八年级数学上册第一章勾股定理3勾股定理的应用《勾股定理》考点例析学案（新版）北师大版

《勾股定理》考点例析
勾股定理是中学数学中的一个重要定理，在实际中有很多应用，是中考命题的热点，下面就对常见的考点归类分析.
考点1
利用勾股定理求边长
例1
（黄冈）如图1，△ABC和△DCE都是边长为2的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连结BD，则BD2的长为
。
分析：要求BD长，可构造直角三角形，使BD为该直角三角形中的边，过D作DF⊥BE于F，在Rt△DFB中运用勾股定理可求BD的长。
解：作DF⊥BE于F，因为△DCE为等边三角形，所以DF也是△DCE的中线，所以BF=BC+CF=2+1=3
在Rt△DFC中，由勾股定理得DF2=DC2-CF2=22-12=3
在Rt△DFB中，由勾股定理得BD2=BF2+DF2=32+3=12
例2
（哈尔滨）如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使D点落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（
）
3cm
B、4cm
C、5cm
D、6cm
分析：要求CN的长，可在直角三角形NCE中求，在Rt△NCE中，EC等于正方形边长的一半，NE=DN=8-NC由勾股定理可解决问题。
解：由题意NE=DN=8-NC，因为E为BC的中点，所以CE=4，在Rt△NCE中，NC2=NE2-EC2=（8-NC）2-42，所以NC2=64-16NC+NC2-16
NC=3，故选A。
点评：以上两例都是勾股定理的直接运用，当已知直角三角形或较易构造直角三角形时，可运用勾股定理求边长。
考点2
勾股定理的实际应用
例3
（浙江）如图3，正四棱柱的底面边长为1.5cm，侧棱长为4cm，求一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处的最短路程的长。
分析：要求最短路程，需要将正四棱柱展开成平面图形，再利用勾股定理求解，由于从A点到点C1的面上有两种情况，故需分类讨论。
解：将正四棱柱展开成平面图形，从图4图5中分别求得AC1，然后再比较其大小。
如图4，AC12=AC2+CC12=（1.5+1.5）2+42=25=52
如图5，AC12=AB2+BC12=1.52+（4+1.5）2=1.52+5.52
∵52＜1.52+5.52
所以最短路程为5cm
点评：本题着重考查勾股定理在实际问题中的应用，以及转化思想，分类讨论思想的应用
三、勾股定理的逆定理
例4
（山西）一三角形的三边长分别为①7，40，42；②，，1；③2mn，（m2-n2）2，（m2+n2）2，是直角三角形的序号是
。
分析：运用勾股定理的逆定理判断
解：对于①72+402=49+1600=1649
422末位是4
故72+402≠422
对于②
（）2+（）2=+==1
对于③
（2mn）2+（m2-n2）2=4m2n2+m4-2m2n2+n4=m4+2m2n2+n4=（m2+n2）2
故应填②③
点评：如果三角形的三边长a、b、c（c为最大边）有下面关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
A
D
B
C
F
E
图1
A
D
F
M
B
E
C
N
图2
A1
B1
C1
D1
D
A
B
C
图3
A1
B1
C1
D1
A
B
图5
A1
B1
C1
C
B
A
图4