九年级数学下册 2.5二次函数与一元二次方程 教案 新版北师大版

2.5二次函数与一元二次方程
一、教学目标
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.
2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根.
3.理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标.
二、课时安排
1课时
三、教学重点
理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根.
四、教学难点
理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标.
五、教学过程
（一）导入新课
1.一元二次方程ax2+bx+c=0
的求根公式是什么？
2.解下列一元二次方程：
（1）x2+2x=0
（2）x2－2x+1=0
（3）x2-2x+2=0.
（二）讲授新课
活动1：小组合作
探究1：我们已经知道，竖直上抛物体的高度
h
(m)
与运动时间t
(s)的关系可以用公式h=－5t2+v0t
+h0
表示，其中h0
(m)是抛出点距地面的高度，v0
(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面被以40
m/s的速度竖直向上抛起，小球的高度h
(m)与运动时间t(s)的关系如图所示，那么
（1）h与t
的关系式是什么？
（2）小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴交流.
解析：（1）由图象知函数过点（0，0）与点（8，0）代入关系式h=－5t2+v0t+h0得h0=0,
由已知可知v0=40，得h=－5t2+40t.
（2）由图象可知小球经过8秒后落地.可以令h=0，得t=0s（舍去）或t=8s.
探究2：二次函数①y=x2+2x，②y=x2-2x+1，③y=x2-2x+2的图象如图所示.
（1）每个图象与x轴有几个交点？
（2）一元二次方程x2+2x=0，x2-2x+1=0有几个根？
解方程验证一下，一元二次方程x2-2x+2=0有根吗？
（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？
解:（1）每个图象与x轴的交点个数分别是2个，1个，0个.
（2）①x1=0,
x2=-2,两个不相等实数根.
②x1=x2=1,两个相等实数根.
③没有实数根.
（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
活动2：探究归纳
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：
有两个交点、有一个交点、没有交点.
当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
（三）重难点精讲
例：利用二次函数的图象求方程x2-x-3=0的实数根（精确到0.1）.
方法:
(1)先作出y=x -x-3的图象;
(2)写出交点的坐标：（-1.3，0），（2.3，0）
(3)得出方程的解：x1=-1.3，x2=2.3.
用你学过的一元二次方程的解法来解，准确答案是什么？
（四）归纳小结
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
2.根据一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况是两个不相等的实根、两个相等实根、没有实数根，图象上对应与x轴的交点个数是两个、一个、没有.
（五）随堂检测
1.（崇左·中考）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列说法：①abc＜0；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1，x2=3；③当x＞1时，y随x值的增大而减小；④当y＞0时，-1＜x＜3．其中正确的说法是（
）
A．①
B．①②
C．①②③
D．①②③④
2.（河北·中考）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，
B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（
）
A．（2，3）
B．（3，2）
C．（3，3）
D．（4，3）
3.（汕头·中考）已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（－1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式.
（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．
4．（株洲·中考）二次函数y=x2-mx+3的图象与x轴的交点如图所示，根据图中信息可得到m的值是_______．
5.（咸宁·中考）已知二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴两交点的坐标分别为(m，0），(-3m,0)(m≠0).
（1）证明:4c=3b2.
（2）若该函数图象的对称轴为直线x=1,试求二次函数的最小值．
【答案】
1.
答案:D
2.
答案:D
3.
【解析】（1）由题意得
解得：
故所求解析式为
（2）令y=0，得
解得x1=-1，x2=3
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0),
∴由图象可知，函数值y为正数时，自变量x的取值范围是－1＜x＜3．
4.
答案:4
5.【解析】依题意可得：m,-3m是一元二次方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得
，
b=2m，c=3m2
∴
（2）依题意，；
由（1）得
∴二次函数的最小值为-4.
六．板书设计
2.5二次函数与一元二次方程
探究1:
探究2：
例题：
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
2.根据一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况是两个不相等的实根、两个相等实根、没有实数根，图象上对应与x轴的交点个数是两个、一个、没有.
七、作业布置
课本P52练习
练习册相关练习
八、教学反思
-2
-1
y
y
y
x
x
1
2
3
x
O
O
O
1
-1
-1
-1
1
2
3
O
x
y
A
x = 2
B
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