八年级数学上册第一章勾股定理2一定是直角三角形吗典型例题学案（新版）北师大版

《一定是直角三角形吗》典型例题
例1
在中，，，为三边，试判断该三角形是否为直角三角形？
例2
如果一个三角形的三边长分别为
，则这三角形是直角三角形
例3
已知、、为的三边，且满足
.
求证：这个三角形是直角三角形.
例4
已知的三边为,且，试判定的形状．
例5
如图所示，在四边形中，是直角，
，求证：
例6
如图所示，E为正方形ABCD的边AD的中点，F在DC上，．试问：是直角三角形吗？说明理由．
参考答案
例1解答：∵，
，
∴边为三角形的最大边，
又∵，
，
∴
根据勾股定理的逆定理可知，为直角三角形.
说明：三角形的三边分别为，，，其中为最大边.
（1）若，则三角形是直角三角形；
（2）若，则三角形是锐角三角形；
（3）若，则三角形是钝角三角形；
例2分析：
验证三边是否符合勾股定量的逆定理
证明：∵
∴
∵∠C＝
说明：勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，与前面学习的方法不同，它需要通过代数运算算出来．
例3分析：要证明是直角三角形，应从它的三边、、入手，如果有关系或或成立，那么这个三角形一定是直角三角形.
从已知条件，可以求出、、的长.
解答：由已知得：.
∴
即
∵
∴
，即
∵，即有，∴是直角三角形.
说明：直角三角形适用于勾股定理，而利用逆定理是判断一个三角形是直角三角形的方法，当由边之间的关系判断三角形的形状时，我们用勾股定理先行考证，没有条件时，创造条件，从而求出边长或边长之间的关系，进而判断.
例4分析
为判定三角形的形状，可利用直角三角形的判别条件，判断三角形的最大边的平方是否等于另外两边的平方和．
解
，而，
∴，∴是直角三角形，并且是直角．
说明：利用直角三角形的判别条件不仅能够判断出三角形的形状，而且还能够知道三角形的哪个角是直角．
例5分析
可将直线的互相垂直问题转化成直角三角形的判定．
解
∵在Rt中，，
∴由勾股定理，，即，
在中，，
∴由直角三角形的判别条件，是直角三角形，且是直角，∴．
例6解
是直角三角形．
设，由题意知，
在直角三角形BCF中，由勾股定理，得
∴．
∴是直角三角形．
说明：
根据题意设，运算起来就比较方便，如设正方形的边长为a运算起来就比较麻烦，这体现了解题的灵活性．
本题属于结论探究开放题，这类型题只给出了条件，由同学自己探求结论，并加以说明．