八年级数学上册第一章勾股定理3勾股定理的应用勾股定理中的数学思想学案（新版）北师大版

勾股定理中的数学思想
勾股定理是平面几何有关度量的最基本定理,它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征.同学们在学习时,不仅要灵活运用该定理及逆定理,而且还要注意在解题中蕴涵着丰富的数学思想.比如数形结合思想、转化思想、方程思想等.现举出几例进行分析,供同学们参考.
数形结合思想
例1.
在直线L上依次摆放着七个正方形(如图1所示),已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S、S、S、S,则S+S+S+S=
.
分析:经过观察图形,可以看出正放着正方形面积与斜放置的正方形之间关系为:
S+S=1;S+S=2;
S+S=3;这样数形结合可把问题解决.
解:
S代表的面积为S的正方形边长的平方,
S代表的面积为S的正方形边长的平方,所以S+S=斜放置的正方形面积为1;同理S+S=斜放置的正方形面积为3,故S+S+S+S=1+3=4.
二、转化思想
例2.
如图2,长方体的长为15cm,宽为10cm,高为20cm,点B离点C的距离是5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点C,需要爬行的最短路径是多少
分析:蚂蚁实际上是在长方体的侧面上爬行,如果将长方体的侧面展开(如图2-1),根据“两点之间线段最短.”
所以求得的路径就是侧面展开图中线段AC之长,但展开方式有3种,这样通过侧面展
开图把立体图形转化为平面图形,构造成直角三角形,利用勾股定理
便可求解.
解:如图所示,把长方体展开后得到如图2-1、图2-2、图2-3三种情形,蚂蚁爬行的路径为展开图中的AC长,根据勾股定理可知
在图2-1中,AC=AB=30=925
图2-2中,
AC=AD=20=625
图2-3中,
AC=
AD=25=725
于是,根据上面三种展开情形中的AC长比较,最短的路径是在图2-2中,故蚂蚁从A点爬行到点C,最短距离为25cm.
方程思想
例3.
如图3,铁路上A、B两点相距25km,C、D两点为村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km。现在要在铁路AB上建一个农贸市场E，使得C、D两村到农贸市场E的距离相等，则农贸市场E应建在距A站多少km处？
分析：这是一个实际生活中的问题，从图中可以看出，如果单独解直角三角形，这时条件不够，根据题意，不妨把两个直角三角形同时考虑进去，设未知数，如果设AE=x，结合勾股定理，抓住等量关系“DE=CE”列出方程就可以解决问题了。
解：设AE=x
km，由勾股定理得，15
解此方程得
x=10
故农贸市场E应建在铁路上离A站10km处。
分类讨论思想
例4.
已知直角三角形的两边长分别为5和12,求第三边长.
分析:已知直角三角形的两边的长度,并没有指明哪一条边是斜边,因此要分类讨论.
解:(1)当5和12均是直角边时,则由勾股定理可得斜边的长度为=13;
(2)当5是直角边,12是斜边时,则由勾股定理可得另一直角边长为.
综合(1)、（2）得第三边的长为13或。
试一试(供同学们练习）
1.（荆州市）如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10(单位：厘米)，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13厘米，
小孔到图中边AB距离为1厘米，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为h厘米，则h的最小值大约为_________厘米.（精确到个位）
（参考数据：）
2.
如图所示的圆柱体中底面圆的半径是
4/π,高为3,若一只小虫从A点出发沿着圆柱的侧面爬行到点C,则小虫爬行的最短路程是
.
答案:5
3.
如图,设四边形ABCD是边长为1的正方形,以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH,如此下去…
(1)记正方形ABCD的边长为依上述方法所作的正方形的边长依次为
求出的值；
(2)根据以上规律写出第n个正方形的边长a的表达式.
答案提示：
(1)a=(;
(2)a(n≧1的自然数)