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学案 1.1.2探索勾股定理
班级______________姓名___________
【学习目标】
1．让学生利用割、补、拼等办法体验勾股定理的探索过程，发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系．2·1·c·n·j·y
2．让学生能够运用勾股定理进行简单的计算和解决简单的实际问题．
【学习过程】
一、复习回顾
1．还记得勾股定理的内容吗？
勾股定理：直角三角形 等于 。如果a，b，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边， 那么 ．www-2-1-cnjy-com
2．在图1，中国古代数学中，AC称为 ，BC称为 ，AB称为 。
二、探究新知
1．动手操作：如下图，在上节课中用测量和数格子的方法探索勾股定理的图2中，能否用割、
补的方法 ，用三角形 重新拼成图3和图4 ，请动手试一试，并与同伴交流！
2．探究学习
（1）范例
观察图3：你能表示大正方形ABCD的面积吗？能用两种方法表示吗？请用图3验证勾股定理。
解：
方法一：(a＋b)2；方法二：4×ab＋c2
证明：∵S＝(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
S＝4×ab＋c2＝2ab＋c2，
∴a2＋2ab＋b2＝2ab＋c2.
∴a2＋b2＝c2.
（2）仿例
观察图4：你能表示小正方形ABCD的面积吗？能用两种方法表示吗？请尝试验证勾股定理。
（3）变例
用两个三角形 拼成图5，并验证勾股定理。
证明：
（4）拓展延伸
青朱出入图，是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法，利用青朱出入图，你能验证勾股定理吗？与同伴交流！2-1-c-n-j-y
（5）趁热打铁
如图下意大利著名画家达芬奇证明勾股定理的道理你能看懂吗？请自主完成验证过程！
证明：
三、巩固新知
例1：我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗 21*cnjy*com
学以致用：
1.相传当年毕达哥拉斯利用两个图形验证了勾股定理，你会吗？请写出验证过程！
2．判断图中三角形的边长是否满足a2＋b2＝c2？
3．如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M、O、Q三城市的沿江高速，已知沿江高速的建设成本是5000万元/千米，该沿江高速的造价预计是多少？【来源：21cnj*y.co*m】
4．（ 2016湖南益阳）在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
四、当堂检测
1．（2017湖北襄阳）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）21教育网
A．3 B．4 C．5 D．6
2． （2017浙江绍兴）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ）www-2-1-cnjy-com21cnjy.com
A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米
3．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为3m，梯子的顶端B到地面的距离为4m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于4m．同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（ ）．www.21-cn-jy.com
A．小于1m B．大于1m C．等于1m D．小于或等于1m
4．在Rt△ABC，∠C=90°，c=50，a：b=7：24，则a= ，b= 。
5．如图，有两颗树，一颗高9米，另一颗高2米，两树相距12米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行 米.【来源：21·世纪·教育·网】
6．如图，所示，四边形ABCD中，AB=4，BC=3，，CD=12，∠B=∠ACD=90°，求该四边形的面积．21·世纪*教育网
7．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感。他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明。下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：21·cn·jy·com
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：。
证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，
则DF=EC=，
∵ ，
又∵，
∴ ，
∴
图 1 图 2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明：
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°。
求证：。
证明：连结 .
∵ .
又∵ .
∴ .
∴ 。
解
【课堂小结】
你认为在勾股定理中我们应该收获是什么呢？
1．知识：勾股定理：直角三角形 等于 。如果a，b，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边， 那么 ．21世纪教育网版权所有
2．方法：① 观察— —猜想— —归纳— ；
② “ ”法，验证勾股定理。
A
BBB
C C
图1
图3
图4
图2
图5
根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x
作AD⊥BC于D，设BD = x，用含x的代数式表示CD
利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形面积
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学案 1.1.2探索勾股定理
班级______________姓名___________
【学习目标】
1．让学生利用割、补、拼等办法体验勾股定理的探索过程，发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系．21教育网
2．让学生能够运用勾股定理进行简单的计算和解决简单的实际问题．
【学习过程】
一、复习回顾
1．还记得勾股定理的内容吗？
勾股定理：直角三角形 两直角边的平方和 等于 斜边的平方 。如果a，b，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边， 那么 a2＋b2＝c2 ．www.21-cn-jy.com
2．在图1，中国古代数学中，AC称为 勾 ，BC称为 股 ，AB称为 弦 。
二、探究新知
1．动手操作：如下图，在上节课中用测量和数格子的方法探索勾股定理的图2中，能否用割、
补的方法 ，用三角形 重新拼成图3和图4 ，请动手试一试，并与同伴交流！
2．探究学习
（1）范例
观察图3：你能表示大正方形ABCD的面积吗？能用两种方法表示吗？请用图3验证勾股定理。
解：
方法一：(a＋b)2；方法二：4×ab＋c2
证明：∵S＝(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
S＝4×ab＋c2＝2ab＋c2，
∴a2＋2ab＋b2＝2ab＋c2.
∴a2＋b2＝c2.
（2）仿例
观察图4：你能表示小正方形ABCD的面积吗？能用两种方法表示吗？请尝试验证勾股定理。
解：
（3）变例
用两个三角形 拼成图5，并验证勾股定理。
证明：∵S＝＝a2＋ab＋b2，
S＝2×ab＋c2＝ab＋c2，
∴a2＋ab＋b2＝ab＋c2.
∴a2＋b2＝c2.
（4）拓展延伸
青朱出入图，是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法，利用青朱出入图，你能验证勾股定理吗？与同伴交流！2·1·c·n·j·y
证明：红色小正方形的面积是a2，蓝色中正方形的面积是b2
把朱出移到朱入位置，就能把红色小正方形的面积是a2全部放入大正方形中；
把大青出移到大青入位置，把小青出移到小青入位置，就能把蓝色中正方形的面积是b2全部放入大正方形中；
∴红色小正方形的面积a2和蓝色中正方形的面积b2青出，组成了大正方形面积c2
∴a2＋b2＝c2
（5）趁热打铁
如图下意大利著名画家达芬奇证明勾股定理的道理你能看懂吗？请自主完成验证过程！
证明：利用剪拼过程知图①等于图②的面积，△BOC面积等于面积，△EOF面积等于面积
∴小正方形OCDE的面积+中正方形ABOF的面积=大正方形的面积
∴a2＋b2＝c2
三、巩固新知
例1：我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗 【来源：21·世纪·教育·网】
解：由勾股定理，得AB2=BC2+AC2，即5002=BC2+4002，所以BC=300.敌方汽车10s行驶了300m，则1h行驶的距离为108000m，所以它行驶的速度为108km/h.21·世纪*教育网
学以致用：
1.相传当年毕达哥拉斯利用两个图形验证了勾股定理，你会吗？请写出验证过程！
证明：∵左右两个正方形边长都是a+b，每个直角三角形的面积相等
∴空白大正方形的面积=空白小正方形的面积+空白中正方形的面积
∴a2＋b2＝c2
2．判断图中三角形的边长是否满足a2＋b2＝c2？
解：不满足。
左图：a2＋b2右图：a2＋b2>c2
3．如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M、O、Q三城市的沿江高速，已知沿江高速的建设成本是5000万元/千米，该沿江高速的造价预计是多少？21世纪教育网版权所有
解：Rt△NMO中，由勾股定理知
MN2+NO2=MO2
∵MN=30，NO=40
∴302+402=MO2
∴MO=50
同理
QO=130
∴高速的造价预计:(130+50)×5000=900000（万元）
4．（ 2016湖南益阳）在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
四、当堂检测
1．（2017湖北襄阳）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）21·cn·jy·com
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C．
考点：勾股定理的证明．
2． （2017浙江绍兴）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ）www-2-1-cnjy-comwww-2-1-cnjy-com
A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米
【答案】C．
【解析】
试题分析：在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD＞0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．故选C．
3．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为3m，梯子的顶端B到地面的距离为4m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于4m．同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（ ）．2-1-c-n-j-y
A．小于1m B．大于1m C．等于1m D．小于或等于1m
解：移动前后梯子的长度不变，即Rt△AOB和Rt△A′OB′的斜边相等．
由勾股定理，得42＋B′O2＝32＋42，B′O＝3，
∴BB′=1．
故选C
4．在Rt△ABC，∠C=90°，c=50，a：b=7：24，则a= 14 ，b= 48 。
5．如图，有两颗树，一颗高9米，另一颗高2米，两树相距12米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行 13 米.21*cnjy*com
6．如图，所示，四边形ABCD中，AB=4，BC=3，，CD=12，∠B=∠ACD=90°，求该四边形的面积．【来源：21cnj*y.co*m】
解：在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，且
∴
∴AC=5．
∴S△ABC=AB BC=×4×3=6．
在△ACD中，AC=5，CD=12．
∴S△ACD=AC CD=×5×12=30．
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=6+30=36．
7．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感。他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明。下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：【出处：21教育名师】
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：。
证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，
则DF=EC=，
∵ ，
又∵，
∴ ，
∴
图 1 图 2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明：
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°。
求证：。
证明：连结 .
∵ .
又∵ .
∴ .
∴ 。
解解
【课堂小结】
你认为在勾股定理中我们应该收获是什么呢？
1．知识：勾股定理：直角三角形 两直角边的平方和 等于 斜边的平方 。如果a，b，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边， 那么 a2＋b2＝c2 ．21cnjy.com
2．方法：① 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用；
② “割、补、拼、接”法，验证勾股定理。
A
BBB
C C
图1
图3
图4
图2
图5
根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x
作AD⊥BC于D，设BD = x，用含x的代数式表示CD
利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形面积
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