1.3.1 诱导公式（1）
一、A组
1.sin(-1
560°)的值是( )
A.-
B.-
C.
D.
解析:sin(-1
560°)=-sin
1
560°=-sin(4×360°+120°)=-sin
120°=-.
答案:A
2.(2016·吉林延边二中检测)已知sin(π+α)=,且α是第四象限的角,则cos(α-2π)的值是( )
A.
B.-
C.±
D.
解析:由sin(π+α)=,可得sin
α=-.
∵α是第四象限的角,
∴cos
α=,
∴cos(α-2π)=cos
α=.故选A.
答案:A
3.设tan(π+α)=2,则=( )
A.3
B.
C.1
D.-1
解析:∵tan(π+α)=2,∴tan
α=2.
∴
==3.
答案:A
4.(2016·安徽滁州凤阳中学期中)若600°角的终边上有一点(-4,a),则a的值是( )
A.-
B.4
C.-4
D.±4
解析:由题意得tan
600°=,
又因为tan
600°=tan(3×180°+60°)=tan
60°=,
所以,所以a=-4.
答案:C
5.记cos(-80°)=k,则tan
100°等于( )
A.
B.-
C.
D.-
解析:∵cos(-80°)=cos
80°=k,sin
80°=,∴tan
100°=-tan
80°=-.故选B.
答案:B
6.已知tan=5,则tan= .
解析:tan=tan
=-tan=-5.
答案:-5
7.化简:sin(π+α)sin(2π-α)-cos(π-α)cos(-2π-α)= .
解析:原式=-sin
αsin(-α)+cos
αcos(2π+α)
=sin2α+cos2α=1.
答案:1
8.已知x=(k∈Z),则x构成的集合是 .
解析:当k=2n(n∈Z)时,x==2.
当k=2n+1(n∈Z)时,x==-2.
故x构成的集合是{2,-2}.
答案:{2,-2}
9.求sin(-1
200°)·cos
1
290°+cos(-1
020°)·sin(-1
050°)+tan
945°的值.
解:原式=-sin(3×360°+120°)·cos(3×360°+210°)-cos(2×360°+300°)·sin(2×360°+330°)+tan(2×360°+225°)=-sin(180°-60°)·cos(180°+30°)-cos(360°-60°)·sin(360°-30°)+tan(180°+45°)=sin
60°cos
30°+cos
60°sin
30°+tan
45°=+1=2.
10.导学号08720017已知α是第三象限角,且
f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若sin
α=-,求f(α);
(3)若α=-,求f(α).
解:(1)f(α)==cos
α.
(2)∵sin
α=-,且α是第三象限角,
∴f(α)=cos
α=-=-=-.
(3)f=cos=cos=cos.
二、B组
1.(2016·湖北荆州中学期末)cos·tan的值为( )
A.-
B.-
C.
D.
解析:cos·tan=cos·tan
=
=·(-1)=.
答案:C
2.已知a=tan,b=cos,c=sin,则a,b,c的大小关系是( )
A.b>a>c
B.a>b>c
C.b>c>a
D.a>c>b
解析:∵a=tan=-tan=-tan=-;
b=cos=cos;
c=-sin=-sin=-,
∴b>a>c.
答案:A
3.设tan(3π+θ)=a,则的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析:∵tan(3π+θ)=tan(π+θ)=tan
θ=a,
∴原式=
=
=.
答案:A
4.若sin,则sin= .
解析:∵sin,
∴sin=sin
=-sin=-.
答案:-
5.的值等于 .
解析:原式=
=
=
=-2.
答案:-2
6.导学号08720018(2016·吉林长春十一中期中)已知<α<,cos=m(m≠0),则tan= .
解析:由<α<,可得α+.
又cos=m<0,
所以sin
=,
所以tan.
所以tan=tan
=-tan=-.
答案:-
7.已知sin(3π+α)=.求:
.
解:∵sin(3π+α)=,∴sin
α=-.
原式=
=-sin
α=.
8.化简:(k∈Z).
解:①当k取偶数时,设k=2n(n∈Z),则
原式=
==-1.
②当k取奇数时,设k=2n+1(n∈Z),则
原式=
==-1,
综上,原式=-1.1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)
一、A组
1.函数y=|sin
x|的一个单调增区间是( )
A.
B.
C.
D.
解析:画出y=|sin
x|的图象即可求解.
故选C.
答案:C
2.(2016·福建三明一中月考)y=cos(-π≤x≤π)的值域为( )
A.
B.[-1,1]
C.
D.
解析:因为-π≤x≤π,所以-.
所以-≤cos≤1,
y=cos(-π≤x≤π)的值域为.
答案:C
3.函数f(x)=3sin在下列区间内递减的是( )
A.
B.[-π,0]
C.
D.
解析:令2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z可得2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z,∴函数f(x)的递减区间为,k∈Z.
从而可判断,
∴在x∈时,f(x)单调递减.
答案:D
4.函数f(x)=2sin(ω>0)的最小正周期为4π,当f(x)取得最小值时,x的取值集合为( )
A.
B.
C.
D.
解析:∵T==4π,∴ω=.
∴f(x)=2sin.
由x-=2kπ-(k∈Z),
得x=4kπ-(k∈Z).
答案:A
5.已知函数f(x)=sin,x∈R,下列结论错误的是
( )
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)在区间上是增函数
C.函数f(x)的图象关于y轴对称
D.函数f(x)是奇函数
解析:f(x)=sin=-sin=-cos
x,
∴周期T=2π,∴选项A正确;
f(x)在上是增函数,∴选项B正确;
定义域是R,f(-x)=-cos(-x)=-cos
x=f(x),
∴f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,
∴选项C正确,选项D错误.
答案:D
6.函数y=sin
|x|+sin
x的值域是 .
解析:∵y=sin
|x|+sin
x=∴-2≤y≤2.
答案:[-2,2]
7.函数y=cos
x在区间[-π,a]上为增函数,则a的取值范围是 .
解析:∵y=cos
x在[-π,0]上为增函数,
又在[-π,a]上递增,∴[-π,a] [-π,0].
∴a≤0.又∵a>-π,∴-π
答案:(-π,0]
8.若函数f(x)=sin
ωx(0<ω<2)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω= .
解析:由题意知函数f(x)在x=处取得最大值,
∴=2kπ+,ω=6k+,k∈Z.
又0<ω<2,∴ω=.
答案:
9.已知函数f(x)=sin(x∈R,ω>0)的最小正周期为π.
(1)求f(x)在上的值域,并求出取最小值时的x值;
(2)求f(x)的单调递增区间.
解:由已知得=π,ω=1,∴f(x)=sin.
(1)当x∈时,≤2x+.
∴-≤sin≤1.∴f(x)值域为.
当2x+时,f(x)取最小值-,
∴x=时,f(x)取最小值.
(2)令2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).
∴f(x)的递增区间为(k∈Z).
10.导学号08720029已知函数f(x)=2asin+a+b的定义域是,值域是[-5,1],求a,b的值.
解:∵0≤x≤,∴≤2x+.
∴-≤sin≤1.
∴a>0时,解得
a<0时,解得
因此a=2,b=-5或a=-2,b=1.
二、B组
1.若0<α<β<,a=sin,b=sin,则
( )
A.aB.a>b
C.ab<1
D.ab>
解析:∵0<α<β<,∴<α+<β+.
而正弦函数y=sin
x在x∈上是增函数,
∴sin∴sinsin,即a答案:A
2.若a为常数,且a>1,0≤x≤2π,则函数y=sin2x+2asin
x的最大值为( )
A.2a+1
B.2a-1
C.-2a-1
D.a2
解析:令sin
x=t,则-1≤t≤1,原函数变形为y=t2+2at=(t+a)2-a2.
∵a>1,∴当t=1时,ymax=12+2a×1=2a+1,故选A.
答案:A
3.函数y=cos的单调递增区间是( )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
解析:函数y=cos=cos,
令2kπ-π≤2x-≤2kπ,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
故单调递增区间为,k∈Z.
答案:B
4.函数y=2sin-cos(x∈R)的最小值为 .
解析:∵,
∴y=2sin-cos
=2cos-cos=cos.
∴ymin=-1.
答案:-1
5.若函数f(x)=sin
ωx(ω>0)在区间上单调递增,则当ω取最大值时,函数f(x)=sin
ωx的周期是 .
解析:令2kπ-≤ωx≤2kπ+可得≤x≤,∴k=0时,f(x)在上递增.
又∵f(x)在上递增,
∴解得0<ω≤.
∴ω的最大值为.∴周期T=.
答案:
6.对于函数f(x)=给出下列四个命题:
①该函数是以π为最小正周期的周期函数;
②当且仅当x=π+kπ(k∈Z)时,该函数取得最小值-1;
③该函数的图象关于直线x=+2kπ(k∈Z)对称;
④当且仅当2kπ其中正确命题的序号是 .
解析:画出f(x)在一个周期[0,2π]上的图象.
由图象知,函数f(x)的最小正周期为2π,在x=π+2kπ(k∈Z)和x=+2kπ(k∈Z)时,该函数都取得最小值,为-1,故①②错误.
由图象知,函数图象关于直线x=+2kπ(k∈Z)对称,在2kπ答案:③④
7.已知函数y=sin.
(1)求函数的周期;
(2)求函数在[-π,0]上的单调递减区间.
解:y=sin可化为y=-sin.
(1)周期T==π.
(2)令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
所以x∈R时,y=sin的单调递减区间为,k∈Z.
从而x∈[-π,0]时,y=sin的单调递减区间为.
8.导学号08720030已知函数f(x)=sin(ωx+φ)其中ω>0,|φ|<,若函数y=f(x)的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为,且直线x=是函数y=f(x)图象的一条对称轴.
(1)求ω的值;
(2)求y=f(x)的单调递增区间;
(3)若x∈,求y=f(x)的值域.
解:(1)因为函数y=f(x)的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为,所以函数的周期T=π,所以ω==2.
(2)因为直线x=是函数y=f(x)图象的一条对称轴,所以2×+φ=kπ+,k∈Z,φ=kπ+,k∈Z.
又|φ|<,所以φ=.
所以函数的解析式是y=sin.
令2x+,k∈Z,
解得x∈,k∈Z.
所以函数的单调递增区间为,k∈Z.
(3)因为x∈,所以2x+.
所以sin,
即函数的值域为.1.2.2 同角三角函数的基本关系
一、A组
1.化简sin2β+cos4β+sin2βcos2β的结果是( )
A.
B.
C.1
D.
解析:原式=sin2β+cos2β(sin2β+cos2β)=sin2β+cos2β=1.
答案:C
2.(2016·山东淄博实验中学检测)已知tan
α=2,则sin2α-sin
αcos
α的值是( )
A.
B.-
C.-2
D.2
解析:sin2α-sin
αcos
α=
=.
答案:A
3.(2016·吉林长春十一中高一期中)(1+tan215°)cos215°的值等于( )
A.
B.1
C.-
D.
解析:(1+tan215°)cos215°=cos215°=cos215°+sin215°=1.
答案:B
4.已知α是第四象限角,tan
α=-,则sin
α=( )
A.
B.-
C.
D.-
解析:∵α是第四象限角,∴sin
α<0.
由tan
α=-,得=-,
∴cos
α=-sin
α.
由sin2α+cos2α=1,得sin2α+=1,
∴sin2α=1,sin
α=±.
∵sin
α<0,∴sin
α=-.
答案:D
5.若角α的终边落在直线x+y=0上,则的值为( )
A.2
B.-2
C.0
D.2或-2
解析:由题知,α为第二或第四象限角,原式=.
当α为第二象限角时,原式=-=0.
当α为第四象限角时,原式==0.
综上,原式=0.
答案:C
6.在△ABC中,cos
A=,则tan
A= .
解析:在△ABC中,可得0A=,
∴sin
A=.
∴tan
A==2.
答案:2
7.已知sin
α=2m,cos
α=m+1,则m= .
解析:∵sin2α+cos2α=1,
∴(2m)2+(m+1)2=4m2+m2+2m+1=1,
∴m=0或m=-.
答案:0或-
8.(2016·江苏南京溧水中学月考)若tan2x-sin2x=,则tan2xsin2x= .
解析:tan2xsin2x=tan2x(1-cos2x)
=tan2x-tan2xcos2x=tan2x-sin2x=.
答案:
9.若<α<2π,化简:.
解:∵<α<2π,
∴sin
α<0.
∴原式=
=
=
=-=-.
10.求证:(1)sin4α-cos4α=2sin2α-1;
(2)sin
θ(1+tan
θ)+cos
θ.
证明:(1)左边=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)
=sin2α-(1-sin2α)=2sin2α-1=右边,
∴原式成立.
(2)左边=sin
θ+cos
θ
=sin
θ++cos
θ+
=
==右边.
∴原式成立.
二、B组
1.锐角α满足sin
αcos
α=,则tan
α的值为( )
A.2-
B.
C.2±
D.2+
解析:将sin
αcos
α看作分母是1的分式,则sin
αcos
α=,分子、分母同时除以cos2α(cos
α≠0),得,化成整式方程为tan2α-4tan
α+1=0,解得tan
α=2±,符合要求,故选C.
答案:C
2.化简的结果为( )
A.-cos
160°
B.cos
160°
C.
D.
解析:原式=
==|cos
160°|
=-cos
160°,故选A.
答案:A
3.已知sin
θ=,cos
θ=,其中θ∈,则tan
θ的值为( )
A.-
B.
C.-或-
D.与m的值有关
解析:∵sin2θ+cos2θ=1,∴=1,
解得m=0或m=8.
∵θ∈,∴sin
θ≥0,cos
θ≤0.
当m=0时,sin
θ=-,cos
θ=,不符合题意;
当m=8时,sin
θ=,cos
θ=-,tan
θ=-,故选A.
答案:A
4.已知cos,0<α<,则sin= .
解析:∵sin2+cos2=1,
∴sin2=1-.
∵0<α<,∴<α+.
∴sin.
答案:
5.导学号08720014若0<α<,则的化简结果是 .
解析:由0<α<,得0<,所以0故原式=
=cos-sin+sin+cos=2cos.
答案:2cos
6.(2016·江苏南京溧水中学月考)若α∈(π,2π),且sin
α+cos
α=.
(1)求cos2α-cos4α的值;
(2)求sin
α-cos
α的值.
解:(1)因为sin
α+cos
α=,
所以(sin
α+cos
α)2=,
即1+2sin
αcos
α=,所以sin
αcos
α=-.
所以cos2α-cos4α=cos2α(1-cos2α)
=cos2αsin2α=(sin
αcos
α)2=.
(2)(sin
α-cos
α)2=1-2sin
αcos
α
=1-2×,
由(1)知sin
αcos
α=-<0,
又α∈(π,2π),所以α∈.
所以sin
α<0,cos
α>0,所以sin
α-cos
α<0,
所以sin
α-cos
α=-.
7.导学号08720015已知关于x的方程2x2-(+1)x+m=0的两根为sin
θ和cos
θ.求:
(1)的值;
(2)m的值.
解:因为已知方程有两根,
所以
(1)
==sin
θ+cos
θ=.
(2)对①式两边平方,得1+2sin
θcos
θ=,
所以sin
θcos
θ=.
由②,得,即m=.
由③,得m≤,所以m=.1.5
函数y=Asin(ωx+φ)的图象
一、A组
1.把函数y=cos
x的图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的倍,然后将图象沿x轴负方向平移个单位长度,得到的图象对应的解析式为( )
A.y=sin
2x
B.y=-sin
2x
C.y=cos
D.y=cos
解析:y=cos
x的图象上每一点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)得到y=cos
2x的图象;
再把y=cos
2x的图象沿x轴负方向平移个单位长度,就得到y=cos
2=cos的图象.
即y=-sin
2x的图象.
答案:B
2.某同学用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的简图时,列表如下:
ωx+φ
0
π
2π
x
y
0
2
0
-2
0
则有( )
A.A=0,ω=,φ=0
B.A=2,ω=3,φ=
C.A=2,ω=3,φ=-
D.A=1,ω=2,φ=-
解析:由表格得A=2,,
∴ω=3.∴ωx+φ=3x+φ.
当x=时,3x+φ=+φ=0,∴φ=-.
答案:C
3.将函数f(x)=sin
ωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度,所得图象经过点,则ω的最小值是( )
A.
B.1
C.
D.2
解析:把f(x)=sin
ωx的图象向右平移个单位长度得y=sin的图象.
又所得图象过点,
∴sin=0.
∴sin=0,∴=kπ(k∈Z).
∴ω=2k(k∈Z).∵ω>0,∴ω的最小值为2.
答案:D
4.把函数y=sin的图象向左平移个单位,再把所得的函数图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍,横坐标不变,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)为( )
A.最大值为的偶函数
B.周期为π的偶函数
C.周期为2π,且最大值为2的函数
D.最大值为2的奇函数
解析:y=sin
y=sin=sin
2x
y=2sin
2x,即g(x)=2sin
2x,故g(x)的最大值为2,周期T=π,g(x)为奇函数,故选D.
答案:D
5.(2016·四川成都石室中学期中)为了得到函数y=3cos
2x的图象,只需把函数y=3sin的图象上所有的点( )
A.向右平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
解析:函数y=3cos
2x=3sin=3sin,把函数y=3sin的图象上所有的点向左平移个单位长度,可得函数y=3cos
2x的图象.
答案:D
6.把y=sin
x的图象上所有点的横坐标和纵坐标都缩短到原来的倍,得到 的图象.
解析:将y=sin
x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍得y=sin
3x的图象,纵坐标再缩短为原来的倍得到y=sin
3x的图象.
答案:y=sin
3x
7.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,为了得到g(x)=sin的图象,只需将y=f(x)的图象上 .
解析:∵f(x)的最小正周期为π,∴=π.
∴ω=2.∴f(x)=sin.
又g(x)=sin=sin,
∴只需将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到g(x)=sin的图象.
答案:所有点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变
8.设函数f(x)=cos
ωx(ω>0),将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于 .
解析:将f(x)的图象向右平移个单位长度得g(x)=f=cos=cos的图象,
则-ω=2kπ(k∈Z),∴ω=-6k(k∈Z).
又ω>0,∴k<0(k∈Z),∴当k=-1时,ω有最小值6.
答案:6
9.将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再向左平移个单位所得的曲线是y=sin
x的图象,试求y=f(x)的解析式.
解:将y=sin
x的图象向右平移个单位得y=sin的图象,化简得y=-cos
x.再将y=-cos
x的图象上的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)得y=-cos
2x的图象,所以f(x)=-cos
2x.
10.(2016·湖北武汉十一中期末)已知函数f(x)=3sin,x∈R.
(1)用五点法作出y=f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图;
(2)请说明函数y=f(x)的图象可以由正弦函数y=sin
x的图象经过怎样的变换得到.
解:(1)列表:
2x+
0
π
2π
x
-
f(x)
0
3
0
-3
0
简图如下:
(2)将函数y=sin
x图象上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的3倍得到y=3sin
x的图象,再将得到的图象向左平移个单位长度得到y=3sin的图象,最后将得到的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的得到y=3sin的图象.
二、B组
1.给出几种变换:
(1)横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变;
(2)横坐标缩小到原来的倍,纵坐标不变;
(3)向左平移个单位长度;
(4)向右平移个单位长度;
(5)向左平移个单位长度;
(6)向右平移个单位长度.
则由函数y=sin
x的图象得到y=sin的图象,可以实施的方案是( )
A.(1)→(3)
B.(2)→(3)
C.(2)→(4)
D.(2)→(5)
解析:由y=sin
x的图象到y=sin的图象可以先平移变换再伸缩变换,即(3)→(2);也可以先伸缩变换再平移变换,即(2)→(5).
答案:D
2.(2016·河北唐山一中期末)把函数y=sin(4x+φ)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将图象上所有的点向右平移个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的一个可能值为( )
A.
B.
C.
D.
解析:函数y=sin(4x+φ)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y=sin(2x+φ)的图象,再将图象上所有的点向右平移个单位,可得函数y=sin=sin的图象,若此函数图象关于y轴对称,则-+φ=kπ+,k∈Z,所以φ=kπ+,k∈Z,当k=-1时,有φ=.故选B.
答案:B
3.把函数y=3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π)的图象向左平移个单位,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的解析式为y=3sin
x,则( )
A.ω=2,φ=
B.ω=2,φ=-
C.ω=,φ=
D.ω=,φ=-
解析:y=3sin(ωx+φ)的图象向左平移个单位,得到y=3sin=3sin的图象,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=3sin=3sin
x的图象,
则
答案:B
4.函数y=sin
x的图象上所有点的横坐标和纵坐标同时扩大到原来的3倍,再将图象向右平移3个单位长度,所得图象的函数解析式为 .
解析:y=sin
xy=3sinxy=3sin(x-3)=3sin.
答案:y=3sin
5.先把函数y=2sin的图象上的所有点向左平移个单位长度,再把所有点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,得到的图象对应的函数解析式是 .
解析:把y=2sin的图象上的所有点向左平移个单位长度,得函数y=2sin=2sin=2cos
2x的图象,再把所有点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=2cos
4x的图象.
答案:y=2cos
4x
6.函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移个单位后,与函数y=sin的图象重合,则φ= .
解析:函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移个单位,得平移后的图象对应的函数解析式为y=cos=cos(2x+φ-π),而函数y=sin=cos,由函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移个单位后与函数y=sin的图象重合,得2x+φ-π=2x+,解得φ=,符合-π≤φ<π,故答案为.
答案:
7.已知函数y=cos.求:
(1)函数的周期及单调递减区间;
(2)函数的图象可由y=cos
x的图象经过怎样的变换得到
解:(1)∵ω=2,∴T==π.
由2kπ≤2x+≤2kπ+π,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
∴函数的周期为π,单调递减区间为
,k∈Z.
(2)将函数y=cos
x的图象上的所有点向左平移个单位长度,所得图象的函数解析式为y=cos,再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得y=cos的图象,再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变),即得y=cos的图象.
8.设函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω;
(2)若f,且α∈,求tan
α的值;
(3)完成下面列表,并画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象.
列表:
x
0
π
y
-1
1
描点连线:
解:(1)∵函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,∴=π,∴ω=2.
(2)由(1)知,f(x)=sin.
由f,得sin
α=,∴cos
α=±.
又-<α<,∴cos
α=,∴tan
α=.
(3)由y=sin知:
x
0
π
y
-
-1
0
1
0
-
故函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象是:1.1.2 弧度制
1.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( )
A.π
B.-π
C.π
D.-π
解析:显然分针在1点到3点20分这段时间里,顺时针转过了两周又一周的,用弧度制表示就是-4π-×2π=-π.
答案:B
2.(2016·青海西宁第十四中学期中)若α=-3,则角α的终边在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:因为-π<-3<-,所以α=-3的终边在第三象限.
答案:C
3.将-表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,使|θ|最小的θ的值是( )
A.-
B.-
C.
D.
解析:∵-=-2π-,∴θ=-.
答案:A
4.已知集合A={α|2kπ≤α≤(2k+1)π,k∈Z},B={α|-4≤α≤4},则A∩B等于( )
A.{α|-4≤α≤4}
B.{α|0≤α≤π}
C.{α|-4≤α≤-π或0≤α≤π}
D.
解析:当k=0时,A={α|0≤α≤π},
此时A∩B={α|0≤α≤π};
当k=-1时,A={α|-2π≤α≤-π},
此时A∩B={α|-4≤α≤-π},
故所求集合A∩B={α|0≤α≤π或-4≤α≤-π}.
答案:C
5.若角α的终边在如图所示的阴影部分,则角α的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析:易知阴影部分的两条边界分别是的终边,故α的取值范围是.
答案:D
6.若圆的半径变为原来的,而弧长不变,则该弧所对的圆心角是原来的 倍.
解析:∵l=r·θ,∴θ=.
∵半径变为原来的,弧长不变,
∴圆心角变为θ'==2·=2θ.
答案:2
7.已知角α=kπ-,k∈Z,则角α的终边在第 象限.
解析:当k=2n,n∈Z时,α=2nπ-,
∴角α的终边与-角的终边相同.
又-角的终边在第三象限,
∴α的终边在第三象限;
当k=2n+1,n∈Z时,α=2nπ+,
∴角α的终边与角的终边相同.
又角的终边在第一象限,
∴α的终边在第一象限.
综上所述,角α的终边在第一或第三象限.
答案:一或第三
8.(2016·河北衡水中学期中)一个半径为R的扇形,它的周长为4R,则这个扇形的面积为 .
解析:设此扇形的弧长为l,
因为此扇形的半径为R,周长为4R,
所以2R+l=4R,所以l=2R.
所以这个扇形的面积S=lR=×2R×R=R2.
答案:R2
9.导学号08720004一圆内切于中心角为,半径为R的扇形,则该圆的面积与扇形的面积之比为 .
解析:设圆的半径为r,如图,在Rt△OO'C中,O'C=r,O'O=R-r,则=sin,即R=3r.
∴.
答案:
10.已知α=-800°.
(1)把α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限角;
(2)求角γ,使γ与角α的终边相同,且γ∈.
解:(1)∵-800°=-3×360°+280°,280°=,
∴α=+(-3)×2π.
∵角α与终边相同,∴角α是第四象限角.
(2)∵与角α终边相同的角可写为2kπ+,k∈Z的形式,而γ与α终边相同,∴γ=2kπ+,k∈Z.
又γ∈,
∴-<2kπ+,k∈Z,解得k=-1.
∴γ=-2π+=-.
11.扇形OAB的面积是1
cm2,它的周长是4
cm,求它的中心角和弦AB的长.
解:令的长度为l,OA=r,则l=4-2r.
∵S扇形=lr,∴(4-2r)r=1,
解得r=1,l=2.
令∠AOB的弧度数为α,
则α==2
rad.
如图,过O作OH⊥AB,则AB=2AH=2rsin
1=2sin
1.
∴扇形OAB的中心角为2弧度,弦AB的长为2sin
1
cm.
12.导学号08720005(2016·江苏苏州一中月考)如图,用一根长为10
m的绳索围成一个圆心角小于π且半径不超过3
m的扇形场地.设扇形的半径为x
m,面积为S
m2.
(1)写出S关于x的函数表达式,并求出该函数的定义域;
(2)当半径x和圆心角α分别是多少时,所围扇形场地的面积S最大 并求S的最大值.
解:(1)设扇形弧长为l
m,则l=10-2x,
所以S=lx=(5-x)x=-x2+5x.
由得x∈.
从而S=-x2+5x,x∈.
(2)S=-x2+5x=-.
因为,
从而当x=时,Smax=-+5×,
此时,l=5,圆心角α==2.
答:当扇形半径为
m,圆心角为2时,所围扇形场地的面积最大,最大面积为
m2.习题课——函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用
一、A组
1.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的振幅为,周期为,初相为,则该函数的表达式为( )
A.y=sin
B.y=sin
C.y=sin
D.y=sin
解析:由题意知A=,T=,φ=,∴ω=3,
∴y=sin.
答案:C
2.函数y=cos+1的一个对称中心为( )
A.
B.
C.
D.
解析:令2x-=kπ+,k∈Z,解得x=,k∈Z,
∴对称中心为,k∈Z.
当k=0时,对称中心为.
答案:D
3.若函数f(x)=2sin是偶函数,则φ的值可以是( )
A.
B.
C.
D.-
解析:由于f(x)是偶函数,
则f(x)图象关于y轴对称,
则f(0)=±2.
又当φ=时,f(0)=2sin=2,
则φ的值可以是.
答案:A
4.(2016·陕西渭南阶段性测试)下列函数中,图象的一部分如图所示的是( )
A.y=sin
B.y=sin
C.y=cos
D.y=cos
解析:∵点在函数图象上,
∴当x=时,函数的最大值为1.
对于A,当x=时,y=sin=sin,不符合题意;
对于B,当x=时,y=sin=0,不符合题意;
对于C,当x=时,y=cos=0,不符合题意;
对于D,当x=时,y=cos=1,而且当x=-时,y=cos=0,
函数图象恰好经过点,符合题意.故选D.
答案:D
5.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在一个周期内,当x=-时,取得最大值2,当x=时,取得最小值-2,则函数的解析式为( )
A.y=2sin
B.y=2sin
C.y=2sin
D.y=2sin
解析:由题意知A=2.
又由已知得T=2=π,
∴=π.∴ω=2.
∴y=2sin(2x+φ).
又图象过点,
∴sin=1.
∴-+φ=2kπ+,k∈Z.
∴φ=2kπ+,k∈Z.
∵0<φ<π,∴φ=.
∴所求解析式为y=2sin.
答案:B
6.使函数f(x)=3sin(2x+5θ)的图象关于y轴对称的θ= .
解析:∵函数f(x)=3sin(2x+5θ)的图象关于y轴对称,
∴函数f(x)为偶函数.
∴5θ=kπ+,k∈Z.
∴θ=,k∈Z.
答案:,k∈Z
7.函数y=sin的最小正周期是 ,振幅是 ,当x= 时,ymax= ,当x= 时,ymin= .
解析:周期T==4π,振幅A=.
当x-=2kπ+,k∈Z,即x=4kπ+,k∈Z时,ymax=;
当x-=2kπ-,k∈Z,即x=4kπ-,k∈Z时,ymin=-.
答案:4π 4kπ+(k∈Z) 4kπ-(k∈Z) -
8.导学号08720038关于函数f(x)=4sin,x∈R的说法如下:
①y=f(x)的解析式可改写为y=4cos;
②y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数;
③y=f(x)的图象关于点对称;
④y=f(x)的图象关于直线x=-对称.
其中正确的说法的序号是 .
解析:对①:∵f(x)=4sin
=4sin=4cos,故①正确;
对②:T==π,故②错误;
对③:f=0,故③正确;④错误.
答案:①③
9.(2016·江苏南京一中期末)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<2π)的部分图象如图所示,且f(0)=f.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)的解析式,并写出它的单调增区间.
解:(1)由题意知,函数图象的一条对称轴为x=,
则,即T=π.
所以函数的最小正周期是π.
(2)由题图可知,A=2,因为T=π,所以ω==2.
又f=-2,
所以2sin=-2,即sin=-1.
因此+φ=2kπ-,即φ=2kπ-,k∈Z.
因为0<φ<2π,所以φ=.
所以函数的解析式为f(x)=2sin.
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
解得kπ-≤x≤kπ-,k∈Z.
所以函数的单调增区间为,k∈Z.
10.(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:
ωx+φ
0
π
2π
x
Asin(ωx+φ)
0
5
-5
0
(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象,若y=g(x)图象的一个对称中心为,求θ的最小值.
解:(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-.
数据补全如下表:
ωx+φ
0
π
2π
x
Asin(ωx+φ)
0
5
0
-5
0
且函数表达式为f(x)=5sin.
(2)由(1)知f(x)=5sin,
得g(x)=5sin.
因为y=sin
x的对称中心为(kπ,0),k∈Z,
令2x+2θ-=kπ,解得x=-θ,k∈Z.
由于函数y=g(x)的图象关于点成中心对称,令-θ=,解得θ=,k∈Z.
由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值.
二、B组
1.函数y=2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )
A.2-
B.0
C.-1
D.-1-
解析:∵0≤x≤9,∴0≤x≤.
∴-x-,
即-x-.
当x-=-时,函数取得最小值为2sin=-;
当x-时,函数取得最大值为2sin=2.
故最大值与最小值之和为2-.
答案:A
2.(2016·山西太原高一期中)已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,则函数f(x)的图象( )
A.关于直线x=对称
B.关于直线x=对称
C.关于点对称
D.关于点对称
解析:由函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,可得=π,
求得ω=2,f(x)=sin.
由于当x=时,函数f(x)取得最大值为1,故函数f(x)的图象关于直线x=对称,故选B.
答案:B
3.已知点P是函数f(x)=sin(ωx+φ)+m
的图象的一个对称中心,且点P到该图象的对称轴的距离的最小值为,则( )
A.f(x)的最小正周期是π
B.f(x)的值域为[0,4]
C.f(x)的初相φ=
D.f(x)在区间上单调递增
解析:由题意知,且函数f(x)的最小正周期T=4×=2π,
所以ω==1.
将ω=1代入①,得φ=kπ+(k∈Z).
又|φ|<,所以φ=.
所以f(x)=sin+2.
所以函数f(x)的值域为[1,3],初相为,故排除A,B,C选项.
答案:D
4.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示,则ω= .
解析:由题意设函数周期为T,则,
故T=.
ω=.
答案:
5.已知函数f(x)=sin(φ为常数),有以下说法:
①不论φ取何值,函数f(x)的周期都是π;
②存在常数φ,使得函数f(x)是偶函数;
③函数f(x)在区间[π-2φ,3π-2φ]上是增函数;
④若φ<0,函数f(x)的图象可由函数y=sin的图象向右平移|2φ|个单位长度得到.
其中所有正确说法的序号是 .
解析:函数的周期T=4π,故①错误;
当φ=时,f(x)为偶函数,故②正确;
由-2φ+π≤x≤3π-2φ,得+φ≤,故③错误;
y=sin的图象向右平移|2φ|个单位长度后得到y=sin=sin的图象,故④正确.
答案:②④
6.若方程2sin-1=a在x∈上有两解,则a的取值范围是 .
解析:由题意2sin=a+1.
令y=2sin,y=a+1,
用五点作图法作出函数y=2sin上的图象如图.
显然要使y=a+1与图象有两个交点,
只须-2即-3答案:-37.(2016·湖北荆州中学期末)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)-b(ω>0,0<φ<π)的图象两条相邻对称轴之间的距离是,若将f(x)的图象先向右平移个单位,再向上平移个单位,则所得函数g(x)为奇函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)的单调递减区间和对称中心.
解:(1)由题意,得ω=2,
∴f(x)=sin(2x+φ)-b.
∴g(x)=sin-b+.
又g(x)为奇函数,0<φ<π,
∴φ=,b=.
∴f(x)=sin.
(2)令+2kπ<2x++2kπ(k∈Z),
得+kπ∴单调递减区间为(k∈Z).
令2x+=kπ(k∈Z),得x=,k∈Z.
故对称中心坐标为,k∈Z.
8.导学号08720039已知函数f(x)=2sin+a.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)的单调递减区间;
(3)若x∈时,f(x)的最小值为-2,求a的值.
解:(1)易知T==π.
(2)f(x)=2sin+a=2sin+a.
由2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).
所以f(x)的单调递减区间为
(k∈Z).
(3)由0≤x≤,得≤2x+,所以f(x)的最小值为-2+a=-2.
所以a=0.1.2.1.1 三角函数的定义
一、A组
1.tan的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析:tan=tan=tan
.
答案:B
2.(2016·山东乳山期末)已知sin
θ·tan
θ<0,则角θ是( )
A.第一或第二象限角
B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角
D.第一或第四象限角
解析:由sin
θ·tan
θ=<0,知sin
θ≠0,且cos
θ<0,所以θ为第二或第三象限角.故选B.
答案:B
3.已知角α的终边过点P(2sin
60°,-2cos
60°),则sin
α的值为( )
A.
B.
C.-
D.-
解析:∵sin
60°=,cos
60°=,
∴点P的坐标为(,-1),
∴sin
α==-.
答案:D
4.设角α是第二象限角,且=-cos,则角是
( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
解析:∵角α是第二象限角,∴为第一或第三象限角.
又=-cos,∴cos<0.
∴角是第三象限角.
答案:C
5.若420°角的终边上有一点P(4,a),则a的值为( )
A.4
B.-4
C.±4
D.
解析:∵420°=360°+60°,
∴tan
420°=tan
60°=,
∴,∴a=4.
答案:A
6.(2016·江西宜春第三中学期中)已知点P(x,-12)是角θ终边上一点且cos
θ=-,则x= .
解析:因为点P(x,-12)是角θ终边上一点,
所以cos
θ=
.
又cos
θ=-,所以=-,
解得x=-5.
答案:-5
7.使得lg(cos
αtan
α)有意义的角α是第 象限角.
解析:要使原式有意义,则cos
αtan
α>0,
即
∴α是第一或第二象限角.
答案:一或第二
8.sin
1-cos
2 0.(填“>”“<”或“=”)
解析:∵1
rad≈57.3°,2
rad≈114.6°,
∴1弧度角在第一象限,2弧度角在第二象限,
∴sin
1>0,cos
2<0.
∴sin
1-cos
2>0.
答案:>
9.计算下列各式的值:
(1)cos+sin
·tan
6π;
(2)sin
420°cos
750°+sin(-330°)cos(-660°).
解:(1)原式=cos+sin
·tan
0
=cos
+0=.
(2)原式=sin(360°+60°)·cos(720°+30°)+sin(-360°+30°)·cos(-720°+60°)
=sin
60°·cos
30°+sin
30°·cos
60°
==1.
10.已知=-,且lg
cos
α有意义.
(1)试判断角α的终边所在的象限;
(2)若角α的终边上一点M,且|OM|=1(O为坐标原点),求m的值及sin
α的值.
解:(1)由=-,可知sin
α<0.
由lg
cos
α有意义,可知cos
α>0,
∴角α的终边在第四象限.
(2)∵|OM|=1,
∴+m2=1,解得m=±.
又α是第四象限角,故m<0,从而m=-.
由正弦函数的定义可知
sin
α==-.
二、B组
1.在△ABC中,若sin
Acos
Btan
C<0,则△ABC是( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形或钝角三角形
解析:因为sin
A>0,所以cos
B,tan
C中一定有一个小于0,即B,C中一定有一个钝角,故△ABC是钝角三角形.
答案:C
2.已知α是第二象限角,角α的终边经过点P(x,4),且cos
α=,则tan
α的值为( )
A.
B.
C.-
D.-
解析:由α是第二象限角,得x<0.
∵cos
α=,∴x2=9.
∴x=-3,tan
α==-.
答案:D
3.(2016·黑龙江铁人中学期末)下面4个实数中,最小的数是( )
A.sin
1
B.sin
2
C.sin
3
D.sin
4
解析:因为0<1<<2<3<π<4<,
所以sin
1>0,sin
2>0,sin
3>0,sin
4<0,
所以最小的数是sin
4.
答案:D
4.(2016·安徽合肥一中期中)已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos
α≤0,sin
α>0,则a的取值范围是 .
解析:因为cos
α≤0,sin
α>0,
所以角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上,
所以解得-2答案:(-2,3]
5.若角α的终边与直线y=3x重合且sin
α<0,又P(m,n)是α终边上一点,且|OP|=,则m-n= .
解析:∵角α的终边与直线y=3x重合,且sin
α<0,
∴角α的终边落在第三象限,∴
又
∴m-n=-1+3=2.
答案:2
6.导学号08720007函数y=的值域是 .
解析:因为该函数的定义域是,
所以当x是第一象限角时,sin
x>0,cos
x>0,tan
x>0,y=1+1+1=3;
当x是第二象限角时,sin
x>0,cos
x<0,tan
x<0,y=1-1-1=-1;
当x是第三象限角时,sin
x<0,cos
x<0,tan
x>0,y=-1-1+1=-1;
当x是第四象限角时,sin
x<0,cos
x>0,tan
x<0,y=-1+1-1=-1.
综上,函数的值域是{-1,3}.
答案:{-1,3}
7.求下列各式的值:
(1)sin+tan;
(2)sin(-1
380°)cos
1
110°+tan
405°.
解:(1)原式=sin+tan
=sin+tan.
(2)原式=sin
(-4×360°+60°)cos(3×360°+30°)+tan(360°+45°)=sin
60°cos
30°+tan
45°
=+1=.
8.导学号08720008已知角α的终边在直线y=-3x上,求10sin
α+的值.
解:设角α的终边上任一点为P(k,-3k)(k≠0),
则x=k,y=-3k,r=|k|.
当k>0时,r=k,α是第四象限角,
sin
α==-,
,
所以10sin
α+=10×+3
=-3+3=0;
当k<0时,r=-k,α为第二象限角,
sin
α=,
=-,
所以10sin
α+=10×+3×(-)
=3-3=0.
综上,10sin
α+=0.1.1.1 任意角
一、A组
1.已知角α在平面直角坐标系中如图所示,其中射线OA与y轴正半轴的夹角为30°,则α的值为( )
A.-480°
B.-240°
C.150°
D.480°
解析:由角α按逆时针方向旋转,可知α为正角.
又旋转量为480°,∴α=480°.
答案:D
2.(2016·黑龙江哈尔滨第三十二中学期末)与610°角终边相同的角的集合为( )
A.{α|α=k·360°+230°,k∈Z}
B.{α|α=k·360°+250°,k∈Z}
C.{α|α=k·360°+70°,k∈Z}
D.{α|α=k·360°+270°,k∈Z}
解析:因为610°=360°+250°,所以250°角与610°角是终边相同的角,所以与610°角终边相同的角的集合是{α|α=k·360°+250°,k∈Z}.
答案:B
3.若角θ是第四象限角,则90°+θ是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
解析:如图,将θ的终边按逆时针方向旋转90°得90°+θ的终边,则90°+θ是第一象限角.
答案:A
4.终边与坐标轴重合的角的集合是( )
A.{α|α=k·360°,k∈Z}
B.{α|α=k·180°,k∈Z}
C.{α|α=k·90°,k∈Z}
D.{α|α=k·180°+90°,k∈Z}
解析:终边在x轴上的角的集合M={α|α=k·180°,k∈Z},终边在y轴上的角的集合P={α|α=k·180°+90°,k∈Z},则终边与坐标轴重合的角的集合S=M∪P={α|α=k·180°,k∈Z}∪{α|α=k·180°+90°,k∈Z}={α|α=2k·90°,k∈Z}∪{α|α=(2k+1)·90°,k∈Z}={α|α=n·90°,n∈Z}.
答案:C
5.集合A={α|α=k·360°+120°,k∈Z}中属于区间(-360°,360°)的角是 .
解析:令-360°则-又k∈Z,∴k=-1或0.
当k=-1时,α=-240°;
当k=0时,α=120°.
答案:-240°,120°
6.时针走了1小时15分钟,则分针转过的角度为 .
解析:∵分针按顺时针旋转,∴转过的角度为负值.
又每小时分针转360°,每分钟转6°,
∴1小时15分钟分针转过的角度为-360°-90°=-450°.
答案:-450°
7.已知α=750°,且θ与α终边相同,-360°≤θ≤360°,则θ的值为 .
解析:由已知θ=k·360°+750°,k∈Z,
∴-360°≤k·360°+750°≤360°,k∈Z,
解得-≤k≤-,k∈Z,
∴k=-2,-3.
∴θ的值为30°,-330°.
答案:30°,-330°
8.已知α=-1
910°.
(1)把α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;
(2)求θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.
解:(1)设α=β+k·360°(k∈Z),
则β=-1
910°-k·360°(k∈Z).
令-1
910°-k·360°≥0,
解得k≤-=-5.
k的最大整数解为k=-6,求出相应的β=250°,
于是α=250°-6×360°,它是第三象限角.
(2)令θ=250°+n·360°(n∈Z),
取n=-1,-2就得到符合-720°≤θ<0°的角.
250°-360°=-110°,250°-720°=-470°.
故θ=-110°或θ=-470°.
9.如图.
(1)分别写出终边落在OA,OB位置上的角的集合;
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
解:(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α=90°+45°+k·360°,k∈Z}={α|α=135°+k·360°,k∈Z}.
终边落在OB位置上的角的集合为{β|β=-30°+k·360°,k∈Z}.
(2)由题图可知,终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合是由大于或等于-30°而小于或等于135°范围内的所有与之终边相同的角组成的集合,故终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合为{γ|-30°+k·360°≤γ≤135°+k·360°,k∈Z}.
二、B组
1.(2016·河北邢台高一期末)-2
015°角的终边所在的象限为( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:∵-2
015°=-360°×6+145°,而90°<145°<180°,∴-2
015°角的终边所在的象限为第二象限.故选B.
答案:B
2.集合M=,P=,则M,P之间的关系为
( )
A.M=P
B.M P
C.M P
D.M∩P=
解析:对于集合M,x=±45°=,k∈Z,对于集合P,x=±90°=,k∈Z.
当k=2n(n∈Z)时,x=;
当k=2n+1(n∈Z)时,x=.
∴M P.
答案:B
3.若角α满足α=45°+k·180°,k∈Z,则角α的终边落在
( )
A.第一或第三象限
B.第一或第二象限
C.第二或第四象限
D.第三或第四象限
解析:当k=2n,n∈Z时,α=45°+n·360°,其终边落在第一象限;当k=2n+1,n∈Z时,α=225°+n·360°,其终边落在第三象限.故α的终边落在第一或第三象限.
答案:A
4.已知角α=k·180°-2
016°,k∈Z,则符合条件的最大负角为 .
解析:∵α<0°,∴k·180°-2
016°<0°,
∴k<=11.
又k∈Z,∴当k=11时,α取最大负角,11×180°-2
016°=-36°.
答案:-36°
5.若β是第四象限角,则180°-β是第 象限角.
解析:因为β是第四象限角,
所以k·360°-90°<β则-k·360°<-β<-k·360°+90°,k∈Z.
所以-k·360°+180°<180°-β<-k·360°+270°,k∈Z,
故180°-β是第三象限角.
答案:三
6.有一个小于360°的正角,这个角的6倍的终边与x轴的非负半轴重合,则这个角为 .
解析:设这个角为α,由题知,6α=k·360°,k∈Z,
∴α=k·60°,k∈Z.
又0°<α<360°,
∴0°∴0∴k=1,2,3,4,5.
对应的角α为60°,120°,180°,240°,300°.
答案:60°,120°,180°,240°,300°
7.在平面直角坐标系中,画出下列集合所表示的角的终边所在区域(用阴影表示).
(1){α|k·180°+30°<α(2){β|k·360°-45°<β解:(1)
(2)
8.(1)写出与下列各角终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式-360°≤α≤720°的元素α写出来:
①60°;②-21°.
(2)试写出终边在直线y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式-180°≤α<180°的元素α写出来.
解:(1)①S={α|α=60°+k·360°,k∈Z},
∵-360°≤α≤720°,∴k=-1,0,1.
对应的α为-300°,60°,420°.
②S={α|α=-21°+k·360°,k∈Z}.
∵-360°≤α≤720°,∴k=0,1,2.
对应的α为-21°,339°,699°.
(2)S={α|α=k·360°+60°,k∈Z}∪{α|α=k·360°+240°,k∈Z}={α|α=k·180°+60°,k∈Z}.
∵-180°≤α<180°,∴k=-1,0,对应的α为-120°,60°.1.6
三角函数模型的简单应用
1.如图所示是一个简谐运动的图象,则下列判断正确的是
( )
A.该质点的振动周期为0.7
s
B.该质点的振幅为-5
cm
C.该质点在0.1
s和0.5
s时的振动速度最大
D.该质点在0.3
s和0.7
s时的位移为零
解析:由题中图象及简谐运动的有关知识知,T=0.8
s,A=5
cm.当t=0.1
s或0.5
s时,v为零.
答案:D
2.函数y=cos
x·|tan
x|的大致图象是
( )
解析:当-x;当0x;x=0时,y=0.象为选项C.
答案:C
3.如图,为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针针尖位置P(x,y),若初始位置为P0,当秒针从P0(注:此时t=0)正常开始走时,那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为( )
A.y=sin
B.y=sin
C.y=sin
D.y=sin
解析:设y=sin(ωt+φ),其中ω<0.
由=60,得|ω|=,∴ω=-.
∴y=sin.
又t=0时,y=,∴φ=.
∴y=sin.
答案:C
4.动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周.已知时间t=0时,点A的坐标是,则当0≤t≤12时,动点A的纵坐标y关于t(单位:秒)的函数的单调递增区间是( )
A.[0,1]
B.[1,7]
C.[7,12]
D.[0,1]和[7,12]
解析:由已知可得该函数的周期为T=12,ω=.
又当t=0时,A,
∴y=sin,t∈[0,12],可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12].
答案:D
5.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+b的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,根据以上条件可确定f(x)的解析式为( )
A.f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N
)
B.f(x)=9sin(1≤x≤12,x∈N
)
C.f(x)=2sin
x+7(1≤x≤12,x∈N
)
D.f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N
)
解析:令x=3,可排除D;令x=7,可排除B;
由A==2,可排除C;
由题意,可得A==2,b=7,周期T==2×(7-3)=8,∴ω=.于是f(x)=2sin+7,再代入点(3,9),结合φ的范围可求得φ=-.
答案:A
6.单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系为s=3sin,那么单摆来回摆动的振幅和一次所需的时间分别为 .
解析:由题意知,单摆来回摆动的振幅A=3(cm),来回摆动一次的时间T==4(s).
答案:3
cm,4
s
7.电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I=5sin,则当t=
s时,电流I为
A.
解析:当t=
s时,I=5sin
=5sin=5cos.
答案:
8.若函数f(x)=sin
x+2|sin
x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且只有两个不同的交点,则k的取值范围是 .
解析:当x∈[0,π]时,sin
x≥0,f(x)=3sin
x;当x∈(π,2π]时,sin
x≤0,f(x)=-sin
x,
故函数f(x)的图象如下.
若f(x)的图象与直线y=k有且只有两个不同的交点,则k∈(1,3).
答案:(1,3)
9.如图,弹簧上挂的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的距离s(cm)随时间t(s)的变化曲线是一个三角函数的图象.
(1)经过多长时间,小球往复振动一次
(2)求这条曲线的函数解析式;
(3)小球在开始振动时,离开平衡位置的位移是多少
解:(1)由题中图象可知,周期T=2=π,
所以小球往复振动一次所需要的时间为π≈3.14(s).
(2)可设该曲线的函数解析式为s=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,0≤φ<2π),t∈[0,+∞),
从图象中可以看出A=4,T=2×=π.
则=π,即ω=2,将t=,s=4代入解析式,得sin=1,解得φ=.
所以这条曲线的函数解析式为s=4sin,t∈[0,+∞).
(3)当t=0时,s=4sin
=2(cm),故小球在开始振动时,离开平衡位置的位移是2
cm.
10.已知某地一天从4时~16时的温度变化曲线近似满足函数y=10sin+20,x∈[4,16].
(1)求该地区这一段时间内的温差;
(2)若有一种细菌在15
℃到25
℃之间可以生存,那么在这段时间内,该细菌能生存多长时间
解:(1)由函数易知,当x=14时函数取最大值,此时最高温度为30
℃;当x=6时函数取最小值,此时最低温度为10
℃,所以温差为30-10=20(℃).
(2)∵4≤x≤16,
∴x-,
令15≤10sin+20≤25,
∴-≤sin.
∴-x-.
∴≤x≤.
∴该细菌的存活时间为(时).1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)
一、A组
1.函数f(x)=-2sin的最小正周期为( )
A.6
B.2π
C.π
D.2
解析:T==2.
答案:D
2.下列函数中,周期为的是( )
A.y=sin
B.y=sin
2x
C.y=cos
D.y=cos(-4x)
解析:对D,y=cos(-4x)=cos
4x,
∴T=,故选D.
答案:D
3.(2016·四川遂宁射洪中学月考)设函数f(x)=sin,x∈R,则f(x)是( )
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为的奇函数
D.最小正周期为的偶函数
解析:因为f(x)=sin=-cos
2x,
所以f(-x)=-cos
2(-x)=-cos
2x=f(x),
所以f(x)是最小正周期为π的偶函数.
答案:B
4.已知函数f(x)=sin,g(x)=sin的最小正周期分别为T1,T2,则sin(T1+T2)=( )
A.-
B.-
C.
D.
解析:由已知T1=,T2=,
∴sin(T1+T2)=sin
=sin=-sin=-.
答案:B
5.(2016·浙江金华一中月考)设f(x)是定义域为R且最小正周期为2π的函数,且有f(x)=则f=( )
A.
B.-
C.0
D.1
解析:因为f(x)是定义域为R且最小正周期为2π的函数,所以f=f=f.
又因为0≤≤π,
所以f=f=sin.
答案:A
6.函数y=4sin(2x+π)的图象关于 对称.
解析:y=4sin(2x+π)=-4sin
2x,易证函数为奇函数,所以其图象关于原点对称.
答案:原点
7.函数y=sin(ω>0)的最小正周期为π,则ω= .
解析:∵y=sin的最小正周期为T=,
∴,∴ω=3.
答案:3
8.若f(x)(x∈R)为奇函数,且f(x+2)=f(x),则f(4)= .
解析:∵f(x+2)=f(x),∴f(x)的周期为T=2.
∴f(4)=f(0).
又f(x)(x∈R)为奇函数,
∴f(0)=0.∴f(4)=0.
答案:0
9.判断函数f(x)=cos(2π-x)-x3sinx的奇偶性.
解:因为f(x)=cos(2π-x)-x3sinx=cos
x-x3sinx的定义域为R,f(-x)=cos(-x)-(-x)3sin(-x)=cos
x-x3sinx=f(x),所以f(x)为偶函数.
10.若函数f(x)是以为周期的偶函数,且f=1,求f的值.
解:∵f(x)的周期为,且为偶函数,
∴f=f
=f=f.
而f=f=f=f=1,
∴f=1.
二、B组
1.下列是定义在R上的四个函数图象的一部分,其中不是周期函数的是( )
解析:显然D中函数图象不是经过相同单位长度图象重复出现.而A,C中每经过一个单位长度,图象重复出现.B中图象每经过2个单位,图象重复出现.所以A,B,C中函数是周期函数,D中函数不是周期函数.
答案:D
2.函数y=cos(k>0)的最小正周期不大于2,则正整数k的最小值应是( )
A.10
B.11
C.12
D.13
解析:∵T=≤2,∴k≥4π.
又k∈Z,∴正整数k的最小值为13.
答案:D
3.将函数y=sin
x的图象向左平移个单位,得到函数y=f(x)的图象,则下列说法正确的是( )
A.y=f(x)是奇函数
B.y=f(x)的周期为π
C.y=f(x)的图象关于直线x=对称
D.y=f(x)的图象关于点对称
解析:y=sin
x的图象向左平移个单位,得y=f(x)=sin=cos
x的图象,所以f(x)是偶函数,A不正确;f(x)的周期为2π,B不正确;f(x)的图象关于直线x=kπ(k∈Z)对称,C不正确;f(x)的图象关于点(k∈Z)对称,当k=-1时,点为,故D正确.综上可知选D.
答案:D
4.若函数f(x)是以π为周期的奇函数,且当x∈时,f(x)=cos
x,则f=( )
A.
B.
C.-
D.-
解析:∵f(x)的最小正周期是π,
∴f=f=f.
又f(x)是奇函数,
∴f=-f=-cos=-.
答案:C
5.导学号08720026定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2),当x∈[3,4]时,f(x)=x-2,则有下面三个式子:
①f1)1).其中一定成立的是 .(填序号)
解析:当0≤x≤1时,3≤-x+4≤4,f(-x+4)=-x+4-2=-x+2,
∴f[-(x-4)]=f(x-4)=f(x)=-x+2,
∴f(x)在[0,1]上是减函数.
∵1>sin>cos>0,1>sin
1>cos
1>0,1>cos>sin>0,∴f1)1),f>f.
答案:②③
6.已知函数y=sin
x+|sin
x|.
(1)画出这个函数的简图;
(2)这个函数是周期函数吗 如果是,求出它的最小正周期.
解:(1)y=sin
x+|sin
x|
=
函数图象如图所示.
(2)由图象知该函数是周期函数,其图象每隔2π重复一次,故函数的最小正周期是2π.
7.导学号08720027定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈时,f(x)=sin
x.
(1)求当x∈[-π,0]时,f(x)的解析式;
(2)画出函数f(x)在[-π,π]上的简图;
(3)求当f(x)≥时x的取值范围.
解:(1)∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x).
∵当x∈时,f(x)=sin
x,
∴当x∈时,f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sin
x.
又当x∈时,x+π∈,
f(x)的周期为π,∴f(x)=f(π+x)=sin(π+x)=-sin
x.∴当x∈[-π,0]时,f(x)=-sin
x.
(2)如图.
(3)∵在[0,π]内,当f(x)=时,x=,
∴在[0,π]内,f(x)≥时,x∈.
又f(x)的周期为π,
∴当f(x)≥时,x∈,k∈Z.1.4.3 正切函数的性质与图象
一、A组
1.当x∈时,函数y=tan
|x|的图象( )
A.关于原点对称
B.关于y轴对称
C.关于x轴对称
D.没有对称轴
解析:∵x∈,f(-x)=tan
|-x|=tan
|x|=f(x),∴f(x)为偶函数,即y=tan
|x|的图象关于y轴对称.
答案:B
2.(2016·河北衡水二中月考)函数f(x)=tan的单调递减区间为( )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.(kπ,(k+1)π),k∈Z
解析:因为f(x)=tan=-tan,
所以原函数的单调递减区间就是函数y=tan的单调递增区间.
故kπ-≤x-≤kπ+,k∈Z,kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.所以原函数的单调递减区间是,k∈Z.
答案:B
3.函数f(x)=tan
ax(a>0)的图象的相邻两支截直线y=所得线段长为2,则a的值为( )
A.
B.
C.π
D.1
解析:由已知得f(x)的周期为2,∴=2.∴a=.
答案:A
4.函数f(x)=的奇偶性是( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
解析:f(x)的定义域为,
∴f(-x)==-f(x).
∴f(x)是奇函数.
答案:A
5.下列图形分别是①y=|tan
x|;②y=tan
x;③y=tan(-x);④y=tan
|x|在x∈内的大致图象,那么由a到d对应的函数关系式应是( )
A.①②③④
B.①③④②
C.③②④①
D.①②④③
解析:y=tan(-x)=-tan
x在上是减函数,只有图象d符合,即d对应③.
答案:D
6.已知函数y=3tan的最小正周期是,则ω= .
解析:由题意知,T=,∴ω=±2.
答案:±2
7.函数y=3tan的对称中心的坐标是 .
解析:由x+,k∈Z,得x=,k∈Z,
即对称中心坐标是(k∈Z).
答案:(k∈Z)
8.满足tan≥-的x的集合是 .
解析:把x+看作一个整体,利用正切函数的图象可得kπ-≤x+答案:
9.求函数y=tan的定义域、值域,并指出它的周期性、奇偶性、单调性.
解:由4x-≠kπ+,得x≠,
∴所求定义域为,值域为R,周期T=.
又f没有意义,
f=tan=0,
∴f(x)是非奇非偶函数.
令-+kπ<4x-+kπ,k∈Z,
解得∴f(x)的单调递增区间是(k∈Z),不存在单调递减区间.
10.已知函数f(x)=2tan(ω>0),y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于2π,求f(x)的单调递增区间.
解:由题意知,函数f(x)的周期为2π,
则=2π,由于ω>0,故ω=.
所以f(x)=2tan.
再由kπ-x+得2kπ-即函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
11.导学号08720032求函数y=-tan2x+4tan
x+1,x∈的值域.
解:∵-≤x≤,∴-1≤tan
x≤1.
令tan
x=t,则t∈[-1,1].
∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5.
∴当t=-1,即x=-时,ymin=-4,
当t=1,即x=时,ymax=4.
故所求函数的值域为[-4,4].
二、B组
1.函数y=的定义域为( )
A.
B.
C.
D.
解析:由题意知
即
得故x≠(k∈Z).
答案:A
2.函数f(x)=tan与函数g(x)=sin的最小正周期相同,则ω=( )
A.±1
B.1
C.±2
D.2
解析:∵函数g(x)的周期为=π,
∴=π,∴ω=±1.
答案:A
3.设a=lotan
70°,b=losin
25°,c=,则有( )
A.aB.bC.cD.a解析:∵tan
70°>tan
45°=1,∴a=lotan
70°<0.
又∵025°30°=,
∴b=losin
25°>lo=1.
而c=∈(0,1),∴b>c>a.
答案:D
4.已知函数y=tan
ωx在内是减函数,则ω的取值范围为 .
解析:由题意可知ω<0,又.
故-1≤ω<0.
答案:-1≤ω<0
5.已知y=2tan(ωx+φ)的部分图象如图所示,则ω= ,φ= .
解析:由题图可知,当x=时,y=2,
即2tan=2,tan=1,
即ω+φ=kπ+(k∈Z).
①
又直线x=为它的一条渐近线,
∴ω+φ=kπ+(k∈Z),
②
而ω>0,|φ|<,由①②可得
答案:2 -
6.方程-tan
x=0在x∈内的根的个数为 .
解析:分别画出y=与y=tan
x在x∈内的图象,如图.
易知y=与y=tan
x在相应区间内有2个交点,原方程有2个根.
答案:2
7.函数f(x)=tan(3x+φ)图象的一个对称中心是,其中0<φ<,试求函数f(x)的单调区间.
解:由于函数y=tan
x的对称中心为,其中k∈Z,
则+φ=,即φ=.
由于0<φ<,所以当k=2时,φ=.
故函数解析式为f(x)=tan.
由于正切函数y=tan
x在区间(k∈Z)上为增函数,则令kπ-<3x+解得故函数的单调增区间为,k∈Z.
没有单调减区间.
8.导学号08720033设函数f(x)=tan.
(1)求函数f(x)的定义域、周期和单调区间;
(2)求不等式-1≤f(x)≤的解集;
(3)作出函数y=f(x)在一个周期内的简图.
解:(1)由+kπ(k∈Z),得x≠+2kπ,
∴f(x)的定义域是.
∵ω=,∴周期T==2π.
由-+kπ<+kπ(k∈Z),
得-+2kπ∴函数f(x)的单调递增区间是
(k∈Z).
(2)由-1≤tan,
得-+kπ≤+kπ(k∈Z),
解得+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z).
∴不等式-1≤f(x)≤的解集是.
(3)令=0,则x=.
令,则x=.
令=-,则x=-.
∴函数y=tan的图象与x轴的一个交点坐标是,在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x=-,x=.从而得函数y=f(x)在区间内的简图(如图所示).1.3.2 诱导公式（2）
一、A组
1.已知sin(π-α)=,则cos等于( )
A.
B.
C.-
D.-
解析:∵sin(π-α)=,∴sin
α=.
∴cos=-sin
α=-.
答案:C
2.若α∈,则=( )
A.sin
α
B.-sin
α
C.cos
α
D.-cos
α
解析:∵α∈,∴sin
α<0,
∴=-sin
α.
答案:B
3.若sin>0,cos>0,则角α的终边位于
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:∵sin>0,cos>0,
∴cos
α>0,sin
α<0.∴角α的终边在第四象限.
答案:D
4.sin(π-2)-cos化简的结果是( )
A.0
B.-1
C.2sin
2
D.-2sin
2
解析:sin(π-2)-cos=sin
2-sin
2=0.
答案:A
5.=( )
A.-cos
α
B.cos
α
C.sin
α
D.-sin
α
解析:原式=
=
=-cos
α.
答案:A
6.求值:sin2+sin2= .
解析:∵-α++α=,
∴sin2=sin2=cos2.
∴sin2+sin2
=sin2+cos2=1.
答案:1
7.若α是三角形内角,且sin=-sin,则α= .
解析:∵sin=-sin,∴cos
α=-.
∵0<α<π,∴α=.
答案:
8.若sin,则cos2= .
解析:sin=cos
θ=,则cos2=sin2θ=1-cos2θ=1-.
答案:
9.已知sin,求cossin的值.
解:cossin
=cossin
=sinsin.
10.已知f(α)=.
(1)证明:f(α)=sin
α.
(2)若f=-,且α是第二象限角,求tan
α.
(1)证明:因为f(α)=
=
==sin
α.
(2)解:由sin=-,得cos
α=-.
又α是第二象限角,所以sin
α=,
则tan
α==-.
二、B组
1.若sin(3π+α)=-,则cos等于( )
A.-
B.
C.
D.-
解析:∵sin(3π+α)=sin(π+α)=-sin
α=-,
∴sin
α=.
∴cos=cos
=cos=-sin
α=-.
答案:A
2.A,B,C为△ABC的三个内角,下列关系式中不成立的是
( )
①cos(A+B)=cos
C ②cos=sin
③tan(A+B)=-tan
C ④sin(2A+B+C)=sin
A
A.①②
B.③④
C.①④
D.②③
解析:因为cos(A+B)=-cos
C,所以①错;
cos=cos=sin,所以②正确;
tan(A+B)=tan(π-C)=-tan
C,所以③正确;
sin(2A+B+C)=sin(π+A)=-sin
A,所以④错,故选C.
答案:C
3.若sin(180°+α)+cos(90°+α)=-a,则cos(270°-α)+2sin(360°-α)的值为( )
A.-
B.-
C.
D.
解析:由已知得,-sin
α-sin
α=-a,即sin
α=.
故cos(270°-α)+2sin(360°-α)
=-sin
α-2sin
α=-3sin
α=-a.
答案:B
4.已知sin
α是方程5x2-7x-6=0的根,α是第三象限角,则= .
解析:由已知得sin
α=-.
因为α是第三象限角,
所以cos
α=-,tan
α=.
所以原式=.
答案:
5.sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°= .
解析:sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin245°+cos244°+…+cos21°=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+…+(sin244°+cos244°)+sin245°=44+.
答案:
6.导学号08720020已知α是第二象限角,若cos=-,则是第 象限角.
解析:∵cos=-=-
=-=-,∴cos<0.
又α为第二象限角,
∴为第一或第三象限角,
∴必为第三象限角.
答案:三
7.已知α是三角形的内角,且sin
α+cos
α=.
(1)求tan
α的值;
(2)求的值.
解:(1)由
故tan
α=-.
(2)原式==tan
α=-.
8.导学号08720021若.
(1)求tan(x+π)的值;
(2)求的值.
解:(1)∵
=,
∴10(sin
x-cos
x)=3sin
x+4cos
x,
即sin
x=2cos
x,∴tan
x=2.
∴tan(x+π)=tan
x=2.
(2)∵sin2x+cos2x=1,
∴原式=
==-.1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
一、A组
1.下列函数图象相同的是( )
A.y=sin
x与y=sin(x+π)
B.y=cos
x与y=sin
C.y=sin
x与y=sin(-x)
D.y=-sin(2π+x)与y=sin
x
解析:由诱导公式易知y=sin=cos
x,故选B.
答案:B
2.y=1+sin
x,x∈[0,2π]的图象与直线y=2交点的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:作出y=1+sin
x在[0,2π]上的图象,可知只有一个交点.
答案:B
3.函数y=sin(-x),x∈[0,2π]的简图是( )
解析:y=sin(-x)=-sin
x,x∈[0,2π]的图象可看作是由y=sin
x,x∈[0,2π]的图象关于x轴对称得到的,故选B.
答案:B
4.已知cos
x=-,且x∈[0,2π],则角x等于( )
A.
B.
C.
D.
解析:如图:
由图象可知,x=.
答案:A
5.当x∈[0,2π]时,满足sin≥-的x的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析:由sin≥-,得cos
x≥-.
画出y=cos
x,x∈[0,2π],y=-的图象,如图所示.
∵cos=cos=-,
∴当x∈[0,2π]时,由cos
x≥-,
可得x∈.
答案:C
6.函数y=2sin
x与函数y=x图象的交点有 个.
解析:在同一坐标系中作出函数y=2sin
x与y=x的图象可见有3个交点.
答案:3
7.利用余弦曲线,写出满足cos
x>0,x∈[0,2π]的x的区间是 .
解析:画出y=cos
x,x∈[0,2π]上的图象如图所示.
cos
x>0的区间为.
答案:
8.下列函数的图象:①y=sin
x-1;②y=|sin
x|;③y=-cos
x;④y=;⑤y=.其中与函数y=sin
x图象形状完全相同的是 .(填序号)
解析:y=sin
x-1的图象是将y=sin
x的图象向下平移1个单位,没改变形状,y=-cos
x的图象是作了对称变换,没改变形状,与y=sin
x的图象形状相同,∴①③完全相同.而②y=|sin
x|的图象,④y==|cos
x|的图象和⑤y==|sin
x|的图象与y=sin
x的图象形状不相同.
答案:①③
9.若函数y=2cos
x(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,求这个封闭图形的面积.
解:观察图可知:图形S1与S2,S3与S4是两个对称图形,有S1=S2,S3=S4,因此函数y=2cos
x的图象与直线y=2所围成的图形面积可以转化为求矩形OABC的面积.
因为|OA|=2,|OC|=2π,所以S矩形OABC=2×2π=4π.故所求封闭图形的面积为4π.
10.作出函数y=-sin
x,x∈[-π,π]的简图,并回答下列问题.
(1)观察函数图象,写出满足下列条件的x的区间:
①y>0;②y<0.
(2)直线y=与函数y=-sin
x,x∈[-π,π]的图象有几个交点
解:列表:
x
-π
-
0
π
sin
x
0
-1
0
1
0
-sin
x
0
1
0
-1
0
描点作图:
(1)根据图象可知,①当y>0时,x∈(-π,0);
②当y<0时,x∈(0,π).
(2)在简图上作出直线y=,由图可知有两个交点.
二、B组
1.函数f(x)=-cos
x在[0,+∞)内( )
A.没有零点
B.有且仅有一个零点
C.有且仅有两个零点
D.有无穷多个零点
解析:数形结合法,令f(x)=-cos
x=0,则=cos
x.
设函数y=和y=cos
x,它们在[0,+∞)上的图象如图所示,显然两函数图象的交点有且只有一个,所以函数f(x)=-cos
x在[0,+∞)内有且仅有一个零点.
答案:B
2.已知f(x)=sin,g(x)=cos,则f(x)的图象( )
A.与g(x)的图象相同
B.与g(x)的图象关于y轴对称
C.向左平移个单位,得g(x)的图象
D.向右平移个单位,得g(x)的图象
解析:∵f(x)=sin=cos
x,
g(x)=cos=sin
x,
∴f(x)的图象向右平移个单位,得g(x)的图象.
由y=sin
x和y=cos
x的图象知,A,B,C都错,D正确.
答案:D
3.在(0,2π)内,使sin
x>cos
x成立的x的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析:如图所示(阴影部分)时满足sin
x>cos
x.
答案:C
4.在[0,2π]内,不等式sin
x<-的解集是 .
解析:画出y=sin
x,x∈[0,2π]的草图如下:
因为sin,
所以sin=-,sin=-.
即在[0,2π]内,满足sin
x=-的是x=或x=.
可知不等式sin
x<-的解集是.
答案:
5.(2016·河南南阳一中期末)函数y=的定义域是 .
解析:由题意,得
∴
∴2kπ+≤x≤2kπ+π,k∈Z.
故函数y=的定义域为,k∈Z.
答案:,k∈Z
6.利用正弦曲线,写出函数y=2sin
x的值域是 .
解析:y=2sin
x的部分图象如图.
当x=时,ymax=2,
当x=时,ymin=1,
故y∈[1,2].
答案:[1,2]
7.画出正弦函数y=sin
x(x∈R)的简图,并根据图象写出:
(1)y≥时x的集合;
(2)-≤y≤时x的集合.
解:(1)画出y=sin
x的图象,如图,直线y=在[0,2π]上与正弦曲线交于两点,在[0,2π]区间内,y≥时x的集合为.当x∈R时,若y≥,则x的集合为.
(2)过两点分别作x轴的平行线,从图象可看出它们分别与正弦曲线交于点(k∈Z),(k∈Z)和点(k∈Z),(k∈Z),那么曲线上夹在对应两点之间的点的横坐标的集合即为所求,故当-≤y≤时x的集合为
.
8.作出函数y=2+sin
x,x∈[0,2π]的简图,并回答下列问题:
(1)观察函数图象,写出y的取值范围;
(2)若函数图象与y=在x∈[0,π]上有两个交点,求a的取值范围.
解:列表:
x
0
π
2π
sin
x
0
1
0
-1
0
2+sin
x
2
3
2
1
2
描点、连线,如图.
(1)由图知,y∈[1,3].
(2)由图知,当2≤<3时,函数图象与y=在[0,π]上有两个交点,即-5故a的取值范围是(-5,-3].1.2.1.2 三角函数线
1.已知角α的正弦线是单位长度的有向线段,则角α的终边
( )
A.在x轴上
B.在y轴上
C.在直线y=x上
D.在直线y=x或y=-x上
解析:∵角α的正弦线是单位长度的有向线段,∴sin
α=±1.∴角α的终边在y轴上.
答案:B
2.(2016·江苏苏州五中期中)角α的正弦线、余弦线和正切线的数量分别为a,b,c,如果<α<,那么a,b,c的大小关系为( )
A.a>b>c
B.b>c>a
C.c>b>a
D.a>c>b
解析:作出角α的正弦线MP,余弦线OM,正切线AT.
∵<α<,∴|OM|<|MP|<|AT|,且有向线段OM,MP的方向与坐标轴负方向相同,切线AT与y轴正方向相同.∴tan
α>cos
α>sin
α,即c>b>a.
答案:C
3.若α是三角形的内角,且sin
α+cos
α=,则这个三角形是( )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
解析:当0<α≤时,由单位圆中的三角函数线知,sin
α+cos
α≥1,而sin
α+cos
α=,故α必为钝角.
答案:D
4.设a=sin(-1),b=cos(-1),c=tan(-1),则有( )
A.aB.bC.cD.a解析:如图作出角α=-1
rad的正弦线、余弦线及正切线,显然b=cos(-1)=OM>0,c=tan(-1)=AT答案:C
5.已知cos
α≤sin
α,那么角α的终边落在第一象限内的范围是( )
A.
B.
C.,k∈Z
D.,k∈Z
解析:如图,由余弦线长度|OM|不大于正弦线长度|MP|可知,角α的终边落在图中的阴影区域,故选C.
答案:C
6.如图,在平面直角坐标系xOy中,角α的终边与单位圆相交于点A.若点A的纵坐标为,则cos
α= .
解析:由题图知,α是第二象限角.
∵点A的纵坐标为,∴横坐标为-,
∴cos
α=x=-.
答案:-
7.函数y=的定义域是 .
解析:∵2cos
x-≥0,∴cos
x≥,如图.
∴函数的定义域为(k∈Z).
答案:(k∈Z)
8.导学号08720010设a=sin,b=cos,c=tan,则a,b,c的大小顺序为 (按从小到大的顺序排列).
解析:如图,在单位圆O中分别作出角的正弦线M1P1、角的正弦线M2P2,余弦线OM2、正切线AT.
由=π-知M1P1=M2P2.
又,易知AT>M2P2>OM2,
∴cos答案:b9.比较大小:
(1)sin与sin; (2)tan与tan.
解:如图,作出对应的正弦线、正切线分别为AB和EF.
作出对应的正弦线、正切线分别为CD和EG.
由图可知:|AB|>|CD|,|EF|>|EG|.
又tan与tan均取负值,
故(1)sin>sin;(2)tan10.导学号08720011利用三角函数线写出满足下列条件的角x的集合.
(1)sin
x>-,且cos
x>;
(2)tan
x≥-1.
解:(1)由图①知,当sin
x>-,且cos
x>时,角x的集合为.
图①
图②
(2)由图②知,当tan
x≥-1时,角x的集合为
,即.