1．1.2 余弦定理(二)
学习目标 1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.2.会用余弦定理解三角形.3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题．21教育网
知识点一 已知两边及其中一边的对角解三角形
思考 在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，可以先用正弦定理＝求出sin C＝.那么能不能用余弦定理解此三角形？如果能，怎么解？2·1·c·n·j·y
答案 能．在余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B中，已知三个量AC＝b，AB＝c，cos B，代入后得到关于a的一元二次方程，解此方程即可．【来源：21·世纪·教育·网】
梳理 已知两边及其一边的对角，既可先用正弦定理，也可先用余弦定理，满足条件的三角形个数为0,1,2，具体判断方法如下：www-2-1-cnjy-com
设在△ABC中，已知a，b及A的值．由正弦定理＝，可求得sin B＝.
(1)当A为钝角时，则B必为锐角，三角形的解唯一；
(2)当A为直角且a>b时，三角形的解唯一；
(3)当A为锐角时，如图，以点C为圆心，以a为半径作圆，
三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系：
①当a
②当a＝CD时，一解；
③当CD④当a≥b时，一解．
(4)如果a>b，则有A>B，所以B为锐角，此时B的值唯一．
知识点二 判断三角形的形状
思考1 三角形的形状类别很多，按边可分为等腰三角形，等边三角形，其他；按角可分为钝角三角形，直角三角形，锐角三角形．在判断三角形的形状时是不是要一个一个去判断？
答案 不需要．如果所知条件方便求角，只需判断最大的角是钝角，直角，锐角；如果方便求边，假设最大边为c，可用a2＋b2－c2来判断cos C的正负．而判断边或角是否相等则一目了然，不需多说．21cnjy.com
思考2 △ABC中，sin 2A＝sin 2B.则A，B一定相等吗？
答案 ∵A，B∈(0，π)，∴2A,2B∈(0,2π)，
∴2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝.
梳理 判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次看是否有相等的边(或角)．在转化条件时要注意等价．2-1-c-n-j-y
知识点三 证明三角形中的恒等式
思考 前面我们用正弦定理化简过acos B＝bcos A，当时是把边化成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角化成边？21*cnjy*com
答案 由余弦定理得a＝b，去分母得a2＋c2－b2＝b2＋c2－a2，化简得a＝b.
梳理 证明三角恒等式的关键是借助正、余弦定理进行边角互化减小等式两边的差异．
类型一 利用余弦定理解已知两边及一边对角的三角形
例1 已知在△ABC中，a＝8，b＝7，B＝60°，求c.
解 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得72＝82＋c2－2×8×ccos 60°，
整理得c2－8c＋15＝0，解得c＝3或c＝5.
引申探究
例1条件不变，用正弦定理求c.
解 由正弦定理，
得＝＝
＝＝，
∴sin A＝＝，
∴cos A＝±＝± ＝±.
∴sin C＝sin[π－(A＋B)]
＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B
＝·±·，
∴sin C＝或sin C＝.
当sin C＝时，c＝·sin C＝5；
当sin C＝时，c＝·sin C＝3.
反思与感悟 相对于用正弦定理解此类题，用余弦定理不必考虑三角形解的个数，解出几个是几个．
跟踪训练1 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A＝，a＝，b＝1，则c等于( )21·cn·jy·com
A．1 B．2 C.－1 D.
答案 B
解析 由余弦定理，得cos A＝，
∴＝，∴c2－2＝c，
∴c＝2或c＝－1(舍)．
类型二 利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式
例2 在△ABC中，有
(1)a＝bcos C＋ccos B；
(2)b＝ccos A＋acos C；
(3)c＝acos B＋bcos A，
这三个关系式也称为射影定理，请给出证明．
证明 方法一 (1)由正弦定理，得
b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
∴bcos C＋ccos B＝2Rsin Bcos C＋2Rsin Ccos B
＝2R(sin Bcos C＋cos Bsin C)
＝2Rsin(B＋C)
＝2Rsin A＝a.
即a＝bcos C＋ccos B.
同理可证(2)b＝ccos A＋acos C；
(3)c＝acos B＋bcos A.
方法二 (1)由余弦定理，得
cos B＝，cos C＝，
∴bcos C＋ccos B＝b·＋c·
＝＋＝＝a.
∴a＝bcos C＋ccos B.
同理可证(2)b＝ccos A＋acos C；
(3)c＝acos B＋bcos A.
反思与感悟 证明三角形中边角混合关系恒等式，可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦借助余弦定理转化；二是通过正弦定理把边的关系转化为角的关系．21世纪教育网版权所有
跟踪训练2 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，求证：＝.
证明 方法一 左边＝＝，
右边＝＝，
∴等式成立．
方法二 右边＝
＝＝＝＝左边，
∴等式成立．
类型三 利用正弦、余弦定理判断三角形形状
例3 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sin Bcos C，试判断△ABC的形状．【来源：21cnj*y.co*m】
解 由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
得b2＋2bc＋c2－a2＝3bc，即b2＋c2－a2＝bc，
∴cos A＝＝＝.
∵0又sin A＝2sin Bcos C.
∴由正弦、余弦定理，
得a＝2b·＝，
∴b2＝c2，b＝c，
∴△ABC为等边三角形．
引申探究
将本例中的条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc改为(b2＋c2－a2)2＝b3c＋c3b－a2bc，其余条件不变，试判断△ABC的形状．【出处：21教育名师】
解 由(b2＋c2－a2)2＝b3c＋c3b－a2bc，得
(b2＋c2－a2)2＝bc(b2＋c2－a2)，
∴(b2＋c2－a2)(b2＋c2－a2－bc)＝0，
∴b2＋c2－a2＝0或b2＋c2－a2－bc＝0，
∴a2＝b2＋c2或b2＋c2－a2＝bc，
由a2＝b2＋c2，得A＝90°，
由b2＋c2－a2＝bc，得cos A＝，
∴A＝60°，
∴△ABC为等边三角形或等腰直角三角形．
反思与感悟 (1)判断三角形形状，往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相互转化，经过化简变形，充分暴露边、角关系，继而作出判断．【版权所有：21教育】
(2)在余弦定理中，注意整体思想的运用，如：b2＋c2－a2 ＝2bccos A，b2＋c2＝(b＋c)2－2bc等等．21*cnjy*com
跟踪训练3 在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．
解 方法一 根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B.
∵B＝60°，2b＝a＋c，
∴2＝a2＋c2－2accos 60°，
整理得(a－c)2＝0，∴a＝c.
又∵2b＝a＋c，∴2b＝2c，即b＝c.
∴△ABC是等边三角形．
方法二 根据正弦定理，
2b＝a＋c可转化为2sin B＝sin A＋sin C.
又∵B＝60°，
∴A＋C＝120°，∴C＝120°－A，
∴2sin 60°＝sin A＋sin(120°－A)，A∈(0°，120°)，
整理得sin(A＋30°)＝1，A＋30°∈(30°，150°)，
∴A＋30°＝90°，
∴A＝60°，C＝60°.
∴△ABC是等边三角形．
1．在△ABC中，若b2＝a2＋c2＋ac，则B等于( )
A．60° B．45°或135°
C．120° D．30°
答案 C
解析 ∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2＋ac，
∴cos B＝－，
∵0°∴B＝120°.
2．在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，则△ABC的形状一定是( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
答案 B
解析 由正弦定理及已知条件，得
sin2Bsin2C＝sin Bsin C·cos Bcos C.
∵sin Bsin C≠0，
∴sin Bsin C＝cos Bcos C，
即cos(B＋C)＝0，
∴B＋C＝90°，∴A＝90°，
故△ABC是直角三角形．
3．在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，则满足条件的三角形有几个？
解 设BC＝a，AC＝b，AB＝c，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，
∴22＝a2＋(2)2－2a×2cos 30°，
即a2－6a＋8＝0，
解得a＝2或a＝4.
当a＝2时，三边长为2,2,2，可组成三角形；
当a＝4时，三边长为4,2,2，也可组成三角形．
∴满足条件的三角形有两个．
1．已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单．21·世纪*教育网
2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
(1)化边为角；
(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
3．在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．
4．利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数．因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件．21教育名师原创作品
40分钟课时作业
一、选择题
1．若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段( )
A．能组成直角三角形
B．能组成锐角三角形
C．能组成钝角三角形
D．不能组成三角形
答案 B
解析 因为三角形最大边对应的角的余弦值
cos θ＝＝>0，
所以能组成锐角三角形．
2．在△ABC中，若c＝2，b＝2a，且cos C＝，则a等于( )
A．2 B. C．1 D.
答案 C
解析 由cos C＝
＝＝，得a＝1.
3．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．由增加的长度确定
答案 A
解析 设直角三角形的三边为a，b，c且a2＋b2＝c2，
则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2
＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2
＝2(a＋b－c)x＋x2>0，
∴此时新三角形的最大角为锐角．
故新三角形是锐角三角形．
4．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶3，则cos C的值为( )
A. B．－
C. D．－
答案 A
解析 由sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶3，
可得a∶b∶c＝3∶2∶3.
不妨设a＝3k，b＝2k，c＝3k(k＞0)，
则cos C＝＝.
5．在△ABC中，若a2＝bc，则角A是( )
A．锐角 B．钝角
C．直角 D．不确定
答案 A
解析 cos A＝＝
＝>0，
∴0°6．已知三角形ABC的三边长分别为a＝3，b＝4，c＝，则△ABC的最大内角为( )
A．120° B．90°
C．150° D．60°
答案 A
解析 ∵c>a，c>b，
∴角C最大．
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C，
即37＝9＋16－24cos C，
∴cos C＝－.
∵0°∴△ABC的最大内角为120°.故选A.
二、填空题
7．在△ABC中，a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则A＝________.
答案 30°
解析 由sin C＝2sin B，根据正弦定理，
得c＝2b，
把它代入a2－b2＝bc，得a2－b2＝6b2，
即a2＝7b2.
由余弦定理，得
cos A＝＝＝＝，
又∵0°∴A＝30°.
8．设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是________．
答案 (2,8)
解析 ∵2a－1>0，
∴a>，最大边为2a＋1.
∵三角形为钝角三角形，
∴a2＋(2a－1)2<(2a＋1)2，
化简得0又∵a＋2a－1>2a＋1，
∴a>2，
∴29．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asin A＋csin C－asin C＝bsin B．则角B＝________.www.21-cn-jy.com
答案 45°
解析 由正弦定理，得a2＋c2－ac＝b2，
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，
故cos B＝.
又因为B为三角形的内角，所以B＝45°.
10．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝________.
答案 4
解析 在△ABC中，
由b2＝a2＋c2－2accos B及b＋c＝7，
知b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×(－)，
整理得15b－60＝0.所以b＝4.
三、解答题
11．在△ABC中，求证：＝.
证明 因为右边＝
＝×cos B－×cos A
＝×－×
＝－＝＝左边．
所以＝.
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos 2C＝－.
(1)求sin C的值；
(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，求b及c的长．
解 (1)∵cos 2C＝1－2sin2C＝－，0∴sin C＝.
(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，
由正弦定理＝，得c＝4.
由cos 2C＝2cos2C－1＝－及0得cos C＝±.
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，
得b2±b－12＝0(b>0)，
解得b＝或2，
∴或
13．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知bcos C＝(2a－c)cos B.
(1)求角B的大小；
(2)若b2＝ac，试确定△ABC的形状．
解 (1)由已知及正弦定理，得
sin Bcos C＝(2sin A－sin C)cos B，
即sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Acos B，
∴sin(B＋C)＝2sin Acos B.
∵sin(B＋C)＝sin A≠0，
∴2cos B＝1，即cos B＝，
∵0°∴B＝60°.
(2)由题设，b2＝ac.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得ac＝a2＋c2－2accos 60°，
即a2＋c2－2ac＝0.
∴(a－c)2＝0.从而有a＝c.
由(1)知B＝60°，
∴△ABC为正三角形．
课件41张PPT。1．1.2 余弦定理(二)第一章 §1.1 正弦定理和余弦定理1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.
2.会用余弦定理解三角形.
3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、
证明及形状判断等问题．学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 已知两边及其中一边的对角解三角形能．在余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B中，已知三个量AC＝b，AB＝c，cos B，代入后得到关于a的一元二次方程，解此方程即可．答案已知两边及其一边的对角，既可先用正弦定理，也可先用余弦定理，满足条件的三角形个数为0,1,2，具体判断方法如下：梳理(1)当A为钝角时，则B必为锐角，三角形的解唯一；
(2)当A为直角且a>b时，三角形的解唯一；(3)当A为锐角时，如图，以点C为圆心，以a为半径作圆，三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系：
①当a②当a＝CD时，一解；
③当CD④当a≥b时，一解．
(4)如果a>b，则有A>B，所以B为锐角，此时B的值唯一．知识点二 判断三角形的形状不需要．如果所知条件方便求角，只需判断最大的角是钝角，直角，锐角；如果方便求边，假设最大边为c，可用a2＋b2－c2来判断cos C的正负．而判断边或角是否相等则一目了然，不需多说．思考1 三角形的形状类别很多，按边可分为等腰三角形，等边三角形，其他；按角可分为钝角三角形，直角三角形，锐角三角形．在判断三角形的形状时是不是要一个一个去判断？答案∵A，B∈(0，π)，∴2A,2B∈(0,2π)，
∴2A＝2B或2A＝π－2B，
思考2 答案△ABC中，sin 2A＝sin 2B.则A，B一定相等吗？判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次看是否有相等的边(或角)．在转化条件时要注意等价．梳理知识点三 证明三角形中的恒等式
思考 前面我们用正弦定理化简过acos B＝bcos A，当时是把边化成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角化成边？答案梳理证明三角恒等式的关键是借助正、余弦定理进行边角互化减小等式两边的差异．题型探究例1 已知在△ABC中，a＝8，b＝7，B＝60°，求c.类型一 利用余弦定理解已知两边及一边对角的三角形解答
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得72＝82＋c2－2×8×ccos 60°，
整理得c2－8c＋15＝0，解得c＝3或c＝5.引申探究
例1条件不变，用正弦定理求c.解答
由正弦定理，
相对于用正弦定理解此类题，用余弦定理不必考虑三角形解的个数，解出几个是几个．解析
∴c＝2或c＝－1(舍)．答案类型二 利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式例2 在△ABC中，有
(1)a＝bcos C＋ccos B；
(2)b＝ccos A＋acos C；
(3)c＝acos B＋bcos A，
这三个关系式也称为射影定理，请给出证明．证明
方法一 (1)由正弦定理，得
b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
∴bcos C＋ccos B＝2Rsin Bcos C＋2Rsin Ccos B
＝2R(sin Bcos C＋cos Bsin C)
＝2Rsin(B＋C)
＝2Rsin A＝a.
即a＝bcos C＋ccos B.
同理可证(2)b＝ccos A＋acos C；
(3)c＝acos B＋bcos A.
方法二 (1)由余弦定理，得 ∴a＝bcos C＋ccos B.
同理可证(2)b＝ccos A＋acos C；
(3)c＝acos B＋bcos A.证明三角形中边角混合关系恒等式，可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦借助余弦定理转化；二是通过正弦定理把边的关系转化为角的关系． 跟踪训练2 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，求证：证明
∴等式成立．
∴等式成立．例3 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sin Bcos C，试判断△ABC的形状．解答类型三 利用正弦、余弦定理判断三角形形状
由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
得b2＋2bc＋c2－a2＝3bc，即b2＋c2－a2＝bc，又sin A＝2sin Bcos C.
∴由正弦、余弦定理，∴b2＝c2，b＝c，
∴△ABC为等边三角形．引申探究
将本例中的条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc改为(b2＋c2－a2)2＝b3c＋c3b－a2bc，其余条件不变，试判断△ABC的形状．解答
由(b2＋c2－a2)2＝b3c＋c3b－a2bc，得
(b2＋c2－a2)2＝bc(b2＋c2－a2)，
∴(b2＋c2－a2)(b2＋c2－a2－bc)＝0，
∴b2＋c2－a2＝0或b2＋c2－a2－bc＝0，
∴a2＝b2＋c2或b2＋c2－a2＝bc，
由a2＝b2＋c2，得A＝90°，∴A＝60°，
∴△ABC为等边三角形或等腰直角三角形．(1)判断三角形形状，往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相互转化，经过化简变形，充分暴露边、角关系，继而作出判断．
(2)在余弦定理中，注意整体思想的运用，如：b2＋c2－a2 ＝2bccos A，b2＋c2＝(b＋c)2－2bc等等．跟踪训练3 在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．解答
方法一 根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B.
∵B＝60°，2b＝a＋c，整理得(a－c)2＝0，∴a＝c.
又∵2b＝a＋c，∴2b＝2c，即b＝c.
∴△ABC是等边三角形．
方法二 根据正弦定理，
2b＝a＋c可转化为2sin B＝sin A＋sin C.
又∵B＝60°，
∴A＋C＝120°，∴C＝120°－A，
∴2sin 60°＝sin A＋sin(120°－A)，A∈(0°，120°)，
整理得sin(A＋30°)＝1，A＋30°∈(30°，150°)，
∴A＋30°＝90°，
∴A＝60°，C＝60°.
∴△ABC是等边三角形．当堂训练1.在△ABC中，若b2＝a2＋c2＋ac，则B等于
A.60° B.45°或135°
C.120° D.30°123答案解析
∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2＋ac，√∵0°∴B＝120°.
1232.在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，则△ABC的形状一定是
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形 答案解析由正弦定理及已知条件，得
sin2Bsin2C＝sin Bsin C·cos Bcos C.
∵sin Bsin C≠0，
∴sin Bsin C＝cos Bcos C，
即cos(B＋C)＝0，
∴B＋C＝90°，∴A＝90°，
故△ABC是直角三角形.√
123设BC＝a，AC＝b，AB＝c，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，解答即a2－6a＋8＝0，
解得a＝2或a＝4.∴满足条件的三角形有两个.1.已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论.如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单.
2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
(1)化边为角；
(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.3.在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一.
4.利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数.因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件. 本课结束