2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
7.6 空间向量及其运算
考纲剖析
1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．
2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．
3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.
知识回顾
1．空间向量
在空间中，具有 的量叫做空间向量，其大小叫做向量的长度或模．
2．空间向量中的有关定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使 .
(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面?存在唯一的有序实数对(x，y)，使 .2·1·c·n·j·y
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得 .
3．两个向量的数量积
(1)非零向量a，b的数量积a·b＝ .
(2)空间向量数量积的运算律
①结合律：(λa)·b＝ ．
②交换律：a·b＝
③分配律：a·(b＋c)＝ .
4．空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
共线
a＝λb(b≠0)
垂直
a·b＝0
(a≠0，b≠0)
模
|a|
夹角
(a≠0，b≠0)
精讲方法
一、直线的方向向量与直线的向量方程、平面的法向量与平面的向量表示
（一）用向量法证明平行、垂直
1.用向量证明线面平行的方法有：
(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；
(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；
(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.
2.用向量法证垂直问题
(1)证明线线垂直,只需证明两直线的方向向量数量积为0;
(2)证明线面垂直,只需证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直;2-1-c-n-j-y
(3)证明面面垂直,只需证明两平面的法向量的数量积为0,或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直.
3．利用直线的方向向量和平面的法向量，可以判定直线与直线,直线与平面，平面与平面的平行和垂直.
（1）设直线的方向向量为直线的方向向量为则
（2）设直线l的方向向量为平面α的法向量为则
（3）设平面α的法向量为平面β的法向量则
（二）异面直线所成的角
高考中对异面直线所成的角的考查,一般出现在综合题的某一步,一般步骤为:
(1)平移：要充分挖掘图形的性质,寻找平行关系,如利用“中点”特征等.
(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角.
寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之.
(4)取舍：因为异面直线所成的角θ的取值范围是0°<θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角.21教育网
若用向量法，则转化为求两向量的夹角.
（三）利用向量法解决开放性问题
1.开放性问题是近几年高考的一种常见题型，这类问题具有一定的思维深度，用向量法较容易解决.
2.对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.
二、空间直角坐标系
（一）求空间中点的坐标
1、通过分析几何体的特点，恰当的建立坐标系，可以方便的写出点的坐标，“恰当”的原则是：①充分利用几何体的垂直关系；②尽可能的让点落在坐标轴或坐标平面上。
注：不同的建系方法，求出的点的坐标也不同。
2、求空间点P坐标的方法
方法一：（1）过点P作一个平面平行于坐标平面yOz,这个平面与x轴的交点记为，它在x轴上的坐标为x,这个数x叫做点P的横坐标；
（2）过点P作一个平面平行于坐标平面xOz，这个平面与y轴的交点记为，它在y轴上的坐标为y，这个数y叫做点P的纵坐标；
（3）过点P作一个平面平行于坐标平面xOy,这个平面与z轴的交点记为，它在z轴上的坐标为z,这个数z叫做点P的竖坐标。显然x轴上点的坐标形如(x,0,0),xOy平面上点的坐标形如(x,y,0).
方法二：从点P向三个坐标平面作垂线，所得点P到三个平面的距离等于点P的对应坐标的绝对值，进而可求点P的坐标。
（二）空间中点的对称问题
1、常见对称点的坐标规律
在空间直角坐标系中，已知点P(x,y,z),则点P
（1）关于原点的对称点是(-x,-y,-z);
（2）关于x轴的对称点是(x,-y,-z);
（3）关于y轴的对称点是(-x,y,-z);
（4）关于z轴的对称点是(-x,-y,z);
（5）关于xOy坐标面的对称点是(x,y,-z);
（6）关于yOz坐标面的对称点是(-x,y,z);
（7）关于zOx坐标面的对称点是(x,-y,z).
2、中点坐标公式
若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则线段AB的中点P的坐标为
3、利用中点坐标公式也可求对称点的坐标。
（三）空间两点间距离公式的应用
注：利用空间中两点间的距离公式，可以求两点间的距离或某线段的长，只要建立恰当的坐标系，通过简单的坐标运算即可解决。【来源：21·世纪·教育·网】
三、空间向量及其运算
（一）空间向量的线性运算
用已知向量表示未知向量，一定要结合图形。可从以下角度入手。
（1）要有基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来；
（2）把要表示感谢向量标在封闭图形中，表示为其他向量的和差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系。
（3）用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则考虑用减法，如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘。
（4）注意应用以下结论，
①A为BC中点，O为空间任一点，则
②A、B、C三点共线，O为空间任一点，则λ+（1-λ）等。
（二）共线向量定理、共面向量定理的应用
应用共线向量定理、共面向量定理，可以证明点共线、点共面、线共面。
1、证明空间任意三点共线的方法
对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线：
（1）
（2）对空间任一点O，
（3）对空间任一点O，
2、证明空间四点共面的方法
对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面
（1）
（2）对空间任一点O，
（3）对空间任一点O，；
（4）
注：在（3）中，若，则点P即为ΔMAB的重心。
若则若P为ΔMAB的重心，则，此即为三角形重心坐标公式。
（三）空间向量的数量积运算
（1）利用向量的数量积，可以求异面直线所成的角，两点间的距离，证明垂直等问题。当题目条件中有垂直关系时，转化为数量积为零进行应用，非常方便。
（2）利用向量解决几何体中的长度、夹角、垂直等问题的基本思路是先根据已知条件选择基向量，并求出其长度和数量积，再用基向量表示出有关的向量，并进行向量运算，从而得出相关结论。21·cn·jy·com
（四）空间向量的坐标运算
空间向量的有关运算
设
（1）坐标运算
（2）共线与垂直的坐标表示
（均为非零向量）。
（3）模和距离公式
若则
例题精讲
考点一 空间向量的线性运算
【例题1】（2017山东菏泽一中）四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是平行四边形，M是AC与BD的交点．若 = ， = ， = ，则 可以表示为（?? ） 21·世纪*教育网
A、 B、 C、 D、
【答案】 C 【考点】空间向量的加减法 【解析】【解答】解：∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是平行四边形，M是AC与BD的交点． ∴ = + ， = =﹣ ， ∴ = ﹣ ﹣ ， 故选：C． 【分析】利用向量三角形法则、平行四边形法则即可得出．21*cnjy*com
【变式训练1】（2017湖南衡阳八中期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若 = ， = ， = ，则 =（?? ）
A、 B、 C、 D、
考点二 共线定理、共面定理的应用
【例题2】（2016河南信阳高中）已知 =（2，﹣1，3）， =（﹣1，4，﹣2）， =（7，5，λ），若 、 、 三向量共面，则实数λ等于（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】 D 【考点】共线向量与共面向量 【解析】【解答】解：∵ =（2，﹣1，3）， =（﹣1，4，﹣2） ∴ 与 不平行， 又∵ 、 、 三向量共面， 则存在实数X，Y使 =X +Y 即 解得λ= 故选D 【分析】由已知中 =（2，﹣1，3）， =（﹣1，4，﹣2）， =（7，5，λ），若 、 、 三向量共面，我们可以用向量 、 作基底表示向量 ，进而构造关于λ的方程，解方程即可求出实数λ的值．www-2-1-cnjy-com
【变式训练2】（2017辽宁大连十一中期末）设平面α的一个法向量为 ，平面β的一个法向量为 ，若α∥β，则k=（?? ）
A、2 B、﹣4 C、﹣2 D、4
考点三 空间向量的数量积及其应用
【例题3】如图，三棱锥P﹣ABC中，M是AC的中点，Q是BM的中点，若实数x，y，z满足， 则x﹣y+z=________? 21世纪教育网版权所有
【答案】0 【考点】空间向量的数乘运算 【解析】【解答】解： ∴x=， y=， z=． ∴x﹣y+z=0． 故答案为0． 【分析】利用空间向量基本定理，将． 求出系数．进而得到结果． 21教育名师原创作品
【变式训练3】（2017陕西延安黄陵中学期中）（理）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2．给出以下结论： ① + + + = ； ② + ﹣ ﹣ = ； ③ ﹣ + ﹣ = ； ④ ? = ? ； ⑤ ? =0， 其中正确结论是（?? ）
A、①②③ B、④⑤ C、②④ D、③④
真题精析
选择题
1、（2017?新课标Ⅲ）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（ ）
A、A1E⊥DC1 B、A1E⊥BD C、A1E⊥BC1 D、A1E⊥AC
2、（2014?四川）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（?? ）
A、[ ，1] B、[ ，1] C、[ ， ] D、[ ，1]
3、（2015重庆）若非零向量,满足,且,则与的夹角为??????????? （????? ） 【出处：21教育名师】
A、 B、 C、 D、
4、（2013?辽宁）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（ ）
21cnjy.com
A、 B、 C、 D、
5、（2013?山东）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为 ，底面是边长为 的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面A1B1C1所成角的大小为（?? ）
A、 B、 C、 D、
二、解答题
6、（2017?北京卷）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD= ，AB=4．（14分）
(1)求证：M为PB的中点；
(2)求二面角B﹣PD﹣A的大小；
(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
7、（2017?浙江）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点． （Ⅰ）证明：CE∥平面PAB； （Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
8、（2017?天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（13分） （I）求异面直线AP与BC所成角的余弦值； （II）求证：PD⊥平面PBC； （II）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
9、（2017?新课标Ⅲ）如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．（12分）
(1)证明：AC⊥BD；
(2)已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
10、（2014?天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点． (1)证明：BE⊥DC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．
11、（2014?湖南）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD=O， A1C1∩B1D1=O1 ， 四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．(1)证明：O1O⊥底面ABCD；(2)若∠CBA=60°，求二面角C1﹣OB1﹣D的余弦值．
12、（2014?新课标I）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C． (1)证明：AC=AB1；(2)若AC⊥AB1 ， ∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．
13、（2013?新课标Ⅰ）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1 ， ∠BAA1=60°．
(1)证明AB⊥A1C；
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．
14、（2016?全国）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．
(1)证明：MN∥平面PAB；
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
15、（2016?全国）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G． 【来源：21cnj*y.co*m】
(1)证明：G是AB的中点；
(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．
16、（2016?全国）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．
(1)证明平面ABEF⊥平面EFDC；
(2)求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．
模拟题精练
一、单选题
1、（2017湖北孝感七校联考期中）已知 ，则 的最小值是（?? ）
A、 B、 C、 D、
2、（2017湖北孝感七校联考期中）已知向量 ，且 ，则x的值为（?? ）
A、12 B、10 C、﹣14 D、14
3、（2017新疆兵团农二师华山中）向量 =（2，4，x）， =（2，y，2），若| |=6，且 ⊥ ，则x+y的值为（?? ）
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A、﹣3 B、1 C、﹣3或1 D、3或1
4、（2017山东淄博淄川中学）已知向量 =（1，5，﹣2）， =（3，1，2）， =（x，﹣3，6）．若DE∥平面ABC，则x的值是（?? ）
A、5 B、3 C、2 D、﹣1
5、={8，3，a}， ={2b，6，5}，若 ∥ ，则a+b的值为（?? ）
A、0? B、 C、 D、8
6、（2017福建泉州泉港一中期末）已知三棱锥O﹣ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且 ，用a，b，c表示 ，则 等于（?? ）
A、 B、 C、 D、
7、（2016江西上饶广丰一中期中）已知 =（﹣2，1，3）， =（﹣1，2，1），若 ⊥（ +λ ），则实数λ的值为（?? ）
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A、﹣2 B、﹣ C、 D、2
8、（2017山西太原期末）已知 =（1，2，3）， =（2，1，2）， =（1，1，2），点Q在直线OP上运动，则当 取得最小值时，点Q的坐标为（?? ）
A、 B、 C、 D、
9、（2017山东临沂期末）已知向量 =（2m+1，3，m﹣1）， =（2，m，﹣m），且 ∥ ，则实数m的值等于（?? ）
A、 B、﹣2 C、0 D、 或﹣2
10、（2017河北石家庄期末）如图，空间四边形OABC中， = ， = ， = ，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则 =（?? ）
A、﹣ + + ? B、﹣ + ? C、+ ﹣ ? D、+ ﹣
11、（2017陕西延安黄陵中学期中）已知A（4，1，3）、B（2，﹣5，1），C为线段AB上一点，且 =3 ，则C的坐标为（?? ）
A、（ ，﹣ ， ） B、（ ，﹣3，2） C、（ ，﹣1， ） D、（ ，﹣ ， ）
12、（2016广西南宁马山期末）已知点A（4，1，3），B（2，﹣5，1），C为线段AB上一点，且3| |=| |，则点C的坐标是（?? ）
A、 B、 C、 D、
二、填空题
13、（2017福建泉州泉港一中期末）若 =（2，3，m）， =（2n，6，8）且 ， 为共线向量，则m+n=________．
14、（2016福建福州文博中学期中）如图：在底面为平行四边形的棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．则向量 可用 = ， = ， = 表示为________．
15、（2017浙江金华义乌群星外国语学校期中）已知向量 =（k，12，1）， =（4，5，1）， =（﹣k，10，1），且A，B，C三点共线，则k=________．
16、（2017浙江湖州期中）已知向量 =（2，4，x）， =（2，y，2），若| |=6，则x=________；若 ∥ ，则x+y=________．21*cnjy*com
三、综合题
17、（2017甘肃兰州一中期中）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC= ，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1 ． (1)求证：CD=C1D；(2)求二面角A1﹣B1D﹣P的平面角的正弦值．
18、（2017福建龙岩连城三中期中）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，其中DA⊥AB，AD∥BC．PA=2AD=BC=2，AB=2 ．
(1)求异面直线PC与AD所成角的大小；
(2)若平面ABCD内有一经过点C的曲线E，该曲线上的任一动点Q都满足PQ与AD所成角的大小恰等于PC与AD所成角．试判断曲线E的形状并说明理由；
(3)在平面ABCD内，设点Q是（2）题中的曲线E在直角梯形ABCD内部（包括边界）的一段曲线CG上的动点，其中G为曲线E和DC的交点．以B为圆心，BQ为半径r的圆分别与梯形的边AB、BC交于M、N两点．当Q点在曲线段CG上运动时，试求圆半径r的范围及VP﹣BMN的范围．
19、（2017江苏盐城三模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是边长为2的等边三角形，PC= ，M在PC上，且PA∥面BDM．
(1)求直线PC与平面BDM所成角的正弦值；
(2)求平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小．
20、（2017江苏扬州中学考前最后一卷）如图，在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1E=CF=1．
(1)求两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值；
(2)求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值．
21、（2017押题预测）如图，在直三棱柱 中，平面 侧面 ，且 ．
(1)求证： ；
(2)若直线 与平面 所成角的大小为 ，求锐二面角 的大小．
2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
7.6 空间向量及其运算（答案）
知识回顾
1．空间向量
在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的长度或模．
2．空间向量中的有关定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使a＝λb.
(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面?存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.2-1-c-n-j-y
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.
3．两个向量的数量积
(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos.
(2)空间向量数量积的运算律
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)．
②交换律：a·b＝b·a.
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4．空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb(b≠0)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0
(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|
夹角
(a≠0，b≠0)
cos＝
例题精讲
考点一 空间向量的线性运算
【变式训练1】（2017湖南衡阳八中期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若 = ， = ， = ，则 =（?? ） www.21-cn-jy.com
A、 B、 C、 D、
【答案】C 【考点】空间向量的加减法 【解析】【解答】解：∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点， = ， = ， = ， ∴ = （ ）=﹣ + （ ）=﹣ + + =﹣ + （ ﹣ ）+ （ ﹣ ） =﹣ + + = ﹣ + ． 故选：C． 【分析】利用空间向量加法法则求解． 【出处：21教育名师】
考点二 共线定理、共面定理的应用
【变式训练2】（2017辽宁大连十一中期末）设平面α的一个法向量为 ，平面β的一个法向量为 ，若α∥β，则k=（?? ）
A、2 B、﹣4 C、﹣2 D、4
【答案】D 【考点】共线向量与共面向量 【解析】【解答】解：平面α的一个法向量为 ，平面β的一个法向量为 ， ∵α∥β，由题意可得 ， ∴k=4． 故选：D． 【分析】两个平面平行，可得法向量共线，列出关系式求出k即可．
考点三 空间向量的数量积及其应用
【变式训练3】（2017陕西延安黄陵中学期中）（理）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2．给出以下结论： ① + + + = ； ② + ﹣ ﹣ = ； ③ ﹣ + ﹣ = ； ④ ? = ? ； ⑤ ? =0， 其中正确结论是（?? ）21*cnjy*com
A、①②③ B、④⑤ C、②④ D、③④
【答案】 D 【考点】空间向量的基本定理及其意义，空间向量的数量积运算 【解析】【解答】解：∵在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2． ∴ ﹣ + ﹣ = = ，故③正确，排除选项B，C； ∵ ? =2×2×cos∠ASB， ? =2×2×cos∠CSD， 又∠ASB=∠CSD， ∴ ? = ? ，故④正确，排除选项A． 故选：D． 【分析】由已知得 ﹣ + ﹣ = = ； ? =2×2×cos∠ASB， ? =2×2×cos∠CSD，又∠ASB=∠CSD，从而 ? = ? ．
真题精析
选择题
1、（2017?新课标Ⅲ）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（ ）
A、A1E⊥DC1 B、A1E⊥BD C、A1E⊥BC1 D、A1E⊥AC
【答案】C 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，用向量证明垂直 【解析】【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2， 则A1（2，0，2），E（0，1，0），B（2，2，0），D（0，0，0），C1（0，2，2），A（2，0，0），C（0，2，0）， =（﹣2，1，﹣2）， =（0，2，2）， =（﹣2，﹣2，0）， =（﹣2，0，2）， =（﹣2，2，0）， ∵ ? =﹣2， =2， =0， =6， ∴A1E⊥BC1 ． 故选：C． 【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求向量的数量积，得到答案． 21*cnjy*com
2、（2014?四川）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（?? ）
A、[ ，1] B、[ ，1] C、[ ， ] D、[ ，1]
【答案】B 【考点】直线与平面所成的角 【解析】【解答】解：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是 ∪ ． 不妨取AB=2． 在Rt△AOA1中， = = ． sin∠C1OA1=sin（π﹣2∠AOA1）=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1= ， =1． ∴sinα的取值范围是 ． 故选：B． 【分析】由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是 ∪ ．再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出．
3、（2015重庆）若非零向量,满足,且,则与的夹角为??????????? （????? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】A 【考点】空间向量的夹角与距离求解公式 【解析】【解答】由题意，即所以选A. 【分析】本题考查两向量的夹角，涉及到向量的模，向量的垂直，向量的数量积等知识，体现了数学问题的综合性，考查学生运算求解能力，综合运用能力。
4、（2013?辽宁）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】 C 【考点】球内接多面体，点、线、面间的距离计算 【解析】【解答】解：因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12， 所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面B1BCC1 ， 经过球的球心，球的直径是其对角线的长， 因为AB=3，AC=4，BC=5，BC1= ， 所以球的半径为： ． 故选C． 【分析】通过球的内接体，说明几何体的侧面对角线是球的直径，求出球的半径．
5、（2013?山东）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为 ，底面是边长为 的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面A1B1C1所成角的大小为（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】B 【考点】直线与平面所成的角 【解析】【解答】解：如图所示， ∵AA1⊥底面A1B1C1 ， ∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角， ∵平面ABC∥平面A1B1C1 ， ∴∠APA1为PA与平面ABC所成角． ∵ = = ． ∴V三棱柱ABC﹣A1B1C1= = ，解得 ． 又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴ = =1， 在Rt△AA1P中， ， ∴ ． 故选B． 【分析】利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，即为∠APA1为PA与平面ABC所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA1 ， 再利用正三角形的性质可得A1P，在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1= 即可得出． 21·cn·jy·com
二、解答题
6、（2017?北京卷）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD= ，AB=4．（14分）
(1)求证：M为PB的中点；
(2)求二面角B﹣PD﹣A的大小；
(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：如图，设AC∩BD=O， ∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM， ∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM， ∴PD∥OM，则 ，即M为PB的中点； （2）解：取AD中点G， ∵PA=PD，∴PG⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG， 由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD． 以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系， 由PA=PD= ，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0， ），C（2，4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2， ）， ， ． 设平面PBD的一个法向量为 ， 则由 ，得 ，取z= ，得 ． 取平面PAD的一个法向量为 ． ∴cos＜ ＞= = ． ∴二面角B﹣PD﹣A的大小为60°； （3）解： ，平面PAD的一个法向量为 ． ∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos＜ ＞|=| |=| |= ． 【考点】直线与平面平行的性质，平面与平面垂直的性质，直线与平面所成的角，二面角的平面角及求法 【解析】【分析】（1.）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点； （2.）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小； （3.）求出 的坐标，由 与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
7、（2017?浙江）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点． （Ⅰ）证明：CE∥平面PAB； （Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
【答案】证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形， BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点， ∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角系， 设PC=AD=2DC=2CB=2， 则C（0，1，0），D（0，0，0），P（1，0，1），E（ ），A（2，0，0），B（1，1，0）， =（ ）， =（1，0，﹣1）， =（0，1，﹣1）， 设平面PAB的法向量 =（x，y，z）， 则 ，取z=1，得 =（1，1，1）， ∵ = =0，CE?平面PAB， ∴CE∥平面PAB． 解：（Ⅱ） =（﹣1，1，﹣1），设平面PBC的法向量 =（a，b，c）， 则 ，取b=1，得 =（0，1，1）， 设直线CE与平面PBC所成角为θ， 则sinθ=|cos＜ ＞|= = = ． ∴直线CE与平面PBC所成角的正弦值为 ． 【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，向量方法证明线、面的位置关系定理，用空间向量求直线与平面的夹角 【解析】【分析】（Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角系，利用向量法能证明CE∥平面PAB． （Ⅱ）求出平面PBC的法向量和 ，利用向量法能求出直线CE与平面PBC所成角的正弦值． 21世纪教育网版权所有
8、（2017?天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（13分） （I）求异面直线AP与BC所成角的余弦值； （II）求证：PD⊥平面PBC； （II）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值． 2·1·c·n·j·y
【答案】解：（Ⅰ）如图， 由已知AD∥BC， 故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角． 因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD． 在Rt△PDA中，由已知，得 ， 故 ． 所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为 ． 证明：（Ⅱ）因为AD⊥平面PDC，直线PD?平面PDC， 所以AD⊥PD． 又因为BC∥AD，所以PD⊥BC， 又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC． 解：（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF， 则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角． 因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影， 所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角． 由于AD∥BC，DF∥AB，故BF=AD=1， 由已知，得CF=BC﹣BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC， 在Rt△DCF中，可得 ． 所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为 ． 【考点】直线与平面所成的角 【解析】【分析】（Ⅰ）由已知AD∥BC，从而∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角，由此能求出异面直线AP与BC所成角的余弦值． （Ⅱ）由AD⊥平面PDC，得AD⊥PD，由BC∥AD，得PD⊥BC，再由PD⊥PB，得到PD⊥平面PBC． （Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角，由PD⊥平面PBC，得到∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角，由此能求出直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
9、（2017?新课标Ⅲ）如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．（12分）
(1)证明：AC⊥BD；
(2)已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比． 【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】（1）证明：取AC中点O，连结DO、BO， ∵△ABC是正三角形，AD=CD， ∴DO⊥AC，BO⊥AC， ∵DO∩BO=O，∴AC⊥平面BDO， ∵BD?平面BDO，∴AC⊥BD． （2）解：设AD=CD= ，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1， ∴BO= = ，∴BO2+DO2=BD2 ， ∴BO⊥DO， 以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系， 则C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0， ，0），A（1，0，0）， 设E（a，b，c）， ，（0≤λ≤1），则（a，b，c﹣1）=λ（0， ，﹣1），解得E（0， ，1﹣λ）， ∴ =（1， ）， =（﹣1， ）， ∵AE⊥EC，∴ =﹣1+3λ2+（1﹣λ）2=0， 由λ∈[0，1]，解得 ，∴DE=BE， ∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h， ∵DE=BE，∴S△DCE=S△BCE ， ∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的性质，空间向量的数乘运算，空间向量的数量积运算，空间向量运算的坐标表示 【解析】【分析】（1.）取AC中点O，连结DO、BO，推导出DO⊥AC，BO⊥AC，从而AC⊥平面BDO，由此能证明AC⊥BD． （2.）设AD=CD= ，则AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，BO= ，推导出BO⊥DO，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，由AE⊥EC，求出DE=BE，由此能求出四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
10、（2014?天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点． (1)证明：BE⊥DC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．
【答案】 （1）证明：∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB， 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ∵AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点． ∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1） ∴ =（0，1，1）， =（2，0，0） ∵ ? =0， ∴BE⊥DC； （2）解：∵ =（﹣1，2，0）， =（1，0，﹣2）， 设平面PBD的法向量 =（x，y，z）， 由 ，得 ， 令y=1，则 =（2，1，1）， 则直线BE与平面PBD所成角θ满足： sinθ= = = ， 故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为 ． （3）解：∵ =（1，2，0）， =（﹣2，﹣2，2）， =（2，2，0）， 由F点在棱PC上，设 =λ =（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1）， 故 = + =（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1）， 由BF⊥AC，得 ? =2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0， 解得λ= ， 即 =（﹣ ， ， ）， 设平面FBA的法向量为 =（a，b，c）， 由 ，得 令c=1，则 =（0，﹣3，1）， 取平面ABP的法向量 =（0，1，0）， 则二面角F﹣AB﹣P的平面角α满足： cosα= = = ， 故二面角F﹣AB﹣P的余弦值为： 【考点】直线与平面所成的角，与二面角有关的立体几何综合题 【解析】【分析】（1）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE，DC的方向向量，根据 ? =0，可得BE⊥DC；（2）求出平面PBD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（3）根据BF⊥AC，求出向量 的坐标，进而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值．21教育名师原创作品
11、（2014?湖南）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD=O， A1C1∩B1D1=O1 ， 四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．(1)证明：O1O⊥底面ABCD；(2)若∠CBA=60°，求二面角C1﹣OB1﹣D的余弦值．
【答案】 （1）证明：∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都相等， ∴四边形ABCD为菱形， 又∵AC∩BD=O， 故O为BD的中点， 同理O1也是B1D1的中点， 又∵四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形， ∴O1O∥CC1∥BB1且CC1⊥AC，BB1⊥BD， ∴OO1⊥AC，OO1⊥BD， 又∵AC∩BD=O，AC，BD?平面ABCD， ∴O1O⊥底面ABCD； （2）解：设四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均相等，所以四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， 又∵O1O⊥底面ABCD， ∴OB，OC，OO1两两垂直， 如图，以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系O﹣xyz． 设AB=2， ∵∠CBA=60°， ∴OA=OC=1，OB=OD= ， 则O（0，0，0），B1（ ），C1（0，1，2） 易知， =（0，1，0）是平面BDD1B1的一个法向量， 设 =（x，y，z）是平面OB1C1的一个法向量，则 ，即 取z=﹣ ，则x=2，y=2 ，所以 =（2，2 ，﹣ ） 设二面角C1﹣OB1﹣D的大小为θ，易知θ是锐角，于是： cosθ=|cos＜ ， ＞|=| |= = ， 故二面角C1﹣OB1﹣D的余弦值为 ． 【考点】直线与平面垂直的判定，与二面角有关的立体几何综合题 【解析】【分析】（1）由已知中，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1 ， 四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．可得O1O∥CC1∥BB1且CC1⊥AC，BB1⊥BD，进而OO1⊥AC，OO1⊥BD，再由线面垂直的判定定理得到O1O⊥底面ABCD；（2）设四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均为2a，设AB为2，若∠CBA=60°，OA=OC=1，OB=OD= ，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OO1为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面BDD1B1和平面OB1C1的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值．
12、（2014?新课标I）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C． (1)证明：AC=AB1；(2)若AC⊥AB1 ， ∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．
【答案】 （1）证明：连结BC1 ， 交B1C于点O，连结AO， ∵侧面BB1C1C为菱形， ∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点， 又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO， ∵AO?平面ABO，∴B1C⊥AO， 又B10=CO，∴AC=AB1 ， （2）解：∵AC⊥AB1 ， 且O为B1C的中点，∴AO=CO， 又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB， ∴OA，OB，OB1两两垂直， 以O为坐标原点， 的方向为x轴的正方向，| |为单位长度， 的方向为y轴的正方向， 的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系， ∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC， ∴A（0，0， ），B（1，0，0，），B1（0， ，0），C（0， ，0） ∴ =（0， ， ）， = =（1，0， ）， = =（﹣1， ，0）， 设向量 =（x，y，z）是平面AA1B1的法向量， 则 ，可取 =（1， ， ）， 同理可得平面A1B1C1的一个法向量 =（1，﹣ ， ）， ∴cos＜ ， ＞= = ， ∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为 【考点】空间向量的夹角与距离求解公式，用空间向量求平面间的夹角 【解析】【分析】（1）连结BC1 ， 交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1；（2）以O为坐标原点， 的方向为x轴的正方向，| |为单位长度， 的方向为y轴的正方向， 的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．
13、（2013?新课标Ⅰ）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1 ， ∠BAA1=60°．
(1)证明AB⊥A1C；
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．
【答案】（1）解：取AB的中点O，连接OC，OA1 ， A1B， 因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1 ， ∠BAA1=60°， 所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB， 又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C， 又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C； （2）解：由（1）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB， 所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1 ， OC两两垂直． 以O为坐标原点， 的方向为x轴的正向，| |为单位长，建立如图所示的坐标系， 可得A（1，0，0），A1（0， ，0），C（0，0， ），B（﹣1，0，0）， 则 =（1，0， ）， =（﹣1， ，0）， =（0，﹣ ， ）， 设 =（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则 ，即 ， 可取y=1，可得 =（ ，1，﹣1），故cos＜ ， ＞= =- ， 又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值， 故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为： ． 【考点】直线与平面垂直的性质，平面与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，用空间向量求直线与平面的夹角 【解析】【分析】（1）取AB的中点O，连接OC，OA1 ， A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；（2）易证OA，OA1 ， OC两两垂直．以O为坐标原点， 的方向为x轴的正向，| |为单位长，建立坐标系，可得 ， ， 的坐标，设 =（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则 ，可解得 =（ ，1，﹣1），可求|cos＜ ， ＞|，即为所求正弦值．
14、（2016?全国）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．
(1)证明：MN∥平面PAB；
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：取BC中点E，连结EN，EM， ∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线， ∴NE∥PB， 又∵AD∥BC，∴BE∥AD， ∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD， ∴BE= BC=AM=2， ∴四边形ABEM是平行四边形， ∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB， ∵MN?平面NEM，∴MN∥平面PAB （2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC= ，得CM2=AC2+AM2﹣2AC?AM?cos∠MAC=9+4- =5． ∴AM2+MC2=AC2 ， 则AM⊥MC， ∵PA⊥底面ABCD，PA?平面PAD， ∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD， ∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD． 在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角． 在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN= ， 在Rt△PAM中，由PA?AM=PM?AF，得AF= ， ∴ ． ∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为 【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角 【解析】【分析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG= BC，再由已知得AM∥BC，且AM= BC，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB； 法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，则结论得证； （2）连接CM，证得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．
15、（2016?全国）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．
(1)证明：G是AB的中点；
(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．
【答案】（1）证明：∵P﹣ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影， ∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB， 又E为D在平面PAB内的正投影， ∴DE⊥面PAB，则DE⊥AB， ∵PD∩DE=D， ∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G， 则AB⊥PG， 又PA=PB， ∴G是AB的中点； （2）∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形， ∴PB⊥PA，PB⊥PC，则PB⊥平面PAC， 而PB?平面PAB，则平面PAB⊥平面PAC， 在平面PAB中，过E作EF⊥PA，则EF⊥平面PAC， 即F为E在平面PAC内的正投影． 由于PA=PB=PC=6，故AB=BC=AC=6 ， 易知PG= =3 ，GD= = ，由勾股定理得PD= =2 ， 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，点、线、面间的距离计算 【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意分析可得PD⊥平面ABC，进而可得PD⊥AB，同理可得DE⊥AB，结合两者分析可得AB⊥平面PDE，进而分析可得AB⊥PG，又由PA=PB，由等腰三角形的性质可得证明；（2）由线面垂直的判定方法可得PB⊥平面PAC，进而由于PB?平面PAB，可得平面PAB⊥平面PAC，由此可以在平面PAB中，过E作EF⊥PA，可得F为E在平面PAC内的正投影． 进而由棱锥的体积公式计算可得答案．；本题考查几何体的体积计算以及线面垂直的性质、应用，解题的关键是正确分析几何体的各种位置、距离关系．
16、（2016?全国）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°． 21cnjy.com
(1)证明平面ABEF⊥平面EFDC；
(2)求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．
【答案】（1）证明：∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF． ∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF， ∵DF∩EF=F， ∴AF⊥平面EFDC， ∵AF?平面ABEF， ∴平面ABEF⊥平面EFDC； （2）解： 由AF⊥DF，AF⊥EF， 可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角； 由CE⊥BE，BE⊥EF， 可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角． 可得∠DFE=∠CEF=60°． ∵AB∥EF，AB?平面EFDC，EF?平面EFDC， ∴AB∥平面EFDC， ∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB?平面ABCD， ∴AB∥CD， ∴CD∥EF， ∴四边形EFDC为等腰梯形． 以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a， 则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（ ，0， a），A（2a，2a，0）， ∴ =（0，2a，0）， =（ ，﹣2a， a）， =（﹣2a，0，0） 设平面BEC的法向量为 =（x1 ， y1 ， z1），则 ， 则 ，取 =（ ，0，﹣1）． 设平面ABC的法向量为 =（x2 ， y2 ， z2），则 ， 则 ，取 =（0， ，4）． 设二面角E﹣BC﹣A的大小为θ，则cosθ=﹣ =﹣ = ， 则二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣ ． 【考点】与二面角有关的立体几何综合题 【解析】【分析】与二面角有关的立体几何综合题.（1）证明AF⊥平面EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF⊥平面EFDC；（2）证明四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A的余弦值.本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．
模拟题精练
一、单选题
1、（2017湖北孝感七校联考期中）已知 ，则 的最小值是（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】 A 【考点】空间向量运算的坐标表示 【解析】【解答】解： =（﹣1﹣t，t﹣1，﹣t）， ∴ = = ≥ ，当且仅当t=0时取等号． ∴ 的最小值是 ． 故选：A． 【分析】利用向量模的计算公式与二次函数的单调性即可得出．
2、（2017湖北孝感七校联考期中）已知向量 ，且 ，则x的值为（?? ）
A、12 B、10 C、﹣14 D、14
【答案】 D 【考点】空间向量的数量积运算 【解析】【解答】解：因为向量 ，且 ， 属于 =﹣8﹣6+x=0，解得x=14； 故选：D． 【分析】利用空间向量的数量积公式以及向量垂直的性质得到关于x的方程解之即可．
3、（2017新疆兵团农二师华山中）向量 =（2，4，x）， =（2，y，2），若| |=6，且 ⊥ ，则x+y的值为（?? ）
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A、﹣3 B、1 C、﹣3或1 D、3或1
【答案】 C 【考点】空间向量的数量积运算 【解析】【解答】解：∵| |=6，且 ⊥ ， ∴ =6，4+4y+2x=0， 解得 ，或 ． 则x+y=﹣3或1． 故选：C． 【分析】由| |=6，且 ⊥ ，可得 =6，4+4y+2x=0，解出即可得出．
4、（2017山东淄博淄川中学）已知向量 =（1，5，﹣2）， =（3，1，2）， =（x，﹣3，6）．若DE∥平面ABC，则x的值是（?? ） 21·世纪*教育网
A、5 B、3 C、2 D、﹣1
【答案】A 【考点】共线向量与共面向量 【解析】【解答】解：∵设平面ABC的法向量为 =（x，y，z）， 则 ，即 ，取 =（6，﹣4，﹣7）． ∵DE∥平面ABC， ∴ =6x﹣3×（﹣4）+6×（﹣7）=0，解得x=5． 故选：A． 【分析】设平面ABC的法向量为 =（x，y，z），则 ，由DE∥平面ABC，可得 =0，解出即可得出．
5、={8，3，a}， ={2b，6，5}，若 ∥ ，则a+b的值为（?? ）
A、0? B、 C、 D、8
【答案】C 【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直 【解析】【解答】解： ={8，3，a}， ={2b，6，5}，若 ∥ ，所以 所以 ，解得 ， 所以a+b= ． 故选：C． 【分析】直接利用向量平行，求出a，b即可．
6、（2017福建泉州泉港一中期末）已知三棱锥O﹣ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且 ，用a，b，c表示 ，则 等于（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】D 【考点】空间向量的加减法 【解析】【解答】解：由题意知 = ﹣ ∵ ∴ 故选D． 【分析】根据所给的图形，在图形中看出要求的向量可以怎么得到，用减法把向量先变化成已知向量的差的形式，再利用向量的加法法则，得到结果．
7、（2016江西上饶广丰一中期中）已知 =（﹣2，1，3）， =（﹣1，2，1），若 ⊥（ +λ ），则实数λ的值为（?? ）
A、﹣2 B、﹣ C、 D、2
【答案】 A 【考点】空间向量的数量积运算 【解析】【解答】解：∵ ⊥（ +λ ）， ∴ ?（ +λ ）=（ ）2+λ×（2+2+3）=0， 解得λ=﹣2． 故选：A． 【分析】利用向量垂直与数量积的关系即可得出．
8、（2017山西太原期末）已知 =（1，2，3）， =（2，1，2）， =（1，1，2），点Q在直线OP上运动，则当 取得最小值时，点Q的坐标为（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】 C 【考点】空间向量的数量积运算 【解析】【解答】解：设Q（x，y，z） 由点Q在直线OP上可得存在实数λ使得 ，则有Q（λ，λ，2λ） ， 当 =（1﹣λ）（2﹣λ）+（2﹣λ）（1﹣λ）+（3﹣2λ）（2﹣2λ）=2（3λ2﹣8λ+5） 根据二次函数的性质可得当 时，取得最小值 此时Q 故选：C 【分析】可先设Q（x，y，z），由点Q在直线OP上可得Q（λ，λ，2λ），则由向量的数量积的坐标表示可得 =2（3λ2﹣8λ+5），根据二次函数的性质可求，取得最小值时的λ，进而可求Q
9、（2017山东临沂期末）已知向量 =（2m+1，3，m﹣1）， =（2，m，﹣m），且 ∥ ，则实数m的值等于（?? ）
A、 B、﹣2 C、0 D、 或﹣2
【答案】 B 【考点】共线向量与共面向量 【解析】【解答】解：∵空间平面向量 =（2m+1，3，m﹣1）， =（2，m，﹣m），且 ∥ ， ∴（2m+1，3，m﹣1）=λ （2，m，﹣m）=（2λ，λm，﹣λm）， ∴ ，解得 m=﹣2． 故选：B． 【分析】根据两向量平行的充要条件建立等式关系，然后解二元一次方程组即可求出m的值．
10、（2017河北石家庄期末）如图，空间四边形OABC中， = ， = ， = ，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则 =（?? ）
A、﹣ + + ? B、﹣ + ? C、+ ﹣ ? D、+ ﹣
【答案】A 【考点】空间向量的加减法 【解析】【解答】解： = ， = + ﹣ + ， =- + + ﹣ ， =﹣ + + ， ∵ = ， = ， = ， ∴ =﹣ + + ， 故选：A． 【分析】由题意，把 ， ， 三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将 用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项．
11、（2017陕西延安黄陵中学期中）已知A（4，1，3）、B（2，﹣5，1），C为线段AB上一点，且 =3 ，则C的坐标为（?? ）
A、（ ，﹣ ， ） B、（ ，﹣3，2） C、（ ，﹣1， ） D、（ ，﹣ ， ）
【答案】C 【考点】空间向量的数乘运算 【解析】【解答】解：设C（x，y，z），又A（4，1，3）、B（2，﹣5，1）， 可得 ， 又 =3 ， 故有 解得 C的坐标为（ ，﹣1， ） 故选C 【分析】由题意，可设C（x，y，z），又A（4，1，3）、B（2，﹣5，1），求出两个向量 ， 的坐标，代入 =3 ，即可得到x，y，z所满足的方程，求出值即可得到C的坐标
12、（2016广西南宁马山期末）已知点A（4，1，3），B（2，﹣5，1），C为线段AB上一点，且3| |=| |，则点C的坐标是（?? ） 【版权所有：21教育】
A、 B、 C、 D、
【答案】C 【考点】空间向量的数乘运算 【解析】【解答】解：∵C为线段AB上一点，且3| |=|| |， ∴ ， ∴ =（4，1，3）+ （﹣2，﹣6，﹣2）， = ． 故选：C． 【分析】C为线段AB上一点，且3| |=|| |，可得 ，利用向量的坐标运算即可得出．
二、填空题
13、（2017福建泉州泉港一中期末）若 =（2，3，m）， =（2n，6，8）且 ， 为共线向量，则m+n=________．
【答案】6 【考点】共线向量与共面向量 【解析】【解答】解： =（2，3，m）， =（2n，6，8）且 ， 为共线向量，∴ ，∴ ∴m+n=6 故答案为：6 【分析】 ， 为共线向量， ， 即可求出m、n
14、（2016福建福州文博中学期中）如图：在底面为平行四边形的棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．则向量 可用 = ， = ， = 表示为________．
【答案】 【考点】空间向量运算的坐标表示 【解析】【解答】解：∵ = ， = = = ， ∴ = + = + = ， 故答案为： ． 【分析】由 = ， = = ，代入 = + ，即可得出．
15、（2017浙江金华义乌群星外国语学校期中）已知向量 =（k，12，1）， =（4，5，1）， =（﹣k，10，1），且A，B，C三点共线，则k=________．
【答案】 ﹣ 【考点】共线向量与共面向量 【解析】【解答】解：∵向量 =（k，12，1）， =（4，5，1）， =（﹣k，10，1）， ∴ =（4﹣k，﹣7，0）， =（﹣2k，﹣2，0）． 又A、B、C三点共线，∴存在实数λ使得 ， ∴ ，解得 ． 故答案为：﹣ ． 【分析】利用向量的坐标运算和向量共线定理即可得出．
16、（2017浙江湖州期中）已知向量 =（2，4，x）， =（2，y，2），若| |=6，则x=________；若 ∥ ，则x+y=________．
【答案】 ±4；6 【考点】共线向量与共面向量 【解析】【解答】解：∵向量 =（2，4，x）， =（2，y，2）， | |=6， ∴ =6， 解得x=±4； ∵ ∥ ，∴ ， 解得x=4，y=2， ∴x+y=6． 故答案为：±4，6． 【分析】由已知结合| |=6， =6，由此能求出x；由已知结合 ∥ ，得 ，由此能求出x+y．
三、综合题
17、（2017甘肃兰州一中期中）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC= ，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1 ． (1)求证：CD=C1D；(2)求二面角A1﹣B1D﹣P的平面角的正弦值．
【答案】 （1）证明：连接B1A交BA1于O， ∵PB1∥平面BDA1 ， B1P?面AB1P，面AB1P∩面BA1D=OD， ∴B1P∥OD，又O为B1A的中点， ∴D为AP中点，∴C1为A1P中点， ∴△ACD≌△PC1D，∴CD=C1D． （2）解：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中， ， ∴AB⊥AC， 以A1为坐标原点，以A1B1 ， A1C1A1A所在直线建立空间直角坐标系如图所示． 由（1）知C1为A1P中点， ∴A1（0，0，0），B1（1，0，0）， ，P（0，2，0）， ∴ ， =（0，1， ）， 设平面A1B1D的法向量 ∵ 且 ， ∴ ，取z=2，得y=﹣1，∴ ， ， 设平面PB1D的法向量 ， 则 ， ， ∴ ，取x=2，得y=1，2， ∴平面PB1D的法向量 设二面角A1﹣B1D﹣P平面角为θ， 则 ， ∴ 【考点】与二面角有关的立体几何综合题 【解析】【分析】（1）连接B1A交BA1于O，由已知条件推导出△ACD≌△PC1D，由此能够证明CD=C1D；（2）以A1为坐标原点，以A1B1 ， A1C1A1A所在直线建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出二面角A1﹣B1D﹣P的正弦值．
18、（2017福建龙岩连城三中期中）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，其中DA⊥AB，AD∥BC．PA=2AD=BC=2，AB=2 ．
(1)求异面直线PC与AD所成角的大小；
(2)若平面ABCD内有一经过点C的曲线E，该曲线上的任一动点Q都满足PQ与AD所成角的大小恰等于PC与AD所成角．试判断曲线E的形状并说明理由；
(3)在平面ABCD内，设点Q是（2）题中的曲线E在直角梯形ABCD内部（包括边界）的一段曲线CG上的动点，其中G为曲线E和DC的交点．以B为圆心，BQ为半径r的圆分别与梯形的边AB、BC交于M、N两点．当Q点在曲线段CG上运动时，试求圆半径r的范围及VP﹣BMN的范围．
【答案】（1）解：如图，以A为原点，直线AB为x轴、直线AD为y轴、直线AP为z轴，建立空间直角坐标系． 于是有P（0，0，2）， ，D（0，1，0）． 则有 ，又 ． 则异面直线PC与AD所成角θ满足 ， 所以异面直线PC与AD所成角的大小为 （2）解：设点Q（x，y，0），点P（0，0，2）、点D（0，1，0）、点A（0，0，0）， 则 ， ， 则 ， ， 化简整理得到3y2﹣x2=4， 则曲线E是平面ABCD内的双曲线 （3）解：在如图所示的xOy的坐标系中，因为D（0，1）、 、 ，设G（x1 ， y1）．则有 ，故DC的方程为 ， 代入双曲线E：3y2﹣x2=4的方程可得，3y2﹣8（y﹣1）2=4?5y2﹣16y+12=0，其中 ． 因为直线DC与双曲线E交于点C，故 ．进而可得 ，即 ． 故双曲线E在直角梯形ABCD内部（包括边界）的区域满足 ， ． 又设Q（x，y）为双曲线CG上的动点， ． 所以， 因为 ，所以当 时， ； 当 时， ． 而要使圆B与AB、BC都有交点，则|BQ|≤2． 故满足题意的圆的半径取值范围是 ． 因为PA⊥DMN，所以P﹣DMN体积为 ．故问题可以转化为研究△BMN的面积．又因为∠MBN为直角，所以△BMN必为等腰直角三角形． 由前述，设 ，则|BM|=|BN|=r， 故其面积 ，所以 ． 于是， ． （当Q点运动到与点C重合时，体积取得最大值；当Q点运动到横坐标 时， 即|BQ|长度最小时，体积取得最小值）． 【考点】异面直线及其所成的角，空间向量的数量积运算 【解析】【分析】（1）如图，以A为原点，直线AB为x轴、直线AD为y轴、直线AP为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量夹角公式即可得出．（2）设点Q（x，y，0），点P（0，0，2）、点D（0，1，0）、点A（0，0，0），利用 ，化简整理即可得出．（3）设G（x1 ， y1）．则 ，把DC的方程为代入双曲线E：3y2﹣x2=4的方程可得，可得y1y2 ． 可得G．故双曲线E在直角梯形ABCD内部（包括边界）的区域满足 ， ，．又设Q（x，y）为双曲线CG上的动点，利用两点之间距离公式及其范围即可得出． 【来源：21·世纪·教育·网】
19、（2017江苏盐城三模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是边长为2的等边三角形，PC= ，M在PC上，且PA∥面BDM． 21教育网
(1)求直线PC与平面BDM所成角的正弦值；
(2)求平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小．
【答案】（1）解：∵面PAD⊥面ABCD，△PAD为正三角形，作AD边上的高PO， ∵面PAD∩面ABCD=AD，由面面垂直的性质定理，得PO⊥面ABCD， 又ABCD是矩形，同理可得CD⊥面PAD，知CD⊥PD， ∵PC= ，PD=2，∴CD=3． 以AD中点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，AD的垂直平分线为y轴，建立如图所示的坐标系， 则P（0，0， ），A（1，0，0），B（1，3，0），C（﹣1，3，0），D（﹣1，0，0）， 连结AC交BD于点N，由PA∥面MBD，面APC∩面MBD=MN， ∴MN∥PA，又N是AC的中点， ∴M是PC的中点，则M（ ， ， ）， 设面BDM的法向量为 ， ， ， 则 ，令x=1，解得y=﹣ ，z= ，得 ． 设PC与面BDM所成的角为θ，则 ， ∴直线PC与平面BDM所成角的正弦值为 ． （2）面PAD的法向量为向量 ，设面BDM与面PAD所成的锐二面角为φ， 则cosφ= ， 故平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小为 ． 【考点】直线与平面所成的角，二面角的平面角及求法 【解析】【分析】作AD边上的高PO，由已知结合面面垂直的性质可得PO⊥面ABCD，再由ABCD是矩形，得到CD⊥PD，求解直角三角形可得CD．以AD中点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，AD的垂直平分线为y轴，建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到平面BDM的法向量 ．（1）设PC与面BDM所成的角为θ，由sinθ=| 求得直线PC与平面BDM所成角的正弦值．（2）求出平面PAD的法向量 ，由两平面法向量所成角的余弦值求得平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小．
20、（2017江苏扬州中学考前最后一卷）如图，在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1E=CF=1．
(1)求两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值；
(2)求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值．
【答案】（1）解：以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示： 则A（3，0，0），C1=（0，3，3），D1=（0，0，3），E（3，0，2） ∴ =（﹣3，3，3）， =（3，0，﹣1） ∴cosθ= = =﹣ 则两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值为 （2）解：B（3，3，0）， =（0，﹣3，2）， =（3，0，﹣1） 设平面BED1F的一个法向量为 =（x，y，z） 由 得 令x=1，则 =（1，2，3） 则直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值为 | |= = 【考点】异面直线及其所成的角，直线与平面所成的角，用空间向量求直线间的夹角、距离，用空间向量求直线与平面的夹角 【解析】【分析】（1）以以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则我们易求出已知中，各点的坐标，进而求出向量 ， 的坐标．代入向量夹角公式，结合异面直线夹角公式，即可得到答案．（2）设出平面BED1F的一个法向量为 ，根据法向量与平面内任一向量垂直，数量积为0，构造方程组，求出平面BED1F的法向量为 的坐标，代入线面夹角向量公式，即可求出答案．
21、（2017押题预测）如图，在直三棱柱 中，平面 侧面 ，且 ．
(1)求证： ；
(2)若直线 与平面 所成角的大小为 ，求锐二面角 的大小．
【答案】（1）如图，取 的中点D，连接AD， 因为 ,所以 , 由平面 ⊥侧面 ,且平面 ， 得AD⊥平面 ， 又BC 平面 ，所以AD⊥BC， 因为三棱柱 是直三棱柱，则 ⊥底面ABC， 所以 又 ，从而BC⊥侧面 ，又AB 侧面 ， 故AB⊥BC. （2）连接CD，由（1）可知AD⊥平面 ，则CD是AC在平面 内的射影， ∴∠ACD即为直线AC与平面 所成的角，则∠ACD=30°. 在等腰直角 中， ，且点D是 的中点， ∴ ,又 ，∠ACD=30°，∴AC= . 过点A作AE⊥ 于点E，连接DE，由（1）知AD⊥平面 ，则 ,又 , ∴ , ∴∠AED即为二面角 的一个平面角. 在直角△ 中， ， 又 ， ∴ , 又二面角 为锐二面角，∴∠AED=60°， 即二面角 的大小为60°. 【考点】直线与平面垂直的判定，与二面角有关的立体几何综合题 【解析】【分析】本小题主要考查线线垂直，线面垂直，二面角等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决立体几何问题的能力．
