陕西省咸阳市2016-2017学年高二数学下学期期末试卷理（含解析）

2016-2017学年陕西省咸阳市高二（下）期末数学试卷（理科）
　
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．设函数f（x）可导，则等于（　　）
A．f′（1）
B．3f′（1）
C．
D．f′（3）
2．复数=（　　）
A．2+i
B．2﹣i
C．1+2i
D．1﹣2i
3．“完成一件事需要分成n个步骤，各个步骤分别有m1，m2，…，mn种方法，则完成这件事有多少种不同的方法？”，要解决上述问题，应用的原理是（　　）
A．加法原理
B．减法原理
C．乘法原理
D．除法原理
4．完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1人完成这项工作，一共有多少种选法？（　　）
A．5
B．4
C．9
D．20
5．设X是一个离散型随机变量，则下列不能成为X的概率分布列的一组数据是（　　）
A．0，，0，0，
B．0.1，0.2，0.3，0.4
C．p，1﹣p（0≤p≤1）
D．，，…，
6．已知随机变量ξ服从正态分布N，则P（ξ＜2017）等于（　　）
A．
B．
C．
D．
7．图中阴影部分的面积用定积分表示为（　　）
A．
2xdx
B．（2x﹣1）dx
C．（2x+1）dx
D．（1﹣2x）dx
8．某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有（　　）
A．8种
B．15种
C．35种
D．53种
9．盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，4个旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次取出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
10．函数y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f'（x）的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
11．记I为虚数集，设a，b∈R，x，y∈I．则下列类比所得的结论正确的是（　　）
A．由a b∈R，类比得x y∈I
B．由a2≥0，类比得x2≥0
C．由（a+b）2=a2+2ab+b2，类比得（x+y）2=x2+2xy+y2
D．由a+b＞0 a＞﹣b，类比得x+y＞0 x＞﹣y
12．已知函数f（x）在R上可导，且f（x）=x2+2xf′（2），则函数f（x）的解析式为（　　）
A．f（x）=x2+8x
B．f（x）=x2﹣8x
C．f（x）=x2+2x
D．f（x）=x2﹣2x
　
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．设i为虚数单位，若2+ai=b﹣3i（a、b∈R），则a+bi=　
　．
14．二项式（ax﹣）3的展开式的第二项系数为﹣，则a2的值为　
　．
15．某同学通过计算机测试的概率为，他连续测试3次，且三次测试相互独立，其中恰有1次通过的概率为　
　．
16．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为　
　．
　
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．求下列函数的导数：
（1）f（x）=（1+sinx）（1﹣4x）；
（2）f（x）=﹣2x．
18．求满足下列条件的方法种数：
（1）将4个不同的小球，放进4个不同的盒子，且没有空盒子，共有多少种放法？
（2）将4个不同的小球，放进3个不同的盒子，且没有空盒子，共有多少种放法？（最后结果用数字作答）
19．数列{an}满足an+1=（n∈N
），且a1=0，
（Ⅰ）计算a2、a3、a4，并推测an的表达式；
（Ⅱ）请用数学归纳法证明你在（Ⅰ）中的猜想．
20．某学校课题组为了研究学生的数学成绩与学生细心程度的关系，在本校随机调查了100名学生进行研究．研究结果表明：在数学成绩及格的60名学生中有45人比较细心，另15人比较粗心；在数学成绩不及格的40名学生中有10人比较细心，另30人比较粗心．
（1）试根据上述数据完成2×2列联表；
数学成绩及格
数学成绩不及格
合计
比较细心
　
　
　
　
　
　
比较粗心
　
　
　
　
　
　
合计
　
　
　
　
　
　
（2）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系．
参考数据：独立检验随机变量K2的临界值参考表：
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（其中n=a+b+c+d）
21．已知函数f（x）=ax2﹣lnx﹣2．
（1）当a=1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性．
22．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为2，4，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
（
II）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．
　
2016-2017学年陕西省咸阳市高二（下）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．设函数f（x）可导，则等于（　　）
A．f′（1）
B．3f′（1）
C．
D．f′（3）
【考点】61：变化的快慢与变化率．
【分析】利用导数的定义即可得出．
【解答】解：
==．
故选C．
　
2．复数=（　　）
A．2+i
B．2﹣i
C．1+2i
D．1﹣2i
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则即可得出．
【解答】解：
===1+2i，
故选：C．
　
3．“完成一件事需要分成n个步骤，各个步骤分别有m1，m2，…，mn种方法，则完成这件事有多少种不同的方法？”，要解决上述问题，应用的原理是（　　）
A．加法原理
B．减法原理
C．乘法原理
D．除法原理
【考点】D2：分步乘法计数原理．
【分析】根据分步乘法原理得定义即可得到答案
【解答】解：∵“完成一件事需要分成n个步骤，各个步骤分别有m1，m2，…，mn种方法，则完成这件事有多少种不同的方法？”，
∴分步应该用乘法原理，
故选：C
　
4．完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1人完成这项工作，一共有多少种选法？（　　）
A．5
B．4
C．9
D．20
【考点】D3：计数原理的应用．
【分析】分两类：第一类有5种选法，第二类有4种选法，即可得出结论．
【解答】解：分两类：第一类有5种选法，第二类有4种选法，共9种．
故选：C．
　
5．设X是一个离散型随机变量，则下列不能成为X的概率分布列的一组数据是（　　）
A．0，，0，0，
B．0.1，0.2，0.3，0.4
C．p，1﹣p（0≤p≤1）
D．，，…，
【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．
【分析】根据离散型随机变量的概率分布列中，概率和为1，判断D错误．
【解答】解：根据离散型随机变量的概率分布列中，概率和为1，
对于A，0++0+0+=1，满足题意；
对于B，0.1+0.2+0.3+0.4=1，满足题意；
对于C，p+（1﹣p）=1，满足题意；
对于D，
++…+
=1﹣+﹣+…+﹣
=1﹣
=≠1，不满足条件．
故选：D．
　
6．已知随机变量ξ服从正态分布N，则P（ξ＜2017）等于（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【分析】根据正态分布的对称性即可得出结论．
【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N，
∴P（ξ＜2017）=．
故选D．
　
7．图中阴影部分的面积用定积分表示为（　　）
A．
2xdx
B．（2x﹣1）dx
C．（2x+1）dx
D．（1﹣2x）dx
【考点】6G：定积分在求面积中的应用．
【分析】根据定积分的几何意义，可用定积分表示曲边形的面积．
【解答】解：由题意积分区间为[0，1]，对应的函数为y=2x，y=1，
∴阴影部分的面积用定积分表示为（2x﹣1）dx．
故选：B．
　
8．某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有（　　）
A．8种
B．15种
C．35种
D．53种
【考点】D3：计数原理的应用．
【分析】每个邮件选择发的方式有3种不同的情况，利用乘法原理，可得要发5个电子邮件，发送的方法的种数．
【解答】解：∵每个邮件选择发的方式有3种不同的情况，
∴要发5个电子邮件，发送的方法的种数有3×3×3×3×3=35种，
故选：C．
　
9．盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，4个旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次取出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式．
【分析】在第一次取出新球的条件下，盒子中还有9个球，这9个球中有5个新球和4个旧球，再利用古典概率及其计算公式求得第二次也取到新球的概率．
【解答】解：在第一次取出新球的条件下，盒子中还有9个球，这9个球中有5个新球和4个旧球，
故第二次也取到新球的概率为，
故选：C．
　
10．函数y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f'（x）的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．
【分析】根据据f′（x）≥0，函数f（x）单调递增；f′（x）≤0时，f（x）单调递减，根据图形可得f′（x）＜0，即可判断答案．
【解答】解：由函数图象可知函数在（﹣∞，0），（0，+∞）上均为减函数，
所以函数的导数值f′（x）＜0，因此D正确，
故选：D
　
11．记I为虚数集，设a，b∈R，x，y∈I．则下列类比所得的结论正确的是（　　）
A．由a b∈R，类比得x y∈I
B．由a2≥0，类比得x2≥0
C．由（a+b）2=a2+2ab+b2，类比得（x+y）2=x2+2xy+y2
D．由a+b＞0 a＞﹣b，类比得x+y＞0 x＞﹣y
【考点】F3：类比推理．
【分析】在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对3个结论逐一进行分析，不难解答．
【解答】解：A：由a b∈R，不能类比得x y∈I，如x=y=i，则xy=﹣1 I，故A不正确；
B：由a2≥0，不能类比得x2≥0．如x=i，则x2＜0，故B不正确；
C：由（a+b）2=a2+2ab+b2，可类比得（x+y）2=x2+2xy+y2．故C正确；
D：若x，y∈I，当x=1+i，y=﹣i时，x+y＞0，但x，y
是两个虚数，不能比较大小．故D错误
故4个结论中，C是正确的．
故选C．
　
12．已知函数f（x）在R上可导，且f（x）=x2+2xf′（2），则函数f（x）的解析式为（　　）
A．f（x）=x2+8x
B．f（x）=x2﹣8x
C．f（x）=x2+2x
D．f（x）=x2﹣2x
【考点】63：导数的运算．
【分析】先对函数f（x）求导，然后将x=2代入可得答案．
【解答】解：∵f（x）=x2+2xf′（2），
∴f′（x）=2x+2f′（2）
∴f′（2）=2×2+2f′（2），解得：f′（2）=﹣4
∴f（x）=x2﹣8x，
故选：B．
　
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．设i为虚数单位，若2+ai=b﹣3i（a、b∈R），则a+bi=　﹣3+2i　．
【考点】A3：复数相等的充要条件．
【分析】直接由2+ai=b﹣3i（a、b∈R），求出a，b的值得答案．
【解答】解：由2+ai=b﹣3i（a、b∈R），
得a=﹣3，b=2．
则a+bi=﹣3+2i．
故答案为：﹣3+2i．
　
14．二项式（ax﹣）3的展开式的第二项系数为﹣，则a2的值为　1　．
【考点】DB：二项式系数的性质．
【分析】利用通项公式即可得出．
【解答】解：由题意可得：
a2×=﹣，解得a2=1．
故答案为：1．
　
15．某同学通过计算机测试的概率为，他连续测试3次，且三次测试相互独立，其中恰有1次通过的概率为　　．
【考点】CA：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．
【分析】利用n次独立重复试验中恰好发生k次的概率计算公式，求得其中恰有1次通过的概率．
【解答】解：恰有1次通过的概率为 =，
故答案为：．
　
16．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为　A　．
【考点】F4：进行简单的合情推理．
【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．
【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，
但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，
再由丙说：我们三人去过同一城市，
则由此可判断乙去过的城市为A．
故答案为：A．
　
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．求下列函数的导数：
（1）f（x）=（1+sinx）（1﹣4x）；
（2）f（x）=﹣2x．
【考点】64：导数的加法与减法法则．
【分析】根据导数的运算法则求导即可
【解答】解：（1）f′（x）=（1+sinx）′（1﹣4x）+（1+sinx）（1﹣4x）′=cosx（1﹣4x）﹣4（1+sinx）=cosx﹣4xcosx﹣4﹣4sinx
（2）f（x）=﹣2x=1﹣﹣2x，
则f′（x）=﹣2xln2
　
18．求满足下列条件的方法种数：
（1）将4个不同的小球，放进4个不同的盒子，且没有空盒子，共有多少种放法？
（2）将4个不同的小球，放进3个不同的盒子，且没有空盒子，共有多少种放法？（最后结果用数字作答）
【考点】D8：排列、组合的实际应用．
【分析】（1）根据题意，将4个小球全排列，对应放入4个不同的盒子，由排列数公式计算即可得答案；
（2）分2步进行分析：①、将4个小球分成3组，其中1组2个小球，剩余2组各1个小球，②、将分好的3组全排列，对应放入3个不同的盒子，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，将4个小球全排列，对应放入4个不同的盒子，
有A44=24种情况，即有24种放法；
（2）分2步进行分析：
①、将4个小球分成3组，其中1组2个小球，剩余2组各1个小球，有C42=6种分组方法，
②、将分好的3组全排列，对应放入3个不同的盒子，有A33=6种情况，
则此时有6×6=36种不同的放法．
　
19．数列{an}满足an+1=（n∈N
），且a1=0，
（Ⅰ）计算a2、a3、a4，并推测an的表达式；
（Ⅱ）请用数学归纳法证明你在（Ⅰ）中的猜想．
【考点】RG：数学归纳法；F1：归纳推理．
【分析】本题先根据题目中递推关系式，由a1=0，求出a2、a3、a4，并推测an的表达式，然后用数学归纳法加以证明，得到本题结论．
【解答】解：（
I）
a2=；
a3=；
a4==，
由此猜想an=
（n∈N
）；
（
II）证明：（数学归纳法）
①当n=1时，a1=0，结论成立，
②假设n=k（k≥1，且k∈N
）时结论成立，
即ak=，
当n=k+1时，ak+1=，
∴当n=k+1时结论成立，
由①②知：对于任意的n∈N
，a恒成立．
　
20．某学校课题组为了研究学生的数学成绩与学生细心程度的关系，在本校随机调查了100名学生进行研究．研究结果表明：在数学成绩及格的60名学生中有45人比较细心，另15人比较粗心；在数学成绩不及格的40名学生中有10人比较细心，另30人比较粗心．
（1）试根据上述数据完成2×2列联表；
数学成绩及格
数学成绩不及格
合计
比较细心
　45　
　10　
　55　
比较粗心
　15　
　30　
　45　
合计
　60　
　40　
　100　
（2）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系．
参考数据：独立检验随机变量K2的临界值参考表：
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（其中n=a+b+c+d）
【考点】BO：独立性检验的应用．
【分析】（1）根据题意填写2×2列联表即可；
（2）根据2×2列联表求得K2的观测值，
对照临界值表即可得出结论．
【解答】解：（1）填写2×2列联表如下；
数学成绩及格
数学成绩不及格
合计
比较细心
45
10
55
比较粗心
15
30
45
合计
60
40
100
（2）根据2×2列联表可以求得K2的观测值
=；
所以能在范错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系．
　
21．已知函数f（x）=ax2﹣lnx﹣2．
（1）当a=1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求导数，利用导数的几何意义求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）先求出函数的导数，通过讨论a的取值范围求出函数的单调区间．
【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=x2﹣lnx﹣2，f′（x）=x﹣，
∴f′（1）=0，f（1）=﹣，
∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=﹣；
（2）∵f′（x）=（x＞0），
a≤0时，f′（x）＜0，f（x）的单调递减区间为：（0，+∞），
a＞0时，f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增．
　
22．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为2，4，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
（
II）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．
【分析】（
I）由相互独立事件的概率计算公式求出事件A发生的概率；
（Ⅱ）根据题意知随机变量X的所有可能取值，
计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望值．
【解答】解：（
I）由已知得：，
所以，事件A发生的概率为；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
计算，﹣﹣﹣﹣﹣﹣
，﹣﹣﹣﹣﹣﹣
；﹣﹣﹣﹣﹣﹣
所以，随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
随机变量X的数学期望为
．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣