2.2.2等差数列的性质
一、学习目标
在理解等差数列定义、如何判定等差数列及学习等差数列通项公式的基础上,掌握等差中项的定义及应用,明确等差数列的性质,并运用其进行一些等差数列的相关计算.21教育网
合作学习
二、设计问题,创设情境
在上一节我们已经学习了等差数列,掌握了等差数列的定义、通项公式与公差,作为一类特殊的数列,是否具有某些特殊的性质?又如何去证明或判定一个数列是等差数列呢?21·cn·jy·com
三、信息交流,揭示规律
1.对于三个数成等差数列,我们定义等差中项
在如下的两个数之间,插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列.
(1)2,( ),4; (2)-12,( ),0; (3)a,( ),b.www.21-cn-jy.com
2.等差中项定义
由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时A叫做a与b的等差中项.
符号表示:2A=a+b?A= .?
【思考】(1)在等差数列{an}中,是否有2an+1=an+an+2成立?等差数列又可以怎么叙述?
从第2项起,每一项是它的前一项和后一项的等差中项.
(2)等差中项可应用于判断一个数列是否为等差数列.
3.等差数列的性质
问题1:列举几个数列,观察数列的特点,研究公差与数列单调性的关系.
性质1:若数列{an}是等差数列,公差为d.若d>0,则{an}是递增数列;若d<0,
则{an}是递减数列;若d=0,则{an}是常数列.
问题2:探究等差数列{an}中任意两项an,am之间的关系.它们之间的关系可表示为 .?
由此也可得到等差数列通项公式的另一种表示:an=am+(n-m)d 公差的另一种表示:d=,
性质2:an=am+(n-m)d,d=.
问题3:在等差数列{an}中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq一定成立吗?特别地,m+n=2k,则am+an=2ak成立吗?
性质3:在等差数列{an}中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.
四、运用规律,解决问题
4.已知数列{an}的通项公式为an=pn+q,其中p,q为常数,那么这个数列一定是等差数列吗?证明你的结论.21世纪教育网版权所有
5.已知等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2·a4·a6=45,求数列{an}的通项公式.2·1·c·n·j·y
五、变式训练,深化提高
6.三个数成等差数列,其和为15,其平方和为83,求此三个数.
7.已知a,b,c成等差数列,求证:b+c,c+a,a+b也成等差数列.
六、反思小结,观点提炼
参考答案
三、信息交流,揭示规律； 1.(1)3 (2)-6 (3) 2.问题1:略 问题2:an=am+(n-m)d
分析:证明等式,可以考虑从等号的两侧证明,能够利用的是前面掌握的等差数列的通项公式.
解:由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,得
am=a1+(m-1)d. an-am=[a1+(n-1)d]-[a1+(m-1)d]=(n-m)d, ∴an=am+(n-m)d. 即等式成立.
问题3:am+an=ap+aq一定成立;当m+n=2k时,am+an=2ak成立.
四、运用规律,解决问题
4.证明:取数列{an}中的任意相邻两项an与an-1(n>1),
求差得an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+q)=p,
它是一个与n无关的常数,所以{an}是等差数列.
5.解:∵a1+a7=2a4,∴a1+a4+a7=3a4=15,由此得到a4=5.又∵a2·a4·a6=45,∴a2a6=9,
即(a4-2d)(a4+2d)=9,∴(5-2d)(5+2d)=9.得d=±2.
当d=2时,an=a4+(n-4)d=2n-3; 当d=-2时,an=a4+(n-4)d=13-2n.21cnjy.com
五、变式训练,深化提高
6.解:设这三个数分别为x-d,x,x+d. 则解得；∴相应地,所求三个数为3,5,7或7,5,3.
7.证明:∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c. ∴(b+c)+(a+b)=a+2b+c=a+(a+c)+c=2(a+c),
∴b+c,c+a,a+b成等差数列.
说明:如果a,b,c成等差数列,常化成2b=a+c的形式去运用;反之,如果求证a,b,c成等差数列,
常改证2b=a+c成立.
2.2.2等差数列的性质
一、教学目标：
1.明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式,
2.能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能运用等差数列的性质解决某些问题。
二、教学重点难点：
教学重点：等差数列的定义及性质的理解与应用
教学难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题
三、教学策略及设计
“数学教学是数学活动的教学”，“数学活动是思维的活动”，新课标也在倡导独立自主，合作交流，积极主动，勇于探索的学习方式。基于这种理念的指导，在教法上采用探究发现式课堂教学模式，在学法上以学生独立自主和合作交流为前提， 重视学生在学习过程中，能否运用等差数列的定义发现和推导等差数列的性质。设计流程如下:21世纪教育网版权所有
四、教学过程：
教学环节
教学内容
师生活动
设计意图
复习旧知识，引入新知
归纳抽象形成概念
比较分析，深化认识
复习引入；
首先回忆一下上节课所学主要内容：
（1）．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）
(2)．等差数列的通项公式：
(或=pn+q
(p、q是常数))
(3)．有几种方法可以计算公差d ① d=－ ② d= ③ d=
学生回答，引导温故知新。
由复习引入，通过数学知识的内部发现问题。
二、新课学习：
问题1：如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件？
由定义得A-=-A ，
即：
反之，若，则A-=-A
由此可可得：
成等差数列
探究1. 等差数列的常用性质
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则有下列性质：
(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，
则am＋an＝ap＋aq.
(2)若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，
则am＋an＝2ak. 请你给出证明．
教师引导，学生观察，分析，比较，并推导出等差数列的中项性质。
培养学生分析，抽象能力、感受等差数列的中项性质发现和推导过程。
培养学生善于联想，体会知识间的内在联系，从而加深对等差数列及其性质的理解。
3、运用性质，解决问题。
例1.在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，
求a3＋a6＋a9的值．
小结 解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{an}的性质：若m＋n＝p＋q＝2w，则am＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q，w都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想
例 2. 在等差数列{}中，若+=9, =7, 求 , .
分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……
P44例2
问：已知数列{}是等差数列
（1）是否成立？呢？为什么？
（2）是否成立？据此你能得到什么结论？
（3）是否成立？？你又能得到什么结论？
探究：已知等差数列{an}、{bn}分别
是公差为d和d′，则由{an}及{bn}生
成的“新数列”具有以下性质，请你补
充完整．
①{an}是等差数列，则a1，a3，a5，…仍成等差数列(首项不一定选a1)，公差为 ；
②下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为 的等差数列；
③数列{λan＋b}(λ，b是常数)是公差为 的等差数列；
④数列{an＋bn}仍是等差数列，公差为 ；
⑤数列{λan＋μbn}(λ,μ是常数)仍是等差数列,公差为 .
引导学生共同分析解决问题，强化对等差数列性质的理解和应用。
例1.解 ∵a1＋a4＋a7＝(a1＋a7)＋a4＝3a4＝39，
∴a4＝13，∵a2＋a5＋a8＝(a2＋a8)＋a5＝3a5＝33.∴a5＝11，∴d＝a5－a4＝－2.∵a3＋a6＋a9＝(a3＋a9)＋a6＝2a6＋a6＝3a6
＝3(a5＋d)＝3(11－2)＝27.
教师引导学生回答，作出评价
课堂练习
1.在等差数列中，已知，，求首项与公差
2. 在等差数列中, 若 求
3.正项数列{an}中，a1＝1，an＋1－＝an＋.
(1)数列{}是否为等差数列？说明理由． (2)求an.
学生分组讨论自主探究，教师巡视指导。
引导学生通过自主分析思考、合作交流解决问题，培养良好的学习习惯和能力。
五、课堂小结：
1．成等差数列
2．在等差数列中，
m+n=p+q
(m, n, p, q ∈N )
引导学生学会自己总结，让学生进一步体会知识的形成、发展、完善的过程.
课后作业
课本P40 习题2.2 A组
第4，5，B 组 第2题
2.配套练习
学生课后完成.
进一步对所学知识巩固深化。
课件29张PPT。等差数列（第二课时）
等差数列的性质温故知新想一想
若am＋an＝ap＋aq，则一定有m＋n＝p＋q吗？
提示：不一定．若{an}是常数列，不一定有m＋n＝p＋q.归纳小结
⑵如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝( )
A．14 B．21 C．28 D．35
解析：选C.∵a3＋a4＋a5＝12，
∴3a4＝12，则a4＝4，
又a1＋a7＝a2＋a6＝a3＋a5＝2a4，
故a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.A C 跟踪训练2.（1）2.（2）跟踪训练跟踪训练跟踪训练合作探究探究点二 三项数列问题①若有三个数成等差数列，则一般设为a－d，a，a＋d.
②若有四个数成等差数列，则一般设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.
③若有五个数成等差数列，则一般设为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.名师点睛1．已知a，b，c成等差数列，那么二次函数
y＝ax2＋2bx＋c的图象与x轴交点的个 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
跟踪训练解析：由于2b＝a＋c，
则4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0，故选D.
答案：D2．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．跟踪训练跟踪训练跟踪训练名师点睛跟踪训练课 堂 小 结 课后作业
1.课本P40 习题2.2 A组 第4，5，
B 组 第2题
2.配套练习 课件15张PPT。等差数列的性质等
差
数
列等差数列的定义定义注意事项等差数列的通项推导累加法等差中项概念性质典题剖析题型一：等差数列的简单判定题型二：等差中项的应用 例2：在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．题型三：等差数列的推理与证明技巧传播技巧传播陷阱规避【易错典例】等差数列
