1.1 实数与运算
一、实数的概念及分类
1．概念： 和 统称为实数。
2.分类：
实数
其他分类方法：
实数
二、实数中的概念
1..有理数
整数和分数统称为有理数，有理数可划分为：
2.数轴
①定义：规定了 的直线叫做数轴．
②实数与数轴上的点是 ，数轴上的点表示的数右边的总比左边的 ．
3.相反数
①定义：绝对值 且 的两个数互为相反数．
②互为相反数的几何意义：在数轴上位于原点的两侧，且与原点距离相等的两个点．
4.绝对值
①定义：数轴上表示数a的点与原点的 叫做数a的绝对值，记作｜a｜．
②负数的绝对值是其相反数，非负数的绝对值是其本身．
即｜a｜=
或｜a｜=
5.无理数
定义： 叫做无理数．
6.近似数、有效数字与科学记数法
①近似数：一个与实际数比较接近的数，称为近似数．
②有效数字：对于一个近似数， 的数字开始，到最末一位数字为止，都是这个近似数的有效数字．
③科学记数法：把一个数记作 的形式(其中 ，n为整数)．
7.倒数
定义： 两个实数互为倒数．
8.平方根、立方根
如果x2=a，那么x叫做a的 ；正数a的正的平方根叫做a的 ，记作正；0的算术平方根为0；
如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作．
三、实数的运算
1.加法
①同号两数相加，取原来的 ，并把它们的 相加；
②异号两数相加，取 加数的符号，并用 减去 ．满足运算律：交换律： 结合律：
2.减法
减去一个数等于加上这个数的
3.乘法
①两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把它们的绝对值相乘．
②n个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为 ；当负因数有奇数个时，积为 。
③n个数相乘，有一个因数为0，积就为 。
④满足运算律：交换律： 结合律： 乘法分配律：
4.除法
①两数相除，同号得 ，异号得 ，并把绝对值相除．
0除以任何一个不等于0的数，都得 ．
5.乘方
求n个相同因数 的运算叫做乘方
6.实数的运算顺序
加、减、乘、除、乘方、开方(这六种运算称为代数运算)六种运算，加减是一级运算，乘除是二级运算，乘方和开方是三级运算，这三级运算的顺序是三、二、一，如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右依次进行运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
四、比较实数的大小
①性质比较法： ．
②绝对值比较法：两个负数， ．
③数轴比较法：将实数用点表示在数轴上，沿数轴正方向的数越来越 ．
考点一：正负数
（2016?宜昌）如果“盈利5%”记作+5%，那么﹣3%表示（ ）
A．亏损3% B．亏损8% C．盈利2% D．少赚3%
【解析】解：∵“盈利5%”记作+5%，
∴﹣3%表示表示亏损3%．
【答案】A
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
变式跟进1（2017?济宁市任城区模拟）在下列选项中，具有相反意义的量是（ ）
A．收入20元与支出30元 B．上升了6米和后退了7米
C．卖出10斤米和盈利10元 D．向东行30米和向北行30米
考点二：实数中的相关概念
（2015?河北）下列说法正确的是（ ）
A．1的相反数是﹣1 B．1的倒数是﹣1
C．1的立方根是±1 D．﹣1是无理数
【解析】解：A、1的相反数是﹣1，正确；
B、1的倒数是1，故错误；
C、1的立方根是1，故错误；
D、﹣1是有理数，故错误；
【答案】A
【点评】本题考查了相反数、倒数、立方根，解决本题的关键是熟记相反数、倒数、立方根的定义．
变式跟进2（2017?黄冈模拟）计算﹣12的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
考点三：实数的大小比较
（2017?枣庄市峄城区三模）在（﹣1）2017，（﹣3）0，，，这四个数中，最大的数是（ ）
A．（﹣1）2017 B．（﹣3）0 C． D．
【解析】解：∵（﹣1）2017=﹣1，
（﹣3）0=1，
=3，
=4，
∴四个数中，最大的数是，
【答案】D
【点评】本题主要考查了实数大小的比较以及零指数幂、负整数指数幂的运用，解题时注意：当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数；任意一个非零数的0次幂都等于1．
变式跟进3（2017?武汉市青山区模拟）若﹣1＜m＜0，且n=，则m、n的大小关系是（ ）
A．m＞n B．m＜n C．m=n D．不能确定
考点四：实数与数轴
（2017?北京）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．a＞﹣4 B．bd＞0 C．|a|＞|d| D．b+c＞0
【解答】解：由数轴上点的位置，得
a＜﹣4＜b＜0＜c＜1＜d．
A、a＜﹣4，故A不符合题意；
B、bd＜0，故B不符合题意；
C、|a|＞4=|d|，故C符合题意；
D、b+c＜0，故D不符合题意；
【答案】C
【点评】本题考查了实数与数轴，利用数轴上点的位置关系得出a，b，c，d的大小是解题关键．
变式跟进4（2016?泰安）如图，四个实数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q=0，则m，n，p，q四个实数中，绝对值最大的一个是（ ）
A．p B．q C．m D．n
考点五：绝对值、算术平方根、偶次方的非负性
（2016?罗平县三模）已知（a﹣1）2+|b+1|=0，则代数式2a2+4b+2018值是 ．
【解析】解：由题意得，a﹣1=0，b+1=0，
解得，a=1，b=﹣1，
则2a2+4b+2018=2×1+4×（﹣1）+2018=2016，
【答案】2016
【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．
变式跟进5（2017?泰安市岱岳区模拟）已知非零实数a，b，满足|3a﹣4|+|b+2|+ +4=3a，则a+b等于（ ）
A．﹣1 B．9 C．1 D．2
考点六：科学记数法
（2017?凉山州）2017年端午节全国景区接待游客总人数8260万人，这个数用科学记数法可表示为 人．
【解析】解：8260万=8.26×10000000=8.26×107．
【答案】8.26×107
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
变式跟进6（2016?齐齐哈尔）某种电子元件的面积大约为0.00000069平方毫米，将0.00000069这个数用科学记数法表示为 ．
考点七：实数的运算
（2017?河北）如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是（ ）
A．4+4﹣=6 B．4+40+40=6 C．4+=6 D．4﹣1÷+4=6
【解析】解：∵4+4﹣=6，
∴选项A不符合题意；
∵4+40+40=6，
∴选项B不符合题意；
∵4+=6，
∴选项C不符合题意；
∵4﹣1÷+4=4，
∴选项D符合题意．
【答案】D
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
变式跟进7（2017?常德）如表是一个4×4（4行4列共16个“数”组成）的奇妙方阵，从这个方阵中选四个“数”，而且这四个“数”中的任何两个不在同一行，也不在同一列，有很多选法，把每次选出的四个“数”相加，其和是定值，则方阵中第三行三列的“数”是（ ）
30
2sin60°
22
﹣3
﹣2
﹣sin45°
0
|﹣5|
6
23
4
A．5 B．6 C．7 D．8
考点八：实数的新运算
（2016?安徽模拟）定义运算a?b=a（b﹣1），下面给出了关于这种运算的四个结论：①2?（﹣1）=﹣4；②a?b=b?a；③若a+b=1，则a?a=b?b；④若b?a=0，则a=0或b=1．其中正确结论的序号是（ ）
A．②④ B．②③ C．①④ D．①③
【解析】解：①根据题意得：原式=2×（﹣1﹣1）=2×（﹣2）=﹣4，正确；
②根据题意得：a?b=a（b﹣1），b?a=b（a﹣1），不相等，错误；
③由a+b=1，得到b=1﹣a，a=1﹣b，
则a?a=a（a﹣1）=﹣ab，b?b=b（b﹣1）=﹣ab，即a?a=b?b，正确；
④b?a=b（a﹣1）=0，得到b=0或a=1，错误，
则正确结论的序号是①③，
【答案】D
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式跟进8（2017?天水）定义一种新的运算：x*y=，如：3*1=，则（2*3）*2= ．
一、选择题
1．（2017?杭州）﹣22=（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
2．（2017?成都）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为（ ）
A．零上3℃ B．零下3℃
C．零上7℃ D．零下7℃
3．（2017?广州）如图，数轴上两点A，B表示的数互为相反数，则点B表示的数为（ ）
A．﹣6 B．6 C．0 D．无法确定
4．（2017?齐齐哈尔）作为“一带一路”倡议的重大先行项目，中国，巴基斯坦经济走廊建设进展快、成效显著，两年来，已有18个项目在建或建成，总投资额达185亿美元，185亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.85×109 B．1.85×1010
C．1.85×1011 D．1.85×1012
5．（2017?南京）若＜a＜，则下列结论中正确的是（ ）
A．1＜a＜3 B．1＜a＜4
C．2＜a＜3 D．2＜a＜4
6．（2017?大庆）下列说法中，正确的是（ ）
A．若a≠b，则a2≠b2 B．若a＞|b|，则a＞b
C．若|a|=|b|，则a=b D．若|a|＞|b|，则a＞b
7．（2017?南京）若方程（x﹣5）2=19的两根为a和b，且a＞b，则下列结论中正确的是（ ）
A．a是19的算术平方根 B．b是19的平方根
C．a﹣5是19的算术平方根 D．b+5是19的平方根
二、填空题
8．（2015?镇江）已知一个数的绝对值是4，则这个数是 ．
9．（2016?宁波）实数﹣27的立方根是 ．
10．（2016?重庆）在，0，﹣1，1这四个数中，最小的数是 ．
11．（2016?巴中）|﹣0.3|的相反数等于 ．
12．（2015?茂名）为了求1+3+32+33+…+3100的值，可令M=1+3+32+33+…+3100，则3M=3+32+33+34+…+3101，因此，3M﹣M=3101﹣1，所以M=，即1+3+32+33+…+3100=，仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是 ．
13．（2017?牡丹江）请你只在“加、减、乘、除和括号”中选择使用，可以重复，将四个数﹣2，4，﹣6，8组成算式（四个数都用且每个数只能用一次），使运算结果为24，你列出的算式是 （只写一种）
14．（2017?江西）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，观察图①，可推算图②中所得的数值为 ．
15．（2017?镇江）若实数a满足|a﹣|=，则a对应于图中数轴上的点可以是A、B、C三点中的点 ．
16．（2016?宜宾）规定：logab（a＞0，a≠1，b＞0）表示a，b之间的一种运算．
现有如下的运算法则：logaan=n．logNM=（a＞0，a≠1，N＞0，N≠1，M＞0）．
例如：log223=3，log25=，则log1001000= ．
三、解答题
17．（2017?六盘水）计算：
（1）2﹣1+sin30°﹣|﹣2|； （2）（﹣1）0﹣|3﹣π|+．
18．（2017?毕节市）计算：
19．（2016?杭州）计算6÷（），方方同学的计算过程如下，原式=6÷+6÷=﹣12+18=6．请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．
20．（2016?河北）请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：
（1）999×（﹣15）
（2）999×118+999×（）﹣999×18．
21．（2016?黔西南州）求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求两个正整数最大公约数的一种方法﹣﹣更相减损术，术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也．以等数约之”，意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差（或减数）即为这两个正整数的最大公约数．
例如：求91与56的最大公约数
解：
请用以上方法解决下列问题：
（1）求108与45的最大公约数；
（2）求三个数78、104、143的最大公约数．
一、选择题
1．（2016?绵阳市游仙区模拟）1不是﹣1的（ ）
A．平方数 B．倒数 C．相反数 D．绝对值
2．（2017?乐安县模拟）一种面粉的质量标识为“25±0.25千克”，则下列面粉中合格的是（ ）
A．24.70千克 B．25.30千克
C．24.80千克 D．25.51千克
3．（2016?故城县三模）将分数﹣化为小数是﹣0..5714，则小数点后第2016位上的数是（ ）
A．8 B．7 C．4 D．2
4．（2017?天津市西青区模拟）若|m|=3,|n|=5,且m-n>0,则m+n的值是( )
A.-2 B.-8或8 C.-8或-2 D.8或-2
5．（2017?石家庄模拟）的倒数的相反数是（ ）
A．﹣5 B． C． D．5
6．（2017?孝义市二模）石墨烯（Graphene）是一种由碳原子以sp2杂化轨道组成的六角型呈蜂巢晶格的平面薄膜，是目前发现的厚度最薄、强度最大、导电导热性能最强的一种新型纳米材料，其厚度仅为0.334纳米．数据0.334纳米用科学记数法可以表示为（ ）
A．0.334×10﹣9米 B．3.34×10﹣9米
C．3.34×10﹣10米 D．3.34×10﹣8米
7．（2017?微山县模拟）的平方根是（ ）
A．4 B．±4 C．2 D．±2
8．（2017?成都市青羊区模拟）在算式（﹣2）□（﹣3）的□中填上运算符号，使结果最小，运算符号是（ ）
A．加号 B．减号 C．乘号 D．除号
9．（2016?乌审旗模拟）a为有理数，则﹣|a|表示（ ）
A．正数 B．负数 C．正数或0 D．负数或0
10．（2017?红桥一模）有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则a、b、﹣a、|b|的大小关系正确的是（ ）
A．|b|＞a＞﹣a＞b B．|b|＞b＞a＞﹣a
C．a＞|b|＞b＞﹣a D．a＞|b|＞﹣a＞b
二、填空题
11．（2017?永仁县一模）如果+（2x﹣4）2=0，那么2x﹣y= ．
12．（2016?永新县一模）请你写出三个大于1的无理数 ．
13．（2017?准格尔旗二模）2016年鄂尔多斯市实现生产总值4417.9亿元，按可比价格计算，比上年增长7.3%，在内蒙古自治区排名第一，将数据“4417.9亿元”精确到十亿位表示为 元．
14．（2017?庆云县模拟）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则的值是 ．
15．（2017?乌鲁木齐市新市区模拟）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次将点A向左移动3个单位长度到达点A1，第2次将点A1向右平移6个单位长度到达点A2，第3次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3…则第6次移动到点A6时，点A6在数轴上对应的实数是 ；按照这种规律移动下去，至少移动 次后该点到原点的距离不小于41．
16．（2016?富顺县校级模拟）下列说法：
①近似数3.9×103精确到十分位；
②按科学记数法表示8.04×105原数为80400；
③把数60430保留2个有效数字得6.0×104；
④用四舍五入法得到的近似数9.1780是精确到0.001；
⑤近似数2.40万精确到百位，有3个有效数字．
其中正确的有 个．
三、解答题
17．（2017?长春一模）计算：﹣14﹣（1﹣0.5）××[2﹣（﹣3）2]．
18．（2017?海口市美兰区模拟）﹣32×﹣÷
19．（2017?西安市长安区一模）小明早晨跑步，他从自己家出发，向东跑了2km到达小彬家，继续向东跑了1.5km到达小红家，然后又向西跑了4.5km到达学校，最后又向东，跑回到自己家．
（1）以小明家为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示1km，在图中的数轴上，分别用点A表示出小彬家，用点B表示出小红家，用点C表示出学校的位置；
（2）求小彬家与学校之间的距离；
（3）如果小明跑步的速度是250m/min，那么小明跑步一共用了多长时间？
20．（2017?迁安市一模）按照如下步骤计算：．
（1）计算：；
（2）根据两个算式的关系，直接写出的结果．
21．（2017?合肥市瑶海区三模）观察下列关于自然数的等式：
2×0+1=12①，
4×2+1=32②，
8×6+1=72③，
16×14+1=152④，
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第五个等式：32× +1= ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．
22．（2017?重庆市江津区三模）我们知道一个数x的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数x的点离原点（表示数0）的距离，x的绝对值表示为|x|，也可以写成|x﹣0|，比如|2|=|2﹣0|=2；
在数轴上表示两个数x，y的点之间的距离可以表示为|x﹣y|，比如，表示3的点与﹣1的点之间的距离表示为|3﹣（﹣1）|=|3+1|=4；
|x+2|+|x﹣1|可以表示点x与点1之间的距离跟点x与﹣2之间的距离的和，根据图示易知：当点X的位置在点A和点B之间（包含点A和点B）时，点X与点A的距离跟点X和点B的距离之和最小，且最小值为3，即|x+2|+|x﹣1|的最小值是3，且此时x的值为﹣2≤x≤1
请根据以上阅读，解答下列问题：
（1）|x+1|+|x﹣2|的最小值是 ，此时x的值为 ；
（2）|x+2|+|x|+|x﹣1|的最小值是 ，此时x的值为 ；
（3）当|x+1|+|x|+|x﹣2|+|x﹣a|的最小值是4.5时，求出a的值及x的值．
1.1 实数与运算
一、实数的概念及分类
1．概念：有理数和无理数统称为实数。
2.分类：
实数
其他分类方法：
实数
二、实数中的概念
1..有理数
整数和分数统称为有理数，有理数可划分为：正有理数、负有理数、零．
2.数轴
①定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
②实数与数轴上的点是一一对应的，数轴上的点表示的数右边的总比左边的大．
3.相反数
①定义：绝对值相等且符号相反的两个数互为相反数．
②互为相反数的几何意义：在数轴上位于原点的两侧，且与原点距离相等的两个点．
4.绝对值
①定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作｜a｜．
②负数的绝对值是其相反数，非负数的绝对值是其本身．
即｜a｜=
或｜a｜=
5.无理数
定义：无限不循环的小数叫做无理数．
6.近似数、有效数字与科学记数法
①近似数：一个与实际数比较接近的数，称为近似数．
②有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字开始，到最末一位数字为止，都是这个近似数的有效数字．
③科学记数法：把一个数记作a×10n的形式(其中1≤<10，n为整数)．
7.倒数
定义：乘积为1的两个实数互为倒数．
8.平方根、立方根
如果x2=a，那么x叫做a的平方根；正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作正；0的算术平方根为0；
如果x3=a，那么x叫做a的立方根，记作．
三、实数的运算
1.加法
①同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加；
②异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．满足运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：a+(b+c)=(a+b)+c．
2.减法
减去一个数等于加上这个数的相反数．
3.乘法
①两数相乘，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相乘．
②n个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负。
③n个数相乘，有一个因数为0，积就为0。
④满足运算律：交换律：ab=ba；结合律：(ab)c=a(bc)；乘法分配律：a(b+c)=ab+ac．
4.除法
①两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．
0除以任何一个不等于0的数，都得0．
5.乘方
求n个相同因数乘积的运算叫做乘方
6.实数的运算顺序
加、减、乘、除、乘方、开方(这六种运算称为代数运算)六种运算，加减是一级运算，乘除是二级运算，乘方和开方是三级运算，这三级运算的顺序是三、二、一，如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右依次进行运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
四、比较实数的大小
①性质比较法：正数大于0，负数小于0，正数大于任何负数．
②绝对值比较法：两个负数，绝对值大的反而小．
③数轴比较法：将实数用点表示在数轴上，沿数轴正方向的数越来越大．
考点一：正负数
（2016?宜昌）如果“盈利5%”记作+5%，那么﹣3%表示（ ）
A．亏损3% B．亏损8% C．盈利2% D．少赚3%
【解析】解：∵“盈利5%”记作+5%，
∴﹣3%表示表示亏损3%．
【答案】A
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
变式跟进1（2017?济宁市任城区模拟）在下列选项中，具有相反意义的量是（ ）
A．收入20元与支出30元 B．上升了6米和后退了7米
C．卖出10斤米和盈利10元 D．向东行30米和向北行30米
【解析】解：A、收入20元与支出30元是相反意义的量，故A正确；
B．上升与后退不是相反意义的，故B错误；
C.卖出与盈利不是相反意义的，故C错误；
D.向东行与向北行不是相反意义的，故D错误。
【答案】A
【点评】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
考点二：实数中的相关概念
（2015?河北）下列说法正确的是（ ）
A．1的相反数是﹣1 B．1的倒数是﹣1
C．1的立方根是±1 D．﹣1是无理数
【解析】解：A、1的相反数是﹣1，正确；
B、1的倒数是1，故错误；
C、1的立方根是1，故错误；
D、﹣1是有理数，故错误；
【答案】A
【点评】本题考查了相反数、倒数、立方根，解决本题的关键是熟记相反数、倒数、立方根的定义．
变式跟进2（2017?黄冈模拟）计算﹣12的相反数是（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【解答】解：﹣12=﹣1，
﹣1的相反数是1，
故选C
【点评】此题考查了有理数的乘方，以及相反数，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
考点三：实数的大小比较
（2017?枣庄市峄城区三模）在（﹣1）2017，（﹣3）0，，，这四个数中，最大的数是（ ）
A．（﹣1）2017 B．（﹣3）0 C． D．
【解析】解：∵（﹣1）2017=﹣1，
（﹣3）0=1，
=3，
=4，
∴四个数中，最大的数是，
【答案】D
【点评】本题主要考查了实数大小的比较以及零指数幂、负整数指数幂的运用，解题时注意：当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数；任意一个非零数的0次幂都等于1．
变式跟进3（2017?武汉市青山区模拟）若﹣1＜m＜0，且n=，则m、n的大小关系是（ ）
A．m＞n B．m＜n C．m=n D．不能确定
【解析】解：∵﹣1＜m＜0，
∴取m=，
∴n===，
∴n＜m，
【答案】A
【点评】本题考查了实数的大小比较的应用，能选择适当的方法比较两个实数的大小是解此题的关键．
考点四：实数与数轴
（2017?北京）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．a＞﹣4 B．bd＞0 C．|a|＞|d| D．b+c＞0
【解答】解：由数轴上点的位置，得
a＜﹣4＜b＜0＜c＜1＜d．
A、a＜﹣4，故A不符合题意；
B、bd＜0，故B不符合题意；
C、|a|＞4=|d|，故C符合题意；
D、b+c＜0，故D不符合题意；
【答案】C
【点评】本题考查了实数与数轴，利用数轴上点的位置关系得出a，b，c，d的大小是解题关键．
变式跟进4（2016?泰安）如图，四个实数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q=0，则m，n，p，q四个实数中，绝对值最大的一个是（ ）
A．p B．q C．m D．n
【解析】解：∵n+q=0，
∴n和q互为相反数，0在线段NQ的中点处，
∴绝对值最大的点P表示的数p，
【答案】A
【点评】本题考查实数与数轴，解题的关键是明确数轴的特点，利用数形结合的思想解答．
考点五：绝对值、算术平方根、偶次方的非负性
（2016?罗平县三模）已知（a﹣1）2+|b+1|=0，则代数式2a2+4b+2018值是 ．
【解析】解：由题意得，a﹣1=0，b+1=0，
解得，a=1，b=﹣1，
则2a2+4b+2018=2×1+4×（﹣1）+2018=2016，
【答案】2016
【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．
变式跟进5（2017?泰安市岱岳区模拟）已知非零实数a，b，满足|3a﹣4|+|b+2|+ +4=3a，则a+b等于（ ）
A．﹣1 B．9 C．1 D．2
【解析】解：已知等式整理得：|3a﹣4|+|b+2|+=3a﹣4，
∵非零实数a，b，
∴3a﹣4≥0，b+2=0，a﹣3=0，
解得：a=3，b=﹣2，
则a+b=1，
【答案】C
【点评】此题考查了实数的运算，以及非负数的性质：绝对值与算术平方根，熟练掌握非负数的性质是解本题的关键．
考点六：科学记数法
（2017?凉山州）2017年端午节全国景区接待游客总人数8260万人，这个数用科学记数法可表示为 人．
【解析】解：8260万=8.26×10000000=8.26×107．
【答案】8.26×107
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
变式跟进6（2016?齐齐哈尔）某种电子元件的面积大约为0.00000069平方毫米，将0.00000069这个数用科学记数法表示为 ．
【解答】解：0.00000069=6.9×10﹣7．
【答案】6.9×10﹣7
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
考点七：实数的运算
（2017?河北）如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是（ ）
A．4+4﹣=6 B．4+40+40=6 C．4+=6 D．4﹣1÷+4=6
【解析】解：∵4+4﹣=6，
∴选项A不符合题意；
∵4+40+40=6，
∴选项B不符合题意；
∵4+=6，
∴选项C不符合题意；
∵4﹣1÷+4=4，
∴选项D符合题意．
【答案】D
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
变式跟进7（2017?常德）如表是一个4×4（4行4列共16个“数”组成）的奇妙方阵，从这个方阵中选四个“数”，而且这四个“数”中的任何两个不在同一行，也不在同一列，有很多选法，把每次选出的四个“数”相加，其和是定值，则方阵中第三行三列的“数”是（ ）
30
2sin60°
22
﹣3
﹣2
﹣sin45°
0
|﹣5|
6
23
4
A．5 B．6 C．7 D．8
【解析】解：∵第一行为1，2，3，4；第二行为﹣3，﹣2，﹣1，0；第四行为3，4，5，6
∴第三行为5，6，7，8，
∴方阵中第三行三列的“数”是7，
【答案】C
【点评】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数的运算，掌握运算法则是解答此题的关键．
考点八：实数的新运算
（2016?安徽模拟）定义运算a?b=a（b﹣1），下面给出了关于这种运算的四个结论：①2?（﹣1）=﹣4；②a?b=b?a；③若a+b=1，则a?a=b?b；④若b?a=0，则a=0或b=1．其中正确结论的序号是（ ）
A．②④ B．②③ C．①④ D．①③
【解析】解：①根据题意得：原式=2×（﹣1﹣1）=2×（﹣2）=﹣4，正确；
②根据题意得：a?b=a（b﹣1），b?a=b（a﹣1），不相等，错误；
③由a+b=1，得到b=1﹣a，a=1﹣b，
则a?a=a（a﹣1）=﹣ab，b?b=b（b﹣1）=﹣ab，即a?a=b?b，正确；
④b?a=b（a﹣1）=0，得到b=0或a=1，错误，
则正确结论的序号是①③，
【答案】D
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式跟进8（2017?天水）定义一种新的运算：x*y=，如：3*1=，则（2*3）*2= ．
【解答】解：根据题中的新定义得：（2*3）*2=（）*2=4*2==2，
【答案】2
【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
一、选择题
1．（2017?杭州）﹣22=（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
【解析】解：﹣22=﹣4，
【答案】B
【点评】本题考查了幂的乘方，解析本题的关键是掌握幂的乘方的运算法则．
2．（2017?成都）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为（ ）
A．零上3℃ B．零下3℃
C．零上7℃ D．零下7℃
【解析】解：若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为零下3℃．
【答案】B
【点评】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．
3．（2017?广州）如图，数轴上两点A，B表示的数互为相反数，则点B表示的数为（ ）
A．﹣6 B．6 C．0 D．无法确定
【解析】解：∵数轴上两点A，B表示的数互为相反数，点A表示的数为﹣6，
∴点B表示的数为6，
【答案】B
【点评】此题考查了数轴，以及相反数，熟练掌握相反数的性质是解本题的关键．
4．（2017?齐齐哈尔）作为“一带一路”倡议的重大先行项目，中国，巴基斯坦经济走廊建设进展快、成效显著，两年来，已有18个项目在建或建成，总投资额达185亿美元，185亿用科学记数法表示为（ ）
A．1.85×109 B．1.85×1010
C．1.85×1011 D．1.85×1012
【解析】解：185亿=1.85×1010．
【答案】B
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（2017?南京）若＜a＜，则下列结论中正确的是（ ）
A．1＜a＜3 B．1＜a＜4
C．2＜a＜3 D．2＜a＜4
【解析】解：∵1＜＜2，3＜＜4，
又∵＜a＜，
∴1＜a＜4，
【答案】B
【点评】本题主要考查了估算无理数的大小，首先估算和的大小是解答此题的关键．
6．（2017?大庆）下列说法中，正确的是（ ）
A．若a≠b，则a2≠b2 B．若a＞|b|，则a＞b
C．若|a|=|b|，则a=b D．若|a|＞|b|，则a＞b
【解析】解：A、若a=2，b=﹣2，a≠b，但a2=b2，故本选项错误；
B、若a＞|b|，则a＞b，故本选项正确；
C、若|a|=|b|，则a=b或a=﹣b，故本选项错误；
D、若a=﹣2，b=1，|a|＞|b|，但a＜b，故本选项错误．
【答案】B
【点评】本题考查了有理数的乘方，绝对值的性质，理解有理数乘方的意义是解题的关键．
7．（2017?南京）若方程（x﹣5）2=19的两根为a和b，且a＞b，则下列结论中正确的是（ ）
A．a是19的算术平方根 B．b是19的平方根
C．a﹣5是19的算术平方根 D．b+5是19的平方根
【解析】解：∵方程（x﹣5）2=19的两根为a和b，
∴a﹣5和b﹣5是19的两个平方根，且互为相反数，
∵a＞b，
∴a﹣5是19的算术平方根，
【答案】C
【点评】本题主要考查了平方根和算术平方根的定义，熟记定义是解答此题的关键．一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为根号a．
二、填空题
8．（2015?镇江）已知一个数的绝对值是4，则这个数是 ．
【解析】解：绝对值是4的数有两个，4或﹣4．
【答案】±4
【点评】解题关键是掌握互为相反数的两个数的绝对值相等．如|﹣3|=3，|3|=3．
9．（2016?宁波）实数﹣27的立方根是 ．
【解析】解：∵（﹣3）3=﹣27，
∴实数﹣27的立方根是﹣3．
【答案】﹣3
【点评】本题考查了立方根的定义、乘方的意义；熟练掌握立方根的定义是解决问题的关键．
10．（2016?重庆）在，0，﹣1，1这四个数中，最小的数是 ．
【解析】解：|﹣1|＞||，
﹣1＜．
﹣1＜＜0＜1，
【答案】﹣1
【点评】本题考查了有理数大小比较，负数比较大小，绝对值大的数反而小．
11．（2016?巴中）|﹣0.3|的相反数等于 ．
【解析】解：∵|﹣0.3|=0.3，
0.3的相反数是﹣0.3，
∴|﹣0.3|的相反数等于﹣0.3．
【答案】﹣0.3
【点评】此题主要考查了绝对值，相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，难度适中．
12．（2015?茂名）为了求1+3+32+33+…+3100的值，可令M=1+3+32+33+…+3100，则3M=3+32+33+34+…+3101，因此，3M﹣M=3101﹣1，所以M=，即1+3+32+33+…+3100=，仿照以上推理计算：1+5+52+53+…+52015的值是 ．
【解析】解：设M=1+5+52+53+…+52015，
则5M=5+52+53+54…+52016，
两式相减得：4M=52016﹣1，
则M=．
【答案】
【点评】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键．
13．（2017?牡丹江）请你只在“加、减、乘、除和括号”中选择使用，可以重复，将四个数﹣2，4，﹣6，8组成算式（四个数都用且每个数只能用一次），使运算结果为24，你列出的算式是 （只写一种）
【解析】解：8×6÷[（﹣2）﹣（﹣4）]=24
【答案】8×6÷[（﹣2）﹣（﹣4）]=24（答案不唯一）
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
14．（2017?江西）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，观察图①，可推算图②中所得的数值为 ．
【解析】解：图②中表示（+2）+（﹣5）=﹣3，
【答案】﹣3
【点评】本题考查了有理数的运算，利用有理数的加法运算是解题关键．
15．（2017?镇江）若实数a满足|a﹣|=，则a对应于图中数轴上的点可以是A、B、C三点中的点 ．
【解析】解：∵|a﹣|=，
∴a=﹣1或a=2．
【答案】B
【点评】本题考查了实数与数轴以及解含绝对值符号的一元一次方程，解方程求出a值是解题的关键．
16．（2016?宜宾）规定：logab（a＞0，a≠1，b＞0）表示a，b之间的一种运算．
现有如下的运算法则：logaan=n．logNM=（a＞0，a≠1，N＞0，N≠1，M＞0）．
例如：log223=3，log25=，则log1001000= ．
【解析】解：先由公式logNM=得：log1001000=，
由公式logaan=n得：①log101000==3；
②log10100==2；
∴log1001000===．
【答案】
【点评】本题考查了实数的运算，这是一个新的定义，利用已知所给的新的公式进行计算．认真阅读，理解公式的真正意义；解决此类题的思路为：观察所求式子与公式的联系，发现1000与100都与10有关，且都能写成10的次方的形式，从而使问题得以解决．
三、解答题
17．（2017?六盘水）计算：
（1）2﹣1+sin30°﹣|﹣2|； （2）（﹣1）0﹣|3﹣π|+．
【解析】解：（1）原式=+﹣2
=﹣1；
（2）原式=1﹣（π﹣3）+π﹣3
=1．
【答案】（1）-1 （2）1
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．（2017?毕节市）计算：．
【解析】解：原式=
=3+1+﹣+﹣1
=3+．
【答案】3+
【点评】本题主要考查的是实数的运算，熟练掌握相关法则是解题的关键．
19．（2016?杭州）计算6÷（），方方同学的计算过程如下，原式=6÷+6÷=﹣12+18=6．请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．
【解析】解：方方的计算过程不正确，
正确的计算过程是：
原式=6÷（）
=6÷（﹣）
=6×（﹣6）
=﹣36．
【答案】-36
【点评】此题考查了有理数的除法，用到的知识点是有理数的除法、通分、有理数的加法，关键是掌握运算顺序和结果的符号．
20．（2016?河北）请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：
（1）999×（﹣15）
（2）（2）999×118+999×（）﹣999×18．
【解析】解：（1）999×（﹣15）
=（1000﹣1）×（﹣15）
=1000×（﹣15）+15
=﹣15000+15
=﹣14985；
（2）999×118+999×（）﹣999×18
=999×（118﹣18）
=999×100
=99900
【答案】（1）-14985 （2）99900
【点评】考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
21．（2016?黔西南州）求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求两个正整数最大公约数的一种方法﹣﹣更相减损术，术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也．以等数约之”，意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差（或减数）即为这两个正整数的最大公约数．
例如：求91与56的最大公约数
解：
请用以上方法解决下列问题：
（1）求108与45的最大公约数；
（2）求三个数78、104、143的最大公约数．
【解析】解：（1）108﹣45=63，
63﹣45=18，
27﹣18=9，
18﹣9=9，
所以108与45的最大公约数是9；
（2）先求104与78的最大公约数，
104﹣78=26，
78﹣26=52，
52﹣26=26，
所以104与78的最大公约数是26；
再求26与143的最大公约数，
143﹣26=117，
117﹣26=91，
91﹣26=65，
65﹣26=39，
39﹣26=13，
26﹣13=13，
所以，26与143的最大公约数是13，
∴78、104、143的最大公约数是13．
【答案】（1）9 （2）13
【点评】本题考查的知识点是辗转相除法与更相减损术，求三个或三个以上数的最大公约数，可以先求前两个数的最大公约数，再求所得最大公约数与第三个数的最大公约数最后得到答案．
一、选择题
1．（2016?绵阳市游仙区模拟）1不是﹣1的（ ）
A．平方数 B．倒数 C．相反数 D．绝对值
【解析】解：A、（﹣1）2=1，则1是﹣1的平方数．故本选项错误；
B、﹣1的倒数是﹣1，则1不是﹣1的倒数．故本选项正确；
C、﹣1的相反数是1，则1是﹣1的相反数．故本选项错误；
D、|﹣1|=1，则1是﹣1的绝对值．故本选项错误；
【答案】B
【点评】本题考查了有理数．熟记相关概念是解题的关键．
2．（2017?乐安县模拟）一种面粉的质量标识为“25±0.25千克”，则下列面粉中合格的是（ ）
A．24.70千克 B．25.30千克
C．24.80千克 D．25.51千克
【解析】解：“25±0.25千克”表示合格范围在25上下0.25的范围内的是合格品，即24.75到25.25之间的合格，
故只有24.80千克合格．
【答案】C
【点评】此题考查正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
3．（2016?故城县三模）将分数﹣化为小数是﹣0..5714，则小数点后第2016位上的数是（ ）
A．8 B．7 C．4 D．2
【解析】解：∵分数﹣化为小数是﹣0..5714，循环节是857142，
∴此循环小数中这6个数字为一个循环周期，
∵2016÷6=336；
∴小数点后面第2016位上的数字是2；
【答案】D
【点评】此题考查了数字的变化规律，解决此题关键是根据循环节确定6个数字为一个循环周期，进而求出2016里面有几个6，再根据余数确定即可．
4．（2017?天津市西青区模拟）若|m|=3,|n|=5,且m-n>0,则m+n的值是( )
A.-2 B.-8或8 C.-8或-2 D.8或-2
【解析】解：解:∵|m|=3,|n|=5, ∴m=±3,n=±5, ∵m-n>0, ∴m=±3,n=-5, ∴m+n=±3-5, ∴m+n=-2或m+n=-8．
【答案】C
【点评】本题考查了绝对值的含义及性质，（1）任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性． （2）绝对值等于0的数只有一个，就是0． （3）绝对值等于一个正数的数有两个，这两个数互为相反数． （4）互为相反数的两个数的绝对值相等。
5．（2017?石家庄模拟）的倒数的相反数是（ ）
A．﹣5 B． C． D．5
【解析】解：∵的倒数为﹣5，﹣5的相反数为5，
∴的倒数的相反数是5．
【答案】D
【点评】本题考查了倒数的定义：a（a≠0）的倒数为．也考查了相反数的定义．
6．（2017?孝义市二模）石墨烯（Graphene）是一种由碳原子以sp2杂化轨道组成的六角型呈蜂巢晶格的平面薄膜，是目前发现的厚度最薄、强度最大、导电导热性能最强的一种新型纳米材料，其厚度仅为0.334纳米．数据0.334纳米用科学记数法可以表示为（ ）
A．0.334×10﹣9米 B．3.34×10﹣9米
C．3.34×10﹣10米 D．3.34×10﹣8米
【解析】解：0.334纳米=0.334×10﹣9m=3.34×10﹣10m．
【答案】C
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
7．（2017?微山县模拟）的平方根是（ ）
A．4 B．±4 C．2 D．±2
【解析】解：=4，
4的平方根是±2．
【答案】D
【点评】本题考查平方根的求法，关键是知道先化简．
8．（2017?成都市青羊区模拟）在算式（﹣2）□（﹣3）的□中填上运算符号，使结果最小，运算符号是（ ）
A．加号 B．减号 C．乘号 D．除号
【解析】解：（﹣2）+（﹣3）=﹣5；（﹣2）﹣（﹣3）=﹣2+3=1；（﹣2）×（﹣3）=6；（﹣2）÷（﹣3）=，
则在算式（﹣2）□（﹣3）的□中填上运算符号，使结果最小，运算符号是加号，
【答案】A
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（2016?乌审旗模拟）a为有理数，则﹣|a|表示（ ）
A．正数 B．负数 C．正数或0 D．负数或0
【解析】解：当a＞0时，|a|=a，﹣|a|为负数；
当a=0时，|a|=0，﹣|a|=0；
当a＜0时，|a|=﹣a，﹣|a|=a为负数．
【答案】D
【点评】本题考查的是非负数的性质，在解答此题时要注意分类讨论．
10．（2017?红桥一模）有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则a、b、﹣a、|b|的大小关系正确的是（ ）
A．|b|＞a＞﹣a＞b B．|b|＞b＞a＞﹣a
C．a＞|b|＞b＞﹣a D．a＞|b|＞﹣a＞b
【解析】解：∵a是大于1的数，b是负数，且|b|＞|a|，
∴|b|＞a＞﹣a＞b．
【答案】A
【点评】此题考查了有理数的大小比较，能够根据数轴确定数的大小，同时特别注意：两个负数，绝对值大的反而小．
二、填空题
11．（2017?永仁县一模）如果+（2x﹣4）2=0，那么2x﹣y= ．
【解析】解：由题意，得
y﹣3=0，2x﹣4=0．
解得y=3，x=2，
2x﹣y=4﹣3=1，
【答案】1
【点评】本题考查了非负数的性质，利用非负数的和为零得出每个非负数同时为零是解题关键．
12．（2016?永新县一模）请你写出三个大于1的无理数 ．
【解析】解：大于1的无理数，可以取开不尽方的数或π。
【答案】，，π（答案不唯一）
【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
13．（2017?准格尔旗二模）2016年鄂尔多斯市实现生产总值4417.9亿元，按可比价格计算，比上年增长7.3%，在内蒙古自治区排名第一，将数据“4417.9亿元”精确到十亿位表示为 元．
【解析】解：数据“4417.9亿元”精确到十亿位表示为4.42×1011元．
【答案】4.42×1011
【点评】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
14．（2017?庆云县模拟）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则的值是 ．
【解析】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，
∴a+b=0，cd=1，
又m的绝对值为2，
所以m=±2，m2=4，
则原式=0+2×4﹣3×1=5．
【答案】5
【点评】主要考查倒数、相反数和绝对值的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
15．（2017?乌鲁木齐市新市区模拟）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次将点A向左移动3个单位长度到达点A1，第2次将点A1向右平移6个单位长度到达点A2，第3次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3…则第6次移动到点A6时，点A6在数轴上对应的实数是 ；按照这种规律移动下去，至少移动 次后该点到原点的距离不小于41．
【解析】解：第一次点A向左移动3个单位长度至点A1，则A1表示的数，1﹣3=﹣2；
第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，则A2表示的数为﹣2+6=4；
第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，则A3表示的数为4﹣9=﹣5；
第4次从点A3向右移动12个单位长度至点A4，则A4表示的数为﹣5+12=7；
第5次从点A4向左移动15个单位长度至点A5，则A5表示的数为7﹣15=﹣8；
第6次从点A5向左移动18个单位长度至点A6，则A6表示的数为﹣8+18=10；
…；
则A7表示的数为﹣8﹣3=﹣11，A9表示的数为﹣11﹣3=﹣14，A11表示的数为﹣14﹣3=﹣17，A13表示的数为﹣17﹣3=﹣20，A15表示的数为﹣20﹣3=﹣23，A17表示的数为﹣23﹣3=﹣264，A19表示的数为﹣26﹣3=﹣29，A21表示的数为﹣29﹣3=﹣32，A23表示的数为﹣32﹣3=﹣35，A25表示的数为﹣35﹣3=﹣38，A27表示的数为﹣38﹣3=﹣41，
所以至少移动27次后该点到原点的距离不小于41．
【答案】10，27
【点评】此题考查了数轴，解答此题的关键是先求出前五次这个点移动后在数轴上表示的数，再根据此数值找出规律即可解答．
16．（2016?富顺县校级模拟）下列说法：
①近似数3.9×103精确到十分位；
②按科学记数法表示8.04×105原数为80400；
③把数60430保留2个有效数字得6.0×104；
④用四舍五入法得到的近似数9.1780是精确到0.001；
⑤近似数2.40万精确到百位，有3个有效数字．
其中正确的有 个．
【解析】解：近似数3.9×103精确到百位，所以①错误；
按科学记数法表示8.04×105原数为804000，所以②错误；
把数60430保留2个有效数字得6.0×104，所以③正确；
用四舍五入法得到的近似数9.1780是精确到0.0001，所以④错误；
近似数2.40万精确到百位，有3个有效数字，所以⑤正确．
【答案】2
【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
三、解答题
17．（2017?长春一模）计算：﹣14﹣（1﹣0.5）××[2﹣（﹣3）2]．
【解析】解：原式=﹣1﹣0.5××（2﹣9）
=﹣1﹣（﹣）
=．
【答案】
【点评】此题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序，正确判定符号计算即可．
18．（2017?海口市美兰区模拟）﹣32×﹣÷
【解析】解：原式=﹣9×（﹣）﹣（）×（﹣24）
=+18+4﹣9
=．
【答案】
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（2017?西安市长安区一模）小明早晨跑步，他从自己家出发，向东跑了2km到达小彬家，继续向东跑了1.5km到达小红家，然后又向西跑了4.5km到达学校，最后又向东，跑回到自己家．
（1）以小明家为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示1km，在图中的数轴上，分别用点A表示出小彬家，用点B表示出小红家，用点C表示出学校的位置；
（2）求小彬家与学校之间的距离；
（3）如果小明跑步的速度是250m/min，那么小明跑步一共用了多长时间？
【解析】解：（1）如图所示：
（2）小彬家与学校的距离是：2﹣（﹣1）=3（km）．
故小彬家与学校之间的距离是3km；
（3）小明一共跑了（2+1.5+1）×2=9（km），
小明跑步一共用的时间是：9000÷250=36（分钟）．
答：小明跑步一共用了36分钟长时间．
【答案】（1）
（2）3km
（3）36分钟
【点评】本题考查了数轴，有理数的加减运算，正数和负数，绝对值等知识点的应用，此题的关键是能根据题意列出算式，题目比较典型，难度适中，用的数学思想是转化思想，即把实际问题转化成数学问题，用数学知识来解决．
20．（2017?迁安市一模）按照如下步骤计算：．
（1）计算：；
（2）根据两个算式的关系，直接写出的结果．
【解析】解：（1）原式=×36=9+3﹣14﹣1=﹣3；
（2）根据（1）得：原式=﹣．
【答案】（1）-3 （2）﹣
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（2017?合肥市瑶海区三模）观察下列关于自然数的等式：
2×0+1=12①，
4×2+1=32②，
8×6+1=72③，
16×14+1=152④，
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第五个等式：32× +1= ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．
【解析】解：（1）根据题意得：32×30+1=312；
故答案为：30；312；
（2）根据题意得：2n（2n﹣2）+1=（2n﹣1）2，
∵左边=22n﹣2n+1+1，右边=22n﹣2n+1+1，
∴左边=右边．
【答案】（1）30；312 （2）根据题意得：2n（2n﹣2）+1=（2n﹣1）2，
∵左边=22n﹣2n+1+1，右边=22n﹣2n+1+1，
∴左边=右边．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键．
22．（2017?重庆市江津区三模）我们知道一个数x的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数x的点离原点（表示数0）的距离，x的绝对值表示为|x|，也可以写成|x﹣0|，比如|2|=|2﹣0|=2；
在数轴上表示两个数x，y的点之间的距离可以表示为|x﹣y|，比如，表示3的点与﹣1的点之间的距离表示为|3﹣（﹣1）|=|3+1|=4；
|x+2|+|x﹣1|可以表示点x与点1之间的距离跟点x与﹣2之间的距离的和，根据图示易知：当点X的位置在点A和点B之间（包含点A和点B）时，点X与点A的距离跟点X和点B的距离之和最小，且最小值为3，即|x+2|+|x﹣1|的最小值是3，且此时x的值为﹣2≤x≤1
请根据以上阅读，解答下列问题：
（1）|x+1|+|x﹣2|的最小值是 ，此时x的值为 ；
（2）|x+2|+|x|+|x﹣1|的最小值是 ，此时x的值为 ；
（3）当|x+1|+|x|+|x﹣2|+|x﹣a|的最小值是4.5时，求出a的值及x的值．
【解析】解：（1）根据绝对值的几何意义可得，当﹣1≤x≤2时，|x+1|+|x﹣2|的最小值是3，
故答案为：3，﹣1≤x≤2；
（2）根据绝对值的几何意义可得，当x=0时，|x+2|+|x|+|x﹣1|的最小值是3，
故答案为：3，x=0；
（3）由图可得，只有当a=1.5且0≤x≤1.5或a=﹣1.5且﹣1.5≤x≤0时，|x+1|+|x|+|x﹣2|+|x﹣a|的最小值是4.5，
∴当|x+1|+|x|+|x﹣2|+|x﹣a|的最小值是4.5时，a=1.5且0≤x≤1.5或a=﹣1.5且﹣1.5≤x≤0．
【答案】（1）3，﹣1≤x≤2 （2）3，x=0 （3）a=1.5且0≤x≤1.5或a=﹣1.5且﹣1.5≤x≤0
【点评】本题主要考查了数轴以及绝对值的几何意义的运用，一个数x的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数x的点离远点（表示数0）的距离，x的绝对值表示为|x|．解题时注意分类思想的运用．
