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学案 1.2一定是直角三角形吗
班级______________姓名___________
【学习目标】
1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理，灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题；
2．理解勾股数的概念，并牢记勾股数，学会使用技巧．
【学习过程】
一、复习回顾
1．还记得勾股定理的内容吗？
勾股定理：直角三角形 等于 。如果a，b，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边， 那么 ．【来源：21cnj*y.co*m】
2．若把勾股定理的已知和结论位置颠倒，你能叙述吗？
二、探究新知
1．动手操作：画一个边为3cm、4cm和5cm的三角形，用量角器量出最大角的度数，并计算探究三角形三边关系.【出处：21教育名师】
2．探究学习
下面有三组数，分别是一个三角形的三边长:
①5，12，13；②7，24，25；③8，15，17；
回答这些问题：
（1）这三组数都满足吗？
（2）借助动手操作，你能猜测这三角形中最大角的度数吗？
（3）归纳：如何判定是不是直角三角形呢？与同伴交流
定理：如果三角形的三边长a，b，c，且满足 那么这个三角形是 。
（4）证明：如图，若△ABC的三边长，满足，试证明△ABC是直角三角形，请写出证明过程．
(5)阅读课本第9页记住勾股数。
定义：如果一个三角形的三边长，满足 ，那么这个三角形是直角三角形，
并且满足的三个 ，称为 .
深呼吸：
★勾股数必须满足：① ；② ；
★常见的基本勾股数：
①奇数开头 ；
②偶数开头 ；
三、巩固新知
例1：一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中 ∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？www-2-1-cnjy-com
学以致用：
1．据说古埃及人曾用下面的方法得到直角：如图所示,他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段,一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结,两个助手分别握住第4个结和第8个结,拉紧绳子,就会得到一个直角三角形,其直角在第4个结处,你能说说其中的道理吗
2．如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流.21cnjy.com
3．如图所示是一块地的平面图，已知AD=12米，CD=9米，∠D=90°，AB=39米，BC=36米，求这块地的面积。www.21-cn-jy.com
4．如下图中分别以三边a,b,c为边向外作正方形，正三角形，为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则是直角三角形吗？2·1·c·n·j·y
例2：下列哪几组数据是不是勾股数？请说明理由．
①9，12，15；②15，36，39；③12，35，36；④12，18，22.
【解答】
仿例：下列哪几组数据是不是勾股数？请说明理由．
①-3，- 4，5； ②，，； ③32，42，52；④0.3，0.4，0.5
拓展延伸：
观察下列勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…a、b、c．你能发现什么规律，根据你发现的规律，请写出：
（1）当=21时，则b、c的值是多少（2）当a =2n+1时，求b、c的值．你能证明所发现的规律吗．21教育网
趁热打铁：
(2017湖北宜昌)阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．21·cn·jy·com
应用：当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．
四、当堂检测
1．下列说法正确的是 ( )
①在△ABC 中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC是直角三角形；
②在△ABC中，若a：b：c=5：4：3，则△ABC是直角三角形；
③在△ABC中，若a2= (b＋c)(b－c)，则△ABC是直角三角形；
④在△ABC中，三边分别为，，，则△ABC是直角三角形。
A． ①②③ B．①②④ C． ②③④ D．①②③④
2．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A． B． C． D．
3．如图，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，阴影部分的面积是__________．21·世纪*教育网
4．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．
5．如图，正方形网格中有△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识，判断△ABC是什么三角形，并说明理由．2-1-c-n-j-y
6．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下表：
n 2 3 4 5 …
a 22-1 32-1 42-1 52-1 …
b 4 6 8 10 …
c 22+1 32+1 42+1 52+1 …
（1）请你分别观察a、b、c与n（n＞1）之间的关系，并分别用含n的代数式表示a、b、c, a=________，b=________，c=________。 21*cnjy*com
（2）猜想以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形，并验证你的猜想。
7．如图所示，在等腰直角三角形ABC的斜边AB上取两点 M、N，使∠MCN = 45°，设 AM=a，MN=c，BN=b,试判断以c、a、b为边长的三角形的形状.21世纪教育网版权所有
【课堂小结】
你认为在本节课中我们应该注意些什么呢？
1．勾股数必须满足：① ；② ；
2．利用三角形三边数量关系判断一个三角形是直角三角形时，当遇见数据较大时，要懂得将作适当变形，便于计算。理由： 。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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学案 1.2一定是直角三角形吗
班级______________姓名___________
【学习目标】
1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理，灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题；
2．理解勾股数的概念，并牢记勾股数，学会使用技巧．
【学习过程】
一、复习回顾
1．还记得勾股定理的内容吗？
勾股定理：直角三角形 两直角边的平方和 等于 斜边的平方 。如果a，b，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边， 那么 a2＋b2＝c2 ．21·世纪*教育网
2．若把勾股定理的已知和结论位置颠倒，你能叙述吗？
【解答】：如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
二、探究新知
1．动手操作：画一个边为3cm、4cm和5cm的三角形，用量角器量出最大角的度数，并计算探究三角形三边关系.www-2-1-cnjy-com
【解答】：最大角的度数是90°，三边关系：32＋42＝52
2．探究学习
下面有三组数，分别是一个三角形的三边长:
①5，12，13；②7，24，25；③8，15，17；
回答这些问题：
（1）这三组数都满足吗？
（2）借助动手操作，你能猜测这三角形中最大角的度数吗？
（3）归纳：如何判定是不是直角三角形呢？与同伴交流
定理：如果三角形的三边长a，b，c，且满足a2＋b2＝c2 , 那么这个三角形是直角三角形。
（4）证明：如图，若△ABC的三边长，满足，试证明△ABC是直角三角形，请写出证明过程．
(5)阅读课本第9页记住勾股数。
定义：如果一个三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形，
并且满足的三个正整数，称为勾股数.
深呼吸：
★勾股数必须满足：① ；② ；
★常见的基本勾股数：
①奇数开头 ；
②偶数开头 ；
①奇数开头3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；……
②偶数开头6，8，10；8，15，17；10，24，26；……；
三、巩固新知
例1：一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中 ∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？2-1-c-n-j-y
【解答】
解：在△ABD中， ，
所以△ABD为直角三角形∠A =90°.
在△BDC中,
，
所以△BDC是直角三角形∠CDB =90°.
因此，这个零件符合要求.
学以致用：
1．据说古埃及人曾用下面的方法得到直角：如图所示,他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段,一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结,两个助手分别握住第4个结和第8个结,拉紧绳子,就会得到一个直角三角形,其直角在第4个结处,你能说说其中的道理吗
【解答】
解：古埃及人组成三角形的三边分别是3,4,5，32＋42＝52
∴是直角三角形
2．如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流.【来源：21cnj*y.co*m】
【解答】
解：易知:△ABE，△DEF，△FCB均为Rt△.
由勾股定理知
BE2=22+42=20，EF2=22+12=5， BF2=32+42=25.
∴BE2+EF2=BF2 ∴ △BEF是Rt △.
3．如图所示是一块地的平面图，已知AD=12米，CD=9米，∠D=90°，AB=39米，BC=36米，求这块地的面积。【出处：21教育名师】
【解答】
解：如图所示，连接AC，
∵∠D=90°，
∴AC2=AD2+CD2，
∴AC=15，
又∵AC2+BC2=1521，AB2=392=1521，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴S四边形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com" \t "https: / / zhidao. / question / _blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )=S△ABC-S△ACD ( http: / / www.21cnjy.com" \t "https: / / zhidao. / question / _blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )=（15×36-12×9）=216【版权所有：21教育】
答：这块地的面积是216平方米 ( http: / / www.21cnjy.com" \t "https: / / zhidao. / question / _blank" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
4．如下图中分别以三边a,b,c为边向外作正方形，正三角形，为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则是直角三角形吗？www.21-cn-jy.com
【解答】
解：直角三角形，理由
如左图
S1+S2=S3
∴是直角三角形
同理：右图也是直角三角形
例2：下列哪几组数据是不是勾股数？请说明理由．
①9，12，15；②15，36，39；③12，35，36；④12，18，22.
【解答】
解：①②是勾股数，理由
①92＋122＝225＝152是勾股数；②152＋362＝1521＝392是勾股数；
③122＋352＝1369≠362不是勾股数；④122＋182＝468≠222不是勾股数
仿例：下列哪几组数据是不是勾股数？请说明理由．
①-3，- 4，5； ②，，； ③32，42，52；④0.3，0.4，0.5
解：④是勾股数，理由
①-3，- 4不是正整数，不是勾股数；②，不是勾股数；
③92＋162＝337≠252不是勾股数；④0.32＋0.42＝0.25＝0.52是勾股数；
拓展延伸：
观察下列勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…a、b、c．你能发现什么规律，根据你发现的规律，请写出：
（1）当=21时，则b、c的值是多少（2）当a =2n+1时，求b、c的值．你能证明所发现的规律吗．21*cnjy*com
【解答】
解：（1）当a=21时，设b=k，则c=k+1，观察有如下规律：212+k2=（k+1）2，k =220，故b=220，c=221．
（2）当a=2n+1时，设b=k，则c=k+1，根据勾股定理：a2+b2=c2，（2n+1）2+k2=（k+1）2，k=2n（n+1），即b=2n（n+1），c=2n（n+1）+1．
证明：a2+b2=（2n+1）2+[2n（n+1）]2=4n4+8n3+8n2+4n+1，[2n（n+1）+1]2=4n4+8n3+8n2+4n+1，所以a2+b2=c2，
所以a、b、c组成的三角形是直角三角形．21教育名师原创作品
趁热打铁：
(2017湖北宜昌)阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．21*cnjy*com
应用：当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．
四、当堂检测
1．下列说法正确的是 ( )
①在△ABC 中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC是直角三角形；
②在△ABC中，若a：b：c=5：4：3，则△ABC是直角三角形；
③在△ABC中，若a2= (b＋c)(b－c)，则△ABC是直角三角形；
④在△ABC中，三边分别为，，，则△ABC是直角三角形。
A． ①②③ B．①②④ C． ②③④ D．①②③④
【解答】D
2．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是( )21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．
【解答】
解：A、72+242=252，152+202≠242，222+202≠252，故A不正确；
B、72+242=252，152+202≠242，故B不正确；
C、72+242=252，152+202=252，故C正确；
D、72+202≠252，242+152≠252，故D不正确．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
3．如图，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，阴影部分的面积是__________．
【解答】
解：∵AE⊥BE，∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，
根据勾股定理得：AB=5，
则S阴影=S正方形﹣S△ABE=52﹣×3×4=25﹣6=19，
故答案为：19．
【点评】此题考查了勾股定理，以及正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
4．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．
【解答】
解：连接EE′，
∵将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，AE=1，BE=2，CE=3，
∴∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1，
∴EE′=2，∠BE′E=45°，
∵E′E2+E′C2=8+1=9，
EC2=9，
∴E′E2+E′C2=EC2，
∴△EE′C是直角三角形，
∴∠EE′C=90°，
∴∠BE′C=135°．
故答案为：135．
5．如图，正方形网格中有△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识，判断△ABC是什么三角形，并说明理由．21cnjy.com
【解答】
解：△ABC是直角三角形．
理由如下：
∵AC2＝22＋42＝20，AB2＝12＋22＝5，BC2＝32＋42＝25，
∴AB2＋AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形．
6．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下表：
n 2 3 4 5 …
a 22-1 32-1 42-1 52-1 …
b 4 6 8 10 …
c 22+1 32+1 42+1 52+1 …
（1）请你分别观察a、b、c与n（n＞1）之间的关系，并分别用含n的代数式表示a、b、c, a=________，b=________，c=________。 21教育网
（2）猜想以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形，并验证你的猜想。
【解答】
解：（1），2n，；
（2）猜想以a、b、c为边的三角形是直角三角形
验证：由于
因为
所以，即
故以a、b、c为边的三角形是直角三角形21·cn·jy·com
7．如图所示，在等腰直角三角形ABC的斜边AB上取两点 M、N，使∠MCN = 45°，设 AM=a，MN=c，BN=b,试判断以c、a、b为边长的三角形的形状.2·1·c·n·j·y
【解答】
解：如图，做CD⊥CM，且CD=CM，连接ND，BD.
∵AC⊥BC，CD⊥CM，
∴∠ACB=∠MCD=90°，
【课堂小结】
你认为在本节课中我们应该注意些什么呢？
1．勾股数必须满足：① 满足勾股定理 ；② 正整数；
2．利用三角形三边数量关系判断一个三角形是直角三角形时，当遇见数据较大时，要懂得将作适当变形，便于计算。理由：将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数，所得到的数仍是一组勾股数。【来源：21·世纪·教育·网】
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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