八年级数学上册第一章勾股定理3勾股定理的应用勾股定理新题型赏析学案（新版）北师大版

勾股定理新题型赏析
图形信息题
例1.
在直线L上依次摆放着七个正方形(如图1所示),已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S、S、S、S,则S+S+S+S=
.
分析:
经过观察图形,可以看出正放着正方形面积与斜放置的正方形之间关系为:
S+S=1;
S+S=2;
S+S=3;这样数形结合可把问题解决.
解:
S代表的面积为S的正方形边长的平方,
S代表的面积为S的正方形边长的平方,所以S+S=斜放置的正方形面积为1;同理S+S=斜放置的正方形面积为3,故S+S+S+S=1+3=4.
规律探究题
例2.张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下表：
（1）请你分别观察a、b、c与n（n＞1）
之间的关系，并分别用含n的代数式表示a、b、c：a=
，b=
，c=
；
（2）猜想以a、b、c为边的三角形是否
为直角三角形，并验证你的猜想.
解：（1）；2n；
（2）猜想以a、b、c为边的三角形是直角三角形.
验证：由于
,因为
所以
.故以a、b、c为边的三角形是直角三角形.
开放题
例3.如图2所示，是由边长为1的小正方形组成的正方形网格，以线段AB（A，B为格点）为一条直角边任意画一个Rt△ABC，且点C为格点，并求出以BC为边的正方形的面积.
分析：这是一道结论开放题，据题意经过分析，符合要求的点C有多个，如图2所示，，，，，，都是符合要求的点.
解：画出的Rt△ABC如图2中所示，=20，所以以BC为边的正方形面积为20.
方案设计题
例4.
如图3所示，MN表示一条铁路，A,B是两个城市，它们到铁路所在直线，它们到铁路所在直线MN的垂直距离分别为=20km，=40km，且=80km.现要在之间设一个中转站P，使两个城市到中转站的距离之和最短.请你设计一个方案确定P点的位置，并求出这个最短距离.
分析：本题为最佳方案设计题，要寻找点P的思路根据“两点之间线段最段”，只要将点A移到MN的另一侧即可，也就是A与点关于MN对称，此时PA=P，因此PA+PB=
P+PB=B，故点P到点A，B距离之和最短.
解：如图3，作点A关于MN的对称点，连接B，交MN于点P，则点P就是要确定的中转站的位置，最短距离即为PA+PB.
过点作⊥，交的延长线于点.在Rt△B中，==80km，=+=+=+=40+20=60（km），所以，所以B=100km，由点的对称性可知AP+BP=
P+PB=B=100km，所以这个最短距离为100km.