第4节 等比数列
【思维导图】
【微试题】
1. 已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则=（ ）
A. B. C. D.2 21世纪教育网版权所有
【答案】B
2.对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是（ ）
A. a1，a3，a9成等比数列 B. a2，a3，a6成等比数列21教育网
C. a2，a4，a8成等比数列 D. a3，a6，a9成等比数列21cnjy.com
【答案】D
3. 在等比数列{an}中，若a3a5a7a9a11＝32，则的值为 ( )
A．4 B．2 C．－2 D．－421·cn·jy·com
【答案】B
4. 数列{an}中，a1=2,a2=3,且{anan+1}是以3为公比的等比数列，记bn=a2n-1+a2n (n∈N*).
(1)求a3,a4,a5,a6的值；
（2）求证：{bn}是等比数列.
【答案】（1）a3==6，a4==9，a5==18，a6==27
【解析】解： （1）∵{anan+1}是公比为3的等比数列，
∴anan+1=a1a2·3n-1=2·3n，
∴a3==6，a4==9，
a5==18，a6==27.
（2）证明 ∵{anan+1}是公比为3的等比数列，
∴anan+1=3an-1an，即an+1=3an-1，
∴a1，a3，a5,…，a2n-1，…与a2,a4,a6，…，a2n，…都是公比为3的等比数列.
∴a2n-1=2·3n-1,a2n=3·3n-1，
∴bn=a2n-1+a2n=5·3n-1.
∴==3，故{bn}是以5为首项，3为公比的等比数列.
2.4 等比数列（第1课时）
一、学习目标：1理解等比数列的定义,会判断数列是否是等比数列；
2理解等比数列的通项公式的推导思想，
3掌握等比数列的通项公式并能用公式求值，掌握等比中项。
二、自主学习
1．等比数列的定义：如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的比等于 ，那么这个数列 就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用表示．即：，则称数列为等比数列．21世纪教育网版权所有
2．设等比数列的首项是，公比是，则通项式 ．
推导：由定义得：
将这个式子的等号两边分别相乘，得： ，即
3.等比数列的相关性质:
若是等比数列，则；
若是等比数列，，当时，
特别地，当时，
若是等比数列，则下标成等差数列的子列构成等比数列；
两个等比数列与的积、商、倒数的数列、、仍为等比数列．
三、自我检测
1已知等比数列中，，则=
2. ___________
3 等比数列中，，=，则 _______________-
4 等比数列中，，=，则的等比中项为 ________
5已知等比数列中，
6在由正数组成的等比数列中,则_
四、自研自悟；
1、已知数列的通项公式为，试问这个数列是等比数列吗？
2、等比数列
在4与之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数。
五、自练自提
1、已知等比数列
2．已知为等比数列，，则的通项公式为 ．
3.在等比数列中，，则
4.在等比数列中， ．
5．等比数列中，（1），，求与；（2），，求；
选作；已知数列的前n项和为，求证：是等比数列
2.4 等比数列（第1课时）
一、教学目标：
知识与技能目标：等比数列的定义；2.等比数列的通项公式．
过程与能力目标：明确等比数列的定义；2.掌握等比数列的通项公式，
会解决知道，，，n中的三个，求另一个的问题．
情感态度与价值观?1.通过生活中的大量实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力;?21世纪教育网版权所有
2.通过对有关实际问题的解决，体现数学 与实际生活的密切联系，激发学生学习的?兴趣.
教学重点：1.等比数列概念的理解与掌握； 2.等比数列的通项公式的推导及应用．
教学难点：等差数列＂等比＂的理解、把握和应用．
三. 教法、学法
本课采用“探究—类比—发现”教学模式． 教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导.
学生的学法突出探究、类比、发现与交流.
五.教学过程
教学过程设计为六个教学环节：（如下图）
六、教学过程：
教学环节
教学内容
师生活动
设计意图
复习旧知识，引入新知
归纳抽象形成概念
比较分析，深化认识
一、温故知新，提出问题
1、回顾等差数列的定义；
2.观察下列数列；
（1）1、2、4、8、16……
（2）由一句文言文引出一个数列；
1、 、、、……
1、创设学习情境。
2、激发学生学习的兴趣。
由复习引入，通过数学知识的内部发现问题。
二、知识探究：
[问题1.能找这些数列的特点吗？
( 1 ) 2，22，23，24，…
（2）1、、…()n-1…
通过观察，发现，探究等比数列的特点，不断培养创新能力．（创新是发展的不竭动力）
定义；一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项比等于同一个常数，这个数列就叫等比数列。
问题2. 等比数列的定义用数学表达式该怎么表示吗？
（常数）
问题2.(1) 在等比数列｛an｝中、公比为q，通项公式能用a1、和q，n表示an吗？
方法一：（不完全归纳法）根据等比数列的定义则an+1=anq
这样可求得ａ2ａ3, ａ4,... ａn
a2=a1q
a3=a2 q= (a1q) q= a1q2
a4=a3q= （a1q2)q=a1q3
……an=a1qn-1
方法二：（叠乘法）根据等比数列的定义得：=q ，=q，=q, ……=q
(观察上述有几个等式？我们该如何处理哪？)
把n-1个式子两边分别相乘，得
···…=ｑn-1整理得
， an=a1qn-1
培养学生观察、思维的能力。借助黑板与多媒体增强学生感性认识。
引导学生类比等差数列的定义，得出等比数列的定义，并理解剖析等比数列的定义。
（1）学生在教师的引导下,分析这几个等式怎样处理能消去一些项,从而得到有关a1、和q，n,an 式子。同时认识一下叠乘法美妙。（2）学生在教师的引导下，观察归纳，猜想，得出公式，进一步了解不完全归纳法。
通过引导，分析，观察，培养发现问题、分析问题、解决问题的能力．从而了解叠乘法，不完全归纳法两种推导思路。
培养学生分析，抽象能力、感受等比数列发现和推导过程。
培养学生善于联想，体会知识间的内在联系，从而加深对等差数列及其性质的理解。
四、性质应用、讲练结合
例1. 在等比数列 {an } 中, a4 = 27,q= - 3,求an
例2. 已知等比数列｛an｝中，a5=20 , a15=5 , 求a20.
强化1. 已知等比数列｛an｝中 , a2=18 , a4=8 , 求a1和q.
强化2 9是等比数列，，..............的第几项？
引导学生共同分析解决问题，熟悉并强化公式的理解和应用。
使同学能够熟练灵活的运用公式，能运用公式。
课堂练习
1．已知下列各数列：
①－1，－2，－4，－8；
②1，－，3，－3；
③a，a，a，a；
④，，，.
其中成等比数列的是( )
A．①②③ B．①②
C．①②④ D．①②③④
2．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
3．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )
A．，，成等比数列
B．，，成等比数列
C．，，成等比数列
D．，，成等比数列
4．在等比数列中，a1＝，an＝，q＝，则项数n为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
5．设＝2，数列{1＋2}是公比为2的等比数列，则等于( )
A．31.5 B．160 C．79.5 D．159.5
学生分组讨论自主探究，教师巡视指导，作出评价。
引导学生通过自主分析思考、合作交流解决问题，培养良好的学习习惯和能力。
五、课堂小结：
让学生从知识，数学思想，方法三方面进行总结。
知识：（１）等比数列的 定义。
（2）等比数列的通项公式。
数学思想：函数思想，方程思想。
方法：（1）不完全归纳法。
（2）叠乘法
引导学生学会自己总结，让学生进一步体会知识的形成、发展、完善的过程.
课后作业
课本P53 习题2.4
A 组 第1、2题
2.配套练习
学生课后完成.
进一步对所学知识巩固深化。
2.4 等比数列（第1课时）
一、选择题：
1．已知{an}是等比数列，a3＝2，a6＝，则公比q＝ ( D )
A．－ B．－2 C．2 D．21教育网
【答案】D
【解析】 由条件得∵a1≠0，q≠0，∴q3＝，∴q＝.
2．互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝ ( D )
A．4 B．2 C．－2 D．－421·cn·jy·com
【答案】D
【解析】由题意知消去a得4b2－5bc＋c2＝0，∵b≠c，∴c＝4b，∴a＝－2b，
代入a＋3b＋c＝10中解得b＝2，∴a＝－4.
3．等比数列{an}的首项a1＝1，公比q≠1，如果a1，a2，a3依次是等差数列的第1、2、5项，则q为 ( B )www.21-cn-jy.com
A．2 B．3 C．－3 D．3或－3
【答案】B
【解析】设等差数列为{bn}，则b1＝a1＝1，b2＝1＋d，b5＝1＋4d，由题设(1＋d)2＝1×(1＋4d)，
∴d＝2或d＝0(与q≠1矛盾舍去)，∴b2＝3，公比q＝＝＝3.
4．在等比数列{an}中，＝3，a3＝3，则a5＝ ( D )
A．3 B． C．9 D．2721·世纪*教育网
【答案】D
【解析】∵q＝＝3，a3＝a1q2＝9a1＝3，∴a1＝，∴a5＝a1q4＝27.
5．各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，且a2，a3，a1成等差数列，则的值为 ( C )
A． B． C． D．或
【答案】C
【解析】 ∵a2，a3，a1成等差数列，∴a3＝a2＋a1，∵{an}是公比为q的等比数列，∴a1q2＝a1q＋a1，
∴q2－q－1＝0，∵q>0，∴q＝.∴＝＝＝.
6．已知a1，a2，a3，…，a8为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则 ( A )
A．a1＋a8>a4＋a5 B．a1＋a8
C．a1＋a8＝a4＋a5 D．a1＋a8与a4＋a5大小不定
【答案】A
【解析】 由条件知，(a1＋a8)－(a4＋a5)＝a1(1＋q7－q3－q4)＝a1[(1－q3)＋q4(q3－1)]
＝a1(1－q3)(1－q4)＝a1(1－q)(1＋q＋q2)·(1－q2)(1＋q2)＝a1(1－q)2(1＋q)(1＋q2)(1＋q＋q2)．
∵q>0且q≠1，a1>0，∴(a1＋a8)－(a4＋a5)>0，∴a1＋a8>a4＋a5.
7．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1、a3、a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为 ( C )
A． B．4 C．2 D．www-2-1-cnjy-com
【答案】C
【解析】∵a1、a3、a7为等比数列{bn}中的连续三项，∴a＝a1·a7，设{an}的公差为d，则d≠0，
∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，∴a1＝2d，∴公比q＝＝＝2，故选C．
8．若正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，则当x>1时，log ax，log bx，log cx ( C )
A．依次成等差数列 B．依次成等比数列
C．各项的倒数依次成等差数列 D．各项的倒数依次成等比数列
【答案】C
【解析】 ＋＝log xa＋log xc＝log x(ac)＝log xb2＝2log xb＝【来源：21·世纪·教育·网】
∴，，成等差数列．
二、填空题：
9．在8和5 832之间插入5个数，使它们组成以8为首项的等比数列，则此数列的第5项是648.
【答案】648.
【解析】 设公比为q，则8q6＝5 832，∴q6＝729，∴q2＝9，∴a5＝8q4＝648.
10．已知在△ABC中，sinA与sinB的等差中项为，等比中项为，则sinC＋sin(A－B)＝或.
【答案】或.
【解析】由题意知∴或
(1)若则A>B，∴cosB＝，∴sinC＋sin(A－B)＝sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sinAcosB＝.2·1·c·n·j·y
(2)若则>B>A，∴cosB＝，∴sinC＋sin(A－B)＝2sinAcosB＝.
11．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝3·2n－3.
【答案】an＝3·2n－3.
【解析】 ∵，∴∴q7＝128，∴q＝2，∴a1＝，∴an＝a1qn－1＝3·2n－3.
12．已知等比数列前3项为，－，，则其第8项是－.
【答案】－.
【解析】∵a1＝，a2＝a1q＝q＝－，∴q＝－，∴a8＝a1q7＝×(－)7＝－.
三、解答题
13．在各项均为负数的数列{an}中，已知2an＝3an＋1，且a2·a5＝，证明{an}是等比数列，并求出通项公式.
【答案】见解析
【解析】 ∵2an＝3an＋1，∴＝，故数列{an}是公比q＝的等比数列．
又a2·a5＝，则a1q·a1q4＝，即a·()5＝()3.由于数列各项均为负数，则a1＝－.
∴an＝－×()n－1＝－()n－2.
14．已知：数列{an}的首项a1＝5，前n项和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N*)．
求证：数列{an＋1}是等比数列.
【答案】见解析
【解析】 由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N*)．
当n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n＋4.两式相减 得Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，
即an＋1＝2an＋1，从而an＋1＋1＝2(an＋1)．当n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，
∴a2＋a1＝2a1＋6.
又∵a1＝5，∴a2＝11，从而a2＋1＝2(a1＋1)，故总有an＋1＋1＝2(an＋1)，n∈N*.
又∵a1＝5，a1＋1≠0.
从而＝2，即数列{an＋1}是首项为6，公比为2的等比数列．
15．等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3、a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
【答案】见解析
【解析】 (1)设{an}的公比为q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴an＝a1qn－1＝2n.21世纪教育网版权所有
(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32，
设{bn}的公差为d，则有
解得从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，
∴数列{bn}的前n项和Sn＝＝6n2－22n.
16．已知数列{an}满足a1＝，且an＋1＝an＋，n∈N*.
(1)求证：{an－}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【答案】见解析
【解析】 (1)证明：∵an＋1＝an＋，∴an＋1－＝an＋－＝(an－)．
∴＝.∴{an－}是首项为，公比为的等比数列．
(2)解：∵an－＝×()n－1，∴an＝×()n＋2＋.
课件19张PPT。2.4 等比数列
（第1课时）
1、等差数列:
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）.
数学表达式:
2、等差中项：
如果三个数 a，A，b 成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.
3、等差数列的通项公式:
( n ≥ 2，n ∈N *)（2A= a+b ）温故知新① 下图是某种细胞分裂的模型：细胞分裂个数可以组成下面的数列：1 ，2 ，4 ，8 ， ··· .情景引入 ②“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”
现代语言 ：一尺长的木棒，每天取它的一
半，永远也取不完。
如果把“一尺之棰”看成单位“1”，
1 ,··· .那么，得到的数列是：(第一轮)第二轮病毒制造者被感染计算机20台被感染计算机202台? ? ? ③计算机病毒的传播每一轮感染的计算机数构成的数列是：1 ,20 ,202 ,203 ,··· .邮件接收者 ④ 银行另一种支付利息的方式——复利
计算本利和的公式是：
本利和 = 本金×（1+利率）存期。
现在存入银行10000元钱，年利率是1.98%，
那么按照复利，5年内各年末的本利和组成了
下面的数列： 观察:这四个数列有什么共同特点？共同特点：从第二项起，每一项与它前面一项的
比等于同一个常数.① 1 , 2 , 4 , 8 , ··· .1、等比数列的定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的
比 等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数就叫做等比数列的公比（常用字母“q”表示）( q≠0） 。
注：等比数列的每一项和公比都不能为0。（ n ≥ 2，n ∈N*）数学表达式： 2、等比中项:
(a、b同号) 如果三个数 a，G，b 成等比数列，那么G叫做a与b的等比
中项.由 得3、等比数列的通项公式： 法一：递推法……由此归纳等比数列的通项公式可得： 等比数列类比3、等比数列的通项公式： 迭乘法……共n – 1 项×）等比数列类比3、等比数列的通项公式：
例1：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长(精确到1年) ？解:设这种物质最初的质量是1,经过n年,剩留量是a n.由条件可得,数列{a n}是一个等比数列,其中 a1 = 0.84，q = 0.84，
设a n = 0.5，则0.84 n = 0.5，
两边取对数,得 n lg 0.84 = lg 0.5，
解得n≈4.
答:这种物质的半衰期大约为4年.分析:
经过1年剩留量: 0.84
2 0.842
3 0.843
··· ···
n 0.84 n
当 n=？时，0.84 n = 0.5放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期.例2：根据如图的框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式。这个数列是等比数列吗？ 解：若将打印出来的数依次记为： 其递推公式为：由于 因此这个数列是等比数列，其通项公式是（即A），···，，由图可得 例3：一个等比数列的第3项和第4项分别是 12和18，求它的第1项和第2项。 解：设首项为a1，公比为q，则有解得： 所以
a2 = 8分析:416500.080.00322、在利用电子邮件传播病毒的例子中，如果第一轮感染的计算机数是80台，并且从第一轮起，以后各轮的每一台计算机都可以感染下一轮的20台计算机，到第5轮可以感染到多少台计算机？1.已知 为等比数列，填表2、解：由题意知，每一轮被感染的计算机台数构成一
个 首项为80，公比为20的等比数列，
则第5轮被感染的计算机台数为：
答：第5轮被感染的计算机台数为： .
1、理解与掌握等比数列的定义及数学表达式：
，（n ≥ 2，n ∈N）；
2、掌握等比中项的定义.
3、要会推导等比数列的通项公式：
课 堂 小 结思考:
(1)在等比数列 中, 与 (n>m)之间有什么关系?
(2)在等比数列 中，若m,n,r,s∈ N *，且m+n=r+s，
那么， 、 、 、 这些项与项之间满足什么等
量关系？2.4等比数列（2）
姓名 班级
【学习目标】 1.类比等差数列的性质，理解等比数列的性质.
2.能运用等比数列的性质解决一些简单的问题.
【学习重点】等比数列性质的运用。
【学习方法】自主学习，合作探究
【自主学习】
等比数列的性质：
若m+n=s+t,则_________________
若m+n=2s，则__________________
【预习自测】
已知是等比数列，且，，求的值。
【合作学习】
1.三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数。
2. 在等比数列中， 。
【练习与检测】
1．在等比数列{an}中，a4＋a5＝10，a6＋a7＝20，则a8＋a9等于( )
A．90 B．30 C．70 D．40
2．等比数列{an}各项为正数，且3是a5和a6的等比中项，则a1·a2·…·a10＝( )
A．39 B．310 C．311 D．31221世纪教育网版权所有
3.已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于( )
A．2 B．4 C．8 D．16
4.在等比数列{an}中，若a3a5a7a9a11＝243，则=__________
5.等比数列的各项均为正数，且，
求。
【小结与反思】
【课后作业】
1.在等比数列{an}中，an>an＋1，且a7·a11＝6，a4＋a14＝5，则等于( )
A. B. C. D．6
2．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则＝( )
A．1＋ B．1－ C．3＋2 D．3－2
3．已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于( )
A．2 B．4 C．8 D．16
4.已知等比数列{an}的公比q＝－，则=_______
5.在等比数列{an}中，已知a4·a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，求a10.
2.4 等比数列(2)
一、教学目标：
知识与技能?
1.了解等比数列更多的性质;?
2.能将学过的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考和有关等比数列的实际问题的解决中;?
3.能在生活实际的问题情境中，抽象出等比数列关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题.??
过程与方法?
1.继续采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学;?
2.对生活实际中的问题采用合作交流的方法，发挥学生的主体作用，引导学生探究问题的解决方法，经历解决问题的全过程;?21cnjy.com
3.当好学生学习的合作者的角色.??
情感态度与价值观?
1.通过对等比数列更多性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力;?21·cn·jy·com
2.通过生活实际中有关问题的分析和解决，培养学生认识社会、了解社会的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值.??www.21-cn-jy.com
二、教学重点：1.探究等比数列更多的性质;?
2.解决生活实际中的等比数列的问题.?
教学难点；渗透重要的数学思想（类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想以及一般到特殊的思想方法等.?）.?2·1·c·n·j·y
三、学情及导入分析：
这节课师生将进一步探究等比数列的知识，以教材练习中提供的问题作为基本材料，认识等比数列的一些基本性质及内在的联系，理解并掌握一些常见结论，进一步能用来解决一些实际问题.通过一些问题的探究与解决，渗透重要的数学思想方法.教学中以师生合作探究为主要形式，充分调动学生的学习积极性.?
教具准备 多媒体课件、投影胶片、投影仪等??
四、教学过程：
教学环节
教学内容
师生活动
设计意图
复习旧知识，引入新知
归纳抽象形成概念
比较分析，深化认识
1.温故知新
师 教材中第59页练习第3题、第4题，请学生课外进行活动探究，现在请同学们把你们的探究结果展示一下.?
师 对各组的汇报给予评价.?
师 出示多媒体幻灯片一：第3题、第4题详细解答：?
猜想：在数列{an}中每隔m(m是一个正整数)取出一项，组成一个新数列，这个数列是以a1为首项、qm为公比的等比数列.?
◇本题可以让学生认识到，等比数列中下标为等差数列的子数列也构成等比数列，可以让学生再探究几种由原等比数列构成的新等比数列的方法.?
第4题解答：?
设{an}的公比是q，则?a52=(a1q4)2=a12q8
而a3·a7=a1q2·a1q6=a12q8,?
所以a52=a3·a7.?同理,a52=a1·a9.?
(2)用上面的方法不难证明an2=a n-1·a n+1(n＞1).由此得出，an是a n-1和a n+1的等比中项，同理可证an2=a n-k·an+k(n＞k＞0).an是an-k和an+k的等比中项(n＞k＞0).?
师 和等差数列一样，等比数列中蕴涵着许多的性质，如果我们想知道的更多，就要对它作进一步的探究.??
学生回答；
生 由学习小组汇报探究结果.
第3题解答：?(1)将数列{an}的前k项去掉，剩余的数列为a k+1，a k+2,….令bi=ak+i,i=1,2,…,?
则数列a k+1,ak+2,…,可视为b1,b2，….?
因为 (i≥1),所以，{bn}是等比数列，即a k+1，ak+2,…是等比数列.?
(2){an}中每隔10项取出一项组成的数列是a1,a 11,a 21，…,则?
(k≥1).?所以数列a1,a 11,a21,…是以a1为首项，q10为公比的等比数列.?
由复习引入，通过数学知识的内部提出问题。
合作探究?
师 出示投影胶片1
例题1 (教材P61B组第3题)就任一等差数列{an}，计算a7+a 10，a8+a9和a10+a 40，a20+a30，你发现了什么一般规律，能把你发现的规律用一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题.在等比数列中会有怎样的类似结论？
师 注意题目中“就任一等差数列{an}”，你打算用一个什么样的等差数列来计算？?
师 很好，这个数列最便于计算，那么发现了什么样的一般规律呢？?
师 题目要我们“从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题”，如何做？?
师 出示多媒体课件一：等差数列与函数之间的联系.?
师 从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列{an}的图象，可以看出,?
根据等式的性质，
有.?
所以ak+as=ap+aq.?
师 在等比数列中会有怎样的类似结论？?
师 让学生给出上述猜想的证明.?
证明：设等比数列{an}公比为q，?
则有ak·a s=a1qk-1·a1qs-1=a12·qk+s-2,?
ap·at=a1q p-1·a1qt-1=a12·qp+t-2.?
因为k+s=p+t,?
所以有ak·as=ap·at.?
师 指出：经过上述猜想和证明的过程，已经得到了等比数列的一个新的性质.即等比数列{an}中，若k+s=p+t(k,s,p,t∈N*)，则有ak·as=ap·at.?
师 下面有两个结论：?
(1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积；?
(2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方.?
你能将这两个结论与上述性质联系起来吗？?
师 引导学生思考，得出上述联系，并给予肯定的评价.?
师 上述性质有着广泛的应用.?
师 出示投影胶片2：例题2
例题2?（1）在等比数列{an}中，已知a1=5,a9a 10=100,求a 18;?
（2）在等比数列{bn}中，b4=3,求该数列前七项之积；?
（3）在等比数列{an}中，a2=-2,a5=54,求a8.
生 用等差数列1，2，3，…?
生 在等差数列{an}中，若k+s=p+q(k,s,p,q∈N *)，则ak+as=ap+aq.?
生 思考、讨论、交流.?
生 猜想对于等比数列{an}，类似的性质为：k+s=p+t(k,s,p,t∈N*)，则?
ak·as=ap·at.
生 思考、列式、合作交流，得到：?结论(1)就是上述性质中1+n=(1+t)+(n-t)时的情形；?
结论(2)就是上述性质中k+k=(k+t)+(k-t)时的情形.?
例题2 三个小题由师生合作交流完成，充分让学生思考，展示将问题与所学的性质联系到一起的思维过程.?
解答：?(1)在等比数列{an}中，已知a1=5，a9a10=100，求a 18.?
解：∵a1a 18=a9a 10，∴a 18= =20.?
(2)在等比数列{bn}中，b4=3，求该数列前七项之积.?
解：
b1b2b3b4b5b6b7=(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4.?∵b42=b1b7=b2b6=b3b5，∴前七项之积(32)3×3=37=2 187.?
(3)在等比数列{an}中，a2=-2，a5=54，求a8.?
解：.∵a5是a2与a8的等比中项，∴542=a8×(-2).?
∴a8=-1 458.?
另解：
a8=a5q3=a5·=-1 458.?
培养学生分析，抽象能力、感受数学概念形成过程及建模思想。
培养学生善于联想，体会知识间的内在联系，从而加深对数学概念的理解。
教师引导学生回答，作出评价
例题解析
师 判断一个数列是否成等比数列的方法：1、定义法；2、中项法；3、通项公式法.?
例题3：已知{an}{bn}是两个项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格.从中你能得出什么结论？证明你的结论.?
an
bn
an·bn
判断{an·bn}是否是等比数列
例
-5×2n-1
是
自选1
自选2
师 请同学们自己完成上面的表.?
师 根据这个表格，我们可以得到什么样的结论？如何证明？?
［教师精讲］?除了上面的证法外，我们还可以考虑如下证明思路：?
证法二：?
设数列{an}的公比是p，{bn}公比是q，那么数列{an·bn}的第n项、第n-1项与第n＋1项(n＞1,n∈N *)分别为a1p n-1b1q n-1、a1p n-2b1qn-2与a1pnb1qn，因为?
(anbn)2=(a1p n-1b1qn-1)2=(a1b1)2(pq) 2(n-1),?
(a n-1·bn-1)(a n+1·bn+1)=(a1pn-2b1qn-2)(a1pnb1qn)=(a1b1)2(pq)2(n-1),?
即有(anbn)2=(a n-1·bn-1)(a n+1·bn+1)(n＞1,n∈N *),?
所以{an·bn}是一个等比数列.?
师 根据对等比数列的认识，我们还可以直接对数列的通项公式考察：?
证法三：设数列{an}的公比是p，{bn}公比是q，那么数列{an·bn}的通项公式为?anbn=a1p n-1b1qn-1=(a1b1)(pq) n-1,?
设cn=anbn,则cn=(a1b1)(pq) n-1,?
所以{an·bn}是一个等比数列.??
学生分组讨论自主探究，教师巡视指导。
生 得到：如果{an}、{bn}是两个项数相同的等比数列，那么{an·bn}也是等比数列.?
证明如下：?设数列{an}的公比是p，{bn}公比是q，那么数列{an·bn}的第n项与第n＋1项分别为a1p n-1b1qn-1与a1pnb1qn，因为?
,?
它是一个与n无关的常数，所以{an·bn}是一个以pq为公比的等比数列.
引导学生通过自主分析思考、合作交流解决问题，培养良好的学习习惯和能力。
课堂小结?本节学习了如下内容：?
1.等比数列的性质的探究.?
2.证明等比数列的常用方法.
引导学生学会自己总结，让学生进一步体会知识的形成、发展、完善的过程.
课后作业
1.课本第60页习题2.4 A组第3题、B组第1题.
2.配套练习
学生课后完成.
进一步对所学知识巩固深化。
五、板书设计
??
板书设计
等比数列的基本性质及其应用
例1 例2 例3
备课资料
备用例题?
1.已知无穷数列,, ,…, ,….?
求证：(1)这个数列成等比数列；?
(2)这个数列中的任一项是它后面第五项的；?
(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中.?
证明：(1) (常数)，∴该数列成等比数列.?
(2),即：.?
(3)apaq=，∵p,q∈N，∴p+q≥2.?
∴p+q-1≥1且(p+q-1)∈N.∴∈ (第p+q-1项).?
2.设a,b,c,d均为非零实数，(a2+b2)d2-2b(a+c)d+b2+c2=0,?
求证：a,b,c成等比数列且公比为d.?
证法一：关于d的二次方程(a2+b2)d2-2b(a+c)d+b2+c2=0有实根，?
∴Δ=4b2(a+c)2-4(a2+b2)(b2+c2)≥0.∴-4(b2-ac)2≥0.∴-(b2-ac)2≥0.?21世纪教育网版权所有
则必有：b2-ac=0，即b2=ac，∴a,b,c成等比数列.?
设公比为q，则b=aq,c=aq2代入?
(a2+a2q2)d2-2aq(a+aq2)d+a2q2+a2q4=0.?∵(q2+1)a2≠0，∴d2-2qd+q2=0，即d=q≠0.?
证法二：∵(a2+b2)d2-2b(a+c)d+b2+c2=0,?
∴(a2d2-2abd+b2)+(b2d2-2bcd+c2)=0.?∴(ad-b)2+(bd-c)2=0.∴ad=b，且bd=c.?21教育网
∵a,b,c,d非零，∴d.∴a,b,c成等比数列且公比为d.?
2.4等比数列（2）
一、选择题：
1．在等比数列{an}中，首项a1<0，要使数列{an}对任意正整数n都有an＋1>an，则公比q应满足( )
A．q>1 B．0【答案】B
【解析】：an＋1－an＝a1qn－1(q－1)>0对任意正整数n都成立，而a1<0，只能02．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝( )
A．4 B．5 C．6 D．7【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】B
【解析】∵a3·a11＝16，∴a＝16.又∵等比数列{an}的各项都是正数，∴a7＝4.
又∵a10＝a7q3＝4×23＝25，∴log2a10＝5.故选B.
3．设2a是1＋b和1－b的等比中项，则6a＋4b的最大值为( )
A．10 B．7 C．5 D．421·世纪*教育网
【答案】C
【解析】：由题意得(2a)2＝1－b2，即4a2＋b2＝1.令a＝cosθ，b＝sinθ，则6a＋4b＝3cosθ＋4sinθ＝
5sin(θ＋φ)，∴6a＋4b的最大值为5，故选C.
4．等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5>a2，则an＝( )
A．(－2)n－1 B．－(－2)n－1 C．(－2)n D．－(－2)n21cnjy.com
【答案】A
【解析】：∵|a1|＝1，∴a1＝1或a1＝－1，∵a5＝－8a2，∴q3＝－8，∴q＝－2.
又a5>a2，即a2q3>a2，∴a2<0，而a2＝a1q＝－2a1<0，∴a1＝1，故an＝1×(－2)n－1＝(－2)n－1.
5．若数列a1，，，…，，…是首项为1，公比为－的等比数列，则a5等于( )
A．－64 B．－32 C．32 D．64www-2-1-cnjy-com
【答案】C
【解析】∵数列a1，，，…，，…是首项为1，公比为－的等比数列，∴a5＝a1××××＝
1×(－)×(－)2×(－)3×(－)4＝(－)10＝32.
6．若数列{an}是等比数列，则①{can}(c为常数)，②{an＋an＋1}，③{an·an＋1}，④{a}四个数列为等比数列的有( )2-1-c-n-j-y
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】若{an}为等比数列，当c＝0时，{can}不为等比数列，①不是等比数列；若{an}是公比q＝－1的等比数列，则an＋an＋1＝0，{an＋an＋1}不为等比数列，②不是等比数列；由等比数列的定义可知③④为等比数列．21*cnjy*com
二、填空题：
7．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋2>的最大正整数n的值为________．【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】 4
【解析】：∵a2·a4＝4＝a，且a3>0，∴a3＝2.又a1＋a2＋a3＝＋＋2＝14，∴＝－3(舍去)或＝2，
即q＝，a1＝8.又an＝a1qn－1＝8·n－1＝n－4，∴an·an＋1·an＋2＝3n－9>，即23n－9<9，
∴n的最大值为4.
8．公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.
【答案】 16
【解析】∵2a3－a＋2a11＝2(a3＋a11)－a＝4a7－a＝0，∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4.∴b6b8＝b＝16.
9．下列命题中，正确命题的序号为________．
①若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则akal＝aman；②若{an}为等比数列，公比为q，则{a2n}也是等比数列，公比为q2；③若{an}为等比数列，公比为q，则{a2n－1＋a2n}也是等比数列，公比为q2；④若{an}，{bn}是等比数列，则{an·bn}也是等比数列．21教育网
【答案】 ①②④
【解析】③中若q＝－1，则a2n－1＋a2n＝0.
10．若数列1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则＝________.
【答案】
【解析】∵1，a1，a2,4成等差数列，∴a1＋a2＝5.∵1，b1，b2，b3,4成等比数列，∴b＝1×4＝4.
又b2>0，∴b2＝2.∴原式＝.
三、解答题
11．等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则等于多少？
【答案】见解析
【解析】：由题意知a3是a1和a9的等比中项，∴a＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，解得a1＝d，
∴＝＝.
12．设关于x的一元二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n＝1,2,3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.21世纪教育网版权所有
(1)试用an表示an＋1；
(2)求证：数列是等比数列；
(3)当a1＝时，求数列{an}的通项公式．
【答案】见解析
【解析】 (1)根据根与系数的关系，有
，代入题设条件6(α＋β)－2αβ＝3，得－＝3，所以an＋1＝an＋.
(2)因为an＋1＝an＋，所以an＋1－＝，
所以数列是以为公比的等比数列．
(3)当a1＝时，a1－＝，故数列是首项为，公比为的等比数列，
所以an＝＋n(n＝1,2,3，…)．
13．某市2011年新建住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年年底．21·cn·jy·com
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2011年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?
【答案】见解析
【解析】 (1)设中低价房面积构成数列{an}，由题意可知，{an}是等差数列，其中a1＝250，d＝50，
则Sn＝250n＋×50＝25n2＋225n.
令25n2＋225n≥4 750，得n2＋9n－190≥0，
令f(n)＝n2＋9n－190，当f(n)＝0时，n1＝－19，n2＝10，
由二次函数的图象得n≤－19或n≥10时，f(n)≥0，而n是正整数．∴n≥10.
故到2020年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米．
(2)设新建住房面积构成数列{bn}，由题意可知，{bn}是等比数列，其中b1＝400，q＝1.08，
则bn＝400×1.08n－1，由题意可知an>0.85bn，
即250＋(n－1)×50>400×1.08n－1×0.85，满足不等式的最小正整数n＝6.
故到2016年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
14．在公差为d(d≠0)的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}中，已知a1＝b1＝1，a2＝b2，a8＝b3.
(1)求d，q的值；
(2)是否存在常数a，b，使得对于一切自然数n，都有an＝logabn＋b成立？若存在，
求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】 (1)由a2＝b2，a8＝b3，得即
解方程组得或(舍去)
(2)由(1)知an＝1＋(n－1)·5＝5n－4，bn＝b1qn－1＝6n－1.
由an＝logabn＋b，得5n－4＝loga6n－1＋b，即5n－4＝nloga6＋b－loga6.www.21-cn-jy.com
比较系数得解得a＝，b＝1，使得对一切自然数n，都有an＝loga
课件27张PPT。 2.4 等 比 数 列
（第2课时） 定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0).温故知新如果一个数列是等比数列，它的公比是q，那么由此可知，等比数列 的通项公式为…(1) 1，2，4，8，16，…观察数列(3) 4，4，4，4，4，4，4，…(4) 1，-1，1，-1，1，-1，1，…公比 q=2公比 q=1公比 q=-1探究点1：等比数列的图象问题探究等比数列的图象1数列：1，2，4，8，16，…123456789102468101214161820O●●●●●递增数列通过图象观察性质等比数列的图象212345678910O数列：●●●●●●●12345678910递减数列等比数列的图象3123456789102468101214161820O数列：4，4，4，4，4，4，4，…●●●●●●●●●●常数列等比数列的图象412345678910O12345678910●●●●●●●●●●数列：1，-1，1，-1，1，-1，1，摆动数列-1 类比等差数列的性质，
等比数列有哪些性质呢？探究点2：等差、等比数列的性质比较an-an-1=d （n≥2）
常数减—除加—乘加-乘乘—乘方 迭加法迭乘法等比数列用“比”代替了等差数列中的“差”定义数学表
达式通项公式证明通项 公式由等差数列的性质，猜想等比数列的性质猜想1： 若bn-k,bn,bn+k
是{bn}中的三项,则若n+m=p+q，则
bn·bm=bp·bq猜想3： 若{dn}是公比为q′的等比数列,则数列{bn?dn}是公比为q·q′的等比数列.猜想5：若数列{an}是公比为q的等比数列,则当q>1,a1>0或0 当q>1, a1<0或00时, {an}是递减数列;
当q=1时, {an}是常数列;
当q<0时, {an}是摆动数列.(2)an≠0,且anan+2>0.(3)an=amqn-m(n,m∈N*).(4)当n+m=p+q(n,m,p,q∈N*)时,有anam=apaq.(5)当{an}是有穷数列时,与首末两项等距离的两项的积都相等,且等于首末两项的积.【知识提升】(7)若{bn}是公比为q′的等比数列,则数列{an? bn }是公比为qq′的等比数列.(6)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列.(9)在{an}中,每隔k(k∈N*)项取出一项,按原来顺序排
列,所得的新数列仍为等比数列,且公比为qk+1.(10)当m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am , an , ap 成等比数列.例1、等比数列 {an} 中， a 4·a 7 = －512，
a 3 + a 8 = 124, 公比q为整数，求a10法一：直接列方程组求 a 1、q法二：由 a 4 · a 7 = a 3 · a 8 = －512∵ 公比 q 为整数∴ a 10 = a 3×q 10 －3= －4×(-2) 7= 512例2.已知{an}、{bn}是项数相同的等比数
列，求证{an · bn}是等比数列.证明：设数列{an}的首项是a1，公比为q1; {bn}的首项为b1，公比为q2，那么数列{an?bn}的第n项与第n+1项分别为：它是一个与n无关的常数，所以{an?bn}是一个以q1q2为公比的等比数列.思考:1. {an}是等比数列，C是不为0的常数，数列{can}是等比数列吗？2. 已知{an}，{bn}是项数相同的等比数列
， 是等比数列吗？A．7 B.5 C．-5 D．-71.已知为等比数列，，，解析:选D. ，D（ ）则2. 在等差数列{an}中，a3＋a11＝8，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6·b8的值为 ( )
A．2 B．4 C．8 D．16D3.（真题·福建高考）已知等比数列 的公比为q，记 ，
cn= am(n-1)+1·am(n-1)+2·…·am(n-1)+m ，则以下结
论一定正确的是（ ）
A. 数列 为等差数列，公差为
B. 数列 为等比数列，公比为q2m
C. 数列 为等比数列，公比为
D. 数列 为等比数列，公比为 C【解题指南】如何判定一个数列是等差或等比数列，
注意一定是作差，或作比，看看是不是常数.解析:选C.显然， 不可能是等比数列； 是等比数列；证明如下：4.在等比数列{an}中，an＞0，a2 a4+2a3a5+a4a6=36,
那么a3+a5= _ .
5.在等比数列{an}中， a15 =10, a45=90,则
a30 =__________.
6.在等比数列{an}中，a1+a2 =30, a3+a4 =120,
则a5+a6=_____.630480或-30对所有的自然数 n 都成立，则公比 q =___________.课堂小结1. 等比中项的定义；
2. 等比数列的性质；
3. 判断数列是否为等比数列的方法．a，a+d，a+2da, aq, aq2a-3d，a-d，a+d， a+3dan=am +(n-m) dan=amqn-m 课后作业
1.配套练习 2.4等比数列
前面我们已提到过斐波那契数列，它有一系列奇妙的性质，现简列以下几条，供读者欣赏.
1.从首项开始，我们依次计算每一项与它的后一项的比值，并精确到小数点后第四位：?
=1.000 0 =2.0 000?
=1.500 0 =1.666 7?
=1.600 0 =1.625 0?
=1.615 4 =1.619 0?
=1.617 6 =1.618 2?
=1.618 0 =1.618 1?
如果将这一工作不断地继续下去，这个比值将无限趋近于某一个常数，这个常数位于1.618 0与1.618 1之间，它还能准确地用黄金数表示出来.?21世纪教育网版权所有
2.我们在初中曾经遇到过杨辉三角形，如右图所示，杨辉三角形中虚线上的数的和恰好组成斐波那契数列：?
3.在斐波那契数列中，请你验证下列简单的性质：?
前n项和Sn=a n+2-1,?
ana n+1-an-1a n-2=a 2n-1(n≥3),?
an-12+an2=an-1(n≥2),?
an-2an=a n-12-(-1)n(n≥3).?
据载首先是由19世纪法国数学家吕卡将级数{Un}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，..{U n+1=Un+Un-1}命名为斐波那契级数，它是一种特殊的线性递归数列，在数学的许多分支中有广泛应用.1680年意大利—法国学者卡西尼发现该级数的重要关系式U n+1U n-1-Un2=(-1)n.1730年法国数学家棣莫弗给出其通项表达式，19世?纪初另一位法国数学家比内首先证明了这一表达式，现在称为之为比内公式.?21教育网
世界上有关斐波那契数列的研究文献多得惊人.斐波那契数列不仅是在初等数学中引人入胜，而且它的理论已经广泛应用，特别是在数列、运筹学及优化理论方面为数学家们展开了一片施展才华的广阔空间.?
