2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
8.6 双曲线
考纲剖析
1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．
2．了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用．
3．理解数形结合的思想.
知识回顾
1．双曲线的定义
平面内动点P与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离之差的绝对值为常数 ，则点P的轨迹叫双曲线．这两个 叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
性 质
范 围
对称性
顶点
渐近线
离心率
实虚轴
a，b，c的关系
c2＝ 2(c＞a＞0，c＞b＞0)
精讲方法
一、双曲线
（一）双曲线的定义与标准方程
1．在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支。www-2-1-cnjy-com
2．求双曲线标准方程的方法
（1）定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应即可求得方程；
（2）待定系数法，其步骤是
①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；
②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程；
③定值：根据题目条件确定相关的系数。
注：若不能明确双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：。
（二）双曲线的几何性质
1．双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”（两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点），“四线”（两条对称轴、两条渐近线），“两形”（中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上一点和两焦点构成的三角形）研究它们之间的相互联系。
2．在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程。同时要熟练掌握以下三方面内容：21cnjy.com
（1）已知双曲线方程，求它的渐近线
（2）求已知渐近线的双曲线的方程；
（3）渐近线的斜率与离心率的关系。
如
注：（1）已知渐近线方程为则双曲线的标准方程为的形式，根据其他条件确定的正负。若>0，焦点在x轴上；若<0，焦点在y轴上。2-1-c-n-j-y
（2）与双曲线共渐近的双曲线方程为；
与双曲线共焦点的圆锥曲线方程为。
（三）直线与双曲线的位置关系
注：圆锥曲线中参数的范围及最值问题，由于其能很好地考查学生对数学知识的迁移、组合、融会的能力，有利于提高学生综合运用所学知识分析、解决问题的能力，所以成为高考的热点。21*cnjy*com
在圆锥曲线中经常遇到求范围问题，这类问题在题目中往往没有给出不等关系，需要我们去寻找。对于圆锥曲线的参数的取值范围问题或最值问题，解法通常有两种：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义时，可考虑利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式（如双曲线的范围，直线与圆锥曲线相交时⊿>0等），通过解不等式（组）求得参数的取值范围；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系时，则可先建立目标函数，进而转化为求解函数的值域。【出处：21教育名师】
小结
1．双曲线的很多问题与椭圆有相似之处，在学习中要注意应用类比的方法，但一定要把握好它们的区别和联系．【版权所有：21教育】
2．双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一般先画出渐近线，要熟练掌握以下两个部分：
(1)已知双曲线方程，求它的渐近线；
(2)求已知渐近线的双曲线的方程．
如果已知渐近线方程为ax±by＝0时，可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)，再利用其他条件确定λ的值，求法的实质是待定系数法．21教育名师原创作品
3．双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点、两个顶点、虚轴的两个端点)，“四线”(两条对称轴、两近线)，
“两形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上的点与两焦点构成的三角形)来研究它们之间的关系．
例题精讲
考点一 双曲线的定义及应用
【例题1】（2016宁夏石嘴山平罗中学期末）已知F1、F2是双曲线的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点一点P与点F2关于直线对称，则该双曲线的离心率为（ ）
【来源：21cnj*y.co*m】
A、 B、 C、 D、2
【答案】 B 【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质 【解析】【解答】因为、是双曲线的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点一点与点关于直线对称，所以连结 ， 则可得到.并且 ， 联立.可得.所以.即可得离心率.故选B.
【变式训练1】焦点在x轴上，且渐近线方程为y=±2x的双曲线的方程是（?? ）
A、x2﹣ =1 B、=1 C、=1 D、y2﹣ =1
考点二 求双曲线的标准方程
【例题2】（2017北京丰台二模）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=± x的是（?? ）
A、x2﹣ =1 B、﹣y2=1 C、﹣x2=1 D、y2﹣ =1
【答案】D 【考点】双曲线的标准方程 【解析】【解答】解：由题意，A，B焦点在x轴上，C，D焦点在y轴上，D渐近线方程为y=± x=± x． 故选：D． 【分析】求得焦点的位置，渐近线方程，即可得出结论． 21教育网
【变式训练2】如图，已知双曲线C的右焦点为F，过它的右顶点A作实轴的垂线，与其一条渐近线相交于点B；若双曲线C的焦距为4，△OFB为等边三角形（O为坐标原点，即双曲线C的中心），则双曲线C的方程为________
考点三 双曲线的简单性质
【例题3】设双曲线的左,右焦点分别为,过的直线l交双曲线左支于A,B两点,则的最小值为( )
www.21-cn-jy.com
A、 B、11 C、12 D、16
【答案】 B 【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质，双曲线的应用 【解析】【解答】由题意，得： ,显然，AB最短即通径， ， 故 ， 故选B。 【分析】中档题，涉及双曲线的焦点弦问题，一般要考虑双曲线的定义，结合其它条件，建立方程组求解。
【变式训练3】（2017押题预测）如图，双曲线的中心在坐标原点，焦点在 轴上， ， 为双曲线的顶点， ， 为双曲线虚轴的端点， 为右焦点，延长 与 交于点 ，若 为锐角，则该双曲线的离心率的取值范围是（?? ）
A、 B、 C、 D、
真题精析
一
选择题
1、（2017?天津）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（ ）
A、 B、 C、 D、
2、（2017·天津）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为 ．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）
A、=1 B、=1 C、=1 D、=1
3、（2017?新课标Ⅱ）若a＞1，则双曲线 ﹣y2=1的离心率的取值范围是（??? ）
A、（ ，+∞） B、（ ，2） C、（1， ） D、（1，2）
4、（2017?新课标Ⅰ卷）已知F是双曲线C：x2﹣ =1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3）．则△APF的面积为（ ）
A、 B、 C、 D、
5、（2015新课标I）已知M（，）是双曲线C：上的一点，，是C上的两个焦点，若＜0，，则的取值范围是( )
A、（，） B、（，） C、（，） D、（，）
6、（2017?新课标Ⅱ）若双曲线C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（??? ） 21*cnjy*com
A、2 B、 C、 D、
7、(2015新课标II)已知A,B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120 ， 则E的离心率为（）
A、 B、2 C、 D、
8、（2014?新课标I）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（?? ） 【来源：21·世纪·教育·网】
A、 B、3 C、m D、3m
9、(2015·新课标I卷）已知M（x0, y0）是双曲线C：-y2=1上的一点，F1, F2是C上的两个焦点，若，则y0的取值范围是( )
A、(-,) B、(-,) C、(-,) D、(-,)
10、（2013?新课标Ⅰ）已知双曲线C： （a＞0，b＞0）的离心率为 ，则C的渐近线方程为（?? ）
A、y= B、y= C、y=±x D、y=
11、（2016?全国）已知F1 ， F2是双曲线E 的左，右焦点，点M在E上，M F1与 ?轴垂直，sin ?,则E的离心率为(? )
A、 B、 C、 D、2
12、（2016?全国）已知方程 ﹣ =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（ ）
A、（﹣1，3） B、（﹣1， ） C、（0，3） D、（0， ）
二、填空题
13、（2015全国统考II）已知双曲线过点（4，），且渐近线方程为y=x，则该双曲线的标准方程为________?。
14、(2015·新课标I卷）已知F是双曲线C: X2-=1的右焦点，P是C左支上一点，A(0,)，当△APF周长最小时，该三角形的面积为________?．
15、（2017?新课标Ⅲ）双曲线 （a＞0）的一条渐近线方程为y= x，则a=________．
16、（2017?新课标Ⅰ卷）已知双曲线C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为________?．
17、（2017?江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 ﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1 ， F2 ， 则四边形F1PF2Q的面积是________．
18、（2017?北京卷）若双曲线x2﹣ =1的离心率为 ，则实数m=________．
19、（2017?北京卷）若双曲线x2﹣ =1的离心率为 ，则实数m=________．
20、（2017·山东）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 =1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________． 2·1·c·n·j·y
21、（2017?山东）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 =1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________． 21·世纪*教育网
四、解答题
22、（2017·天津）设椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为 ．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为 ． （Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程； （Ⅱ）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为 ，求直线AP的方程．
模拟题精练
一、单选题
1、已知双曲线的右焦点是F, 过点F且倾角为600的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的范围是（??）
A、 B、 C、 D、
2、若P是双曲线：和圆的一个交点且， 其中是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为（? )
A、 B、 C、2 D、3
3、若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是（ ）
A、﹣=1 B、﹣=1 C、﹣=2 D、﹣=2
4、（2017广东深圳调研一模）若双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的 ，则该双曲线的离心率为（ ）
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A、 B、 C、2 D、
5、（2017广西柳州钦州一模）过双曲线 的左焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点，使得|AB|=4b，若这样的直线有且仅有两条，则离心率e的取值范围是（ ）
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A、 B、 C、 D、
6、（2017山东菏泽一中）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为（?? ）
A、 B、 C、 D、
7、（2017（理）押题预测）已知双曲线 （ ）的一个焦点与抛物线 的焦点重合，则双曲线的离心率为（?? ）
A、 B、 C、 D、
8、（2017河北唐山三模）已知双曲线C： 的一条渐近线方程为2x+y=0，则C的离心率为（?? ）
A、 B、或 C、2 D、
9、（2017湖南衡阳八中二模）已知F1、F2分别是双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（?? ）
A、（1， ） B、（ ，+∞） C、（ ，2） D、（2，+∞）
10、（2017内蒙古包头包钢一中二模）过曲线C1： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的左焦点F1作曲线C2：x2+y2=a2的切线，设切点为M，延长F1M交曲线C3：y2=2px（p＞0）于点N，其中曲线C1与C3有一个共同的焦点，若|MF1|=|MN|，则曲线C1的离心率为（?? ）
A、 B、﹣1 C、+1 D、
11、（2017宁夏石嘴山三中四模）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2﹣y2=1，过C1的左顶点引C1的一条渐进线的平行线，则该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积（?? ）
A、 B、 C、 D、
12、（2017青海西宁三校联考模拟）已知双曲线C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， O为坐标原点，点P是双曲线在第一象限内的点，直线PO，PF2分别交双曲线C的左、右支于另一点M，N，若|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=120°，则双曲线的离心率为（?? ）
A、 B、 C、 D、
13、（2017山东莱芜一中模拟）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为 + =1，双曲线C2的方程为 ﹣ =1，C1与C2的离心率之积为 ，则C2的渐近线方程为（?? ）
A、x± y=0 B、x±y=0 C、x±2y=0 D、2x±y=0
14、（2017陕西宝鸡二模）若曲线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是曲线 的右焦点，且C1与C2交点的连线过点F，则曲线C2的离心率为（?? ）
A、 B、 C、 D、
二、填空题
15、若以F1（﹣ ， 0），F2（ ， 0）为焦点的双曲线过点（2，1），则该双曲线的标准方程为________
16、已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的方程为________
三、综合题
17、（2017山西重点中学协作体一模）已知两定点F1（﹣ ，0），F2（ ，0），满足条件|PF2|﹣|PF1|=2的点P的轨迹是曲线E．
(1)求曲线E的方程；
(2)设过点（0，﹣1）的直线与曲线E交于A，B两点．如果|AB|=6 ，求直线AB的方程．
18、（2017湖北黄石三中学模拟）已知双曲线M： =1（a＞0，b＞0）的上焦点为F，上顶点为A，B为虚轴的端点，离心率e= ，且S△ABF=1﹣ ．抛物线N的顶点在坐标原点，焦点为F．
(1)求双曲线M和抛物线N的方程；
(2)设动直线l与抛物线N相切于点P，与抛物线的准线相交于点Q，则以PQ为直径的圆是否恒过y轴上的一个定点？如果经过，试求出该点的坐标，如果不经过，试说明理由．
2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
8.6 双曲线（答案）
知识回顾
1．双曲线的定义
平面内动点P与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a＜2c)，则点P的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
性 质
范 围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
例题精讲
考点一 双曲线的定义及应用
【变式训练1】焦点在x轴上，且渐近线方程为y=±2x的双曲线的方程是（?? ）
A、x2﹣ =1 B、=1 C、=1 D、y2﹣ =1
【答案】A 【考点】双曲线的定义 【解析】【解答】解：由题意，焦点在x轴上，且渐近线方程为y=±2x的双曲线的方程是x2﹣ =1， 故选A． 【分析】利用焦点在x轴上，且渐近线方程为y=±2x的双曲线的方程，结合选项，即可得出结论． 21教育网
考点二 求双曲线的标准方程
【变式训练2】如图，已知双曲线C的右焦点为F，过它的右顶点A作实轴的垂线，与其一条渐近线相交于点B；若双曲线C的焦距为4，△OFB为等边三角形（O为坐标原点，即双曲线C的中心），则双曲线C的方程为________
【答案】 【考点】双曲线的标准方程 【解析】【解答】∵双曲线C的右焦点为F，过它的右顶点A作实轴的垂线，与其一条渐近线相交于点B，双曲线C的焦距为4， ∴由已知设双曲线方程为 ， ∵△OFB为等边三角形（O为坐标原点，即双曲线C的中心）， ∴a=OA==1， ∴双曲线方程为： ． 故答案为： ．21cnjy.com
考点三 双曲线的简单性质
【变式训练3】（2017押题预测）如图，双曲线的中心在坐标原点，焦点在 轴上， ， 为双曲线的顶点， ， 为双曲线虚轴的端点， 为右焦点，延长 与 交于点 ，若 为锐角，则该双曲线的离心率的取值范围是（?? ） 21·cn·jy·com
A、 B、 C、 D、
【答案】D 【考点】双曲线的简单性质，双曲线的应用 【解析】【解答】设 ，所以 ，因为 为锐角，所以 与 的娇娇为锐角，所以 ，即 ，两边同时除以 并化简得 ，解得 ，又 ，所以 ；故选D.
真题精析
一
选择题
1、（2017?天津）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】D 【考点】双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点）， 可得c=2， ，即 ， ， 解得a=1，b= ，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为： ． 故选：D． 【分析】利用三角形是正三角形，推出a，b关系，通过c=2，求解a，b，然后得到双曲线的方程． 21·世纪*教育网
2、（2017·天津）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为 ．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）
A、=1 B、=1 C、=1 D、=1
【答案】B 【考点】斜率的计算公式，两条直线平行的判定，双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：设双曲线的左焦点F（﹣c，0），离心率e= = ，c= a， 则双曲线为等轴双曲线，即a=b， 双曲线的渐近线方程为y=± x=±x， 则经过F和P（0，4）两点的直线的斜率k= = ， 则 =1，c=4，则a=b=2 ， ∴双曲线的标准方程： ； 故选B． 【分析】由双曲线的离心率为 ，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x，根据直线的斜率公式，即可求得c的值，求得a和b的值，即可求得双曲线方程．
3、（2017?新课标Ⅱ）若a＞1，则双曲线 ﹣y2=1的离心率的取值范围是（??? ）
A、（ ，+∞） B、（ ，2） C、（1， ） D、（1，2）
【答案】C 【考点】函数的值域，双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：a＞1，则双曲线 ﹣y2=1的离心率为： = = ∈（1， ）． 故选：C． 【分析】利用双曲线方程，求出a，c然后求解双曲线的离心率的范围即可．
4、（2017?新课标Ⅰ卷）已知F是双曲线C：x2﹣ =1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3）．则△APF的面积为（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】D 【考点】三角形中的几何计算，双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：由双曲线C：x2﹣ =1的右焦点F（2，0）， PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3， 则P（2，3）， ∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3， ∴△APF的面积S= ×丨AP丨×丨PF丨= ， 故选D． 【分析】由题意求得双曲线的右焦点F（2，0），由PF与x轴垂直，代入即可求得P点坐标，根据三角形的面积公式，即可求得△APF的面积． 21世纪教育网版权所有
5、（2015新课标I）已知M（，）是双曲线C：上的一点，，是C上的两个焦点，若＜0，，则的取值范围是( )
2·1·c·n·j·y
A、（，） B、（，） C、（，） D、（，）
【答案】 A 【考点】一元二次不等式的解法，平面向量数量积坐标表示的应用，双曲线的标准方程 【解析】【解答】由题知（，0），（，0），所以=（-，-）·（-，-）==＜0，解得，故选A。 【分析】本题考查利用向量数量积的坐标形式将表示为关于点M坐标的函数，利用点M在双曲线上，消去，根据题意化为关于的不等式，即可解出的范围，是基础题，将表示为的函数是解本题的关键。21*cnjy*com
6、（2017?新课标Ⅱ）若双曲线C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（??? ） 【版权所有：21教育】
A、2 B、 C、 D、
【答案】A 【考点】直线与圆相交的性质，双曲线的简单性质，圆与圆锥曲线的综合 【解析】【解答】解：双曲线C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0， 圆（x﹣2）2+y2=4的圆心（2，0），半径为：2， 双曲线C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2， 可得圆心到直线的距离为： = ， 解得： ，可得e2=4，即e=2． 故选：A． 【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．
7、(2015新课标II)已知A,B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120 ， 则E的离心率为（）
A、 B、2 C、 D、
【答案】D 【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质 【解析】【解答】设双曲线方程为-=1(a0,b0),如图所示，|AB|=|BM|,ABM=1200，过点M作MNX轴，垂足为N，在RtBMN中，|BN|=a，|MN|=a，故点M的坐标为M（2a，a），代入双曲线方程得a2=b2=a2-c2 ， 即c2=2a2 ， 所以e=,故选 D. 【分析】 本题考查双曲线的标准方程和简单几何性质、解直角三角形只是，正确表示点M的坐标，利用“点在双曲线上”列方程是解题关键，属于中档题。 21*cnjy*com
8、（2014?新课标I）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（?? ）
A、 B、3 C、m D、3m
【答案】A 【考点】双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为 ， ∴一个焦点为（ ，0），一条渐近线方程为 =0， ∴点F到C的一条渐近线的距离为 = ． 故选：A． 【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．
9、(2015·新课标I卷）已知M（x0, y0）是双曲线C：-y2=1上的一点，F1, F2是C上的两个焦点，若，则y0的取值范围是( )
A、(-,) B、(-,) C、(-,) D、(-,)
【答案】 A 【考点】向量的几何表示，双曲线的标准方程 【解析】【解答】由题知F1（-,0），F2（，0），-y02=1. 所以=（--x0,-y0）·（-x0,-y0）=x02+y02-3=3y02-1<0.解得-10、（2013?新课标Ⅰ）已知双曲线C： （a＞0，b＞0）的离心率为 ，则C的渐近线方程为（?? ）
A、y= B、y= C、y=±x D、y=
【答案】D 【考点】双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：由双曲线C： （a＞0，b＞0）， 则离心率e= = = ，即4b2=a2 ， 故渐近线方程为y=± x= x， 故选：D． 【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2 ， 而渐近线方程为y=± x，代入可得答案．
11、（2016?全国）已知F1 ， F2是双曲线E 的左，右焦点，点M在E上，M F1与 ?轴垂直，sin ?,则E的离心率为(? )
A、 B、 C、 D、2
【答案】A 【考点】双曲线的简单性质 【解析】【解答】离心率 ，由正弦定理得 ． 故选A 【分析】以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率π的近似值．
12、（2016?全国）已知方程 ﹣ =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（ ）
A、（﹣1，3） B、（﹣1， ） C、（0，3） D、（0， ）
【答案】A 【考点】双曲线的标准方程 【解析】【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4， ∴c=2，可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1， ∵方程 ﹣ =1表示双曲线， ∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0， 解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）． 故选：A． 【分析】由已知可得c=2，利用4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得m2=1，又（m2+n）（3m2﹣n）＞0，从而可求n的取值范围.本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题．
二、填空题
13、（2015全国统考II）已知双曲线过点（4，），且渐近线方程为y=x，则该双曲线的标准方程为________?。
【答案】 【考点】双曲线的简单性质，双曲线的应用 【解析】【解答】根据双曲线渐近线方程为y=x，可设双曲线的方程为-y2=m，把（4，）代入-y2=m得m=1.所以双曲线的方程为-y2=1。 【分析】本题是求双曲线的标准方程,若设标准形式,需先判断焦点是在x轴上,还是在y轴上,而此题解法通过设共渐近线的双曲线的方程,就不需要判断双曲线焦点是在x轴上,还是在y轴上.一般的结论是：以y=x(a0,b0)为渐近线的双曲线的方程可设为-=m(m≠0)。
14、(2015·新课标I卷）已知F是双曲线C: X2-=1的右焦点，P是C左支上一点，A(0,)，当△APF周长最小时，该三角形的面积为________?．
【答案】 【考点】双曲线的定义 【解析】【解答】设双曲线的左焦点为F1 ， 由双曲线定义知，|PF|=2a+|PF1|, ∵△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+2a+|PF1|+|AF|=|PA|+|PF1|+|AF|+2a, 由于2a+|AF|是定值，要使△APF的周长最小，则|PA|+|PF1|最小，即P. A. F1共线，∵A（0，），F1（-3,0），∴直线AF1的方程为+=1，即x=-3代入x2-=1整理得y2+y-96=0, 解得y=2或y=-8(舍），所以P点的纵坐标为2，∴S△APF=S△AFF1-S△PFF1=. 【分析】解决解析几何问题，先通过已知条件和几何性质确定圆锥曲线的方程，再通过方程研究直线与圆锥曲线的位置关系，解析几何中的计算比较复杂，解决此类问题的关键要熟记圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质及直线与圆锥曲线位置关系的常见思路.
15、（2017?新课标Ⅲ）双曲线 （a＞0）的一条渐近线方程为y= x，则a=________．
【答案】5 【考点】双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：双曲线 （a＞0）的一条渐近线方程为y= x， 可得 ，解得a=5． 故答案为：5． 【分析】利用双曲线方程，求出渐近线方程，求解a即可．
16、（2017?新课标Ⅰ卷）已知双曲线C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为________?．
【答案】 【考点】双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：双曲线C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0）， 以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点． 若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°= ， 可得： = ，即 ，可得离心率为：e= ． 故答案为： ． 【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．
17、（2017?江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 ﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1 ， F2 ， 则四边形F1PF2Q的面积是________．
【答案】2 ? 【考点】双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：双曲线 ﹣y2=1的右准线：x= ，双曲线渐近线方程为：y= x， 所以P（ ， ），Q（ ，﹣ ），F1（﹣2，0）．F2（2，0）． 则四边形F1PF2Q的面积是： =2 ． 故答案为：2 ． 【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．
18、（2017?北京卷）若双曲线x2﹣ =1的离心率为 ，则实数m=________．
【答案】2 【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：双曲线x2﹣ =1（m＞0）的离心率为 ， 可得： ， 解得m=2． 故答案为：2． 【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可． www-2-1-cnjy-com
19、（2017?北京卷）若双曲线x2﹣ =1的离心率为 ，则实数m=________．
【答案】2 【考点】双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：双曲线x2﹣ =1（m＞0）的离心率为 ， 可得： ， 解得m=2． 故答案为：2． 【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可．
20、（2017·山东）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 =1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
【答案】y=± x 【考点】抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，双曲线的标准方程，双曲线的简单性质，圆锥曲线的综合 【解析】【解答】解：把x2=2py（p＞0）代入双曲线 =1（a＞0，b＞0）， 可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0， ∴yA+yB= ， ∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴yA+yB+2× =4× ， ∴ =p， ∴ = ． ∴该双曲线的渐近线方程为：y=± x． 故答案为：y=± x． 【分析】把x2=2py（p＞0）代入双曲线 =1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出．
21、（2017?山东）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 =1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
【答案】y=± x 【考点】抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，双曲线的标准方程，双曲线的简单性质，圆锥曲线的综合 【解析】【解答】解：把x2=2py（p＞0）代入双曲线 =1（a＞0，b＞0）， 可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0， ∴yA+yB= ， ∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴yA+yB+2× =4× ， ∴ =p， ∴ = ． ∴该双曲线的渐近线方程为：y=± x． 故答案为：y=± x． 【分析】把x2=2py（p＞0）代入双曲线 =1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出．
四、解答题
22、（2017·天津）设椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为 ．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为 ． （Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程； （Ⅱ）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为 ，求直线AP的方程．
【答案】（Ⅰ）解：设F的坐标为（﹣c，0）． 依题意可得 ， 解得a=1，c= ，p=2，于是b2=a2﹣c2= ． 所以，椭圆的方程为x2+ =1，抛物线的方程为y2=4x． （Ⅱ）解：直线l的方程为x=﹣1，设直线AP的方程为x=my+1（m≠0）， 联立方程组 ，解得点P（﹣1，﹣ ），故Q（﹣1， ）． 联立方程组 ，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y=﹣ ． ∴B（ ， ）． ∴直线BQ的方程为（ ﹣ ）（x+1）﹣（ ）（y﹣ ）=0， 令y=0，解得x= ，故D（ ，0）． ∴|AD|=1﹣ = ． 又∵△APD的面积为 ，∴ × = ， 整理得3m2﹣2 |m|+2=0，解得|m|= ，∴m=± ． ∴直线AP的方程为3x+ y﹣3=0，或3x﹣ y﹣3=0． 【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系，圆锥曲线的综合 【解析】【分析】（Ⅰ）根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b，p即可得出方程；（Ⅱ）设AP方程为x=my+1，联立方程组得出B，P，Q三点坐标，从而得出直线BQ的方程，解出D点坐标，根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案．
模拟题精练
一、单选题
1、已知双曲线的右焦点是F, 过点F且倾角为600的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的范围是（??）
A、 B、 C、 D、
【答案】C 【考点】双曲线的简单性质，双曲线的应用 【解析】【解答】若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．因为双曲线的右焦点是F, 若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率， 故选C. 【分析】解题时要注意挖掘隐含条件,根据直线的斜率与双曲线的渐近线斜率的关系来分析，从而得到双曲线的离心率的取值范围，属于中档题.
2、若P是双曲线：和圆的一个交点且， 其中是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为（? )
A、 B、 C、2 D、3
【答案】B 【考点】双曲线的应用 【解析】【解答】由题意，,且， 所以,, 设， .选B. 【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，解题时要认真审题，灵活运用双曲线的性质，合理地进行等价转化．
3、若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是（ ）
A、﹣=1 B、﹣=1 C、﹣=2 D、﹣=2
【答案】 D 【考点】椭圆的简单性质，双曲线的标准方程 【解析】【解答】由题意设双曲线方程为 ， 离心率为e 椭圆长轴的端点是（0，），所以a= ． ∵椭圆的离心率为 ∴双曲线的离心率e= ， ?c=2， ∴b= ， 则双曲线的方程是y2﹣x2=2． 故选D． 【分析】根据椭圆方程求得其长轴的端点坐标和离心率，进而可得双曲线的顶点和离心率，求得双曲线的实半轴和虚半轴的长，进而可得双曲线的方程．
4、（2017广东深圳调研一模）若双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A、 B、 C、2 D、
【答案】 D 【考点】双曲线的定义，双曲线的标准方程，双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：设双曲线的方程为： ，则c2=a2+b2， 渐近线方程为：y= x，则依据题意有： = ×2c 得c2=5a2，则e= . 故选：D. 【分析】利用点到直线的距离公式求出焦点到渐近线的距离；列出方程求出a，b，c的关系；求出离心率．
5、（2017广西柳州钦州一模）过双曲线 的左焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点，使得|AB|=4b，若这样的直线有且仅有两条，则离心率e的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】 D 【考点】双曲线的简单性质，双曲线的应用 【解析】【解答】解：由题意过双曲线 的左焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点，使得|AB|=4b，若这样的直线有且仅有两条，可得 ＜|AB|=4b，并且2a＞4b，e＞1， 可得：e＞ 或1 综合可得，有2条直线符合条件时，：e＞ 或1 ． 故选：D． 【分析】根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①AB只与双曲线右支相交，②AB与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，利用符合条件的直线的数目，综合可得答案．
6、（2017山东菏泽一中）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】 B 【考点】余弦定理，双曲线的定义，双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：不妨设点P（x0 ， y0）在双曲线的右支，由双曲线的第二定义得 ， ．由余弦定理得 cos∠F1PF2= ，即cos60°= ， 解得 ，所以 ，故P到x轴的距离为 故选B． 【分析】设点P（x0 ， y0）在双曲线的右支，由双曲线的第二定义得 ， ．由余弦定理得cos∠F1PF2= ，由此可求出P到x轴的距离．
7、（2017（理）押题预测）已知双曲线 （ ）的一个焦点与抛物线 的焦点重合，则双曲线的离心率为（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】B 【考点】双曲线的标准方程 【解析】【解答】由题意，双曲线的右焦点 与抛物线的焦点 重合，所以 ，解得t=1，则 ，所以双曲线的离心率为e=2，故选B. 【分析】本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程与几何性质，意在考查学生的运算求解能力.
8、（2017河北唐山三模）已知双曲线C： 的一条渐近线方程为2x+y=0，则C的离心率为（?? ）
A、 B、或 C、2 D、
【答案】D 【考点】双曲线的标准方程 【解析】【解答】解：∵双曲线的方程为 ， ∴双曲线的渐近线方程为y=± x，结合题意一条渐近线方程为y=﹣2x， 得 b：a=2：1， 设a=t，b=2t，则c= = t（t＞0） ∴该双曲线的离心率是e= = = ， 故选：D． 【分析】由题意设出双曲线的方程，得到它的一条渐近线方程y= x即y=﹣2x，由此可得b：a=2：1，结合双曲线的平方关系可得c与a的比值，求出该双曲线的离心率．
9、（2017湖南衡阳八中二模）已知F1、F2分别是双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（?? ）
A、（1， ） B、（ ，+∞） C、（ ，2） D、（2，+∞）
【答案】D 【考点】双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：双曲线 ﹣ =1的渐近线方程为y=± x， 不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y= （x﹣c）， 与y=﹣ x联立，可得交点M（ ，﹣ ）， ∵点M在以线段F1F2为直径的圆外， ∴|OM|＞|OF2|，即有 ＞c2 ， ∴b2＞3a2 ， ∴c2﹣a2＞3a2 ， 即c＞2a． 则e= ＞2． ∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）． 故选：D． 【分析】根据斜率与平行的关系即可得出过焦点F2的直线，与另一条渐近线联立即可得到交点M的坐标，再利用点M在以线段F1F2为直径的圆外和离心率的计算公式即可得出．
10、（2017内蒙古包头包钢一中二模）过曲线C1： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的左焦点F1作曲线C2：x2+y2=a2的切线，设切点为M，延长F1M交曲线C3：y2=2px（p＞0）于点N，其中曲线C1与C3有一个共同的焦点，若|MF1|=|MN|，则曲线C1的离心率为（?? ）
A、 B、﹣1 C、+1 D、
【答案】D 【考点】双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：设双曲线的右焦点为F2 ， 则F2的坐标为（c，0） 因为曲线C1与C3有一个共同的焦点，所以y2=4cx 因为O为F1F2的中点，M为F1N的中点，所以OM为△NF1F2的中位线， 所以OM∥NF2 ， 因为|OM|=a，所以|NF2|=2a 又NF2⊥NF1 ， |FF2|=2c 所以|NF1|=2b 设N（x，y），则由抛物线的定义可得x+c=2a， ∴x=2a﹣c 过点F1作x轴的垂线，点N到该垂线的距离为2a 由勾股定理 y2+4a2=4b2 ， 即4c（2a﹣c）+4a2=4（c2﹣a2） 得e2﹣e﹣1=0， ∴e= ． 故选：D 【分析】双曲线的右焦点的坐标为（c，0），利用O为F1F2的中点，M为F1N的中点，可得OM为△NF1F2的中位线，从而可求|NF1|，再设N（x，y） 过点F作x轴的垂线，由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率． 【来源：21·世纪·教育·网】
11、（2017宁夏石嘴山三中四模）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2﹣y2=1，过C1的左顶点引C1的一条渐进线的平行线，则该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】C 【考点】双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：双曲线C1：2x2﹣y2=1，即 ﹣y2=1左顶点A（﹣ ，0）， 渐近线方程y=± x， 过点A与渐近线y= 平行的直线方程为y= （x+ ）， 即y= x+1， 解方程组 ，得x=﹣ ，y= ∴该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积：S= |OA|?|y|= × × = ， 故选：C 【分析】双曲线C1：左顶点A（﹣ ，0），过点A与渐近线y= x平行的直线方程为y= x+1，由此能求出该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积．
12、（2017青海西宁三校联考模拟）已知双曲线C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， O为坐标原点，点P是双曲线在第一象限内的点，直线PO，PF2分别交双曲线C的左、右支于另一点M，N，若|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=120°，则双曲线的离心率为（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】B 【考点】双曲线的应用 【解析】【解答】解：由题意，|PF1|=2|PF2|， 由双曲线的定义可得，|PF1|﹣|PF2|=2a， 可得|PF1|=4a，|PF2|=2a 由四边形PF1MF2为平行四边形， 又∠MF2N=120°，可得∠F1PF2=120°， 在三角形PF1F2中，由余弦定理可得 4c2=16a2+4a2﹣2?4a?2a?cos120°， 即有4c2=20a2+8a2 ， 即c2=7a2 ， 可得c= a， 即e= = ． 故选B． 【分析】由题意，|PF1|=2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|=2a，可得|PF1|=4a，|PF2|=2a，由∠MF2N=120°，可得∠F1PF2=120°，由余弦定理可得4c2=16a2+4a2﹣2?4a?2a?cos120°，即可求出双曲线C的离心率． 【来源：21cnj*y.co*m】
13、（2017山东莱芜一中模拟）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为 + =1，双曲线C2的方程为 ﹣ =1，C1与C2的离心率之积为 ，则C2的渐近线方程为（?? ）
A、x± y=0 B、x±y=0 C、x±2y=0 D、2x±y=0
【答案】A 【考点】双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为 + =1，C1的离心率为： ， 双曲线C2的方程为 ﹣ =1，C2的离心率为： ， ∵C1与C2的离心率之积为 ， ∴ ， ∴ = ， = ， C2的渐近线方程为：y= ，即x± y=0． 故选：A． 【分析】求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解双曲线的渐近线方程．
14、（2017陕西宝鸡二模）若曲线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是曲线 的右焦点，且C1与C2交点的连线过点F，则曲线C2的离心率为（?? ） 【出处：21教育名师】
A、 B、 C、 D、
【答案】B 【考点】双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：由题意，不妨得出C1与C2交点为（ ，p）， 代入双曲线方程得： ﹣ =1， ∵曲线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是曲线 的右焦点， ∴ =c ∴ ﹣4 =1， 根据b2=c2﹣a2 ， 化简得 c4﹣6a2c2+a4=0 ∴e4﹣6e2+1=0 e2=3+2 =（1+ ）2 ∴e= +1 故选B． 【分析】先根据抛物线方程得到焦点坐标和交点坐标，代入双曲线方程，结合a，b，c的关系得到关于离心率e的方程，进而可求得e．
二、填空题
15、若以F1（﹣ ， 0），F2（ ， 0）为焦点的双曲线过点（2，1），则该双曲线的标准方程为________
【答案】 【考点】双曲线的标准方程 【解析】【解答】∵以F1（﹣ ， 0），F2（ ， 0）为焦点的双曲线过点（2，1）， ∴设双曲线方程为 ， a＞0， 把（2，1）代入，得： ， a＞0， 解得a2=2，或a2=6（舍）， ∴该双曲线的标准方程为 ． 故答案为： ． 【分析】设双曲线方程为 ， a＞0，把（2，1）代入，能求出该双曲线的标准方程。
16、已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的方程为________
【答案】 【考点】双曲线的标准方程 【解析】【解答】∵椭圆的焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0）， ∴所求双曲线的焦点坐标为F1（﹣4，0），F2（4，0）， ∵双曲线的离心率为2， ∴ ∴双曲线方程为 ． 故答案为： ． 【分析】求出椭圆椭圆的焦点，从而得到双曲线的焦点，再由双曲线的离心率能求出双曲线的方程．2-1-c-n-j-y
三、综合题
17、（2017山西重点中学协作体一模）已知两定点F1（﹣ ，0），F2（ ，0），满足条件|PF2|﹣|PF1|=2的点P的轨迹是曲线E．
(1)求曲线E的方程；
(2)设过点（0，﹣1）的直线与曲线E交于A，B两点．如果|AB|=6 ，求直线AB的方程．
【答案】（1）解：由双曲线的定义可知，曲线E是以F1（﹣ ，0），F2（ ，0）为焦点的双曲线的左支，且c= ，a=1， ∴b= =1，故曲线E的方程为x2﹣y2=1（x＜0） （2）解：设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），由题意建立方程组 ，消去y，得（1﹣k2）x2+2kx﹣2=0， 又已知直线与双曲线左支交于两点A，B，有 ， 解得﹣ ＜k＜﹣1． ∵|AB|= = =2 = ， ∴28k4﹣55k2+25=0， ∴ 或 ， ∵﹣ ＜k＜﹣1， ∴ ， ∴直线AB的方程为 【考点】双曲线的应用，直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】（1）根据条件|PF2|﹣|PF1|=2，利用双曲线的定义，可求曲线E的方程；（2）直线方程代入双曲线方程，利用直线与双曲线左支交于两点A，B，求出k的范围，再利用|AB|=6 ，求出k的值，从而可求直线AB的方程． 21教育名师原创作品
18、（2017湖北黄石三中学模拟）已知双曲线M： =1（a＞0，b＞0）的上焦点为F，上顶点为A，B为虚轴的端点，离心率e= ，且S△ABF=1﹣ ．抛物线N的顶点在坐标原点，焦点为F．
(1)求双曲线M和抛物线N的方程；
(2)设动直线l与抛物线N相切于点P，与抛物线的准线相交于点Q，则以PQ为直径的圆是否恒过y轴上的一个定点？如果经过，试求出该点的坐标，如果不经过，试说明理由．
【答案】（1）解：由双曲线M： =1（a＞0，b＞0）的离心率e= = ，① 三角形的面积S= （c﹣a）b=1﹣ ，② 由c2=a2+b2 ， ③ 解得：a= ，b=1，c=2， ∴双曲线的标准方程： ，则双曲线的上焦点F（0，2）， 则抛物线N的方程：x2=8y； （2）解：由（1）可得抛物线N的方程：x2=8y，准线方程y=﹣2， 由y= x2 ， y′= x，设P（x0 ， x02），则直线l的方程y﹣ x02= x0（x﹣x0）， 即y= x0x﹣ x02 ， 联立y=﹣2，则Q（ ，﹣2）， 假设存在定点M（0，m）满足假设条件，则 ? =0，对任意点恒成立， 则 =（x0 ， x02﹣m）， =（ ，﹣2﹣m）， ∴ ﹣（m+2）（ x02﹣m）=0，即 x02+m（m+2）﹣8=0，对任意实数x0（x0≠0）恒成立， ，解得：m=2， ∴以PQ为直径的圆经过y轴上的定点M（0，2）． 【考点】双曲线的应用 【解析】【分析】（1）根据双曲线的离心率公式及三角形的面积公式，即可求得a和b的值，即可求得双曲线的方程，求得焦点坐标，即可求得p的值，求得抛物线N的方程；（2）利用导数求得切线方程，联立y=﹣2，即可求得Q点坐标，根据向量数量积的坐标，由 x02+m（m+2）﹣8=0，对任意实数x0（x0≠0）恒成立，即可求得m的值，即可求得以PQ为直径的圆是否恒过y轴上的一个定点． www.21-cn-jy.com
