江苏省南通市通州区2016-2017学年高一数学下学期期末试卷（含解析）

2016-2017学年江苏省南通市通州区高一（下）期末数学试卷
　
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．设集合A={1，2}，B=（a+1，2），若A∪B={1，2，3}，则实数a的值为　
　．
2．若向量=（2，1），=（﹣4，x），且∥，则x的值为　
　．
3．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠A=120°，则△ABC的面积为　
　．
4．函数f（x）=lg（2﹣x﹣x2）的定义域为　
　．
5．若指数函数f（x）=（a﹣1）x是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是　
　．
6．已知直线x﹣y=0与圆（x﹣2）2+y2=6相交于A，B两点，则弦AB的长为　
　．
7．已知两曲线f（x）=cosx与g（x）=sinx的一个交点为P，则点P到x轴的距离为　
　．
8．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2．AA1=4，则该长方体外接球的表面积为　
　．
9．如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，且=，
=．若=λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的值为　
　．
10．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为2，△DEF为平行于棱柱底面的截面，O1，O分别为上、下底面内一点，则六面体O1DEFO的体积为　
　．
11．将函数f（x）=sinωx（0＜ω＜6）图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象．若g（x）图象的一个对称中心为（，0），则f（x）的最小正周期为　
　．
12．在△ABC中，已知AB=AC=4，BC=2，∠B的平分线交AC于点D，则 的值为　
　．
13．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣3x．若方程f（x）+x﹣t=0恰有两个相异实根，则实数t的所有可能值为　
　．
14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2a，0）（a＞0），直线l1：mx﹣y﹣2m+2=0与直线l2：x+my=0（m∈R）相交于点M，且MA2+MO2=2a2+16，则实数a的取值范围是　
　．
　
二、解答题（共6小题，满分90分）
15．已知tan（α﹣）=﹣．
（1）求tanα的值；
（2）求cos2α的值．
16．在四棱锥P﹣ABCD中，已知DC∥AB，DC=2AB，E为棱PD的中点．
（1）求证：AE∥平面PBC；
（2）若PB⊥PC，PB⊥AB，求证：平面PAB⊥平面PCD．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为1的正△OAB的顶点A，B均在第一象限，设点A在x轴的射影为C，∠AOC=α．
（1）试将 表示α的函数f（α），并写出其定义域；
（2）求函数f（α）的值域．
18．如图，海平面某区域内有A，B，C三座小岛，岛C在A的北偏东70°方向，岛C在B的北偏东40°方向，且A，B两岛间的距离为3海里．
（1）求B，C两岛间的距离；
（2）经测算海平面上一轮船D位于岛C的北偏西50°方向，且与岛C相距3海里，求轮船在岛A的什么位置．（注：小岛与轮船视为一点）
19．在平面直角坐标系xOy中，圆：x2+y2=4，直线l：4x+3y﹣20=0．A（，）为圆O内一点，弦MN过点A，过点O作MN的垂线交l于点P．
（1）若MN∥l．
①求直线MN的方程；
②求△PMN的面积．
（2）判断直线PM与圆O的位置关系，并证明．
20．已知函数f（x）=a|x﹣b|+1，其中a，b∈R．
（1）若a＜0，b=1，求函数f（x）的所有零点之和；
（2）记函数g（x）=x2﹣f（x）．
①若a＜0，b=0，解不等式g（2x+1）≤g（x﹣1）；
②若b=1，g（x）在[0，2]上的最大值为0，求a的取值范围．
　
2016-2017学年江苏省南通市通州区高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．设集合A={1，2}，B=（a+1，2），若A∪B={1，2，3}，则实数a的值为　2　．
【考点】1D：并集及其运算．
【分析】由并集定义得a+1=3，由此能求出实数a的值．
【解答】解：∵集合A={1，2}，B=（a+1，2），A∪B={1，2，3}，
∴a+1=3，解得实数a的值2．
故答案为：2．
　
2．若向量=（2，1），=（﹣4，x），且∥，则x的值为　﹣2　．
【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】利用向量共线定理即可得出．
【解答】解：∵∥，∴﹣4﹣2x=0，解得x=﹣2．
故答案为：﹣2．
　
3．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠A=120°，则△ABC的面积为　　．
【考点】HP：正弦定理．
【分析】由已知利用三角形面积公式求解即可得答案．
【解答】解：∵AB=2，AC=3，∠A=120°，
∴S△ABC=AB AC sinA==．
故答案为：．
　
4．函数f（x）=lg（2﹣x﹣x2）的定义域为　（﹣2，1）　．
【考点】33：函数的定义域及其求法．
【分析】根据函数y的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．
【解答】解：函数f（x）=lg（2﹣x﹣x2），
∴2﹣x﹣x2＞0，
即x2+x﹣2＜0，
解得﹣2＜x＜1，
∴函数f（x）的定义域为（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
　
5．若指数函数f（x）=（a﹣1）x是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是　（1，2）　．
【考点】48：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．
【分析】根据指数函数的图象和性质，列出不等式求出a的取值范围．
【解答】解：指数函数f（x）=（a﹣1）x是R上的单调减函数，
∴0＜a﹣1＜1，
解得1＜a＜2；
∴实数a的取值范围是（1，2）．
故答案为：（1，2）．
　
6．已知直线x﹣y=0与圆（x﹣2）2+y2=6相交于A，B两点，则弦AB的长为　4　．
【考点】J9：直线与圆的位置关系．
【分析】先求出圆心为C（2，0），半径r=，再求出圆心C（2，0）到直线x﹣y=0的距离d==，从而弦AB的长|AB|=2，由此能求出结果．
【解答】解：圆（x﹣2）2+y2=6的圆心为C（2，0），半径r=，
圆心C（2，0）到直线x﹣y=0的距离d==，
∵直线x﹣y=0与圆（x﹣2）2+y2=6相交于A，B两点，
∴弦AB的长|AB|=2=2=4．
故答案为：4．
　
7．已知两曲线f（x）=cosx与g（x）=sinx的一个交点为P，则点P到x轴的距离为　　．
【考点】H7：余弦函数的图象；H2：正弦函数的图象．
【分析】由题意根据cosx=sinx，求得x的值，可得y的值，从而得到点P到x轴的距离为|y|的值．
【解答】解：两曲线f（x）=cosx与g（x）=sinx的一个交点为P，设点P的坐标为（x，y），
由cosx=sinx，可得tanx=，
∴x=kπ+，k∈Z，∴y=±，
∴点P到x轴的距离为|y|=，
故答案为：．
　
8．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2．AA1=4，则该长方体外接球的表面积为　24π　．
【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．
【分析】由长方体的对角线公式，算出长方体对角线AC1的长，从而得到长方体外接球的直径，结合球的表面积公式即可得到，该球的表面积
【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=5，
∴长方体的对角线AC1==2，∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的各顶点都在同一球面上，
∴球的一条直径为AC1，可得半径R=，
因此，该球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=24π
故答案为：24π．
　
9．如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，且=，
=．若=λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的值为　　．
【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．
【分析】==+=+=﹣.，，即可求得λ+μ．
【解答】解：
==+=+=﹣．
∴，
则λ+μ=．
故答案为：
　
10．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为2，△DEF为平行于棱柱底面的截面，O1，O分别为上、下底面内一点，则六面体O1DEFO的体积为　　．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】六面体的体积为上下两个棱锥的体积和，根据体积公式化简即可得出答案．
【解答】解：设三棱锥O1﹣DEF的高为h1，三棱锥O﹣DEF的高为h2，则h1+h2=AA1=2，
∴VO﹣DEF+V=+=S△DEF （h1+h2）==．
故答案为：．
　
11．将函数f（x）=sinωx（0＜ω＜6）图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象．若g（x）图象的一个对称中心为（，0），则f（x）的最小正周期为　　．
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】求出g（x）的解析式，利用对称中心得出ω，再代入周期公式得出答案．
【解答】解：g（x）=f（x﹣）=sinω（x﹣）=sin（ωx﹣ω），
∴g（）=sin（﹣ω）=0，
即﹣ω=kπ，k∈Z，
∴ω=3kπ，又0＜ω＜6，
∴ω=3，
∴f（x）的最小正周期为T=．
故答案为．
　
12．在△ABC中，已知AB=AC=4，BC=2，∠B的平分线交AC于点D，则 的值为　﹣　．
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】由余弦定理求得cosA，可得 =4×4×=14，再由内角平分线定理，可得AD=，再由向量的加减运算和数量积的性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．
【解答】解：由余弦定理可得cosA=
==，
可得 =4×4×=14，
由BD为∠ABC的平分线，可得
===2，
AD=，
即有 = （﹣）= （﹣）
=2﹣ =×16﹣14=﹣．
故答案为：﹣．
　
13．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣3x．若方程f（x）+x﹣t=0恰有两个相异实根，则实数t的所有可能值为　{﹣1，1}　．
【考点】54：根的存在性及根的个数判断．
【分析】求出f（x）的解析式，分离参数可得t=f（x）+x，作出g（x）=f（x）+x的函数图象，根据图象可得t=±1．
【解答】解：当x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（x2+3x）=﹣x2﹣3x，
由f（x）+x﹣t=0得t=，
令g（x）=，作出g（x）的函数图象如图所示：
∵方程f（x）+x﹣t=0恰有两个相异实根，即g（x）=t有两个实根，
∴t=1或t=﹣1．
故答案为：{﹣1，1}．
　
14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2a，0）（a＞0），直线l1：mx﹣y﹣2m+2=0与直线l2：x+my=0（m∈R）相交于点M，且MA2+MO2=2a2+16，则实数a的取值范围是　[2，1+]　．
【考点】IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】两直线方程联立，消去m，可得M的轨迹方程，再设M（x，y），运用两点的距离公式，可得M的又一轨迹方程，由两圆有公共点，可得a的不等式，解不等式即可得到a的范围．
【解答】解：由题意，，
将m=﹣代入l1：mx﹣y﹣2m+2=0，化简可得x2+y2﹣2x﹣2y=0，
即有M在以圆心C1（1，1），半径为的圆上，
又点A（2a，0）（a＞0），设M（x，y），
MA2+MO2=2a2+16，可得（x﹣2a）2+y2+x2+y2=2a2+16，
即有x2+y2﹣2ax+a2﹣8=0，
可得M在以圆心C2（a，0），半径为2的圆上，
由两圆相交可得≤|C1C2|≤3，
即为≤≤3，
解得2≤a≤1+．
故答案为：[2，1+]．
　
二、解答题（共6小题，满分90分）
15．已知tan（α﹣）=﹣．
（1）求tanα的值；
（2）求cos2α的值．
【考点】GR：两角和与差的正切函数；GU：二倍角的正切．
【分析】（1）由已知利用两角差的正切函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．
（2）由tanα=，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式即可计算得解．
【解答】解：（1）∵tan（α﹣）==﹣．
∴解得：tanα=．
（2）∵tanα=，
∴cos2α===．
　
16．在四棱锥P﹣ABCD中，已知DC∥AB，DC=2AB，E为棱PD的中点．
（1）求证：AE∥平面PBC；
（2）若PB⊥PC，PB⊥AB，求证：平面PAB⊥平面PCD．
【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．
【分析】（1）取PC中点E，连结EF、BF，推导出四边形ABFE是平行四边形，从而AE∥BF，由此能证明AE∥平面PBC．
（2）由DC∥AB，PB⊥PC，PB⊥AB，得PB⊥CD，从而PB⊥平面PCD，由此能证明平面PAB⊥平面PCD．
【解答】证明：（1）取PC中点E，连结EF、BF，
∵在四棱锥P﹣ABCD中，DC∥AB，DC=2AB，E为棱PD的中点，
∴EFCD，AB，
∴EFAB，∴四边形ABFE是平行四边形，∴AE∥BF，
∵AE 平面PBC，BF 平面PBC，
∴AE∥平面PBC．
（2）∵DC∥AB，PB⊥PC，PB⊥AB，
∴PB⊥CD，
∵PC∩CD=C，∴PB⊥平面PCD，
∵PB 平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD．
　
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为1的正△OAB的顶点A，B均在第一象限，设点A在x轴的射影为C，∠AOC=α．
（1）试将 表示α的函数f（α），并写出其定义域；
（2）求函数f（α）的值域．
【考点】9R：平面向量数量积的运算；36：函数解析式的求解及常用方法．
【分析】（1）根据题意，用α表示出、、，求出，
利用数量积个数计算f（α）并化简，写出α的取值范围；
（2）根据α的取值范围即可求出函数f（α）的值域．
【解答】解：（1）根据题意，||=1，∠AOC=α，
∴=（cosα，sinα），
=（cos（α+），sin（α+）），
=（cosα，0）；
∴=﹣=（cos（α+）﹣cosα，sin（α+）），
∴f（α）= =cosα[cos（α+）﹣cosα]+sinαsin（α+）
=cos[（α+）﹣α]﹣cos2α
=﹣
=﹣cos2α，其中α∈（0，）；
（2）由（1）知，f（α）=﹣cos2α，
α∈（0，）时，2α∈（0，），
cos2α∈（，1），
∴﹣cos2α∈（﹣，﹣），
∴函数f（α）的值域为（﹣，﹣）．
　
18．如图，海平面某区域内有A，B，C三座小岛，岛C在A的北偏东70°方向，岛C在B的北偏东40°方向，且A，B两岛间的距离为3海里．
（1）求B，C两岛间的距离；
（2）经测算海平面上一轮船D位于岛C的北偏西50°方向，且与岛C相距3海里，求轮船在岛A的什么位置．（注：小岛与轮船视为一点）
【考点】HU：解三角形的实际应用．
【分析】（1）在△ABC中使用正弦定理得出BC；
（2）在△ABC中求出AC，再在△ACD中利用余弦定理求出AD，利用正弦定理求出∠DAC，得出结论．
【解答】解：（1）由题意可得∠ABC=105°，∠BAC=45°，AB=3，
∴∠ACB=30°，
在△ABC中，由正弦定理得，
即，解得BC=3（海里）．
（2）由题意可知CD=3，∠ACD=60°，
在△ABC中，由余弦定理得AC==3，
在△ACD中，由余弦定理AD==3，
由正弦定理得：，即，
解得sin∠DAC=，
∴∠DAC=45°，
∴D船在A岛北偏东25°方向上，距离A岛3海里处．
　
19．在平面直角坐标系xOy中，圆：x2+y2=4，直线l：4x+3y﹣20=0．A（，）为圆O内一点，弦MN过点A，过点O作MN的垂线交l于点P．
（1）若MN∥l．
①求直线MN的方程；
②求△PMN的面积．
（2）判断直线PM与圆O的位置关系，并证明．
【考点】J9：直线与圆的位置关系．
【分析】（1）①求出直线MN的斜率k=kAB=﹣，由此能求出直线MN的方程．
②求出点O（0，0）到直线MN的距离d=1，从而MN=2=2，点O到直线l的距离|OP|=4，P到MN的距离h=4﹣1=3，由此能求出△PMN的面积S△PMN．
（2）设M（x0，y0），则直线MN的斜率k=，直线OP的斜率为﹣，直线OP的方程为y=﹣，联立，得点P（，﹣），求出，，推导出=0，从而PM⊥OM，进而直线PM与圆O相切．
【解答】解：（1）①∵圆：x2+y2=4，直线l：4x+3y﹣20=0．A（，）为圆O内一点，
弦MN过点A，MN∥l，
∴直线MN的斜率k=kAB=﹣，
∴直线MN的方程为：y﹣=﹣（x﹣），
整理，得：4x+3y﹣5=0．
②点O（0，0）到直线MN的距离d==1，
MN=2=2=2，
点O到直线l的距离|OP|==4，
∴P到MN的距离h=4﹣1=3，
∴△PMN的面积S△PMN===3．
（2）直线PM与圆O相切，证明如下：
设M（x0，y0），则直线MN的斜率k==，
∵OP⊥MN，∴直线OP的斜率为﹣，
∴直线OP的方程为y=﹣，
联立，解得点P的坐标为（，﹣），
∴=（，﹣），
∵=（x0，y0），，
∴=
=﹣4
==0，
∴⊥，∴PM⊥OM．
∴直线PM与圆O相切．
　
20．已知函数f（x）=a|x﹣b|+1，其中a，b∈R．
（1）若a＜0，b=1，求函数f（x）的所有零点之和；
（2）记函数g（x）=x2﹣f（x）．
①若a＜0，b=0，解不等式g（2x+1）≤g（x﹣1）；
②若b=1，g（x）在[0，2]上的最大值为0，求a的取值范围．
【考点】52：函数零点的判定定理．
【分析】（1）判断f（x）的单调性和对称轴，得出零点个数和零点之和；
（2）①根据g（x）的奇偶性和单调性列出不等式得出x的范围；
②讨论a的范围，判断g（x）的单调性，根据最大值验证或列出不等式得出a的范围．
【解答】解：（1）f（x）=a|x﹣1|+1=，
∵a＜0，
∴f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
又f（1）=1，
∴f（x）在（﹣∞，1）和（1，+∞）上各有1个零点，
∵f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴f（x）的所有零点之和为2．
（2）①b=0时，f（x）=a|x|+1，
∴g（x）=x2﹣a|x|﹣1，
∴g（﹣x）=g（x），即g（x）是偶函数，
∵a＜0，
∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
∵g（2x+1）≤g（x﹣1），
∴|2x+1|≤|x﹣1|，解得﹣2≤x≤0．
原不等式的解集为[﹣2，0]；
②b=1时，g（x）=x2﹣a|x﹣1|﹣1=，
若a=0，则g（x）=x2﹣1，则g（x）在[0，2]上单调递增，
∴g（x）在[0，2]上的最大值为g（2）=3，不符合题意；
若a＞0，则g（x）在[0，1]上单调递增，g（1）=0，
当x＞1时，g（x）的对称轴为x=，
∵g（x）在[1，2]上最大值为0，且g（1）=0，
∴≥，即a≥3．
若a＜0，则g（x）在[1，2]上单调递增，
∴g（x）在[1，2]上的最大值为g（2）＞g（1）=0，不符合题意．
综上，a≥3．