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学案 1.3勾股定理的应用
班级______________姓名___________
【学习目标】
1．从实际问题中合理抽象出数学模型，利用建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题。2-1-c-n-j-y
【学习过程】
一、复习回顾
1．还记得勾股定理及逆定理吗？
勾股定理：直角三角形 等于 。如果a，b，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边， 那么 ．【来源：21·世纪·教育·网】
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系a2＋b2＝c2，那么这个三角形是 ，且 所对的角是直角．【出处：21教育名师】
2．线段的基本事实：两点之间， ．
二、探究新知
1．问题情境：如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面圆的周长为18cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到地面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？21教育名师原创作品
2．探究学习
（1）请同学们在自己制作的圆柱上画出路线，小组合作，交流讨论，探究最短路线。
（2）如图，沿着圆柱的侧棱剪开并展开，你能得到什么样平面图形？请画出来！
（3）在侧面展开图中虚线是蚂蚁从A到B的最短路线，为什么？请计算出最短路程！
思维激活：立体图形→平面图形→直角三角形；
学以致用：
1．（2017东营）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 尺．
2.如图所示，圆柱形容器高为18 cm，底面周长为24 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B 处的最短距离为 cm.21教育网
3．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长 【来源：21cnj*y.co*m】
4.如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是____.
5．如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1千米，BD＝3千米，CD＝3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W．
3．做一做
李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，
（1）你能替他想办法完成任务吗？
（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？
（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？
三、巩固新知
例1：如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长。已知滑梯的高度CE =3m，CD=1m，试求滑道AC的长。
学以致用：
1．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险。某日早晨8︰00甲先出发，他以6km/h的速度向正东行走。1h后乙出发，他以5km/h的速度向正北行走。上午10︰00，甲、乙二人相距多远？
2．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？21·cn·jy·com
3．一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子底端距墙底6m，如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？2·1·c·n·j·y
4．有一辆装满货物的卡车，高2. 5米，宽1. 6 米要开进横截面如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞.21*cnjy*com
(1) 这辆卡车能否通过此桥洞？试说明你的理由.
(2) 为了适应车流量的增加，想把桥洞改为双行道，并且要使宽为1. 2米，髙为2. 8米的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？【版权所有：21教育】
四、当堂检测
1．（2017荆州）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2﹣6=（10﹣x）2 B．x2﹣62=（10﹣x）2
C．x2+6=（10﹣x）2 D．x2+62=（10﹣x）2
2．图①是我国古代著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是( )【版权所有：21教育】21*cnjy*com
A．51 B．49 C．76 D．无法确定
3．如图是一种“羊头”形图案，其作法是，从正方形1开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，和2′，…，依次类推，若正方形7的边长为1cm，则正方形1的边长为__________cm.
4．如图所示，点A的坐标为(2，1)，点B的坐标为(5，3)，点C为x轴上一动点，则AC+BC的最小值是 .
5．如图，盒内长，宽，高分别是24米，8米和6米，盒内可放的棍子最长是多少米？
6．如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
7．请阅读下列材料：
实际问题：如图（1），一圆柱的底面半径为5厘米，BC是底面直径，高AB为5厘米，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线．21世纪教育网版权所有
解决方案：
路线1：侧面展开图中的线段AC，如图（2）所示，设路线l的长度为l1：则l12=AC2=AB2+BC2=52+（5π）2=25+25π2
路线2：高线AB+底面直径BC，如图（1）所示．
设路线2的长度为l2：则l2=AB+BC=5+10=15，l22=225．
为比较l1，l2的大小，我们采用如下方法：
∵l12-l22=25+25π2-225=25π2-200=25（π2-8）＞0．
∴l12＞l22，所以l1＞l2，21cnjy.com
小明认为应选择路线2较短．
（1）问题类比：
小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1厘米，高AB为5厘米．”继续按前面的路线进行计算．请你帮小明完成下面的计算：
路线1：l12=AC2=______；
路线2：l2=AB+BC=______，l22=______．
∵l12______l22，∴l1______l2（填“＞”或“＜”）
∴小亮认为应选择路线______（填1或2）较短．www.21-cn-jy.com
（2）问题拓展：
请你帮小明和小亮继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r厘米时，高为h厘米，蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C，21·世纪*教育网
路线1：l12=______；
路线2：l22=______．
当满足什么条件时，选择的路2最短？请说明理由
（3）问题解决：
如图（3）为2个相同的圆柱紧密排列在一起，高为5厘米，当圆柱的底面半径r（厘米）=时，蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的两条线段相等（注：按上面小明所设计的两条路线方式）．www-2-1-cnjy-com
【课堂小结】
你认为在勾股定理中我们应该注意些什么呢？
1．圆柱体的展开图是一个 ；
2．应用勾股定理解决最短路径问题思路： → → ；
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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学案 1.3勾股定理的应用
班级______________姓名___________
【学习目标】
1．从实际问题中合理抽象出数学模型，利用建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题。【版权所有：21教育】
【学习过程】
一、复习回顾
1．还记得勾股定理及逆定理吗？
勾股定理：直角三角形 两直角边的平方和 等于 斜边的平方 。如果a，b，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边， 那么 a2＋b2＝c2 ．
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角是直角．
2．线段的基本事实：两点之间，线段最短．
二、探究新知
1．问题情境：如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面圆的周长为18cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到地面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
2．探究学习
（1）请同学们在自己制作的圆柱上画出路线，小组合作，交流讨论，探究最短路线。
【解答】学生的各种路线：
（2）如图，沿着圆柱的侧棱剪开并展开，你能得到什么样平面图形？请画出来！
【解答】侧面展开图
（3）在侧面展开图中虚线是蚂蚁从A到B的最短路线，为什么？请计算出最短路程！
【解答】两点之间，线段最短．
∵AB2=122+92
∴AB=15(厘米)
思维激活：立体图形→平面图形→直角三角形；
学以致用：
1．（2017东营）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 尺．
2.如图所示，圆柱形容器高为18 cm，底面周长为24 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B 处的最短距离为 cm.21教育网
【解答】
解：如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，作A′D⊥BD交BD的延长线于点D，则A′B的长即为最短距离，A′B===20(cm).
故答案为20.
3．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长
【解答】
解：沿长方体棱AB剪开并展成平面图形
利用勾股定理得
AB2=82+62
∴AB=10厘米
4.如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是____.
【解答】
解：如图所示，
∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为(2+3)×3，
∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程是此长方形的对角线长.
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程为x，
由勾股定理得x2=202+[(2+3)×3]2 =252，
解得x=25
5．如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1千米，BD＝3千米，CD＝3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W．2-1-c-n-j-y
【解答】解：画出A点关于河CD的对称点,连接B,过作E⊥DB
Rt△BE中，E=CD=3，BE=BD+AC=4，由勾股定理得
B2=32+42
B=5
总费用W=5×20000=100000(元)
3．做一做
李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，
（1）你能替他想办法完成任务吗？
（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？2·1·c·n·j·y
（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？21·世纪*教育网
【解答】
解：（1）用卷尺分别量出AD,AB,BC的长度,并计算它们的平方,只要满足 就说明AD边和BC边分别垂直于底边AB；21*cnjy*com
（2）的解决方法是：
∴AD和AB垂直
（3）分段相加的方法量出AB，AD和BD的长度,然后再计算；或在AB，AD边上各量一段较小长度，再去量以它们为边的三角形的第三边，从而得到结论。
三、巩固新知
例1：如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长。已知滑梯的高度CE =3m，CD=1m，试求滑道AC的长。
【解答】
解：设滑道AC的长度为x m，则AB的长也为x m，AE的长度为（x-1）m.
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，
由勾股定理得AE2+CE2=AC2，
即（x-1）2+32=x2，
解得x=5.
故滑道AC的长度为5 m.
学以致用：
1．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险。某日早晨8︰00甲先出发，他以6km/h的速度向正东行走。1h后乙出发，他以5km/h的速度向正北行走。上午10︰00，甲、乙二人相距多远？
【解答】
解：Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2
即52 +122=AB2，
解得AB=13
2．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？21cnjy.com
【解答】
解：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长为
AD=AB=（x+1）尺，
在直角三角形ABC中，BC=5尺
由勾股定理得:BC2+AC2=AB2
即52+ x2= (x+1)2
25+ x2= x2+2x+1，
2x=24，
∴x=12，x+1=13
答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺.
3．一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子底端距墙底6m，如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？【来源：21cnj*y.co*m】
【解答】
解：设梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等为x，
根据题意，
(x+6)2+ (8-x)2= 10221教育名师原创作品
解得，x=2米，
答：滑动的距离为2米．
4．有一辆装满货物的卡车，高2. 5米，宽1. 6 米要开进横截面如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞.21*cnjy*com
(1) 这辆卡车能否通过此桥洞？试说明你的理由.
(2) 为了适应车流量的增加，想把桥洞改为双行道，并且要使宽为1. 2米，髙为2. 8米的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少米？
四、当堂检测
1．（2017荆州）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2﹣6=（10﹣x）2 B．x2﹣62=（10﹣x）2 C．x2+6=（10﹣x）2 D．x2+62=（10﹣x）2
【解答】
解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB=10﹣x，BC=6，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+62=（10﹣x）2．
故选D．
2．图①是我国古代著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是( )【版权所有：21教育】
A．51 B．49 C．76 D．无法确定
【解答】
解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则
x2＝(6×2)2＋52＝169，
所以x＝13，
所以“数学风车”的周长是(13＋6)×4＝76.
故选C
3．如图是一种“羊头”形图案，其作法是，从正方形1开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，和2′，…，依次类推，若正方形7的边长为1cm，则正方形1的边长为__________cm.www.21-cn-jy.com
【解答】8
4．如图所示，点A的坐标为(2，1)，点B的坐标为(5，3)，点C为x轴上一动点，则AC+BC的最小值是 .www-2-1-cnjy-com
【解答】
解：如图，作点A关于x轴的对称点A1，连接A1B交x轴于点C，连接AC，此时AC+BC的值最小。易知A1C=AC，则AC+BC=A1C+BC=A1B。过点B作BD⊥x轴，过点A1作A1D⊥BD，垂足为D，则A1D=3，BD=4.在RtΔA1BD中，A1B===5，即AC+BC=5.
5．如图，盒内长，宽，高分别是24米，8米和6米，盒内可放的棍子最长是多少米？
【解答】
解：在RtΔABC中，AB=24，BC=8，由勾股定理得:
AC2=242+82
在RtΔABC中，CD=18，由勾股定理得:
AD2=AC2+62=242+82+62=676
∴AD=26米
6．如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
【解答】解：∵AB=100km，AD=60km，
∴在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AD2+BD2=AB2，BD=80km，
则台风中心经过80÷20=4小时从B移动到D点；
如图，∵距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，
∴人们要在台风中心到达E点之前撤离，
∵BE=BD﹣DE=80﹣30=50km，
∴游人在=2.5小时内撤离才可脱离危险．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是利用勾股定理求出BD的长度，难度一般．
7．请阅读下列材料：
实际问题：如图（1），一圆柱的底面半径为5厘米，BC是底面直径，高AB为5厘米，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线．21世纪教育网版权所有
解决方案：
路线1：侧面展开图中的线段AC，如图（2）所示，设路线l的长度为l1：则l12=AC2=AB2+BC2=52+（5π）2=25+25π2
路线2：高线AB+底面直径BC，如图（1）所示．
设路线2的长度为l2：则l2=AB+BC=5+10=15，l22=225．
为比较l1，l2的大小，我们采用如下方法：
∵l12-l22=25+25π2-225=25π2-200=25（π2-8）＞0．
∴l12＞l22，所以l1＞l2，21·cn·jy·com
小明认为应选择路线2较短．
（1）问题类比：
小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1厘米，高AB为5厘米．”继续按前面的路线进行计算．请你帮小明完成下面的计算：
路线1：l12=AC2=______；
路线2：l2=AB+BC=______，l22=______．
∵l12______l22，∴l1______l2（填“＞”或“＜”）
∴小亮认为应选择路线______（填1或2）较短．【来源：21·世纪·教育·网】
（2）问题拓展：
请你帮小明和小亮继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r厘米时，高为h厘米，蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C，【出处：21教育名师】
路线1：l12=______；
路线2：l22=______．
当满足什么条件时，选择的路2最短？请说明理由
（3）问题解决：
如图（3）为2个相同的圆柱紧密排列在一起，高为5厘米，当圆柱的底面半径r（厘米）=时，蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的两条线段相等（注：按上面小明所设计的两条路线方式）．
【课堂小结】
你认为在勾股定理中我们应该注意些什么呢？
1．圆柱体的展开图是一个长方形；
2．应用勾股定理解决最短路径问题思路：立体图形→平面图形→直角三角形；
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