2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
7.7 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直
考纲剖析
1．理解直线的方向向量及平面的法向量．
2．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．
3．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.
知识回顾
1．直线的方向向量与平面的法向量的确定
(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意 也是直线l的方向向量．
(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为【来源：21·世纪·教育·网】
2．空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2.
l1∥l2
l1⊥l2
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m
l∥α
l⊥α
平面α，β的法向量分别为n，m.
α∥β
α⊥β
精讲方法
一、立体几何中的向量方法
（一）利用空间向量证明平行和垂直
利用直线的方向向量和平面的法向量，可以判定直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行和垂直。
（1）设直线的方向向量为，直线的方向向量为，则∥
（2）设直线的方向向量为，平面α的法向量为，则∥α
（3）设平面α的法向量为，平面β的法向量为，则α∥β
（二）立体几何开放性问题求解方法有以下两种：
(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论；
(2)假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在．本题是设出点P的坐标，借助向量运算，判定关于z0的方程是否有解．
（三）方法概述
1．用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想．
2．两种思路：(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断．(2)建立空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题．21*cnjy*com
3．运用向量知识判定空间位置关系，仍然离不开几何定理．如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．
4.空间向量将“空间位置关系”转化为“向量的运算”．应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化．同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备．21教育名师原创作品
例题精讲
考点一 利用空间向量证明平行问题
【例题1】（2017山东济宁二模）如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA=DA=AB=2CB，EA⊥ AB，M是EC上的点（不与端点重合），F为DA上的点，N为BE的中点． （Ⅰ）若M是EC的中点，AF=3FD，求证：FN∥平面MBD； 【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】（Ⅰ）证明：如图， ∵DA⊥平面EAB，∴DA⊥AE，DA⊥AB，又EA⊥AB， ∴以A为原点，分别以AE、AB、AD所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 设CB=4，由CB∥DA，EA=DA=AB=2CB，N为BE的中点，M是EC的中点，AF=3FD， 得F（0，0，6），N（4，4，0），M（4，4，2），B（0，8，0），D（0，0，8）， C（0，8，4），E（8，0，0）． ∴ ， ， ． 设平面MBD的一个法向量为 ， 由 ，取z=1，得 ． ∵ = ，∴ ，则FN∥平面MBD； 【考点】直线与平面平行的判定，二面角的平面角及求法 【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可得AE、AB、AD两两垂直，以A为原点，分别以AE、AB、AD所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出 的坐标，再求出平面MBD的一个法向量 ，由 可得FN∥平面MBD； 21*cnjy*com
【变式训练1】
如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．
(1)求证：CM∥平面PAD；
(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.
考点二 利用空间向量证明垂直问题
【例题2】（2017湖南怀化四模）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，∠ACB=90°，BB1=3，AC=BC=2，D，E分别为AB，BC的中点，F为BB1上一点，且 = ．
求证：平面CDF⊥平面A1C1E；
【答案】（1）证明：以C为原点，分别以CA、CB、CC1所在直线为x、y、z轴正半轴建立空间直角坐标系， ∵BB1=3，AC=BC=2，D，E分别为AB，BC的中点， = ． ∴C（0，0，0），D（1，1，0），F（0，2， ），E（0，1，0），A1（2，0，3），C1（0，0，3）． ， ， ． 设平面CDF的一个法向量为 ， 则 ，取y=﹣1，得 ； 再平面A1C1E的一个法向量为 ， 则 ，取z=1，得 ． ∵ ， ∴ ，则平面CDF⊥平面A1C1E； 【考点】平面与平面垂直的判定 【解析】【分析】（1）以C为原点，分别以CA、CB、CC1所在直线为x、y、z轴正半轴建立空间直角坐标系，再由已知求出C，D，F，E，A1 ， C1的坐标，得到平面CDF与平面A1C1E的一个法向量，由两法向量垂直可得平面CDF⊥平面A1C1E；
【变式训练2】（2017辽宁辽南协作体模拟）如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD丄平面CBD，若AM丄平面ABD，且AM=
(1)求证：DM⊥平面ABC；
、
真题精析
（2015·天津）如图，在四棱柱中，侧棱底面且点和分别为和的中点
(1)求证：平面
(2)求二面角的正弦值
（3)设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长
2、(2015·湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑． 如图，在阳马P-ABCD中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接? 21教育网
(1)证明：平面．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写 出结论）；若不是，说明理由； 21·cn·jy·com
(2)若面与面所成二面角的大小为， 求的值． ?
3、（2015·重庆）如题（19）图，三棱锥中，平面，，分别为线段上的点，且
(1)证明：平面.
(2)求二面角的余弦值。
4、（2016?浙江）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3， (1)求证：EF⊥平面ACFD；(2)求二面角B﹣AD﹣F的余弦值．21世纪教育网版权所有
5、（2013?山东）如图所示，在三棱锥P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH． www.21-cn-jy.com
(1)求证：AB∥GH；
(2)求二面角D﹣GH﹣E的余弦值．
6、（2013?天津）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点． 21·世纪*教育网
(1)证明B1C1⊥CE；
(2)求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．
(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为 ，求线段AM的长． 2-1-c-n-j-y
7、（2014?辽宁）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F分别为AC、DC的中点． 【版权所有：21教育】
(1)求证：EF⊥BC；
(2)求二面角E﹣BF﹣C的正弦值．
8、（2017?浙江）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点． （Ⅰ）证明：CE∥平面PAB； （Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
9、（2017·天津）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2． （Ⅰ）求证：MN∥平面BDE； （Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值； （Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ，求线段AH的长．
模拟题精练
一、综合题
1、（2017湖南湘西模拟）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE． 21cnjy.com
(1)证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由； www-2-1-cnjy-com
2、（2017四川成都三诊）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，DE=2，M为线段BF上一点，且DM⊥平面ACE． 2·1·c·n·j·y
(1)求BM的长；
3、（2017云南楚雄姚安一中期中）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB=AC=AA1 ， ，点D是BC的中点． （I）求证：AD⊥平面BCC1B1； （II）求证：A1B∥平面ADC1； 【出处：21教育名师】
4、（2017安徽安庆一中三模）如图所示，在多面体ABCDE中，△BCD是边长为2的正三角形，AE∥DB，AE⊥DE，2AE=BD，DE=1，面ABDE⊥面BCD，F是CE的中点． （Ⅰ）求证：BF⊥CD；
2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
7.7 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直（答案）
知识回顾
1．直线的方向向量与平面的法向量的确定
(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．
(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为
2．空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2.
l1∥l2
n1∥n2?n1＝λn2
l1⊥l2
n1⊥n2?n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m
l∥α
n⊥m?m·n＝0
l⊥α
n∥m?n＝λm
平面α，β的法向量分别为n，m.
α∥β
n∥m?n＝λm
α⊥β
n⊥m?n·m＝0
例题精讲
考点一 利用空间向量证明平行问题
【变式训练1】
如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．21世纪教育网版权所有
(1)求证：CM∥平面PAD；
(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.
证明：
以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.www.21-cn-jy.com
∵PC⊥平面ABCD，
∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，
∴∠PBC＝30°.∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4.
∴D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，∴＝(0，－1,2)，＝(2，3,0)，＝，21·世纪*教育网
(1)设n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，则即∴
令y＝2，得n＝(－，2,1)．
∵n·＝－×＋2×0＋1×＝0，∴n⊥，
又CM?平面PAD，∴CM∥平面PAD.
(2)取AP的中点E，并连接BE，
则E(，2,1)，＝(－，2,1)，
∵PB＝AB，∴BE⊥PA.
又·＝(－，2,1)·(2，3,0)＝0，
∴⊥，则BE⊥DA.
∵PA∩DA＝A.∴BE⊥平面PAD，
又∵BE?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.
考点二 利用空间向量证明垂直问题
【变式训练2】（2017辽宁辽南协作体模拟）如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD丄平面CBD，若AM丄平面ABD，且AM=
(1)求证：DM⊥平面ABC；
【答案】如图，取BD中点N，连结AN，CN，MN， ∵将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD丄平面CBD， ∴AN⊥BD，CN⊥BD， ∵平面ABD丄平面CBD，平面ABD∩平面CBD=BD，CN?平面CBD，CN⊥BD， ∴CN⊥平面ABD， 以A为原点，AB、AD、AM所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则A（0，0，0），B（2，0，0），C（1，1， ），D（0，2，0），M（0，0， ）， =（2，0，0）， =（1，1， ）， =（0，﹣2， ）， ∵ =0， =0， ∴DM⊥AB，DM⊥AC， 又AB∩AC=A，∴DM⊥平面ABC 【来源：21·世纪·教育·网】
【考点】直线与平面垂直的判定 【解析】【分析】取BD中点N，连结AN，CN，MN，以A为原点，AB、AD、AM所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DM⊥平面ABC．
真题精析
（2015·天津）如图，在四棱柱中，侧棱底面且点和分别为和的中点
(1)求证：平面
(2)求二面角的正弦值
（3)设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长
【答案】 （1）见解答 （2） （3） 【考点】两条直线平行的判定，两条直线垂直的判定，空间向量的概念，二面角的平面角及求法 【解析】【解答】如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得,又因为分别为和的中点，得 （1）证明：依题意，可得为平面的一个法向量，，由此可得，，又因为直线平面，所以平面 （2）,设为平面的法向量，则，即,不妨设，可得。 设为平面的一个法向量，则,又，得,不妨设，可得因此有,于是,所以二面角的正弦值为。 （3）依题意，可设，其中则从而又为平面的一个法向量，由已知得整理得又因为，解得所以线段的长为 【分析】本题主要考查直线和平面平行和垂直的判定与性质，二面角、直线与平面所成的角，空间向量的应用，将例题几何向量化，体现向量工具的应用，即把几何的证明与计算问题转化为纯代数的计算问题，是向量的最大优势，把空间一些难以想象的问题转化成计算问题，有效的解决了一些学生空间想象能力较差的问题。www-2-1-cnjy-com
2、(2015·湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑． 如图，在阳马P-ABCD中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接? 【版权所有：21教育】
(1)证明：平面．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写 出结论）；若不是，说明理由； 2·1·c·n·j·y
(2)若面与面所成二面角的大小为， 求的值． ?
【答案】（1）.如图2，以D为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系。设，? 则,,点E是PC的中点，所以,,于是 ,即.又已知,而,所以平面.因,,则,所以平面，由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为?. （2）
【考点】与二面角有关的立体几何综合题，二面角的平面角及求法 【解析】【解答】（2） 解答一：如图1，在面内，延长与交于点G，则DG是平面DEF与平面的交线，由（Ⅰ）知，平面，所以.又因为底面，所以。而,所以平面.故是面与面?所成二面角的平面角，设,,有,在RtPDB中，由,得,则,解得.所以. 故当面与面所成二面角的大小为时，. ? 解答二： 由平面，所以是平面的一个法向量；由（Ⅰ）知平面，所以是平面的一个法向量。若面与面所成二面角的大小为，则,解得.所以.故当面与面所成二面角的大小为时，. 【分析】立体几何是高考的重点和热点内容，而求空间角是重中之重，利用空间向量求空间角的方法固定，思路简洁，但在利用平面的法向量求二面角大小时，两个向量夹角与二面角相等还是互补是这种解法的难点，也是学生的易错易误点．解题时正确判断法向量的方向，同指向二面角内或外则向量夹角与二面角互补，一个指向内另一个指向外则相等．
3、（2015·重庆）如题（19）图，三棱锥中，平面，，分别为线段上的点，且
(1)证明：平面.
(2)求二面角的余弦值。
【答案】（1）见解答 （2） 【考点】与二面角有关的立体几何综合题，向量语言表述线面的垂直、平行关系，二面角的平面角及求法 【解析】【解答】1.证明：由平面,平面,故 由得为等腰直角三角形，故 由,垂直于平面内两条相交直线，故平面. 2. 由1知，为等腰直角三角形，,如（19）图，过点作垂直于，易知又已知,故 由得,故 以为坐标原点，分别以的方程为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则 设平面的法向量 由 得故可取 由（1）可知平面,故平面的法向量可取为,即 从而法向量的夹角的余弦值为 故所求二面角的余弦值为。 【分析】1.要证线面垂直，就是要证线线垂直，题中由平面,可知,再分析已知由得,这样与垂直的两条直线都已找到，从而可得线面垂直； 2.求二面角的大小，可心根据定义作出二面角的平面角，求出这个平面角的大小，本题中，由于平面,因此两两垂直，可以他们为轴建立空间直角坐标系，写出图中各点的坐标，求出平面和平面的法向量,向量的夹角与二面角相等或互补，由此可得结论。 ????? 立体几何解答题的一般模式是首先证明线面位置关系（一般考虑使用综合几何方法进行证明），然后是与空间角有关的问题，综合几何方法和空间向量方法都可以，但使用综合几何方法要作出二面角的平面角，作图中要件随着相关的证明，对空间想象能力与逻辑推理能力有较高的要求，而使用空间向量方法就是求直线的方向向量、平面的法向量，按照空间角的计算公式进行计算，也就是把几何问题完全代数化了，这种方法对运算能力有较高的要求，两种方法各有利弊，在解题中可根据情况灵活选用。 【来源：21cnj*y.co*m】
4、（2016?浙江）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3， (1)求证：EF⊥平面ACFD；(2)求二面角B﹣AD﹣F的余弦值．
【答案】 （1）证明：延长AD，BE，CF相交于点K，如图所示， ∵平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°， ∴AC⊥平面BCK，∴BF⊥AC． 又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2，∴△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK， ∴BF⊥平面ACFD （2）方法一：过点F作FQ⊥AK，连接BQ，∵BF⊥平面ACFD．∴BF⊥AK，则AK⊥平面BQF， ∴BQ⊥AK．∴∠BQF是二面角B﹣AD﹣F的平面角． 在Rt△ACK中，AC=3，CK=2，可得FQ= ． 在Rt△BQF中，BF= ，FQ= ．可得：cos∠BQF= ． ∴二面角B﹣AD﹣F的平面角的余弦值为 ． 方法二：如图 ， 延长AD，BE，CF相交于点K，则△BCK为等边三角形， 取BC的中点，则KO⊥BC，又平面BCFE⊥平面ABC，∴KO⊥平面BAC， 以点O为原点，分别以OB，OK的方向为x，z的正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz． 可得：B（1，0，0），C（﹣1，0，0），K（0，0， ），A（﹣1，﹣3，0）， ， ． =（0，3，0）， = ， （2，3，0）． 设平面ACK的法向量为 =（x1 ， y1 ， z1），平面ABK的法向量为 =（x2 ， y2 ， z2），由 ，可得 ， 取 = ． 由 ，可得 ，取 = ． ∴ = = ． ∴二面角B﹣AD﹣F的余弦值为 ． 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，二面角的平面角及求法 【解析】【分析】（1）先证明BF⊥AC，再证明BF⊥CK，进而得到BF⊥平面ACFD． （2）方法一：先找二面角B﹣AD﹣F的平面角，再在Rt△BQF中计算，即可得出； 方法二：通过建立空间直角坐标系，分别计算平面ACK与平面ABK的法向量，进而可得二面角B﹣AD﹣F的平面角的余弦值． 本题考查了空间位置关系、法向量的应用、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．
5、（2013?山东）如图所示，在三棱锥P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．
(1)求证：AB∥GH；
(2)求二面角D﹣GH﹣E的余弦值．
【答案】（1）证明：如图， ∵C，D为AQ，BQ的中点，∴CD∥AB， 又E，F分别AP，BP的中点，∴EF∥AB， 则EF∥CD．又EF?平面EFQ，∴CD∥平面EFQ． 又CD?平面PCD，且平面PCD∩平面EFQ=GH，∴CD∥GH． 又AB∥CD，∴AB∥GH （2）解：由AQ=2BD，D为AQ的中点可得，三角形ABQ为直角三角形， 以B为坐标原点，分别以BA、BQ、BP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 设AB=BP=BQ=2， 则D（1，1，0），C（0，1，0），E（1，0，1），F（0，0，1）， 因为H为三角形PBQ的重心，所以H（0， ， ）． 则 ， ， ． 设平面GCD的一个法向量为 由 ，得 ，取z1=1，得y1=2． 所以 ． 设平面EFG的一个法向量为 由 ，得 ，取z2=2，得y2=1． 所以 ． 所以 = ． 则二面角D﹣GH﹣E的余弦值等于- 【考点】直线与平面平行的性质，二面角的平面角及求法 【解析】【分析】（1）由给出的D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，利用三角形中位线知识及平行公理得到DC平行于EF，再利用线面平行的判定和性质得到DC平行于GH，从而得到AB∥GH；（2）由题意可知BA、BQ、BP两两相互垂直，以B为坐标原点建立空间直角坐标系，设出BA、BQ、BP的长度，标出点的坐标，求出一些向量的坐标，利用二面角的两个面的法向量所成的角的余弦值求解二面角D﹣GH﹣E的余弦值．
6、（2013?天津）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点． 21cnjy.com
(1)证明B1C1⊥CE；
(2)求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．
(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为 ，求线段AM的长．
【答案】（1）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图， 依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）． 则 ， 而 =0． 所以B1C1⊥CE； （2）解： ， 设平面B1CE的法向量为 ， 则 ，即 ，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2． 所以 ． 由（1）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1 ， 所以B1C1⊥平面CEC1 ， 故 为平面CEC1的一个法向量， 于是 = ． 从而 = = ． 所以二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值为 ． （3）解： ， 设 ?0≤λ≤1， 有 ． 取 为平面ADD1A1的一个法向量， 设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角， 则 = = ． 于是 ． 解得 ．所以 ． 所以线段AM的长为 ． 【考点】直线与平面垂直的性质，直线与平面所成的角，二面角的平面角及求法 【解析】【分析】（1）由题意可知，AD，AB，AA1两两互相垂直，以a为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出 和 ，由 得到B1C1⊥CE；（2）求出平面B1CE和平面CEC1的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，利用同角三角函数基本关系求出其正弦值，则二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值可求；（3）利用共线向量基本定理把M的坐标用E和C1的坐标及待求系数λ表示，求出平面ADD1A1的一个法向量，利用向量求线面角的公式求出直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值，代入 求出λ的值，则线段AM的长可求． 21·cn·jy·com
7、（2014?辽宁）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F分别为AC、DC的中点．
(1)求证：EF⊥BC；
(2)求二面角E﹣BF﹣C的正弦值．
【答案】（1）证明：由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，易得B（0，0，0），A（0，﹣1， ），D（ ，﹣1，0），C（0，2，0），因而E（0， ， ），F（ ， ，0），所以 =（ ，0，﹣ ）， =（0，2，0），因此 ? =0，所以EF⊥BC． （2）解：在图中，设平面BFC的一个法向量 =（0，0，1），平面BEF的法向量 =（x，y，z），又 =（ ， ，0）， =（0， ， ）， 由 得其中一个 =（1，﹣ ，1）， 设二面角E﹣BF﹣C的大小为θ，由题意知θ为锐角，则 cosθ=|cos＜ ， ＞|=| |= ， 因此sinθ= = ，即所求二面角正弦值为 ． 【考点】直线与平面垂直的性质，用空间向量求平面间的夹角，二面角的平面角及求法 【解析】【分析】（1）以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，得到E、F、B、C点的坐标，易求得此 ? =0，所以EF⊥BC；（2）设平面BFC的一个法向量 =（0，0，1），平面BEF的法向量 =（x，y，z），依题意，可求得一个 =（1，﹣ ，1），设二面角E﹣BF﹣C的大小为θ，可求得sinθ的值．
8、（2017?浙江）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点． （Ⅰ）证明：CE∥平面PAB； （Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值． 21教育网
【答案】证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形， BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点， ∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角系， 设PC=AD=2DC=2CB=2， 则C（0，1，0），D（0，0，0），P（1，0，1），E（ ），A（2，0，0），B（1，1，0）， =（ ）， =（1，0，﹣1）， =（0，1，﹣1）， 设平面PAB的法向量 =（x，y，z）， 则 ，取z=1，得 =（1，1，1）， ∵ = =0，CE?平面PAB， ∴CE∥平面PAB． 解：（Ⅱ） =（﹣1，1，﹣1），设平面PBC的法向量 =（a，b，c）， 则 ，取b=1，得 =（0，1，1）， 设直线CE与平面PBC所成角为θ， 则sinθ=|cos＜ ＞|= = = ． ∴直线CE与平面PBC所成角的正弦值为 ． 【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，向量方法证明线、面的位置关系定理，用空间向量求直线与平面的夹角 【解析】【分析】（Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角系，利用向量法能证明CE∥平面PAB． （Ⅱ）求出平面PBC的法向量和 ，利用向量法能求出直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
9、（2017·天津）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2． （Ⅰ）求证：MN∥平面BDE； （Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值； （Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ，求线段AH的长． 【出处：21教育名师】
【答案】（Ⅰ）证明：取AB中点F，连接MF、NF， ∵M为AD中点，∴MF∥BD， ∵BD?平面BDE，MF?平面BDE，∴MF∥平面BDE． ∵N为BC中点，∴NF∥AC， 又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE． ∵DE?平面BDE，NF?平面BDE，∴NF∥平面BDE． 又MF∩NF=F． ∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE； （Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°． ∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系． ∵PA=AC=4，AB=2， ∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2）， 则 ， ， 设平面MEN的一个法向量为 ， 由 ，得 ，取z=2，得 ． 由图可得平面CME的一个法向量为 ． ∴cos＜ ＞= ． ∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值为 ，则正弦值为 ； （Ⅲ）解：设AH=t，则H（0，0，t）， ， ． ∵直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ， ∴|cos＜ ＞|=| |=| |= ． 解得：t=4． ∴当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ，此时线段AH的长为4． 【考点】异面直线及其所成的角，平面与平面平行的判定，平面与平面平行的性质，用空间向量求平面间的夹角，二面角的平面角及求法 【解析】【分析】（Ⅰ）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE； （Ⅱ）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角C﹣EM﹣N的余弦值，进一步求得正弦值； （Ⅲ）设AH=t，则H（0，0，t），求出 的坐标，结合直线NH与直线BE所成角的余弦值为 列式求得线段AH的长．
模拟题精练
一、综合题
1、（2017湖南湘西模拟）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE． 2-1-c-n-j-y
(1)证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由； 21教育名师原创作品
【答案 以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD=DC=1，BC=λ， 则D（0，0，0），P（0，0，1），B（λ，1，0），C（0，1，0）， =（λ1，﹣1），点E是PC的中点，所以E（0， ， ）， =（0， ， ）， 于是 =0，即PB⊥DE． 又已知EF⊥PB，而ED∩EF=E，所以PB⊥平面DEF． 因 =（0，1，﹣1）， =0，则DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC． 由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形， 即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB． （2） 由PD⊥底面ABCD，所以 =（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量； 由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以 =（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量． 若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为 ， 则运用向量的数量积求解得出cos = = ， 解得 ．所以所以 = = 故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为 时， = 【考点】直线与平面垂直的判定 【解析】【分析】（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，运用向量的数量积判断即可．2）由PD⊥底面ABCD，所以 =（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以 =（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量．根据数量积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案．
2、（2017四川成都三诊）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，DE=2，M为线段BF上一点，且DM⊥平面ACE． 21*cnjy*com
(1)求BM的长；
【答案】（1）解：设AC∩BD=O，取EF中点N，连接NO ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD， ∵四边形BDEF是矩形，∴ON⊥BD， ∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，ON?平面BDEF， ∴ON⊥平面ABCD， 以O为原点，以OC，OB，ON为坐标轴建立空间坐标系如图所示： ∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°， ∴OB=OD=1，OA=OC= ， ∵四边形BDEF是矩形，DE=2， ∴A（﹣ ，0，0），B（0，1，0），C（ ，0，0），E（0，﹣1，2），D（0，﹣1，0）， 设BM=h，则M（0，1，h）， ∴ =（0，2，h）， =（ ，﹣1，2）， ∵DM⊥平面ACE，∴ ， ∴﹣2+2h=0，解得h=1， ∴BM=1 【考点】平面与平面垂直的性质 【解析】【分析】（1）建立坐标系，设BM=h，求出 和 的坐标，令 =0解出h；21*cnjy*com
3、（2017云南楚雄姚安一中期中）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB=AC=AA1 ， ，点D是BC的中点． （I）求证：AD⊥平面BCC1B1； （II）求证：A1B∥平面ADC1；
【答案】解：（I）因AB=AC，D为BC中点，故AD⊥BC 又因在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，CC1⊥平面ABC，故AD⊥CC1 又BC∩CC1=C， 故AD⊥平面BCC1B1 用向量方法证明本题请对应给分． 本题可分别以AB，AC，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 也可分别以DC，DA，AD1（D1为棱B1C1中点）为x，y，z轴建立空间直角坐标系． （II）如图，连接A1C∩AC1=E，连接DE． 因D、E分别是BC、A1C的中点，故DE是△A1BC的中位线 故A1B∥DE（6分）．因A1B?平面ADC1 故A1B∥平面ADC1 ． 用向量方法证明本题请如下给分：求出平面ADC1的法向量， 因A1B?平面ADC1 ， 故A1B∥平面ADC1 【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定 【解析】【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理进行证明即可，（Ⅱ）根据线面平行的判定定理进行证明即可．
4、（2017安徽安庆一中三模）如图所示，在多面体ABCDE中，△BCD是边长为2的正三角形，AE∥DB，AE⊥DE，2AE=BD，DE=1，面ABDE⊥面BCD，F是CE的中点． （Ⅰ）求证：BF⊥CD；
【答案】解：（Ⅰ）证明：如图，取BD中点O，连接OC，OA， ∵△BCD为正三角形，∴OC⊥BD， ∵面ABDE⊥面BCD，且面ABDE∩面BCD=BD， ∴OC⊥面ABDE，则OC⊥OA， 又AE∥DB，AE⊥DE，AE= ， ∴OA⊥OD． 以O为坐标原点，分别以OC、OD、OA所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则B（0，﹣1，0），C（ ，0，0），D（0，1，0），E（0，1，1），F（ ）． ， ， ∵ ，∴ ，即BF⊥CD； 【考点】直线与平面垂直的性质 【解析】【分析】（Ⅰ）取BD中点O，连接OC，OA，由题意可证OC、OD、OA两两互相垂直．以O为坐标原点，分别以OC、OD、OA所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出B，C，D，E，F的坐标，得到 的坐标，由 ，可得 ，即BF⊥CD；
