八年级数学上册第一章勾股定理3勾股定理的应用知识点解读学案（新版）北师大版

《勾股定理的应用》知识点解读
知识点1
确定几何体上的最短路线（重点）
重点解读
在平面上寻找两点之间的最短路线是根据线段的性质：两点之间，线段最短.在立体图形上，由于受物体与空间的阻隔，两点间的最短路线不一定是两点间的线段长，应将其展成平面图形，利用平面图形中线段的性质确定最短路线.
【例1】有一圆柱形油罐，如图（左）已知油罐的周长是12米，高AB是5米，要以A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，问梯子最短需多少米？
解析
将圆柱的侧面展开，展开图如图（右），是一个矩形，用勾股定理求出AB就是最短路程.
答案
如图，已知AC=12米（周长），BC=5米（高），∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2=122+52=169=132，
∴AB=13（m），即梯子最短需13米.
变式练习：一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点到B点，那么沿哪条路线爬行最近？你能帮它找出来吗？如图（1）所示，长方体的长为15
cm，宽为10
cm，高为20
cm，点B与点C的距离为5
cm.
答案
将两侧面展开，由点A先爬到E点，再爬到B点，路程最短.
点拨
将两侧面展开，如图（2）所示，连接AB，则AB2=202+152=625.
将侧面与上地面展开，如图（3）所示，连接AB，则AB2=102+252=725.
警示：有很多学生想不到去比较两个路程的远近而直接转化为求AB的距离.
知识点2
利用三角形三边的关系判断垂直（重点）
重点解读
本节垂直的识别是指应用三角形的三边关系判别三角形是直角三角形，这是识别垂直的一种方法，在实际生活中长判断两直线是否垂直，解决问题的一般方法是将实际问题转化为数学问题，再利用三角形三边的关系判断垂直.
【例2】有一块四边形地ABCD，如图，∠B=90°，AB=4
m，BC=3
m，CD=12
m，DA=13
m，求该四边形地ABCD的面积.
解析
连接AC，将四边形地ABCD分为△ABC和△ACD是解题关键.
答案
连接AC，∵AB=4
m
BC=3
m，根据勾股定理得
AC=5
m.
又∵AC2+CD2=AD2，
∴∠ACD=90°，即△ACD是直角三角形.
∴S△ABC=3×4÷2=6（m2），S△ACD=5×12÷2=30（m2）.
四边形ABCD的面积=
S△ABC+
S△ACD=36（m2）.
警示：有些学生会把本图看成一个梯形去求，那就错了，因为∠BAD不一定是直角.