式 【解析】【分析】（Ⅰ）由柯西不等式即可证明， （Ⅱ）由a3+b3=2转化为 =ab，再由均值不等式可得： =ab≤（ ）2 ， 即可得到 ≤2，问题得以证明．
12、（2017?新课标Ⅱ）已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明： （Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4； （Ⅱ）a+b≤2． 21教育名师原创作品
【答案】证明：（Ⅰ）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（ + ）2=（a3+b3）2≥4， 当且仅当 = ，即a=b=1时取等号， （Ⅱ）∵a3+b3=2， ∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2， ∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2， ∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2， ∴ =ab， 由均值不等式可得： =ab≤（ ）2 ， ∴（a+b）3﹣2≤ ， ∴ （a+b）3≤2， ∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立． 【考点】不等式比较大小，基本不等式，不等式的证明，二维形式的柯西不等式 【解析】【分析】（Ⅰ）由柯西不等式即可证明， （Ⅱ）由a3+b3=2转化为 =ab，再由均值不等式可得： =ab≤（ ）2 ， 即可得到 （a+b）3≤2，问题得以证明．
模拟题精练
一、单选题
1、（2017安徽合肥柘皋中学最后一次模拟）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC=a，BC=b，则该图形可以完成的无字证明为（?? ）
A、（a＞0，b＞0） B、a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） C、（a＞0，b＞0） D、（a＞0，b＞0）
【答案】D 【考点】基本不等式 【解析】【解答】解：由图形可知：OF= = ，OC= ． 在Rt△OCF中，由勾股定理可得： CF= = ． ∵CF≥OC， ∴ ≤ ．（a，b＞0）． 故选：D． 【分析】由图形可知：OF= = ，OC= ．在Rt△OCF中，由勾股定理可得：CF= = ．利用CF≥OC即可得出． 21*cnjy*com
2、（2017河北邢台二中二模）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当 取得最大值时， 的最大值为（??? ）
A、0 B、1 C、 D、3
【答案】B 【考点】基本不等式 【解析】【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0， ∴z=x2﹣3xy+4y2 ， 又x，y，z均为正实数， ∴ = = ≤ =1（当且仅当x=2y时取“=”）， ∴ =1，此时，x=2y． ∴z=x2﹣3xy+4y2=（2y）2﹣3×2y×y+4y2=2y2 ， ∴ + ﹣ = + ﹣ =﹣ +1≤1，当且仅当y=1时取得“=”，满足题意． ∴ 的最大值为1． 故选B． 【分析】依题意，当 取得最大值时x=2y，代入所求关系式f（y）= + ﹣ ，利用配方法即可求得其最大值．
3、（2017湖南师大附中一模）若a，b∈R，ab≠0，且a+b=1，则下列不等式中，恒成立的是（?? ）
A、a2b2≤ B、a2+b2≥ C、（1+ ）（1+ ）≥9 D、+ ≥4
【答案】B 【考点】基本不等式 【解析】【解答】解：由a+b=1，可得a2+b2+2ab=1， ∵2ab≤a2+b2 ， 当且仅当a=b时取等号． ∴2a2+2b2≥1， 则a2+b2≥ ． 故选B． 【分析】由a，b∈R，ab≠0，且a+b=1，恒大于0，两边平方，根据不等式的性质可得答案．
二、填空题
4、（2017湖北新联考四模）已知函数f（x）= ，若f（a）=f（b）（0＜a＜b），则 当取得最小值时，f（a+b）=________．2-1-c-n-j-y
【答案】 1﹣2lg2 【考点】基本不等式 【解析】【解答】解：由f（a）=f（b）可得lgb=﹣lga，即lgab=0，即ab=1， 则 = =4a+b≥2 =4，当且仅当b=4a时， 取得最小值， 由 ，可得a= ，b=2， ∴f（a+b）=f（ ）=lg =1﹣2lg2， 故答案为：1﹣2lg2． 【分析】根据函数的性质可得ab=1，再根据基本不等式得到 当取得最小值，a，b的值，再代值计算即可
5、（2017湖南师大附中模拟（二））设a+b=2，b＞0，则 的最小值为________．
【答案】 【考点】基本不等式 【解析】【解答】解：∵a+b=2，∴ ， ∴ = ， ∵b＞0，|a|＞0，∴ ≥1（当且仅当b2=4a2时取等号）， ∴ ≥ 1， 故当a＜0时， 的最小值为 ． 故答案为： ． 【分析】由题意得 代入所求的式子，进行化简后，再对部分式子利用基本不等式求出范围，再由a的范围求出式子的最小值． 21教育网
6、（2017江苏盐城三模）若a，b均为非负实数，且a+b=1，则 + 的最小值为________．
【答案】3 【考点】基本不等式 【解析】【解答】解：设a+2b=m，2a+b=n，则m+n=3，原式变形为： = （m+n）（ ）= [5+ ] （5+2 ）=3； 当且仅当 时等号成立； 故答案为：3． 【分析】观察所求，利用换元变形为在m+n=3的前提下求 的最小值．
7、（2017甘肃张掖高台一中四模）设x，y，z为正实数，满足x﹣y+2z=0，则 的最小值是________．
【答案】8 【考点】基本不等式 【解析】【解答】解：由题意得，y=x+2z， ∵x，y，z为正实数， ∴y=x+2z≥ ，∴y2≥8xz，∴ 的最小值是8， 故答案为8． 【分析】先将等式化为y=x+2z，再利用基本不等式求最值．
8、（2017广东东莞北师大石竹附中三模）某颜料公司生产A，B两种产品，其中生产每吨A产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨，生产每吨B产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一条之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨和200吨，如果A产品的利润为300元/吨，B产品的利润为200元/吨，则该颜料公司一天之内可获得的最大利润为________．
【答案】14000元 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】【解答】解：设该公司每天生产A产品x钝，生产B产品y钝，则一天的利润为z=300x+200y， 其中 ， 作出平面区域如图所示： 由z=300x+200y得y=﹣ + ， 由图象可知直线y=﹣ + 经过点B时，直线截距最大，此时z最大． 解方程组 得 ， ∴z的最大值为300×40+200×10=14000． 故答案为：14000元． 【分析】设一天生产A产品x钝，B产品y钝，列出约束条件，作出平面区域，根据平面区域得出最优解位置，得出最大值．
9、（2017河南南阳一中四模）在等腰△ABC中，AB=AC，若AC边上的中线BD的长为6，则△ABC的面积的最大值是________．
【答案】24 【考点】基本不等式，基本不等式在最值问题中的应用 【解析】【解答】解：设AB=AC=2x，AD=x． 设三角形的顶角θ，则由余弦定理得cosθ= ， ∴sinθ= = = = = = ， 根据公式三角形面积S= absinθ= = ， ∴当 x2=20时，三角形面积有最大值 ． 故答案为：24 【分析】设AB=AC=2x，三角形的顶角θ，则由余弦定理求得cosθ的表达式，进而根据同角三角函数基本关系求得sinθ，最后根据三角形面积公式表示出三角形面积的表达式，根据一元二次函数的性质求得面积的最大值．
10、（2017江苏省南通四模）已知a，b∈R，a＞b，若2a2﹣ab﹣b2﹣4=0，则2a﹣b的最小值为________． 21cnjy.com
【答案】 【考点】基本不等式 【解析】【解答】解：∵a＞b，2a2﹣ab﹣b2﹣4=0，∴（2a+b）（a﹣b）=4． 令m（2a+b）+n（a﹣b）=2a﹣b，解得，m= ，n= ． 则2a﹣b= ≥ = ， 当且仅当2a+b=4（a﹣b）=4，即a= ，b= 时取等号． ∴2a﹣b的最小值为 ． 故答案为： ． 【分析】a＞b，2a2﹣ab﹣b2﹣4=0，可得（2a+b）（a﹣b）=4.2a﹣b= ，利用基本不等式的性质即可得出．
11、（2017江苏扬州中学考前最后一卷）若a，b∈R+ ， 且a+b=1，则 的最大值是________．
【答案】 【考点】基本不等式 【解析】【解答】解：∵a，b∈R+ ， 且a+b=1 ∴ =（ ）（a+b）= +2+ ≥ +2 = 当且仅当a= ，b= 时取等号 ∴ ≤ 即 的最大值是 故答案为： 【分析】将 转化成（ ）（a+b），然后化简整理利用基本不等式可求出 的最值，从而求出所求．
12、（2017四川成都三诊）如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为________．
【答案】 【考点】基本不等式 【解析】【解答】解：连接OD，过C，D分别作DE⊥AB于E，CF⊥AB，垂足分别为E，F． 设∠AOD=θ ． OE=2cosθ，DE=2sinθ． 可得CD=2OE=4cosθ， ∴梯形ABCD的面积S= =4sinθ（1+cosθ）， S2=16sin2θ（1+2cosθ+cos2θ）=16（1﹣cos2θ）（1+2cosθ+cos2θ） 令cosθ=t∈（0，1）． 则S2=16（1﹣t2）（1+2t+t2）=f（t）． 则f′（t）=﹣32（t+1）2（3t﹣1）． 可知：当且仅当t= 时，f（t）取得最大值： ． 因此S的最大值为： ． 【分析】连接OD，过C，D分别作DE⊥AB于E，CF⊥AB，垂足分别为E，F．设∠AOD=θ ．OE=2cosθ，DE=2sinθ．可得CD=2OE=4cosθ，梯形ABCD的面积S= =4sinθ（1+cosθ），平方换元利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．．
三、解答题
13、某工厂接到一标识制作订单，标识如图所示，分为两部分，“T型”部分为宽为10cm 的两个矩形相接而成，圆面部分的圆周是A，C，D，F的外接圆．要求如下：①“T型”部分的面积不得小于800cm2；②两矩形的长均大于外接圆半径．为了节约成本，设计时应尽量减小圆面的面积．此工厂的设计师，凭直觉认为当“T型”部分的面积取800cm2且两矩形的长相等时，成本是最低的．你同意他的观点吗？试通过计算，说说你的理由．
【答案】 解：设一个矩形长AF=x（dm），则另一矩形长为8﹣x（dm）． 设圆半径为r（dm），则﹣1+=8﹣x， r2﹣x2=（9﹣x）2+r2﹣﹣2（9﹣x）， 即2（9﹣x）=（9﹣x）2+x2﹣． 令9﹣x=t，得2t=t2+（9﹣t）2﹣=t2+20﹣t， 得2=（t+）﹣≥x2﹣=， 即r2≥+， 即有r， 此时t=4即有x=5，y=3（单位：dm）． 则不同意他的观点． 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】【分析】设一个矩形长AF=x（dm），则另一矩形长为8﹣x（dm）．设圆半径为r（dm），则﹣1+=8﹣x，化简整理，令9﹣x=t，得到2=（t+）﹣ ， 再由基本不等式即可得到最小值，注意等号成立的条件．
四、综合题
14、（2016江苏模拟）将一个半径为3分米，圆心角为α（α∈（0，2π））的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）． www-2-1-cnjy-com
(1)求V关于α的函数关系式；
(2)当α为何值时，V取得最大值；
(3)容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由．
【答案】（1）解：由题意知圆锥的母线l=3，设圆锥的底面半径为r，则2πr=3α， ∴r= ，∴圆锥的高h= = = ． ∴V= = （2）解：V= = ≤ =2 ． 当且仅当4π2﹣α2= 即α= 时，取等号． ∴当α= 时，体积V取得最大值 （3）解：当圆锥体积最大时，圆锥的底面半径r= ． 设圆锥轴截面△ABC的内切圆⊙O半径为R，如图所示， 则OD=R，CD=CE= ，AC=3，∴AE= ，AD=3﹣ ． 由△AOD∽△ACE得 ， ∴ ，解得R=3 ≈0.8． ∵0.8＞0.5， ∴容积最大的圆锥形容器能完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球． 【考点】基本不等式在最值问题中的应用，旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【解析】【分析】（1）根据面积得出圆锥的底面半径，利用勾股定理求出圆锥的高，代入体积公式即可；（2）利用基本不等式得出体积的最值及取得最值得条件；（3）求出圆锥内切球的半径，与0.5比较大小．
15、在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b． (1)当a=90时，求纸盒侧面积的最大值；(2)试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．
【答案】 （1）解：因为矩形纸板ABCD的面积为3600，故当a=90时，b=40， 从而包装盒子的侧面积S=2×x（90﹣2x）+2×x（40﹣2x）=﹣8x2+260x，x∈（0，20） 因为S=﹣8x2+260x=﹣8（x﹣16.25）2+2112.5， 故当x=16.25时，侧面积最大，最大值为2112.5平方厘米 （2）解：包装盒子的体积V=（a﹣2x）（b﹣2x）x=x[ab﹣2（a+b）x+4x2]，x∈（0， ），b≤60． V=x[ab﹣2（a+b）x+4x2]≤x（ab﹣4 x+4x2）=x（3600﹣240x+4x） =4x3﹣240x2+3600x． 当且仅当a=b=60时等号成立． 设f（x）=4x3﹣240x2+3600x，x∈（0，30）．则f′（x）=12（x﹣10）（x﹣30）． 于是当0＜x＜10时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，10）上单调递增； 当10＜x＜30时，f′（x）＜0，所以f（x）在（10，30）上单调递减． 因此当x=10时，f（x）有最大值f（10）=16000，此时a=b=60，x=10． 答：当a=b=60，x=10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】【分析】（1）当a=90时，b=40，求出侧面积，利用配方法求纸盒侧面积的最大值；（2）表示出体积，利用基本不等式，导数知识，即可确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．【版权所有：21教育】
