3.6.2直线和圆的位置关系
一、教学目标
1.通过学习判定一条直线是否为圆的切线,训练学生的推理判断能力．
2.会过圆上一点画圆的切线,训练学生的作图能力．
3.会作三角形的内切圆．
二、课时安排
1课时
三、教学重点
会过圆上一点画圆的切线,训练学生的作图能力．
四、教学难点
会作三角形的内切圆．
五、教学过程
（一）导入新课
直线和圆有什么样的位置关系？
（二）讲授新课
探究1：如图,AB是⊙O的直径,直线l经过点A,l与AB的夹角为∠α,当l绕点A顺时针旋转时,
圆心O到直线l的距离d如何变化？
你能写出一个命题来表述这个事实吗
过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.
明确：∵AB是⊙O的直径,直线CD经过A点,且CD⊥AB,∴
CD是⊙O的切线.
这个定理实际上就是
d=r
直线和圆相切
的另一种说法.
探究2：从一块三角形材料中,能否剪下一个圆,使其与各边都相切
三角形的内切圆作法：
（1）作∠ABC,∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.
（2）过点I作ID⊥BC，垂足为D.
（3）以I为圆心，ID为半径作⊙I，
⊙I就是所求.
探究3：这样的圆可以作出几个呢 为什么
∵BE和CF只有一个交点I,并且点I到△ABC三边的距离相等,
因此和△ABC三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个.
定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点.
分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内切圆,并说明它们内心的位置情况.
判断题：
1.三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（
）
2.三角形的外心到三角形各边的距离相等
（
）
3.等边三角形的内心和外心重合（
）
4.三角形的内心一定在三角形的内部（
）
活动2：探究归纳
内心均在三角形内部
（三）重难点精讲
例1.如图,AB是⊙O的直径,
∠ABT=45°,AT=BA．求证:AT是⊙O的切线.
证明：AT经过直径的一端，因此只要证AT垂直于AB即可，而由已知条件可知AT=AB，所以∠ABT＝∠ATB，又由∠ABT＝45°，所以∠ATB=45°.由三角形内角和定理可证∠TAB=90°，即AT⊥AB，故AT是⊙O的切线．
例2.如图，在△ABC中，点O是内心，
（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，则∠BOC的度数是
.
（2）若∠A=80°，则∠BOC=
.
（3）若∠BOC=110°，则∠A=
.
答案：（1）120°（2）130°（3）40°
（四）归纳小结
本课主要学习了哪些内容？
1．探索切线的判定条件．
2．作三角形的内切圆．
3．了解三角形的内切圆、三角形的内心的概念．
（五）随堂检测
1.如图,已知直线AB
经过⊙O上的点C,
并且AO=OB,CA=CB,那么直线
AB是⊙O的切线吗
2．如图,已知：OA=OB＝５,AB＝８，以O为圆心，以3为半径的圆与直线AB相切吗？为什么？
3.（黄冈·中考）如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD2＝AB·AE，求证：DE是⊙O的切线.
4.（德化·中考）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB=∠DCE．
(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，
并证明你的结论.
(2)若tan∠ACB=，BC=2，
求⊙O的半径.
5.（临沂·中考）如图,AB是半圆的直径,O为圆心，AD，BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD.
（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由.
（2）如果∠BDE=60，，求PA的长.
6.如图，某乡镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象.已知雕塑中心M到道路三边AC，BC，AB的距离相等，AC⊥BC，BC=30米，AC=40米.求镇标雕塑中心M离道路三边的距离有多远？
【答案】
1.
解：连接OC，C为半径的外端，因此只要证OC垂直于AB即可，而由已知条件AO=OB，所以∠A＝∠B，又由AC＝BC，所以OC⊥AB．∴直线AB是⊙O的切线.
2.
解：过O作OC⊥AB
，因此只要证OC=3即可,而由已知条件可知AO=OB=5，AB=8，所以AC＝BC=4，据勾股定理得OC=3.∴
⊙O与直线AB相切.
3.
证明：连接DC，DO，并延长DO交⊙O于F，连接AF.
∵AD2＝AB·AE，∠BAD＝∠DAE，
∴△BAD∽△DAE，∴∠ADB＝∠E.
又∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠E，BC∥DE，
∴∠CDE＝∠BCD＝∠BAD＝∠DAC，
又∵∠CAF＝∠CDF，
∴∠FDE＝∠CDE+∠CDF＝∠DAC+∠CAF＝∠DAF＝90°，
故DE是⊙O的切线.
4.
【解析】（1）直线CE与⊙O相切.
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC
，
又
∵∠ACB=∠DCE，
∴∠DAC=∠DCE,连接OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE，
∵∠DCE+∠DEC=90°，
∴∠AE0+∠DEC=90°，
∴∠OEC=90
°，
∴直线CE与⊙O相切.
（2）∵tan∠ACB=
BC=2，∴AB=BCtan∠ACB=,AC=
又∵∠ACB=∠DCE
∴tan∠DCE=，
∴DE=DC tan∠DCE=1，
在Rt△CDE中，CE=
设⊙O的半径为r，则在Rt△COE中，
由得
解得：r=
5.
【解析】（1）PD是⊙O的切线.
连接OD,∵OB=OD,
∴∠ODB=∠PBD.
又∵∠PDA=∠PBD.∴∠ODB=∠PDA.
又∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°.
即∠ODB+∠ODA=90°.
∴∠ODA+∠PDA=90°,
即OD⊥PD.∴PD是⊙O的切线.
（2）∵∠BDE=60°,∠ODE=90°,∠ADB=90°,
∴∠ODB=30°,∠ODA=60°.
∵OA=OD,
∴△AOD是等边三角形.
∴∠POD=60°.
∴∠P=∠PDA=30°.
在Rt△PDO中，设OD=x,
∴
∴x1=1,x2=-1（不合题意，舍去）
∴PA=1.
6.
提示：AC⊥BC，BC=30米，AC=40米,得AB=50米.由
得M离道路三边的距离为10米.
六．板书设计
3.6.2直线和圆的位置关系
1．切线的判定条件．
2．作三角形的内切圆．
3．三角形的内切圆、三角形的内心的概念．
例题1：
例题2：
例题3：
七、作业布置
课本P93练习1、2
练习册相关练习
八、教学反思3.6.1直线和圆的位置关系
一、教学目标
1．理解直线与圆有三种位置关系，并能利用公共点的个数,圆心到直线的距离与半径之间的关系来判定它们.
2．掌握直线与圆相切的判断方法和如何作出直线与圆相切，并能利用公共点的个数和圆心到直线的距离与半径之间的关系来判定.
二、课时安排
1课时
三、教学重点
理解直线与圆有三种位置关系，并能利用公共点的个数,圆心到直线的距离与半径之间的关系来判定它们.
四、教学难点
掌握直线与圆相切的判断方法和如何作出直线与圆相切，并能利用公共点的个数和圆心到直线的距离与半径之间的关系来判定.
五、教学过程
（一）导入新课
太阳与地平线的位置关系,列车的轮子与铁轨之间的关系,
给你留下了_________的位置关系的印象.
（二）讲授新课
探究1：作一个圆,把直尺边缘看成一条直线.固定圆,平移直尺,试说出直线和圆有几种位置关系
直线和圆的位置关系：
你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗
利用公共点的个数判断直线和圆的位置关系具有一定的局限，你有更好的判断方法吗？
点和圆的三种位置关系
仿照这种方法怎样判断“直线和圆的位置关系”？
直线和圆的位置关系
令圆心O到直线l的距离为d，圆的半径为r
活动2：探究归纳
直线与圆位置关系的判定可以从数的角度和形的角度进行判定，数的角度是圆心到直线的距离；形的角度是直线与圆的交点的个数.
（三）重难点精讲
例题：已知Rt△ABC的斜边AB=8cm,
AC=4cm.
(1)以点C为圆心作圆,当半径为多长时,AB与⊙C相切
(2)以点C为圆心,分别以2cm和4cm的长为半径作两个圆,这两个圆与AB分别有怎样的位置关系
解:(1)过点C作CD⊥AB于点D.
∵AB=8cm,AC=4cm.
∴∠A=60°.
因此,当半径长为cm时,AB与⊙C相切.
(2)由(1)可知,圆心到AB的距离d=cm,所以
当r=2cm时,d>r,AB与⊙C相离;
当r=4cm时,d（四）归纳小结
判定直线与圆的位置关系的方法有两种：
（1）根据定义，由直线与圆的公共点的个数来判断；
（2）根据性质，圆心到直线的距离d与半径r的关系来判断.
在实际应用中，常采用第二种方法判定.
（五）随堂检测
1．（青岛·中考）如图，在Rt△ABC中，∠C
=
90°，∠B
=
30°，BC
=
4
cm，以点C为圆心，以2
cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（
）
A．相离
B．相切
C．相交
D．相切或相交
2.（娄底·中考）在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、3为半径的圆，一定（
）
A.与x轴相切，与y轴相切
B.与x轴相切，与y轴相交
C.与x轴相交，与y轴相切
D.与x轴相交，与y轴相交
3.（赤峰·中考）如图，⊙O的圆心到直线l的距离为3cm，⊙O的半径为1cm，将直线l向右（垂直于l的方向）平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是（
）
A.1cm
B.2cm
C.4cm
D.2cm或4cm
【答案】
1.答案为B
2.
答案为B
3.
答案为B
六．板书设计
3.6.1直线和圆的位置关系
七、作业布置
课本P91练习1、2
练习册相关练习
八、教学反思
