课件22张PPT。2.1.1数列的概念与
简单表示法1. 理解数列的概念、表示、分类、通项等
基本概念；
2. 了解数列和函数之间的关系；
3. 了解数列的通项公式，并会用通项公式
写出数列的任一项；
4. 对于比较简单的数列，会根据其前几项
写出它的一个通项公式．学习目标 传说古代印度有一国王喜爱国际象棋，中国智者云游到此，国王得知智者棋艺高超，于是派人请来智者与其对弈，并傲慢地说：“如果你赢了,我将答应你的任何要求。”智者心想，我应该治一治国王的傲慢，当国王输棋后，智者说：“陛下只须派人用麦粒填满象棋盘上的所有空格，第1格1粒，第2格2粒，第3格4粒，……依此下去，以后每格是前一格粒数的2倍。”国王听后：哈哈大笑，这个问题也太简单了罢！于是国王吩咐手下马上去办，可是过了好多天，手下惊慌地报到国王，大事不好了，即使我们印度近几十年来生产的所有麦子加起来也还不够啊！国王呆了！ 创设情境到底有多少麦粒呢？456781456781233264个格子你认为国王有能力满足上述要求吗每个格子里的麦粒数都是前一个格子里麦粒数的2倍且共有64格子麦粒总数?？?1844,6744,0737,0955,1615上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数：1，2，3，4……的倒数排成的一列数：高二七班考试的名次由大到小排成的一列数：-1的1次幂，2次幂，3次幂，……排列成一列数：无穷多个1排列成的一列数：请你观察：共同特点：?1. 都是一列数；2.都是按照一定的顺序排列的;请问，是不是同一数列？请问，是不是同一数列？不是不是改为讲授新课按照一定次序排列起来的一列数叫做数列2数列中的每一个数叫做这个数列的项。各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，······，第n项， ······
3数列的分类(1)按项数分：项数有限的数列叫有穷数列项数无限的数列叫无穷数列(2)按项之间的大小关系：递增数列，递减数列，摆动数列，常数列。有穷数列无穷数列有穷数列无穷数列无穷数列递增数列递增数列递减数列摆动数列常数列按项之间的大小关系：
⑵从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；⑴从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；⑷从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列
⑶各项都相等的数列叫做常数数列；其中右下标n表示项的位置序号， 上面的数列又可简记为数列的一般形式可以写成：4注意：第1项第2项第3项第n项？？？？？5 对于数列中的每个序号n,都有唯一的一个数（项）an与之对应.（自变量）（函数值）数列是一种特殊的函数可以认为：数列与函数的关系：6 从函数的观点看， 是 的函数。
数列的项序号数列的通项公式也就是相应函数的解析式数列与函数:数列的图象-1我们好孤独！数列的图像是相应的曲线（或直线）
上横坐标为正整数的一群孤立的点。 1.通项公式能够很清楚的表示数列中项数和项的关系;数列的通项公式有什么用呢？2.由通项公式可以求出数列中的每一项.例1: 根据下面数列的通项公式，写出前5项.(1) 1，3,5,7,……(2) 9,99,999,9999，……(3) 2，0，2，0，……根据数列的前几项,写出数列的一个通项公式。例2：思考题： 1、数列1，0，1，0，···的通项公式是? 注意：①一些数列的通项公式不是唯一的.②不是每一个数列都能写出它的通项公式③ 例3是否存在一个各项都小于5的无穷递增数列，
如果存在，请写出一个这样的数列的通项公式。探究与拓展：2 求数列{－2n2＋9n＋3}中的最大项.变式练习：
本节课学习的主要内容有：1、数列的有关概念2、数列的通项公式；3、数列的实质； 4、本节课的能力要求是：(1) 会由通项公式 求数列的任一项；(2)会用观察法由数列的前几项求数列的通项公式。集合讲究：无序性、互异性、确定性，
数列讲究：有序性、可重复性、确定性。作业谢谢！欢迎你的提问！再见选做题：课件16张PPT。2.1.2 递推公式学习目标
1.了解数列的递推公式的概念．
2．理解数列递推公式的应用．1．数列的定义：数列是按照_________排列起来的一列数；
2．数列的通项公式：_________ ．一定顺序an＝f(n)递推公式：递推公式也是数列的一种表示方法。数列的表示方法(1)解析法(通项公式)．
(2)递推公式法(相邻两项或三项之间的关系式)．
(3)前n项和法(Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an)．通项公式与递推公式的区别与联系例 1: 已知数列{an}满足an＋1＝2an＋1，n∈N*.(1)若a1＝－1，写出此数列的前4项，并推测数列的通项公式(2)若a1＝1，写出此数列的前4项，并推测数列的通项公式． 数列的递推公式是由递推关系式( 递推) 和首项(基础)两个因素所确定的，即便递推关系完全一样，而首项不同就可得到两个不同的数列．1－1.根据下列各数列的首项和递推公式，分别写出它的前五项，并归纳出通项公式：(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；(2)a1＝1，an＋1＝ 2an
an＋2(n∈N*)．
题型2 已知递推公式，用累加法求通项公式
例 2：已知数列{an}中，a1＝5，an＝an－1＋3(n≥2)，求数列
{an}的通项公式．
思维突破：先对an＝an－1＋3 从2 到n 进行取值，得到(n－1)
个式子，再把这(n－1)个式子相加，消去中间项．解：由递推关系an＝an－1＋3(n≥2)，得
a2＝a1＋3，a3＝a2＋3，…，an＝an－1＋3.
将以上(n－1)个式子左右两边同时相加，得a2＋a3＋…＋an－1＋an＝a1＋3＋a2＋3＋a3＋3＋…＋an－1＋3，消去a2＋a3＋…＋an－1，并整理得an＝a1＋3(n－1)．∵a1＝5，∴an＝3n＋2.例3 设{an}是首项为 1 的正项数列，且满足关系：
an＝3an＋1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．题型3 已知递推公式，用累乘法求通项公式
练习：已知a1＝1，an＋1＝2an，
(1)写出数列的前五项；(2)求数列的一个通项公式．解法1：（1）因为
题型四：判断所给数是否为数列中的项所以解法2：（1）因为 ，所以解得a2=4，又解得同理可得（2）令 则 解得n=16. (2)递推公式的作用
数列的递推公式是给出数列的另一种重要形式．一般地，只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几项之间的运算关系,就可以依次求出数列的各项．
特别提醒：数列的通项公式与递推公式可以相互转化．如数列1,3,5，…，2n－1，…的一个通项公式为an＝2n－1(n∈N＋)，用递推公式表示为a1＝1，an＝an－1＋2(n≥2，n∈N＋).1．数列的通项公式与递推公式的作用
(1)通项公式的作用
数列的通项公式是给出数列的主要形式．如果已知数列{an}的通项公式an＝f(n)，只要用1,2,3，…代换公式中的n，就可以求出这个数列的各项与指定项．作业谢谢！欢迎你的提问！课本第 30-32 页
习题 A-B组和例2
能力培养再见课件19张PPT。等差数列复 习 回 顾数列的定义，通项公式，递推公式按一定次序排成的一列数叫做数列。
一般写成a1,a2,a3,…,an,…，简记为{an}。如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。 如果已知数列{an}的第1项(或前几项），且任一项an与它的前一项a n-1(或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。 我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：
0，5， 10 ，15 ，20 ，… ①
2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置了7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）： 48 ，53，58，63. ②
水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）： 18，15.5，13，10.5，8，5.5. ③
四 个 实 例从第二项起，后一项与前一项的差是5。从第二项起，后一项与前一项的差是5。从第二项起，后一项与前一项的差是-2.5。请同学们思考，这三个数列有何共同特点?等 差 数 列 的 定 义一般地，如果一个数列{an},从第2项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。公差通常用字母 d 表示。定义的符号表示是：
an - an-1=d(n≥2,n∈N*),
这就是数列的递推公式。数列{an}为等差数列?an+1-an=d或an+1=an+d那么对于以上四组等差数列，它们的公差
依次是5，5，-2.5。 是不是不是 练 习 一 判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理由。（1）1，3，5，7，…
（2）9，6，3，0，-3…
（3）-8，-6，-4，-2，0，…
（4）3，3，3，3，…（6）15，12，10，8，6，…思考：在数列（1），a100=？我们该如何求解呢？是是是a1=1,d=2a1=9,d=-3a1=-8,d=2a1=3,d=0通 项 公 式 的 推 导设一个等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则有：
a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…
所以有：
a2=a1+d,
a3=a2+d = (a1+d) + d = a1+ 2d
a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3dan=a1+(n-1)d 当n=1时，上式也成立。所以等差数列的通项公式是：
an=a1+(n-1)d问an=?
通过观察：a2， a3，a4都可以用a1与d 表示出来；a1与d的系数有什么特点？(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)
+…+(an-an-1)=(n-1)d
∴an-a1=(n-1)d
即an=a1+(n-1)da2-a1=d,
a3-a2=d,
a4-a3=d,
…
an-an-1=da1 、an、n、d知三求一等差中项的定义：如果三个数x,A,y组成等差数列，
那么A叫做x,y的等差中项例 题例1 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项；
（2）判断-401是不是等差数列 –5,-9 ,-13…的项?如果是，是第几项，如果不是，说明理由。分析（1）由给出的等差数列前三项，先找到首项a1,求出公差d,写出通项公式，就可以求出第20项a20.解：(1)由题意得：
a1=8,d=5-8=-3,n=20
∴这个数列的通项公式是：
an=a1+(n-1)d=-3n+11
∴a20=11-3×20=-49分析（2）要想判断 -401是否为这个数列中的项，关键是要求出通项公式，看是否存在正整数n,使得an=-401。(2)由题意得：
a1=-5,d=-9-(-5)=-4
∴这个数列的通项公式是：
an=-5+ (n - 1) × (-4)=-4n-1
令-401=-4n-1,得 n=100
∴-401是这个数列的第100项。练 习 二（1）求等差数列3,7,11…的第4项与第10项；
（2）判断102是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项，如果不是，说明理由。解：（1）根据题意得：
a1=3,d=7-3=4,
∴这个数列的通项公式是：
an=a1+(n-1)d=4n-1
∴a4=4×4-1=15,
a10=4×10-1=39.（2）由题意得：
a1=2,d=9-2=7
∴这个数列的通项公式是：
an=2+ (n-1) × 7
=7n-5(n≥1)令102=7n-5,得 n=107/7 N
∴102不是这个数列的项。
例2在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d .这是一个以a1和d 为未知数的二元一次方程组，解之得：解：由题意得：∴这个数列的首项a1是-2，公差d =3.小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组。请同学们做以下练习。例 题练 习 三已知等差数列{an}中，a4=10,a7=19,求a1和d.∴这个数列的首项是1，公差是3。解：依题意得：解之得：课时小结通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式： an+1-an=d(n≥1且n∈N*);
其次要会推导等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d( n≥1) .
本课时的重点是通项公式的灵活应用,知道an,a1,d,n中任意三个，应用方程的思想，可以求出另外一个。已知等差数列{an}中，am、公差d 是常数，试求出an的值。分析：本题是一个含有字母的计算题，做题时必须将am ,d 看成是常数.解：设等差数列{an}的首项是a1，依题意可得：
am=a1+(m-1)d ①
an=a1+(n-1)d ②
②- ①得：an-am=a1+ ( n – 1 )d-[a1+(m-1)d]=(n-m)d
∴an=am +(n-m)d思考题：变形等差数列思考:an=a1 +(n-1)dam=a1 +(m-1)dam-an =(m-n) dd=(am-an )/(m-n) am=?am-an =?am=an +(m-n) d谢谢！欢迎你的提问！再见课件10张PPT。等差数列性质及应用知识回顾等差数列 ②等差数列的通项公式是关于n的一次函数形式，
当d=0时，为常函数。an=a1+(n-1)d等差数列各项对应的点都在同一条直线上.
3.更一般的情形，an= ，d= 性质1. {an}为等差数列 ?2. a、b、c成等差数列 ?an+1- an=dan+1=an+dan= a1+(n-1) dan= kn + b（k、b为常数）am+(n - m) db为a、c 的等差中项AA2b= a+c4.在等差数列{an}中，由 m+n=p+q am+an=ap+aq注意：上面的命题的逆命题 是不一定成立 的； ? ? ? ? ?5. 在等差数列{an}中a1+an a2+ an-1 a3+ an-2 …===判断对错：可推广到三项，四项等
注意：等式两边作和的项数必须一样多例1 .在等差数列{an}中
(1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20例题分析(2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8(3) 已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.解：由 a1+a20 = a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10解： a4+a5+a6+a7=56 a4+a7=28 ①
又 a4a7=187 ② ， 解 ①、 ② 得或∴d= _2或2, 从而a14= _3或31课堂练习1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，2a -5，
-3a +2，则 a 等于（ )
A . -1 B . 1 C .-2 D. 2B2. 在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10= 2(2a-5 )=(-3a+2) +(a-6)提示1:提示：d=an+1—an= -4 -353. 在等差数列{an}中
(1)?? 若a59=70，a80=112，求a101；
(2)?? 若ap= q，aq= p ( p≠q )，求ap+qd=2,a101=154d= -1,ap+q =0根据数列前n项和公式，求通项公式.研究性问题2.已知{an}为等差数列，若a10= 20 ，d= -1 ，求a 3 ?1. 若a12=23，a42=143， an=263，求n.3. 三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的
积为12，求此三数.d= 4n=72a 3= a 10 +(3-10)d a 3=27设这三个数分别为a-d a，a+d，则3a=12，a2-d2=126，4，2或2，4，6
4. 若数列{an}的前ｎ项和Sn满足Sn=an2+bn,试判断{an}是否是等差数列。 是。 简单提示：利用公式：作业谢谢！欢迎你的提问！再见课件18张PPT。等差数列的前n 项和学习目标1 .掌握等差数列的前n项和公式；
2 .掌握前n项和公式的推导方法；
3. 对前n项和公式能进行简单应用.
重点 : 等差数列前n项和公式的推导与应用.
难点 : 前n项和公式的推导思路的寻找.复习巩固1. 等差数列的通项公式是：an = a1+ (n－1)d , (n∈N*)2. 等差数列的简单性质是：(1) an= ak+ (n－k)d , (n , k∈N*) .
(2) {an}为等差数列 an= an－1+d .
(3) 若m + n = p + q ,则am+ an= ap+ aq 实例11. 高斯在小学计算“1+2+3+…+100”的故事，大家都熟悉，其运算过程是怎样的呢？显然这是一个正整数数列{an}的前100项的和高斯巧算：S = 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100
S =100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1+2S = 101 +101+101 + … + 101 + 101 + 101 S = =5050新课学习实例2 如图，表示堆放的钢管共8层，自上而下各层的钢管数组成等差数列4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11，求钢管的总数 .共 层每层 根158问题即求和：Sn= 4+5+6+7+8+9+10+11S8= 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11S8=11+10+ 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4∴2S8= (4+11) +(5+10) + (6+9) +(7+8) + (9+6) +(10+5)+(11+4)∴S8= =60★ B . 公式推导 通过以上两例的讨论，自己能推导等差数列的前n项和Sn的计算公式吗？Sn= a1 + a2 + … + an－1 + anSn= an + an－1 + … + a2 + a1两式相加，得2Sn= (a1+ an) + (a2+ an－1) + … + (an+ a1)而 a1+ an = a2 + an－1 = … = an + a12Sn= (a1+ an) + (a1+ an) + … + (a1+ an )= n ( a1 + an )Sn = 由此得到等差数列的{an}前n项和的公式即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。上面的公式又可以写成两个公式的共同点是需知 a1和 n，不同点是前者还需知 an，后者还需知 d，解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。把an = a1+ (n－1)d代入上式中可得：Sn=(2) 当d = 0时，点（n , Sn)在一次函数
y = bx的图象上 .（1）当d ≠0时，点(n , Sn)在二次函数 y = ax2+bx的图象上 .点(n , Sn ) 的性质：S n = ★ C . 对公式的深入研究＝可知{an}是等差数列，则Sn= a n2+ b n(d = 0时，a = 0 ,d ≠ 0时，a ≠ 0 )那么，点(n , Sn )有何性质？例1：在等差数列{an}中，（2）a1=14.5，d=0.7，an=32，求Sn（2）由等差数列的通项公式，得14.5+(n-1)?0.7=32 ? n=26（1）a3= -2，a8=12，求S10解：（1）?a1+a10 = a3+a8 = 10★ D . 公式的基本应用(1) 五个元素: a1, an, d, n , Sn知三可求二 .例2解：解法一故前13项之和最大，最大值是169选用公式解法二：0 9 13 17 xy反馈演练 由以上例题可以得出:在求等差数列的前n项的和时,当知道首项和公差,或者是知道首项和末项,均可以得出.例3: 已知等差数列an中a2+a5+a12+a15=36.
求前16项的和?解: 由等差数列的性质可得:
a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18
sn=16/2 × 18=144
答:前16项的和为144。分析：可以由等差数列性质，直接代入前n 项和公式性质的简单应用巩固练习1、已知 a6+a9+a12+a15=192,求 S202、凸 n 边形各内角成等差数列，公差为 10o，最小内角为 100o，则等于（ ）
（A）7 （B）8 （C）9 （D）8或 9? a6+a9+a12+a15=192， a6+a15=a9+a12= a1+a20? a1+a20=96由题意，得 :解得 n=8 或 n=9（舍） B3.一个项数为36的数列的前四项和是21，后四 项和是67，求这个数列的和。例4 已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，求Sn.解： S10=310，S20=1 220思考本节课主要讲述了等差数列的前n项和公式：
①
②
小结(关于n的二次函数)在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素.公式的推证用的是倒序相加法Sn=an2+bn作业谢谢！欢迎你的提问！再见课件14张PPT。等差数列的前n项和
的性质及应用等差数列的前n项和公式:形式1:形式2:复习回顾当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数则 Sn=An2+Bn1等差数列的前n项和的最值问题例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.当n=7时,Sn取最大值49.变式：等差数列{an}的首项a1> 0, 前n项和为Sn，Sm= Sl ,问: n为何值时，Sn最大？求等差数列前n项和的最大(小)的方法方法1:由 利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.方法2:利用an的符号①当a1>0,d<0时,数列前面有若干项为正,此时所有正项的和为Sn的最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得.②当a1<0,d>0时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an ≤0且an+1 ≥ 0求得.2.等差数列{an}前n项和的性质性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n, …也成等差数列,公差为在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p=性质3:若Sm=Sp (m≠p),则 Sp+m=n2d0- (m+p)两等差数列前n项和与通项的关系等差数列{an}前n项和的性质性质6:(1)若项数为偶数2n,则
S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中间两项),
此时有:S偶－S奇= ,nd (2)若项数为奇数2n－1,则
S2n-1=(2n－ 1)an (an为中间项),
此时有:S奇－S偶= ,an例2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( )
A.63 B.45 C.36 D.27例3.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=( )
A.85 B.145 C.110 D.90225A3.等差数列{an}前n项和的性质的应用例1、已知一个等差数列前n项和为25，
前2n项的和为100，求前3n项和。例4、已知等差数列 的前10项之和为140， 其中奇数项之和为125 ， 求第6项。B 解一：设首项为a1,公差为d,则 例5. 一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32：27，求公差。 由 解二：练习、已知一个等差数列的总项数为奇数，且奇 数项之和为77，偶数项之和为 66，求中间项及总项数。得中间项为11 例7.已知数列 前n项和 ，
（1）求证： 为等差数列；
（２）记数列 的前项和为 ，
求 的表达式.练习1. 已知正整数数列 中,前n项和
满足求证: 为等差数列.练习2.设数列{an}的通项公式为an=2n-7,则|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|= .153课堂小结1.根据等差数列前n项和，求通项公式.3.等差数列{an}前n项和的性质性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n, …也在等差数列,公差为在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p=性质3:若Sm=Sp (m≠p),则 Sp+m=性质4:(1)若项数为偶数2n,则
S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中间两项),
此时有:S偶－S奇= ,n2d0nd－ (m+p)两等差数列前n项和与通项的关系an作业2：已知在等差数列{an}中,a10=23,
a25=-22 ,Sn为其前n项和.（1）问该数列从第几项开始为负？
（2）求S10
（3）求使 Sn<0的最小的正整数n.
(4) 求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值1.(09宁夏)等差数列{an}的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m= .10(2) 求 {an}的通项公式.谢谢！再见课件17张PPT。等比数列概念及通项公式旧知回顾从第2项起,每一项与它前一项的差等同一个常数
公差(d)d可正可负,且可以为零一、引入新课：1.细胞分裂个数组成数列:2.“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”得到数列:3.病毒感染的计算机数构成的数列:特点:
从第二项起，后一项与前一项的比是同一个常数
请问:这三个数列有什么共同特点?
1.什么是等比数列？
如果一个数列从第2项起，每一项与它的
前一项的比等于同一个常数，那么这个数列
叫做等比数列，这个常数叫做公比q.2.什么是等比中项？
如果a，G，b成等比数列，那么G叫做
a与b的等比中项 ，即二、新课 引例中三个数列都是等比数列,它们的公比
分别是什么?课堂互动(1) 1，3，9，27，81，… (3) 5，5，5，5，5，5，…(4) 1，-1，1，-1，1，…是,公比 q=3是,公比 q= x 是,公 比q= -1观察并判断下列数列是否是等比数列:是,公比 q=1(5) 1，0，1，0，1，…(6) 0，0，0，0，0，…不是等比数列不是等比数列4. 数列 a, a , a , …3. 当q>0，各项与首项同号
当q<0，各项符号正负相间对概念的更深理解是否存在既是等差数列又是等比数列
的数列,如果存在,你能举出例子吗?等差数列通项公式的推导:方法一:(叠加法)等比数列通项公式的推导：… …方法一:叠乘法… …方法二:归纳法观察,猜想,归纳等比数列的通项公式变形结论:探究:等比数列的图象与指数函数之间的关系: 例1 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,求它的第1项与第2项. 解：设这个等比数列的第1项是 ,公比是q ，那么 因此典型例题课堂互动（2）一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项.答：它的第一项是36 .答：它的第一项是5，第4项是40.4.等比数列图象的特点.小结3.通项公式的推导方法：累乘法5.类比思想的运用.6.等比中项的定义. an+1-an=dd 叫公差q叫公比 an+1=an+d an+1=an q an= a1+(n-1)d an=a1qn-1 an=am+(n-m)d an=amqn-m比较：作业谢谢！欢迎你的提问！再见课件11张PPT。一、旧知复习等差数列等比数列一般地，如果一个数列
从第2项起，每一项与
它的前一项的差都等于
同一个常数，那么这个
数列叫做等差数列一般地，如果一个数列
从第2项起，每一项与
它的前一项的比都等于
同一个常数，那么这个
数列叫做等比数列定义符号
语言通项
公式等比数列的性质及应用常数减—除加—乘加-乘
乘—乘方 迭加法迭乘法等比数列用“比”代替了等差数列中的“差”定 义
数 学
表
达 式通项公式证明
通 项 公 式an-an-1=d （n≥2）
对比记忆练习:
1.在等比数列{an}中，且an＞0，
a2 a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5= _ .
2.在等比数列{an}中， a15 =10, a45=90,则a60 =__________.
3.在等比数列{an}中，a1+a2 =30, a3+a4 =120, 则a5+a6=_____ .
4.在等比数列{an}中，a3=20 ,q=2 ,求a6 ,ana6=8×20=160an=5×2n-15、 2与8的等比中项为G，则G的值为_______A.成等差数列不成等比数列 B.成等比数列不成等差数列
C.成等差数列又成等比数列 D.既不成等差数列又不成等比数列2.（2006全国卷I）已知{an}为等比数列，公比q>1,a2+a4=10, a1.a5=16 求等比数列 {an}的通项公式 1.三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三数。解题技巧的类比应用： 思考题：
2.已知四个数，前三个数成等比数列，它们的和19，
后三个数成等差数列，它们的和12，求这四个数小结：等比数列{an}的三种判定方法对比记忆再见作业谢谢！1．在等比数列{an}中，a1+a2=2,a3+a4=50，则公比q的值为（ ）
A．25 B．5 C．－5 D．±5 2.（2007福建文)等比数列{an}中，a4=4,则a2·a6等于 （ ）
A.4 B.8 C.16 D.323. (2004全国Ⅰ卷文)已知等比数列{an} , a3=8 , a10=1024
则该数列的通项an= .4. 等比数列{an}中，a2+a3=6 , a2a3=8 ,则公比q=________知识小测验课件15张PPT。?OK每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的的2倍，直到第64个格子…上述问题实际上是求1,2,4,8‥‥263 这个等比数列的和. 令S64=1 +2+4+8+ ‥‥ ‥+263， ① 2S64= 2+4+8+ ‥‥ ‥+263 + 264 ， ②
② －① 得S64= 264－1.
错位相减 如果按1000颗麦粒40克计算，这里大约有_____麦粒；如果按人均每天吃______粮食计算,此棋盘上的粮食可供全世界_____亿人吃上_____年.7000亿吨702741000克等比数列的前n项和错位相减法2错位相减法1问题讲解累加法方法拓展 你还有其他方法去推导等比数列前n项和公式吗例题讲解课堂练习 知三求二 例题讲解练习3：在等比数列{an}中，Sn=k－( )n，则实数k的值为（ ）
（A） （B）1 （C） （ D）任意实数B课堂练习例题讲解例3.(1)求数列利用错位相减法求和.错位相减法回顾反思 我们学到了什么？1.等比数列的前n项和公式；2.公式的推导方法；3.公式的简单应用——知三求二.错位相减法 等比数列的前n项和 等比数列的前n项和 知三求二 有了这样一个公式,我们可以解决哪些问题?需注意什么?q≠1,q=1
分类讨论课后思考再见作业谢谢！提取公比法1方法拓展1提取公比法2 n为奇数，q为－1时此法不适用
方法拓展2利用等比定理课件14张PPT。等比数列前n项和的性质及应用1、等比数列前n项和公式:或2、数学思想：分类讨论,类比思想。3、两个求和方法：(1)拆项分组求和法；(2)错位相减求和法；复习回顾 引入新课课前练习A.任意一项都不为0D.可以有无数项为0C.至多有有限项为0B.必有一项为0DD等比数列前n项和的性质一：探究一：这个形式和等比数列等价吗？类似结论：相反数合作探究 形成规律例题讲解系数和常数互为相反数提示：变式练习我们知道，等差数列有这样的性质：等比数列前n项和的性质二：探究二：那么，在等比数列中，也有类似的性质吗？怎么证明？例题讲解解：2、任意等比数列，它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项
和分别为 X、Y、Z，则下列等式中恒成立的是（ ）DA．X＋Z＝2Y
C．Y2＝XZB．Y(Y－X)＝Z(Z－X)
D．Y(Y－X)＝X(Z－X)变式训练260例题讲解解：等比数列前n项和的性质三：怎么证明？80例题讲解解：4、已知一个等比数列其首项是1，项数是偶数，所有奇
数项和是85，所有偶数项和是170，求此数列的项数？
变式训练提示：解：两式联立解得：小结：等比数列前n项和的性质：①②③再见作业谢谢！能力培养课件15张PPT。等比数列的前n项和数列的通项公式的定义:如果数列的第n项与n之间的函数关系可以用一个公式来表示,这个公式叫做这个数列的通项公式,即 数列通项公式的求法,主要有,观察法, 公式法，另外还有,待定系数法;由数列的递推公式求通项公式法,迭加法,迭乘法, 等. 注意:并非每一个数列都可以写出通项公式,数列的通项公式,也并非是唯一的.一、观察法：根据数列的前几项,写出数列的一个通项公式数列也可以用作下面两个条件结合起来的方法表示:
(1)给出最初的n项或一项.
(2)给出数列中后面的项用前面的项来表示的公式,这种方法叫做递推法,后者称为该数列的递推公式.写出下列数列的一个通项公式 这是特殊到一般的思想，也是数学上重要的思想方法，但欠严谨！二、公式法:写出下列数列的一个通项公式：三、累加法： (递推公式形如an+1=an+ f(n)型的数列)四、累乘法： 五、递推法。（一）已知前n项和公式求通项公式经验证(1)不包含在(2)中,所以由(1)(2)知通项公式为利用an与Sn的关系an=S1 (n=1) Sn－Sn－1(n≥2)（3）.已知{an}中，a1+2a2+3a3+ ???+nan=3n+1,求通项an解: ∵ a1+2a2+3a3+···+nan=3n+1 (n≥1)∴ a1+2a2+3a3+···+(n－1)an－1=3n（n≥2） nan=3n+1－3n=2·3n而n=1时,a1=9 （n≥2）两式相减得：法二（统一成关于的递推关系）法一（统一成关于的递推关系）以上各式相加得到:(六)特征方程法（构造法，待定系数法）目的解决是构造新等差或等比数列则可考虑待定系数法设 构造新的辅助数列 是首项为 公比为q的等比数列，求出 ,再进一步求通项 法一本题的解法是将条件进行适当变形，实现了向等比数列、常数列的
转化。从而使问题得到解决。法一：法二：归纳法下面用数学归纳法进行证明（略）。小结一、观察法 (根据数列的前几项,写出数列的一个通项公式)四、累乘法 (形如an+1 =f(n)?an型)五、递推法六、构造法作业2.已知{an}中, an+1=an+ (n∈N*),a1=1,求通项an
1.已知{an}中,a1a2a3···an=n2+n (n∈N*),求通项an4.已知{an}中,a1=3,且an+1=an2 (n∈N*),则 {an}的通项
公式an=____________3.已知{an}中,a1=1,an= n(an+1 － an )(n∈N*), 求{an}
的通项公式an(提示:作倒数变换)再见作业谢谢！课件29张PPT。等比数列的前n项和 1. 熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式以及正整数的平方和公式、立方和公式等进行求和．
在历年高考要求中，等差数列与等比数列的有限和总是有公式可求。
2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.
有些特殊数列的求和可采用分部法转化为等差或等比数列的求和(能利用等差、等比数列前n项和公式及其性质求一些特殊数列的和)或用裂项法，错位相减法，分项和并项求和法，逆序相加法，分组组合法等求和。
. 高考要求1．公式法：直接应用等差数列，等比数列的前n项和公式，以及正整数的平方和公式、立方和公式等进行求和．
(1)等差数列的前n项和 (2)等比数列的前n项和.
Sn＝ ＝
n2n2＋n数列求和第一课时 公式法的数列求和
例 1：(1)求和 1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n＋1)＝___________；
(2)求和22＋23＋24＋…2n＋3＝________.裂项相消法求和 2－2.已知 an＝
Sn＝_______.，则数列{an}的前 n 项和 裂项相消法的关键就是将数列的每一项拆成二项或多项,使数列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的。 即：把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项和变成首尾若干项之和．1．利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．常见的拆项方法有：
(1) = ;
(2) = ;
(3) = ;
错位相减法求和例3：Sn＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)xn－1(x≠0,1).3-1．已知数列{an}的前n项和为Sn且an＝n·2n，则Sn＝______.＝2n＋1－2－n·2n＋1
＝(1－n)2n＋1－2
∴Sn＝2n＋1(n－1)＋2.答案：(n－1)·2n＋1＋2
即：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应 项乘积组成，此时可把式子Sn＝a1＋a2＋…＋an两边同乘以公比q，得到
qSn＝a1q＋a2q＋…＋anq，两式错位相减整理即可求出Sn.
用乘公比错位相减法求和时，应注意：
1．要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
2．在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．1＋2＋22＋…＋2 1. 求和1＋4＋7＋10＋…＋(3n＋4)＋(3n＋7) ＝2.已知 an＝1n－1＋1，则数列{an}的前 n项和 Sn＝______.__________.答案： B答案： B【方法规律小结】
数列求和需掌握以下基本常用解法：
1．公式法：直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意等比数列的公比q与1的讨论．
2．错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．
3．裂项相消法：把数列的每一项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 将数列相邻的两项(或若干项)并成一项(或一组)得到一个新数列(容易求和).五、并项求和（奇偶分析法）例5求和 Sn=1-2+3-4+5-6+…+(-1)n+1·n.数列求和第二课时四、倒序相加法将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加,就可以得到n个.例 如 等差数列求和公式的推导.例4函数f(X)满足若x1+x2=1,则f(x1)+f(x2) =1, 求f(0)+f()+f()+f()+……+f()若数列 的通项可转化为 的形式，且数列 可求出前n项和 则
例6.求下列数列的前n项和六.分组求和法：（1）解（1）：该数列的通项公式为
（1）规律概括：如果一个数列的通项可分成两项之和（或三项之和）则可用分组求和法：在本章我们主要遇到如下两种形式的数列. 其一：通项公式为：
其二：通项公式为：本课小结： 数列求和的一般步骤：等差、等比数列直接应用求和公式求和。
非等差、等比的数列，通过通项化归的思想设法转化为等差、等比数列，常用方法有倒序相加法、错位相减法、拆项并组法
不能转化为等差、等比的数列，往往通过裂项相消法求和。（ 5）已知递增的等比数列 {an} 前 3 项之积为 512, 且这三项分别减去 1, 3, 9 后又成等差数列, 求数列 { } 的前 n 项和.an n （ 6）已知数列 {an} 中, a1=1, (2n+1)an=(2n-3)an-1(n≥2, n?N*), 求数列 {an} 的前 n 项和 Sn. 作业谢谢！欢迎你的提问！课本第 53-55 页
能力培养再见解: 设等比数列 {an} 的公比为 q, 依题意得:a1a2a3=512?a23=512?a2=8.∵前三项分别减去 1, 3, 9 后又成等差数列,∴an=a2qn-2=8?2n-2=2n+1. 6.已知数列 {an} 中, a1=1, (2n+1)an=(2n-3)an-1(n≥2, n?N*), 求数列 {an} 的前 n 项和 Sn. ∴Sn=a1+a2+…+an 解: ∵(2n+1)an=(2n-3)an-1, (1)证: 由已知 S1=a1=a, Sn=aqn-1, 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=aqn-1-aqn-2=a(q-1)qn-2. ∴在 {an}中, 从第 2 项开始成等比数列. ∴bn=51-n(n?N*). ∴当 1≤n≤51 时, |b1|+|b2|+…+|bn| =(51-1)+(51-2)+…+(51-n) 当 n≥52 时, |b1|+|b2|+…+|bn|=(50+49+…+1)+[1+2+…+(n-51)] =51n-(1+2+…+n)
