2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
7.5 直线、平面垂直的判定与性质
考纲剖析
1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理．
2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形垂直关系的简单命题.
知识回顾
1．直线与平面垂直
(1)定义：若直线l与平面α内的 一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．
(2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条 直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直?线面垂直)．即：a?α，b?α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P? .
(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线 ．即：a⊥α，b⊥α? .
2．平面与平面垂直
(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：a?α，a⊥β? .
(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于 的直线与另一个平面垂直．即：α⊥β，a?α，α∩β＝b，a⊥b? .【出处：21教育名师】
3．直线与平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．
(2)线面角θ的范围： .
4．二面角的有关概念
(1)二面角：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱 的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．
精讲方法
一、直线、平面垂直的判定及其性质
（一）直线和平面垂直的判定和性质
证明直线和平面垂直的常用方法有：
（1）利用判定定理；
（2）利用平行线垂直于平面的传递性
（3）利用面面平行的性质
（4）利用面面垂直的性质。
当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线，常用来证明线线垂直。
（二）平面与平面垂直的判定
证明面面垂直的主要方法是：①利用判定定理。在审题时要注意直观判断哪条直线可能是垂线，充分利用等腰三角形底边的中线垂直于底边，勾股定理等结论。②用定义证明。只需判定两平面所成二面角为直二面角。③客观题中，也可应用：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面。
面面垂直的判定综合性强，可通过转化使问题得以解决，“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的关系如图，
其中线线垂直是基础，线面垂直是核心.解决这类问题时要善于挖掘题目中隐含着的线线垂直、线面垂直的条件.
（三）平面与平面垂直性质的应用
(1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”.
(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.
注：（1）当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线。把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线段线线垂直，构造二面角的平面角或得到点到面的距离相等。
（2）已知面面垂直时，通过作辅助线可转化为线面垂直，从而有更多的线线垂直的条件可用，必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系，通过证线面垂直来证线线垂直是空间中两直线垂直证明书的最常用方法。
（四）线面角、二面角求法
高考中对直线与平面所成的角及二面角的考查是热点之一。有时在客观题中考查，更多的是在解答题中考查。
求这两种空间角的步骤：
根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作（找）出该角，再解三角形求出该角，步骤是作（找）认（指）求。
在客观题中，也可用射影法：
设斜线段AB在平面α内的射影为A’B’,AB与α所成角为θ,则cosθ=.
设ΔABC在平面α内的射影三角形为,平面ABC与α所成角为θ,则cosθ=.
例题精讲
考点一 直线与平面垂直的判定和性质
【例题1】已知ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，下列判断中正确的是（?? ）
A、AB⊥PC B、AC⊥平面PBD C、BC⊥平面PAB D、平面PBC⊥平面PDC
【答案】C 【考点】直线与平面垂直的性质 【解析】【解答】解：由题意画出几何体的图形，如图，显然AB⊥PC不正确； AC不垂直PO，所以AC⊥平面PBD不正确； BC⊥AB，PA⊥平面ABCD，PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB，正确． 故选C． 【分析】画出图形，即可判断正确选项． www-2-1-cnjy-com
【变式训练1】（2017福建龙岩连城二中）在空间中，有如下命题：
①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线； ②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m∥平面β； ③若平面α与平面β的交线为m，平面α内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面β； ④若平面α内的三点A、B、C到平面β的距离相等，则α∥β． 其中正确命题的个数为（?? ）个． 【版权所有：21教育】
A、0 B、1 C、2 D、3
考点二 平面与平面垂直的判定与性质
【例题2】（2017湖南长沙模拟）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线 ，且平面α⊥平面C1BD，平面α∩平面ADD1A1=AS，则∠A1AS的正切值为（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】D 【考点】平面与平面垂直的性质 【解析】【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BD⊥AC，BD⊥AA1 ， ∵AC∩AA1=A，∴BD⊥平面AA1C，∴A1C⊥BD， 同理，得A1C⊥BC1 ， ∵BD∩BC1=B，∴A1C⊥平面C1BD， 如图，以AA1为侧棱补作一个正方体AEFG﹣A1PQS， 使得侧面AGRA1与平面ADD1A1共面， 连结AQ，则AQ∥CA1 ， 连结QB1 ， 交A1R于S，则平面AQB1就是平面α，且AS为所求作， ∵AQ∥CA1 ， ∴AQ⊥平面C1BD， ∵AQ?平面α，∴平面α⊥平面C1BD， ∴tan∠A1AS= = ． 故选：D． 【分析】推导出A1C⊥BD，A1C⊥BC1 ， 从而A1C⊥平面C1BD，以AA1为侧棱补作一个正方体AEFG﹣A1PQS，使得侧面AGRA1与平面ADD1A1共面，连结AQ，则AQ∥CA1 ， 连结QB1 ， 交A1R于S，则平面AQB1就是平面α，且AS为所求作，由此能求出结果．
【变式训练2】（2017江西九江三模）如图所示，等腰梯形ABCD的底角A等于60°．直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面 ABCD，∠EDA=90°，且ED=AD=2AF=2AB=2． （Ⅰ）证明：平面ABE⊥平面EBD； （Ⅱ）点M在线段EF上，试确定点M的位置，使平面MAB与平面ECD所成的角的余弦值为 ．
考点三 平行、垂直关系的综合问题
【例题3】（2017江苏扬州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，CD∥AB，AB=2CD，AC交BD于O，锐角△PAD所在平面⊥底面ABCD，PA⊥BD，点Q在侧棱PC上，且PQ=2QC．
(1)求证：PA∥平面QBD；
(2)求证BD⊥AD．
【答案】（1）证明：如图，连接OQ，因为AB∥CD，AB=2 CD， 所以AO=2OC，又PQ=2QC， 所以PA∥OQ， 又OQ?平面QBD，PA?平面QBD， 所以PA∥平面QBD （2）证明：在平面PAD内过P作PH⊥AD于H，因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD， PH?平面PAD，所以PH⊥平面ABCD 又BD?平面ABCD，所以PH⊥BD，又PA⊥BD， 且PA和PH是平面PAD内的两条相交直线，所以BD⊥平面PAD， 又AD?平面PAD，所以BD⊥AD． 【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质 【解析】【分析】（1）连接OQ，可得PA∥OQ，即可证得PA∥平面QBD． （2）在平面PAD内过P作PH⊥AD于H，可得PH⊥平面ABCD，即可得PH⊥BD，可得到以BD⊥平面PAD，即BD⊥AD．
【变式训练3】下列命题中，其中不正确的个数是（?? ） ①若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线相互平行 ②若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线互相平行 ③已知平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，则l⊥γ ④一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一平面β，则α∥β ⑤过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA、PB、PC，若有PA=PB=PC，则点O是△ABC的内心 ⑥垂直于同一条直线的两个平面互相平行．
A、1 B、2 C、3 D、4
考点四 线面角、二面角的求法
【例题4】（2017湖南长沙天心长郡中学模拟）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF∥平面ABCD，EF=1，FB=FC，∠BFC=90°，AE= ．
(1)求证：AB⊥平面BCF；
(2)求直线AE与平面BDE所成角的正切值．
【答案】（1）证明：取AB的中点M，连接EM，则AM=MB=1， ∵EF∥平面ABCD，EF?平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB， ∴EF∥AB，即EF∥MB． ∵EF=MB=1 ∴四边形EMBF是平行四边形． ∴EM∥FB，EM=FB． 在Rt△BFC中，FB2+FC2=BC2=4，又FB=FC，得FB= ． ∴EM= ． 在△AEM中，AE= ，AM=1，EM= ， ∴AM2+EM2=3=AE2 ， ∴AM⊥EM． ∴AM⊥FB，即AB⊥FB． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB⊥BC． ∵FB∩BC=B，FB?平面BCF，BC?平面BCF， ∴AB⊥平面BCF． （2）解：连接AC，AC与BD相交于点O，则点O是AC的中点， 取BC的中点H，连接OH，EO，FH， 则OH∥AB，OH= AB=1． 由（1）知EF∥AB，且EF= AB， ∴EF∥OH，且EF=OH． ∴四边形EOHF是平行四边形． ∴E0∥FH，且EO=FH=1． 由（1）知AB⊥平面BCF，又FH?平面BCF， ∴FH⊥AB， ∵FH⊥BC，AB∩BC=B，FH?平面ABCD，BC平面ABCD， ∴FH⊥平面ABCD． ∴E0⊥平面ABCD． ∵AO?平面ABCD， ∴EO⊥AO． ∵AO⊥BD，EO∩BD=O，EO?平面EBD，BD平面EBD， ∴AO⊥平面EBD． ∴∠AEO是直线AE与平面BDE所成的角． 在Rt△AOE中，tan∠AEO= = ． ∴直线AE与平面BDE所成角的正切值为 ． 【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角 【解析】【分析】（1）先证明出四边形EMBF是平行四边形，推断出EM∥FB，EM=FB．进而在Rt△BFC中求得EM，在△AEM中，根据边长推断出AM2+EM2=3=AE2 ， 进而证明出AM⊥EM．然后证明出四边形ABCD是正方形，进而推断出AB⊥BC．最后通过线面垂直的判定定理证明出AB⊥平面BCF．（2）先证明出∠AEO是直线AE与平面BDE所成的角，进而在Rt△AOE中，求得tan∠AEO．
【变式训练4】（2017福建龙岩二模）已知边长为2的菱形ABCD中，∠BCD=60°，E为DC的中点，如图1所示，将△BCE沿BE折起到△BPE的位置，且平面BPE⊥平面ABED，如图2所示． （Ⅰ）求证：△PAB为直角三角形； （Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣E的余弦值．
真题精析
选择题
1、（2016?浙江）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（ ）
A、m∥l B、m∥n C、n⊥l D、m⊥n
2、（2016?浙江）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（ ） 21cnjy.com
A、m∥l B、m∥n C、n⊥l D、m⊥n
3、(2015·湖南）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E,F分别是BC,CC1的中点。 (1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；(2)若直线AC1与平面AA1BB1所成的角为45°，求三棱锥F-AEC的体积。
4、（2016?四川）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD= AD．
(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
(2)证明：平面PAB⊥平面PBD．
5、（2016?浙江）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．
(1)求证：BF⊥平面ACFD；
(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．
6、（2016?山东）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．
(1)已知AB=BC，AE=EC，求证：AC⊥FB；
(2)已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．
7、（2016?江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1 ． 求证：2-1-c-n-j-y
(1)直线DE∥平面A1C1F；
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
8、（2013?新课标Ⅰ）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1 ， ∠BAA1=60°． (1)证明AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．
9、（2013?辽宁）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点． (1)求证：平面PAC⊥平面PBC；(2)若AB=2，AC=1，PA=1，
（2）求证：二面角C﹣PB﹣A的余弦值．
10、（2013?天津）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点． (1)证明B1C1⊥CE；(2)求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为 ，求线段AM的长．
11、（2014?广东）如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E． (1)证明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．
12、（2014?江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证： (1)直线PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC．
13、（2014?浙江）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC= ． 【来源：21cnj*y.co*m】
(1)证明：DE⊥平面ACD；
(2)求二面角B﹣AD﹣E的大小．
14、（2017?新课标Ⅲ）如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．（12分）
(1)证明：AC⊥BD；
(2)已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
15、（2017?山东）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是 的中点．（12分） （Ⅰ）设P是 上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小； （Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．
16、（2017·山东）由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥C1﹣B1CD1后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为正方形，O为AC与BD 的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD， （Ⅰ）证明：A1O∥平面B1CD1； （Ⅱ）设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1 ．
17、（2017?北京卷）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点． 21教育名师原创作品
(1)求证：PA⊥BD；
(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；
(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．
18、（2017?北京卷）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD= ，AB=4．（14分）
(1)求证：M为PB的中点；
(2)求二面角B﹣PD﹣A的大小；
(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
19、（2017?江苏）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1= ，∠BAD=120°． （Ⅰ）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值； （Ⅱ）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值． 21世纪教育网版权所有
20、（2017?江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10 cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计） （Ⅰ）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度； （Ⅱ）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度． 21·cn·jy·com
21、（2017?新课标Ⅰ卷）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（12分）
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
22、（2017?新课标Ⅰ卷）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（12分） 21教育网
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为 ，求该四棱锥的侧面积． 21·世纪*教育网
23、(2015·山东）?如图，三棱台-中，分别为,的中点.
(1)求证：平面；
(2)若,,求证：平面。
24、（2017?新课标Ⅲ）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD． （Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面ABC； （Ⅱ）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值． 【来源：21·世纪·教育·网】
25、(2015·湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱PD底面ABCD,且PD=CD,点E是BC的中点，连接DE,BD,BE (I)证明：DE底面PBC，试判断四面体EBCD是否为鳖臑. 若是，写出其四个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； （Ⅱ）记阳马的体积为，四面体的体积为，求的值．21*cnjy*com
模拟题精练
1、已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是(?? ）
A、若则 B、若,则 C、若则 D、若则
2、已知为不同的直线，为不同的平面，给出下列四个命题： ①若， 则；??????????????②若， 则； ③若， 则；??④若， 则. 其中所有正确命题的序号是（ ???）
A、①② B、②③ C、①③ D、①④
3、已知两个平面垂直，下列命题中： (1)一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； (2)一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线； (3)一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面； (4)过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确命题的个数有(? )
A、1 B、2 C、3 D、4
4、如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，BD∩AC=O，M是线段D1O上的动点，过点M做平面ACD1的垂线交平面A1B1C1D1于点N，则点N到点A距离的最小值为（????） www.21-cn-jy.com
A、 B、 C、 D、1
5、如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，若P为三角形A1B1C1内一点（不含边界），则点P在底面ABC的投影可能在（?? ）
A、△ABC的内部 B、△ABC的外部 C、直线AB上 D、以上均有可能
如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知E为棱CC1上的动点．
(1)求证：A1E⊥BD；(2)是否存在这样的E点，使得平面A1BD⊥平面EBD？若存在，请找出这样的E点；若不存在，请说明理由．
7、如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PBC的大小（?? ） 2·1·c·n·j·y
A、不变 B、变小 C、变大 D、有时变大有时变小
8、（2016河北衡水冀州中学）设PH⊥平面ABC，且PA，PB，PC相等，则H是△ABC的（?? ）
21*cnjy*com
A、内心 B、外心 C、垂心 D、重心
9、（2016河北衡水冀州中学）垂直于同一平面的两条直线一定（?? ）
A、平行 B、相交 C、异面 D、以上都有可能
10、（2017福建福州一中模拟）在棱长为1的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E是AA'的中点，P是三角形BDC'内的动点，EP⊥BC'，则P的轨迹长为（?? ）
A、 B、 C、 D、
11、（2017江西景德镇一中期末）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为（?? ）
A、 B、 C、 D、
二、解答题
12、（2017安徽蚌埠二模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，AC=2BC=2CD=4，∠ACB=∠ACD=60°．
(1)证明：CP⊥BD；
(2)若AP=PC=2 ，求二面角A﹣BP﹣C的余弦值．
13、（2017上海浦东新三模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD为平行四边形，若∠DAB=60°，AB=2，AD=1．
(1)求证：PA⊥BD；
(2)若∠PCD=45°，求点D到平面PBC的距离h．
14、（2017上海杨浦三模）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥AD，AD=AB=1．AA1=CD=2．E为棱DD1的中点．
(1)证明：B1C1⊥平面BDE；
(2)求二面角D﹣BE﹣C1的大小．
15、（2017福建宁德三模）如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，∠BAD=120°，M为CD上的点．且∠A1AB=∠A1AD=90°，AD=A1A=2，A1B1=DM=1．
(1)求证：AM⊥A1B；
(2)若M为CD的中点，N为棱DD1上的点，且MN与平面A1BD所成角的正弦值为 ，试求DN的长．
16、（2017湖北襄阳五中三模）已知在四棱锥C﹣ABDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，△ABC是边长为2的等边三角形，AE=1，M为AB的中点．
(1)求证：CM⊥EM；
(2)若直线DM与平面ABC所成角的正切值为2，求二面角B﹣CD﹣E的大小．
17、（2017四川成都三诊）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，DE=2，M为线段BF上一点，且DM⊥平面ACE．
(1)求BM的长；
(2)求二面角A﹣DM﹣B的余弦值的大小．
2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
7.5 直线、平面垂直的判定与性质（答案）
知识回顾
1．直线与平面垂直
(1)定义：若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．
(2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直?线面垂直)．即：a?α，b?α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P?l⊥α.
(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．即：a⊥α，b⊥α?a∥b.
2．平面与平面垂直
(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：a?α，a⊥β?α⊥β.
(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．即：α⊥β，a?α，α∩β＝b，a⊥b?a⊥β.21cnjy.com
3．直线与平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．
(2)线面角θ的范围：θ∈.
4．二面角的有关概念
(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．2·1·c·n·j·y
例题精讲
考点一 直线与平面垂直的判定和性质
【变式训练1】（2017福建龙岩连城二中）在空间中，有如下命题：
①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线； ②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m∥平面β； ③若平面α与平面β的交线为m，平面α内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面β； ④若平面α内的三点A、B、C到平面β的距离相等，则α∥β． 其中正确命题的个数为（?? ）个． 【来源：21·世纪·教育·网】
A、0 B、1 C、2 D、3
【答案】B 【考点】平面的基本性质及推论，直线与平面垂直的判定 【解析】【解答】解：两平行线在同一平面内的射影还可能是两个点，故①错； 两平面平行则无公共点，平面α内任意一条直线m∥平面β，故②对； 由面面垂直的性质定理，少面面垂直条件，故③错； 三点位于平面异侧也满足距离相等，故④错； 综合可得，正确命题为②． 故选B． 【分析】由射影的定义、两平面平行的定义和面面垂直的性质定理，逐项判断．
考点二 平面与平面垂直的判定与性质
【变式训练2】（2017江西九江三模）如图所示，等腰梯形ABCD的底角A等于60°．直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面 ABCD，∠EDA=90°，且ED=AD=2AF=2AB=2． （Ⅰ）证明：平面ABE⊥平面EBD； （Ⅱ）点M在线段EF上，试确定点M的位置，使平面MAB与平面ECD所成的角的余弦值为 ． 2-1-c-n-j-y
【答案】（I）证明：∵平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF=AD，ED⊥AD，ED?平面ADEF， ∴ED⊥平面ABCD，∵AB?平面ABCD， ∴ED⊥AD， ∵AB=1，AD=2，∠BAD=60°， ∴BD= = ， ∴AB2+BD2=AD2 ， ∴AB⊥BD， 又BD?平面BDE，ED?平面BDE，BD∩ED=D， ∴AB⊥平面BDE，又AB?平面ABE， ∴平面ABE⊥平面EBD． （II）解：以B为原点，以BA，BD为x轴，y轴建立空间直角坐标系B﹣xyz， 则A（1，0，0），B（0，0，0），C（﹣ ， ，0），D（0， ，0），E（0， ，2）， F（1，0，1），则 =（ ， ，0）， =（0，0，2）， =（1，0，0）， =（1，﹣ ，﹣1）， 设 =λ =（λ，﹣ λ，﹣λ）（0≤λ≤1），则 = + =（λ， ﹣ ，2﹣λ）， 设平面CDE的法向量为 =（x1 ， y1 ， z1），平面ABM的法向量为 =（x2 ， y2 ， z2）， 则 ， ， ∴ ， ， 令y1=1得 =（﹣ ，1，0），令y2=2﹣λ得 =（0，2﹣λ， ）， ∴cos＜ ＞= = = ，解得λ= ， ∴当M为EF的中点时，平面MAB与平面ECD所成的角的余弦值为 ． 【考点】平面与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法 【解析】【分析】（I）计算BD，根据勾股定理逆定理得出AB⊥BD，再根据ED⊥平面ABCD得出ED⊥AB，故而AB⊥平面ADEF，从而平面ABE⊥平面EBD；（II）建立空间坐标系，设 =λ ，求出两平面的法向量，令法向量的夹角余弦值的绝对值等于 ，解出λ即可得出结论． 【来源：21cnj*y.co*m】
考点三 平行、垂直关系的综合问题
【变式训练3】下列命题中，其中不正确的个数是（?? ） ①若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线相互平行 ②若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线互相平行 ③已知平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，则l⊥γ ④一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一平面β，则α∥β ⑤过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA、PB、PC，若有PA=PB=PC，则点O是△ABC的内心 ⑥垂直于同一条直线的两个平面互相平行．
A、1 B、2 C、3 D、4
【答案】C 【考点】平面的基本性质及推论，平面与平面平行的性质，直线与平面垂直的判定 【解析】【解答】解：①如正方体从一个定点出发的三条棱，两两互相垂直，故①②错； ③设α∩γ=a，β∩γ=b，在平面γ内作直线c⊥a，d⊥b，c∩d=O ∵平面α⊥平面γ，∴c⊥α，∵l?α，∴c⊥l，同理可证d⊥l 即l垂直于平面γ内的两条相交直线，∴l⊥γ，③正确； ④依据面面平行的判定定理，一个平面α内两条相交的直线都平行于另一平面β，则α∥β，可判断④正确； ⑤∵PA=PB=PC，∴它们在平面ABC内的射影OA=OB=OC，从而点O为三角形ABC的外心，⑤错； ⑥垂直于同一条直线的两个平面，即两平面的法向量共线，故两平面平行，⑥正确； 故正确命题有③④⑥三个 故选 C 【分析】通过举反例可判断①②错误；利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理可证明③正确；利用面面平行的判定定理可判断④正确；利用直线在平面内的射影性质，可判断⑤错误；利用空间向量理论可证明⑥正确
考点四 线面角、二面角的求法
【变式训练4】（2017福建龙岩二模）已知边长为2的菱形ABCD中，∠BCD=60°，E为DC的中点，如图1所示，将△BCE沿BE折起到△BPE的位置，且平面BPE⊥平面ABED，如图2所示． （Ⅰ）求证：△PAB为直角三角形； （Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣E的余弦值．
【答案】证明：（Ⅰ）∵边长为2的菱形ABCD中，∠BCD=60°，E为DC的中点，如图1所示， ∴BE⊥DC，AB∥CD，∴AB⊥BE，∴∠ABE=90°， ∵将△BCE沿BE折起到△BPE的位置，且平面BPE⊥平面ABED，如图2所示． 在翻折过程中，∠ABE=90°不变， ∴在△ABP中，∠ABP=90°， ∴△PAB为直角三角形． 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠BED=∠ABE=90°，∴DE⊥BE， 以E为原点，ED为x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系， A（2， ，0），P（0，0，1），D（1，0，0），E（0，0，0）， =（﹣1，0，1）， =（1， ，0）， =（0，0，1）， =（1，0，0）， 设平面ADP的法向量 =（x，y，z）， 则 ，取x= ，得 =（ ）， 平面PDE的法向量 =（1，0，0）， 设二面角A﹣PD﹣E的平面角为θ， 则cosθ= = = ， ∴二面角A﹣PD﹣E的余弦值为 ． 【考点】直线与平面垂直的性质，二面角的平面角及求法 【解析】【分析】（Ⅰ）推导出BE⊥DC，AB∥CD，从而AB⊥BE，进而∠ABE=90°，将△BCE沿BE折起到△BPE的位置，且平面BPE⊥平面ABED，在翻折过程中，∠ABE=90°不变，由此能证明△PAB为直角三角形．（Ⅱ）以E为原点，ED为x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣PD﹣E的余弦值．
真题精析
选择题
1、（2016?浙江）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（ ）
A、m∥l B、m∥n C、n⊥l D、m⊥n
【答案】C 【考点】直线与平面垂直的判定 【解析】【解答】解：∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m，n满足m∥α， ∴m∥β或m?β或m⊥β，l?β， ∵n⊥β， ∴n⊥l． 故选：C． 【分析】由已知条件推导出l?β，再由n⊥β，推导出n⊥l．本题考查两直线关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
2、（2016?浙江）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（ ）
A、m∥l B、m∥n C、n⊥l D、m⊥n
【答案】C 【考点】直线与平面垂直的判定 【解析】【解答】解：∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m，n满足m∥α， ∴m∥β或m?β或m⊥β，l?β， ∵n⊥β， ∴n⊥l． 故选：C． 【分析】由已知条件推导出l?β，再由n⊥β，推导出n⊥l．本题考查两直线关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
3、(2015·湖南）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E,F分别是BC,CC1的中点。 (1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；(2)若直线AC1与平面AA1BB1所成的角为45°，求三棱锥F-AEC的体积。
【答案】
（1）略。 （2） 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定 【解析】【解答】（I）如图，因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱， 所以AE⊥BB1 ， 又E是正三角形的边BC的中点， ABC所以AE⊥BC，因此AE⊥平面B1BCC1 ， 而AE平面AEF， 所以平面AEF⊥平面B1BCC1。 （II）设AB的中点为D，连接A1DCD，因为△ABC是正三角形，所以CD⊥AB，又三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以，因此CD⊥平面A1AB1B，于是∠CA1D直线A1C与平面A1ABB1所成的角，由题设知∠CA1D=45°， 所以A1D=CD=AB=， 在Rt△AA1D中，AA1===，所以FC=AA1= 故三棱锥F-AEC的体积V=SAECxFC=xx=。 【分析】首先证明AE⊥BB1 ， AE⊥BC，得到AE⊥平面BBCC1 ， 利用面面垂直的判定与性质定理可得平面AEF⊥平面B1BCC1； (II)设AB的中点为D,证明直线∠CA1D直线A1C与平面A1ABB1所成的角，由题设知∠CA1D=45°，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积. 证明面面垂直的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．求锥的体积关键在于确定其高，即确定线面垂直.
4、（2016?四川）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD= AD． 21世纪教育网版权所有
(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
(2)证明：平面PAB⊥平面PBD．
【答案】（1）证明： M为PD的中点，直线CM∥平面PAB． 取AD的中点E，连接CM，ME，CE，则ME∥PA， ∵ME?平面PAB，PA?平面PAB， ∴ME∥平面PAB． ∵AD∥BC，BC=AE， ∴ABCE是平行四边形， ∴CE∥AB． ∵CE?平面PAB，AB?平面PAB， ∴CE∥平面PAB． ∵ME∩CE=E， ∴平面CME∥平面PAB， ∵CM?平面CME， ∴CM∥平面PAB； （2）解：∵PA⊥CD，∠PAB=90°，AB与CD相交， ∴PA⊥平面ABCD， ∵BD?平面ABCD， ∴PA⊥BD， 由（1）及BC=CD= AD，可得∠BAD=∠BDA=45°， ∴∠ABD=90°，∴BD⊥AB， ∵PA∩AB=A， ∴BD⊥平面PAB， ∵BD?平面PBD， ∴平面PAB⊥平面PBD 【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定 【解析】【分析】（1）M为PD的中点，直线CM∥平面PAB．取AD的中点E，连接CM，ME，CE，则ME∥PA，证明平面CME∥平面PAB，即可证明直线CM∥平面PAB；（II）证明：BD⊥平面PAB，即可证明平面PAB⊥平面PBD；本题主要考查了直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．
5、（2016?浙江）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3． 21教育名师原创作品
(1)求证：BF⊥平面ACFD；
(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．
【答案】（1）证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示： ∵平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC； ∴AC⊥平面BCK，BF?平面BCK； ∴BF⊥AC； 又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2； ∴△BCK为等边三角形，且F为CK的中点； ∴BF⊥CK，且AC∩CK=C； ∴BF⊥平面ACFD （2）∵BF⊥平面ACFD； ∴∠BDF是直线BD和平面ACFD所成的角； ∵F为CK中点，且DF∥AC； ∴DF为△ACK的中位线，且AC=3； ∴ ； 又 ； ∴在Rt△BFD中， ，cos ； 即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为 ． 【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角 【解析】【分析】（1）根据三棱台的定义，可知分别延长AD，BE，CF，会交于一点，并设该点为K，并且可以由平面BCFE⊥平面ABC及∠ACB=90°可以得出AC⊥平面BCK，进而得出BF⊥AC．而根据条件可以判断出点E，F分别为边BK，CK的中点，从而得出△BCK为等边三角形，进而得出BF⊥CK，从而根据线面垂直的判定定理即可得出BF⊥平面ACFD； （2）由BF⊥平面ACFD便可得出∠BDF为直线BD和平面ACFD所成的角，根据条件可以求出BF= ，DF= ，从而在Rt△BDF中可以求出BD的值，从而得出cos∠BDF的值，即得出直线BD和平面ACFD所成角的余弦值． 考查三角形中位线的性质，等边三角形的中线也是高线，面面垂直的性质定理，以及线面垂直的判定定理，线面角的定义及求法，直角三角形边的关系，三角函数的定义．
6、（2016?山东）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．
(1)已知AB=BC，AE=EC，求证：AC⊥FB；
(2)已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．
【答案】（1）证明：如图所示， ∵D是AC的中点，AB=BC，AE=EC，∴△BAC、△EAC都是等腰三角形， ∴BD⊥AC，ED⊥AC． ∵EF∥DB，∴E、F、B、D四点共面，这样，AC垂直于平面EFBD内的两条相交直线ED、BD， ∴AC⊥平面EFBD． 显然，FB?平面EFBD，∴AC⊥FB （2）解：已知G，H分别是EC和FB的中点，再取CF的中点O，则OG∥EF，∵OG∥BD， ∴OG∥BD，而BD?平面ABC，∴OG∥平面ABC． 同理，OH∥BC，而BC?平面ABC，∴OH∥平面ABC． ∵OG∩OH=O，∴平面OGH∥平面ABC，∴GH∥平面ABC． 【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质 【解析】【分析】（1）由条件利用等腰三角形的性质，证得BD⊥AC，ED⊥AC，再利用直线和平面垂直的判定定理证得AC⊥平面EFBD，从而证得AC⊥FB．（2）再取CF的中点O，利用直线和平面平行的判定定理证明 OG∥平面ABC，OH∥平面ABC，可得平面OGH∥平面ABC，从而证得GH∥平面ABC．；本题主要考查直线和平面垂直的判定和性质，直线和平面平行的判定与性质，属于中档题．
7、（2016?江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1 ． 求证：
(1)直线DE∥平面A1C1F；
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
【答案】（1）证明∵D，E分别为AB，BC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥AC， ∵ABC﹣A1B1C1为棱柱， ∴AC∥A1C1 ， ∴DE∥A1C1 ， ∵A1C1?平面A1C1F，且DE?平面A1C1F， ∴DE∥A1C1F； （2）证明∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱， ∴AA1⊥平面A1B1C1 ， ∴AA1⊥A1C1 ， 又∵A1C1⊥A1B1 ， 且AA1∩A1B1=A1 ， AA1、A1B1?平面AA1B1B， ∴A1C1⊥平面AA1B1B， ∵DE∥A1C1 ， ∴DE⊥平面AA1B1B， 又∵A1F?平面AA1B1B， ∴DE⊥A1F， 又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE、B1D?平面B1DE， ∴A1F⊥平面B1DE， 又∵A1F?平面A1C1F， ∴平面B1DE⊥平面A1C1F． 【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定 【解析】【分析】（1）通过证明DE∥AC，进而DE∥A1C1 ， 据此可得直线DE∥平面A1C1F1；（2）通过证明A1F⊥DE结合题目已知条件A1F⊥B1D，进而可得平面B1DE⊥平面A1C1F
8、（2013?新课标Ⅰ）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1 ， ∠BAA1=60°． (1)证明AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．
【答案】 （1）解：取AB的中点O，连接OC，OA1 ， A1B， 因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1 ， ∠BAA1=60°， 所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB， 又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C， 又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C； （2）解：由（1）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB， 所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1 ， OC两两垂直． 以O为坐标原点， 的方向为x轴的正向，| |为单位长，建立如图所示的坐标系， 可得A（1，0，0），A1（0， ，0），C（0，0， ），B（﹣1，0，0）， 则 =（1，0， ）， =（﹣1， ，0）， =（0，﹣ ， ）， 设 =（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则 ，即 ， 可取y=1，可得 =（ ，1，﹣1），故cos＜ ， ＞= =- ， 又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值， 故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为： ． 【考点】直线与平面垂直的性质，平面与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，用空间向量求直线与平面的夹角 【解析】【分析】（1）取AB的中点O，连接OC，OA1 ， A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；（2）易证OA，OA1 ， OC两两垂直．以O为坐标原点， 的方向为x轴的正向，| |为单位长，建立坐标系，可得 ， ， 的坐标，设 =（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则 ，可解得 =（ ，1，﹣1），可求|cos＜ ， ＞|，即为所求正弦值．
9、（2013?辽宁）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点． (1)求证：平面PAC⊥平面PBC；(2)若AB=2，AC=1，PA=1，
（2）求证：二面角C﹣PB﹣A的余弦值．
【答案】 （1）证明：如图， 由AB是圆的直径，得AC⊥BC． 由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC． 又PA∩AC=A，PA?平面APC，AC?平面PAC， 所以BC⊥平面PAC． 因为BC?平面PBC， 所以平面PAC⊥平面PBC； （2）解：过C作CM⊥AB于M， 因为PA⊥平面ABC，CM?平面ABC，所以PA⊥CM， 故CM⊥平面PAB． 过M作MN⊥PB于N，连接NC． 由三垂线定理得CN⊥PB． 所以∠CNM为二面角C﹣PB﹣A的平面角． 在Rt△ABC中，由AB=2，AC=1，得 ， ， ． 在Rt△ABP中，由AB=2，AP=1，得 ． 因为Rt△BNM∽Rt△BAP，所以 ． 故MN= ． 又在Rt△CNM中， ．故cos ． 所以二面角C﹣PB﹣A的余弦值为 ． 【考点】平面与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法 【解析】【分析】（1）要证平面PAC⊥平面PBC，只要证明平面PBC经过平面PAC的一条垂线BC即可，利用题目给出的条件借助于线面垂直的判定定理能够证明BC⊥平面PAC（2）因为平面PAB和平面ABC垂直，只要在平面ABC内过C作两面的交线AB的垂线，然后过垂足再作PB的垂线，连结C和后一个垂足即可得到二面角C﹣PB﹣A的平面角，然后在作出的直角三角形中通过解直角三角形即可求得二面角C﹣PB﹣A的余弦值．21·世纪*教育网
10、（2013?天津）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点． (1)证明B1C1⊥CE；(2)求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为 ，求线段AM的长．
【答案】 （1）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图， 依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）． 则 ， 而 =0． 所以B1C1⊥CE； （2）解： ， 设平面B1CE的法向量为 ， 则 ，即 ，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2． 所以 ． 由（1）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1 ， 所以B1C1⊥平面CEC1 ， 故 为平面CEC1的一个法向量， 于是 = ． 从而 = = ． 所以二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值为 ． （3）解： ， 设 ?0≤λ≤1， 有 ． 取 为平面ADD1A1的一个法向量， 设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角， 则 = = ． 于是 ． 解得 ．所以 ． 所以线段AM的长为 ． 【考点】直线与平面垂直的性质，直线与平面所成的角，二面角的平面角及求法 【解析】【分析】（1）由题意可知，AD，AB，AA1两两互相垂直，以a为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出 和 ，由 得到B1C1⊥CE；（2）求出平面B1CE和平面CEC1的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，利用同角三角函数基本关系求出其正弦值，则二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值可求；（3）利用共线向量基本定理把M的坐标用E和C1的坐标及待求系数λ表示，求出平面ADD1A1的一个法向量，利用向量求线面角的公式求出直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值，代入 求出λ的值，则线段AM的长可求．
11、（2014?广东）如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E． (1)证明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．www.21-cn-jy.com
【答案】 （1）解：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD， 又CD⊥AD，PD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD， ∴AD⊥PC，又AF⊥PC， ∴PC⊥平面ADF，即CF⊥平面ADF （2）解：设AB=1，在RT△PDC中，CD=1，∠DPC=30°， ∴PC=2，PD= ，由（1）知CF⊥DF， ∴DF= ，AF= = ， ∴CF= = ，又FE∥CD， ∴ ，∴DE= ，同理可得EF= CD= ， 如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系， 则A（0，0，1），E（ ，0，0），F（ ， ，0），P（ ，0，0），C（0，1，0） 设向量 =（x，y，z）为平面AEF的法向量，则有 ， ， ∴ ，令x=4可得z= ，∴ =（4，0， ）， 由（1）知平面ADF的一个法向量为 =（ ，1，0）， 设二面角D﹣AF﹣E的平面角为θ，可知θ为锐角， cosθ=|cos＜ ， ＞|= ?= ?= ∴二面角D﹣AF﹣E的余弦值为： 【考点】直线与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角，二面角的平面角及求法 【解析】【分析】（1）结合已知又直线和平面垂直的判定定理可判PC⊥平面ADF，即得所求；（2）由已知数据求出必要的线段的长度，建立空间直角坐标系，由向量法计算即可．
12、（2014?江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证： (1)直线PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC．
【答案】 （1）证明：∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA， 又∵PA?平面DEF，DE?平面DEF， ∴PA∥平面DEF （2）证明：∵D、E为PC、AC的中点，∴DE= PA=3； 又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF= BC=4； ∴DE2+EF2=DF2 ， ∴∠DEF=90°， ∴DE⊥EF； ∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC； ∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC； ∵DE?平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC 【考点】直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定 【解析】【分析】（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可．
13、（2014?浙江）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC= ．
(1)证明：DE⊥平面ACD；
(2)求二面角B﹣AD﹣E的大小．
【答案】（1）证明：在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD=2，得BD=BC= ， 由AC= ，AB=2得AB2=AC2+BC2 ， 即AC⊥BC， 又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE， 所以AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD； （2）解：作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG，由（Ⅰ）知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角，在直角梯形BCDE中，由CD2=BC2+BD2 ， 得BD⊥BC， 又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，从而BD⊥AB， 由于AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD． 在Rt△ACD中，由DC=2，AC= ，得AD= ； 在Rt△AED中，由ED=1，AD= 得AE= ； 在Rt△ABD中，由BD= ，AB=2，AD= 得BF= ，AF= AD，从而GF= ， 在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分别可得cos∠BAE= ，BG= ． 在△BFG中，cos∠BFG= = ， 所以，∠BFG= ，二面角B﹣AD﹣E的大小为 ． 【考点】直线与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法 【解析】【分析】（1）依题意，易证AC⊥平面BCDE，于是可得AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；（2）作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG，由（1）知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角，利用题中的数据，解三角形，可求得BF= ，AF= AD，从而GF= ，cos∠BFG= = ，从而可求得答案．
14、（2017?新课标Ⅲ）如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．（12分）
(1)证明：AC⊥BD；
(2)已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
【答案】（1）证明：取AC中点O，连结DO、BO， ∵△ABC是正三角形，AD=CD， ∴DO⊥AC，BO⊥AC， ∵DO∩BO=O，∴AC⊥平面BDO， ∵BD?平面BDO，∴AC⊥BD． （2）解：设AD=CD= ，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1， ∴BO= = ，∴BO2+DO2=BD2 ， ∴BO⊥DO， 以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系， 则C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0， ，0），A（1，0，0）， 设E（a，b，c）， ，（0≤λ≤1），则（a，b，c﹣1）=λ（0， ，﹣1），解得E（0， ，1﹣λ）， ∴ =（1， ）， =（﹣1， ）， ∵AE⊥EC，∴ =﹣1+3λ2+（1﹣λ）2=0， 由λ∈[0，1]，解得 ，∴DE=BE， ∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h， ∵DE=BE，∴S△DCE=S△BCE ， ∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的性质，空间向量的数乘运算，空间向量的数量积运算，空间向量运算的坐标表示 【解析】【分析】（1.）取AC中点O，连结DO、BO，推导出DO⊥AC，BO⊥AC，从而AC⊥平面BDO，由此能证明AC⊥BD． （2.）设AD=CD= ，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，BO= ，推导出BO⊥DO，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，由AE⊥EC，求出DE=BE，由此能求出四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
15、（2017?山东）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是 的中点．（12分） （Ⅰ）设P是 上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小； （Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．
【答案】解：（Ⅰ）∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP?平面ABP，AB∩AP=A， ∴BE⊥平面ABP，又BP?平面ABP， ∴BE⊥BP，又∠EBC=120°， 因此∠CBP=30°； （Ⅱ）解法一、 取 的中点H，连接EH，GH，CH， ∵∠EBC=120°，∴四边形BEGH为菱形， ∴AE=GE=AC=GC= ． 取AG中点M，连接EM，CM，EC， 则EM⊥AG，CM⊥AG， ∴∠EMC为所求二面角的平面角． 又AM=1，∴EM=CM= ． 在△BEC中，由于∠EBC=120°， 由余弦定理得：EC2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12， ∴ ，因此△EMC为等边三角形， 故所求的角为60°． 解法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 由题意得：A（0，0，3），E（2，0，0），G（1， ，3），C（﹣1， ，0）， 故 ， ， ． 设 为平面AEG的一个法向量， 由 ，得 ，取z1=2，得 ； 设 为平面ACG的一个法向量， 由 ，可得 ，取z2=﹣2，得 ． ∴cos＜ ＞= ． ∴二面角E﹣AG﹣C的大小为60°． 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台），直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，用空间向量求平面间的夹角，二面角的平面角及求法 【解析】【分析】（Ⅰ）由已知利用线面垂直的判定可得BE⊥平面ABP，得到BE⊥BP，结合∠EBC=120°求得∠CBP=30°； （Ⅱ）法一、取 的中点H，连接EH，GH，CH，可得四边形BEGH为菱形，取AG中点M，连接EM，CM，EC，得到EM⊥AG，CM⊥AG，说明∠EMC为所求二面角的平面角．求解三角形得二面角E﹣AG﹣C的大小． 法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出A，E，G，C的坐标，进一步求出平面AEG与平面ACG的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E﹣AG﹣C的大小．
16、（2017·山东）由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥C1﹣B1CD1后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为正方形，O为AC与BD 的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD， （Ⅰ）证明：A1O∥平面B1CD1； （Ⅱ）设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1 ．
【答案】证明：（Ⅰ）取B1D1中点G，连结A1G、CG， ∵四边形ABCD为正方形，O为AC与BD 的交点， ∴四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥C1﹣B1CD1后，A1G OC， ∴四边形OCGA1是平行四边形，∴A1O∥CG， ∵A1O?平面B1CD1 ， CG?平面B1CD1 ， ∴A1O∥平面B1CD1 ． （Ⅱ）四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥C1﹣B1CD1后，BD B1D1 ， ∵M是OD的中点，O为AC与BD 的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD， 又BD?平面ABCD，∴BD⊥A1E， ∵四边形ABCD为正方形，O为AC与BD 的交点， ∴AO⊥BD， ∵M是OD的中点，E为AD的中点，∴EM⊥BD， ∵A1E∩EM=E，∴BD⊥平面A1EM， ∵BD∥B1D1 ， ∴B1D1⊥平面A1EM， ∵B1D1?平面B1CD1 ， ∴平面A1EM⊥平面B1CD1 ． 【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定 【解析】【分析】（Ⅰ）取B1D1中点G，连结A1G、CG，推导出A1G OC，从而四边形OCGA1是平行四边形，进而A1O∥CG，由此能证明A1O∥平面B1CD1 ． （Ⅱ）推导出BD⊥A1E，AO⊥BD，EM⊥BD，从而BD⊥平面A1EM，再由BD∥B1D1 ， 得B1D1⊥平面A1EM，由此能证明平面A1EM⊥平面B1CD1 ．
17、（2017?北京卷）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点． 【版权所有：21教育】
(1)求证：PA⊥BD；
(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；
(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．
【答案】（1）解：证明：由PA⊥AB，PA⊥BC， AB?平面ABC，BC?平面ABC，且AB∩BC=B， 可得PA⊥平面ABC， 由BD?平面ABC， 可得PA⊥BD； （2）解：证明：由AB=BC，D为线段AC的中点， 可得BD⊥AC， 由PA⊥平面ABC，PA?平面PAC， 可得平面PAC⊥平面ABC， 又平面ABC∩平面ABC=AC， BD?平面ABC，且BD⊥AC， 即有BD⊥平面PAC， BD?平面BDE， 可得平面BDE⊥平面PAC； （3）解：PA∥平面BDE，PA?平面PAC， 且平面PAC∩平面BDE=DE， 可得PA∥DE， 又D为AC的中点， 可得E为PC的中点，且DE= PA=1， 由PA⊥平面ABC， 可得DE⊥平面ABC， 可得S△BDC= S△ABC= × ×2×2=1， 则三棱锥E﹣BCD的体积为 DE?S△BDC= ×1×1= ． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，平面与平面垂直的判定，平面与平面垂直的性质 【解析】【分析】（1.）运用线面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABC，再由性质定理即可得证； （2.）要证平面BDE⊥平面PAC，可证BD⊥平面PAC，由（1）运用面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面ABC，再由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，运用面面垂直的性质定理，即可得证； （3.）由线面平行的性质定理可得PA∥DE，运用中位线定理，可得DE的长，以及DE⊥平面ABC，求得三角形BCD的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值．
18、（2017?北京卷）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD= ，AB=4．（14分）
(1)求证：M为PB的中点；
(2)求二面角B﹣PD﹣A的大小；
(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：如图，设AC∩BD=O， ∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM， ∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM， ∴PD∥OM，则 ，即M为PB的中点； （2）解：取AD中点G， ∵PA=PD，∴PG⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG， 由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD． 以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系， 由PA=PD= ，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0， ），C（2，4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2， ）， ， ． 设平面PBD的一个法向量为 ， 则由 ，得 ，取z= ，得 ． 取平面PAD的一个法向量为 ． ∴cos＜ ＞= = ． ∴二面角B﹣PD﹣A的大小为60°； （3）解： ，平面PAD的一个法向量为 ． ∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos＜ ＞|=| |=| |= ． 【考点】直线与平面平行的性质，平面与平面垂直的性质，直线与平面所成的角，二面角的平面角及求法 【解析】【分析】（1.）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点； （2.）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小； （3.）求出 的坐标，由 与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
19、（2017?江苏）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1= ，∠BAD=120°． （Ⅰ）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值； （Ⅱ）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．
【答案】解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD， ∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax?平面ABCD， ∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD， 以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系． ∵AB=AD=2，AA1= ，∠BAD=120°， ∴A（0，0，0），B（ ），C（ ，1，0）， D（0，2，0）， A1（0，0， ），C1（ ）． =（ ）， =（ ）， ， ． （Ⅰ）∵cos＜ ＞= = ． ∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为 ； （Ⅱ）设平面BA1D的一个法向量为 ， 由 ，得 ，取x= ，得 ； 取平面A1AD的一个法向量为 ． ∴cos＜ ＞= = ． ∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为 ，则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为 ． 【考点】异面直线及其所成的角，直线与平面垂直的性质，用空间向量求直线间的夹角、距离，二面角的平面角及求法 【解析】【分析】在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，由AA1⊥平面ABCD，可得AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A，B，C，D，A1 ， C1 的坐标，进一步求出 ， ， ， 的坐标． （Ⅰ）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值； （Ⅱ）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值，进一步得到正弦值．
20、（2017?江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10 cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计） （Ⅰ）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度； （Ⅱ）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．
【答案】解：（Ⅰ）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N， 在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P， ∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD， 又∵AC?平面ABCD，∴CC1⊥AC，∴NP⊥AC， ∴NP=12cm，且AM2=AC2+MC2 ， 解得MC=30cm， ∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC， ∴ = ， ，得AN=16cm． ∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm． （Ⅱ）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N， 在平面E1EGG1中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P， 过点E作EQ⊥E1G1 ， 交E1G1于点Q， ∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台，∴EE1=GG1 ， EG∥E1G1 ， EG≠E1G1 ， ∴EE1G1G为等腰梯形，画出平面E1EGG1的平面图， ∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm， ∴E1Q=24cm， 由勾股定理得：E1E=40cm， ∴sin∠EE1G1= ，sin∠EGM=sin∠EE1G1= ，cos ， 根据正弦定理得： = ，∴sin ，cos ， ∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG= ， ∴EN= = =20cm． ∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm． 【考点】正弦定理，棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质 【解析】【分析】（Ⅰ）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N作NP∥MC，交AC于点P，推导出CC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度． （Ⅱ）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1 ， 交E1G1于点Q，推导出EE1G1G为等腰梯形，求出E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM= ，由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度．
21、（2017?新课标Ⅰ卷）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（12分）
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
【答案】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD， ∵AB∥CD，∴AB⊥PD， 又∵PA∩PD=P，且PA?平面PAD，PD?平面PAD， ∴AB⊥平面PAD，又AB?平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PAD； （2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形， 由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形， 在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形， 设PA=AB=2a，则AD= ． 取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE， 以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则：D（ ），B（ ），P（0，0， ），C（ ）． ， ， ． 设平面PBC的一个法向量为 ， 由 ，得 ，取y=1，得 ． ∵AB⊥平面PAD，AD?平面PAD，∴AB⊥AD， 又PD⊥PA，PA∩AB=A， ∴PD⊥平面PAB，则 为平面PAB的一个法向量， ． ∴cos＜ ＞= = ． 由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角， ∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为 ． 【考点】平面与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法 【解析】【分析】（1.）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD； （2.）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，设PA=AB=2a，则AD= ．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PD⊥平面PAB，得 为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C的余弦值． 21教育网
22、（2017?新课标Ⅰ卷）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（12分）
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为 ，求该四棱锥的侧面积．
【答案】（1）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，∠BAP=∠CDP=90°， ∴AB⊥PA，CD⊥PD， 又AB∥CD，∴AB⊥PD， ∵PA∩PD=P，∴AB⊥平面PAD， ∵AB?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD． （2）解：设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连结PO， ∵PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，平面PAB⊥平面PAD， ∴PO⊥底面ABCD，且AD= = ，PO= ， ∵四棱锥P﹣ABCD的体积为 ， ∴VP﹣ABCD= = = = =8， 解得a=2，∴PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=2 ，PO= ， ∴PB=PC= =2 ， ∴该四棱锥的侧面积： S侧=S△PAD+S△PAB+S△PDC+S△PBC = + + + = =6+2 ． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积，平面与平面垂直的判定 【解析】【分析】（1.）推导出AB⊥PA，CD⊥PD，从而AB⊥PD，进而AB⊥平面PAD，由此能证明平面PAB⊥平面PAD． （2.）设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连结PO，则PO⊥底面ABCD，且AD= ，PO= ，由四棱锥P﹣ABCD的体积为 ，求出a=2，由此能求出该四棱锥的侧面积．
23、(2015·山东）?如图，三棱台-中，分别为,的中点.
(1)求证：平面；
(2)若,,求证：平面。
【答案】（1）证明：连接， 设， 连接， 在三棱台-中，， 分别为的中点， 可得， 所以四边形是平行四边形，则为的中点，又是的中点，所以， 又平面， 平面， 所以平面 （2）证明：连接， 因为分别为的中点，所以， 由,得, 又为的中点，所以， 因此四边形是平行四边形，所以 又,所以 又平面， ， 所以平面 又平面， 所以平面平面 【考点】直线与平面垂直的判定 【解析】【分析】本题考查了空间几何体的特征及空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系和垂直关系，从证明方法看，起点低，入口宽，特别是第一小题.证明过程中，关键是注意构造线线的平行关系、垂直关系，特别是注意利用平行四边形，发现线线关系，进一步得到线面关系、面面关系.
24、（2017?新课标Ⅲ）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD． （Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面ABC； （Ⅱ）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．
【答案】（Ⅰ）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD． ∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC． △ABD与△CBD中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD， ∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD． ∵△ACD是直角三角形， ∴AC是斜边，∴∠ADC=90°． ∴DO= AC． ∴DO2+BO2=AB2=BD2 ． ∴∠BOD=90°． ∴OB⊥OD． 又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD． 又OB?平面ABC， ∴平面ACD⊥平面ABC． （Ⅱ）解：设点D，B到平面ACE的距离分别为hD ， hE ． 则 = ． ∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分， ∴ = = =1． ∴点E是BD的中点． 建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设AB=2． 则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0， ，0），E ． =（﹣1，0，1）， = ， =（﹣2，0，0）． 设平面ADE的法向量为 =（x，y，z），则 ，即 ，取 = ． 同理可得：平面ACE的法向量为 =（0，1， ）． ∴cos = = =﹣ ． ∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为 ． 【考点】平面与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角，二面角的平面角及求法 【解析】【分析】（Ⅰ）如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．△ABC是等边三角形，可得OB⊥AC．由已知可得：△ABD≌△CBD，AD=CD．△ACD是直角三角形，可得AC是斜边，∠ADC=90°．可得DO= AC．利用DO2+BO2=AB2=BD2 ． 可得OB⊥OD．利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明． （Ⅱ）设点D，B到平面ACE的距离分别为hD ， hE ． 则 = ．根据平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，可得 = = =1，即点E是BD的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．设AB=2．利用法向量的夹角公式即可得出．
25、(2015·湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱PD底面ABCD,且PD=CD,点E是BC的中点，连接DE,BD,BE (I)证明：DE底面PBC，试判断四面体EBCD是否为鳖臑. 若是，写出其四个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； （Ⅱ）记阳马的体积为，四面体的体积为，求的值．
【答案】 （Ⅰ）见解答；（Ⅱ） 【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质 【解析】【解答】 （Ⅰ）因为底面， 所以. 由底面为长方形，有， 而,所以平面. 平面， 所以. 又因为， 点是的中点，所以. 而， 所以平面.由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是. （Ⅱ）由已知，是阳马的高，所以;由（Ⅰ）知，是鳖臑的高，,所以.在中，因为,点是的中心，所以,于是. 【分析】以《九章算术》为背景，给予新定义，增添了试题的新颖性，但其实质仍然是考查线面垂直与简单几何体的体积计算，其解题思路：第一问通过线线、线面垂直相互之间的转化进行证明，第二问关键注意底面积和高之比，运用锥体的体积计算公式进行求解. 结合数学史料的给予新定义，不仅考查学生解题能力，也增强对数学的兴趣培养，为空间立体几何注入了新的活力.
模拟题精练
1、已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是(?? ）
A、若则 B、若,则 C、若则 D、若则
【答案】D 【考点】直线与平面平行的性质，平面与平面平行的性质，直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的性质 【解析】【解答】选项A中．与可能平行，可能相交可能异面； ??????????? 选项B中．平面?与可能平行，也可能相交，比如墙角； ??????????? 选项C中．与可能平行，也可能相交；???????? ??????????? 选项D中．这是线面垂直的性质定理。 【分析】本小题主要考查空间中线、面的各种位置关系，解题时要灵活运用立体几何中各位置关系的判定定理和性质定理，并借助空间想象寻找反例，判断命题的真假，这种类型的问题在高考选择题中非常普遍．
2、已知为不同的直线，为不同的平面，给出下列四个命题： ①若， 则；??????????????②若， 则； ③若， 则；??④若， 则. 其中所有正确命题的序号是（ ???）
A、①② B、②③ C、①③ D、①④
【答案】D 【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定 【解析】【解答】由线面垂直的定义可知①正确；②中“”也有可能；③中必须“”；由面面垂直的性质定理可知④正确.故选D.
3、已知两个平面垂直，下列命题中： (1)一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； (2)一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线； (3)一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面； (4)过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确命题的个数有(? ) 21*cnjy*com
A、1 B、2 C、3 D、4
【答案】A 【考点】直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定 【解析】【解答】(1)根据平面与平面垂直的性质定理以及直线与平面垂直的性质定理可知，只有当这个平面的已知直线垂直于交线时，这条直线才垂直于此平面内的任意一条直线，所以(1)的说法错误；(2)根据平面与平面垂直的性质定理可知，另一个平面内与交线垂直的直线有无数条，这些直线都与已知直线垂直，所以(2)的说法正确；(3)根据平面与平面垂直的性质定理可知，只有这个平面的直线垂直于交线时，它才垂直于另一个平面，所以(3)的说法错误；(4)如果这一点在交线上，那么过这点的交线的垂线有无数条，其中有的可能在另一个平面内，所以(4)的说法错误.所以正确的命题是(2)，1个. 【出处：21教育名师】
4、如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，BD∩AC=O，M是线段D1O上的动点，过点M做平面ACD1的垂线交平面A1B1C1D1于点N，则点N到点A距离的最小值为（????）
A、 B、 C、 D、1
【答案】B 【考点】直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定 【解析】【解答】因为为正方体，所以， 因为,所以， 因为， ,， 所以。因为为正方体边长为1，所以为正三角形边长为。所以当为中点时最小为。故B正确。
5、如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，若P为三角形A1B1C1内一点（不含边界），则点P在底面ABC的投影可能在（?? ）
A、△ABC的内部 B、△ABC的外部 C、直线AB上 D、以上均有可能
【答案】 B 【考点】直线与平面垂直的性质 【解析】【解答】解：∵AC⊥AB，AC⊥BC1 ， ∴AC⊥平面ABC1 ， AC?平面ABC， ∴平面ABC1⊥平面ABC， ∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上． 若P为三角形A1B1C1 内一点（不含边界），则点P在底面ABC的投影可能在△ABC的外部， 故选：B． 【分析】由题意结合线面垂直的判定可得平面ABC1⊥平面ABC，再由线面垂直的性质可得C1在底面ABC的射影H的位置，即可得出结论．
如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知E为棱CC1上的动点．
(1)求证：A1E⊥BD；(2)是否存在这样的E点，使得平面A1BD⊥平面EBD？若存在，请找出这样的E点；若不存在，请说明理由．
【答案】 （1）解：连接AC，设AC∩DB=O，连接A1O，OE． ∵A1A⊥底面ABCD，∴A1A⊥BD，又BD⊥AC， ∴BD⊥平面ACEA1 ， ∵A1E?平面ACEA1 ， ∴A1E⊥BD （2）解：证明：当E是CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD． 证明如下： ∵A1B=A1D，EB=ED，O为BD中点，∴A1O⊥BD，EO⊥BD ∴∠A1OE为二面角A1﹣BD﹣E的平面角． 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设棱长为2a， ∵E为棱CC1的中点，由平面几何知识，EO= a，A1O= a，A1E=3a， ∴A1E2=A1O2+EO2 ， 即∠A1OE=90°． ∴平面A1BD⊥平面EBD．
【考点】直线与平面垂直的性质，平面与平面垂直的判定 【解析】【分析】（1）连接AC，设AC∩DB=O，连接A1O，OE．证明A1A⊥BD，BD⊥AC，推出BD⊥平面ACEA1 ， 然后证明A1E⊥BD．（2）当E是CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD．说明∠A1OE为二面角A1﹣BD﹣E的平面角．设棱长为2a，推出∠A 1OE=90°．即可证明平面A1BD⊥平面EBD．
7、如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PBC的大小（?? ）
A、不变 B、变小 C、变大 D、有时变大有时变小
【答案】 C 【考点】直线与平面垂直的性质 【解析】【解答】解：由已知，可得AC⊥BC ∵PA⊥平面ABC 由三垂线定理的逆定理可得BC⊥PC 所以∠PCB=90°， 当点P逐渐远离点A时∠CPB在变小，故∠PBC变大． 故选：C． 【分析】由已知条件结合三垂线定理的逆定理可得BC⊥PC，从而可得∠PCB=90°，当点P逐渐远离点A时∠CPB在变小，故，∠PBC变大．
8、（2016河北衡水冀州中学）设PH⊥平面ABC，且PA，PB，PC相等，则H是△ABC的（?? ）
A、内心 B、外心 C、垂心 D、重心
【答案】 B 【考点】直线与平面垂直的判定 【解析】【解答】解：由题意知，点P作平面ABC的射影H， 且PA=PB=PC，因为PH⊥底面ABC， 所以△PAH≌△PBH≌△PCH， 即：HA=HB=HC， 所以H为三角形的外心． 故选：B． 【分析】点P在平面ABC上的投影为H，利用已知条件，结合勾股定理，证明出HA=HB=HC，进而根据三角形五心的定义，得到结论．
9、（2016河北衡水冀州中学）垂直于同一平面的两条直线一定（?? ）
A、平行 B、相交 C、异面 D、以上都有可能
【答案】 A 【考点】直线与平面垂直的性质 【解析】【解答】解：设直线a、b都与平面α垂直，可以用反证法证明a、b必定是平行直线 假设a、b不平行，过直线b与平面α的交点作直线d，使d∥a ∴直线d与直线b是相交直线，设它们确定平面β，且β∩α=c ∵b⊥α，c?α，∴b⊥c．同理可得a⊥c， 又∵d∥a，∴d⊥c 这样经过一点作出两条直线b、d都与直线c垂直，这是不可能的 ∴假设不成立，故原命题是真命题 故选A 【分析】可用反证法证明：垂直于同一平面的两条直线平行．设直线a、b都与平面α垂直，并假设a、b不平行，再作出辅助线和辅助平面，结合线面垂直的定义和平行线的性质，可以证出经过空间一点有两条直线与已知直线垂直，得到与公理矛盾，所以原假设不成立，从而得到原命题是真命题．21*cnjy*com
10、（2017福建福州一中模拟）在棱长为1的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E是AA'的中点，P是三角形BDC'内的动点，EP⊥BC'，则P的轨迹长为（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】D 【考点】轨迹方程，直线与平面垂直的判定 【解析】【解答】解：在棱长为1的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E是AA'的中点，取BD的中点O，连接EO，因为A′C⊥平面BDC'，可知EO⊥BC'，则O就是P轨迹上的一个点，作OF⊥BC'，于F，可得BC'⊥平面EFO，所以P在OF上，OF的长就是P的轨迹长． 因为正方体的棱长为1，所以BD= ，则OF= = ． 故选：D． 【分析】画出图形，经过E作出与直线BC′垂直的平面，判断P的位置，然后求解即可．
11、（2017江西景德镇一中期末）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】B 【考点】直线与平面垂直的判定，点、线、面间的距离计算 【解析】【解答】解：过O作A1B1的平行线，交B1C1于E， 则O到平面ABC1D1的距离即为E到平面ABC1D1的距离． 作EF⊥BC1于F，易证EF⊥平面ABC1D1 ， 可求得EF= B1C= ． 故选B． 【分析】过O作A1B1的平行线，交B1C1于E，则O到平面ABC1D1的距离即为E到平面ABC1D1的距离．作EF⊥BC1于F，进而可知EF⊥平面ABC1D1 ， 进而根据EF= B1C求得EF．
二、解答题
12、（2017安徽蚌埠二模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，AC=2BC=2CD=4，∠ACB=∠ACD=60°．
(1)证明：CP⊥BD；
(2)若AP=PC=2 ，求二面角A﹣BP﹣C的余弦值．
【答案】（1）证明：∵BC=CD，即△BCD为等腰三角形， 又AC平分∠BCD，故AC⊥BD， ∵平面PAC⊥底面ABCD，平面PAC∩底面ABCD=AC， ∴BD⊥平面PAC， ∵CP?平面PAC，∴CP⊥BD （2）解：如图，记BD交AC于点E，作PO⊥AC于点O， 则PO⊥底面ABCD， ∵AP=PC=2 ，AC=4，∴∠APC=90°，PO=2， 则EC=CD?cos60°=1，ED=CD?sin60°= ， 以O为坐标原点，平行于DB的直线为x轴，OC所在直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系， 则A（0，﹣2，0），B（ ，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2）， ∴ ， ． 设平面PAB的一个法向量为 ，则 ，取z=1，则 ； 设平面PBC的一个法向量为 ，则 ，取z=1，则 ． ∴cos＜ ＞= = = ． ∴二面角A﹣BP﹣C的余弦值为 ． 【考点】直线与平面垂直的性质，二面角的平面角及求法 【解析】【分析】（1）推导出AC⊥BD，由平面PAC⊥底面ABCD，得BD⊥平面PAC，由此能证明CP⊥BD；（2）作PO⊥AC于点O，则PO⊥底面ABCD，以O为坐标原点，平行于DB的直线为x轴，OC所在直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，求得平面PAB与平面PBC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣BP﹣C的余弦值． www-2-1-cnjy-com
13、（2017上海浦东新三模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD为平行四边形，若∠DAB=60°，AB=2，AD=1．
(1)求证：PA⊥BD；
(2)若∠PCD=45°，求点D到平面PBC的距离h．
【答案】（1）证明：∵AD=1，AB=2，∠DAB=60°， ∴BD2=AB2+AD2﹣2AB?AD?cos60°=3， ∴AD2+BD2=AB2 ， ∴AD⊥BD， ∵PD⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， ∴PD⊥BD，又AD∩PD=D， ∴BD⊥平面PAD， ∵PA?平面PAD， ∴BD⊥PA （2）解：由（1）可知BC⊥BD， ∴S△BCD= = ， ∵∠PCD=45°，∴PD=CD=2， ∴VP﹣BCD= = ． ∵PC= CD=2 ，PB= = ，BC=1， ∴BC2+PB2=PC2 ， ∴PB⊥BC， ∴S△BCP= = ， ∴VD﹣BCP= = ， 又VP﹣BCD=VD﹣BCP ， ∴ = ， 解得h= 【考点】直线与平面垂直的性质，点、线、面间的距离计算 【解析】【分析】（1）利用勾股定理逆定理证明AD⊥BD，结合BD⊥PD得出BD⊥平面PAD，故而PA⊥BD；（2）根据VP﹣BCD=VD﹣BCP列方程解出h． 21·cn·jy·com
14、（2017上海杨浦三模）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥AD，AD=AB=1．AA1=CD=2．E为棱DD1的中点．
(1)证明：B1C1⊥平面BDE；
(2)求二面角D﹣BE﹣C1的大小．
【答案】（1）证明：由题意，BD=BC= ， ∵CD=2，∴BD2+BC2=CD2 ， 则BC⊥BD． 又∵ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，∴BC⊥DE， ∵BD∩DE=D，∴BC⊥平面BDE， 又∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥平面BDE （2）解：如图建立空间直角坐标系， 则有B（1，1，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），E（0，0，1）． ， ． 设平面BEC1 的法向量为 ， 由 ，得 ，取x=3，得 ． 由（1）知，平面BDE的一个法向量 ． ∴cos＜ ＞= = ． 由图可知，二面角D﹣BE﹣C1为钝角， ∴二面角D﹣BE﹣C1的大小为arccos（﹣ ） 【考点】直线与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法 【解析】【分析】（1）由题意证明BC⊥BD，再由已知ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，得BC⊥DE，由线面垂直的判定可得BC⊥平面BDE，进一步得到B1C1⊥平面BDE；（2）如图建立空间直角坐标系，由已知求出B，C，C1 ， E的坐标，进一步求出平面BEC1 与平面BDE的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角D﹣BE﹣C1的大小．
15、（2017福建宁德三模）如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，∠BAD=120°，M为CD上的点．且∠A1AB=∠A1AD=90°，AD=A1A=2，A1B1=DM=1．
(1)求证：AM⊥A1B；
(2)若M为CD的中点，N为棱DD1上的点，且MN与平面A1BD所成角的正弦值为 ，试求DN的长．
【答案】（1）证明：在平行四边形ABCD中，∠BAD=120°，∴∠ADM=60°， 在△ADM中，AD=2，DM=1，∴ = ， 可得AD2=AM2+DM2 ， ∴AM⊥CD． 又CD∥AB，∴AM⊥AB， ∵∠A1AB=∠A1AD=90°，∴A1A⊥AB，A1A⊥AD． 又∵AB∩AD=A，AB，AD?平面ABCD， ∴AA1⊥ABCD，又AM?平面ABCD， ∴AM⊥AA1 ． 又∵AB∩AA1=A，AB，AA1?平面AA1B1B， ∴AM⊥平面AA1B1B．又∵A1B?平面AA1B1B， ∴AM⊥A1B （2）解：∵M为CD的中点，DM=1，∴CD=2， 所以四边形ABCD为菱形． 分别以AB，AM，AA1为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz， 则点 ． ∴ ． 设平面A1BD的一个法向量为 ，则有 ， ∴ ，令x=1，则 ， 设 ，∴ ， ∴ ， ∴ ，∴2λ2﹣13λ+6=0， ∴ 或λ=6（舍去）． ∴ ． 【考点】直线与平面垂直的性质，点、线、面间的距离计算 【解析】【分析】（1）利用勾股定理逆定理得出AM⊥CD，即AM⊥AB，结合AM⊥AA1得出AM⊥平面AA1B1B，于是AM⊥A1B；（2）建立空间坐标系，根据MN与平面A1BD所成角的大小确定N点位置，从而得出DN的长．
16、（2017湖北襄阳五中三模）已知在四棱锥C﹣ABDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，△ABC是边长为2的等边三角形，AE=1，M为AB的中点．
(1)求证：CM⊥EM；
(2)若直线DM与平面ABC所成角的正切值为2，求二面角B﹣CD﹣E的大小．
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，M为AB的中点，∴CM⊥AB． 又∵DB⊥平面ABC， ∴DB⊥CM，∴CM⊥平面ABDE， ∵EM?平面ABDE，∴CM⊥EM （2）解：如图，以点M为坐标原点，MC，MB所在直线分别为x，y轴， 过M且与直线BD平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系． ∵DB⊥平面ABC，∴∠DMB为直线DM与平面ABC所成的角． 由题意得tan ，即BD=2，故B（0，1，0），C（ ），D（0，1，2），E（0，﹣1，1）， ∴ =（ ）， =（0，0，2）， =（﹣ ）， =（﹣ ）， 设平面BCD与平面CDE的法向量分别为 =（x，y，z）， =（a，b，c）， 则 ，令x=1，得 =（1， ，0）． 同理求得 =（1，﹣ ， ）， ∴cos＜ ＞= =0，∴二面角B﹣CD﹣E的大小为90°． 【考点】直线与平面垂直的性质，直线与平面所成的角，二面角的平面角及求法 【解析】【分析】（1）推导出CM⊥AB，DB⊥CM，从而CM⊥平面ABDE，由此能证明CM⊥EM．（2）以点M为坐标原点，MC，MB所在直线分别为x，y轴，过M且与直线BD平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣CD﹣E的大小．
17、（2017四川成都三诊）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，DE=2，M为线段BF上一点，且DM⊥平面ACE．
(1)求BM的长；
(2)求二面角A﹣DM﹣B的余弦值的大小．
【答案】（1）解：设AC∩BD=O，取EF中点N，连接NO ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD， ∵四边形BDEF是矩形，∴ON⊥BD， ∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，ON?平面BDEF， ∴ON⊥平面ABCD， 以O为原点，以OC，OB，ON为坐标轴建立空间坐标系如图所示： ∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°， ∴OB=OD=1，OA=OC= ， ∵四边形BDEF是矩形，DE=2， ∴A（﹣ ，0，0），B（0，1，0），C（ ，0，0），E（0，﹣1，2），D（0，﹣1，0）， 设BM=h，则M（0，1，h）， ∴ =（0，2，h）， =（ ，﹣1，2）， ∵DM⊥平面ACE，∴ ， ∴﹣2+2h=0，解得h=1， ∴BM=1 （2）解： =（ ，﹣1，0）， =（0，2，1）， 设平面ADM的法向量为 =（x，y，z），则 ， ∴ ，令x= 得 =（ ，3，﹣6）， 又AC⊥平面BDM，∴ =（1，0，0）是平面BDM的一个法向量， ∴cos＜ ＞= = = ， ∴二面角A﹣DM﹣B的余弦值为 【考点】平面与平面垂直的性质，二面角的平面角及求法 【解析】【分析】（1）建立坐标系，设BM=h，求出 和 的坐标，令 =0解出h；（2）求出平面ADM和平面BDM的法向量，计算法向量的夹角即可得出二面角的夹角．
