2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
7.2 空间几何体的表面积与体积
考纲剖析
1．了解球体、柱体、锥体、台体的表面积的计算公式．
2．了解球体、柱体、锥体、台体的体积计算公
知识回顾
1．柱、锥、台和球的侧面积和体积
面 积
体 积
圆柱
S侧＝
V＝
圆锥
S侧＝
V＝
圆台
S侧＝
V＝
直棱柱
S侧＝
V＝
正棱锥
S侧＝′
V＝
正棱台
S侧＝
V＝
球
S球面＝
V＝
2.几何体的表面积
(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是 ．
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 、 、 ；它们的表面积等于 与底面面积之和．www.21-cn-jy.com
精讲方法
一、空间几何体的表面积与体积
（一）几何体的展开与折叠
1、几何体的表面积，除球以外，都是利用展开图求得的。利用了空间问题平面化的思想。把一个平面图形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方法，所以几何体的展开与折叠是高考的一个热点；2-1-c-n-j-y
2、几何体的展开图
（1）多面体的展开图；
①直棱柱的侧面展开图是矩形；
②正棱锥的侧面展开图是由一些全等的等腰三角形拼成的，底面是正多边形；
③正棱台的侧面展开图是由一些全等的等腰梯形拼成的，底面是正多边形。
（2）旋转体的展开图
①圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长是底面圆周长，宽是圆柱的母线长；
②圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥的底面周长；
③圆台的侧面展开图是扇环，扇环的上、下弧长分别为圆台的上、下底面周长。
注：圆锥中母线长与底面半径r和展开图扇形中半径和弧长间的关系及符号容易混淆。
（二）几何体的表面积
1、高考中对几何体的表面积的考查一般在客观题中，借以考查空间想象能力和运算能力，只要正确把握几何体的结构，准确应用面积公式，就可以顺利解决；21·cn·jy·com
2、多面体的表面积是各个面的面积之和。圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和；
3、组合体的表面积应注意重合部分的处理。
（三）几何体的体积
求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式进行计算即可。常用方法为：割补法和等积变换法：
（1）割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出锥体和柱体的体积，从而得出几何体的体积；21*cnjy*com
（2）等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面。①求体积时，可选择容易计算的方式来计算；②利用“等积性”可求“点到面的距离”。【出处：21教育名师】
例题精讲
考点一 空间几何体的表面积
【例题1】（2017湖南长沙天心长郡中学模拟）已知点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB=BC= ，AC=2，若四面体ABCD中球心O恰好在侧棱DA上，DC=2 ，则这个球的表面积为（?? ）
A、 B、4π C、16π D、8π
【答案】C 【考点】球的体积和表面积 【解析】【解答】解：∵AB=BC= ，AC=2， ∴AB2+BC2=AC2 ， ∴AB⊥BC， ∴△ABC外接圆的直径为AC，球心O′为AC的中点 ∵球心O恰好在侧棱DA上，DC=2 ， ∴球心到平面ABC的距离为 ， ∴球的半径为 =2， ∴球的表面积为4π?22=16π． 故选C． 【分析】确定△ABC外接圆的直径为AC，球心O′为AC的中点，求出球心到平面ABC的距离，利用勾股定理求出球的半径，即可求出球的表面积．
【变式训练1】（2017四川宜宾二诊）三棱锥A﹣BCD内接于半径为2的球O，BC过球心O，当三棱锥A﹣BCD体积取得最大值时，三棱锥A﹣BCD的表面积为（?? ）
A、 B、 C、 D、
考点二 空间几何体的体积
【例题2】（2017湖南长沙天心长郡中学模拟）如图，网格纸上小正方形变长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体体积为（?? ）
A、 B、 C、8 D、
【答案】A 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 【解析】【解答】解：由已知中的三视图，可得该多面体是一个四棱锥， 其直观图如下图所示： 其体积相等于正方休体积一半的三分之二； 故V= = ， 故选：A． 【分析】由已知中的三视图，可得该多面体是一个四棱锥，画出真直观图，进而可得体积．
【变式训练2】（2017湖南长沙长郡中模拟冲刺）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，点A1在底面ABC上的投影D恰好为BC的中点，AA1与平面ABC所成角为45°，则该三棱柱的体积为（?? ）
A、1 B、 C、3 D、
考点三 球与空间几何体的接、切问题
【例题3】（2017辽宁大连二模）已知三棱锥P﹣ABC的各顶点都在同一球的面上，且PA⊥平面ABC，若球O的体积为 （球的体积公式为 R3 ， 其中R为球的半径），AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则三棱锥P﹣ABC的体积为（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】B 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 【解析】【解答】解：如图所示，在△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则BC2=22+12﹣2×1×2×cos60°=3， 解得BC= ，∴ ． ∴∠ACB=90°． 取AB的中点D，则球心O满足OD⊥平面ABC． 又PA⊥平面ABC，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O为PB的中点． ∴OD= PA． 由球的体积计算公式可得： R3= ，解得R= ． ∴OD= =2． ∴PA=4 ∴三棱锥P﹣ABC的体积V= PA= = ． 故选：B． [MISSING IMAGE: , ] 【分析】如图所示，在△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，利用余弦定理可得：BC= ，利用勾股定理的逆定理可得∠ACB=90°．取AB的中点D，则球心O满足OD⊥平面ABC．又PA⊥平面ABC，可得三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O为PB的中点．OD= PA．由球的体积计算公式可得： R3= ，解得R．OD= ，利用三棱锥P﹣ABC的体积V= PA即可得出． 【来源：21·世纪·教育·网】
【变式训练3】（2017河南信阳息县一中三模）已知正三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为2，且球心在点A，B，C所确定的平面上，则该正三棱锥的表面积是________．
真题精析
1、（2013?新课标Ⅰ）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（?? ） 21教育名师原创作品
A、 B、 C、 D、
2、（2014?湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈ L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈ L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（??? ）
A、 B、 C、 D、
3、（2014?湖南）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（?? ） 【来源：21cnj*y.co*m】
A、1 B、2 C、3 D、4
4、（2014?陕西）已知底面边长为1，侧棱长为 的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（ ）
A、 B、4π C、2π D、
5、（2017?新课标Ⅲ）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） 2·1·c·n·j·y
A、π B、 C、 D、
6、（2017?新课标Ⅲ）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（??? ）
A、π B、 C、 D、
．
7、（2017?北京卷）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A、60 B、30 C、20 D、10
8、（2017?浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm2）是（??? ） 21cnjy.com
A、 B、 C、 D、
9、（2017?新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（??? ） 21世纪教育网版权所有
A、90π B、63π C、42π D、36π
10、（2014?山东）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1 ， P﹣ABC的体积为V2 ， 则 =________．
11、（2014?江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1 ， S2 ， 体积分别为V1 ， V2 ， 若它们的侧面积相等，且 = ，则 的值是________．
12、（2017?山东）由一个长方体和两个 ?圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________． 21*cnjy*com
13、（2017?天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．
14、（2017?江苏）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1 ， 球O的体积为V2 ， 则 的值是________．
．
15、（2017?新课标Ⅱ）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________．
16、（2017?新课标Ⅰ卷）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为________．
17、（2017?新课标Ⅰ卷）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为________．
18、（2014?福建）要制作一个容器为4m3 ， 高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________（单位：元）
模拟题精练
一、单选题
1、右图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为的矩形.则该几何体的表面积是（ ）21教育网
A、 B、 C、8 D、16
2、如图：正方体， 棱长为1，黑白二蚁都从点出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”.白蚁爬行的路线是黑蚁爬行的路线是它们都遵循如下规则：所爬行的第段所在直线与第段所在直线必须是异面直线（其中）.设黑白二蚁走完第2014段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是?? (???? ) ? 【版权所有：21教育】
A、1 B、 C、 D、0
3、（2016广西桂林数学模拟）一个几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（?? ）
A、2π B、4π C、6+（2+ ）π D、（4+2 ）π
4、（2017广东梅州蕉岭中学）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB= ，AA1=2，设四棱柱的外接球的球心为O，动点P在正方形ABCD的边上，射线OP交球O的表面于点M，现点P从点A出发，沿着A→B→C→D→A运动一次，则点M经过的路径长为（?? ）
A、 B、2 π C、 D、4 π
5、（2017内蒙古鄂尔多斯模拟）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈ L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈ L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（?? ）
A、 B、 C、 D、
6、（2017湖南湘潭二模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（?? ）
A、40+8 +4 B、40+8 +4 C、48+8 D、48+8
7、（2017辽宁沈阳三模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体（如图）：面ABCD为矩形，棱EF∥AB．若此几何体中，AB=4，EF=2，△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表面积为（?? ）
A、 B、 C、 D、
8、（2017贵州铜仁四中模拟）四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2 ，AD=BC=2 ，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（?? ）
A、50π B、100π C、200π D、300π
9、（2017吉林长春四模）球面上有A，B，C三点，球心O到平面ABC的距离是球半径的 ，且AB=2 ，AC⊥BC，则球O的表面积是（?? ） www-2-1-cnjy-com
A、81π B、9π C、 D、
10、（2017浙江宁波镇海中学模拟）在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中， ，AB=AC=AA1=1，已知G和E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为（?? ）
A、[ ，1） B、[ ，1] C、（ ，1） D、[ ，1）
二、填空题
11、（2017上海长宁一模）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为________ cm．
．
12、（2017年河北保定定州中学）已知棱长为1的立方体ABCD﹣A1B1C1D1 ， 则从顶点A经过立方体表面到达正方形CDD1C1中心M的最短路线有________条．
13、（2017江西赣州二模）某多面体的三视图如图所示，则该多面体外接球的体积为________．
14、（2017安徽蚌埠二模）已知边长为 的正△ABC的三个顶点都在球O的表面上，且OA与平面ABC所成的角为60° ， 则球O的表面积为________．
．
15、（2017上海杨浦三模）若正四棱锥P﹣ABCD的高为2，侧棱PA与底面ABCD所成角的大小为 ，则该正四棱锥的体积为________．
16、（2017江苏南通四模）一个封闭的正三棱柱容器，高为8，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态）．将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面所在的平面与各棱交点E，F，F1 ， E1分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为________．
17、（2017江苏扬州模拟）已知圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角等于 的扇形，则这个圆锥的体积是________． 21·世纪*教育网
2018年高考一轮复习真题汇编(2013-2017)：
7.2 空间几何体的表面积与体积（答案）
知识回顾
1．柱、锥、台和球的侧面积和体积
面 积
体 积
圆柱
S侧＝2πrh
V＝Sh＝πr2h
圆锥
S侧＝πrl
V＝Sh＝πr2h
＝πr2
圆台
S侧＝π(r1＋r2)l
V＝(S上＋S下＋)h＝π(r＋r＋r1r2)h
直棱柱
S侧＝Ch
V＝Sh
正棱锥
S侧＝Ch′
V＝Sh
正棱台
S侧＝(C＋C′)h′
V＝(S上＋S下＋)h
球
S球面＝4πR2
V＝πR3
2.几何体的表面积
(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．
例题精讲
考点一 空间几何体的表面积
【变式训练1】（2017四川宜宾二诊）三棱锥A﹣BCD内接于半径为2的球O，BC过球心O，当三棱锥A﹣BCD体积取得最大值时，三棱锥A﹣BCD的表面积为（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】D 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【解析】【解答】解：由题意，BC为直径，△BCD的最大面积为 =4， 三棱锥A﹣BCD体积最大时，AO⊥平面BCD，三棱锥的高为2， ∴三棱锥A﹣BCD的表面积为4×2+2× =8+4 ， 故选D． 【分析】由题意，BC为直径，△BCD的最大面积为 =4，三棱锥A﹣BCD体积最大时，AO⊥平面BCD，三棱锥的高为2，即可求出三棱锥A﹣BCD的表面积．
考点二 空间几何体的体积
【变式训练2】（2017湖南长沙长郡中模拟冲刺）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，点A1在底面ABC上的投影D恰好为BC的中点，AA1与平面ABC所成角为45°，则该三棱柱的体积为（?? ）
A、1 B、 C、3 D、
【答案】C 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 【解析】【解答】解：如图，△ABC是边长为2的等边三角形． ∵D是点A1在底面ABC上的投影，∴A1D⊥底面ABC， 又D是BC中点，连接AD，则AD= ， 又∵AA1与平面ABC所成角为45°，即∠A1AD=45°， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 【分析】由已知可知，A1D为三棱柱的高，且求得 ，再求出底面三角形ABC的面积，则体积可求． 21世纪教育网版权所有
考点三 球与空间几何体的接、切问题
【变式训练3】（2017河南信阳息县一中三模）已知正三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为2，且球心在点A，B，C所确定的平面上，则该正三棱锥的表面积是________．
【答案】 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【解析】【解答】解：正三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在同一球面上， 其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上． 所以ABC的中心就是球心O，PO是球的半径，也是正三棱锥的高， 则R=2， 由题意可知：OA=OB=OC=2，底面三角形ABC的高为：3． 则AB=3，AB=2 ，PA=3 ， 则该正三棱锥的表面积是： ×2 ×3+3× ×2 × =3 +3 ． 故答案为： ． 【分析】画出图形，求出正三棱锥的底面边长，侧棱长以及斜高，然后求解正三棱锥的表面积． 2·1·c·n·j·y
真题精析
1、（2013?新课标Ⅰ）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（?? ） 21cnjy.com
A、 B、 C、 D、
【答案】A 【考点】球的体积和表面积 【解析】【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M， 则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图． 设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm， 而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42 ， 解出R=5， ∴根据球的体积公式，该球的体积V= = = ． 故选A． 【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．
2、（2014?湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈ L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈ L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（??? ） 【出处：21教育名师】
A、 B、 C、 D、
【答案】B 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 【解析】【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=2πr， ∴ = （2πr）2h， ∴π= ． 故选：B． 【分析】根据近似公式V≈ L2h，建立方程，即可求得结论． 21教育名师原创作品
3、（2014?湖南）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（?? ） 21*cnjy*com
A、1 B、2 C、3 D、4
【答案】B 【考点】由三视图求面积、体积，球的体积和表面积，球内接多面体 【解析】【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则 8﹣r+6﹣r= ， ∴r=2． 故选：B． 【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r．
4、（2014?陕西）已知底面边长为1，侧棱长为 的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（ ）
A、 B、4π C、2π D、
【答案】 D 【考点】球的体积和表面积 【解析】【解答】解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为 ， ∴正四棱柱体对角线的长为 =2 又∵正四棱柱的顶点在同一球面上， ∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1 根据球的体积公式，得此球的体积为V= πR3= π． 故选：D． 【分析】由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积．
5、（2017?新课标Ⅲ）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） 【来源：21cnj*y.co*m】
A、π B、 C、 D、
【答案】B 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 【解析】【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上， ∴该圆柱底面圆周半径r= = ， ∴该圆柱的体积：V=Sh= = ． 故选：B． 【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r= = ，由此能求出该圆柱的体积．
6、（2017?新课标Ⅲ）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（??? ）
A、π B、 C、 D、
【答案】B 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 【解析】【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上， ∴该圆柱底面圆周半径r= = ， ∴该圆柱的体积：V=Sh= = ． 故选：B． 【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r= = ，由此能求出该圆柱的体积．
7、（2017?北京卷）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A、60 B、30 C、20 D、10
【答案】D 【考点】由三视图还原实物图，棱柱、棱锥、棱台的体积 【解析】【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥， 该三棱锥的体积= =10． 故选：D． 【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥，如图所示．
8、（2017?浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm2）是（??? ） 【版权所有：21教育】
A、 B、 C、 D、
【答案】A 【考点】由三视图求面积、体积，由三视图还原实物图，棱柱、棱锥、棱台的体积 【解析】【解答】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成， 圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3， 故该几何体的体积为 × ×π×12×3+ × × × ×3= +1， 故选：A 【分析】根据几何体的三视图，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，画出图形，结合图中数据即可求出它的体积．
9、（2017?新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（??? ）
A、90π B、63π C、42π D、36π
【答案】B 【考点】由三视图求面积、体积，由三视图还原实物图，棱柱、棱锥、棱台的体积 【解析】【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半， V=π?32×10﹣ ?π?32×6=63π， 故选：B． 【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，即可求出几何体的体积．
10、（2014?山东）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1 ， P﹣ABC的体积为V2 ， 则 =________．
【答案】 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 【解析】【解答】解：如图，三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点， 三棱锥D﹣ABE的体积为V1 ， P﹣ABC的体积为V2 ， ∴A到底面PBC的距离不变，底面BDE底面积是PBC面积的 = ， ∴ = = ． 故答案为： ． 【分析】画出图形，通过底面面积的比求解棱锥的体积的比．
11、（2014?江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1 ， S2 ， 体积分别为V1 ， V2 ， 若它们的侧面积相等，且 = ，则 的值是________．
【答案】 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台），棱柱、棱锥、棱台的体积 【解析】【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h； ∵ = ， ∴ ，它们的侧面积相等， ∴ ， ∴ = = = ． 故答案为： ． 【分析】设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比．
12、（2017?山东）由一个长方体和两个 ?圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．
【答案】2+ 【考点】由三视图还原实物图，棱柱、棱锥、棱台的体积 【解析】【解答】解：由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V1=2×1×1=2， 圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积V2= ×π×12×1= ， 则该几何体的体积V=V1+2V1=2+ ， 故答案为：2+ ． 【分析】由三视图可知：长方体长为2，宽为1，高为1，圆柱的底面半径为1，高为1圆柱的 ，根据长方体及圆柱的体积公式，即可求得几何体的体积．
13、（2017?天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．
【答案】 【考点】简单组合体的结构特征，棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积，球的体积和表面积 【解析】【解答】解：设正方体的棱长为a， ∵这个正方体的表面积为18， ∴6a2=18， 则a2=3，即a= ， ∵一个正方体的所有顶点在一个球面上， ∴正方体的体对角线等于球的直径， 即 a=2R， 即R= ， 则球的体积V= π?（ ）3= ； 故答案为： ． 【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可．
14、（2017?江苏）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1 ， 球O的体积为V2 ， 则 的值是________．
【答案】 ? 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台），球的体积和表面积 【解析】【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为： R3 ， 圆柱的体积为：πR2?2R=2πR3 ． 则 = = ． 故答案为： ． 【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．
15、（2017?新课标Ⅱ）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________．
【答案】14 ? 【考点】球的体积和表面积，球内接多面体 【解析】【解答】解：长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，可知长方体的对角线的长就是球的直径， 所以球的半径为： = ． 则球O的表面积为：4× =14π． 故答案为：14π． 【分析】求出球的半径，然后求解球的表面积． 21教育网
16、（2017?新课标Ⅰ卷）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为________．www-2-1-cnjy-com
【答案】4 cm3 【考点】棱锥的结构特征，棱柱、棱锥、棱台的体积 【解析】【解答】解：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG= BC， 即OG的长度与BC的长度成正比， 设OG=x，则BC=2 x，DG=5﹣x， 三棱锥的高h= = = ， =3 ， 则V= = = ， 令f（x）=25x4﹣10x5 ， x∈（0， ），f′（x）=100x3﹣50x4 ， 令f′（x）≥0，即x4﹣2x3≤0，解得x≤2， 则f（x）≤f（2）=80， ∴V≤ =4 cm3 ， ∴体积最大值为4 cm3 ． 故答案为：4 cm3 ． 【分析】由题，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG= BC，设OG=x，则BC=2 x，DG=5﹣x，三棱锥的高h= ，求出S△ABC=3 ，V= = ，令f（x）=25x4﹣10x5 ， x∈（0， ），f′（x）=100x3﹣50x4 ， f（x）≤f（2）=80，由此能求出体积最大值．
17、（2017?新课标Ⅰ卷）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为________．
【答案】36π 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，球的体积和表面积，球内接多面体 【解析】【解答】解：三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9， 可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为r， 可得 ，解得r=3． 球O的表面积为：4πr2=36π． 故答案为：36π． 【分析】判断三棱锥的形状，利用几何体的体积，求解球的半径，然后求解球的表面积．
18、（2014?福建）要制作一个容器为4m3 ， 高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________（单位：元）21*cnjy*com
【答案】 160 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【解析】【解答】解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y， 则∵长方形容器的容器为4m3 ， 高为1m， 故底面面积S=ab=4，y=20S+10[2（a+b）]=20（a+b）+80， ∵a+b≥2 =4， 故当a=b=2时，y取最小值160， 即该容器的最低总造价是160元， 故答案为：160 【分析】此题首先需要由实际问题向数学问题转化，设池底长和宽分别为a，b，成本为y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求．
模拟题精练
2017年8月18日高中数学试卷
一、单选题
1、右图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为的矩形.则该几何体的表面积是（ ）www.21-cn-jy.com
A、 B、 C、8 D、16
【答案】 A 【考点】棱柱的结构特征，棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【解析】【解答】由已知俯视图是矩形,则该几何体为一个三棱柱，根据三视图的性质，俯视图的矩形宽为,由面积得长为4，则 =. 【分析】做这类问题的关键是：根据三视图正确还原几何体的形状及一些数量关系。考查了学生的空间想象能力。属于常见题型。2-1-c-n-j-y
2、如图：正方体， 棱长为1，黑白二蚁都从点出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”.白蚁爬行的路线是黑蚁爬行的路线是它们都遵循如下规则：所爬行的第段所在直线与第段所在直线必须是异面直线（其中）.设黑白二蚁走完第2014段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是?? (???? ) ?
A、1 B、 C、 D、0
【答案】B 【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题 【解析】【解答】根据规则，观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬6步回到起点，周期为6．计算黑蚂蚁爬完段后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完段后实质是到达哪个点，即可计算出它们的距离，由题意，白蚂蚁爬行路线为， 即过6段后又回到起点，可以看作以6为周期，由， 白蚂蚁爬完段后到回到Ｃ点；同理，黑蚂蚁爬完段后回到点，所以它们此时的距离为． 故选B． 21·cn·jy·com
3、（2016广西桂林数学模拟）一个几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（?? ）
A、2π B、4π C、6+（2+ ）π D、（4+2 ）π
【答案】C 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【解析】【解答】解：由三视图可知：该几何体为圆锥沿轴截取的一半． ∴该几何体的表面积= + + =6+ π． 故选：C． 【分析】由三视图可知：该几何体为圆锥沿轴截取的一半．
4、（2017广东梅州蕉岭中学）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB= ，AA1=2，设四棱柱的外接球的球心为O，动点P在正方形ABCD的边上，射线OP交球O的表面于点M，现点P从点A出发，沿着A→B→C→D→A运动一次，则点M经过的路径长为（?? ）
A、 B、2 π C、 D、4 π
【答案】A 【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题 【解析】【解答】解：由题意，点P从点A出发，沿着A→B→C→D→A运动一次，则点M经过的路径是四段大圆上的相等的弧． ∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB= ，AA1=2， ∴四棱柱的外接球的直径为其对角线，长度为 =2 ， ∴四棱柱的外接球的半径为 ，∴∠AOB= ， ∴AB所在大圆，所对的弧长为 = ， ∴点M经过的路径长为 ． 故选：A． 【分析】由题意，点P从点A出发，沿着A→B→C→D→A运动一次，则点M经过的路径是四段大圆上的相等的弧，求出，∠AOB= ，利用弧长公式，即可得出结论．
5、（2017内蒙古鄂尔多斯模拟）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈ L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈ L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】B 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 【解析】【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=2πr， ∴ = （2πr）2h， ∴π= ． 故选：B． 【分析】根据近似公式V≈ L2h，建立方程，即可求得结论．
6、（2017湖南湘潭二模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（?? ）
A、40+8 +4 B、40+8 +4 C、48+8 D、48+8
【答案】A 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 【解析】【解答】解：由已知中的三视图，可得几何体的直观图如图所示， 底面ABCD的面积为：4×4=16， 面EBC的面积为： ×2×4=4， 面APD的面积为： ×4×4=8， 面ABEP的面积为： ×（2+4）×4=12， 面PCD的面积为： ×4×4 =8 ， 面PCE的面积为： ×4 ×2 =4 ， 故几何体的表面积S=40+8 +4 故选：A 【分析】由已知中的三视图，画出几何体的直观图，进而求出各个面的面积，可得答案．
7、（2017辽宁沈阳三模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体（如图）：面ABCD为矩形，棱EF∥AB．若此几何体中，AB=4，EF=2，△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表面积为（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】B 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【解析】【解答】解：过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC的中点P，连结PF， 过F作FQ⊥AB，垂足为Q，连结OQ． ∵△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形， ∴OP= （AB﹣EF）=1，PF= ，OQ= BC=1， ∴OF= = ，FQ= = ， ∴S梯形EFBA=S梯形EFCB= =3 ， 又S△BCF=S△ADE= = ，S矩形ABCD=4×2=8， ∴几何体的表面积S=3 + +8=8+8 ． 故选：B． 【分析】利用勾股定理求出梯形ABFE的高，再计算出各个面的面积即可得出表面积．
8、（2017贵州铜仁四中模拟）四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2 ，AD=BC=2 ，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（?? ）
A、50π B、100π C、200π D、300π
【答案】C 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【解析】【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形， 所以可在其每个面补上一个以10，2 ，2 为三边的三角形作为底面， 且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥， 从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体， 并且x2+y2=100，x2+z2=136，y2+z2=164， 设球半径为R，则有（2R）2=x2+y2+z2=200， ∴4R2=200， ∴球的表面积为S=4πR2=200π． 故选C． 【分析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2 ，2 为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积． 【来源：21·世纪·教育·网】
9、（2017吉林长春四模）球面上有A，B，C三点，球心O到平面ABC的距离是球半径的 ，且AB=2 ，AC⊥BC，则球O的表面积是（?? ）
A、81π B、9π C、 D、
【答案】B 【考点】球的体积和表面积 【解析】【解答】解：由题可知AB为△ABC的直径，令球的半径为R， 则 ，可得 ， 则球的表面积为S=4πR2=9π． 故选B． 【分析】求出截面圆的半径，根据已知中球心到平面ABC的距离，利用直角三角形求出球的半径，代入球的表面积公式，即可得到答案．
10、（2017浙江宁波镇海中学模拟）在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中， ，AB=AC=AA1=1，已知G和E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为（?? ）
A、[ ，1） B、[ ，1] C、（ ，1） D、[ ，1）
【答案】A 【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题 【解析】【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（0，1， ）， G（ ，0，1），F（x，0，0），D（0，y，0） 由于GD⊥EF，所以x+2y﹣1=0 DF= = 当y= 时，线段DF长度的最小值是 当y=1时，线段DF长度的最大值是 1 而不包括端点，故y=1不能取； 故选：A． 【分析】根据直三棱柱中三条棱两两垂直，本题考虑利用空间坐标系解决．建立如图所示的空间直角坐标系，设出F、D的坐标，利用GD⊥EF求得关系式，写出DF的表达式，然后利用二次函数求最值即可． 21·世纪*教育网
二、填空题
11、（2017上海长宁一模）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为________ cm．
【答案】 13 【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题 【解析】【解答】解：将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示， 在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值． 由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理d= =13 故答案为：13． 【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径．
12、（2017年河北保定定州中学）已知棱长为1的立方体ABCD﹣A1B1C1D1 ， 则从顶点A经过立方体表面到达正方形CDD1C1中心M的最短路线有________条．
【答案】 2 【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题 【解析】【解答】解：由题意，经过边DD1或DC时，路线最短，有2条． 故答案为：2． 【分析】由题意，经过边DD1或DC时，路线最短，即可得出结论．
13、（2017江西赣州二模）某多面体的三视图如图所示，则该多面体外接球的体积为________．
【答案】 【考点】简单空间图形的三视图，球的体积和表面积 【解析】【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点． 根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上， 设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：2﹣x， ∴R2=x2+（ ）2 ， R2=12+（2﹣x）2 ， 解得出：x= ，R= ， 该多面体外接球的体积为： = ， 故答案为 ． 【分析】根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点，利用球的几何性质求解即可．
14、（2017安徽蚌埠二模）已知边长为 的正△ABC的三个顶点都在球O的表面上，且OA与平面ABC所成的角为60° ， 则球O的表面积为________．
【答案】π 【考点】球的体积和表面积 【解析】【解答】解：边长为 的正△ABC的外接圆的半径为1， ∵OA与平面ABC所成的角为30°， ∴球O的半径为 = ， ∴球O的表面积为4πR2= π． 故答案为： π． 【分析】求出边长为 的正△ABC的外接圆的半径，利用OA与平面ABC所成的角为30°，求出球O的半径，即可求出球O的表面积．
15、（2017上海杨浦三模）若正四棱锥P﹣ABCD的高为2，侧棱PA与底面ABCD所成角的大小为 ，则该正四棱锥的体积为________．
【答案】 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 【解析】【解答】解：连结AC、BD，交于点O，连结PO， ∵正四棱锥P﹣ABCD的高为2， 侧棱PA与底面ABCD所成角的大小为 ， ∴PO⊥平面ABCD，且PO=2， ∴侧棱PA与底面ABCD所成角为∠PAO，且 ， ∴AO=2，∴AB= ， ∴该正四棱锥的体积： V= = = ． 故答案为： ． 【分析】连结AC、BD，交于点O，连结PO，则PO⊥平面ABCD，且PO=2，从而侧棱PA与底面ABCD所成角为∠PAO，且 ，进而AO=2，AB= ，由此能求出该正四棱锥的体积．
16、（2017江苏南通四模）一个封闭的正三棱柱容器，高为8，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态）．将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面所在的平面与各棱交点E，F，F1 ， E1分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为________．
【答案】6 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 【解析】【解答】解：设正三棱柱的底面积为S，则 ． ∵E，F，F1 ， E1分别为所在棱的中点，∴ ，即 ， ∴ ． ∴ ． 则图甲中水面的高度为6． 故答案为：6． 【分析】设正三棱柱的底面积为S，可得其体积为8S，利用相似三角形面积的关系求得乙图中四棱柱的底面积，得其体积，可得图甲中的有水部分的高．
17、（2017江苏扬州模拟）已知圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角等于 的扇形，则这个圆锥的体积是________．
【答案】 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 【解析】【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是圆心角为 、半径为4的扇形， 圆锥的母线l：4， 解得圆锥的底面周长：2π，半径：r=1， ∴这个圆锥的高是：h= = ． 故圆锥的体积：V= πr2h= ， 故答案为： ． 【分析】首先求出底面圆的半径，再利用勾股定理求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．
