课件16张PPT。正弦定理引入 .C.B.A引例：
为了测定河岸A点到对岸C点的距离，在岸边选定1公里长的基线AB，并测得∠ABC=120o，∠BAC=45o，如何求A、C两点的距离？在直角三角形ABC中的边角关系有：对于一般的三角形是否也有这个关系？ 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
(1)已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角.一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形正弦定理可以解决三角形中的问题：定理的应用例 1在△ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。求 b (保留两位有效数字）。
解：∵ 且 ∴b = 19=已知两角和任意边，
求其他两边和一角变式训练：（1）（2）解：∵∴==解：∵=又∵∴例 2 在?ABC中，已知a＝20，b＝28，
A＝40°，求B和c.解：∵ sinB＝ = sin 40°≈0.8999b sinA a∴ B1＝64°，B2＝116°40°ABCbB1B2已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角. 在例 2 中，将已知条件改为以下几种情况，结果如何？（3） b＝20，A＝60°，a＝15.sinB＝ ＝ ，b sinA aB＝30°或150°，∵ 150°＋60°> 180°，∴ B＝150°应舍去.60°20ABCsinB＝ ＝1 ，b sinA aB＝90°.60°AC20（3） b＝20，A＝60°，a＝15.2√33 ∵ > 1，∴ 无解.60°20AC已知边a,b和角Ａ，求其他边和角．Ａ为锐角Ａ为直角或钝角30° △ABC中，（1）已知c＝√3，A＝45°，B＝75°，
则a＝____.（2）已知c＝2，A＝120°，a＝2√3，
则B＝____.（3）已知c＝2，A＝45°，a＝ ，则
B＝_____________.2√6375°或15°小结4. 正弦定理可解以下两种类型的三角形：
（1）已知两角及一边；
（2）已知两边及其中一边的对角.2.A+B+C=π3.大角对大边，大边对大角作业谢谢！欢迎你的提问！再见课件13张PPT。1.1.2余弦定理复习回顾正弦定理：可以解决两类有关三角形的问题?（1）已知两角和任一边。（2）已知两边和一边的对角。(3) 判断三角形的形状。研究：在三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝c，BC=a，CA=b,求a即：余弦定理三角形任何一边的平方等于其它两边的平方的和减去这两边与
它们夹角的余弦的积的两倍。 或
（推论）应用：已知两边和一个夹角，求第三边．应用：已知三条边求角度．（1）若A为直角，则a2=b2+c2
（2）若A为锐角，则a2
（3）若A为钝角，则a2>b2+c2由a2=b2+c2－2bccosA可得利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；
（2）已知三边，求三个角。例1.已知b=8,c=3,A=600求a. ∵a2=b2+c2－2bccosA
=64+9－2×8×3cos600=49 定理的应用解：a=7练习已知两边和一个夹角，求第三边．例2.在△ABC中，已知a= ,b=2,
c= ,解三角形解：由余弦定理得已知三条边求角度．３、在△ABC中， ，
那么Ａ是（ ）Ａ. 钝角 Ｂ. 直角 Ｃ. 锐角 Ｄ. 不能确定C=3在解三角形的过程中，有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，提炼：设a是最长的边，则4. 在△ABC中，已知a=7,b=10,c=6,
判定△ABC的形状分析： △ABC的形状是由大边b所对的大角
B决定的。变式：若已知三边的比是7:10:6，怎么求解 练习：5.在△ABC中，已知a=7,b=8,cosC= , 求最大角的余弦值分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪个角是最大角。由大边对大角，已知两边可求出第三边,找到最大角。则有：b是最大边，那么B 是最大角小结:（1）余弦定理：（2）推论: （3）余弦定理可以解决的有关三角形的问题：
已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。
2) 已知三边求三个角。
3) 判断三角形的形状。在解三角形的过程中，有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，作业谢谢！欢迎你的提问！再见课件18张PPT。正弦定理和余弦定理
习题课一、复习（其中：R为△ABC的外接圆半径）3.正弦定理的变形：2.三角形面积公式：4.余弦定理及其推论：解三角形的四种基本类型：一边和二角
(如a,B,C)正弦定理由A+B+C=180°求角A,
由正弦定理求出b与c两边和夹角
(如a,b,C)余弦定理由余弦定理求出第三边c，
再由正弦定理求出剩下的角两边和其中
一边的
对角(如a,b,A)正弦定理由正弦定理求出角B,
再求角C,最后求出 c边.
可有两解,一解或无解.三边(a,b,c)余弦定理先由余弦定理求出其中两个角,再利用内角和为180°求出第三个角.
题型一 正弦定理的应用
(1)在△ABC中,a= ,b= ,B=45°.
求角A、C和边c；
（2）在△ABC中，a=8，B=60°，C=75°.求边b
和c；
（3）在△ABC中，a，b，c分别是∠A,∠B,∠C
的对边长，已知 ，且a2-c2=
ac-bc，求∠A及 的值.
已知两边及一边对角或已知两角及
一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注
意解的个数的判断.这是解题的难点，应引起注意题型分类 深度剖析题型二 余弦定理的应用
在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C
的对边，且
（1）求角B的大小；
（2）若b= ，a+c=4，求△ABC的面积.
由 利用余弦定理
转化为边的关系求解. (1)根据所给等式的结构特点利用余弦
定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键.
（2）熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意
整体思想、方程思想在解题过程中的运用.
知能迁移1 已知△ABC中，三个内角A，B，C的
对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S，且
2S=（a+b）2-c2，求tan C的值.
解 依题意得absin C=a2+b2-c2+2ab,
由余弦定理知,a2+b2-c2=2abcos C.
所以,absin C=2ab(1+cos C),
即sin C=2+2cos C,在△ABC中，已知2sin Acos B= sin C，那么△ABC一定是（ ）
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形
方法二 利用正弦定理和余弦定理
2sin Acos B=sin C可化为
故a=b.
所以△ABC是等腰三角形.答案 B又因为-π所以△ABC是等腰三角形，故选B.题型三 三角形形状的判定解析 方法一 因为在△ABC中，A+B+C=π，
即C=π-（A+B），所以sin C=sin(A+B).
由2sin Acos B=sin C,
得2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B,
即sin Acos B-cos Asin B=0,即sin(A-B)=0.知能迁移2 在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角 A、B、C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）= （a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.
利用正弦定理、余弦定理进行边角
互化，转化为边边关系或角角关系.
解 方法一 已知等式可化为
a2［sin（A-B）-sin（A+B）］
=b2［-sin（A+B）-sin(A-B)］
∴2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A
由正弦定理可知上式可化为：
sin2Acos Asin B=sin2Bcos Bsin A
∴sin Asin B(sin Acos A-sin Bcos B)=0
∴sin 2A=sin 2B,由0<2A,2B<2π
得2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A= -B,
∴△ABC为等腰或直角三角形方法二 同方法一可得
2a2cos Asin B=2b2sin Acos B
由正、余弦定理,可得
∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)
即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0
∴a=b或a2+b2=c2
∴△ABC为等腰或直角三角形.题型四 正、余弦定理的综合应用
在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足（2a-c）cos B=bcos C.
(1)求角B的大小；(2)若b= ,a+c=4,求△ABC的面积.
(1)用正弦定理,将边用角代换后求解.
(2)用余弦定理,配方出现a+b后代换,求出ac即可.整理得2sin Acos B
=sin Bcos C+sin Ccos B,
即2sin Acos B=sin(B+C)=sin A,
在△ABC中，sin A>0,2cos B=1,
∵∠B是三角形的内角，∴B=60°.
（2）在△ABC中，由余弦定理得
b2=a2+c2-2ac·cos B
=(a+c)2-2ac-2ac·cos B,
将b= ,a+c=4代入整理，得ac=3.
解（1）在△ABC中，由正弦定理得：a=2Rsin A,
b=2RsinB,c=2Rsin C,
代入(2a-c)cos B=bcos C,在求角问题中，一般都是用正、余弦定
理将边化为角.由三角函数值求角时，要注意角的
范围.在应用余弦定理时，要注意配方这一小技
巧，通过配方，使之出现
将a+b或a-b作为一个整体，可以带来非常好的效果知能迁移3 （2008·辽宁理，17）在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已 知c=2,
（1）若△ABC的面积等于 ，求a、b的值；
（2）若sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求△ABC的面积.
解 (1)由余弦定理及已知条件,得a2+b2-ab=4.
又因为△ABC的面积等于 ，所以 absin C= ,所以ab=4.(2)由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sin Acos A,即
sin Bcos A=2sin Acos A,
当cos A≠0时，得sin B=2sin A,由正弦定理得b=2a,
小结：思想方法 感悟提高1.正、余弦定理和三角形面积公式是本节课的重点,利用三角形内角和、边、角之间的关系,三角函数的变形公式去判断三角形的形状，求解三角形，以及利用它们解决一些实际问题.
2.应熟练掌握和运用内角和定理:
A+B+C=π, 中互补和互余的情况,
结合诱导公式可以减少角的种数.3.正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由 正、余弦定理结合得sin2A=sin2B+sin2C-2sin B·sin C·cos A,可以进行化简或证明.
4.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
（1）化边为角；（2）化角为边，并常用正弦（余弦）定理实施边、角转换.1.在△ABC中，角A、B、C 所对边长分别为a、b、c,
设a、b、c满足条件b2+c2-bc=a2和 求角A
和tan B的值.2.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，
已知a+b=5，c= ，且
(1)求角C的大小；(2)求△ABC的面积.
作业1.在△ABC中，角A、B、C 所对边长分别为a、b、c,
设a、b、c满足条件b2+c2-bc=a2和 求角A
和tan B的值.
解 由b2+c2-bc=a2,得作业2.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，
已知a+b=5，c= ，且
(1)求角C的大小；(2)求△ABC的面积.
解 （1）∵A+B+C=180°,
即7=a2+b2-ab,∴7=(a+b)2-3ab，
由条件a+b=5,得7=25-3ab,ab=6,课件15张PPT。解斜三角形的应用 解三角形问题是三角学的基本问题之一。什么是三角学？三角学来自希腊文“三角形”和“测量”。最初的理解是解三角形的计算，后来，三角学才被看作包括三角函数和解三角形两部分内容的一门数学分学科。 解三角形的方法在度量工件、测量距离和高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用，在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法。正弦定理余弦定理复习2. 下列解△ABC问题, 分别属于那种类型？根据哪个定理可以先求什么元素？ 第4小题A变更为A=150o呢？_____________________余弦定理先求出A,或先求出B正弦定理先求出b正弦定理先求出B(60o或120o)无解余弦定理先求出a解应用题中的几个角的概念
1、仰角、俯角的概念：
在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫做俯角。如图：2、方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫方向角，如图 例1：想一想： 如何测定河两岸两点A、B间的距离？AB解斜三角形理论 在实际问题中的应用解斜三角形C简解：由正弦定理可得
AB/sinα=BC/sinA
=BC/sin(α+β)55若BC=55, ∠α=510 ,α ∠ β=750,求AB的长.在B的同一侧选定一点C
例2：如何测定河对岸两点A、B间的距离？AB如图在河这边取一点，构造三角形ABC，能否求出AB?为什么？？
怎样测量地面上两个不能到达的地方之间的距离？
解斜三角形为了测定河对岸两点A、B间的距离，在岸边选定1公里长的基线CD，并测得∠ACD=90o，∠BCD=60o，∠BDC=75o，∠ADC=30o，求A、B两点的距离.ABCD1公里分析：在四边形ABCD中欲求AB长，只能去解三角形，与AB联系的三角形有△ABC和△ABD，利用其一可求AB。∠ACD=90o，∠BCD=60o，∠BDC=75o，∠ADC=30o，略解：Rt △ACD中，AD=1/cos30o
△BCD中，1/sin45=BD/sin60，可求BD。
由余弦定理在△ABD中可求AB。练习1、自动卸货汽车的车箱采用液压机构.设计时需要计算油泵顶杆BC的长度（如图所示）.已知车箱最大仰角为60?油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为6?20?，AC为1.40m,计算BC的长.解：由余弦定理，得
BC2==3.571 ∴BC≈1.89(m)． 答：顶杆BC约长1.89m．AB2+AC2-2AB·ACcosA例3 ：如图：墙上有一个三角形灯架OAB,灯所受重力为10N，且OA,OB都是细杆，只受沿杆方向的力，求杆OA、OB所受的力（精确到0.1）。
例4如图在海滨某城市附近海面有一台风。据监测，台风中心位于城市A的南偏东30度方向、距城市300km的海面P处，并以20km/h的速度向北偏西45度方向移动。如果台风侵袭的范围为圆形区域，半径为120km。问几小时后该城市开始受到台风的侵袭（精确到0.1h）?1、解决应用题的思想方法是什么？2、解决应用题的步骤是什么？实际问题数学问题（画出图形）解三角形问题数学结论分析转化检验小结：把实际问题转化为数学问题，即数学建模思想。