2.5二次函数与一元二次方程
一、教学目标
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.
2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根.
3.理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标.
二、课时安排
1课时
三、教学重点
理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根.
四、教学难点
理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标.
五、教学过程
(一)导入新课
1.一元二次方程ax2+bx+c=0
的求根公式是什么?
2.解下列一元二次方程:
(1)x2+2x=0
(2)x2-2x+1=0
(3)x2-2x+2=0.
(二)讲授新课
活动1:小组合作
探究1:我们已经知道,竖直上抛物体的高度
h
(m)
与运动时间t
(s)的关系可以用公式h=-5t2+v0t
+h0
表示,其中h0
(m)是抛出点距地面的高度,v0
(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面被以40
m/s的速度竖直向上抛起,小球的高度h
(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么
(1)h与t
的关系式是什么?
(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴交流.
解析:(1)由图象知函数过点(0,0)与点(8,0)代入关系式h=-5t2+v0t+h0得h0=0,
由已知可知v0=40,得h=-5t2+40t.
(2)由图象可知小球经过8秒后落地.可以令h=0,得t=0s(舍去)或t=8s.
探究2:二次函数①y=x2+2x,②y=x2-2x+1,③y=x2-2x+2的图象如图所示.
(1)每个图象与x轴有几个交点?
(2)一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?
解方程验证一下,一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
解:(1)每个图象与x轴的交点个数分别是2个,1个,0个.
(2)①x1=0,
x2=-2,两个不相等实数根.
②x1=x2=1,两个相等实数根.
③没有实数根.
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
活动2:探究归纳
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:
有两个交点、有一个交点、没有交点.
当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
(三)重难点精讲
例:利用二次函数的图象求方程x2-x-3=0的实数根(精确到0.1).
方法:
(1)先作出y=x -x-3的图象;
(2)写出交点的坐标:(-1.3,0),(2.3,0)
(3)得出方程的解:x1=-1.3,x2=2.3.
用你学过的一元二次方程的解法来解,准确答案是什么?
(四)归纳小结
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
2.根据一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况是两个不相等的实根、两个相等实根、没有实数根,图象上对应与x轴的交点个数是两个、一个、没有.
(五)随堂检测
1.(崇左·中考)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,给出下列说法:①abc<0;②方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1,x2=3;③当x>1时,y随x值的增大而减小;④当y>0时,-1<x<3.其中正确的说法是(
)
A.①
B.①②
C.①②③
D.①②③④
2.(河北·中考)如图,已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2,点A,
B均在抛物线上,且AB与x轴平行,其中点A的坐标为(0,3),则点B的坐标为(
)
A.(2,3)
B.(3,2)
C.(3,3)
D.(4,3)
3.(汕头·中考)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,它与x轴的一个交点坐标为(-1,0),与y轴的交点坐标为(0,3).
(1)求出b,c的值,并写出此二次函数的解析式.
(2)根据图象,写出函数值y为正数时,自变量x的取值范围.
4.(株洲·中考)二次函数y=x2-mx+3的图象与x轴的交点如图所示,根据图中信息可得到m的值是_______.
5.(咸宁·中考)已知二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴两交点的坐标分别为(m,0),(-3m,0)(m≠0).
(1)证明:4c=3b2.
(2)若该函数图象的对称轴为直线x=1,试求二次函数的最小值.
【答案】
1.
答案:D
2.
答案:D
3.
【解析】(1)由题意得
解得:
故所求解析式为
(2)令y=0,得
解得x1=-1,x2=3
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0),
∴由图象可知,函数值y为正数时,自变量x的取值范围是-1<x<3.
4.
答案:4
5.【解析】依题意可得:m,-3m是一元二次方程的两根,根据一元二次方程根与系数的关系,得
,
b=2m,c=3m2
∴
(2)依题意,;
由(1)得
∴二次函数的最小值为-4.
六.板书设计
2.5二次函数与一元二次方程
探究1:
探究2:
例题:
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
2.根据一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况是两个不相等的实根、两个相等实根、没有实数根,图象上对应与x轴的交点个数是两个、一个、没有.
七、作业布置
课本P52练习
练习册相关练习
八、教学反思
-2
-1
y
y
y
x
x
1
2
3
x
O
O
O
1
-1
-1
-1
1
2
3
O
x
y
A
x = 2
B
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