2.2.3二次函数的图像与性质
一、教学目标
1.经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的作法和性质的过程.
2.体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性.
3.能够作出y=a（x-h）2和y=a（x-h）2+k的图象，并能理解它与y=ax2的图象的关系.理解a，h和k对二次函数图象的影响.
4.能够正确说出y=a（x-h）2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
二、课时安排
1课时
三、教学重点
能够作出y=a（x-h）2和y=a（x-h）2+k的图象，并能理解它与y=ax2的图象的关系.理解a，h和k对二次函数图象的影响.
四、教学难点
正确说出y=a（x-h）2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
五、教学过程
（一）导入新课
1.函数
的图象的顶点坐标是
；开口方向是
；最
值是
.
2.函数y=-2x2+3的图象可由函数
的图象向
平移
个单位得到.
3.把函数y=-3x2的图象向下平移2个单位可得到函数__________的图象.
（二）讲授新课
探究一：在同一坐标系中画出下列函数的图象：
思考：它们的图象之间有什么关系？
明确：的图像向上平移两个单位得到的图像，向左平移一个单元得到。
函数y=ax2与y=a(x-h)2的图象关系：
的图像向右平移h（h﹥0）个单位(向左平移︱h︱（h﹤0）个单位)
函数y=a（x-h）2的图象，
探究二：画出二次函数y=3（x-1）2+2的图象，并与二次函数y=3x2的图象进行比较，说明它们之间的关系.
明确：的图像向上平移两个单位得到的图像，向右平移一个单元得到y=3（x-1）2+2。
（三）探究归纳
平移规律：的图像向上（下）平移k个单位得到；的图像向右（左）平移k个单位得到；的图像向上平移k个单位得到；的图像向上（下）平移k个单位再向左（右）平移h个单位得到；
（四）归纳小结
1.y=a(x-h)2+k的图象的特征.
y=a(x-h)2+k
开口方向
对称轴
顶点坐标
a＞0
a＜0
2.y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系.
（五）随堂检测
1.（无锡·中考）下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点(0，1)的是(
).
A.y=(x－2)2+1
B.y=(x+2)2+1
C.y=(x－2)2－3
D.y=(x+2)2－3
2．（西宁·中考）将抛物线向左平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为
_______________.
3．（襄樊·中考）将抛物线
先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的表达式为____________．
4．（宁夏·中考）把抛物线
向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为（
）
A.
B.
C.
D.
5．（荆州·中考）若把函数y=x的图象用E（x，x）记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，…,则
E（x，）可以由E（x,）怎样平移得到？
（
）
A.向上平移１个单位
B.向下平移１个单位
C.向左平移１个单位
D.向右平移１个单位
【答案】
1.选C.根据以直线x=2为对称轴可知选项A，C符合，再根据图象经过点(0，1)知选项C符合.
2.
3.
或
4.
选B
5.
选D.
六．板书设计
2.2.3二次函数的图像与性质
七、作业布置
课本P38练习1、2
练习册相关练习
八、教学反思
o
y
x
o
y
x2.2.2二次函数图像与性质
一、教学目标
1．使学生会用描点法画二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象．
2．使学生能根据图象认识和理解二次函数的性质，说出二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标．
二、课时安排
1课时
三、教学重点
会用描点法画二次函数y=ax2+c的图象，掌握它的性质．
四、教学难点
渗透数形结合思想．
五、教学过程
（一）导入新课
函数y=x 和y=-x 的图象
函数
图像形状
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=x
y=-x
明确：
（二）讲授新课
探究一
在下列平面直角坐标系中，作出y=2x2的图象
x
-2
-1
0
1
2
y=2x2
8
2
0
2
8
问题：它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
在下列平面直角坐标系中，
作出y=-x 及y=-2x 的图象
探究二、3x 及y=-3x 的图象会有哪些特点？
函
数
y=3x
y=-3x
探究三、y=ax2（a≠0）的图象有哪些特征？
探究四、二次函数y=2x2+1、y=2x2-1与二次函数y=2x2的图象有什么相同与不同？
动手验证一下你的想法.
探究五、二次函数y=-3x2+,
y=-3x2-
的图象与二次函数y=-3x2
的图象有什么关系？
明确：二次函数y=-3x2+
由二次函数y=-3x2的图象向上平移（
）个单位
二次函数y=-3x2-
由二次函数y=-3x2的图象向下平移（
）个单位
探究六、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与y=ax2+c（a≠0）的图象有什么异同？
函数关系式
图象
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=ax2
y=ax2+c
（三）探究归纳
y=ax2+c的图象是由
y=ax2的图象上下平移得到的
当c>0
时，向上平移c个单位;
当c<0
时，向下平移︱c︱个单位.
（四）归纳小结
1.y=ax2(a≠0)的图象的特征
(1)y=ax2的图象是一条抛物线.
(2)其顶点坐标是（0，0）.
(3)对称轴是y轴（也可写作直线x=0）.
(4)当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下.
随着︱a︱的增大，开口将越来越小.
2.二次函数y=ax2的图象与y=ax2+c(a≠0)的图象的关系
y=ax2+c是由
y=ax2的图象上下平移得到的
当c>0
时，向上平移c个单位;
当c<0
时，向下平移︱c︱个单位.
（五）随堂检测
1.（乐山·中考）将抛物线y=-x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（
）.
A.
B.
C.
D.
2．（济南·中考）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点的个数是（
）
A．3
B．2
C．1
D．0
3．坐标平面上有一函数y=24x248的图象，其顶点坐标为（
）
A.(0，2)
B.(1，24)
C.(0，48)
D.(2，48)
4．（郴州·中考）将抛物线y=x2
+1向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是_____________．
5．（西宁·中考）小汽车刹车距离s（m）与速度v（km/h）之间的函数关系式为一辆小汽车速度为100km/h，在前方80m处停放一辆故障车，此时刹车
有危险（填“会”或“不会”）.
【答案】
1.
【解析】选A.抛物线可以经过适当的平移得到，其平移规律是：“h左加右减”即自变量加减左右移.
2.选B.
3.
选C.
4.
y=x2－1
5.
会
六．板书设计
2.2.2二次函数图像与性质
1.y=ax2(a≠0)的图象的特征
(1)y=ax2的图象是一条抛物线.
(2)其顶点坐标是（0，0）.
(3)对称轴是y轴（也可写作直线x=0）.
(4)当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下.
随着︱a︱的增大，开口将越来越小.
2.二次函数y=ax2的图象与y=ax2+c(a≠0)的图象的关系
y=ax2+c是由
y=ax2的图象上下平移得到的
当c>0
时，向上平移c个单位;
当c<0
时，向下平移︱c︱个单位.
作业布置
课本P36练习
练习册相关练习
八、教学反思2.2.1二次函数的图像与性质
一、教学目标
1.探索经历二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.
2.能够利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.
3.能够作出二次函数y=-x2的图象，并能比较它与y=x2的图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象间的联系.
二、课时安排
1课时
三、教学重点
会用描点法画二次函数y=ax2的图象，掌握它的性质．
四、教学难点
渗透数形结合思想．
五、教学过程
（一）导入新课
1.二次函数的定义
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数.
2.画函数图象的主要步骤是什么？
（1）列表.
（2）描点.（3）连线
（二）讲授新课
活动内容1：
活动1：小组合作
请你画出二次函数
y=x2
的图象.
1.列表：
（2）描点：
（3）连线：
议一议
根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
（1）图象与x轴交于原点(0，0).
（2）y≥0.
（3）当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大.
（4）当
x=
0时，y最小值=
0.
（5）图象关于y轴对称.
（三）重难点精讲
说说二次函数y=-x2的图象：
有哪些性质,与同伴交流：
（1）图象与x轴交于原点(0，0).
（2）y≤0.
（3）当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小.
（4）当x=0时，y最大值=0.
（5）图象关于y轴对称.
（四）归纳小结
二次函数y=±x2的性质
１.顶点坐标与对称轴.
２.位置与开口方向.
３.增减性与最值.
（五）随堂检测
1．（盐城·中考）给出下列四个函数：
（1）（2）（3）（4）时y随x的增大而减小的函数有（
）
A.1
B.2个
C.3个
D.4个
2．（盐城·中考）写出图象经过点(1，－1)的一个函数关系式
．
3．（烟台·中考）如图，AB为半圆的直径，点P为AB上一动点，动点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，运动时间为t，分别以AP与PB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图象大致为（
）
4．（哈尔滨·中考）在抛物线上的一个点是（
）
A.（4，4）
B.（1，－4）
C.（2，0）
D.（0，4）
【答案】
1.
选C.
2.
y=x2-2x（答案不唯一）
3.
选D.
4.
选C.
六．板书设计
2.2.1二次函数的图像与性质
（1）图象与x轴交于原点(0，0).
（2）y≥0或者y≤0.
（3）当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小.
（4）当x=0时，y最大值=0.
（5）图象关于y轴对称.
作图步骤：
七、作业布置
课本P34练习1、2
练习册相关练习
八、教学反思
y
x2.2.4二次函数的图像与性质
一、教学目标
1.经历探索y=ax2+bx+c的图象特征，会用配方法求其对称轴、顶点坐标公式.
2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决一些数学问题.
二、课时安排
1课时
三、教学重点
探索y=ax2+bx+c的图象特征，会用配方法求其对称轴、顶点坐标公式.
四、教学难点
利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决一些数学问题.
五、教学过程
（一）导入新课
1.指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1)
y=2(x－3)2
－5
(2)y=－0.5(x+1)2
(3)
y
=
3(x+4)2+2
2.它们分别可以看成是由哪个函数图象通过怎样的平移得到的？
（二）讲授新课
活动1：小组合作
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.
那是怎样平移的呢？只要将表达式右边进行配方就可以知道了.
配方后的表达式通常称为配方式或顶点式
y=3x2-6x+5
=3(x-1)2+2
把二次函数y=ax +bx+c的化为顶点式：
这个结果通常称为顶点坐标公式.
活动2：探究归纳
顶点坐标公式
因此,二次函数y=ax +bx+c的图象是一条抛物线
它的对称轴是直线：
它的顶点坐标是;
（三）重难点精讲
如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=
x +
x+10表示,而且左、右两条抛物线关于y轴对称．
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？
你有哪些计算方法？与同伴进行交流.
【解析】（1）将函数y=
x +
x+10配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离;
∴这条抛物线的顶点坐标是（-20,1）
由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m.
（2）
且左右两条钢缆关于y轴对称，
∴右边的钢缆的表达式为：
这条抛物线的顶点坐标是（20,1）
∴这两条钢缆最低点之间的距离为：
当然，还有别的方法建立关系式进行解题，同学们可以试试。
（四）归纳小结
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
（五）随堂检测
1.
（菏泽·中考）如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象,A
,
B,
C
为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（
）
A.a+b=-1
B.a-b=-1
C.b<2a
D.ac<0
2.（鄂州·中考）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论①a，b异号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=4时，x的取值只能为0．其中正确的个数为（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
3．（安徽·中考）
若二次函数配方后为，则b,k的值分别是（
）
4．（福州·中考）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是(
)
A.a＞0
B.c＜0
C.b2－4ac＜0
D.a＋b＋c＞0
5．（
莱芜·中考）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过(
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
6．（株洲·中考）已知二次函数(a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．下图分别是当a=-1,
a=0,
a=1,
a=2时二次函数的图象.它们的顶点在同一条直线上，这条直线的解析式是
.
【答案】
1.选B.∵抛物线开口向上，∴a＞0,
∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴ac＞0，故D错；∵OA=OC=1，∴A，C两点的坐标分别为（-1，0），（0，1），∴当x=0时，y=1，即c=1；当x=-1时，y=0，即a-b+c=0，∴a-b=-c=-1，故B对；由图象可知x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，∴a+b＞-1，故A错；
∵对称轴
，∴b＞2a，故C错.
2.
选C
3.选D
4.
选D
5.
选D
6.
六．板书设计
2.2.4二次函数的图像与性质
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
七、作业布置
课本P41练习
练习册相关练习
八、教学反思
