2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
8.1直线与方程
考纲剖析
1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．
2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
3．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.【来源：21cnj*y.co*m】
知识回顾
1．直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴 与直线l 方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；②规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 ；③范围：直线的倾斜角α的取值范围是 ．
(2)直线的斜率
①定义：当直线l的倾斜角α≠时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条斜线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝ ；②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 .
2．直线方程的五种形式
名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
点斜式
两点式
截距式
一般式
3.线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式．【出处：21教育名师】
精讲方法
一、直线的倾斜角与斜率
（一）直线的倾斜角
2．已知斜率k的范围，求倾斜角的范围时，若k为正数，则的范围为的子集，且k=tan为增函数；若k为负数，则的范围为的子集，且k=tan为增函数。若k的范围有正有负，则可所范围按大于等于0或小于0分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。
（二）直线的斜率及应用
1、斜率公式：与两点顺序无关，即两点的横纵坐标在公式中前后次序相同；
2、求斜率的一般方法：
（1）已知直线上两点，根据斜率公式 求斜率；
（2）已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据来求斜率；
3、利用斜率证明三点共线的方法：
已知若，则有A、B、C三点共线。
注：斜率变化分成两段，是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。
（三）两条直线的平行与垂直
注：（1）充分掌握两直线平行的条件及垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线和，。若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意。21教育名师原创作品
（2）注意转化与化归思想的应用。
（3）利用斜率的几何意义可以证明不等式，利用两斜率之间的关系可以判断两直线的平行或垂直，数形结合的思想方法可帮助我们很直观地分析问题，抓住问题的实质。
二、直线的方程
（一）直线方程的求法
1、求直线方程应先选择适当的直线方程形式并注意各种形式的适用条件。基本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本量。
用待定系数法求直线方程的步骤：
（1）设所求直线方程的某种形式；
（2）由条件建立所求参数的方程（组）；
（3）解这个方程（组）求参数；
（4）把所求的参数值代入所设直线方程。
2、求直线方程时，首先分析具备什么样的条件；然后恰当地选用直线方程的形式准确写出直线方程。要注意若不能断定直线具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论。在用截距式时，应先判断截距是否为0。若不确定，则需分类讨论。
（二）直线方程的应用
利用直线方程解决问题，可灵活选用直线方程的形式，以便简化运算。一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距或两点选择截距式或两点式。
另外，从所求的结论来看，若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长，常选用截距式或点斜式。
注：（1）点斜式与斜截式是两种常见的直线方程形式，要注意在这两种形式中所要求直线的斜率存在。
（2）“截距”并非“距离”，可以是正的，也可以是负的，还可以是0。
例题精讲
考点一 直线的倾斜角和斜率
【例题1】（2017安徽马鞍山期末）直线x﹣y+3=0的倾斜角是（?? ）
A、30° B、45° C、60° D、135°
【答案】B 【考点】直线的倾斜角 【解析】【解答】解：设直线x﹣y+3=0的倾斜角的为θ，θ∈[0°，180°）． 直线方程变为y=x+3， ∴tanθ=1， ∴θ=45°． 故选：B． 【分析】利用直线的倾斜角与斜率的计算公式即可得出．
【变式训练1】已知点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x0 ， y0），且y0＜x0+2，则的取值范围是（ ）
A、[﹣， 0）? B、（﹣， 0） C、（﹣， +∞） D、（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）
考点二 求直线的方程
【例题2】（2017广西钦州钦州港期末）直线l过P（1，2），且A（2，3），B（4，﹣5）到l的距离相等，则直线l的方程是（?? ）
A、4x+y﹣6=0 B、x+4y﹣6=0 C、3x+2y﹣7=0或4x+y﹣6=0 D、2x+3y﹣7=0或x+4y﹣6=0
【答案】C 【考点】直线的一般式方程，两点间距离公式的应用 【解析】【解答】解 设所求直线为l，由条件可知直线l平行于直线AB或过线段AB的中点，（1）AB的斜率为 =﹣4，当直线l∥AB时，l的方程是y﹣2=﹣4（x﹣1），即 4x+y﹣6=0．（2）当直线l经过线段AB的中点（3，﹣1）时，l的斜率为 = ，l的方程是 y﹣2= （x﹣1），即3x+2y﹣7=0．故所求直线的方程为3x+2y﹣7=0或4x+y﹣6=0． 故选C． 【分析】由条件可知直线平行于直线AB或过线段AB的中点，当直线l∥AB时，利用点斜式求出直线方程；当直线经过线段AB的中点（2，3）时，易得所求的直线方程．
【变式训练2】（2017江西新余期末）过点（﹣1，3）且平行于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（?? ）
A、x﹣2y+7=0 B、2x+y﹣1=0 C、x﹣2y﹣5=0 D、2x+y﹣5=0
考点三 直线方程的综合应用
【例题3】已知点A（2，3），B（4，1），△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x﹣2y+2=0上．
求点C的坐标及S△ABC；
(2)若直线l'过点C且与x轴、y轴正半轴分别交于P、Q两点，则：
①求S△POQ的最小值及此时l'的方程； ②求|PC|?|QC|的最小值及此时l'的方程．
【答案】 （1）解：由题意可知，E为AB的中点，∴E（3，2）， ∵kAB=﹣1，∴kCE=1， ∴CE：y﹣2=x﹣3，即x﹣y﹣1=0． 由 得C（4，3）， ∴|AC|=|BC|=2，AC⊥BC， ∴S△ABC= =2． （2）解：①设l'的方程为 + =1（a＞0，b＞0），则 =1≥2 ， ∴ab≥48，∴S△POQ≥24，即S△POQ的最小值为24，此时a=8，b=6， ∴l'的方程为 =1； ②设直线的倾斜角为π﹣α，则|PC|?|QC|= = ， 当且仅当α=45°时，|PC|?|QC|的最小值为24，此时l'的方程为x+y﹣7=0． 【考点】直线的一般式方程 【解析】【分析】（1）利用中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出；联立直线方程可得交点，利用直角三角形的面积计算公式即可得出．（2）①设l'的方程为 + =1（a＞0，b＞0），则 =1≥2 ，即可求S△POQ的最小值及此时l'的方程；②设直线的倾斜角为π﹣α，则|PC|?|QC|= = ，即可求|PC|?|QC|的最小值及此时l'的方程．
【变式训练3】（2017湖北黄冈期末）在平面直角坐标系内，已知A（1，a），B（﹣5，﹣3），C（4，0）； 21·cn·jy·com
(1)当a∈（ ，3）时，求直线AC的倾斜角α的取值范围；
(2)当a=2时，求△ABC的BC边上的高AH所在直线方程l．
真题精析
1、（2015浙江）设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l，m（）
A、若l，则 B、若，则lm C、若l//，则// D、若//，则l//m
2、（2013?上海）直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（?? ）
A、（2，﹣3） B、（2，3） C、（﹣3，2） D、（3，2）
3、（2013?山东）过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（?? ）
A、2x+y﹣3=0 B、2x﹣y﹣3=0 C、4x﹣y﹣3=0 D、4x+y﹣3=0
4、（2013?新课标Ⅱ）已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（ ）
A、（0，1） B、 C、 D、
5、（2013?湖南）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（?? ） 21*cnjy*com
A、2 B、1 C、 D、
6、（2013?安徽）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1 ， x2 ， …，xn ， 使得 =…= ，则n的取值范围是（??? ）
A、{3，4} B、{2，3，4} C、{3，4，5} D、{2，3}
7、（2016?上海）已知平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1 ， l2的距离________．
8、（2016?上海）已知平行直线 ，则 的距离________.
9、（2017·山东）若直线 =1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为________．
10、（2014?四川）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|?|PB|的最大值是________．2-1-c-n-j-y
11、（2013?江苏）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y= （x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2 ，则满足条件的实数a的所有值为________．
模拟题精练
一、单选题
1、等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y-2=0与x-7y-4=0,原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（???）. 21世纪教育网版权所有
A、3 B、2 C、 D、
2、平行线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0的距离是（ ）
A、 B、2 C、 D、
3、直线l过点A（1，2），且不经过第四象限，则直线l的斜率的取值范围（ ）
A、[0，]?? B、[0，1] C、[0，2] D、（0，）
4、（2017广东省际名校模拟）已知动直线l0：ax+by+c﹣2=0（a＞0，c＞0）恒过点P（1，m）且Q（4，0）到动直线l0的最大距离为3，则 + 的最小值为（?? ）
A、 B、 C、1 D、9
5、（2017江西九校联考一模）已知A（1，2），B（2，11），若直线y=（m﹣ ）x+1（m≠0）与线段AB相交，则实数m的取值范围是（?? ）
www.21-cn-jy.com
A、[﹣2，0）∪[3，+∞） B、（﹣∞，﹣1]∪（0，6] C、[﹣2，﹣1]∪[3，6] D、[﹣2，0）∪（0，6]21教育网
6、直线x+2y﹣1=0的斜率是（?? ）
A、2 B、 C、﹣ D、1
7、（2017湖南湘西州模拟）已知点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x0 ， y0），且y0＜x0+2，则 的取值范围是（?? ）
A、[﹣ ，0） B、（﹣ ，0）?? C、（﹣ ，+∞） D、（﹣∞，﹣ ）∪（0，+∞）21cnjy.com
8、（2017湖南湘西州模拟）若分别为P（1，0）、Q（2，0），R（4，0）、S（8，0）四个点各作一条直线，所得四条直线恰围成正方形，则该正方形的面积不可能为（?? ）
A、 B、 C、 D、
9、（2017广东恵州期末）若直线 与直线2x+3y﹣6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围（?? ） 【版权所有：21教育】
A、 B、 C、 D、
10、（2017广东揭阳惠来一中期末）点 在直线l：ax﹣y+2=0上，则直线l的倾斜角为（?? ） 21*cnjy*com
A、30° B、45° C、60° D、120°
11、（2017江西赣州期末）已知点（1，﹣2）和（ ，0）在直线l：ax﹣y﹣1=0（a≠0）的两侧，则直线l的倾斜角的取值范围是（?? ）
A、（ ， ） B、（ ， ） C、（ ， ） D、（0， ）∪（ ，π）
二、填空题
12、（2016湖南湘西州花垣县边城高中模拟）过点（0，﹣1）且斜率为2的直线方程为________．
13、（2017江西赣州七校联考模拟）已知直线x+2y﹣1=0与直线2x+my+4=0平行，则它们之间的距离是________．2·1·c·n·j·y
14、（2017浙江冲刺卷（2））已知m∈R，若点M（x，y）为直线l1：my=﹣x和l2：mx=y+m﹣3的交点，l1和l2分别过定点A和B，则|MA|?|MB|的最大值为________．
15、（2017安徽马鞍山期末）点（0，2）关于直线l：x+y﹣1=0的对称点的坐标为________．
16、（2017江苏南京期末）直线3x﹣4y﹣12=0在x轴、y轴上的截距之和为________．
17、（2017江西赣州期末）△ABC中，已知A（﹣1，2），B（3，4），C（0，3），则AB边上的高CH所在直线的方程为________． 21·世纪*教育网
三、解答题
18、求经过直线l1：2x+3y﹣5=0，l2：3x﹣2y﹣3=0的交点且平行于直线2x+y﹣3=0的直线方程． www-2-1-cnjy-com
19、已知点A（﹣2，3），B（3，2），过点P（0，﹣2）的直线L与线段AB有公共点，求直线L的斜率k的取值范围．
20、已知A（2，1），B（0，2）且过点P（1，﹣1）的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．
四、综合题
21、求下列在直线l的方程(1)过点A（0，2），它的倾斜角为正弦值是 ；(2)过点A（2，1），它的倾斜角是直线l1：3x+4y+5=0的倾斜角的一半；(3)过点A（2，1）和直线x﹣2y﹣3=0与2x﹣3y﹣2=0的交点．
22、（2016安徽安庆期末）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
23、（2017四川资阳简阳期末）综合题。
(1)已知点A（﹣1，﹣2）和B（﹣3，6），直线l经过点P（1，﹣5）．且与直线AB平行，求直线l的方程 【来源：21·世纪·教育·网】
(2)求垂直于直线x+3y﹣5=0，且与点P（﹣1，0）的距离是 的直线m的方程．
2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
8.1直线与方程（答案）
知识回顾
1．直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；②规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；③范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)．
(2)直线的斜率
①定义：当直线l的倾斜角α≠时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条斜线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan_α；②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.
2．直线方程的五种形式
名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距、斜率
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率
y－y0＝k(x－x0)
两点式
过两点
＝
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
纵、横截距
＋＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
所有直线
3.线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式．www.21-cn-jy.com
例题精讲
考点一 直线的倾斜角和斜率
【变式训练1】已知点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x0 ， y0），且y0＜x0+2，则的取值范围是（ ）
A、[﹣， 0）? B、（﹣， 0） C、（﹣， +∞） D、（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）
【答案】D 【考点】直线的斜率 【解析】【解答】解：∵点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x0 ， y0）， ∴， 化为x0+3y0+2=0． 又y0＜x0+2， 设=kOM ， 当点位于线段AB（不包括端点）时，则kOM＞0，当点位于射线BM（不包括端点B）时，kOM＜﹣． ∴的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）． 故选：D． 【分析】由题意可得，线段PQ的中点为M（x0 ， y0）到两直线的距离相等，利用， 可得x0+3y0+2=0． 又y0＜x0+2，设=kOM ， 分类讨论：当点位于线段AB（不包括端点）时，当点位于射线BM（不包括端点B）时，即可得出． 2·1·c·n·j·y
考点二 求直线的方程
【变式训练2】（2017江西新余期末）过点（﹣1，3）且平行于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（?? ） www-2-1-cnjy-com
A、x﹣2y+7=0 B、2x+y﹣1=0 C、x﹣2y﹣5=0 D、2x+y﹣5=0
【答案】A 【考点】两条直线平行的判定，直线的一般式方程 【解析】【解答】解：由题意可设所求的直线方程为x﹣2y+c=0 ∵过点（﹣1，3） 代入可得﹣1﹣6+c=0 则c=7 ∴x﹣2y+7=0 故选A． 【分析】由题意可先设所求的直线方程为x﹣2y+c=0再由直线过点（﹣1，3），代入可求c的值，进而可求直线的方程 【出处：21教育名师】
考点三 直线方程的综合应用
【变式训练3】（2017湖北黄冈期末）在平面直角坐标系内，已知A（1，a），B（﹣5，﹣3），C（4，0）； 【版权所有：21教育】
(1)当a∈（ ，3）时，求直线AC的倾斜角α的取值范围；
(2)当a=2时，求△ABC的BC边上的高AH所在直线方程l．
【答案】（1）解：KAC= =﹣ ， a∈（ ，3），则KAC∈（﹣1，﹣ ）， k=tanα，又∵α∈[0，π]， ∴α∈（ ， ）； （2）解：KBC= = ， ∵AH为高，∴AH⊥BC， ∴KAH?KBC=﹣1， ∴KAH=﹣3； 又∵l过点A（1，2）， ∴l：y﹣2=﹣3（x﹣1）， 即3x+y﹣5=0． 【考点】直线的一般式方程 【解析】【分析】（1）求出AC的斜率，根据a的范围，求出AC的斜率的范围，从而求出倾斜角的范围即可；（2）求出BC的斜率，根据垂直关系求出AH的斜率，代入点斜式方程即可求出l．
真题精析
1、（2015浙江）设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l，m（）
A、若l，则 B、若，则lm C、若l//，则// D、若//，则l//m
【答案】A 【考点】直线的截距式方程，空间中直线与平面之间的位置关系 【解析】【解答】采用排除法，选项A中，平面与平面垂直的判定，故A正确；选项B中，当时，l，m可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C中，l//时，，可以相交；选项D中，//时，l，m也可以异面，故选A。 【分析】本题主要考察空间直线、平面的位置关系，解答本题时要根据空间直线、平面的位置关系，从定理、公理以及排除法等角度，对个选项的结论进行确认真假，本题属于容易题，重点考察学生的空间想象能力以及排除错误结论的能力。 21cnjy.com
2、（2013?上海）直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（?? ）
A、（2，﹣3） B、（2，3） C、（﹣3，2） D、（3，2）
【答案】D 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示，直线的倾斜角 【解析】【解答】解：由题意可得：直线2x﹣3y+1=0的斜率为k= ， 所以直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量 ?=（1， ），或（3，2） 故选D． 【分析】题意可得首先求出直线的斜率为：k= ，即可得到它的一个方向向量（1，k），再利用平面向量共线（平行）的坐标表示即可得出答案． 21*cnjy*com
3、（2013?山东）过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（?? ）
A、2x+y﹣3=0 B、2x﹣y﹣3=0 C、4x﹣y﹣3=0 D、4x+y﹣3=0
【答案】A 【考点】直线的一般式方程，圆的切线方程 【解析】【解答】解：因为过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然B、D选项不过（1，1），B、D不满足题意；另一个切点的坐标在（1，﹣1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足． 故选A． 【分析】由题意判断出切点（1，1）代入选项排除B、D，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可．
4、（2013?新课标Ⅱ）已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（ ）
A、（0，1） B、 C、 D、
【答案】 B 【考点】确定直线位置的几何要素，点到直线的距离公式 【解析】【解答】解：由题意可得，三角形ABC的面积为 =1， 由于直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣ ，0）， 由直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0， 故﹣ ≤0，故点M在射线OA上． 设直线y=ax+b和BC的交点为N，则由 可得点N的坐标为（ ， ）． ①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，故N（ ， ）， 把A、N两点的坐标代入直线y=ax+b，求得a=b= ． ②若点M在点O和点A之间，此时b＞ ，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于 ， 即 = ，即 = ，可得a= ＞0，求得 b＜ ， 故有 ＜b＜ ． ③若点M在点A的左侧，则b＜ ，由点M的横坐标﹣ ＜﹣1，求得b＞a． 设直线y=ax+b和AC的交点为P，则由 求得点P的坐标为（ ， ）， 此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于 ，即 ?（1﹣b）?|xN﹣xP|= ， 即 （1﹣b）?| ﹣ |= ，化简可得2（1﹣b）2=|a2﹣1|． 由于此时 b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2=|a2﹣1|=1﹣a2 ． 两边开方可得 （1﹣b）= ＜1，∴1﹣b＜ ，化简可得 b＞1﹣ ， 故有1﹣ ＜b＜ ． 再把以上得到的三个b的范围取并集，可得b的取值范围应是 ， 故选：B． 【分析】先求得直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣ ，0），由﹣ ≤0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得b= ；②若点M在点O和点A之间，求得 ＜b＜ ； ③若点M在点A的左侧，求得 ＞b＞1﹣ ．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果．21教育网
5、（2013?湖南）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（?? ）
A、2 B、1 C、 D、
【答案】D 【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程 【解析】【解答】解：建立如图所示的坐标系： 可得B（4，0），C（0，4），故直线BC的方程为x+y=4， △ABC的重心为（ ， ），设P（a，0），其中0＜a＜4， 则点P关于直线BC的对称点P1（x，y），满足 ， 解得 ，即P1（4，4﹣a），易得P关于y轴的对称点P2（﹣a，0）， 由光的反射原理可知P1 ， Q，R，P2四点共线， 直线QR的斜率为k= = ，故直线QR的方程为y= （x+a）， 由于直线QR过△ABC的重心（ ， ），代入化简可得3a2﹣4a=0， 解得a= ，或a=0（舍去），故P（ ，0），故AP= 故选D 【分析】建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P1的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，由P1 ， Q，R，P2四点共线可得直线的方程，由于过△ABC的重心，代入可得关于a的方程，解之可得P的坐标，进而可得AP的值．
6、（2013?安徽）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1 ， x2 ， …，xn ， 使得 =…= ，则n的取值范围是（??? ）
A、{3，4} B、{2，3，4} C、{3，4，5} D、{2，3}
【答案】B 【考点】直线的斜率 【解析】【解答】解：令y=f（x），y=kx， 作直线y=kx，可以得出2，3，4个交点， 故k= （x＞0）可分别有2，3，4个解． 故n的取值范围为2，3，4． 故选B． 【分析】由 表示（x，f（x））点与原点连线的斜率，结合函数y=f（x）的图象，数形结合分析可得答案．
7、（2016?上海）已知平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1 ， l2的距离________．
【答案】 【考点】两条平行直线间的距离 【解析】【解答】平行直线l1：2x+y﹣1=0，l2：2x+y+1=0，则l1 ， l2的距离 = ． 故答案为： ． 【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可．；本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力．21·cn·jy·com
8、（2016?上海）已知平行直线 ，则 的距离________.
【答案】 【考点】两条平行直线间的距离 【解析】【解答】利用两平行线间距离公式得 【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可．本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力．
9、（2017·山东）若直线 =1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为________．
【答案】8 【考点】基本不等式，基本不等式在最值问题中的应用，直线的一般式方程与直线的性质 【解析】【解答】解：直线 =1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则 + =1， 由2a+b=（2a+b）×（ + ）=2+ + +2=4+ + ≥4+2 =4+4=8， 当且仅当 = ，即a= ，b=1时，取等号， ∴2a+b的最小值为8， 故答案为：8． 【分析】将（1，2）代入直线方程，求得 + =1，利用“1”代换，根据基本不等式的性质，即可求得2a+b的最小值．
10、（2014?四川）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|?|PB|的最大值是________．
【答案】 5 【考点】点到直线的距离公式 【解析】【解答】解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0）， 动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3）， 注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点， 则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10． 故|PA|?|PB|≤ =5（当且仅当 时取“=”） 故答案为：5 【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|?|PB|的最大值．
11、（2013?江苏）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y= （x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2 ，则满足条件的实数a的所有值为________．
【答案】 ﹣1或 【考点】两点间的距离公式 【解析】【解答】解：设点P ，则|PA|= = = ， 令 ，∵x＞0，∴t≥2， 令g（t）=t2﹣2at+2a2﹣2=（t﹣a）2+a2﹣2， ①当a≤2时，t=2时g（t）取得最小值g（2）=2﹣4a+2a2= ，解得a=﹣1； ②当a＞2时，g（t）在区间[2，a）上单调递减，在（a，+∞）单调递增，∴t=a，g（t）取得最小值g（a）= a2﹣2，∴a2﹣2= ，解得a= ． 综上可知：a=﹣1或 ． 故答案为﹣1或 ． 【分析】设点P ，利用两点间的距离公式可得|PA|，利用基本不等式和二次函数的单调性即可得出a的值．
模拟题精练
一、单选题
1、等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y-2=0与x-7y-4=0,原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（???）.
A、3 B、2 C、 D、
【答案】A 【考点】两直线的夹角与到角问题 【解析】【分析】， ， 设底边为由题意，到所成的角等于到所成的角于是有再将A、B、C、D代入验证得正确答案是A。
2、平行线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0的距离是（ ）
A、 B、2 C、 D、
【答案】B 【考点】两条平行直线间的距离 【解析】【解答】解：由直线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0平行，得m=8． ∴直线6x+my+2=0化为6x+8y+2=0，即3x+4y+1=0． ∴平行线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0的距离是． 故选：B． 【分析】利用两直线平行求得m的值，化为同系数后由平行线间的距离公式得答案．
3、直线l过点A（1，2），且不经过第四象限，则直线l的斜率的取值范围（ ）
A、[0，]?? B、[0，1] C、[0，2] D、（0，）
【答案】C 【考点】确定直线位置的几何要素 【解析】【解答】解：∵直线l过点A（1，2）， ∴当直线的倾斜角为0°，斜率k=0； 当直线经过原点时，斜率k′=2， 当直线在如图的区域时不经过第四象限， ∴直线l的斜率的取值范围为[0，2]， 故选：C 【分析】斜率公式结合图像即可．
4、（2017广东省际名校模拟）已知动直线l0：ax+by+c﹣2=0（a＞0，c＞0）恒过点P（1，m）且Q（4，0）到动直线l0的最大距离为3，则 + 的最小值为（?? ）
A、 B、 C、1 D、9
【答案】B 【考点】点到直线的距离公式 【解析】【解答】解：动直线l0：ax+by+c﹣2=0（a＞0，c＞0）恒过点P（1，m），∴a+bm+c﹣2=0． 又Q（4，0）到动直线l0的最大距离为3， ∴ =3，解得m=0． ∴a+c=2． 则 + = （a+c） = ，当且仅当c=2a= 时取等号． 故选：B． 【分析】由题意可得：可得a+bm+c﹣2=0．又Q（4，0）到动直线l0的最大距离为3，可得 =3，解得m=0．a+c=2．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
5、（2017江西九校联考一模）已知A（1，2），B（2，11），若直线y=（m﹣ ）x+1（m≠0）与线段AB相交，则实数m的取值范围是（?? ）
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A、[﹣2，0）∪[3，+∞） B、（﹣∞，﹣1]∪（0，6] C、[﹣2，﹣1]∪[3，6] D、[﹣2，0）∪（0，6]【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】 C 【考点】直线的斜率，两条直线的交点坐标 【解析】【解答】解：由题意得： 两点A（1，2），B（2，11）分布在直线y=（m﹣ ）x+1（m≠0）的两侧， ∴（m﹣ ﹣2+1）[2（m﹣ ）﹣11+1]≤0， 解得：﹣2≤m≤﹣1或3≤m≤6， 故选：C． 【分析】由题意知，两点A，B分布在直线的两侧，利用直线两侧的点的坐标代入直线的方程中的左式，得到的结果为异号，得到不等式，解之即得m的取值范围
6、直线x+2y﹣1=0的斜率是（?? ）
A、2 B、 C、﹣ D、1
【答案】 C 【考点】直线的斜率 【解析】【解答】解：直线x+2y﹣1=0化为y=﹣ x+ ． 其斜率为﹣ ． 故选C． 【分析】直线x+2y﹣1=0化为斜截式y=﹣ x+ ，即可得出斜率．
7、（2017湖南湘西州模拟）已知点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x0 ， y0），且y0＜x0+2，则 的取值范围是（?? ）
A、[﹣ ，0） B、（﹣ ，0）?? C、（﹣ ，+∞） D、（﹣∞，﹣ ）∪（0，+∞）
【答案】D 【考点】直线的斜率 【解析】【解答】解：∵点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x0 ， y0）， ∴ ，化为x0+3y0+2=0． 又y0＜x0+2， 设 =kOM ， 当点位于线段AB（不包括端点）时，则kOM＞0，当点位于射线BM（不包括端点B）时，kOM＜﹣ ． ∴ 的取值范围是（﹣∞，﹣ ）∪（0，+∞）． 故选：D． 【分析】由题意可得，线段PQ的中点为M（x0 ， y0）到两直线的距离相等，利用 ，可得x0+3y0+2=0． 又y0＜x0+2，设 =kOM ， 分类讨论：当点位于线段AB（不包括端点）时，当点位于射线BM（不包括端点B）时，即可得出．
8、（2017湖南湘西州模拟）若分别为P（1，0）、Q（2，0），R（4，0）、S（8，0）四个点各作一条直线，所得四条直线恰围成正方形，则该正方形的面积不可能为（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】C 【考点】直线的两点式方程 【解析】【解答】解：如果过点P（1，0），Q（2，0），R（4，0），S（8，0）作四条直线构成一个正方形， 过P点的必须和过Q，R，S的其中一条直线平行和另外两条垂直， 假设过P点和Q点的直线相互平行时，如图， 设直线PC与x轴正方向的夹角为θ，再过Q作它的平行线QD，过R、S作它们的垂线RB、SC，过点A作x轴的平行线分别角PC、SC于点M、N， 则AB=AMsinθ=PQsinθ=sinθ，AD=ANcosθ=RScosθ=4cosθ， 因为AB=AD，所以sinθ=4cosθ，则tanθ=4， 所以正方形ABCD的面积S=AB?AD=4sinθcosθ= = = ， 同理可求，当直线PC和过R的直线平行时正方形ABCD的面积S为 ， 当直线PC和过S点的直线平行时正方形ABCD的面积S为 ， 故选：C． 【分析】根据题意画出图形，由图形和同角三角函数的基本关系求出正方形面积．
9、（2017广东恵州期末）若直线 与直线2x+3y﹣6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】B 【考点】直线的斜率，两条直线的交点坐标 【解析】【解答】解：联立两直线方程得： ， 将①代入②得：x= ③，把③代入①，求得y= ， 所以两直线的交点坐标为（ ， ）， 因为两直线的交点在第一象限，所以得到 ， 由①解得：k＞﹣ ；由②解得k＞ 或k＜﹣ ，所以不等式的解集为：k＞ ， 设直线l的倾斜角为θ，则tanθ＞ ，所以θ∈（ ， ）． 方法二、∵直线l恒过定点（0，﹣ ），作出两直线的图象．， 设直线2x+3y﹣6=0与x轴交于点A，与y轴交于点B．从图中看出， 斜率kAP＜k＜+∞，即 ＜k＜+∞， 故直线l的倾斜角的取值范围应为（ ， ）． 故选B． 【分析】联立两直线方程到底一个二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到交点的坐标，根据交点在第一象限得到横纵坐标都大于0，联立得到关于k的不等式组，求出不等式组的解集即可得到k的范围，然后根据直线的倾斜角的正切值等于斜率k，根据正切函数图象得到倾斜角的范围． 2-1-c-n-j-y
10、（2017广东揭阳惠来一中期末）点 在直线l：ax﹣y+2=0上，则直线l的倾斜角为（?? ） 21教育名师原创作品
A、30° B、45° C、60° D、120°
【答案】C 【考点】直线的倾斜角 【解析】【解答】解：点 在直线l：ax﹣y+2=0上， 则 a﹣5+2=0， 解得a= ， 则直线l的斜率为 ， 则线l的倾斜角为60°， 故选：C 【分析】由直线方程求出直线的斜率，即得倾斜角的正切值，从而求出倾斜角．
11、（2017江西赣州期末）已知点（1，﹣2）和（ ，0）在直线l：ax﹣y﹣1=0（a≠0）的两侧，则直线l的倾斜角的取值范围是（?? ）
A、（ ， ） B、（ ， ） C、（ ， ） D、（0， ）∪（ ，π）
【答案】D 【考点】直线的倾斜角 【解析】【解答】解：设直线l的倾斜角为θ∈[0，π）．点A（1，﹣2），B（ ，0）． 直线l：ax﹣y﹣1=0（a≠0）经过定点P（0，﹣1）． kPA= =﹣1，kPB= = ． ∵点（1，﹣2）和（ ，0）在直线l：ax﹣y﹣1=0（a≠0）的两侧， ∴kPA＜a＜kPB ， ∴ ，tanθ≠0． 解得 ， ． 故选：D． 【分析】设直线l的倾斜角为θ∈[0，π）．点A（1，﹣2），B（ ，0）．直线l：ax﹣y﹣1=0（a≠0）经过定点P（0，﹣1）．可得kPA=﹣1，kPB= ．由点（1，﹣2）和（ ，0）在直线l：ax﹣y﹣1=0（a≠0）的两侧，可得kPA＜a＜kPB ， ，tanθ≠0．即可得出． 21*cnjy*com
二、填空题
12、（2016湖南湘西州花垣县边城高中模拟）过点（0，﹣1）且斜率为2的直线方程为________．
【答案】 2x﹣y﹣1=0 【考点】直线的斜率，直线的点斜式方程 【解析】【解答】解：过点（0，﹣1）且斜率为2的直线方程为： y+1=2x， 整理，得2x﹣y﹣1=0． 故答案为：2x﹣y﹣1=0． 【分析】利用点斜式方程求解即可．
13、（2017江西赣州七校联考模拟）已知直线x+2y﹣1=0与直线2x+my+4=0平行，则它们之间的距离是________．
【答案】 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系 【解析】【解答】解：由直线x+2y﹣1=0与直线2x+my+4=0平行，可得 ，∴m=4， 直线2x+4y+4=0可化为x+2y+2=0，∴d= = ． 故答案为 ． 【分析】由直线平行易得m值，可得方程，代入平行线间的距离公式可得．
14、（2017浙江冲刺卷（2））已知m∈R，若点M（x，y）为直线l1：my=﹣x和l2：mx=y+m﹣3的交点，l1和l2分别过定点A和B，则|MA|?|MB|的最大值为________．
【答案】5 【考点】两点间距离公式的应用 【解析】【解答】解：动直线l1：my=﹣x过定点A（0，0）， 动直线l2：mx=y+m﹣3化为m（x﹣1）﹣（y﹣3）=0，得x=1，y=3．过定点B（1，3）． ∵此两条直线互相垂直， ∴|MA|2+|PM|2=|AB|2=10， ∴10≥2|MA|?|MB|， ∴|MA|?|PM≤5， 当且仅当|MA|=|MB|时取等号． 故答案为：5． 【分析】求出定点A，B的坐标，由于此两条直线互相垂直，可得|MA|2+|PM|2=|AB|2=10，再利用基本不等式的性质即可得出． 21·世纪*教育网
15、（2017安徽马鞍山期末）点（0，2）关于直线l：x+y﹣1=0的对称点的坐标为________．
【答案】（﹣1，1） 【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程 【解析】【解答】解：设点P（0，2）关于直线x+y﹣1=0的对称点P′的坐标（a，b）， ∴ ，即a﹣b=﹣2， 且 + ﹣1=0，即a+b=0， 解得a=﹣1，b=1，∴点P′的坐标为（﹣1，1）． 故答案为：（﹣1，1） 【分析】设出对称的点的坐标（a，b），利用点（0，2）与对称的点的连线与对称轴垂直，以及点（0，2）与对称的点的连线的中点在对称轴上，解出对称点的坐标
16、（2017江苏南京期末）直线3x﹣4y﹣12=0在x轴、y轴上的截距之和为________．
【答案】1 【考点】直线的截距式方程 【解析】【解答】解：直线3x﹣4y﹣12=0化为截距式： =1， ∴直线3x﹣4y﹣12=0在x轴、y轴上的截距之和=4﹣3=1． 故答案为：1． 【分析】直线3x﹣4y﹣12=0化为截距式： =1，即可得出．
17、（2017江西赣州期末）△ABC中，已知A（﹣1，2），B（3，4），C（0，3），则AB边上的高CH所在直线的方程为________．
【答案】2x+y﹣3=0 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系 【解析】【解答】解：kAB= = ，∴kCH=﹣2． ∴AB边上的高CH所在直线的方程为：y=﹣2x+3． 故答案为：2x+y﹣3=0． 【分析】利用斜率计算公式可得：kAB ， 利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得kCH ． 再利用点斜式即可得出．
三、解答题
18、求经过直线l1：2x+3y﹣5=0，l2：3x﹣2y﹣3=0的交点且平行于直线2x+y﹣3=0的直线方程． 【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】解：由，得， ∴直线l1 与l2的交点坐标（，）， 再设平行于直线2x+y﹣3=0的直线方程为：2x+y+c=0， 把（，）代入所求的直线方程， 得 c=-，故所求的直线方程为：2x+y-=0． 【考点】直线的点斜式方程，两条直线的交点坐标 【解析】【分析】先求出直线l1 与l2的交点坐标，设出所求的直线方程2x+y+c=0，把交点坐标代入求出c，进而得到所求的直线方程．
19、已知点A（﹣2，3），B（3，2），过点P（0，﹣2）的直线L与线段AB有公共点，求直线L的斜率k的取值范围．
【答案】解：kPA= =﹣ ，kPB= = ， ∵过点P（0，﹣2）的直线L与线段AB有公共点， ∴ 或k ． ∴直线L的斜率k的取值范围是 ∪ 【考点】直线的斜率 【解析】【分析】利用斜率的计算公式及其意义即可得出．
20、已知A（2，1），B（0，2）且过点P（1，﹣1）的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．
【答案】解：由已知， ， ． 由图可知，过点P（1，﹣1）的直线l与线段AB有公共点， ∴直线l的斜率k的取值范围是：k≤﹣3，或k≥2． 【考点】直线的斜率 【解析】【分析】分别求出直线PA，PB的斜率，kPA ， kPB ， 由直线l与线段AB有公共点，结合图形可得：k＜kPB ， 或k＞kPA ．
四、综合题
21、求下列在直线l的方程(1)过点A（0，2），它的倾斜角为正弦值是 ；(2)过点A（2，1），它的倾斜角是直线l1：3x+4y+5=0的倾斜角的一半；(3)过点A（2，1）和直线x﹣2y﹣3=0与2x﹣3y﹣2=0的交点．
【答案】 （1）解：设直线l的倾斜角为α， 则sinα= ，∴cosα=± = ， tanα= =± ， 由斜截式得y=± x+2， 即3x﹣4y+8=0或3x+4y﹣8=0 （2）解：设直线l与l1的倾斜角分别为α、β，则α= ， 因tanβ＜0，所以 ＜β＜π，故 ＜α＜ ，所以tanα＞0． 又tanβ=﹣ ，则﹣ = ，解得tanα=3，或tanα=﹣ （舍去）， 由点斜式得y﹣1=3（x﹣2），即3x﹣y﹣5=0 （3）解：解方程组 ，解得 ， 即两条直线的交点坐标为（﹣5，﹣4）． 由两点式得 = ，即5x﹣7y﹣3=0 【考点】直线的斜率 【解析】【分析】（1）根据同角的三角函数的关系求出斜率，再根据斜截式求出直线方程；（2）求出3x+4y+5=0的倾斜角，利用二倍角公式求出过点A（2，1）的直线倾斜角以及斜率，利用点斜式求出直线方程；（3）求出直线x﹣2y﹣3=0与2x﹣3y﹣2=0的交点，利用两点式求出直线方程即可．
22、（2016安徽安庆期末）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：令x=0，得y=a﹣2．? 令y=0，得 （a≠﹣1）． ∵l在两坐标轴上的截距相等，∴ ，解之，得a=2或a=0． ∴所求的直线l方程为3x+y=0或x+y+2=0 （2）解：直线l的方程可化为 y=﹣（a+1）x+a﹣2．∵l不过第二象限， ∴ ，∴a≤﹣1．∴a的取值范围为（﹣∞，﹣1] 【考点】确定直线位置的几何要素，直线的截距式方程，过两条直线交点的直线系方程 【解析】【分析】（1）先求出直线l在两坐标轴上的截距，再利用 l在两坐标轴上的截距相等 建立方程，解方程求出a的值，从而得到所求的直线l方程．（2）把直线l的方程可化为 y=﹣（a+1）x+a﹣2，由题意得 ，解不等式组求得a的范围．
23、（2017四川资阳简阳期末）综合题。
(1)已知点A（﹣1，﹣2）和B（﹣3，6），直线l经过点P（1，﹣5）．且与直线AB平行，求直线l的方程
(2)求垂直于直线x+3y﹣5=0，且与点P（﹣1，0）的距离是 的直线m的方程．
【答案】（1）解：∵A（﹣1，﹣2），B（﹣3，6）， ∴kAB=﹣4，直线l又过点P（1，﹣5）， 故直线方程是：y+5=﹣4（x﹣1）， 即直线l的方程为：4x+y+1=0； （2）解：∵直线x+3y﹣5=0， 由已知条件可得km=3， 则设直线m的方程为y=3x+b， 又与点P（﹣1，0）的距离是 ， 则 ， 得到b=9或﹣3， ∴直线m的方程为3x﹣y+9=0或3x﹣y﹣3=0． 【考点】待定系数法求直线方程 【解析】【分析】（1）求出AB的斜率，代入点斜式方程整理即可；（2）求出直线m的斜率，设出直线方程，根据点到直线的距离，求出直线方程即可．
