八年级数学上册第一章勾股定理3勾股定理的应用勾股定理中的常见题型例析学案（新版）北师大版

勾股定理中的常见题型例析
勾股定理是几何计算中运用最多的一个知识点．考查的主要方式是将其综合到几何应用的解答题中，常见的题型有以下几种：
一、探究开放题
例1如图1，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去……．
（1）记正方形ABCD的边长为＝1，依上述方法所作的正方形的边长依次为，，，…，，求出，，的值．
（2）根据以上规律写出第n个正方形的边长的表达式．
分析：依次运用勾股定理求出a2，a3，a4，再观察、归纳出一般规律．
解：(1)∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=CD=AD=1．
由勾股定理，得AC＝，
同理，AE=2，EH=
．即
a2=
，a3=2，a4=
．
(2)
∵，
，
，
，
∴
．
点拨：探究开放题形式新颖、思考方向不确定，因此综合性和逻辑性较强，它着力于考查观察、分析、比较、归纳、推理等方面的能力，对提高同学们的思维品质和解决问题的能力具有十分重要的作用．
二、动手操作题
例2如图2，图（1）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边长分别为a和b，斜边长为c．图（2）是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
（1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形；
（2）用这个图形证明勾股定理；
（3）假设图（1）中的直角三角形有苦干个，你能运用图（1）所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）．
解：（1）所拼图形图3所示，它是一个直角梯形．
（2）由于这个梯形的两底分别为a、b，腰为（a+b），所以梯形的面积为．又因为这个梯形的面积等于三个直角三角形的面积和，所以梯形的面积又可表示为：．
∴．
∴．
（3）所拼图形如图4．
点拨：动手操作题内容丰富，解法灵活，有利于考查解题者的动手能力和创新设计的才能。本题通过巧妙构图，然后运用面积之间的关系来验证勾股定理。
三、阅读理解题
例3
已知a，b，c为△ABC的三边且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC的形状．小明同学是这样解答的．
解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，
∴
∴．
订正：∴
△ABC是直角三角形
．
横线与问号是老师给他的批注，老师还写了如下评语：“你的解题思路很清晰，但解题过程中出现了错误，相信你再思考一下，一定能写出完整的解题过程．”请你帮助小明订正此题，好吗？
分析：这类阅读题在展现问题全貌的同时，在关键处留下疑问点，让同学们认真思考，以补充欠缺的部分，这相当于提示了整体思路，而让学生在整体理解的基础上给予具体的补缺．因此，本题可作如下订正：
解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，
∴．
∴，∴或．
∴或．
∴
△ABC是等腰三角形或直角三角形
．
点拨：阅读理解题它与高考中兴起的信息迁移题有异曲同工之巧．解决的关键是抓住疑问点，补全漏洞．
四、方案设计题
例4给你一根长为30cm的木棒，现要你截成三段，做一个直角三角形，怎样截取（允许有余料）？请你设计三种方案．
分析：构造直角三角形，可根据勾股定理的逆定理来解决．
解：方案一：分别截取3cm，4cm，5cm；
方案二：分别截取6cm，8cm，10cm；
方案三：分别截取5cm，12cm，13cm．
点拨：本题首先依据勾股定理的逆定理进行分析，设计出方案，然后再通过测量、截取、加工等活动方能完成．既要思考，又要动手．让学生在这个过程中，体会做数学的快乐．
五、实际应用题
例5如图5，三个正方形形状的土地面积分别是74英亩、116英亩、370英亩，三个正方形恰好围着一个池塘．现要将这560英亩的土地拍卖，如果有人能计算出池塘的面积，则池塘不计入土地价钱白白奉送，英国数学家巴尔教授曾经巧妙地解答了这个问题，你能解决吗？
分析：巴尔教授解决这个问题时首先发现三个正方形的面积74、116、370相当于池塘的三条边的平方，因而联想到勾股定理，得74=52+72，116=42+102，370=92+172．于是作出图6，运用勾股定理的逆定理，问题就得以解决．
解：∵74=52+72，∴AB是两直角边分别为5和7的直角三角形的斜边，作出这个直角三角形，得Rt△ABE．
同理，作Rt△BCF，其中BF=4，FC=10．延长AE、CF交于D，则AD=9，CD=17，而AC2=370=92+172=AD2+CD2，∴△ACD是直角三角形，∠ADC=90°．
∴=．
点拨：本题的关键是运用勾股定理和它的逆定理构造新图形，用构造法解题的思想，有助于提高运用数学知识解决实际问题的能力.