八年级数学上册第一章勾股定理3勾股定理的应用中考中的勾股定理应用问题学案（新版）北师大版

初中数学中考中的勾股定理应用问题
勾股定理是每年中考命题的必选内容,命题形式千变万化。现举几例，供同学们赏析。
一.
勾股定理在古诗中的应用
例1.
折竹抵地：
今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。问：折者高几何？
（尺：非法定长度计量单位。10=1丈。1市尺合）
分析：首先应读懂题目的意思，然后根据实际问题构建直角三角形模型，再利用勾股定理求解。
解：由题意画出图1。
由题可知（尺）①
BC=3尺
所以（尺）②
①+②得：
故（尺）
代入②得：
（尺）
点评：应用是数学知识的一大特色，解决应用类问题时，需要根据实际问题构建数学模型，然后再求解。
二.
勾股定理在生活中的应用
例2.
如图2，学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。
图2
分析：只需要把走“捷径”的路长以及原来走的路长求出，就可以算出少走几步路。
解：他们原来走的路为
设走“捷径”的路长为xm，则
故少走的路长为
又因为2步为1m，所以他们仅仅少走了4步路。
点评：以同学们常遇到的走“捷径”问题为出发点，在考查勾股定理的同时，融入情感教育：多走几步路，就可以留下一片绿色。
三.
勾股定理在最短距离问题中的应用
例3.
编制一个底面周长为a、高为b的圆柱形花架，需用沿圆柱侧面绕织一周的竹条若干根，如图3①中的，…则每一根这样的竹条的长度最少是_________。
图3
分析：在求解几何体表面两点间最短距离的问题时，通常是将几何体表面展开，求展开图中两点之间的距离，但在展开过程中一定要弄清所要求的是哪两点之间的距离，以及它们在展开图中相应的位置。
解：由于竹条需要绕织一周，所以可以把圆柱侧面沿展开，得到一个长和宽分别为a和b的矩形，如图3②所示。连接，此时对角线的长度就是竹条的最短长度。
由勾股定理得，所以。
点评：求解立体几何图形的一些问题时，通常是通过平面展开图，将其转化为平面图形的问题，然后求解。
四.
勾股定理在网格中的应用
例4.
图4中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。
（1）直接写出单位正三角形的高与面积。
（2）图4①中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？
（3）求出图4①中线段AC的长（可作辅助线）。
（4）求出图4②中四边形EFGH的面积。
图4
分析：首先把每一个小网格弄清楚，然后只需找到所研究的图形与网格之间的关系，进而就可以借助网格知识来得到图形的相关性质。
解：（1）单位正三角形的高为，面积是。
（2）由图4①可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积为。
（3）过A作AK⊥BC于点K（如图4①所示），则在Rt△ACK中，，，故
（4）过点G、H、E、F作矩形MNPQ（如图4②）。
∴四边形MNPQ的面积
∴四边形EFGH的面积
点评：求不规则图形（没有直接的面积计算公式的图形）的面积时，常把它转化成可以计算的两个图形（或几个图形）面积的和或差。
五.
勾股定理在实际问题中的应用
例5.
（宁夏）如图5所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。
（1）求A、C两点之间的距离。
（2）确定目的地C在营地A的什么方向。
图5
分析：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，利用勾股定理求解。
解：（1）过B点作BE//AD，如图5
∴∠DAB=∠ABE=60°
∵30°+∠CBA+∠ABE=180°
∴∠CBA=90°
即△ABC为直角三角形
由已知可得：BC=500m，AB=
由勾股定理可得：
所以
（2）在Rt△ABC中，
∵BC=500m，AC=1000m
∴∠CAB=30°
∵∠DAB=60°
∴∠DAC=30°
即点C在点A的北偏东30°的方向
点评：本题是一道实际问题，从已知条件出发判断出△ABC是直角三角形是解决问题的关键。本题涉及平行线的性质和勾股定理等知识。