【备考2018】高考数学真题精讲精练专题7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系（2013-2017）

2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
考纲剖析
1．理解空间直线、平面位置关系的定义．
2．了解可以作为推理依据的公理和定理．
3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.
知识回顾
1．平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
(2)公理2：过 的三点，有且只有一个平面．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有 公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
(4)公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；
推论2：经过两条 直线有且只有一个平面；
推论3：经过两条 直线有且只有一个平面．
2．空间中两直线的位置关系
(1)空间两直线的位置关系
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：.
(3)平行公理和等角定理
①平行公理：平行于 的两条直线互相平行．
②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 ．
3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系有 、 、 三种情况．
(2)平面与平面的位置关系有 、 两种情况．
精讲方法
一、空间点、直线、平面之间的位置关系
（一）异面直线的判定
证明两直线为异面直线的方法：
1、定义法（不易操作）
2、反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面。此法在异面直线的判定中经常用到。【来源：21·世纪·教育·网】
3、客观题中，也可用下述结论：
过平面处一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图：
（二）平面的基本性质及平行公理的应用
1、平面的基本性质的应用
（1）公理1：可用来证明点在平面内或直线在平面内
（2）公理2：可用来确定一个平面，为平面化作准备或用来证明点线共面；
（3）公理3：可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线，三线共点。
2、平行公理主要用来证明空间中线线平行。
3、公理2的推论：
（1）经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；
（2）经过两条相交直线，有且只有一个平面；
（3）经过两条平行直线，有且只有一个平面。
4、点共线、线共点、点线共面
（1）点共线问题
证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上。2·1·c·n·j·y
（2）线共点问题
证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上。
（3）证明点线共面的常用方法
①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；
②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合。
（三）异面直线所成的角
（1）求异面直线所成的角，关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交。平移直线的方法有：①直接平移②中位线平移③补形平移；21教育名师原创作品
（2）平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
(2)求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．
例题精讲
考点一　平面的基本性质及其应用
【例题1】（2016安徽省阜阳临泉一中）设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确的是（?? ） 21世纪教育网版权所有
A、当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件B、当m?α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C、当m?α时，“n∥α”是“m∥n”必要不充分条件D、当m?α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】C 【考点】平面的基本性质及推论 【解析】【解答】解：当n⊥α时，“n⊥β”?“α∥β”，故A正确； 当m?α时，“m⊥β”?“α⊥β”，但是“α⊥β”推不出“m⊥β”，故B正确；当m?α时，“n∥α”?“m∥n或m与n异面”，“m∥n”?“n∥α或n?α”，故C不正确；当m?α时，“n⊥α”?“m⊥n”，但“m⊥n”推不出“n⊥α”，故D正确．故选C【分析】当n⊥α时，“n⊥β”?“α∥β”；当m?α时，“m⊥β”?“α⊥β”，但是“α⊥β”推不出“m⊥β”；当m?α时，“n∥α”?“m∥n或m与n异面”，“m∥n”?“n∥α或n?α”；当m?α时，“n⊥α”?“m⊥n”，但“m⊥n”推不出“n⊥α”
【变式训练1】（2017河北沧州一中）有下列四个命题： ①过三点确定一个平面 ②矩形是平面图形 ③三条直线两两相交则确定一个平面 ④两个相交平面把空间分成四个区域，其中错误命题的序号是（?? ）
A、①和②B、①和③C、②和④D、②和③
考点二　空间两条直线的位置关系
【例题2】l1 ， l2 ， l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（　　）
A、l1⊥l2 ， l2⊥l3?l1∥l3B、l1⊥l2 ， l2∥l3?l1⊥l3C、l1∥l2∥l3?l1 ， l2 ， l3共面D、l1 ， l2 ， l3共点?l1 ， l2 ， l3共面21*cnjy*com
【答案】B 【考点】平面的基本性质及推论，空间中直线与直线之间的位置关系 【解析】【解答】解：对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A错；对于B，∵l1⊥l2 ， ∴l1 ， l2所成的角是90°，又∵l2∥l3∴l1 ， l3所成的角是90°∴l1⊥l3 ， B对；对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错．故选B．【分析】通过两条直线垂直的充要条件，即两条线所成的角为90°，判断出B对；通过举常见的图形中的边、面的关系说明命题错误
【变式训练2】已知a、b是两条异面直线，c∥a，那么c与b的位置关系（　　）
A、一定是异面B、一定是相交C、不可能平行D、不可能垂直
考点三　异面直线所成的角
【例题3】已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB?α，AB⊥l，A为垂足，CD?β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（?? ） www.21-cn-jy.com
A、B、C、D、
【答案】B 【考点】异面直线及其所成的角 【解析】【解答】解：如图，过A点做AE⊥l，使BE⊥β，垂足为E，过点A做AF∥CD，过点E做EF⊥AE，连接BF， ∵AE⊥l∴∠EAC=90°∵CD∥AF又∠ACD=135°∴∠FAC=45°∴∠EAF=45°在Rt△BEA中，设AE=a，则AB=2a，BE= a，在Rt△AEF中，则EF=a，AF= a，在Rt△BEF中，则BF=2a，∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF，∴cos∠BAF= = = ．故选：B． 【分析】首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线AB与CD所成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案．
【变式训练3】（2017福建三明二模）在四面体ABCD中，若AB=CD= ，AC=BD=2，AD=BC= ，则直线AB与CD所成角的余弦值为（?? ）
A、﹣ B、﹣ C、D、
真题精析
一、选择题
1、（2016?全国）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1 ， α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，则m、n所成角的正弦值为（　　）
A、B、C、D、
2、（2016?全国）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1 ， α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，则m、n所成角的正弦值为（　　）
A、B、C、D、
3、（2016?上海）如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（?? ）
A、直线AA1??? ?????????B、直线A1B1???C、直线A1D1D、直线B1C1
4、（2013?安徽）在下列命题中，不是公理的是（?? ）
A、平行于同一个平面的两个平面平行B、过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C、如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D、如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

5、（2014?辽宁）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（?? ）
A、若m∥α，n∥α，则m∥nB、若m⊥α，n?α，则m⊥nC、若m⊥α，m⊥n，则n∥αD、若m∥α，m⊥n，则n⊥α
【答案】B
6、（2014?新课标II）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1 ， A1C1的中点，BC=CA=CC1 ， 则BM与AN所成角的余弦值为（?? ）
A、B、C、D、
7、（2014?广东）若空间中四条两两不同的直线l1 ， l2 ， l3 ， l4 ， 满足l1⊥l2 ， l2⊥l3 ， l3⊥l4 ， 则下列结论一定正确的是（?? ） 21*cnjy*com
A、l1⊥l4B、l1∥l4C、l1与l4既不垂直也不平行D、l1与l4的位置关系不确定
8、（2013?江西）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m+n=（?? ）
A、8B、9C、10D、11
9、（2017?新课标Ⅲ）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（　　）
A、A1E⊥DC1B、A1E⊥BDC、A1E⊥BC1D、A1E⊥AC
10、（2017?新课标Ⅱ）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（??? ） 【版权所有：21教育】
A、B、C、D、
二、填空题
11、（2017?新课标Ⅲ）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最小值为60°；其中正确的是________（填写所有正确结论的编号） 21·世纪*教育网
12、（2013?上海）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为________．
13、（2016?浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD= ，∠ADC=90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是________．
14、(2015·四川）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点。设异面直线EM与AF所成的角为，则cos的最大值为________ .
模拟题精练
一、单选题
1、若直线l与平面α相交但不垂直，则（　　）
A、α内存在直线与l平行B、α内不存在与l垂直的直线C、过l的平面与α不垂直D、过l的平面与α不平行

2、（2017浙江温州模拟）已知空间两不同直线m、n，两不同平面α、β，下列命题正确的是（?? ）
【出处：21教育名师】
A、若m∥α且n∥α，则m∥nB、若m⊥β且m⊥n，则n∥βC、若m⊥α且m∥β，则α⊥βD、若m不垂直于α，且n?α则m不垂直于n
3、（2017江西赣抚州七校联考模拟）设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（?? ） www-2-1-cnjy-com
A、若a∥α，b∥α，则a∥bB、若a∥α，a∥β，则α∥βC、若a∥b，a⊥α，则b⊥αD、若a∥α，α⊥β，则α⊥β
4、（2017河南南阳六市一模）设直线m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列事件中是必然事件的是（?? ）
A、若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βB、若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥βC、若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥βD、若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
5、（2017辽宁葫芦岛一模）下列命题正确的是（?? ）
A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
6、（2017湖南怀化一模）已知一三棱柱ABC﹣A1B1C1各棱长相等，B1在底面ABC上的射影是AC的中点，则异面直线AA1与BC所成角的余弦值为（?? ）21教育网
A、B、C、D、
7、（2017河北保定期中）已知α∥β，a?α，B∈β，则在β内过点B的所有直线中（?? ）
A、不一定存在与a平行的直线B、只有两条与a平行的直线C、存在无数条与a平行的直线D、存在唯一一条与a平行的直线

8、（2017河南南阳一中四模）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题，错误的命题是（?? ）
A、若m∥α，m∥β，α∩β=n，则m∥nB、若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥nC、若α⊥β，α⊥γ，β∩γ=m，则m⊥αD、若α∥β，m∥α，则m∥β
9、（2017宁夏六盘山高级中学四模）已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题： ①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β．其中正确命题的序号是（?? ） 21·cn·jy·com
A、①④B、②③C、②④D、①③
10、（2017四川成都三诊）在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（?? ）
A、B、﹣ C、D、﹣
11、（2017浙江宁波镇海中学模拟）对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（?? ）
A、若m?α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交B、若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥βC、若m?α，n∥α，m，n共面于β，则m∥nD、若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线
二、填空题
12、（2017广东汕头潮南考前冲刺）四面体的顶点和各棱中点共10个点，则由这10点构成的直线中，有________对异面直线． 21cnjy.com
13、（2017黑龙江大庆实验中学考前模拟）已知正三棱锥D﹣ABC侧棱两两垂直，E为棱AD中点，平面α过点A，且α∥平面EBC，α∩平面ABC=m，α∩平面ACD=n，则m，n所成角的余弦值是________．
14、（2017湖北四月调考）已知正六棱锥S﹣ABCDEF的底面边长和高均为1，则异面直线SC与DE所成角的大小为________． 2-1-c-n-j-y

2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系（答案）
知识回顾
1．平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
(4)公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
2．空间中两直线的位置关系
(1)空间两直线的位置关系
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：.
(3)平行公理和等角定理
①平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．
(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
例题精讲
考点一　平面的基本性质及其应用
【变式训练1】（2017河北沧州一中）有下列四个命题： ①过三点确定一个平面 ②矩形是平面图形 ③三条直线两两相交则确定一个平面 ④两个相交平面把空间分成四个区域，其中错误命题的序号是（?? ） www.21-cn-jy.com
A、①和②B、①和③C、②和④D、②和③
【答案】B 【考点】平面的基本性质及推论 【解析】【解答】解：由于过不共面的三点才能确定一个平面，故①不对； 矩形的两对边平行可以确定一个平面，故矩形是平面图形，正②确；由于三条直线两两相交包括三线过一点，故三条直线两两相交则确定一个平面不正确，③不对；两个相交平面把空间分为四个区域是正确的命题，故④正确综上，错误命题的序号是①③故选B【分析】由题意，前三个命题公理2，研究的是确定一个平面的条件，由公理及它的推论作出判断，④的判断可根据实际情况作出判断 21*cnjy*com
考点二　空间两条直线的位置关系
【变式训练2】已知a、b是两条异面直线，c∥a，那么c与b的位置关系（　　）
A、一定是异面B、一定是相交C、不可能平行D、不可能垂直
【答案】 C【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】【解答】解：a、b是两条异面直线，c∥a，那么c与b异面和相交均有可能，但不会平行．因为若c∥b，因为c∥a，由平行公理得a∥b，与a、b是两条异面直线矛盾．故选C【分析】由平行公理，若c∥b，因为c∥a，所以a∥b，与a、b是两条异面直线矛盾．异面和相交均有可能．2·1·c·n·j·y
考点三　异面直线所成的角
【变式训练3】（2017福建三明二模）在四面体ABCD中，若AB=CD= ，AC=BD=2，AD=BC= ，则直线AB与CD所成角的余弦值为（?? ）
A、﹣ B、﹣ C、D、
【答案】D 【考点】异面直线及其所成的角 【解析】【解答】解：如图所示，构造长方体，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则 ，∴a= ，b=1，c= ，即CE=1，CF= ，FB= ，∵EF∥AB，∴∠FOC为直线AB与CD所成角，△OCF中，OC=OF= ，CF= ，∴cos∠FOC= = ，故选D． 【分析】如图所示，构造长方体，求出长方体的长、宽、高，EF∥AB，∠FOC为直线AB与CD所成角，利用余弦定理可得结论．
真题精析
一、选择题
1、（2016?全国）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1 ， α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，则m、n所成角的正弦值为（　　）
A、B、C、D、
【答案】A 【考点】异面直线及其所成的角 【解析】【解答】解：如图： α∥平面CB1D1 ， α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1 ， m∥B1D1 ， ∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为： ．故选：A．【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
2、（2016?全国）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1 ， α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，则m、n所成角的正弦值为（　　）
A、B、C、D、
【答案】A 【考点】异面直线及其所成的角 【解析】【解答】解：如图：α∥平面CB1D1 ， α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1 ， m∥B1D1 ， ∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为： ．故选：A． 【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．；本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
3、（2016?上海）如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（?? ）
A、直线AA1??? ?????????B、直线A1B1???C、直线A1D1D、直线B1C1
【答案】D 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 【解析】【解答】解：根据异面直线的概念可看出直线AA1 ， A1B1 ， A1D1都和直线EF为异面直线；B1C1和EF在同一平面内，且这两直线不平行；∴直线B1C1和直线EF相交，即选项D正确．故选：D．【分析】根据异面直线的定义便可判断选项A，B，C的直线都和直线EF异面，而由图形即可看出直线B1C1和直线相交，从而便可得出正确选项．考查异面直线的概念及判断，平行直线和相交直线的概念及判断，并熟悉正方体的图形形状．
4、（2013?安徽）在下列命题中，不是公理的是（?? ）
A、平行于同一个平面的两个平面平行B、过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C、如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D、如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
【答案】A 【考点】平面的基本性质及推论 【解析】【解答】解：B，C，D经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理故是公理； 而A平行于同一个平面的两个平面平行是定理不是公理．故选A．【分析】根据公理的定义解答即可．经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理就是公理． 2-1-c-n-j-y
5、（2014?辽宁）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（?? ）
A、若m∥α，n∥α，则m∥nB、若m⊥α，n?α，则m⊥nC、若m⊥α，m⊥n，则n∥αD、若m∥α，m⊥n，则n⊥α
【答案】B 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系 【解析】【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错； B．若m⊥α，n?α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n?α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n?α或n⊥α，故D错．故选B．【分析】A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B．运用线面垂直的性质，即可判断；C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．
6、（2014?新课标II）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1 ， A1C1的中点，BC=CA=CC1 ， 则BM与AN所成角的余弦值为（?? ）
A、B、C、D、
【答案】C 【考点】异面直线及其所成的角 【解析】【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1 ， A1C1的中点，如图：BC? 的中点为O，连结ON，，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1 ， 设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO= ，AN= ，MB= = = ，在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO= = = ．故选：C． 【分析】画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．
7、（2014?广东）若空间中四条两两不同的直线l1 ， l2 ， l3 ， l4 ， 满足l1⊥l2 ， l2⊥l3 ， l3⊥l4 ， 则下列结论一定正确的是（?? ）
A、l1⊥l4B、l1∥l4C、l1与l4既不垂直也不平行D、l1与l4的位置关系不确定
【答案】D 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系 【解析】【解答】解：∵l1⊥l2 ， l2⊥l3 ， ∴l1与l3的位置关系不确定， 又l4⊥l3 ， ∴l1与l4的位置关系不确定．故A、B、C错误．故选：D．【分析】根据在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面可得，∴l1与l4的位置关系不确定．
8、（2013?江西）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m+n=（?? ）
A、8B、9C、10D、11
【答案】A 【考点】平面的基本性质及推论 【解析】【解答】解：由题意可知直线CE与正方体的上底面平行在正方体的下底面上，与正方体的四个侧面不平行，所以m=4， 直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以n=4，所以m+n=8．故选A．【分析】判断CE与EF与正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，求出m+n的值．
9、（2017?新课标Ⅲ）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（　　）
A、A1E⊥DC1B、A1E⊥BDC、A1E⊥BC1D、A1E⊥AC
【答案】C 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，用向量证明垂直 【解析】【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则A1（2，0，2），E（0，1，0），B（2，2，0），D（0，0，0），C1（0，2，2），A（2，0，0），C（0，2，0），=（﹣2，1，﹣2）， =（0，2，2）， =（﹣2，﹣2，0），=（﹣2，0，2）， =（﹣2，2，0），∵ ? =﹣2， =2， =0， =6，∴A1E⊥BC1 ． 故选：C． 【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求向量的数量积，得到答案． 21教育名师原创作品
10、（2017?新课标Ⅱ）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（??? ） 【出处：21教育名师】
A、B、C、D、
【答案】C 【考点】余弦定理的应用，异面直线及其所成的角 【解析】【解答】解：如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0， ]），可知MN= AB1= ，NP= BC1= ；作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；∵PQ=1，MQ= AC，△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cos∠ABC=4+1﹣2×2×1×（﹣ ）=7，∴AC= ，∴MQ= ；在△MQP中，MP= = ；在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP= = =﹣ ；又异面直线所成角的范围是（0， ]，∴AB1与BC1所成角的余弦值为 ． 【分析】设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，得出AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP和∠MNP的余弦值即可．
二、填空题
11、（2017?新课标Ⅲ）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最小值为60°；其中正确的是________（填写所有正确结论的编号） 21·cn·jy·com
【答案】②③ 【考点】异面直线及其所成的角，用空间向量求直线间的夹角、距离 【解析】【解答】解：由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示正方体边长为1，故|AC|=1，|AB|= ，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系， 则D（1，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量 =（0，1，0），| |=1，直线b的方向单位向量 =（1，0，0），| |=1，设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′（cosθ，sinθ，0），其中θ为B′C与CD的夹角，θ∈[0，2π），∴AB′在运动过程中的向量， =（﹣cosθ，﹣sinθ，1），| |= ，设 与 所成夹角为α∈[0， ]，则cosα= = |sinθ|∈[0， ]，∴α∈[ ， ]，∴③正确，④错误．设 与 所成夹角为β∈[0， ]，cosβ= = = |cosθ|，当 与 夹角为60°时，即α= ，|sinθ|= = = ，∵cos2θ+sin2θ=1，∴cosβ= |cosθ|= ，∵β∈[0， ]，∴β= ，此时 与 的夹角为60°，∴②正确，①错误．故答案为：②③．【分析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1的正方体，|AC|=1，|AB|= ，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果． www-2-1-cnjy-com
12、（2013?上海）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为________．
【答案】60° 【考点】异面直线及其所成的角 【解析】【解答】解：连接A1D，由正方体的几何特征可得：A1D∥B1C， 则∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD，易得：BD=A1D=A1B故∠BA1D=60°故答案为：60°【分析】连接A1D，根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义，我们可得∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD后，解三角形BA1D即可得到异面直线A1B与B1C所成的角．
13、（2016?浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD= ，∠ADC=90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是________．
【答案】【考点】异面直线及其所成的角 【解析】【解答】解：如图所示，取AC的中点O，∵AB=BC=3，∴BO⊥AC，在Rt△ACD′中， = ．作D′E⊥AC，垂足为E，D′E= = ．CO= ，CE= = = ，∴EO=CO﹣CE= ．过点B作BF∥BO，作FE∥BO交BF于点F，则EF⊥AC．连接D′F．∠FBD′为直线AC与BD′所成的角．则四边形BOEF为矩形，∴BF=EO= ．EF=BO= = ．则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角，设为θ．则D′F2= + ﹣2× cosθ= ﹣5cosθ≥ ，cosθ=1时取等号．∴D′B的最小值= =2．∴直线AC与BD′所成角的余弦的最大值= = = ．故答案为： ． 【分析】如图所示，取AC的中点O，AB=BC=3，可得BO⊥AC，在Rt△ACD′中，AC= ．作D′E⊥AC，垂足为E，D′E= ．CO= ，CE= = ，EO=CO﹣CE= ．过点B作BF∥BO，作FE∥BO交BF于点F，则EF⊥AC．连接D′F．∠FBD′为直线AC与BD′所成的角．则四边形BOEF为矩形，BF=EO= ．EF=BO= ．则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角，设为θ．利用余弦定理求出D′F2的最小值即可得出．本题考查了空间位置关系、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题．
14、(2015·四川）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点。设异面直线EM与AF所成的角为，则cos的最大值为________ .
【答案】 【考点】异面直线及其所成的角【解析】【解答】建立坐标系如图所示.设AB=1, 则=（1，,0）， E（，0, 0), 设M（0，y, 1)(0≤y≤1), 则=（-，y, 1), 由于异面直线所成角的范围为(0, ], 所以cos==·[]2=1-, 令8y+1=t, 1≤t≤9， 则=≥， 当t=1时取等号，所以cos==≤x=, 当y=0时， 取得最大值。 【分析】空间的角与距离的问题，只要便于建立坐标系均可建立坐标系，然后利用公式求解.解本题要注意，空间两直线所成的角是不超过90度的.几何问题还可结合图形分析何时取得最大值.当点M在P处时，EM与AF所成角为直角，此时余弦值为0（最小），当M点向左移动时，EM与AF所成角逐渐变小，点M到达Q点时，角最小，从而余弦值最大.

模拟题精练
一、单选题
1、若直线l与平面α相交但不垂直，则（　　）
A、α内存在直线与l平行B、α内不存在与l垂直的直线C、过l的平面与α不垂直D、过l的平面与α不平行
【答案】 D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】【解答】由直线l与平面α相交但不垂直，知：α内不存在直线与l平行，故A错误；α内存在与l垂直的直线，故B错误；过l的平面可以与α垂直，故C错误；∵l与平面α有公共点，∴过l的平面与α不平行，故D正确．故选：D．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
2、（2017浙江温州模拟）已知空间两不同直线m、n，两不同平面α、β，下列命题正确的是（?? ）
A、若m∥α且n∥α，则m∥nB、若m⊥β且m⊥n，则n∥βC、若m⊥α且m∥β，则α⊥βD、若m不垂直于α，且n?α则m不垂直于n
【答案】 C【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系【解析】【解答】解：由空间两不同直线m、n，两不同平面α、β，知： 在A中，若m∥α且n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若m⊥β且m⊥n，则n∥β或n?β，故B错误；在C中，若m⊥α且m∥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，若m不垂直于α，且n?α，则m可以垂直于n，故D错误．故选：C．【分析】在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，n∥β或n?β；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，m可以垂直于n．【来源：21·世纪·教育·网】
3、（2017江西赣抚州七校联考模拟）设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（?? ）
A、若a∥α，b∥α，则a∥bB、若a∥α，a∥β，则α∥βC、若a∥b，a⊥α，则b⊥αD、若a∥α，α⊥β，则α⊥β
【答案】C 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系 【解析】【解答】解：A．若a∥α，b∥α，则a∥b，或a，b异面或a，b相交，故A错； B．若a∥α，a∥β，则α∥β，或α∩β=b，故B错；C．若a∥b，a⊥α，则b⊥α，故C正确；D．若a∥α，α⊥β，则a?β或a∥β或a⊥β，故D错．故选：C．【分析】由线面平行的性质即可判断A；由线面平行的性质和面面平行的判定，即可判断B；由线面垂直的性质：两条平行线中一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面，可判断C；由线面平行的性质和面面垂直的性质，即可判断D．
4、（2017河南南阳六市一模）设直线m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列事件中是必然事件的是（?? ）
A、若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βB、若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥βC、若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥βD、若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
【答案】 D【考点】平面与平面之间的位置关系【解析】【解答】解：若m∥α，n∥β，m⊥n，则α、β位置关系不确定，故不正确； 若m∥α，则α中存在直线c与m平行，m∥n，n⊥β，则c⊥β，∵c?α，∴α⊥β，不正确；若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α、β可以相交，不正确；若m⊥α，m∥n，则n⊥α，n⊥β，∴α∥β，正确，故选：D．【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．

5、（2017辽宁葫芦岛一模）下列命题正确的是（?? ）
A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行21教育网
【答案】C 【考点】命题的真假判断与应用，空间中直线与平面之间的位置关系 【解析】【解答】解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误； B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；C、设平面α∩β=a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线b∥l，在平面β内存在直线c∥l，所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判定定理可证明b∥β，进而由线面平行的性质定理证明得b∥a，从而l∥a，故C正确；D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．故选C．【分析】利用直线与平面所成的角的定义，可排除A；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C正确；利用面面垂直的性质可排除D． 21·世纪*教育网

6、（2017湖南怀化一模）已知一三棱柱ABC﹣A1B1C1各棱长相等，B1在底面ABC上的射影是AC的中点，则异面直线AA1与BC所成角的余弦值为（?? ）【来源：21cnj*y.co*m】
A、B、C、D、
【答案】B 【考点】异面直线及其所成的角 【解析】【解答】解：设AC的中点为O，连接BO、B1C，易知θ∠B1BC即为直线AA1与BC所成角．并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则BO= ，在Rt△B1BO中，∵ ，可得 ．在R△B1CO中，OC= ，可得 在△BB1C中，由余弦定理，得cosθ= ．故选：B． 【分析】先找到异面直线BC与AA1所成的角（如∠B1BC）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出B1C的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．
7、（2017河北保定期中）已知α∥β，a?α，B∈β，则在β内过点B的所有直线中（?? ）
A、不一定存在与a平行的直线B、只有两条与a平行的直线C、存在无数条与a平行的直线D、存在唯一一条与a平行的直线
【答案】D 【考点】平面的基本性质及推论，平面与平面之间的位置关系 【解析】【解答】解：B点与a确定唯一的一个平面γ与β相交， 设交线为b，由面面平行的性质定理知a∥b．故选D．【分析】由题意知B点与a确定唯一的一个平面γ，则γ与β相交且交线仅有一条，再由α∥β知a∥b．

8、（2017河南南阳一中四模）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题，错误的命题是（?? ）
A、若m∥α，m∥β，α∩β=n，则m∥nB、若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥nC、若α⊥β，α⊥γ，β∩γ=m，则m⊥αD、若α∥β，m∥α，则m∥β
【答案】D 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 【解析】【解答】解：对于A，因为若m∥α，m∥β，α∩β=n，根据线面平行的性质与判定，可得m∥n，正确； 对于B，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m与n一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，通过平移使得m与n相交，且设m与n确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m与n所成的角为90°，故命题正确．对于C，因为γ，β 垂直于同一个平面α，故γ，β 的交线一定垂直于α，正确．对于D，若α∥β，m∥α，则m∥β或m?β，不正确，故选D．【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论． 【版权所有：21教育】
9、（2017宁夏六盘山高级中学四模）已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题： ①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β．其中正确命题的序号是（?? ）
A、①④B、②③C、②④D、①③
【答案】B 【考点】命题的真假判断与应用，空间中直线与平面之间的位置关系 【解析】【解答】解：①当α⊥β，m∥α时，m⊥β不一定成立，所以错误；②利用当两个平面的法向量互相垂直时，这两个平面垂直，故成立；③因为m∥α，则一定存在直线n在β，使得m∥n，又m⊥β可得出n⊥β，由面面垂直的判定定理知，α⊥β，故成立；④m∥α，n∥β，且m∥n，α，β也可能相交，如图所示， 所以错误，故选B．【分析】对于①当α⊥β，m∥α时，m⊥β不一定成立；对于②可以看成m是平面α的法向量，n是平面β的法向量即可；对于③可由面面垂直的判断定理作出判断；对于④m∥α，n∥β，且m∥n，α，β也可能相交．
10、（2017四川成都三诊）在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（?? ）
A、B、﹣ C、D、﹣
【答案】A 【考点】异面直线及其所成的角 【解析】【解答】解：如图所示，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，则EF∥BD，EG∥AC，FO⊥OG， ∴∠FEG为异面直线AC与BD所成角．设AB=2a，则EG=EF= a，FG= = a，∴∠FEG=60°，∴异面直线AC与BD所成角的余弦值为 ，故选：A． 【分析】如图所示，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，则EF∥BD，EG∥AC，FO⊥OG，∠FEG为异面直线AC与BD所成角．
11、（2017浙江宁波镇海中学模拟）对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（?? ）
A、若m?α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交B、若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥βC、若m?α，n∥α，m，n共面于β，则m∥nD、若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线
【答案】C 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 【解析】【解答】解：A．α∥β时，m?α，n∥β，m，n是异面直线，可以成立，故A错误， B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β，因为n∥α，则n∥β或n?β，故B错误，C．利用线面平行的性质定理，可得C正确，D．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线或相交直线，故D不正确，故选：C．【分析】根据空间直线和平面平行或垂直的判定定理和性质定理分别进行判断即可．
二、填空题
12、（2017广东汕头潮南考前冲刺）四面体的顶点和各棱中点共10个点，则由这10点构成的直线中，有________对异面直线． 21*cnjy*com
【答案】423 【考点】异面直线的判定 【解析】【解答】解：首先我们确定四面体的顶点和各棱的中点共10个点． 可以构成的三棱锥个数（在这10点中取4个不共面的点的情况）取出的4点不共面比取出的4点共面的情形要复杂，故采用间接法：从10个点中任取4个点有C104种取法，其中4点共面的情况有三类．第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C64种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4顶点共面，有3种．以上三类情况不合要求应减掉，∴不同的取法共有C104﹣4C64﹣6﹣3=141种．即这10个点可以构成141个三棱锥，每个三棱锥中有3对异面直线，所以则由这10点构成的直线中，共有141×3=423对异面直线．故答案为：423【分析】首先我们确定四面体的顶点和各棱的中点共10个点．可以构成的三棱锥个数（在这10点中取4个不共面的点的情况），每个三棱锥中有3对异面直线，则可得这10点构成的直线中，异面直线的对数．
13、（2017黑龙江大庆实验中学考前模拟）已知正三棱锥D﹣ABC侧棱两两垂直，E为棱AD中点，平面α过点A，且α∥平面EBC，α∩平面ABC=m，α∩平面ACD=n，则m，n所成角的余弦值是________．
【答案】【考点】异面直线及其所成的角 【解析】【解答】解：∵α∥平面EBC，α∩平面ABC=m，平面EBC∩平面ABC=BC， ∴m∥BC，同理可得：n∥CE，∴∠BCE为直线m，n所成的角．设正三棱锥的侧棱为1，则BC= ，CE=BE= ，在△BCE中，由余弦定理得：cos∠BCE= = ．故答案为： ． 【分析】利用面面平行的性质可得m∥BC，n∥CE，故∠BCE即为所求角，设棱锥侧棱长为1，利用余弦定理计算cos∠BCE． 21cnjy.com
14、（2017湖北四月调考）已知正六棱锥S﹣ABCDEF的底面边长和高均为1，则异面直线SC与DE所成角的大小为________．
【答案】450 【考点】异面直线及其所成的角 【解析】【解答】解：解：P﹣ABCDEF为正六棱锥，O是底面正六边形ABCDEF的中心． 连接FC、OB、OS，∵ABCDEF为正六边形，∴△AOC为等边三角形．∴OA=OB=AB=1，又∵DE∥FC，∴∠SCO就是异面直线SC与DE所成角．∴SO=OC=1，∴∠SCO=45°．则异面直线SC与DE所成角的大小为450 ． 故答案为：450 ． 【分析】O是底面正六边形ABCDEF的中心．连接FC、OB、OS，可得AOC为等边三角形． DE∥FC，即∠SCO就是异面直线SC与DE所成角． 21世纪教育网版权所有