1.2 应用举例（1）
学习目标 1.会用正弦、余弦定理解决生产实践中有关不可到达点距离的测量问题.2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力．www-2-1-cnjy-com
知识点一 常用角
思考 试画出“北偏东60°”和“南偏西45°”的示意图．
答案
梳理 在解决实际问题时常会遇到一些有关角的术语，请查阅资料后填空：
(1)方向角
指北或指南方向线与目标方向所成的小于90度的角．
(2)仰角与俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角．(如下图所示)21教育网
知识点二 测量方案
思考 如何不登月测量地月距离？
答案 可以在地球上选两点，与月亮构成三角形，测量地球上两点的距离和这两点看月亮的视角，通过解三角形求得地月距离．21*cnjy*com
梳理 测量某个量的方法有很多，但是在实际背景下，有些方法可能没法实施，比如直接测量地月距离．这个时候就需要设计方案绕开障碍间接地达到目的．设计测量方案的基本任务是把目标量转化为可测量的量，并尽可能提高精确度．一般来说，基线越长，精确度越高．
类型一 测量可到达点与不可到达点间的距离
例1 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55 m，∠BAC＝51°，∠ACB＝75°.求A，B两点间的距离．(精确到0.1 m)【出处：21教育名师】
解 根据正弦定理，得＝，
AB＝＝
＝
＝≈65.7(m)．
所以A，B两点间的距离为65.7 m.
反思与感悟 解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解．
跟踪训练1 在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为______千米．【版权所有：21教育】
答案
解析 如图所示，
由题意知C＝180°－A－B＝45°，
由正弦定理得＝，
∴AC＝·＝(千米)．
类型二 测量两个不可到达点间的距离
例2 如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A、B两点间距离的方法．
解 测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD＝a，并且在C、D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ，21教育名师原创作品
在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得
AC＝＝，
BC＝＝.
计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理计算出A、B两点间的距离AB＝.
引申探究
对于例2，给出另外一种测量方法．
解 测量者可以在河岸边选定点E、C、D，使A、E、C三点共线，测得EC＝a，ED＝b，并且分别测得∠BEC＝∠AED＝α，∠BCA＝β，∠ADB＝γ，21*cnjy*com
在△AED和△BEC中，应用正弦定理得
AE＝＝，
BE＝＝.
在△ABE中，应用余弦定理计算出A、B两点间的距离
AB＝.
反思与感悟 本方案的实质是：把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为类型一．
跟踪训练2 如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40米的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A，B两点的距离是( )
A．20米 B．20米
C．40米 D．20米
答案 D
解析 在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，
∠BCD＝45°，
∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，
∴BD＝CD＝40，BC＝＝40.
在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°，
∴∠CAD＝180°－(30°＋105°)＝45°.
由正弦定理，得AC＝＝20.
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠BCA
＝(40)2＋(20)2－2×40×20cos 60°＝2 400，
∴AB＝20，
故A，B两点之间的距离为20米．
1．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )21cnjy.com
A．50 m B．50 m
C．25 m D. m
答案 A
解析 ∠B＝180°－45°－105°＝30°，
在△ABC中，由＝，
得AB＝100×＝50.
2．某人向东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值是________．【来源：21·世纪·教育·网】
答案 4
解析 由余弦定理，得x2＋9－3x＝13，
整理得x2－3x－4＝0，解得x＝4.
3．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，A，B，C，D四点共圆，则AC的长为________ km.2-1-c-n-j-y
答案 7
解析 因为A，B，C，D四点共圆，
所以D＋B＝π.
在△ABC和△ADC中，
由余弦定理可得
82＋52－2×8×5×cos(π－D)
＝32＋52－2×3×5×cos D，
整理得cos D＝－，
代入得AC2＝32＋52－2×3×5×＝49，
故AC＝7.
1．运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”，而测量“两个不可到达点间的距离”要综合运用正弦定理和余弦定理．测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”是测量“两个不可到达点间的距离”的基础，这两类测量距离的题型间既有联系又有区别．【来源：21cnj*y.co*m】
2．正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．
40分钟课时作业
一、选择题
1．如图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是( )
A．a，c，α B．b，c，α
C．c，a，β D．b，α，β
答案 D
解析 由α、β、b，可利用正弦定理求出BC.
2．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( )
A．40 B．20
C．40 D．20
答案 A
解析 设另两边长为8x,5x，
则cos 60°＝，解得x＝2.
两边长是16与10，
三角形的面积是×16×10×sin 60°＝40.
3．如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A－C－B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC＝10 km，∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走(结果精确到0.1 km，参考数据：≈1.41，≈1.73)( )21世纪教育网版权所有
A．3.4 km B．2.3 km
C．5.1 km D．3.2 km
答案 A
解析 过点C作CD⊥AB，垂足为D.
在Rt△CAD中，
∠A＝30°，AC＝10 km，
CD＝AC·sin 30°＝5(km)，
AD＝AC·cos 30°＝5(km)．
在Rt△BCD中，∠B＝45°，BD＝CD＝5(km)，
BC＝＝5(km)．
AB＝AD＋BD＝(5＋5)(km)，
AC＋BC－AB＝10＋5－(5＋5)
＝5＋5－5
≈5＋5×1.41－5×1.73＝3.4(km)．
4．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度为( )www.21-cn-jy.com
A．230 m B．240 m
C．50 m D．60 m
答案 D
解析 在△ABC中，∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，
∴∠ACB＝75°，∠ACB＝∠ABC.
∴AC＝AB＝120(m)．
如图，
作CD⊥AB，垂足为D，则CD即为河的宽度．
在Rt△ACD中，由正弦定理，得
＝，
∴＝，
∴CD＝60(m)，
∴河的宽度为60 m.
5．海上有A、B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是( )21·世纪*教育网
A．10 n mile B. n mile
C．5 n mile D．5 n mile
答案 D
解析 在△ABC中，C＝180°－60°－75°＝45°.
由正弦定理，得＝，
∴＝，
解得BC＝5 (n mile)．
二、填空题
6．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔间的距离为________ km.
答案 30
解析 如图所示，
在△ABC中，
∠BAC＝30°，∠ACB＝105°?∠ABC＝45°，
AC＝60 km，根据正弦定理，得
BC＝＝
＝30(km)．
7．要测量对岸两点A、B之间的距离，选取相距 km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A、B之间的距离为________km.
答案
解析 如图，在△ACD中，
∠ACD＝120°，
∠CAD＝∠ADC＝30°，
∴AC＝CD＝ (km)．
在△BCD中，
∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.
∴BC＝＝ (km)．
△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝()2＋2－2××cos 75°
＝3＋2＋－＝5，
∴AB＝ (km)．
∴A、B之间的距离为 km.
8．某人在M汽车站的北偏西20°的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶．公路的走向是M站的北偏东40°.开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米．则汽车到达M汽车站还需行驶________km.
答案 15
解析 由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处．
在△ABC中，AC＝31，BC＝20，AB＝21，
由余弦定理，得
cos C＝＝，
则sin2C＝1－cos2C＝，sin C＝，
所以sin∠MAC＝sin(120°－C)
＝sin 120°cos C－cos 120°sin C＝.
在△MAC中，由正弦定理，
得MC＝＝×＝35.
从而有MB＝MC－BC＝15.
故汽车到达M汽车站还需行驶15 km.
三、解答题
9.如图所示，一架飞机从A地飞到B地，两地相距700 km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞后，就沿与原来的飞行方向成21°角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成35°夹角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来路程700 km远了多少？2·1·c·n·j·y
解 在△ABC中，AB＝700 km，
∠ACB＝180°－21°－35°＝124°，
根据正弦定理，
＝＝，
AC＝，BC＝，
AC＋BC＝＋≈786.89 (km)，
786．89－700＝86.89(km)．
所以飞机的飞行路程比原来路程远了大约86.89 km.
10．如图所示，一艘船以32.2 n mile/h的速度向正北航行．在A处看灯塔S在船的北偏东20°的方向，30 min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65°的方向，已知距离此灯塔6.5 n mile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？
解 在△ABS中，
AB＝32.2×0.5＝16.1 n mile，
∠ABS＝115°.
根据正弦定理，
＝，
AS＝
＝AB×sin∠ABS×
＝16.1×sin 115°×，
S到直线AB的距离
d＝AS×sin 20°
＝16.1×sin 115°××sin 20°
≈7.1(n mile)>6.5(n mile)．
所以这艘船可以继续沿正北方向航行．
11．如图，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进 km到达D处，看到A在他的北偏东45°方向，B在北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离．21·cn·jy·com
解 依题意得，CD＝ (km)，
∠ADB＝∠BCD＝30°＝∠BDC，
∠DBC＝120°，∠ADC＝60°，∠DAC＝45°.
在△BDC中，由正弦定理得
BC＝＝＝(km)．
在△ADC中，由正弦定理得
AC＝＝＝3(km)．
在△ABC中，由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos ∠ACB
＝(3)2＋()2－2×3×cos 45°＝25.
所以AB＝5(km)，
故这两座建筑物之间的距离为5 km.
课件28张PPT。第一章 解三角形§1.2 应用举例(一)1.会用正弦、余弦定理解决生产实践中有关不可到达点距离的测量问题.
2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力．学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 常用角试画出“北偏东60°”和“南偏西45°”的示意图．答案
在解决实际问题时常会遇到一些有关角的术语，请查阅资料后填空：
(1)方向角
指北或指南方向线与目标方向所成的小于 度的角．
(2)仰角与俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线 时叫仰角，目标视线在水平线 时叫俯角．(如下图所示) 梳理90上方下方知识点二 测量方案可以在地球上选两点，与月亮构成三角形，测量地球上两点的距离和这两点看月亮的视角，通过解三角形求得地月距离． 思考 答案如何不登月测量地月距离？梳理测量某个量的方法有很多，但是在实际背景下，有些方法可能没法实施，比如直接测量地月距离．这个时候就需要设计方案绕开障碍间接地达到目的．设计测量方案的基本任务是把目标量转化为可测量的量，并尽可能提高精确度．一般来说，基线越长，精确度越高．题型探究例1 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55 m，∠BAC＝51°，∠ACB＝75°.求A，B两点间的距离．(精确到0.1 m)类型一 测量可到达点与不可到达点间的距离解答
所以A，B两点间的距离为65.7 m.解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解．跟踪训练1 在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为___千米．
如图所示，由题意知C＝180°－A－B＝45°，答案解析类型二 测量两个不可到达点间的距离例2 如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A、B两点间距离的方法．解答
测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD＝a，并且在C、D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ，
在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得引申探究
对于例2，给出另外一种测量方法．解答
测量者可以在河岸边选定点E、C、D，使A、E、C三点共线，
测得EC＝a，ED＝b，
并且分别测得∠BEC＝∠AED＝α，∠BCA＝β，∠ADB＝γ，
在△AED和△BEC中，应用正弦定理得在△ABE中，应用余弦定理计算出A、B两点间的距离本方案的实质是：把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为类型一． 跟踪训练2 如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40米的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A，B两点的距离是答案解析
在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，
∠BCD＝45°，
∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°，
∴∠CAD＝180°－(30°＋105°)＝45°.
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠BCA当堂训练1.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为123答案解析
∠B＝180°－45°－105°＝30°，√1232.某人向东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好 千米，那么x的值是___.
由余弦定理，得x2＋9－3x＝13，
整理得x2－3x－4＝0，解得x＝4.4答案解析1233.如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，A，B，C，D四点共圆，则AC的长为____ km.7答案解析123
因为A，B，C，D四点共圆，
所以D＋B＝π.
在△ABC和△ADC中，
由余弦定理可得
82＋52－2×8×5×cos(π－D)
＝32＋52－2×3×5×cos D，故AC＝7.1.运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”，而测量“两个不可到达点间的距离”要综合运用正弦定理和余弦定理.测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”是测量“两个不可到达点间的距离”的基础，这两类测量距离的题型间既有联系又有区别.
2.正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.本课结束 1.2 应用举例（2）
学习目标 1.会运用测仰角(或俯角)解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.2.会用测方位角解决立体几何中求高度问题.3.进一步培养学习数学、应用数学的意识．
知识点一 测量仰角(或俯角)求高度问题
思考 如图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，如果能测出点C，D间的距离m和由C点，D点观察A的仰角，怎样求建筑物高度AB？(已知测角仪器的高是h)
答案 解题思路是：在△ACD中，＝
所以AC＝，
在Rt△AEC中，AE＝ACsin α，AB＝AE＋h.
梳理 问题的本质如图，已知∠AEC为直角，CD＝m，用α、β、m表示AE的长，所得结果再加上h.
知识点二 测量方位角求高度
思考 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5 km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，怎样求此山的高度CD?21世纪教育网版权所有
答案 先在△ABC中，用正弦定理求BC＝，再在Rt△DBC中求DC＝BCtan 8°.
梳理 问题本质是：如图，已知三棱锥 D－ABC，DC⊥平面ABC，AB＝m，用α、β、m、γ表示DC的长．【来源：21·世纪·教育·网】
类型一 测量仰角(或俯角)求高度问题
命题角度1 仰角
例1 如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于( )21教育网
A．10 m B．5 m
C．5(－1) m D．5(＋1) m
答案 D
解析 方法一 设AB＝x m，则BC＝x m.
∴BD＝(10＋x)m.∴tan∠ADB＝＝＝.
解得x＝5(＋1)m.
所以A点离地面的高AB等于5(＋1)m.
方法二 ∵∠ACB＝45°，∴∠ACD＝135°，
∴∠CAD＝180°－135°－30°＝15°.
由正弦定理，得AC＝·sin ∠ADC
＝·sin 30°＝ .
∴AB＝ACsin 45°＝5(＋1)m.
反思与感悟 (1)底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形．
(2)底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者一直向“目标物”前进．21*cnjy*com
跟踪训练1 某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为________ m．(精确到1 m)
答案 811
解析 如图，过点D作DE∥AC交BC于E，
因为∠DAC＝20°，
所以∠ADE＝160°，
于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.
又∠BAD＝35°－20°＝15°，
所以∠ABD＝30°.
在△ABD中，由正弦定理，
得AB＝＝＝1 000(m)．
在Rt△ABC中，BC＝ABsin 35°≈811(m)．
所以山的高度约为811 m.
命题角度2 俯角
例2 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝54°40′，在塔底C处测得A处的俯角β＝50°1′.已知铁塔BC部分的高为27.3 m，求出山高CD.(精确到1 m)
解 在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠BAD＝α.
根据正弦定理，＝，
所以AB＝＝.
解Rt△ABD，
得BD＝ABsin∠BAD＝.
将测量数据代入上式，得
BD＝
＝≈176.5(m)．
CD＝BD－BC≈176.5－27.3≈149(m)．
答 山的高度约为149 m.
反思与感悟 利用正弦、余弦定理来解决实际问题时，要从所给的实际背景中，进行加工、提炼，抓住本质，抽象出数学模型，使之转化为解三角形问题．【来源：21cnj*y.co*m】
跟踪训练2 江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距_____ m.21*cnjy*com
答案 30
解析 设两条船所在位置分别为A、B两点，炮台底部所在位置为C点，
在△ABC中，由题意可知AC＝＝30(m)，
BC＝＝30(m)，C＝30°，
AB2＝(30)2＋302－2×30×30×cos 30°＝900，
所以AB＝30(m)．
类型二 测量方位角求高度问题
例3 如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.
解 由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.
因此只需在△ABD中求出AD即可，
在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，
由＝，
得AD＝＝＝800(＋1)(m)．
即山的高度为800(＋1) m.
反思与感悟 此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题．
跟踪训练3 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是( )
A．10 m B．10 m
C．10 m D．10 m
答案 D
解析 在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°，
∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，
由正弦定理，
得＝，
BC＝＝10(m)．
在Rt△ABC中，tan 60°＝，
AB＝BC×tan 60°＝10(m)．
1．一架飞机在海拔8 000 m的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是30°和45°，则这个海岛的宽度为________ m．(精确到0.1 m)2-1-c-n-j-y
答案 5 856.4
解析 宽＝－＝5 856.4(m)．
2．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________．21·世纪*教育网
答案 20米、米
解析 甲楼的高为20tan 60°＝20×＝20(米)，
乙楼的高为20－20tan 30°＝20－20×＝(米)．
3．为测量某塔的高度，在A，B两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度．
解 在△ABT中，
∠ATB＝21.4°－18.6°＝2.8°，
∠ABT＝90°＋18.6°，AB＝15(m)．
根据正弦定理，＝，
AT＝.
塔的高度为AT×sin 21.4°＝×sin 21.4°
≈106.19(m)．
1．在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁琐，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式．21教育名师原创作品
2．测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
40分钟课时作业
一、选择题
1．为了测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，塔基的俯角为45°，那么塔AB的高为( )
A．20 m B．201＋ m
C．20(1＋) m D．30 m
答案 A
解析 塔的高度为20tan 30°＋20tan 45°＝20(m)，故选A.
2．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200 m以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为( )
A．200 m B．300 m C．400 m D．100 m
答案 B
解析 方法一 如图，△BED，△BDC为等腰三角形，
BD＝ED＝600 m，
BC＝DC＝200 m.
在△BCD中，
由余弦定理可得
cos 2θ＝＝，
∴2θ＝30°，4θ＝60°.
在Rt△ABC中，
AB＝BCsin 4θ＝200×＝300(m)，
故选B.
方法二 由于△BCD是等腰三角形，
BD＝DCcos 2θ，
即300＝200cos 2θ.
cos 2θ＝，0°＜2θ＜90°，2θ＝30°，4θ＝60°.
在Rt△ABC中，
AB＝BC·sin 4θ＝200×＝300(m)，
故选B.
3．已知两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )21cnjy.com
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东10° D．南偏西10°
答案 B
解析 如图，因为△ABC为等腰三角形，
所以∠CBA＝(180°－80°)＝50°，
60°－50°＝10°，故选B.
4．从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( )21·cn·jy·com
A．2h米 B.h米 C.h米 D．2h米
答案 A
解析 如图所示，
BC＝h，AC＝h，
∴AB＝＝2h(米)．
5．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10 m到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为( )www.21-cn-jy.com
A．15 m B．5 m
C．10 m D．12 m
答案 C
解析 如图，设塔高为h，
在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，
则OC＝OA＝h.
在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，
则OD＝h.
在△OCD中，∠OCD＝120°，
CD＝10，
由余弦定理，
得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，
即(h)2＝h2＋102－2h×10×cos 120°，
∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)．
即塔高为10 m.
6．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔在这次测量中的高度是( )
A．100 m B．400 m
C．200 m D．500 m
答案 D
解析 由题意画出示意图，
设高AB＝h，在Rt△ABC中，由已知BC＝h，
在Rt△ABD中，
由已知BD＝h，
在△BCD中，由余弦定理
BD2＝BC2＋CD2－2BC×CD×cos∠BCD，得
3h2＝h2＋5002＋h×500，
解得h＝500(m)(负值舍去)．故选D.
二、填空题
7.如图所示为一角槽，已知AB⊥AD，AB⊥BE，并测量得AC＝3 mm，BC＝2 mm，AB＝ mm，则∠ACB＝________.www-2-1-cnjy-com
答案
解析 在△ABC中，由余弦定理，得
cos∠ACB＝＝－.
因为∠ACB∈(0，π)，所以∠ACB＝.
8. 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________米．
答案 15
解析 在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.
由正弦定理，得＝，
所以 BC＝＝15.
在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×tan 60°
＝15(米)．
9．如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.若AB＝BD，则B、D间的距离为________km.
答案
解析 在△ABC中，∠BCA＝60°，
∠ABC＝75°－60°＝15°，AC＝0.1 km，
由正弦定理，得＝，
所以AB＝＝(km)，
又因为BD＝AB，
所以BD＝(km)．
三、解答题
10．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为γ，求证：山高h＝.【出处：21教育名师】
证明 在△ABP中，∠ABP＝180°－γ＋β，
∠BPA＝180°－(α－β)－∠ABP
＝180°－(α－β)－(180°－γ＋β)＝γ－α.
在△ABP中，根据正弦定理，
＝，
即＝，
AP＝，
所以山高h＝APsin α＝.
11．某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m后，望见塔在东北，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．【版权所有：21教育】
解 如图所示，
设AE为塔，B为塔正东方向一点，沿南偏西60°行走40 m到达C处，
即BC＝40，∠CAB＝135°，∠ABC＝30°，∠ACB＝15°.
在△ABC中，＝，
即＝，
∴AC＝20.
过点A作AG⊥BC，垂足为G，此时仰角∠AGE最大，
在△ABC中，由面积公式知
×BC×AG＝×BC×AC×sin∠ACB.
∴AG＝
＝
＝20sin 15°，
∴AG＝20sin(45°－30°)
＝20(×－×)
＝10(－1)．
在Rt△AEG中，
∵AE＝AGtan∠AGE，
∴AE＝10(－1)×
＝10－，
所以塔高为(10－)m.
12．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？2·1·c·n·j·y
解 如图所示，考点为A，检查开始处为B，
设检查员行驶到公路上C，D两点之间时收不到信号，即公路上C，D两点到考点的距离为1千米．
在△ABC中，AB＝(千米)，
AC＝1(千米)，∠ABC＝30°，
由正弦定理，
得sin∠ACB＝×AB＝，
∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)，
∴∠BAC＝30°，
∴BC＝AC＝1(千米)．
在△ACD中，AC＝AD＝1，∠ACD＝60°，
∴△ACD为等边三角形，
∴CD＝1(千米)．
∵×60＝5，
∴在BC上需5分钟，CD上需5分钟．
∴最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．
课件30张PPT。第一章 解三角形§1.2 应用举例(二)1.会运用测仰角(或俯角)解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.
2.会用测方位角解决立体几何中求高度问题.
3.进一步培养学习数学、应用数学的意识．学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 测量仰角(或俯角)求高度问题如图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，如果能测出点C，D间的距离m和由C点，D点观察A的仰角，怎样求建筑物高度AB？(已知测角仪器的高是h)答案
在Rt△AEC中，AE＝ACsin α，AB＝AE＋h.问题的本质如图，已知∠AEC为直角，CD＝m，用α、β、m表示AE的长，所得结果再加上h.梳理知识点二 测量方位角求高度
思考 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5 km再在Rt△DBC中求DC＝BCtan 8°.后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，怎样求此山的高度CD? 答案梳理问题本质是：如图，已知三棱锥 D－ABC，DC⊥平面ABC，AB＝m，用α、β、m、γ表示DC的长．题型探究命题角度1 仰角
例1 如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于类型一 测量仰角(或俯角)求高度问题答案解析
方法一 设AB＝x m，则BC＝x m.方法二 ∵∠ACB＝45°，∴∠ACD＝135°，
∴∠CAD＝180°－135°－30°＝15°.(1)底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形.
(2)底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者一直向“目标物”前进.跟踪训练1 某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为_____ m.(精确到1 m)811答案解析
如图，过点D作DE∥AC交BC于E，
因为∠DAC＝20°，
所以∠ADE＝160°，
于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.
又∠BAD＝35°－20°＝15°，
所以∠ABD＝30°.
在△ABD中，由正弦定理，在Rt△ABC中，BC＝ABsin 35°≈811(m).
所以山的高度约为811 m.命题角度2 俯角
例2 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝54°40′，在塔底C处测得A处的俯角β＝50°1′.已知铁塔BC部分的高为27.3 m，求出山高CD.(精确到1 m)解答
在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠BAD＝α.解Rt△ABD，
CD＝BD－BC≈176.5－27.3≈149(m).答 山的高度约为149 m.利用正弦、余弦定理来解决实际问题时，要从所给的实际背景中，进行加工、提炼，抓住本质，抽象出数学模型，使之转化为解三角形问题. 跟踪训练2 江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距_____ m.
设两条船所在位置分别为A、B两点，炮台底部所在位置为C点，30所以AB＝30(m).答案解析类型二 测量方位角求高度问题例3 如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.解答
由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.
因此只需在△ABD中求出AD即可，
在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题.跟踪训练3 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是答案解析
在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°，
∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，
由正弦定理，当堂训练1.一架飞机在海拔8 000 m的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是30°和45°，则这个海岛的宽度为________ m.(精确到0.1 m)123答案解析
5 856.41232.甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________.答案解析
1233.为测量某塔的高度，在A，B两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度.解答
在△ABT中，
∠ATB＝21.4°－18.6°＝2.8°，
∠ABT＝90°＋18.6°，AB＝15(m).1.在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁琐，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式.
2.测量底部不可到达的建筑物的高度问题.由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题.本课结束 1.2 应用举例（3）
学习目标 1.能够运用正弦、余弦定理解决航海测量中的实际问题.2.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用．【来源：21·世纪·教育·网】
知识点一 航海中的测量问题
思考 在浩瀚无垠的海面上航行，最重要的是定位和保持航向．阅读教材，看看船只是如何表达位置和航向的？
答案 用方向角和方位角．
梳理 方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角．
方向角：从指定方向到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.www-2-1-cnjy-com
知识点二 三角形面积公式的拓展
思考 如果已知底边和底边上的高，可以求三角形面积．那么如果知道三角形两边及夹角，有没有办法求三角形面积？2-1-c-n-j-y
答案 在△ABC中，如果已知边AB、BC和角B，边BC上的高记为ha，则ha＝ABsin B．从而可求面积．21*cnjy*com
梳理 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝absin C＝bcsin A＝acsin B.【出处：21教育名师】
类型一 航海中的测量问题
例1 如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0.1°，距离精确到0.01 n mile)21教育名师原创作品
解 在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，
根据余弦定理，
AC＝
＝
≈113.15.
根据正弦定理，＝，
sin∠CAB＝≈≈0.325 5，
所以∠CAB＝19.0°，75°－∠CAB＝56.0°.
答 此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15 n mile.
反思与感悟 解决航海问题一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不动点(三角形顶点)，然后根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题．21*cnjy*com
跟踪训练1 甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？
解 如图所示．设经过t小时两船在C点相遇，
则在△ABC中，
BC＝at(海里)，
AC＝at(海里)，
B＝90°＋30°＝120°，
由＝，得
sin∠CAB＝＝＝＝，
∵0°<∠CAB<90°，∴∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝60°－30°＝30°，
∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．
类型二 三角形面积公式的应用
命题角度1 求面积
例2 在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S.(精确到0.1 cm2)
(1)已知a＝14.8 cm，c＝23.5 cm，B＝148.5°；
(2)已知B＝62.7°，C＝65.8°，b＝3.16 cm；
(3)已知三边的长分别为a＝41.4 cm，b＝27.3 cm，
c＝38.7 cm.
解 (1)应用S＝casin B，
得S＝×23.5×14.8×sin 148.5°≈90.9(cm2)．
(2)根据正弦定理＝，得c＝，
S＝bcsin A＝b2，
A＝180°－(B＋C)＝180°－(62.7°＋65.8°)＝51.5°，
S＝×3.162×≈4.0 (cm2)．
(3)根据余弦定理的推论，得
cos B＝＝≈0.769 7，
sin B＝≈≈0.638 4.
应用S＝casin B，得S≈×38.7×41.4×0.638 4
≈511.4 (cm2)．
反思与感悟 三角形面积公式S＝absin C，S＝bcsin A，S＝acsin B中含有三角形的边角关系．因此求三角形的面积，与解三角形有密切的关系．首先根据已知，求出所需，然后求出三角形的面积．21cnjy.com
跟踪训练2 在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，求△ABC的面积．
解 由正弦定理，得＝，∴sin C＝.
∵0°①当C＝60°时，A＝90°，
∴S△ABC＝××1＝；
②当C＝120°时，A＝30°，
S△ABC＝××1×sin 30°＝.
命题角度2 已知三角形面积
例3 在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.若△ABC的面积等于，求a，b.21·cn·jy·com
解 由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4，又因为△ABC的面积等于，所以absin C＝，得ab＝4，www.21-cn-jy.com
联立方程组解得
反思与感悟 题目条件或结论中若涉及三角形的面积，要根据题意灵活选用三角形的面积公式．
跟踪训练3 如图所示，已知半圆O的直径为2，点A为直径延长线上的一点，OA＝2，点B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC，求B在什么位置时，四边形OACB的面积最大．2·1·c·n·j·y
解 设∠AOB＝α，在△ABO中，由余弦定理，得
AB2＝12＋22－2×1×2cos α＝5－4cos α，α∈(0，π)，
∴S＝S△AOB＋S△ABC＝OA·OB·sin α＋AB2
＝2sin＋.
当α－＝，α＝，即∠AOB＝时，四边形的面积最大．
1．一艘海轮从A处出发，以40 n mile/h的速度沿南偏东40°方向直线航行，30 min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )21世纪教育网版权所有
A．10 n mile B．10 n mile
C．20 n mile D．20 n mile
答案 A
解析 如图所示，
由已知条件可得，
∠CAB＝30°，∠ABC＝105°，
AB＝40×＝20 (n mile)．
∴∠BCA＝45°，
∴由正弦定理可得＝.
∴BC＝＝10 (n mile)．
2．已知三角形面积为，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )
A．1 B．2 C. D．4
答案 A
解析 设三角形外接圆半径为R，则由πR2＝π，
得R＝1，∵S△＝absin C＝＝＝，
∴abc＝1.
3．在△ABC中，已知a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，
则b＝________.
答案 2
解析 ∵cos C＝，C∈(0，)，
∴sin C＝＝，
∵absin C＝4，a＝3，∴b＝2.
1．在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．
2．解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：
(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．
(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．【来源：21cnj*y.co*m】
40分钟课时作业
一、选择题
1．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，则B城市处于危险区内的时间为( )
A．0.5 h B．1 h C．1.5 h D．2 h
答案 B
解析 设A地东北方向上点P到B的距离为30 km时，AP＝x，
在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·ABcos A，
即302＝x2＋402－2x·40cos 45°，
化简得x2－40x＋700＝0.
设该方程的两根为x1，x2，
则P点的位置有两处，即P1，P2.
则|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400，|x1－x2|＝20，
即P1P2＝20(km)，
故t＝＝＝1(h)．
故选B.
2．甲骑电动车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是( )
A．6 km B．3 km
C．3 km D．3 km
答案 C
解析 由题意知，AB＝24×＝6(km)，∠BAS＝30°，∠ASB＝75°－30°＝45°.
由正弦定理，
得BS＝＝＝3(km)．
3．在△ABC中，已知面积S＝(a2＋b2－c2)，则角C的度数为( )
A．135° B．45° C．60° D．120°
答案 B
解析 ∵S＝(a2＋b2－c2)＝absin C，
∴a2＋b2－c2＝2absin C，
∴c2＝a2＋b2－2absin C.
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴sin C＝cos C，∴tan C＝1，
又∵C∈(0°，180°)，∴C＝45°.
4．已知三角形的三边分别为a，b，c，面积S＝a2－(b－c)2，则cos A等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc
＝－2bccos A＋2bc，
∵S＝bcsin A，
∴bcsin A＝2bc－2bccos A.
即4－4cos A＝sin A.
平方得17cos2A－32cos A＋15＝0.
即(17cos A－15)(cos A－1)＝0.
得cos A＝1(舍)或cos A＝.
5．在△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 在△ABC中，由余弦定理知
AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos B，
即49＝BC2＋25－2×BC×5×(－)，
整理得BC2＋5BC－24＝0，
解得BC＝3或BC＝－8(舍去)．
S△ABC＝×AB×BC×sin 120°
＝×5×3×＝.
6．在△ABC中，若cos B＝，＝2，S△ABC＝，则b等于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 C
解析 依题意得，c＝2a，b2＝a2＋c2－2accos B
＝a2＋(2a)2－2×a×2a×＝4a2，
所以b＝c＝2a.sin B＝＝，
又S△ABC＝acsin B＝××b×＝，
所以b＝2，选C.
二、填空题
7．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sin B＝________.
答案
解析 由正弦定理，得＝，
∴sin C＝且C为锐角(A＝120°)．
∴cos C＝.
∴sin B＝sin(180°－120°－C)
＝sin(60°－C)＝cos C－sin C
＝×－×＝.
8．某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后，测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁的危险．(填“有”或“没有”)21·世纪*教育网
答案 没有
解析 如图所示，
在△ABC中，AB＝30，∠BAC＝30°，∠ABC＝135°，
∴∠ACB＝15°，
由正弦定理，得
BC＝＝
＝＝15(＋)．
过点C作CD垂直于AB，交AB的延长线于点D.
在Rt△BDC中，CD＝BC＝15(＋1)>38.
所以没有触礁的危险．
9．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°处，A，B两船间的距离为3 km，则B船到灯塔C的距离为________ km.
答案 －1
解析 由题意知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，
AC＝2 km，AB＝3 km，
设B船到灯塔C的距离为x km，即BC＝x km.
由余弦定理可知AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos ∠ACB，
即9＝4＋x2－2×2x×，
整理得x2＋2x－5＝0，
解得x＝－1－(舍去)或x＝－1＋(km)．
三、解答题
10．已知△ABC的面积为1，tan B＝，tan C＝－2，求△ABC的各边长以及△ABC外接圆的面积．【版权所有：21教育】
解 ∵tan B＝>0，∴B为锐角，
∴sin B＝，cos B＝.
∵tan C＝－2<0，
∴C为钝角，
∴sin C＝，cos C＝－，
∴sin A＝sin(B＋C)
＝sin Bcos C＋cos Bsin C
＝×＋×＝.
∵S△ABC＝absin C＝2R2sin Asin Bsin C
＝2R2×××＝1.
∴R2＝，R＝.
∴πR2＝π，
即外接圆的面积为π.
∴a＝2Rsin A＝，b＝2Rsin B＝，
c＝2Rsin C＝.
综上，a＝，b＝，c＝，
△ABC外接圆的面积为 π.
11．如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，求cos θ的值．
解 在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，
由余弦定理，
得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos 120°＝2 800，
所以BC＝20.
由正弦定理＝，得
sin∠ACB＝＝.
由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，
故cos∠ACB＝.
故cos θ＝cos(∠ACB＋30°)
＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°
＝×－×＝.
12．某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以10海里/小时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．21教育网
解 如图所示，设所需时间为t小时，
则AB＝10t，CB＝10t，∠ACB＝120°.
在△ABC中，根据余弦定理，则有
AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠ACB，
可得(10t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos 120°，
整理得2t2－t－1＝0，
解得t＝1或t＝－(舍去)．
即舰艇需1小时靠近渔船，
此时AB＝10，BC＝10，
在△ABC中，由正弦定理，
得＝，
所以sin∠CAB＝＝＝，
又因为∠CAB为锐角，
所以∠CAB＝30°，
所以舰艇航行的方位角为75°.
课件31张PPT。第一章 解三角形§1.2 应用举例(三)1.能够运用正弦、余弦定理解决航海测量中的实际问题.
2.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用．学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 航海中的测量问题在浩瀚无垠的海面上航行，最重要的是定位和保持航向．阅读教材，看看船只是如何表达位置和航向的？答案用方向角和方位角．方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角．
方向角：从指定方向到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.梳理知识点二 三角形面积公式的拓展在△ABC中，如果已知边AB、BC和角B，边BC上的高记为ha，则ha＝ABsin B．从而可求面积．思考 答案如果已知底边和底边上的高，可以求三角形面积．那么如果知道三角形两边及夹角，有没有办法求三角形面积？梳理在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则△ABC的面积题型探究例1 如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0.1°，距离精确到0.01 n mile)类型一 航海中的测量问题解答
在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，所以∠CAB＝19.0°，75°－∠CAB＝56.0°.
答 此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15 n mile. 解决航海问题一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不动点(三角形顶点)，然后根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题．跟踪训练1 甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时 海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解答
如图所示．设经过t小时两船在C点相遇，
则在△ABC中，
BC＝at(海里)，
∵0°<∠CAB<90°，∴∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝60°－30°＝30°，
∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．类型二 三角形面积公式的应用命题角度1 求面积
例2 在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S.(精确到0.1 cm2)
(1)已知a＝14.8 cm，c＝23.5 cm，B＝148.5°；
解答(2)已知B＝62.7°，C＝65.8°，b＝3.16 cm；
A＝180°－(B＋C)＝180°－(62.7°＋65.8°)＝51.5°，解答(3)已知三边的长分别为a＝41.4 cm，b＝27.3 cm，c＝38.7 cm.
解答 中含有三角形的边角关系．因此求三角形的面积，与解三角形有密切的关系．首先根据已知，求出所需，然后求出三角形的面积．
∵0°①当C＝60°时，A＝90°，解答②当C＝120°时，A＝30°，命题角度2 已知三角形面积
由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4，解答题目条件或结论中若涉及三角形的面积，要根据题意灵活选用三角形的面积公式．跟踪训练3 如图所示，已知半圆O的直径为2，点A为直径延长线上的一点，OA＝2，点B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC，求B在什么位置时，四边形OACB的面积最大．解答
设∠AOB＝α，在△ABO中，由余弦定理，得
AB2＝12＋22－2×1×2cos α＝5－4cos α，α∈(0，π)，当堂训练1.一艘海轮从A处出发，以40 n mile/h的速度沿南偏东40°方向直线航行，30 min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是123答案解析√123
如图所示，
由已知条件可得，
∠CAB＝30°，∠ABC＝105°，∴∠BCA＝45°，123√
设三角形外接圆半径为R，则由πR2＝π，答案解析∴abc＝1.123
答案解析1.在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.
2.解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：
(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之.
(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.本课结束
