湖南省张家界市2016-2017学年高一数学下学期期末试卷（b卷）（含解析）

2016-2017学年湖南省张家界市高一（下）期末数学试卷（B卷）
　
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.
1．1和5的等差中项是（　　）
A．
B．
C．3
D．±3
2．设a＞b，则下列不等式中正确的是（　　）
A．
B．a+c＞b+c
C．ac2＞bc2
D．a2＞b2
3．直线l经过原点O和点P（1，1），则其斜率为（　　）
A．1
B．﹣1
C．﹣2
D．2
4．下列结论中正确的是（　　）
A．经过三点确定一个平面
B．平行于同一平面的两条直线平行
C．垂直于同一直线的两条直线平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
5．空间两点A（1，2，﹣2），B（﹣1，0，﹣1）之间的距离为（　　）
A．5
B．3
C．2
D．1
6．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积是（　　）
A．6
B．3
C．12
D．6
7．在△ABC中，面积，c=2，B=60°，则a=（　　）
A．2
B．
C．
D．1
8．圆x2+y2=4与圆（x﹣3）2+y2=1的位置关系为（　　）
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
9．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）
A．4π
B．6π
C．8π
D．16π
10．设x，y满足如图所示的可行域（阴影部分），则的最大值为（　　）
A．
B．0
C．
D．﹣1
11．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第九日所织尺数为（　　）
A．8
B．9
C．10
D．11
12．设x∈R，记不超过x的最大整数为[x]，令{x}=x﹣[x]，则{}，[]，（　　）
A．是等差数列但不是等比数列
B．是等比数列但不是等差数列
C．既是等差数列又是等比数列
D．既不是等差数列也不是等比数列
　
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．若x＞1，则x+的最小值是　
　．
14．若直线y=kx+2与直线y=2x﹣1互相平行，则实数k=　
　．
15．表面积为4π的球的半径为　
　．
16．△ABC的三边a，b，c成等比数列，则角B的范围是　
　．
　
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知直线l1：3x+4y﹣2=0，l2：2x+y+2=0相交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）求过点P且与直线x﹣2y﹣1=0垂直的直线l的方程．
18．已知不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集为{x|﹣3＜x＜1}．
（1）求a的值；
（2）若不等式ax2+mx+3≥0的解集为R，求实数m的取值范围．
19．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，且a3=6，S3=12，设．
（1）求an；
（2）求数列{bn}的前n项和Tn．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4．
（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）求证：CD⊥平面PAC．
21．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）点D为边AB上的一点，记∠BDC=θ，若＜θ＜π，CD=2，，a=，求sinθ与b的值．
22．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，直线l1过定点A
（1，0）．
（Ⅰ）若l1与圆C相切，求l1的方程；
（Ⅱ）若l1与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时直线l1的方程．
　
2016-2017学年湖南省张家界市高一（下）期末数学试卷（B卷）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.
1．1和5的等差中项是（　　）
A．
B．
C．3
D．±3
【考点】84：等差数列的通项公式．
【分析】由a，b，c成等差数列，可得2b=a+c，计算即可得到所求值．
【解答】解：1和5的等差中项为=3，
故选：C．
　
2．设a＞b，则下列不等式中正确的是（　　）
A．
B．a+c＞b+c
C．ac2＞bc2
D．a2＞b2
【考点】R3：不等式的基本性质．
【分析】根据题意，依次分析四个选项中的不等式，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，当a=2，b=1时，有＜，故A错误；
对于B、不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，故B正确；
对于C、当c=0时，ac2=bc2，故C错误；
对于D、当a=1，b=﹣2时，a2=1，b2=4，此时a2＜b2，故D错误；
故选：B．
　
3．直线l经过原点O和点P（1，1），则其斜率为（　　）
A．1
B．﹣1
C．﹣2
D．2
【考点】I3：直线的斜率．
【分析】根据题意，由直线斜率的计算公式直接计算即可得答案．
【解答】解：根据题意，直线l经过原点O和点P（1，1），
则其斜率k==1；
故选：A．
　
4．下列结论中正确的是（　　）
A．经过三点确定一个平面
B．平行于同一平面的两条直线平行
C．垂直于同一直线的两条直线平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】A，经过不共线的三点才可以确定一个平面，
B，平行于同一平面的两条直线可能平行、相交、异面；
C，垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交、异面；
D，根据直线与平面垂直的性质定理直接可得答案，
【解答】解：对于A，经过不共线的三点才可以确定一个平面，故错，
对于B，平行于同一平面的两条直线可能平行、相交、异面，故错；
对于C，垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交、异面，故错；
对于D，根据直线与平面垂直的性质定理，可得垂直于同一平面的两条直线平行，故正确．
故选：D
　
5．空间两点A（1，2，﹣2），B（﹣1，0，﹣1）之间的距离为（　　）
A．5
B．3
C．2
D．1
【考点】JI：空间两点间的距离公式．
【分析】根据空间中两点间的距离公式计算即可．
【解答】解：空间两点A（1，2，﹣2），B（﹣1，0，﹣1）之间的距离为
|AB|==3．
故选：B．
　
6．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积是（　　）
A．6
B．3
C．12
D．6
【考点】LD：斜二测法画直观图．
【分析】画出△OAB的直观图，根据数据求出直观图的面积．
【解答】解：△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，
所以：S△OAB==12
故选C．
　
7．在△ABC中，面积，c=2，B=60°，则a=（　　）
A．2
B．
C．
D．1
【考点】HT：三角形中的几何计算．
【分析】利用，能求出a．
【解答】解：在△ABC中，
∵面积，c=2，B=60°，
∴，即，
解得a=1．
故选：D．
　
8．圆x2+y2=4与圆（x﹣3）2+y2=1的位置关系为（　　）
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定．
【分析】根据题意，由两圆的标准方程分析可得两圆的圆心与半径，分析计算两圆的圆心距与半径和之间的关系，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设圆x2+y2=4的圆心为M，半径为r1，则M（0，0），r1=2，
圆（x﹣3）2+y2=1的圆心为N，半径为r2，N（3，0），r2=1，
则有|MN|=r1+r2=3，
则两圆外切；
故选：C．
　
9．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）
A．4π
B．6π
C．8π
D．16π
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图还原原几何体，可知原几何体是底面半径为1，高为4的圆柱，再由圆柱体积公式得答案．
【解答】解：由三视图还原原几何体如图：
该几何体是底面半径为1，高为4的圆柱，
则其体积为π×12×4=4π．
故选：A．
　
10．设x，y满足如图所示的可行域（阴影部分），则的最大值为（　　）
A．
B．0
C．
D．﹣1
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】把目标函数化为y=x﹣z，平移直线y=x﹣z找出最优解，求出目标函数的最大值．
【解答】解：x，y满足如图所示的可行域（阴影部分），
则目标函数可化为y=x﹣z，
平移直线y=x﹣z，
当直线y=x﹣z过点A（1，0）时，
z取得最大值为zmax=×1﹣0=．
故选：A．
　
11．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第九日所织尺数为（　　）
A．8
B．9
C．10
D．11
【考点】84：等差数列的通项公式．
【分析】由题意可知，每日所织数量构成等差数列，再由已知求得a5，a4的值，进一步求得公差，代入等差数列的通项公式求得第九日所织尺数．
【解答】解：由题意可知，每日所织数量构成等差数列，且a2+a5+a8=15，S7=28，
设公差为d，由a2+a5+a8=15，得3a5=15，∴a5=5，
由S7=28，得7a4=28，∴a4=4，则d=a5﹣a4=1，
∴a9=a5+4d=5+4×1=9．
故选：B．
　
12．设x∈R，记不超过x的最大整数为[x]，令{x}=x﹣[x]，则{}，[]，（　　）
A．是等差数列但不是等比数列
B．是等比数列但不是等差数列
C．既是等差数列又是等比数列
D．既不是等差数列也不是等比数列
【考点】8C：等差关系的确定；8D：等比关系的确定．
【分析】可分别求得，．则等比数列性质易得三者构成等比数列．
【解答】解：根据题意可得，．
∵×=12，
+≠2
∴{}，[]，为等比数列，不是等差数列
故选B．
　
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．若x＞1，则x+的最小值是　3　．
【考点】7F：基本不等式．
【分析】x+=x﹣1++1，利用基本不等式可求函数的最值．
【解答】解：∵x＞1，
∴x+=x﹣1++1+1=3，
当且仅当x﹣1=即x=2时取等号，
∴x=2时x+取得最小值3，
故答案为：3．
　
14．若直线y=kx+2与直线y=2x﹣1互相平行，则实数k=　2　．
【考点】II：直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】利用直线平行的性质直接求解．
【解答】解：∵直线y=kx+2与直线y=2x﹣1互相平行，
∴实数k=2．
故答案为：2．
　
15．表面积为4π的球的半径为　1　．
【考点】LG：球的体积和表面积．
【分析】由球的表面积公式S=4πR2，直接计算．
【解答】解：设球的半径为R，由球的表面积公式S=4πR2=4π，解得R=1．
故答案为：1
　
16．△ABC的三边a，b，c成等比数列，则角B的范围是　0＜B≤　．
【考点】8B：数列的应用．
【分析】根据题中已知条件求出a，b，c之间的关系，然后利用余弦定理便可求出cosB的值，即可求出角B的范围．
【解答】解：由题意知：a，b，c成等比数列，
∴b2=ac，
又∵a，b，c是三角形的三边，不妨设a≤b≤c，
由余弦定理得
故有，
故答案为．
　
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知直线l1：3x+4y﹣2=0，l2：2x+y+2=0相交于点P．
（1）求点P的坐标；
（2）求过点P且与直线x﹣2y﹣1=0垂直的直线l的方程．
【考点】IK：待定系数法求直线方程；IM：两条直线的交点坐标．
【分析】（1）把两条直线的方程联立方程组，求得该方程组的解，即可求得交点P的坐标．
（2）利用两条直线垂直的性质求得直线l的斜率，再用点斜式求出直线l的方程．
【解答】（1）由，求得，∴两条直线的交点坐标为
P（﹣2，2）．
（2）直线x﹣2y﹣1=0的斜率为，故要求的直线l的斜率为﹣2，故要求的直线的方程为y﹣2=﹣2（x+2），
即直线l的方程为2x+y+2=0．
　
18．已知不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集为{x|﹣3＜x＜1}．
（1）求a的值；
（2）若不等式ax2+mx+3≥0的解集为R，求实数m的取值范围．
【考点】74：一元二次不等式的解法．
【分析】（1）一元二次不等式与对应方程的关系，旅游根与系数的关系求出a的值；
（2）根据一元二次不等式解集为R，利用判别式△≤0，求出m的取值范围．
【解答】解：（1）不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集为{x|﹣3＜x＜1}，
∴1﹣a＜0，且方程（1﹣a）x2﹣4x+6=0的两根为﹣3，1；
由根与系数的关系知，
解得a=3；…
（2）不等式3x2+mx+3≥0的解集为R，
则△=m2﹣4×3×3≤0，
解得﹣6≤m≤6，
∴实数m的取值范围为（﹣6，6）．…
　
19．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，且a3=6，S3=12，设．
（1）求an；
（2）求数列{bn}的前n项和Tn．
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．
【分析】（1）设数列{an}是公差为d的等差数列，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项；
（2）求出=4n，运用等比数列的求和公式，化简计算即可得到所求和．
【解答】解：（1）设数列{an}是公差为d的等差数列，
；
（2），
可得Tn=b1+b2+b3+…+bn=4+42+43+…+4n
=．
　
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4．
（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）求证：CD⊥平面PAC．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）由四边形ABCD是直角梯形，PA⊥底面ABCD，能求出四棱锥P﹣ABCD的体积．
（2）由PA⊥底面ABCD，得PA⊥CD，由勾股定理得AC⊥CD，由此能证明CD⊥平面PAC．
【解答】解：（1）由已知，四边形ABCD是直角梯形，
∴，
∵PA⊥底面ABCD，
∴四棱锥P﹣ABCD的体积．…
证明：（2）由PA⊥底面ABCD，CD 底面ABCD，则PA⊥CD，
在三角形ABC中，，
又，∴AC2+CD2=AD2，即AC⊥CD，…
又∵PA，AC 平面PAC，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC．…
　
21．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）点D为边AB上的一点，记∠BDC=θ，若＜θ＜π，CD=2，，a=，求sinθ与b的值．
【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanB=，结合范围0＜B＜π，可求B的值．
（Ⅱ）在△BCD中，由正弦定理可得=，解得sinθ=，结合θ为钝角，利用诱导公式可求cos∠ADC的值，在△ADC中，由余弦定理，可得b的值．
【解答】（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵，∴可得：，
∵sinC＞0，∴
=tanB=，
∵0＜B＜π，
∴B=…4分
（Ⅱ）在△BCD中，∵
=，
∴=，∴sinθ=，…8分
∵θ为钝角，
∴∠ADC为锐角，
∴cos∠ADC=cos（π﹣θ）==，
∴在△ADC中，由余弦定理，可得：
b===…12分
　
22．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，直线l1过定点A
（1，0）．
（Ⅰ）若l1与圆C相切，求l1的方程；
（Ⅱ）若l1与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时直线l1的方程．
【考点】J7：圆的切线方程；IT：点到直线的距离公式．
【分析】（Ⅰ）通过直线l1的斜率存在与不存在两种情况，利用直线的方程与圆C相切，圆心到直线的距离等于半径，即可求l1的方程；
（Ⅱ）设直线方程为kx﹣y﹣k=0，求出圆心到直线的距离，弦长，得到三角形CPQ的面积的表达式，利用二次函数求出面积的最大值时的距离，然后求出直线的斜率，即可得到l1的直线方程．
【解答】解：（Ⅰ）
①若直线l1的斜率不存在，则直线l1：x=1，符合题意．
②若直线l1斜率存在，设直线l1的方程为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．
由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，
即：，解之得．
所求直线l1的方程是x=1或3x﹣4y﹣3=0．
（Ⅱ）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx﹣y﹣k=0，
则圆心到直l1的距离d=
又∵三角形CPQ面积S=×2=d=
∴当d=时，S取得最大值2．
∴d==，k=1或k=7．
∴直线方程为y=x﹣1，或y=7x﹣7．