2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
8.5 椭 圆
考纲剖析
1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．
2．了解椭圆的简单应用．
3．理解数形结合的思想.
知识回顾
1．椭圆的定义
在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做 ．这两定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 ．21*cnjy*com
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
图 形
性质
范 围
对称性
顶点
轴
焦距
离心率
a，b，c
的关系
精讲方法
（一）椭圆的定义以及标准方程
1.椭圆定义的应用
利用椭圆的定义解题时，一方面要注意常数2a>|F1F2|这一条件；另一方面要注意由椭圆上任意一点与两个焦点所组成的“焦点三角形”中的数量关系.21·世纪*教育网
2.椭圆的标准方程
（1）当已知椭圆的焦点在x轴上时，其标准方程为+=1(a>b>0)；当已知椭圆的焦点在y轴上时，其标准方程为+=1(a>b>0)；
（2）当已知椭圆的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为+=1(m>0,n>0,m≠n)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)这种形式,在解题时更简便.
求椭圆的标准方程主要有定义、待定系数法，有时还可根据条件用代入法。用待定系数法求椭圆方程的一般步骤是：
（1）作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能。
（2）设方程：根据上述判断设方程。
（3）找关系：根据已知条件，建立关于的方程组。
（4）得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求。
注：当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为，这种形式在解题时更简便。2·1·c·n·j·y
（二）椭圆的几何性质
1.椭圆几何性质中的不等关系
椭圆的几何性质涉及一些不等关系，例如对椭圆，有等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值时，经常用到这些不等关系。
2.利用椭圆几何性质应注意的问题
求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系.
3.求椭圆的离心率问题的一般思路
求椭圆的离心率时，一般是依据题设得出一个关于a、b、c的等式（或不等式），利用a2=b2+c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围.或者是：
应先将e用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e的等式或不等式，从而求出e的值或范围。离心率e与的关系：
注：椭圆离心率的范围:0（三）直线与椭圆的位置关系
1．直线与椭圆位置关系的判定
把椭圆方程与直线方程y=kx+b联立消去y，整理成形如的形式，对此一元二次方程有：
（1）⊿>0,直线与椭圆相交，有两个公共点；
（2）⊿=0，直线与椭圆相切，有一个公共点；
（3）⊿<0，直线与椭圆相离，无公共点。
故直线与椭圆位置关系判断的步骤：
第一步：联立直线方程与椭圆方程；
第二步：消元得出关于x（或y）的一元二次方程；
第三步：当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ=0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离.
2．直线被椭圆截得的张长公式，设直线与椭圆交于两点，则
注：解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决。
3.直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法
注：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.
例题精讲
考点一 椭圆定义及标准方程
【例题1】3、（2017黑龙江鹤岗一中期中）已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（?? ） 2-1-c-n-j-y
A、（x≠0） B、（x≠0） C、（x≠0） D、（x≠0）
【答案】B 【考点】椭圆的定义 【解析】【解答】解：∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4）， ∴BC=8，AB+AC=20﹣8=12， ∵12＞8 ∴点A到两个定点的距离之和等于定值， ∴点A的轨迹是椭圆， ∵a=6，c=4 ∴b2=20， ∴椭圆的方程是 故选B． 【分析】根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．
【变式训练1】1、设椭圆的左、右焦点分别为 ， 为椭圆上异于长轴端点的一点， ， △的内心为I，则=（ ）
A、 B、 C、 D、
考点二 椭圆的几何性质
【例题2】（2017安徽安庆一中三模）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左焦点为F，直线y=kx（k＞0）与椭圆C交于A，B两点，若 ，则C的离心率取值范围为（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】B 【考点】椭圆的简单性质 【解析】【解答】解：设F2是椭圆的右焦点，由AF⊥BF， ∵O点为AB的中点，丨OF丨=丨OF2丨，则四边形AFBF2是平行四边形， ∴四边形AFBF2是矩形． 如图所示设∠ABF=θ，则丨BF丨=2ccosθ，丨BF2丨=丨AF丨=2csinθ， 丨BF丨+丨BF2丨=2a， ∴2ccosθ+2csinθ=2a， ∴e= ， sinθ+cosθ= sin（θ+ ）， ∵θ∈（0， ]， ∴θ+ ∈（ ， ]，则sin（θ+ ）∈（ ， ）， ∴ sin（θ+ ）∈（1， ）， ∴e∈[ ，1）． 故选B． 【分析】由题意可知：四边形AFBF2是矩形．由丨BF丨=2ccosθ，丨BF2丨=丨AF丨=2csinθ，根据椭圆的定义丨BF丨+丨BF2丨=2a，即可表示出e= ，利用辅助角公式，及正弦函数的性质，即可求得sinθ+cosθ的取值范围，即可求得椭圆的离心率的取值范围．
【变式训练2】（2017福建三明二模）已知F1 ， F2是椭圆 的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则 （其中e为椭圆C的离心率）的最小值为（?? ）
A、 B、 C、 D、
考点三 直线与椭圆的位置关系
【例题3】（2017山东日照二模）已知椭圆C： 的上、下焦点分别为F1 ， F2 ， 上焦点F1到直线 4x+3y+12=0的距离为3，椭圆C的离心率e= ．
（I）若P是椭圆C上任意一点，求| || |的取值范围； （II）设过椭圆C的上顶点A的直线l与椭圆交于点B（B不在y轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与x轴交于点H，若 =0，且| |=| |，求直线l的方程．
【答案】解：（Ⅰ）由已知椭圆C方程为 ， 设椭圆上焦点F1（0，c），由F1到直线4x+3y+12=0的距离为3， 得 ，又椭圆C的离心率 ，所以 ，又a2=b2+c2 ， 求得a2=4?b2=3．椭圆C方程为 ， 所以1≤|PF1|≤3，设 ， =﹣（t﹣2）2+4，t=2时， 最大值为4，t=1或3时， 最小值为3， 取值范围是[3，4]．…（5分） （Ⅱ）设直线l的斜率为k， 则直线l方程y﹣2=kx，设B（xB ， yB），A（xA ， yA）， 由 ，得（3k2+4）x2+12kx=0， 则有xA=0， ，所以 ， 所以 ， ， 由已知 ， 所以 ，解得 ， ， ，yM=1，MH的方程 ，联立 ， ，解得 ， 所以直线l的方程为 【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】（Ⅰ）设椭圆上焦点F1（0，c），由F1到直线4x+3y+12=0的距离为3，结合椭圆C的离心率 ，求出椭圆C方程，推出1≤|PF1|≤3，设 ， =﹣（t﹣2）2+4，t=2时，然后求解 取值范围．（Ⅱ）设直线l的斜率为k，直线l的方程y﹣2=kx，设B（xB ， yB），A（xA ， yA），联立直线与椭圆方程，求出A，B坐标，利用 ，求出H、M的坐标，推出k即可求出直线l的方程． 21cnjy.com
【变式训练3】（2017河北保定徐水全真模拟）如图，椭圆C： =1（a＞b＞0）的右顶点为A（2，0），左、右焦点分别为F1、F2 ， 过点A且斜率为 的直线与y轴交于点P，与椭圆交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点F1 ． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）过点P且斜率大于 的直线与椭圆交于M，N两点（|PM|＞|PN|），若S△PAM：S△PBN=λ，求实数λ的取值范围． 21*cnjy*com
真题精析
一、选择题
1、（2017?新课标Ⅲ）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1 ， A2 ， 且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（ ）
A、 B、 C、 D、
2、（2016?全国）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 ，则该椭圆的离心率为（ ） 21教育名师原创作品
A、 B、 C、 D、
3、（2016?全国）已知O为坐标原点，F是椭圆C： （a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（ ）
A、 B、 C、 D、
4、（2013?新课标Ⅰ）已知椭圆E： 的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（?? ）
A、 B、 C、 D、
5、（2017?新课标Ⅲ）已知双曲线C： ﹣ =1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y= x，且与椭圆 + =1有公共焦点，则C的方程为（??? ）
A、﹣ =1 B、﹣ =1 C、﹣ =1 D、﹣ =1
6、（2017?新课标Ⅲ）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1 ， A2 ， 且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（??? ）
A、 B、 C、 D、
7、（2017?浙江）椭圆 + =1的离心率是（??? ）
A、 B、 C、 D、
8、（2017?新课标Ⅰ卷）设A，B是椭圆C： + =1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（ ） www.21-cn-jy.com
A、（0，1]∪[9，+∞） B、（0， ]∪[9，+∞） C、（0，1]∪[4，+∞） D、（0， ]∪[4，+∞）【来源：21cnj*y.co*m】
二、填空题
9、(2015·新课标I卷）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________?? .
三、解答题
10、（2017?新课标Ⅰ卷）已知椭圆C： + =1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1， ），P4（1， ）中恰有三点在椭圆C上．（12分）
(1)求C的方程；
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．
11、（2017?新课标Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C： +y2=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足 = ． （Ⅰ）求点P的轨迹方程； （Ⅱ）设点Q在直线x=﹣3上，且 ? =1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
12、（2017?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 离心率为 ，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1 ， 过点F2作直线PF2的垂线l2 ． （Ⅰ）求椭圆E的标准方程； （Ⅱ）若直线l1 ， l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．
13、（2017?北京卷）已知椭圆C的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为 ． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．求证：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．
14、（2017·山东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2 ． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）动直线l：y=kx+m（m≠0）交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|．设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值． 21教育网
15、（2017·天津）设椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为 ．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为 ． （Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程； （Ⅱ）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为 ，求直线AP的方程．
16、（2017?天津）已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为 ．（14分） （I）求椭圆的离心率； （II）设点Q在线段AE上，|FQ|= c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c． （i）求直线FP的斜率； （ii）求椭圆的方程． 21·cn·jy·com
17、（2017?山东）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，焦距为2． （Ⅰ）求椭圆E的方程． （Ⅱ）如图，该直线l：y=k1x﹣ 交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2 ， 且看k1k2= ，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．
18、（2014?新课标II）设F1 ， F2分别是C： （a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．
(1)若直线MN的斜率为 ，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．
19、（2014?新课标I）已知点A（0，﹣2），椭圆E： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为 ，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
20、（2017?新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题： 21世纪教育网版权所有
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
21、（2013?新课标Ⅱ）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M： （a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣ =0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为 ．(1)求M的方程(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
22、（2016?全国）已知椭圆E: 的焦点在 轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点，点N在E上，MA⊥NA.
(1)当t=4， 时，求△AMN的面积；
(2)当 时，求k的取值范围.
23、（2016?全国）已知A是椭圆E： =1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E与A，M两点，点N在E上，MA⊥NA． 【版权所有：21教育】
(1)当|AM|=|AN|时，求△AMN的面积
(2)当2|AM|=|AN|时，证明： ＜k＜2．
24、(2015新课标II)已知椭圆C:9x2+y2=m2（m0），直线l不过原点O且不平行于坐轴，l与C有两个交点A,B，线段AB的中点为M.
(1)(I)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
(2)（II）若l过点(,m)延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由．
模拟题精练
一、单选题
1、（2017黑龙江鹤岗一中期中）已知椭圆 上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为（?? ）
A、9 B、7 C、5 D、3
2、（2017新疆兵团农二师华山中学）已知方程 + =1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（?? ）
A、m＜2 B、1＜m＜2 C、m＜﹣1或1＜m＜2 D、m＜﹣1或1＜m＜
3、（2017河北邢台二中二模）椭圆x2+ =1（0＜b＜1）的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，若△FAB的外接圆圆心P（m，n）在直线y=﹣x的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（?? ）
A、（ ，1） B、（ ，1） C、（0， ） D、（0， ）
4、（2017湖北黄石三中学模拟）如图，A1 ， A2为椭圆 长轴的左、右端点，O为坐标原点，S，Q，T为椭圆上不同于A1 ， A2的三点，直线QA1 ， QA2 ， OS，OT围成一个平行四边形OPQR，则|OS|2+|OT|2=（?? ） www-2-1-cnjy-com
A、14 B、12 C、9 D、7
二、综合题
5、（2017江西宜春模拟）如图，椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率是 ，且过点（ ， ）．设点A1 ， B1分别是椭圆的右顶点和上顶点，如图所示过 点A1 ， B1引椭圆C的两条弦A1E、B1F．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线A1E与B1F的斜率是互为相反数． ①求直线EF的斜率k0②设直线EF的方程为y=k0x+b（﹣1≤b≤1）设△A1EF、△B1EF的面积分别为S1和S2 ， 求S1+S2的取值范围．
6、已知椭圆 （a＞b＞0），右焦点 ，点 在椭圆上；
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，且∠AFB=90°？若存在，请求出所有符合要求的直线；若不存在，请说明理由．
7、（2017湖南衡阳十校联考三模）已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）经过点（ ，1），以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆经过椭圆的焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点（﹣1，0）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，试问在x轴上是否存在一个定点M，使得 ? 恒为定值？若存在，求出该定值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．
8、（2017江苏盐城三模）已知A、F分别是椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左顶点、右焦点，点P为椭圆C上一动点，当PF⊥x轴时，AF=2PF．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若椭圆C存在点Q，使得四边形AOPQ是平行四边形（点P在第一象限），求直线AP与OQ的斜率之积；
(3)记圆O：x2+y2= 为椭圆C的“关联圆”．若b= ，过点P作椭圆C的“关联圆”的两条切线，切点为M、N，直线MN的横、纵截距分别为m、n，求证： + 为定值．
9、（2017江西赣州二模）如图，椭圆 的离心率为 ，顶点为A1、A2、B1、B2 ， 且 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线B2P交x轴于点Q，直线A1B2交A2P于点E．设A2P的斜率为k，EQ的斜率为m，试问2m﹣k是否为定值？并说明理由．
10、（2017辽宁葫芦岛二模）已知椭圆的两个焦点为 ， 是椭圆上一点，若 ， ．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线l过右焦点 （不与x轴重合）且与椭圆相交于不同的两点A，B，在x轴上是否存在一个定点P（x0 ， 0），使得 的值为定值？若存在，写出P点的坐标（不必求出定值）；若不存在，说明理由．
11、（2017青海西宁三校联考模拟）已知椭圆C： + =1（a＞b＞D）的离心率为 ，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为 ．
(1)求a、b的值；
(2)C上是否存在点P，使得当l绕P转到某一位置时，有 = + 成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．
12、（2017江西九江三模）如图所示，已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的焦距为2，直线y=x被椭圆C截得的弦长为 ． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设点M（x0 ， y0）是椭圆C上的动点，过原点O引两条射线l1 ， l2与圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2= 分别相切，且l1 ， l2的斜率k1 ， k2存在． ①试问k1?k2是否定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由； ②若射线l1 ， l2与椭圆C分别交于点A，B，求|OA|?|OB|的最大值．
13、（2017福建三明二模）已知椭圆 的右焦点F（1，0），椭圆Γ的左，右顶点分别为M，N．过点F的直线l与椭圆交于C，D两点，且△MCD的面积是△NCD的面积的3倍． （Ⅰ）求椭圆Γ的方程； （Ⅱ）若CD与x轴垂直，A，B是椭圆Γ上位于直线CD两侧的动点，且满足∠ACD=∠BCD，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由． 【出处：21教育名师】
14、（2017陕西延安黄陵中学考前模拟）已知点A（0，﹣2），椭圆E： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为 ，O为坐标原点． （Ⅰ）求E的方程； （Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
15、（2017宁夏石嘴山三中四模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆 的离心率为 ，直线y=x被椭圆C截得的线段长为 ． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．设直线BD，AM斜率分别为k1 ， k2 ， 证明存在常数λ使得k1=λk2 ， 并求出λ的值． 【来源：21·世纪·教育·网】
2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
8.5 椭 圆（答案）
知识回顾
1．椭圆的定义
在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．21世纪教育网版权所有
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1
(a>b>0)
图 形
性质
范 围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0,1)
a，b，c
的关系
c2＝a2－b2
例题精讲
考点一 椭圆定义及标准方程
【变式训练1】设椭圆的左、右焦点分别为 ， 为椭圆上异于长轴端点的一点， ， △的内心为I，则=（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】 A 【考点】椭圆的定义，椭圆的简单性质，椭圆的应用 【解析】【解答】由题意，|MF1|+|MF2|=4，而|F1F2|=2 ， 设圆与MF1、MF2 ， 分别切于点A，B，根据切线长定理就有|F1F2|=|F1A|+|F2B|=2 ， 所以|MI|cosθ=|MA|=|MB|= ， 故选A． 【分析】小综合题，将椭圆的基础知识与圆的知识综合考查，难度不大，注意结合图形特征，寻求解题途径。21*cnjy*com
考点二 椭圆的几何性质
【变式训练2】（2017福建三明二模）已知F1 ， F2是椭圆 的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则 （其中e为椭圆C的离心率）的最小值为（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】C 【考点】椭圆的简单性质 【解析】【解答】解：如图所示，由切线的性质可得：OQ⊥PF2 ． 又点O为线段F1F2的中点，Q为线段PF2的中点， ∴OQ∥PF1 ， ∴PF1⊥PF2 ． ∴|PF1|=2|OQ|=2b，|PF2|=2a﹣2b． 在Rt△PF1F2中，（2b）2+（2a﹣2b）2=（2c）2 ， 化为：b2+（a﹣b）2=c2=a2﹣b2 ， 化为：b= ． ∴c2=a2﹣b2= = ． ∴ = = = ≥ = ，当且仅当a2= 时取等号． ∴ （其中e为椭圆C的离心率）的最小值为 ． 故选：C． 【分析】如图所示，由切线的性质可得：OQ⊥PF2 ． 又点O为线段F1F2的中点，利用三角形中位线定理可得：OQ∥PF1 ， PF1⊥PF2 ． 再利用椭圆的定义、勾股定理可得（2b）2+（2a﹣2b）2=（2c）2 ， 化为：b= ．c2=a2﹣b2= ．代入 ，利用基本不等式的性质即可得出． 【来源：21·世纪·教育·网】
考点三 直线与椭圆的位置关系
【变式训练3】（2017河北保定徐水全真模拟）如图，椭圆C： =1（a＞b＞0）的右顶点为A（2，0），左、右焦点分别为F1、F2 ， 过点A且斜率为 的直线与y轴交于点P，与椭圆交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点F1 ． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）过点P且斜率大于 的直线与椭圆交于M，N两点（|PM|＞|PN|），若S△PAM：S△PBN=λ，求实数λ的取值范围． 21*cnjy*com
【答案】解：（Ⅰ）因为BF1⊥x轴，得到点 ， 所以 ，所以椭圆C的方程是 ． （Ⅱ）因为 ， 所以 ．由（Ⅰ）可知P（0，﹣1），设MN方程：y=kx﹣1，M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）， 联立方程 得：（4k2+3）x2﹣8kx﹣8=0．即得 （*） 又 ，有 ， 将 代入（*）可得： ． 因为 ，有 ， 则 且λ＞2 ． 综上所述，实数λ的取值范围为 【考点】椭圆的应用，直线与圆锥曲线的关系 【解析】【分析】（Ⅰ）利用已知条件列出方程组，求解椭圆的几何量，然后求解椭圆C的方程．（Ⅱ）利用三角形的面积的比值，推出线段的比值，得到 ．设MN方程：y=kx﹣1，M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），联立方程 ，利用韦达定理，求出 ，解出 ，将 椭圆方程，然后求解实数λ的取值范围． 21cnjy.com
真题精析
一、选择题
1、（2017?新课标Ⅲ）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1 ， A2 ， 且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】A 【考点】圆的标准方程，直线与圆的位置关系，椭圆的简单性质 【解析】【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切， ∴原点到直线的距离 =a，化为：a2=3b2 ． ∴椭圆C的离心率e= = = ． 故选：A． 【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，可得原点到直线的距离 =a，化简即可得出．
2、（2016?全国）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 ，则该椭圆的离心率为（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】B 【考点】椭圆的简单性质 【解析】【解答】解：设椭圆的方程为： ，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点， 则直线方程为： ，椭圆中心到l的距离为其短轴长的 ，可得： ，4=b2（ ），∴ ，=3，∴e= = ． 故选：B． 【分析】设出椭圆的方程，求出直线的方程，利用已知条件列出方程，即可求解椭圆的离心率．；本题考查椭圆的简单性质的应用，考查点到直线的距离公式，椭圆的离心率的求法，考查计算能力．
3、（2016?全国）已知O为坐标原点，F是椭圆C： （a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】A 【考点】椭圆的简单性质 【解析】【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=±b =± ，可得P（﹣c， ）， 设直线AE的方程为y=k（x+a）， 令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka）， 设OE的中点为H，可得H（0， ）， 由B，H，M三点共线，可得kBH=kBM ， 即为 = ，化简可得 = ，即为a=3c，可得e= = ． 故选：A． 【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
4、（2013?新课标Ⅰ）已知椭圆E： 的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】D 【考点】椭圆的标准方程 【解析】【解答】解：设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， 代入椭圆方程得 ， 相减得 ， ∴ ． ∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2， = = ． ∴ ， 化为a2=2b2 ， 又c=3= ，解得a2=18，b2=9． ∴椭圆E的方程为 ． 故选D． 【分析】设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），代入椭圆方程得 ，利用“点差法”可得 ．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得 = = ．于是得到 ，化为a2=2b2 ， 再利用c=3= ，即可解得a2 ， b2 ． 进而得到椭圆的方程．
5、（2017?新课标Ⅲ）已知双曲线C： ﹣ =1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y= x，且与椭圆 + =1有公共焦点，则C的方程为（??? ）
A、﹣ =1 B、﹣ =1 C、﹣ =1 D、﹣ =1
【答案】B 【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，双曲线的标准方程，双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：椭圆 + =1的焦点坐标（±3，0）， 则双曲线的焦点坐标为（±3，0），可得c=3， 双曲线C： ﹣ =1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y= x， 可得 ，即 ，可得 = ，解得a=2，b= ， 所求的双曲线方程为： ﹣ =1． 故选：B． 【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程．
6、（2017?新课标Ⅲ）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1 ， A2 ， 且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（??? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】A 【考点】圆的标准方程，直线与圆的位置关系，椭圆的简单性质 【解析】【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切， ∴原点到直线的距离 =a，化为：a2=3b2 ． ∴椭圆C的离心率e= = = ． 故选：A． 【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，可得原点到直线的距离 =a，化简即可得出．
7、（2017?浙江）椭圆 + =1的离心率是（??? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】B 【考点】椭圆的简单性质 【解析】【解答】解：椭圆 + =1，可得a=3，b=2，则c= = ， 所以椭圆的离心率为： = ． 故选：B． 【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可．
8、（2017?新课标Ⅰ卷）设A，B是椭圆C： + =1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（ ） www-2-1-cnjy-com
A、（0，1]∪[9，+∞） B、（0， ]∪[9，+∞） C、（0，1]∪[4，+∞） D、（0， ]∪[4，+∞）
【答案】A 【考点】椭圆的简单性质 【解析】【解答】解：假设椭圆的焦点在x轴上，则0＜m＜3时， 假设M位于短轴的端点时，∠AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°， ∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO= ≥tan60°= ， 解得：0＜m≤1； 当椭圆的焦点在y轴上时，m＞3， 假设M位于短轴的端点时，∠AMB取最大值，要使椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°， ∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO= ≥tan60°= ，解得：m≥9， ∴m的取值范围是（0，1]∪[9，+∞） 故选A． 【分析】分类讨论，由要使椭圆C上存在点M满足∠AMB=120°，∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，当假设椭圆的焦点在x轴上，tan∠AMO= ≥tan60°，当即可求得椭圆的焦点在y轴上时，m＞3，tan∠AMO= ≥tan60°= ，即可求得m的取值范围．
二、填空题
9、(2015·新课标I卷）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________?? . 21教育网
【答案】(x-)2+y2= 【考点】椭圆的简单性质 【解析】【解答】设圆心为（a, 0), 则半径为4-a, 则（4-a)2=a2+22, 解得a=, 故圆的方程为(x-)2+y2=. 【分析】本题考查椭圆的性质及圆的标准方程，本题结合椭圆的图形可知圆过椭圆的上下顶点与左顶点(或右顶点)，由圆的性质知，圆心在x轴上，设出圆心，算出半径，根据垂径定理列出关于圆心的方程，解出圆心坐标，即可写出圆的方程，细心观察圆与椭圆的特征是解题的关键.
三、解答题
10、（2017?新课标Ⅰ卷）已知椭圆C： + =1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1， ），P4（1， ）中恰有三点在椭圆C上．（12分）
(1)求C的方程；
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．
【答案】（1）解：根据椭圆的对称性，P3（﹣1， ），P4（1， ）两点必在椭圆C上， 又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1）， ∴P2（0，1），P3（﹣1， ），P4（1， ）三点在椭圆C上． 把P2（0，1），P3（﹣1， ）代入椭圆C，得： ，解得a2=4，b2=1， ∴椭圆C的方程为 =1． （2）证明：①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，yA），B（m，﹣yA）， ∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1， ∴ = = =﹣1， 解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， 联立 ，整理，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0， ，x1x2= ， 则 = = = = =﹣1，又b≠1， ∴b=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立， ∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1， 当x=2时，y=﹣1， ∴l过定点（2，﹣1）． 【考点】直线的斜截式方程，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，圆锥曲线的综合 【解析】【分析】（1.）根据椭圆的对称性，得到P2（0，1），P3（﹣1， ），P4（1， ）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1， ）代入椭圆C，求出a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C的方程． （2.）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），联立 ，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，﹣1）．
11、（2017?新课标Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C： +y2=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足 = ． （Ⅰ）求点P的轨迹方程； （Ⅱ）设点Q在直线x=﹣3上，且 ? =1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．
【答案】解：（Ⅰ）设M（x0 ， y0），由题意可得N（x0 ， 0）， 设P（x，y），由点P满足 = ． 可得（x﹣x0 ， y）= （0，y0）， 可得x﹣x0=0，y= y0 ， 即有x0=x，y0= ， 代入椭圆方程 +y2=1，可得 + =1， 即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2； （Ⅱ）证明：设Q（﹣3，m），P（ cosα， sinα），（0≤α＜2π）， ? =1，可得（ cosα， sinα）?（﹣3﹣ cosα，m﹣ sinα）=1， 即为﹣3 cosα﹣2cos2α+ msinα﹣2sin2α=1， 解得m= ， 即有Q（﹣3， ）， 椭圆 +y2=1的左焦点F（﹣1，0）， 由kOQ=﹣ ， kPF= ， 由kOQ?kPF=﹣1， 可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F． 【考点】平面向量数量积的运算，同角三角函数间的基本关系，两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，轨迹方程，椭圆的简单性质 【解析】【分析】（Ⅰ）设M（x0 ， y0），由题意可得N（x0 ， 0），设P（x，y），运用向量的坐标运算，结合M满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程； （Ⅱ）设Q（﹣3，m），P（ cosα， sinα），（0≤α＜2π），运用向量的数量积的坐标表示，可得m，即有Q的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ，PF的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证．
12、（2017?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 离心率为 ，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1 ， 过点F2作直线PF2的垂线l2 ． （Ⅰ）求椭圆E的标准方程； （Ⅱ）若直线l1 ， l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．
【答案】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆的离心率e= = ，则a=2c，① 椭圆的准线方程x=± ，由2× =8，② 由①②解得：a=2，c=1， 则b2=a2﹣c2=3， ∴椭圆的标准方程： ； （Ⅱ）设P（x0 ， y0），则直线PF2的斜率 = ， 则直线l2的斜率k2=﹣ ，直线l2的方程y=﹣ （x﹣1）， 直线PF1的斜率 = ， 则直线l2的斜率k2=﹣ ，直线l2的方程y=﹣ （x+1）， 联立 ，解得： ，则Q（﹣x0 ， ）， 由Q在椭圆上，则y0= ，则y02=x02﹣1， 则 ，解得： ，则 ， ∴P（ ， ）或P（﹣ ， ）或P（ ，﹣ ）或P（﹣ ，﹣ ）． 【考点】直线的点斜式方程，两条直线的交点坐标，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系 【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率公式求得a=2c，由椭圆的准线方程x=± ，则2× =8，即可求得a和c的值，则b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆方程； （Ⅱ）设P点坐标，分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率，则即可求得l2及l1的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得y02=x02﹣1，联立即可求得P点坐标；
13、（2017?北京卷）已知椭圆C的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为 ． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．求证：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．
【答案】解：（Ⅰ）由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程： （a＞b＞0）， 则a=2，e= = ，则c= ， b2=a2﹣c2=1， ∴椭圆C的方程 ； （Ⅱ）证明：设D（x0 ， 0），（﹣2＜x0＜2），M（x0 ， y0），N（x0 ， ﹣y0），y0＞0， 由M，N在椭圆上，则 ，则x02=4﹣4y02 ， 则直线AM的斜率kAM= = ，直线DE的斜率kDE=﹣ ， 直线DE的方程：y=﹣ （x﹣x0）， 直线BN的斜率kBN= ，直线BN的方程y= （x﹣2）， ，解得： ， 过E做EH⊥x轴，△BHE∽△BDN， 则丨EH丨= ， 则 = ， ∴：△BDE与△BDN的面积之比为4：5． 【考点】直线的点斜式方程，两条直线的交点坐标，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，椭圆的应用 【解析】【分析】（Ⅰ）由题意设椭圆方程，由a=2，根据椭圆的离心率公式，即可求得c，则b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的方程； （Ⅱ）由题意分别求得DE和BN的斜率及方程，联立即可求得E点坐标，根据三角形的相似关系，即可求得 = ，因此可得△BDE与△BDN的面积之比为4：5．
14、（2017·山东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2 ． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）动直线l：y=kx+m（m≠0）交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|．设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．
【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆C的离心率为 ， ∴ = ，a2=2b2 ， ∵椭圆C截直线y=1所得线段的长度为2 ， ∴椭圆C过点（ ，1）， ∴ + =1， ∴b2=2，a2=4， ∴椭圆C的方程为 + =1． （Ⅱ）设A，B的横坐标为x1 ， x2 ， 则A（x1 ， kx1+m），B（x2 ， kx2+m），D（ ， +m）， 联立 可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0， ∴x1+x2=﹣ ， ∴D（﹣ ， ）， ∵M（0，m），则N（0，﹣m）， ∴⊙N的半径为|m|， |DN|= = ， 设∠EDF=α， ∴sin = = = = ， 令y= ，则y′= ， 当k=0时，sin 取得最小值，最小值为 ． ∴∠EDF的最小值是60°． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，两点间距离公式的应用，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题，圆与圆锥曲线的综合 【解析】【分析】（Ⅰ）首先根据题中信息可得椭圆C过点（ ，1），然后结合离心率可得椭圆方程；（Ⅱ）可将题目所求角度的最小值转化为求角度正弦的最小值，结合题目信息可求得D、N坐标及⊙N半径，进而将DN长度表示出来，可求∠EDF最小值．
15、（2017·天津）设椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为 ．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为 ． （Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程； （Ⅱ）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为 ，求直线AP的方程．
【答案】（Ⅰ）解：设F的坐标为（﹣c，0）． 依题意可得 ， 解得a=1，c= ，p=2，于是b2=a2﹣c2= ． 所以，椭圆的方程为x2+ =1，抛物线的方程为y2=4x． （Ⅱ）解：直线l的方程为x=﹣1，设直线AP的方程为x=my+1（m≠0）， 联立方程组 ，解得点P（﹣1，﹣ ），故Q（﹣1， ）． 联立方程组 ，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y=﹣ ． ∴B（ ， ）． ∴直线BQ的方程为（ ﹣ ）（x+1）﹣（ ）（y﹣ ）=0， 令y=0，解得x= ，故D（ ，0）． ∴|AD|=1﹣ = ． 又∵△APD的面积为 ，∴ × = ， 整理得3m2﹣2 |m|+2=0，解得|m|= ，∴m=± ． ∴直线AP的方程为3x+ y﹣3=0，或3x﹣ y﹣3=0． 【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系，圆锥曲线的综合 【解析】【分析】（Ⅰ）根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b，p即可得出方程；（Ⅱ）设AP方程为x=my+1，联立方程组得出B，P，Q三点坐标，从而得出直线BQ的方程，解出D点坐标，根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案．
16、（2017?天津）已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为 ．（14分） （I）求椭圆的离心率； （II）设点Q在线段AE上，|FQ|= c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c． （i）求直线FP的斜率； （ii）求椭圆的方程． 2·1·c·n·j·y
【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．由已知，可得 ．又由b2=a2﹣c2 ， 可得2c2+ac﹣a2=0，即2e2+e﹣1=0．又因为0＜e＜1，解得 ． 所以，椭圆的离心率为 ； （Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x=my﹣c（m＞0），则直线FP的斜率为 ． 由（Ⅰ）知a=2c，可得直线AE的方程为 ，即x+2y﹣2c=0，与直线FP的方程联立，可解得 ，即点Q的坐标为 ． 由已知|FQ|= ，有 ，整理得3m2﹣4m=0，所以 ，即直线FP的斜率为 ． （ii）解：由a=2c，可得 ，故椭圆方程可以表示为 ． 由（i）得直线FP的方程为3x﹣4y+3c=0，与椭圆方程联立 消去y，整理得7x2+6cx﹣13c2=0，解得 （舍去），或x=c．因此可得点 ，进而可得 ，所以 ．由已知，线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离，故直线PM和QN都垂直于直线FP． 因为QN⊥FP，所以 ，所以?÷FQN的面积为 ，同理?÷FPM的面积等于 ，由四边形PQNM的面积为3c，得 ，整理得c2=2c，又由c＞0，得c=2． 所以，椭圆的方程为 ． 【考点】直线的一般式方程，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系 【解析】【分析】（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．通过 ．转化求解椭圆的离心率． （Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x=my﹣c（m＞0），则直线FP的斜率为 ．通过a=2c，可得直线AE的方程为 ，求解点Q的坐标为 ．利用|FQ|= ，求出m，然后求解直线FP的斜率． （ii）求出椭圆方程的表达式你，求出直线FP的方程为3x﹣4y+3c=0，与椭圆方程联立通过 ，结合直线PM和QN都垂直于直线FP．结合四边形PQNM的面积为3c，求解c，然后求椭圆的方程．
17、（2017?山东）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，焦距为2． （Ⅰ）求椭圆E的方程． （Ⅱ）如图，该直线l：y=k1x﹣ 交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2 ， 且看k1k2= ，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．
【答案】解：（Ⅰ）由题意知， ，解得a= ，b=1． ∴椭圆E的方程为 ； （Ⅱ）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， 联立 ，得 ． 由题意得△= ＞0． ， ． ∴|AB|= ． 由题意可知圆M的半径r为 r= ． 由题意设知， ，∴ ． 因此直线OC的方程为 ． 联立 ，得 ． 因此，|OC|= ． 由题意可知，sin = ． 而 = ． 令t= ，则t＞1， ∈（0，1）， 因此， = ≥1． 当且仅当 ，即t=2时等式成立，此时 ． ∴ ，因此 ． ∴∠SOT的最大值为 ． 综上所述：∠SOT的最大值为 ，取得最大值时直线l的斜率为 ． 【考点】函数的值域，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，椭圆的应用，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】（Ⅰ）由题意得关于a，b，c的方程组，求解方程组得a，b的值，则椭圆方程可求； （Ⅱ）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得A，B的横坐标的和与积，由弦长公式求得|AB|，由题意可知圆M的半径r，则r= ．由题意设知 ．得到直线OC的方程，与椭圆方程联立，求得C点坐标，可得|OC|，由题意可知，sin = ．转化为关于k1的函数，换元后利用配方法求得∠SOT的最大值为 ，取得最大值时直线l的斜率为 ．
18、（2014?新课标II）设F1 ， F2分别是C： （a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．
(1)若直线MN的斜率为 ，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．
【答案】（1）解：∵M是C上一点且MF2与x轴垂直， ∴M的横坐标为c，当x=c时，y= ，即M（c， ）， 若直线MN的斜率为 ， 即tan∠MF1F2= ， 即b2= =a2﹣c2 ， 即c2+ ﹣a2=0， 则 ， 即2e2+3e﹣2=0 解得e= 或e=﹣2（舍去）， 即e= （2）解：由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点， 设M（c，y），（y＞0）， 则 ，即 ，解得y= ， ∵OD是△MF1F2的中位线， ∴ =4，即b2=4a， 由|MN|=5|F1N|， 则|MF1|=4|F1N|， 解得|DF1|=2|F1N|， 即 设N（x1 ， y1），由题意知y1＜0， 则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）． 即 ，即 代入椭圆方程得 ， 将b2=4a代入得 ， 解得a=7，b= ． 【考点】椭圆的应用 【解析】【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为 ，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．
19、（2014?新课标I）已知点A（0，﹣2），椭圆E： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为 ，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
【答案】 （1）解：设F（c，0），由条件知 ，得 ?又 ， 所以a=2?，b2=a2﹣c2=1，故E的方程 ． （2）解：依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2） 将y=kx﹣2代入 ，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0， 当△=16（4k2﹣3）＞0，即 时， 从而 ?? 又点O到直线PQ的距离 ，所以△OPQ的面积 = ， 设 ，则t＞0， ， 当且仅当t=2，k=± 等号成立，且满足△＞0， 所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y= x﹣2或y=﹣ x﹣2 【考点】椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系 【解析】【分析】（1）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（2）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）将y=kx﹣2代入 ，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．21·cn·jy·com
20、（2017?新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题： 2-1-c-n-j-y
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
【答案】（1）解：曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点， 可设A（x1 ， 0），B（x2 ， 0）， 由韦达定理可得x1x2=﹣2， 若AC⊥BC，则kAC?kBC=﹣1， 即有 ? =﹣1， 即为x1x2=﹣1这与x1x2=﹣2矛盾， 故不出现AC⊥BC的情况； （2）证明：设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0）， 由题意可得y=0时，x2+Dx+F=0与x2+mx﹣2=0等价， 可得D=m，F=﹣2， 圆的方程即为x2+y2+mx+Ey﹣2=0， 由圆过C（0，1），可得0+1+0+E﹣2=0，可得E=1， 则圆的方程即为x2+y2+mx+y﹣2=0， 再令x=0，可得y2+y﹣2=0， 解得y=1或﹣2． 即有圆与y轴的交点为（0，1），（0，﹣2）， 则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3． 【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，圆的一般方程，直线与圆锥曲线的综合问题，圆与圆锥曲线的综合 【解析】【分析】（1.）设曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），运用韦达定理，再假设AC⊥BC，运用直线的斜率之积为﹣1，即可判断是否存在这样的情况； （2.）设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0），由题意可得D=m，F=﹣2，代入（0，1），可得E=1，再令x=0，即可得到圆在y轴的交点，进而得到弦长为定值． 【来源：21cnj*y.co*m】
21、（2013?新课标Ⅱ）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M： （a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣ =0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为 ．(1)求M的方程(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
【答案】 （1）解：把右焦点（c，0）代入直线x+y﹣ =0得c+0﹣ =0，解得c= ． 设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），线段AB的中点P（x0 ， y0）， 则 ， ，相减得 ， ∴ ， ∴ ，又 = ， ∴ ，即a2=2b2 ． 联立得 ，解得 ， ∴M的方程为 ． （2）解：∵CD⊥AB，∴可设直线CD的方程为y=x+t， 联立 ，消去y得到3x2+4tx+2t2﹣6=0， ∵直线CD与椭圆有两个不同的交点， ∴△=16t2﹣12（2t2﹣6）=72﹣8t2＞0，解﹣3＜t＜3（*）． 设C（x3 ， y3），D（x4 ， y4），∴ ， ． ∴|CD|= = = ． 联立 得到3x2﹣4 x=0，解得x=0或 ， ∴交点为A（0， ），B ， ∴|AB|= = ． ∴S四边形ACBD= = = ， ∴当且仅当t=0时，四边形ACBD面积的最大值为 ，满足（*）． ∴四边形ACBD面积的最大值为 ． 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系，直线与圆锥曲线的关系 【解析】【分析】（1）把右焦点（c，0）代入直线可解得c．设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），线段AB的中点P（x0 ， y0），利用“点差法”即可得到a，b的关系式，再与a2=b2+c2联立即可得到a，b，c．（2）由CD⊥AB，可设直线CD的方程为y=x+t，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|CD|．把直线x+y﹣ =0与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长|AB|，利用S四边形ACBD= 即可得到关于t的表达式，利用二次函数的单调性即可得到其最大值．
22、（2016?全国）已知椭圆E: 的焦点在 轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点，点N在E上，MA⊥NA.
(1)当t=4， 时，求△AMN的面积；
(2)当 时，求k的取值范围.
【答案】（1）解：当 时，椭圆E的方程为 ，A点坐标为 ， 则直线AM的方程为 ． 联立 并整理得， 解得 或 ，则 因为 ，所以 因为 ， ， 所以 ，整理得 ， 无实根，所以 ． 所以 的面积为 （2）解：直线AM的方程为 ， 联立 并整理得， 解得 或 ， 所以 所以 因为 所以 ，整理得， ． 因为椭圆E的焦点在x轴，所以 ，即 ，整理得 解得 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】（1）求出t=4时，椭圆方程和顶点A，设出直线AM的方程，代入椭圆方程，求交点M，运用弦长公式求得|AM|，由垂直的条件可得|AN|，再由|AM|=|AN|，解得k=1，运用三角形的面积公式可得△AMN的面积；（2）直线AM的方程为y=k（x+ ），代入椭圆方程，求得交点M，可得|AM|，|AN|，再由2|AM|=|AN|，求得t，再由椭圆的性质可得t＞3，解不等式即可得到所求范围．
23、（2016?全国）已知A是椭圆E： =1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E与A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
(1)当|AM|=|AN|时，求△AMN的面积
(2)当2|AM|=|AN|时，证明： ＜k＜2．
【答案】（1）由椭圆E的方程： =1知，其左顶点A（﹣2，0）， ∵|AM|=|AN|，且MA⊥NA，∴△AMN为等腰直角三角形， ∴MN⊥x轴，设M的纵坐标为a，则M（a﹣2，a）， ∵点M在E上，∴3（a﹣2）2+4a2=12，整理得：7a2﹣12a=0，∴a= 或a=0（舍）， ∴S△AMN= a×2a=a2= （2）设直线lAM的方程为：y=k（x+2），直线lAN的方程为：y=﹣ （x+2），由 消去y得：（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，∴xM﹣2=﹣ ，∴xM=2﹣ = ， ∴|AM|= |xM﹣（﹣2）|= ? = ∵k＞0， ∴|AN|= = ， 又∵2|AM|=|AN|，∴ = ， 整理得：4k3﹣6k2+3k﹣8=0， 设f（k）=4k3﹣6k2+3k﹣8， 则f′（k）=12k2﹣12k+3=3（2k﹣1）2≥0， ∴f（k）=4k3﹣6k2+3k﹣8为（0，+∞）的增函数， 又f（ ）=4×3 ﹣6×3+3 ﹣8=15 ﹣26= ﹣ ＜0，f（2）=4×8﹣6×4+3×2﹣8=6＞0， ∴ ＜k＜2． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】（1）依题意知椭圆E的左顶点A（﹣2，0），由|AM|=|AN|，且MA⊥NA，可知△AMN为等腰直角三角形，设M（a﹣2，a），利用点M在E上，可得3（a﹣2）2+4a2=12，解得：a= ，从而可求△AMN的面积；（II）设直线lAM的方程为：y=k（x+2），直线lAN的方程为：y=﹣ （x+2），联立 消去y，得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，利用韦达定理及弦长公式可分别求得|AM|= |xM﹣（﹣2）|= ，|AN|= = ， 结合2|AM|=|AN|，可得 = ，整理后，构造函数f（k）=4k3﹣6k2+3k﹣8，利用导数法可判断其单调性，再结合零点存在定理即可证得结论成立．；本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解，考查构造函数思想与导数法判断函数单调性，再结合零点存在定理确定参数范围，是难题． 21·世纪*教育网
24、(2015新课标II)已知椭圆C:9x2+y2=m2（m0），直线l不过原点O且不平行于坐轴，l与C有两个交点A,B，线段AB的中点为M.
(1)(I)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
(2)（II）若l过点(,m)延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由．
【答案】（1）【证明】设直线l：y=kx+b（k≠0，b≠0），A(x1 ， y1)，B（x2 ， y2），M（xm,ym） 将y=kx+b代入9x2+y2=m2得（k2+9）x2+2kbx+b2-m2=0，故xM==,yM=KXM+b=,于是直线OM的斜率KOM==-,即KOMk=-9，所以直线OM的斜率与l的斜率乘积为定值。 （2）当l的斜率为4-或4+时，四边形OAPB为平行四边形 【考点】椭圆的应用 【解析】【解答】(II)四边形OAPB能为平行四边形 因为直线l过点（,m），所以l不过原点且与C又两个交点的充要条件是k0，k≠3 由（I）得OM的方程为y=-x,设点P的横坐标为xP 由得=即=,将点（,m）的坐标代入直线l的方程得b=,因此,四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即=2。 于是=2x.解得k1=4-,k2=4+ 因为ki0，ki≠3，i=1，2.所以当l的斜率为4-或4+时，四边形OAPB为平行四边形. 【分析】(Ⅰ)题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”求，设端点A,B的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦AB的中点和直线l的斜率；设直线l的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦AB的中点，并寻找两条直线斜率关系； （Ⅱ）根据(Ⅰ)中结论，设直线OM方程并与椭圆方程联立，求得M坐标，利用xp=2xM以及直线l过点（,m）列方程求k的值。
模拟题精练
一、单选题
1、（2017黑龙江鹤岗一中期中）已知椭圆 上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为（?? ）
A、9 B、7 C、5 D、3
【答案】B 【考点】椭圆的定义，椭圆的简单性质 【解析】【解答】解：由椭圆 ，得a=5， 则2a=10，且点P到椭圆一焦点的距离为3， 由定义得点P到另一焦点的距离为2a﹣3=10﹣3=7． 故选B 【分析】由椭圆方程找出a的值，根据椭圆的定义可知椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数2a，把a的值代入即可求出常数的值得到P到两焦点的距离之和，由P到一个焦点的距离为3，求出P到另一焦点的距离即可．
2、（2017新疆兵团农二师华山中学）已知方程 + =1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（?? ）
A、m＜2 B、1＜m＜2 C、m＜﹣1或1＜m＜2 D、m＜﹣1或1＜m＜
【答案】D 【考点】椭圆的定义 【解析】【解答】解： 表示焦点在y轴上的椭圆， ∴2﹣m＞|m|﹣1＞0 解得 故选D． 【分析】根据焦点在y轴上的椭圆的方程的特点是方程中y2的分母比x2分母大且是正数，列出不等式组，求出m的范围．
3、（2017河北邢台二中二模）椭圆x2+ =1（0＜b＜1）的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，若△FAB的外接圆圆心P（m，n）在直线y=﹣x的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（?? ）
A、（ ，1） B、（ ，1） C、（0， ） D、（0， ）
【答案】A 【考点】椭圆的简单性质 【解析】【解答】解：方法一：如图所示，B是右顶点（1，0），上顶点A（0，b），左焦点F（ ，0）， 线段FB的垂直平分线为：x= ． 线段AB的中点（ ， ）． ∵kAB=﹣b． ∴线段AB的垂直平分线的斜率k= ． ∴线段AB的垂直平分线方程为：y﹣ = （x﹣ ）， 把x= =m，代入上述方程可得：y= =n． 由P（m，n）在直线y=﹣x的左下方， 则m+n＜0， ∴ + ＞0． 化为：b＜ ，又0＜b＜1， 解得：0＜b＜ ． ∴e= =c= ∈（ ，1）． ∴椭圆离心率的取值范围（ ，1）． 故选A． [MISSING IMAGE: , ] 方法二：设A（0，b），B（a，0），C（﹣c，0），设△FAB的外接圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0， 将A，B，C代入外接圆方程，解得：m= ，n= ， 由P（m，n）在直线y=﹣x的左下方， 则m+n＜0， ∴ + ＜0，整理得：1﹣c+b﹣ ＜0， ∴b﹣c+ ＜0， ∴b﹣c＜0， 由椭圆的离心率e= =c， ∴2e2＞1，由0＜e＜1， 解得： ＜e＜1， ∴椭圆离心率的取值范围（ ，1）． 故选A． 【分析】方法一：分别求出线段FA与AB的垂直平分线方程，联立解出圆心坐标P，利用m+n＜0，与离心率计算公式即可得出； 方法二：设△FAB的外接圆方程，将三点代入，即可求得P点坐标，由m+n＜0，求得b和c的关系，即可求得椭圆离心率的取值范围．
4、（2017湖北黄石三中学模拟）如图，A1 ， A2为椭圆 长轴的左、右端点，O为坐标原点，S，Q，T为椭圆上不同于A1 ， A2的三点，直线QA1 ， QA2 ， OS，OT围成一个平行四边形OPQR，则|OS|2+|OT|2=（?? ）
A、14 B、12 C、9 D、7
【答案】A 【考点】椭圆的应用 【解析】【解答】解：设Q（x，y），T（x1 ， y1），S（x2 ， y2），QA1 ， QA2斜率分别为k1 ， k2 ， 则OT，OS的斜率为k1 ， k2 ， 且 ， 所以 ，同理 ， 因此 = ． 故选：A． 【分析】利用椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、两点之间的距离公式即可得出．
二、综合题
5、（2017江西宜春模拟）如图，椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率是 ，且过点（ ， ）．设点A1 ， B1分别是椭圆的右顶点和上顶点，如图所示过 点A1 ， B1引椭圆C的两条弦A1E、B1F．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线A1E与B1F的斜率是互为相反数． ①求直线EF的斜率k0②设直线EF的方程为y=k0x+b（﹣1≤b≤1）设△A1EF、△B1EF的面积分别为S1和S2 ， 求S1+S2的取值范围．
【答案】（1）解：由题意可知：椭圆的离心率e= = ，则3a2=4c2 ， b2=a2﹣c2= a2 ， 即a2=4b2 ， 将（ ， ）代入椭圆方程： ，则 ， 解得：b2=1，a2=4， 椭圆C的方程 （2）解：①设点E（x1 ， y1），F（x2 ， y2），直线A1E，y=k（x﹣2），直线B1E：y=﹣kx+1， 则 ，消去y得：（4k2+1）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0，则2x1= ，x1= ， y1=k（x1﹣2）= ，则E（ ， ）， 联立 ，消去y整理得：（4k2+1）x2﹣8kx=0，x2= ， y2=﹣kx2+1= ，F（ ， ），则kEF= = ， ②设直线EF：y= x+b，联立方程组 ，消去y得：x2+2bx+2b2﹣2=0， △=（﹣2b）2﹣4（2b2﹣2）=8﹣4b2＞0，解得：﹣ ＜b＜ ， x1+x2=﹣2b，x1x2=2b2﹣2，丨EF丨= ? = ， 设d1 ， d2分别为点A1 ， B1到直线EF的距离，则d1= ，d2= ， 则S1+S2= ?（d1+d2）丨EF丨=（丨b+1丨+丨b﹣1丨） ， ∵﹣1≤b≤1时， ∴S1+S2=2 ， 由2 ∈[2，2 ]， S1+S2∈[2，2 ]， S1+S2的取值范围[2，2 ] 【考点】椭圆的定义，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，椭圆的应用 【解析】【分析】（1）由题意的离心率求得a与b关系，将（ ， ）代入椭圆方程： ，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）①将直线方程分别代入椭圆方程，利用韦达定理求得E和F点坐标，根据直线的斜率公式，即可求得直线EF的斜率k0；②将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得丨EF丨，利用点到直线的距离公式则A1 ， B1到直线EF的距离d1 ， d2 ， 利用三角形的面积公式及函数的单调性即可求得S1+S2的取值范围．
6、已知椭圆 （a＞b＞0），右焦点 ，点 在椭圆上；
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，且∠AFB=90°？若存在，请求出所有符合要求的直线；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意可知 ， 解得a2=4，b2=2， ∴椭圆C的标准方程为： （2）解：若直线l无斜率，则直线l的方程为x=0， ∴A（0， ），B（0，﹣ ），又F（ ，0）， ∴∠AFB=∠AFO+∠BFO=90°，符合题意； 若直线l有斜率，设直线l的方程为y=kx， 联立方程组 ，消元得（1+2k2）x2=4， 设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），则x1+x2=0，x1?x2=﹣ ，y1y2=﹣ ． ∴ =（x1﹣ ，y1）， =（x2﹣ ，y2）， ∴ =（x1﹣ ）（x2﹣ ）+y1y2=x1x2﹣ （x1+x2）+2+y1y2 =﹣ +2﹣ =﹣ ≠0， ∴ 与 不垂直，即∠AFB≠90°． 综上，存在过原点的直线l使得∠AFB=90°，直线l的方程为x=0 【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的关系 【解析】【分析】（1）根据焦点坐标和D点坐标列方程组求出a2 ， b2即可；（2）对直线l的斜率进行讨论，使用根与系数的关系计算 ，根据计算结果是否为0得出结论．
7、（2017湖南衡阳十校联考三模）已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）经过点（ ，1），以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆经过椭圆的焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点（﹣1，0）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，试问在x轴上是否存在一个定点M，使得 ? 恒为定值？若存在，求出该定值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由圆的方程x2+y2=b2 ， 由椭圆短半轴长为半径的圆经过椭圆的焦点，则b=c， ∴a2=2b2 ， 将（ ，1）代入椭圆方程 ，解得：b2=2，则a2=4， ∴椭圆的标准方程： ； （2）解：设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），M（m，0）， 当直线k的斜率存在，设直线l的方程为：y=k（x+1）， 则 ，整理得：（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣4=0， ∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ， 则y1y2=k（x1+1）×k（x2+1）=k2（x1x2+x1+x2+1）=k2（ ﹣ +1）=﹣ ， ? =（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=[ ﹣m×（﹣ ）+m2]+（﹣ ）， = = 为定值， 则 = ，解得：m=﹣ ， 则 ? =﹣ ， 当直线l的斜率k不存在时，点A（﹣1， ），B（﹣1，﹣ ）， 此时，当m=﹣ 时，则 ? =（﹣1﹣m）（﹣1﹣m）﹣ =﹣ ， 综上可知：存在点M（﹣ ，0），使得 ? =﹣ ． 【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，椭圆的应用 【解析】【分析】（1）由题意可知：b=c，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）分类讨论，当斜率存在时，代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，由 ? 恒为定值即可求得m的值，求得 ? 的值及M点坐标；当直线l的斜率k不存在时，点A（﹣1， ），B（﹣1，﹣ ），则m=﹣ 时，求得 ? 的值及M点坐标．
8、（2017江苏盐城三模）已知A、F分别是椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左顶点、右焦点，点P为椭圆C上一动点，当PF⊥x轴时，AF=2PF．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若椭圆C存在点Q，使得四边形AOPQ是平行四边形（点P在第一象限），求直线AP与OQ的斜率之积； 【出处：21教育名师】
(3)记圆O：x2+y2= 为椭圆C的“关联圆”．若b= ，过点P作椭圆C的“关联圆”的两条切线，切点为M、N，直线MN的横、纵截距分别为m、n，求证： + 为定值．
【答案】（1）解：由PF⊥x轴，知xP=c，代入椭圆C的方程， 得： + =1，解得 ， 又AF=2PF，∴a+c= ， ∴a2+ac=2b2 ， 即a2﹣2c2﹣ac=0， ∴2e2+e﹣1=0， 由e＞0解得椭圆C的离心率e= ． （2）解：∵四边形AOPQ是平行四边形，∴PQ=a，且PF∥x轴， ∴ ，代入椭圆C的方程，解得 ， ∵点P在第一象限，∴yp= b， 同理可得xQ=﹣ ，yQ= b， ∴kAP?kOQ= ? =﹣ ， 由（1）知e= ，得 = ，∴kAP?kOQ=﹣ ． （3）证明：由（1）知e= = ，又b= ，解得a=2， ∴椭圆C的方程为 =1， 圆O的方程为x2+y2= ，①… 连接OM，ON，由题意可知，OM⊥PM，ON⊥PN， ∴四边形OMPN的外接圆是以OP 为直径的圆， 设P（x0 ， y0），则四边形OMPN的外接圆方程为（x﹣ ）2+（y﹣ ）2= （ ）， 即 =0，②… ①﹣②，得直线MN的方程为xx0+yy0= ， 令y=0，则m= ，令x=0，则n= ． ∴ + =49（ ）， ∵点P在椭圆C上，∴ + =1， ∴ =49（为定值）．… 【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，椭圆的应用 【解析】【分析】（1）由PF⊥x轴，知xP=c，代入椭圆C的方程，得 ，由此能求出椭圆C的离心率．（2）由四边形AOPQ是平行四边形，知PQ=a，且PF∥x轴，从而yp= b，yQ= b，由此能求出kAP?kOQ ． （3）由（1）知e= = ，又b= ，从而椭圆C的方程为 =1，圆O的方程为x2+y2= ，连接OM，ON，由题意可知，OM⊥PM，ON⊥PN，从而四边形OMPN的外接圆是以OP 为直径的圆，由此能证明 为定值．
9、（2017江西赣州二模）如图，椭圆 的离心率为 ，顶点为A1、A2、B1、B2 ， 且 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线B2P交x轴于点Q，直线A1B2交A2P于点E．设A2P的斜率为k，EQ的斜率为m，试问2m﹣k是否为定值？并说明理由．
【答案】（1）解：由 ，则 ， 由题意及图可得A1（﹣a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）， ∴ 又 ，则a2﹣b2=3，∴ ∴ ∴椭圆C的方程为： ； （2）解：证明：由题意可知A1（﹣2，0），A2（2，0），B1（0，﹣1），B2（0，1）， 由A2P的斜率为k，则直线A2P的方程为y=k（x﹣2）， 由 ，得（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0， 其中 ，则 ， ， 则直线B2P的方程为 = （ ）， 令y=0，则 ，即 直线A1B2的方程为x﹣2y+2=0， 由 解得 ，则 ， 则EQ的斜率 ， ∴ （定值）， 2m﹣k为定值 ． 【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，椭圆的应用 【解析】【分析】（1）由椭圆的离心率公式，根据向量数量积的坐标运算，即可求得c的值，求得a的值，即可求得椭圆的标准方程；（2）直线A2P的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程，求得P点坐标，直线B2P的方程为 = （ ），求得Q点坐标，联立求得E点坐标，求得m，则 （定值）．
10、（2017辽宁葫芦岛二模）已知椭圆的两个焦点为 ， 是椭圆上一点，若 ， ．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线l过右焦点 （不与x轴重合）且与椭圆相交于不同的两点A，B，在x轴上是否存在一个定点P（x0 ， 0），使得 的值为定值？若存在，写出P点的坐标（不必求出定值）；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：由题意椭圆的焦点在x轴上， （a＞b＞0）， c= ，| |2+| |2=（2c）2=20，| |?| |=8 ∴（| |+| |）2=| |2+| |2+2| |?| |=36???? 解得：| |+| |=6， 2a=6，则a=3??? b2=a2﹣c2=4 ∴椭圆的方程为： （2）解：解法一：设直线l的方程为：x=my+ ， ，并消元整理得：（4m2+9）x2﹣18 x+45﹣36m2=0，…① 设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），则是方程①的两个解，由韦达定理得： x1+x2= ，x1x2= ，y1y2= （x1﹣ ）（x2﹣ ）= （ x1x2﹣ （x1+x2）+5）=﹣ ， ? =（x1﹣x0 ， y1）?（x2﹣x0 ， y2）=（ x1﹣x0）（ x2﹣x0）+y1y2=x1x2﹣x0（x1+x2）+x02+y1y2 = ﹣ ×x0+x02+（﹣ ）= ， 令 ? =t?? 则（4x02﹣36）m2+9x02﹣18 x0+29=t（4m2+9）， 比较系数得：4x02﹣36=4t且9x02﹣18 x0+29=9t? 消去t得：36x02﹣36×9=36x02﹣72 x0+29×4?? 解得：x0= ， ∴在x轴上存在一个定点P（ ，0），使得 ? 的值为定值（﹣ ）； 解法二：当直线与x轴不垂直时，设直线l方程为：y=k（x﹣ ），代入椭圆方程并消元整理得： （9k2+4）x2﹣18 k2x+45k2﹣36=0…① 设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），则是方程①的两个解，由韦达定理得： x1+x2= ，x1x2= ， ?y1y2=k2（x1﹣ ）（x2﹣ ）=k2（ x1x2﹣ （x1+x2）+5）=﹣ ， ? =（x1﹣x0 ， y1）?（x2﹣x0 ， y2）=（ x1﹣x0）（ x2﹣x0）+y1y2=x1x2﹣x0（x1+x2）+x02+y1y2 ， = ， 令 ? =t?? 则（9x02﹣18 x0+29）k2+4x02﹣36=t（4+9k2）， 9x02﹣18 x0+29=9 t且?? 4x02﹣36=4t， 解得：x0= ，此时t的值为﹣ ， 当直线l与x轴垂直时，l的方程为：x= ，代入椭圆方程解得：A（ ，﹣ ），B（ ， ）， ? =（﹣ ，﹣ ）?（﹣ ， ）= ﹣ =﹣ ， ∴当直线l与x轴垂直时， ? 也为定值﹣ ， 综上，在x轴上存在一个定点P（ ，0），使得 ? 的值为定值（﹣ ） 【考点】椭圆的简单性质 【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义及勾股定理即可求得a=3，c= ，b2=a2﹣c2=4，即可求得椭圆方程；（2）方法一：设直线l：x=my+ ，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算， ? =t?? 则（4x02﹣36）m2+9x02﹣18 x0+29=t（4m2+9），比较系数，即可求得x0= ，在x轴上存在一个定点P（ ，0），使得 ? 的值为定值（﹣ ）； 方法二：分类讨论，当直线l的斜率存在时，设直线l：y=k（x﹣ ），代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，令 ? =t?? 则（9x02﹣18 x0+29）k2+4x02﹣36=t（4+9k2），9x02﹣18 x0+29=9 t且4x02﹣36=4t，即可求得x0= ，此时t的值为﹣ ．
11、（2017青海西宁三校联考模拟）已知椭圆C： + =1（a＞b＞D）的离心率为 ，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为 ．
(1)求a、b的值；
(2)C上是否存在点P，使得当l绕P转到某一位置时，有 = + 成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：直线l的方程为y=x﹣c，则 = ，解得c=1， 又 ，b2=a2﹣c2 ， 解得 ，b2=2． ∴得 ，b= （2）解：由（1）可得：椭圆C的方程为 =1． 假设C上存在点P，使得当l绕P转到某一位置时，有 = + 成立．设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）． 设直线l的方程为my=x﹣1，联立 ， 化为（2m2+3）y2+4my﹣4=0， ∴y1+y2= ． ∴x1+x2=m（y1+y2）+2= ． ∴ = + =（x1+x2 ， y1+y2）= ． 代入椭圆方程可得： + =1， 化为2m2﹣1=0， 解得m= ． ∴直线l的方程为：y= （x﹣1）． 由方程： ﹣1=0， 解得 ， ， ， ． 因此假设正确 【考点】椭圆的简单性质 【解析】【分析】（1）直线l的方程为y=x﹣c，则 = ，解得c，又 ，b2=a2﹣c2 ， 解得a，b即可得出．（2）由（1）可得：椭圆C的方程为 =1．假设C上存在点P，使得当l绕P转到某一位置时，有 = + 成立．设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）． 设直线l的方程为my=x﹣1，与椭圆方程联立化为（2m2+3）y2+4my﹣4=0，利用根与系数的关系及其 = + =（x1+x2 ， y1+y2），可得点P的坐标（用m表示），代入椭圆的方程即可得出．
12、（2017江西九江三模）如图所示，已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的焦距为2，直线y=x被椭圆C截得的弦长为 ． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设点M（x0 ， y0）是椭圆C上的动点，过原点O引两条射线l1 ， l2与圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2= 分别相切，且l1 ， l2的斜率k1 ， k2存在． ①试问k1?k2是否定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由； ②若射线l1 ， l2与椭圆C分别交于点A，B，求|OA|?|OB|的最大值．
【答案】解：（Ⅰ）由2c=2，c=1，设直线直线y=x被与椭圆C相交于P，Q两点， 则丨OP丨= ，设P（ ， ），代入椭圆方程， ，① 由a2﹣b2=1，② 解得：a2=2，b2=1， ∴椭圆的标准方程： ； （Ⅱ）①设射线l的方程y=kx，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， 由 = ，两边平方得（3x02﹣2）k2﹣6x0y0k+3y02﹣2=0， 由y02=1﹣ ， ∴k1k2= = =﹣ ， ∴k1?k2为定值，定值﹣ ， ②方法一：联立 ，消去y，x12= ，丨OA丨= ，同理丨OA丨= ， |OA|2?|OB|2= ? =4× = =2+ ， =2+ ≤ ，当且仅当k12= ，取等号， ∴|OA|?|OB|的最大值为 ， 方法二：联立 ，消去y，x12= ，丨OA丨= ，同理丨OA丨= ， 则|OA|2+|OB|2= + = + = + =3， 由|OA|2+|OB|2≥2|OA||OB|，则|OA||OB|≤ ，当且仅当|OA|=|OB|时，取等号， ∴|OA|?|OB|的最大值 ． 【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，椭圆的应用 【解析】【分析】（Ⅰ）由c=2，求得P点坐标，代入椭圆方程，由a2﹣b2=1，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）①设射线l的方程y=kx，代入椭圆方程，由韦达定理即可求得k1k2= ，由y02=1﹣ ，即可求得k1k2=﹣ ；②方法一：分别求得直线OA及OB的方程代入椭圆方程，求得|OA|及|OB|，利用基本不等式的性质，即可求得|OA|?|OB|的最大值； 方法二：|OA|2+|OB|2= + ，y02=1﹣ ，代入即可求得：|OA|2+|OB|2=3，由|OA|2+|OB|2≥2|OA||OB|，即可求得|OA|?|OB|的最大值．
13、（2017福建三明二模）已知椭圆 的右焦点F（1，0），椭圆Γ的左，右顶点分别为M，N．过点F的直线l与椭圆交于C，D两点，且△MCD的面积是△NCD的面积的3倍． （Ⅰ）求椭圆Γ的方程； （Ⅱ）若CD与x轴垂直，A，B是椭圆Γ上位于直线CD两侧的动点，且满足∠ACD=∠BCD，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．
【答案】解：（I）因为椭圆 的右焦点F（1，0）， 所以c=1， 因为△MCD的面积是△NCD的面积的3倍， 所以MF=3NF，即a+c=3（a﹣c），所以a=2c=2，所以b2=3， 则椭圆Γ的方程为 ． （II）解法一：当∠ACD=∠BCD，则kAC+kBC=0， 设直线AC的斜率为k，则直线BC的斜率为﹣k， 不妨设点C在x轴上方， ，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， 则AC的直线方程为 ，代入 中整理得（3+4k2）x2﹣4k（2k﹣3）x+4k2﹣12k﹣3=0， ； 同理 ． 所以 ， 则 = = ， 因此直线AB的斜率是定值 ． （II）解法二：依题意知直线AB的斜率存在，所以设AB方程：y=kx+m， 代入 中，整理得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0， 设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， 所以 ， ， △=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=16（12k2﹣3m2+9）＞0 当∠ACD=∠BCD，则kAC+kBC=0，不妨设点C在x轴上方， ， 所以 ，整理得 ， 所以 ， 整理得12k2+12（m﹣2）k+9﹣6m=0， 即（6k﹣3）（2k+2m﹣3）=0，所以2k+2m﹣3=0或6k﹣3=0． 当2k+2m﹣3=0时，直线AB过定点 ，不合题意； 当6k﹣3=0时， ，符合题意， 所以直线AB的斜率是定值 【考点】椭圆的应用 【解析】【分析】（I）由椭圆右焦点F（1，0），△MCD的面积是△NCD的面积的3倍，求出a，b，由此能求出椭圆Γ的方程．（II）法一：当∠ACD=∠BCD，则kAC+kBC=0，设直线AC的斜率为k，则直线BC的斜率为﹣k，则AC的直线方程为 ，代入 中整理得（3+4k2）x2﹣4k（2k﹣3）x+4k2﹣12k﹣3=0，由此能求出直线AB的斜率是定值 ．法二：设AB方程：y=kx+m，代入 中，整理得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由此利用韦达定理、根的判别式、直线方程、椭圆性质，结合已知条件，能求出直线AB的斜率是定值 ．
14、（2017陕西延安黄陵中学考前模拟）已知点A（0，﹣2），椭圆E： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为 ，O为坐标原点． （Ⅰ）求E的方程； （Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
【答案】解：（Ⅰ） 设F（c，0），由条件知 ，得 又 ， 所以a=2，b2=a2﹣c2=1，故E的方程 ． （Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2） 将y=kx﹣2代入 ，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0， 当△=16（4k2﹣3）＞0，即 时， 从而 又点O到直线PQ的距离 ，所以△OPQ的面积 = ， 设 ，则t＞0， ， 当且仅当t=2，k=± 等号成立，且满足△＞0， 所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y= x﹣2或y=﹣ x﹣2 【考点】椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系 【解析】【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）将y=kx﹣2代入 ，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程． www.21-cn-jy.com
15、（2017宁夏石嘴山三中四模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆 的离心率为 ，直线y=x被椭圆C截得的线段长为 ． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．设直线BD，AM斜率分别为k1 ， k2 ， 证明存在常数λ使得k1=λk2 ， 并求出λ的值． 【版权所有：21教育】
【答案】解：（Ⅰ）由题意知，e= = ，a2﹣b2=c2 ， 则a2=4b2 ． 则椭圆C的方程可化为x2+4y2=a2 ． 将y=x代入可得x=± a， 因此 ? a= ，解得a=2，则b=1． ∴椭圆C的方程为 +y2=1； （Ⅱ）设A（x1 ， y1）（x1y1≠0），D（x2 ， y2）， 则B（﹣x1 ， ﹣y1）． ∵直线AB的斜率kAB= ， 又AB⊥AD， ∴直线AD的斜率kAD=﹣ ． 设AD方程为y=kx+m， 由题意知k≠0，m≠0． 联立 ，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0． ∴x1+x2=﹣ ． 因此y1+y2=k（x1+x2）+2m= ． 由题意可得k1= =﹣ = ． ∴直线BD的方程为y+y1= （x+x1）． 令y=0，得x=3x1 ， 即M（3x1 ， 0）． 可得k2=﹣ ． ∴k1=﹣ k2 ， 即λ=﹣ ． 因此存在常数λ=﹣ 使得结论成立 【考点】椭圆的简单性质 【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆离心率得到a，b的关系，化简椭圆方程，和直线方程联立后求出交点的横坐标，把弦长用交点横坐标表示，则a的值可求，进一步得到b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设出A，D的坐标分别为（x1 ， y1）（x1y1≠0），（x2 ， y2），用A的坐标表示B的坐标，把AB和AD的斜率都用A的坐标表示，写出直线AD的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到AD横纵坐标的和，求出AD中点坐标，则BD斜率可求，再写出BD所在直线方程，取y=0得到M点坐标，由两点求斜率得到AM的斜率，由两直线斜率的关系得到λ的值． 21教育名师原创作品
