课件8张PPT。高中数学 必修42.1 向量的概念及表示一、问题情境 情境：溱湖湿地公园的湖面上有三个景点O，A，B，如图：一游艇将游客从景点O送至景点A，半小时后，游艇再将游客从A送至景点B。从景点O到景点A有一个位移，从景点A送至景点B也有一个位移． 二、学生活动 1．问题
（1）在图中标出两个位移；
（2）请说出位移和距离的异同；
（3）你能否例举一些具有上述两种特征的例子？
2．思考：阅读课本55页，回答下列问题．
（1）什么是向量?
（2）怎么表示向量?
（3）什么是向量的模?
（4）有哪些特殊向量?三、建构数学 1．向量的概念及表示
（1）向量的定义：
（2）向量的表示：
思考1： 要确定一个向量必须确定什么？要确定一个有向线段必须确定什么？
两者有何区别？
（3）向量的大小及表示:
（4）零向量：
（5）单位向量：
思考2：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们终点的轨迹是
什么图形？2．向量的关系
（1）平行向量
（2）相等向量
（3）共线向量
（4）相反向量
规定：
问题：
（1）实数可以比较大小，向量能吗？
（2）
（3）
（4）能找出向量的平行与直线平行的区别吗？
（5）能运用这个区别解决什么问题？
四、数学运用 1.课本例1；
概念辨析（判断）
2.课本例2．
五、回顾小结1．向量的概念：既有大小又有方向的量称为向量.
2．向量的表示方法：常用一条有向线段来表示.
3．两种特殊的向量：零向量 单位向量.
4．向量间关系：平行向量(共线向量) 相等向量 相反向量 六、作业教材第57页习题2.1第 1,3,4题课件8张PPT。高中数学 必修42.2.1 向量的加法一、问题情境1．向量的概念及表示
2．实数可进行加法运算并有哪些运算律？对向量是否成立？
3．情境：2003年春节探亲时，由于台湾和祖国大陆之间没有直达航班，某老先生只好从台北（O点）经过香港（A点），再抵达北京（B）.二、学生活动1．在图中画出两次位移．这两次位移之和是什么？
2．用向量分别表示三个位移，你能用怎样的数学式子来表示他们的关系？
3．还能发现其他关系？是否有不等关系？（引导得出长度关系）三、建构数学1．引导学生抽象概括出向量加法的定义． 穿插例1
2．总结上面求向量和的方法名称和特点(三角形法则，首尾连接).
3．类比实数的加法运算律，你能得到向量加法满足怎样的运算律？（交换律、结合律）
4．你能运用图形来验证你的结论吗？
教师适当提示如何验证交换律（让学生在同一图中作出a+b与b+a）.
5．从上图中你能发现向量加法的另外一种法则？这个法则是怎样描述的？用它有限制吗？(平行四边形法则，共起点，不共线的非零向量)
6．请你仿照验证交换律来验证结合律． 化简 并解决例2（课本例1）7. 如何求平面内n（n＞3）个向量的和向量？
思考：如果平面内有n个向量依次首尾连接组成一个封闭折线，那这n个向
量的和是什么？(零向量)
8．你能用向量语言来表示情境中的不等关系？能推广到任意两个向量吗？
9．规定：a+0=0+a=a．四、数学运用例3 （教材第60页例2）在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h ，渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
课例演练
1．船以25km/h的速度按垂直于河岸的航向航向航行，那么受水流影响，渡船的实际航向如何？
2．一艘船从点出发以 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为4km/h，求水流的速度.
3．一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h，则船的实际航行速度大小最大是 km/h，最小是 km/h.
解决课后练习2，3，4．五、回顾小结1．向量加法的概念及向量加法的几何意义；
2．熟练掌握向量加法的平行四边形法则、三角形法则和向量加法运算律.六、作业教科书第66页习题2.2第 1,2,3,10（1）题课件8张PPT。高中数学 必修42.2.2 向量的减法1．向量的加法定义、法则和运算律．
2．实数的减法：
（1）实数a，x，b,已知a+x=b, 则x = ,x叫做 .
（2） 是加法的 运算．一、问题情境 二、学生活动由数的减法定义来类比推广到向量的减法运算．三、建构数学1．引导学生抽象概括出向量减法的定义
2.
3. 由例1让学生总结成减法作图规律
4. （1）相反向量的概念复习
（2）类比实数的减法，减去一个数就是加上它的相反数，
你能得到向量减法应该满足怎样的式子？
5．你能验证你的结论？（从代数证明和几何图形验证两个方面着手，突出数形结合的思想）.5．那我们现在解决向量的减法有几种手段？请你用你总结的方法来解决化简： ，并完成课后练习1,2,4,5.
6．向量的加法具有：||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|，你能在减法中也找到类似的关系？课后请证明你的结论.四、数学运用1.例2（教材第62页例2）
（多种思路，请学生自行解决，并表述出自己的解法）
思考：任意一个非零向量是否一定可以表示为两个不共线的向量的和？
2.例3 用向量法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.五、回顾小结1．理解向量减法概念并知道向量的减法的定义是建立在向量加法的基础上的；
2．会作两向量的差向量；
3．能够结合图形进行向量计算以及用两个向量表示其它向量.六、作业教科书第66页习题2.2第 4,7,8,10（2）题.课件4张PPT。高中数学 必修42.2.3 向量的数乘授课内容1.（1）（2）2.向量数乘的运算律.课件13张PPT。高中数学 必修42.2.4 向量共线定理问题1上一节中蚂蚁自西向东3秒钟的位移对应的向量为3a，记b＝3a ， b与a共线吗？
问题2对于向量a和b，如果有一个实数 ，使得b a，那么a与b共线吗？
问题3如果向量a和b共线，是否存在一个实数 ，
使b a？
授课内容：向量共线定理：那么b与a是共线向量；问题4为什么要求a是非零的？b可以为0吗？
问题5结合问题2，3的探求，能不能完善定理证明？
例2 判断下列各题中的向量是否共线：练习：（1）已知向量a＝2e1 － 2e2，b＝－3（e2－e1），求证：a与b是共线向量．练习：要点归纳：课件12张PPT。高中数学 必修42.3.1 平面向量基本定理创设情景，揭示课题【问题1】 研究火箭升空的某一时刻的速度；【问题2】物理中的力的分解．学生活动1．火箭升空的某一时刻的速度可分解为在竖直向上和水平向前的分速度.构建数学 共面向量定理．【探索】（1）是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是惟一的？ 平面向量基本定理：【注意】【思考】：平面向量基本定理与前面所学的向量共线定理，在内容和表述形式上有什么区别和联系 ?【例题讲解】,思考：解决这类问题的关键是什么?例5．如图 ， 不共线， , 用 ， 表示 回顾小结1．平面向量基本定理内容． 2．对定理的理解． ３．平面向量基本定理的应用．课件11张PPT。高中数学 必修42.3.2 平面向量的坐标运算(1)问题情境复习平面向量基本定理： 学生活动建构数学1.平面向量的坐标表示． 【说明】 （2）相等向量的坐标也相同； ； 【问题】 【结论】两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．2．由向量运算的结合律、分配律及数乘的运算律可得：（1）两个向量的和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）； （2）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标；（3）一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．3．向量的坐标计算公式： 【结论】向量的坐标等于表示它的有向线段的终点坐标减去始点坐标； 4．实数与向量的积的坐标： 【结论】实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． 【例题讲解】例1 如图，已知O是坐标原点，点A在第一象限，| |= ，
∠xOA=600,求向量 的坐标． ，巩固深化，反馈矫正回顾反思1．正确理解平面向量的坐标意义；
2．掌握平面向量的坐标运算；（向量加法运算、减法运算、实数与向量的积的坐标表示）3．能用平面向量的坐标及其运算解决一些实际问题．课件9张PPT。高中数学 必修42.3.2 平面向量的坐标运算（2)问题情境学生活动【提出问题】建构数学1.共线向量的充要条件: 向量平行（共线）的两种表达形式： 【注意】 ③向量共线的两种判定方法： 【例题讲解】巩固深化，反馈矫正回顾反思 1．熟悉平面向量共线充要条件的两种表达形式；2．会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明
三点共线和两直线平行；3．明白判断两直线平行与两向量平行的异同.课件12张PPT。高中数学 必修42.4 向量的数量积（1）问题情境【提出问题】：向量的运算有向量的加法、减法、数乘，
那么向量与向量能否“相乘” 呢？ 学生活动【提出问题】：物理学中，物体所做的功的计算方法： 建构数学【提出问题】：求功的运算中可以抽象出什么样的数学运算？ 1.向量夹角2.向量数量积的定义：【说明】 ①实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量，不是向量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关，符号由cos?的符号所决定；实数与向量的积是一个向量； 3.数量积的性质： ；4．数量积的几何意义（1）投影的概念：（2）提出问题：数量积的几何意义是什么？例1．判断正误，并简要说明理由． 例题讲解例2 已知向量与向量的夹角为，||＝2，||＝3，（1）（2）∥⊥分别在下列条件下求：；；（3）巩固深化，反馈矫正回顾反思1.有关概念：向量的夹角、投影、向量的数量积.2.向量数量积的几何意义和物理意义.3.向量数量积的六条性质.课件10张PPT。高中数学 必修42.4 向量的数量积（2）2．判断下列各题正确与否： 问题情境【复习提问】 1.（1）两个非零向量夹角的概念；（2）平面向量数量积的定义；（3）“投影”的概念；（4）向量数量积的几何意义；（5）两个向量的数量积的性质．学生活动【提出问题】实数的运算律有ab=ba；a(b+c)=ab+ac；(ab)c=a(bc)．
在向量的数量积中是否成立？(举例说明) 建构数学 数量积的运算律 （1）交换律：（2）数乘结合律：（3）分配律：【说明】 （3）有如下常用性质 例1 已知 都是非零向量，且 与 垂直，
与 垂直，求 与 的夹角． 【例题讲解】例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和． 变式1：用向量方法证明：菱形对角线互相垂直． 变式3：用向量证明三角形的三条角平分线相交于一点． =2与是两个单位向量，其夹角为，求向量，，则||=2,|-（1）巩固深化，反馈矫正1.已知||=1,||=， 与垂直，则的夹角是______； （2）若； （3）若、的夹角为+|； 2.已知||=1，与之间的夹角为，那么向量-4的模为_____；-4|·|-| |3.设、=2+-3的夹角；4.对于两个非零向量（1）求使||最小时的值，并求此时与的夹角； （2）当的模取最小值时， ①求的值；②求证：与垂直．回顾反思 通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的重要性质解决相关问题.课件11张PPT。高中数学 必修42.4 向量的数量积（3）创设情景，揭示课题：1．两平面向量垂直的条件； 2．两向量共线的坐标表示；提出问题：向量的数量积能否用坐标表示？ 学生活动：建构数学：1．向量数量积的坐标表示： 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.建构数学：2．长度、夹角、垂直的坐标表示： 例题讲解：例题讲解：例2 已知，求（3-）·（-2）． 例题讲解： 说明：两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一． 例题讲解：巩固深化，反馈矫正：分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想. 归纳整理，整体认识：1．平面向量数量积的坐标公式；向量垂直的坐标表示的条件，
复习向量平行的坐标表示的条件；2．向量长度（模）的公式及两点间的距离公式和夹角公式．课件10张PPT。高中数学 必修42.5 向量的应用问题情境： 向量概念源于物理中的矢量，物理中的力、位移、速度等都是向量，功是向量的数量积，从而使得向量与物理学建立了有机的内在联系，物理中具有矢量意义的问题也可以转化为向量问题来解决.因此，在实际问题中，如何运用向量方法分析和解决物理问题，又是一个值得探讨的课题． 问题1：如图，用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个重量是10N的灯具，则每根绳子的拉力是多少？ 学生活动：问题2：我们在图中标上相应的字母（如图），根据力的平衡理论，①绳子OA与绳子OB的拉力与灯具的重力G具有什么关系？②绳子OA与绳子OB的拉力有什么关系？ 学生讨论得出结论：
①F1＋F2＋G=0；
②F1=F2．学生活动：问题3：如果将绳子OA的拉力表示为向量 ，绳子OB的拉力表示为向量 ，重力表示为向量
，则向量 、 、 之间有什么关系？ 学生讨论得出结论：
+ + = ． 课堂活动：问题4：你能否根据以上信息，将这个物理问题编写成一个数学问题？你能解决这个问题吗？ 学生讨论，教师整理，形成数学问题：已知向量
、 之间的夹角为120o，且向量 的模等于向量
的模，向量 的模为10，求向量 、 的模． 变式：在汽车站或火车站我们常见：两个人共提一个旅行包，若包重20N，还需什么条件，你能求每一个人手臂的拉力？ 课堂活动：问题5：根据生活经验，两只手臂的夹角大小与所耗力气的大小有什么关系？
学生讨论回答：夹角越大越费力．问题6：若两只手臂的拉力为F1、F2，物体的重力为G，那么F1、F2、G三个力之间具有什么关系？ F1＋F2＋G=0． 课堂活动：问题7：假设两只手臂的拉力大小相等，夹角为 ，那么|F1|、|G|、 之间的关系如何？ 问题8：此时|F1|的范围是什么？你还想知道什么？或你还能提出什么问题？
问题：|F1|有最大值或最小值吗？
|F1|与|G|可能相等吗？若重力G一定，则拉力的大小是关于夹角θ的函数；这个函数的单调性如何？ 例题1：如图（1）所示，无弹性的细绳 的一端分别固定在 处，同质量的细绳 下端系着一个称盘，且使得 ，试分析 三根绳子受力的大小，判断哪根绳受力最大？ 例题讲解：题后反思：
（1）本题你还最想知道什么？
（2）绳子OB与绳子OC所受力的大小比较的本质是什么？
（3）你还能提出一些什么问题？ 例2：已知： ，
求证： ． 例题讲解：例3：已知直线l经过点 ，
用向量方法求直线的方程． 题后反思：把 改为 ，我们如图可以得到证明三点共线的一种方法． 小结归纳： 本节课学习了以下内容：
1．如何把物理学问题转化为数学问题？
2．如何把几何学问题转化为向量问题？
3．如何运用向量的平行四边形法则和力的平衡知识，作好力的分解和合成；
4．通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；
5．数形结合法．
