2.4.2二次函数的应用
一、教学目标
1.经历探索T恤衫销售过程中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,感受数学的应用价值.
2.掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．
二、课时安排
1课时
三、教学重点
运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．
四、教学难点
运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．
五、教学过程
（一）导入新课
某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天销售量是50件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出10件.
若设降价后售价为x元，每天利润为y元，则y与x之间的函数关系是怎样的？
（二）讲授新课
活动1：小组合作
二次函数y=a(x-h)2+k(a
0)，顶点坐标为（h,k）,则
①当a>0时，y有最小值k；
②当a<0时，y有最大值k
【探究】某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.
请你帮助分析，销售单价是多少时,可以获利最多
【解析】设销售单价为x
(x≤13.5)元,那么
销售量可以表示为
:
件;
每件T恤衫的利润为:
元;
所获总利润可以表示为:
元;
即y=-200x2+3
700x-8
000=-200(x-9.25)2+9
112.5
∴当销售单价为
元时,可以获得最大利润,
最大利润是
元.
活动2：探究归纳
先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.
（三）重难点精讲
例题2（武汉·中考）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的整数倍）．
(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围.
(2)设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式.
(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？
【解析】
（1）y=50-
；
（2）w=（180+x-20）y=（180+x-20）（50-）=
（3）因为w=
所以x==170时，w有最大值，而170>160,故由函数
性质知x=160时，利润最大，此时订房数y=50-
=34，
此时的利润为10
880元.
例题3（青海·中考）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克.
（1）现该商场要保证每天盈利1
500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？
【解析】（1）设每千克应涨价x元，列方程得：
(5+x)(200－10x)=1
500，
解得：x1=10，
x2=5.因为要顾客得到实惠，5＜10
所以
x=5.
答：每千克应涨价5元.
（2）设商场每天获得的利润为y元，则根据题意，得
y=(
x
+5)(200－10x)=
－10x2+150x+1
000，
当x=时,y有最大值.
因此，这种水果每千克涨价7.5元，能使商场获利最多
（四）归纳小结
“何时获得最大利润”
问题解决的基本思路.
1.根据实际问题列出二次函数关系式.
2.根据二次函数的最值问题求出最大利润
（五）随堂检测
1.（株洲·中考）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-（x-2）2+4（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是(
)
A.4米
B.3米
C.2米
D.1米
2.（德州·中考）为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5
000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次性购买100个以上，则购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3
500元/个．乙商家一律按原价的80℅销售．现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元.
（1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式.
（2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？
3.桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在距离OA
1m处达到最大高度2.25m.
如果不计其他因素,那么水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不致落到池外？
4．（青岛·中考）某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数：
（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（2）如果李明想要每月获得2
000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2
000元，那么他每月的成本最少需要多少元？
（成本＝进价×销售量）
【答案】
1.
【解析】选A.
抛物线的顶点坐标为（2,4），所以水喷出的最大高度是4米.
2.
【解析】（1）由题意可知，
当x≤100时，购买一个需5
000元，故y1=5
000x
当x>100时，因为购买个数每增加一个，其价格减少10元但售价不得低于3
500元/个，所以x≤
即100000-10(x-100)元，故y1=6
000x-10x2；
当x>250时，购买一个需3
500元，故y1=3
500x;
(2)
当0≤x≤100时，y1=5
000x≤500
000<1
400
000；
当100y1=6
000x-10x2=-10(x-300)2+900
000<1
400
000；
∴由得到x=400
由得到
故选择甲商家，最多能购买400个太阳能路灯
3.
【解析】建立如图所示的坐标系,根据
题意得,点A(0,1.25),顶点B(1,2.25).
设抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k,由待定系数法可求得抛物线表达式为:y=-(x-1)2+2.25.
当y=0时,得点C(2.5,0);同理,点D(-2.5,0).
根据对称性,那么水池的半径至少要2.5m,
才能使喷出的水流不致落到池外.
4.解析：（1）由题意，得：w
=
(x－20)·y
=(x－20)·(-10x+500)
=-10x2+700x-10
000
当
时，w有最大值.
答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．
（2）由题意，得：
解这个方程得：x1
=
30，x2
=
40．
答：李明想要每月获得2
000元的利润，销售单价应定为30元或40元.
（3）∵
∴抛物线开口向下.
∴当30≤x≤40时，w≥2
000．
∵x≤32，
∴当30≤x≤32时，w≥2
000．
设成本为P（元），由题意，得：P=20（-10x+500)=
-200x+10
000,
∵k=-200＜0，∴P随x的增大而减小.
∴当x
=
32时，P最小＝3
600.
答：想要每月获得的利润不低于2
000元，每月的成本最少需要3
600元．
六．板书设计
2.4.2二次函数的应用
探究：
例题2：
例题3：
“何时获得最大利润”
问题解决的基本思路.
1.根据实际问题列出二次函数关系式.
2.根据二次函数的最值问题求出最大利润
七、作业布置
课本P49练习
练习册相关练习
八、教学反思2.4.1二次函数的应用
一、教学目标
1.掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．
2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．
二、课时安排
1课时
三、教学重点
掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．
四、教学难点
运用二次函数的知识解决实际问题．
五、教学过程
（一）导入新课
引导学生把握二次函数的最值求法：
(1)最大值：
(2)最小值：
（二）讲授新课
活动1：小组合作
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
(1)设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大？最大值是多少
解：
活动2：探究归纳
先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.
（三）重难点精讲
例题:某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m) 此时,窗户的面积是多少
解：
即当x≈1.07m时，窗户通过的光线最多.此时窗户的面积为4.02m2.
（四）归纳小结
“最大面积”
问题解决的基本思路：
1.阅读题目，理解问题.
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.
3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.
4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.
5.检验结果的合理性.
（五）随堂检测
1．（包头·中考）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是
cm2．
2．（芜湖·中考）用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2x
m．当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积．
3．（潍坊·中考）学校计划用地面砖铺设教学楼前的矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米，图案设计如图所示：广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都是小正方形的边长，阴影部分铺设绿色地面砖，其余部分铺设白色地面砖．
（1）要使铺设白色地面砖的面积为5
200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？
（2）如图铺设白色地面砖的费用为每平方米30元，铺设绿色地面砖的费用为每平方米20元，当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺设广场地面的总费用最少？最少费用是多少？
4．（南通·中考）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B，C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与线段BA交于点F，设CE=x，BF=y．
（1）求y关于x的函数关系式.
（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
（3）若，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？
5.（河源·中考）如图，东梅中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形的宽为x，面积为y．
（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.
（2）生物园的面积能否达到210平方米？说明理由．
【答案】
1.12.5
2.
根据题意可得：等腰三角形的直角边为m矩形的一边长是2xm,其邻边长为
3.解;
（1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x米，根据题意
得：4x2＋（100－2x）（80－2x）＝5
200，
整理得x2－45x＋350＝0，
解得x1＝35，x2＝10，经检验x1＝35，x2＝10均适合题意，
所以，要使铺设白色地面砖的面积为5
200平方米，
则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或者10米．
（2）设铺设矩形广场地面的总费用为y元，
广场四角的小正方形的边长为x米，则
y＝30[4x2＋(100－2x)(80－2x)]＋20[2x(100－2x)＋2x(80－2x)]
即y＝80x2－3
600x＋240
000，配方得
y＝80（x－22．5）2＋199
500，
当x＝22．5时，y的值最小，最小值为199
500，
所以当矩形广场四角的小正方形的边长为22．5米时，
铺设矩形广场地面的总费用最少，最少费用为199
500元．
4.
⑴在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°，
∴在Rt△BFE中，
∠1+∠BFE=90°，
又∵EF⊥DE，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠BFE，
∴Rt△BFE∽Rt△CED，
∴,
∴
即
⑵当m=8时，化成顶点式:
（3）由，及得关于x的方程:
，得
∵△DEF中∠FED是直角，
∴要使△DEF是等腰三角形，则只能是EF=ED，
此时，
Rt△BFE≌Rt△CED，
∴当EC=2时，m=CD=BE=6；当EC=6时，m=CD=BE=2.
即△DEF为等腰三角形，m的值应为6或2.
5.
解：（1）依题意得：y=(40-2x)x．
∴y=-2x2+40x．
x的取值范围是0<
x
<20．
（2）当y=210时，由（1）可得，-2x2+40x=210．
即x2-20x+105=0．
∵
a=1，b=-20，c=105，
∴
∴此方程无实数根，即生物园的面积不能达到210平方米．
六．板书设计
2.4.1二次函数的应用
探究：
例题:
“最大面积”
问题解决的基本思路：
1.阅读题目，理解问题.
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.
3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.
4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.
5.检验结果的合理性.
七、作业布置
课本P47练习
练习册相关练习
八、教学反思
