2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
8.3圆的方程
考纲剖析
1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．
2．初步了解用代数方法处理几何问题.
知识回顾
1．圆的定义和圆的方程
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
方
程
标准
圆心C
半径为
一般
充要条件：
圆心坐标：
半径r＝
2.点与圆的位置关系
(1)确定方法：比较点与圆心的距离与半径的大小关系．
(2)三种关系：
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．
① ?点在圆上；
② ?点在圆外；
③ ?点在圆内．
精讲方法
一、圆的方程
（一）圆的方程的求法
1．确定圆的方程的主要方法是待定系数法。如果选择标准方程，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心（a,b）和半径r.www.21-cn-jy.com
2．如果已知条件中圆心的位置不能确定，则选择圆的一般方程。圆的一般方程也含有三个独立的参数，因此，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍采用待定系数法。设所求圆的方程为：由三个条件得到关于D、E、F的一个三元一次方程组，解方程组确定D、E、F的值。
3．以为直径的两端点的圆的方程为
4.确定圆心位置的方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
(2)圆心在任意一弦的垂直平分线上；
(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线.
注：在求圆的方程时，常用到圆的以下必修性质：
（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
（2）圆心在任一弦的中垂直上；
（3）两圆心或外切时，切点与两圆圆心三点共线。
（二）与圆有关的最值问题
1．求与圆有关的最值问题多采用几何法，就是利用一些代数式的几何意义进行转化。如（1）形如的最值问题，可转化为点(a,b)和点(x,y)的直线斜率的最值问题；（2）形如t=ax+by的最值问题，可转化为直线在y轴上的截距的最值问题；（3）形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题。
2．特别要记住下面两个代数式的几何意义：
表示点(x,y)与原点（0，0）连线的直线斜率，表示点（x,y）与原点的距离。
（三）与圆有关的轨迹问题
1．解决轨迹问题，应注意以下几点：
（1）求方程前必须建立平面直角坐标系（若题目中有点的坐标，就无需建系），否则曲线就不可转化为方程。
（2）一般地，设点时，将动点坐标设为（x,y），其他与此相关的点设为等。
（3）求轨迹与求轨迹方程是不同的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形。21*cnjy*com
2．求轨迹方程的一般步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，设曲线上任意点的坐标为M(x,y)；
第二步：写出适合已知条件的点M的集合P={M|P(M)}；
第三步：用坐标表示P(M)，列出方程f(x,y)=0；
第四步：化简方程f(x,y)=0为最简形式.
3.求与圆有关的轨迹方程的方法
例题精讲
考点一 求圆的方程
【例题1】 2、（201广西钦州期末）圆心在直线2x﹣3y﹣1=0上的圆与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，则圆的方程为（?? ） 【来源：21cnj*y.co*m】
A、（x﹣2）2+（y+1）2=2 B、（x+2）2+（y﹣1）2=2 C、（x﹣1）2+（y﹣2）2=2 D、（x﹣2）2+（y﹣1）2=2【出处：21教育名师】
【答案】D 【考点】圆的标准方程 【解析】【解答】解：解：由题意得：圆心在直线x=2上， 又圆心在直线2x﹣3y﹣1=0上， ∴圆心M的坐标为（2，1），又A（1，0）， 半径|AM|= = ， 则圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=2． 故选：D 【分析】由圆与x轴的交点A和B的坐标，根据垂径定理得到圆心在直线x=2上，又圆心在直线2x﹣3y﹣1=0上，联立两直线方程组成方程组，求出方程组的解集得到交点坐标即为圆心坐标，由求出的圆心坐标和A的坐标，利用两点间的距离公式求出圆心到A的距离即为圆的半径，由圆心和半径写出圆的方程即可． 【版权所有：21教育】
【变式训练1】3、（2017四川资阳期末）已知圆C的圆心在x轴上，点 在圆C上，圆心到直线2x﹣y=0的距离为 ，则圆C的方程为（?? ）
A、（x﹣2）2+y2=3 B、（x+2）2+y2=9 C、（x±2）2+y2=3 D、（x±2）2+y2=921教育名师原创作品
考点二 与圆有关的最值问题
【例题2】16、（2017湖北荆门期末）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4． （Ⅰ） 若直线l过点A（2，3）且被圆C截得的弦长为2 ，求直线l的方程； （Ⅱ） 若直线l过点B（1，0）与圆C相交于P，Q两点，求△CPQ的面积的最大值，并求此时直线l的方程． 21·cn·jy·com
【答案】解：（Ⅰ）圆C的圆心坐标为C（3，4），半径R=2， ∵直线l被圆E截得的弦长为2 ，∴圆心C到直线l的距离d=1 ①当直线l的斜率不存在时，l：x=2，显然满足d=1； ②当直线l的斜率存在时，设l：y﹣3=k（x﹣2），即kx﹣y+3﹣2k=0， 由圆心C到直线l的距离d=1得： ，解得k=0，故l：y=3； 综上所述，直线l的方程为x=2或y=3 （Ⅱ）法一：∵直线与圆相交，∴l的斜率一定存在且不为0，设直线l方程：y=k（x﹣1）， 即kx﹣y﹣k=0，则圆心C到直线l的距离为d= ， 又∵△CPQ的面积S= =d = = ∴当 时，S取最大值2．由d= = ，得k=1或k=7， ∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0或7x﹣y﹣7=0． 法二：设圆心C到直线l的距离为d， 则 （取等号时 ） 以下同法一． 法三： 取“=”时∠PCQ=90°，△CPQ为等腰直角三角形，则圆心C到直线l的距离 ， 以下同法一． 【考点】圆方程的综合应用 【解析】【分析】（Ⅰ）求出圆C的圆心坐标为C（3，4），半径R=2，推出圆心C到直线l的距离d=1，（1）当直线l的斜率不存在时，l：x=2，判断是否满足题意（2）当直线l的斜率存在时，设l：y﹣3=k（x﹣2），利用点到直线的距离公式求解即可．（Ⅱ）法一：设直线l方程：y=k（x﹣1），利用点到直线的距离公式以及三角形面积公式，通过二次函数的最值求解即可． 法二：设圆心C到直线l的距离为d，表示三角形的面积，利用基本不等式求解即可．法三：S△CPQ= R?Rsin∠PCQ，利用三角函数的最值求解，圆心C到直线l的距离 ，然后转化求解即可． 21*cnjy*com
【变式训练2】17、（2016广东深圳高级中学期末）已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
(1)若∠APB=60°，试求点P的坐标；
(2)若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当 时，求直线CD的方程；
(3)求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
真题精析
一、选择题
1、（2016?北京）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（ ）
A、1 B、2 C、 D、2
2、（2016?全国）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（ ）
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A、﹣ B、﹣ C、 D、2
二、选择题
3、(2015·湖南）若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点，且∠AOB=120°（O为坐标原点），则r=________ ，
4、（2014?陕西）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为________．
5、（2016?天津）已知圆C的圆心在x轴正半轴上，点（0， ）圆C上，且圆心到直线2x﹣y=0的距离为 ，则圆C的方程为________．21世纪教育网版权所有
6、（2016?浙江）已知a∈R，方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．【来源：21·世纪·教育·网】
7、（2017?天津）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方 程为________．
三、解答题
8、（2017?新课标Ⅲ）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆． （Ⅰ）证明：坐标原点O在圆M上； （Ⅱ）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程． 2·1·c·n·j·y
9、（2017?新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：（12分）
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
10、（2016?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）． 2-1-c-n-j-y
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA,求直线l的方程；
(3)设点T（t,0）满足：存在圆M上的两点P和Q,使得 ,求实数t的取值范围。
11、（2013?陕西）已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)已知点B（﹣1，0），设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线过定点．
12、（2016?全国）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．
(1)证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
(2)设点E的轨迹为曲线C1 ， 直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
模拟题精练
一、单选题
1、（2016安徽安庆期末）点P（m2 ， 5）与圆x2+y2=24的位置关系是（?? ）
A、在圆外 B、在圆上 C、在圆内 D、不确定
2、过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有（ ）
A、16条 B、17条 C、32条 D、34条
3、已知圆C的圆心是直线x﹣y+1=0与y轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆的标准方程为（ ）
A、+=8? B、+=8 C、+=8? D、+=8
4、圆x2+y2﹣2x=0的圆心坐标和半径分别为（ ）
A、（1，0），1? B、（0，1），1 C、（﹣1，0），1 D、（1，0），2
5、已知两点O（0，0），A（﹣2，0），以线段OA为直径的圆的方程是（ ）
A、+=4 B、+=4 C、+=1 D、+=1
6、若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ）
A、（﹣， ） B、（﹣， 0）∪（0，） C、[﹣， ] D、（﹣∞，﹣）∪（， +∞）
7、（2017安徽亳州二中模拟）某学校有2500名学生，其中高一1000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为a，b，且直线ax+by+8=0与以A（1，﹣1）为圆心的圆交于B，C两点，且∠BAC=120°，则圆C的方程为（?? ）
A、（x﹣1）2+（y+1）2=1 B、（x﹣1）2+（y+1）2=2 C、（x﹣1）2+（y+1）2= D、（x﹣1）2+（y+1）2=
二、填空题
8、已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a+2）2=1，A（0，2），若圆C上存在一点M，满足MA2+MO2=10，则实数a的取值范围是________
9、（2017上海虹口一模）当实数x，y满足x2+y2=1时，|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|的取值与x，y均无关，则实数a的取范围是________
10、（2017湖北武汉二月调考）在平面直角坐标系中，设A、B、C是曲线y= 上三个不同的点，且D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，则过D、E、F三点的圆一定经过定点________．
11、（2017江苏扬州二模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x﹣4）2+（y﹣8）2=1，圆C2：（x﹣6）2+（y+6）2=9．若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是________．
12、（2017北京海淀查漏补缺）已知圆C过点（1，0），（0， ），（﹣3，0），则圆C的方程为________．
三、解答题
13、如图所示，圆心C的坐标为（2，2），圆C与x轴和y轴都相切． （1）求圆C的一般方程； （2）求与圆C相切，且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程． 21cnjy.com
综合题
14、（2016浙江宁波余姚中学期中）已知圆M：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，直线l过点P（2，3）且与圆M交于A，B两点，且|AB|=2 ．
(1)求直线l方程；
(2)设Q（x0 ， y0）为圆M上的点，求x02+y02的取值范围．
15、（2017江苏徐州期中）已知O为坐标原点，设动点M（2，t）（t＞0）．
(1)若过点P（0，4 ）的直线l与圆C：x2+y2﹣8x=0相切，求直线l的方程；
(2)求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；
(3)设A（1，0），过点A作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．
16、（2016湖南五市十校教研期中）已知圆C的方程：x2+y2﹣4x﹣6y+m=0，若圆C与直线a：x+2y﹣3=0相交于M、N两点，且|MN|=2 ． 21教育网
(1)求m的值；
(2)是否存在直线l：x﹣y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为 ，若存在，求出c的范围；若不存在，请说明理由． 21·世纪*教育网
2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
8.3圆的方程（答案）
知识回顾
1．圆的定义和圆的方程
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
方
程
标准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心C(a，b)
半径为r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
充要条件：D2＋E2－4F＞0
圆心坐标：
半径r＝
2.点与圆的位置关系
(1)确定方法：比较点与圆心的距离与半径的大小关系．
(2)三种关系：
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．
①(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?点在圆上；
②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?点在圆外；
③(x0－a)2＋(y0－b)2例题精讲
考点一 求圆的方程
【变式训练1】3、（2017四川资阳期末）已知圆C的圆心在x轴上，点 在圆C上，圆心到直线2x﹣y=0的距离为 ，则圆C的方程为（?? ）
A、（x﹣2）2+y2=3 B、（x+2）2+y2=9 C、（x±2）2+y2=3 D、（x±2）2+y2=9
【答案】D 【考点】圆的标准方程 【解析】【解答】解：设圆C的圆心（a，0）在x轴正半轴上，则圆的方程为（x﹣a）2+y2=r2（a＞0）， 由点M（0， ）在圆上，且圆心到直线2x﹣y=0的距离为 ， 得 ，解得a=2，r=3． ∴圆C的方程为：（x﹣2）2+y2=9． 同理设圆C的圆心（a，0）在x轴负半轴上，则圆的方程为（x+a）2+y2=r2（a＜0）， ∴圆C的方程为：（x+2）2+y2=9． 综上，圆C的方程为：（x±2）2+y2=9． 故选：D． 【分析】由题意设出圆的方程，把点M的坐标代入圆的方程，结合圆心到直线的距离列式求解．
考点二 与圆有关的最值问题
【变式训练2】17、（2016广东深圳高级中学期末）已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
(1)若∠APB=60°，试求点P的坐标；
(2)若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当 时，求直线CD的方程； 21·cn·jy·com
(3)求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
【答案】（1）解：设P（2m，m），由题可知MP=2，所以（2m）2+（m﹣2）2=4， 解之得： ， 故所求点P的坐标为P（0，0）或 （2）解：设直线CD的方程为：y﹣1=k（x﹣2），易知k存在， 由题知圆心M到直线CD的距离为 ，所以 ， 解得，k=﹣1或 ，故所求直线CD的方程为：x+y﹣3=0或x+7y﹣9=0 （3）证明：设P（2m，m），MP的中点 ， 因为PA是圆M的切线，所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆， 故其方程为： 化简得：x2+y2﹣2y﹣m（2x+y﹣2）=0，此式是关于m的恒等式， 故x2+y2﹣2y=0且（2x+y﹣2）=0， 解得 或 所以经过A，P，M三点的圆必过定点（0，2）或（ ， ） 【考点】圆方程的综合应用 【解析】【分析】（1）设P（2m，m），代入圆方程，解得m，进而可知点P的坐标．（2）设直线CD的方程为：y﹣1=k（x﹣2），由圆心M到直线CD的距离求得k，则直线方程可得．（3）设P（2m，m），MP的中点 ，因为PA是圆M的切线，进而可知经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于m的恒等式，进而可求得x和y，得到经过A，P，M三点的圆必过定点的坐标．
真题精析
一、选择题
1、（2016?北京）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（ ）
A、1 B、2 C、 D、2
【答案】 C 【考点】点到直线的距离公式，圆的标准方程 【解析】【解答】解：∵圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0）， ∴圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为： d= = ． 故选：C． 【分析】先求出圆（x+1）2+y2=2的圆心，再利用点到到直线y=x+3的距离公式求解．；本题考查圆心到直线的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和圆的性质的合理运用．21·世纪*教育网
2、（2016?全国）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（ ）
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A、﹣ B、﹣ C、 D、2
【答案】 A 【考点】点到直线的距离公式，圆的一般方程 【解析】【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d= =1，解得：a= ， 故选：A． 【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．；本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档．【出处：21教育名师】
二、选择题
3、(2015·湖南）若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点，且∠AOB=120°（O为坐标原点），则r=________ ， 21教育名师原创作品
【答案】2 【考点】关于点、直线对称的圆的方程 【解析】【解答】如图直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2交于A.B 两点，O为坐标原点，且∠AOB=12O°‘，则圆心(0，0）到直线3x-4y+5=0的距离为r, =r, ∴r=2故答案为2. 【分析】涉及圆的弦长的常用方法为几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则=r2-d2. 本题条件是圆心角，可利用直角三角形转化为弦心距与半径之间关系,再根据点到直线距离公式列等量关系. 21*cnjy*com
4、（2014?陕西）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为________．
【答案】 x2+（y﹣1）2=1 【考点】圆的标准方程 【解析】【解答】解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1， 可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1， 故答案为：x2+（y﹣1）2=1． 【分析】利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为 （b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程．
5、（2016?天津）已知圆C的圆心在x轴正半轴上，点（0， ）圆C上，且圆心到直线2x﹣y=0的距离为 ，则圆C的方程为________．
【答案】 （x﹣2）2+y2=9 【考点】圆的标准方程 【解析】【解答】解：由题意设圆的方程为（x﹣a）2+y2=r2（a＞0），由点M（0， ）在圆上，且圆心到直线2x﹣y=0的距离为 ，得 ，解得a=2，r=3． ∴圆C的方程为：（x﹣2）2+y2=9． 故答案为：（x﹣2）2+y2=9． 【分析】由题意设出圆的方程，把点M的坐标代入圆的方程，结合圆心到直线的距离列式求解．；本题考查圆的标准方程，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．
6、（2016?浙江）已知a∈R，方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．21*cnjy*com
【答案】 （﹣2，﹣4）；5 【考点】圆的一般方程 【解析】【解答】解：∵方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆， ∴a2=a+2≠0，解得a=﹣1或a=2． 当a=﹣1时，方程化为x2+y2+4x+8y﹣5=0， 配方得（x+2）2+（y+4）2=25，所得圆的圆心坐标为（﹣2，﹣4），半径为5； 当a=2时，方程化为 ，此时 ，方程不表示圆， 故答案为：（﹣2，﹣4），5． 【分析】由已知可得a2=a+2≠0，解得a=﹣1或a=2，把a=﹣1代入原方程，配方求得圆心坐标和半径，把a=2代入原方程，由D2+E2﹣4F＜0说明方程不表示圆，则答案可求．本题考查圆的一般方程，考查圆的一般方程化标准方程，是基础题．【版权所有：21教育】
7、（2017?天津）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方 程为________．
【答案】（x+1）2+ =1 【考点】圆的标准方程，抛物线的简单性质 【解析】【解答】解：设抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线l：x=﹣1，∵点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切与点A， ∵∠FAC=120°，∴∠FAO=30°，∴OA= = =1，∴OA= ，∴A（0， ），如图所示： ∴C（﹣1， ），圆的半径为CA=1，故要求的圆的标准方程为 ， 故答案为：（x+1）2+ =1． 【分析】根据题意可得F（﹣1，0），∠FAO=30°，OA= =1，由此求得OA的值，可得圆心C的坐标以及圆的半径，从而求得圆C方程．
三、解答题
8、（2017?新课标Ⅲ）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆． （Ⅰ）证明：坐标原点O在圆M上； （Ⅱ）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程． 21cnjy.com
【答案】解：方法一：证明：（Ⅰ）当直线l的斜率不存在时，则A（2，2），B（2，﹣2）， 则 =（2，2）， =（2，﹣2），则 ? =0， ∴ ⊥ ， 则坐标原点O在圆M上； 当直线l的斜率存在，设直线l的方程y=k（x﹣2），设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， ，整理得：k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0， 则x1x2=4，4x1x2=y12y22=（y1y2）2 ， 由y1y2＜0， 则y1y2=﹣4， 由 ? =x1x2+y1y2=0， 则 ⊥ ，则坐标原点O在圆M上， 综上可知：坐标原点O在圆M上； 方法二：设直线l的方程x=my+2， ，整理得：y2﹣2my﹣4=0，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， 则y1y2=﹣4， 则（y1y2）2=4x1x2 ， 则x1x2=4，则 ? =x1x2+y1y2=0， 则 ⊥ ，则坐标原点O在圆M上， ∴坐标原点O在圆M上； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：x1x2=4，x1+x2= ，y1+y2= ，y1y2=﹣4， 圆M过点P（4，﹣2），则 =（4﹣x1 ， ﹣2﹣y1）， =（4﹣x2 ， ﹣2﹣y2）， 由 ? =0，则（4﹣x1）（4﹣x2）+（﹣2﹣y1）（﹣2﹣y2）=0， 整理得：k2+k﹣2=0，解得：k=﹣2，k=1， 当k=﹣2时，直线l的方程为y=﹣2x+4， 则x1+x2= ，y1+y2=﹣1， 则M（ ，﹣ ），半径为r=丨MP丨= = ， ∴圆M的方程（x﹣ ）2+（y+ ）2= ． 当直线斜率k=1时，直线l的方程为y=x﹣2， 同理求得M（3，1），则半径为r=丨MP丨= ， ∴圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10， 综上可知：直线l的方程为y=﹣2x+4，圆M的方程（x﹣ ）2+（y+ ）2= 或直线l的方程为y=x﹣2，圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10． 【考点】直线的点斜式方程，直线的斜截式方程，圆的标准方程，点与圆的位置关系，直线与圆锥曲线的关系 【解析】【分析】（Ⅰ）方法一：分类讨论，当直线斜率不存在时，求得A和B的坐标，由 ? =0，则坐标原点O在圆M上；当直线l斜率存在，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的可得 ? =0，则坐标原点O在圆M上； 方法二：设直线l的方程x=my+2，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得 ? =0，则坐标原点O在圆M上； （Ⅱ）由题意可知： ? =0，根据向量数量积的坐标运算，即可求得k的值，求得M点坐标，则半径r=丨MP丨，即可求得圆的方程．
9、（2017?新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：（12分）
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
【答案】（1）解：曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点， 可设A（x1 ， 0），B（x2 ， 0）， 由韦达定理可得x1x2=﹣2， 若AC⊥BC，则kAC?kBC=﹣1， 即有 ? =﹣1， 即为x1x2=﹣1这与x1x2=﹣2矛盾， 故不出现AC⊥BC的情况； （2）证明：设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0）， 由题意可得y=0时，x2+Dx+F=0与x2+mx﹣2=0等价， 可得D=m，F=﹣2， 圆的方程即为x2+y2+mx+Ey﹣2=0， 由圆过C（0，1），可得0+1+0+E﹣2=0，可得E=1， 则圆的方程即为x2+y2+mx+y﹣2=0， 再令x=0，可得y2+y﹣2=0， 解得y=1或﹣2． 即有圆与y轴的交点为（0，1），（0，﹣2）， 则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3． 【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，圆的一般方程，直线与圆锥曲线的综合问题，圆与圆锥曲线的综合 【解析】【分析】（1.）设曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），运用韦达定理，再假设AC⊥BC，运用直线的斜率之积为﹣1，即可判断是否存在这样的情况； （2.）设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0），由题意可得D=m，F=﹣2，代入（0，1），可得E=1，再令x=0，即可得到圆在y轴的交点，进而得到弦长为定值．
10、（2016?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2，4）．
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA,求直线l的方程；
(3)设点T（t,0）满足：存在圆M上的两点P和Q,使得 ,求实数t的取值范围。
【答案】（1）解：∵N在直线x=6上，∴设N（6，n）， ∵圆N与x轴相切，∴圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2 ， n＞0， 又圆N与圆M外切，圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0，即圆M：（（x﹣6）2+（x﹣7）2=25， ∴|7﹣n|=|n|+5，解得n=1， ∴圆N的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣1）2=1． （2）解：由题意得 ， ?设 ，则圆心 到直线 的距离 , 则 ， ，即 ， 解得 或 ，即 ： 或 （3）解： ，即 ，即 ，， 又 ,即 ，解得 ， 对于任意 ，欲使?， 此时 ，只需要作直线 的平行线，使圆心到直线的距离为 ， 必然与圆交于 两点，此时 ，即 ， 因此对于任意 ，均满足题意， 综上 【考点】圆的一般方程，直线与圆的位置关系 【解析】【分析】（1）设N（6，n），则圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2 ， n＞0，从而得到|7﹣n|=|n|+5，由此能求出圆N的标准方程． （2）由题意得OA=2 ，kOA=2，设l：y=2x+b，则圆心M到直线l的距离：d= ，由此能求出直线l的方程． （3） = ，即| |= ，又| |≤10，得t∈[2﹣2 ，2+2 ]，对于任意t∈[2﹣2 ，2+2 ]，欲使 ，只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为 ，由此能求出实数t的取值范围． www.21-cn-jy.com
11、（2013?陕西）已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)已知点B（﹣1，0），设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线过定点．
【答案】（1）解：设圆心C（x，y）（x≠0），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，则|ME|= |MN|， ∴|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2 ， ∴（x﹣4）2+y2=42+x2 ， 化为y2=8x． 当x=0时，也满足上式． ∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x． （2）解：设P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）， 由题意可知y1+y2≠0，y1y2＜0. ， ． ∵x轴是∠PBQ的角平分线，∴kPB=﹣kQB ， ∴ ，∴ ，化为8+y1y2=0． 直线PQ的方程为 ， ∴ ，化为 ， 化为 ， y（y1+y2）+8=8x，令y=0，则x=1， ∴直线PQ过 定点（1，0） 【考点】轨迹方程，直线与圆锥曲线的关系 【解析】【分析】（1）设圆心C（x，y），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，利用垂径定理可得|ME|= |MN|，又|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2 ， 利用两点间的距离公式即可得出．（2）设P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），由题意可知y1+y2≠0，y1y2＜0. ， ．利用角平分线的性质可得kPB=﹣kQB ， 可化为化为8+y1y2=0．又直线PQ的方程为 ，代入化简整理为y（y1+y2）+8=8x，令y=0，则x=1即可得到定点．
12、（2016?全国）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．
(1)证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
(2)设点E的轨迹为曲线C1 ， 直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
【答案】（1）证明：圆x2+y2+2x﹣15=0即为（x+1）2+y2=16， 可得圆心A（﹣1，0），半径r=4， 由BE∥AC，可得∠C=∠EBD， 由AC=AD，可得∠D=∠C， 即为∠D=∠EBD，即有EB=ED， 则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4， 故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆， 且有2a=4，即a=2，c=1，b= = ， 则点E的轨迹方程为 =1（y≠0）； （2）解： 椭圆C1： =1，设直线l：x=my+1， 由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1）， 由 可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0， 设M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）， 可得y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ， 则|MN|= ?|y1﹣y2|= ? = ? =12? ， A到PQ的距离为d= = ， |PQ|=2 =2 = ， 则四边形MPNQ面积为S= |PQ|?|MN|= ? ?12? =24? =24 ， 当m=0时，S取得最小值12，又 ＞0，可得S＜24? =8 ， 即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8 ） 【考点】圆的一般方程 【解析】【分析】直线与椭圆的位置关系；圆的一般方程.（1）求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；（2）设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），求得A到PQ的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围.本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题．
模拟题精练
一、单选题
1、（2016安徽安庆期末）点P（m2 ， 5）与圆x2+y2=24的位置关系是（?? ）
A、在圆外 B、在圆上 C、在圆内 D、不确定
【答案】A 【考点】点与圆的位置关系 【解析】【解答】解：已知圆的圆心为原点O，半径为 ， OP= ，所以点在圆外， 故选：A． 【分析】根据点P到圆心的距离与圆的半径的大小关系即可判断点P与圆的位置关系．
2、过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有（ ）
A、16条 B、17条 C、32条 D、34条
【答案】 C 【考点】圆的一般方程，圆方程的综合应用 【解析】【解答】圆的标准方程是：（x+1)2+（y-2)2=132 ， 圆心（-1，2)，半径r=13过点A（11，2)的最短的弦长为10，最长的弦长为26，（分别只有一条)还有长度为11，12，…，25的各2条，所以共有弦长为整数的2+2×15=32条． 故选C．2-1-c-n-j-y
3、已知圆C的圆心是直线x﹣y+1=0与y轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆的标准方程为（ ）
A、+=8? B、+=8 C、+=8? D、+=8
【答案】A 【考点】圆的标准方程 【解析】【解答】对于直线x﹣y+1=0，令x=0，解得y=1． ∴圆心C（0，1）， 设圆的半径为r， ∵圆C与直线x+y+3=0相切， ∴r= ∴圆的标准方程为x2+（y﹣1）2=8． 故选：A． 【分析】对于直线x﹣y+1=0，令x=0，解得y．可得圆心C．设圆的半径为r，利用点到直线的距离公式及其圆C与直线x+y+3=0相切的充要条件可得r．
4、圆x2+y2﹣2x=0的圆心坐标和半径分别为（ ）
A、（1，0），1? B、（0，1），1 C、（﹣1，0），1 D、（1，0），2
【答案】A 【考点】圆的一般方程 【解析】【解答】圆x2+y2﹣2x=0 即 （x﹣1）2+y2=1，表示以（1，0）为圆心、半径等于1的圆， 故选：A． 【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径． 21世纪教育网版权所有
5、已知两点O（0，0），A（﹣2，0），以线段OA为直径的圆的方程是（ ）
A、+=4 B、+=4 C、+=1 D、+=1
【答案】D 【考点】圆的标准方程 【解析】【解答】根据题意，线段OA是圆的直径，且O（0，0），A（﹣2，0）， 则圆心的坐标为（﹣1，0）， |OA|==2，则圆的半径为|OA|=1； 故圆的方程为（x+1）2+y2=1； 故选：D． 【分析】根据题意，由中点坐标公式分析可得圆心的坐标为（﹣1，0），由两点间距离公式可得|OA|的值，即可得圆的半径，由圆的标准方程即可得答案．
6、若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ）
A、（﹣， ） B、（﹣， 0）∪（0，） C、[﹣， ] D、（﹣∞，﹣）∪（， +∞）
【答案】B 【考点】圆的一般方程 【解析】【解答】解：由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，化为标准方程得： （x﹣1）2+y2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1； C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0， 由直线y﹣mx﹣m=0可知：此直线过定点（﹣1，0）， 在平面直角坐标系中画出图象如图所示： 直线y=0和圆交于点（0，0）和（2，0），因此直线y﹣mx﹣m=0与圆相交即可满足条件． 当直线y﹣mx﹣m=0与圆相切时，圆心到直线的距离d==r=1， 化简得：m2=， 解得m=±， 而m=0时，直线方程为y=0，即为x轴，不合题意， 则直线y﹣mx﹣m=0与圆相交时，m∈（﹣， 0）∪（0，）． 故选B． 【分析】由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，把圆的方程化为标准方程后找出圆心与半径，由图象可知此圆与y=0有两交点，由两曲线要有4个交点可知，圆与y﹣mx﹣m=0要有2个交点，根据直线y﹣mx﹣m=0过定点，先求出直线与圆相切时m的值，然后根据图象即可写出满足题意的m的范围．
7、（2017安徽亳州二中模拟）某学校有2500名学生，其中高一1000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为a，b，且直线ax+by+8=0与以A（1，﹣1）为圆心的圆交于B，C两点，且∠BAC=120°，则圆C的方程为（?? ）
A、（x﹣1）2+（y+1）2=1 B、（x﹣1）2+（y+1）2=2 C、（x﹣1）2+（y+1）2= D、（x﹣1）2+（y+1）2=
【答案】C 【考点】系统抽样方法，圆的标准方程，直线与圆的位置关系 【解析】【解答】解：由题意， ，∴a=40，b=24， ∴直线ax+by+8=0，即5x+3y+1=0， A（1，﹣1）到直线的距离为 = ， ∵直线ax+by+8=0与以A（1，﹣1）为圆心的圆交于B，C两点，且∠BAC=120°， ∴r= ， ∴圆C的方程为（x﹣1）2+（y+1）2= ， 故选C． 【分析】根据分层抽样的定义进行求解a，b，利用点到直线的距离公式，求出A（1，﹣1）到直线的距离，可得半径，即可得出结论．
二、填空题
8、已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a+2）2=1，A（0，2），若圆C上存在一点M，满足MA2+MO2=10，则实数a的取值范围是________2·1·c·n·j·y
【答案】 [0，3] 【考点】圆的标准方程 【解析】【解答】设M（x，y）， ∵MA2+MO2=10， ∴x2+（y﹣2）2+x2+y2=10， ∴x2+（y﹣1）2=4， ∵圆C上存在点M，满足MA2+MO2=10， ∴两圆相交或相切， ∴1≤≤3， ∴0≤a≤3． 故答案为：[0，3] 【分析】设M（x，y），利用MA2+MO2=10，可得M的轨迹方程，利用圆C上存在点M，满足MA2+MO2=10，可得两圆相交或相切，建立不等式，即可求出实数a的取值范围．
9、（2017上海虹口一模）当实数x，y满足x2+y2=1时，|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|的取值与x，y均无关，则实数a的取范围是________
【答案】 [ ，+∞） 【考点】圆方程的综合应用 【解析】【解答】解：∵实数x，y满足x2+y2=1， 可设x=cosθ，y=sinθ， 则x+2y=cosθ+2sinθ= sin（θ+α），其中α=arctan2； ∴﹣ ≤x+2y≤ ， ∴当a≥ 时， |x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|=（x+2y+a）+（3﹣x﹣2y）=a+3，其值与x，y均无关； ∴实数a的取范围是[ ，+∞）． 故答案为：[ ，+∞）． 【分析】根据实数x，y满足x2+y2=1，设x=cosθ，y=sinθ，求出x+2y的取值范围，再讨论a的取值范围，求出|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|的值与x，y均无关时a的取范围．
10、（2017湖北武汉二月调考）在平面直角坐标系中，设A、B、C是曲线y= 上三个不同的点，且D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，则过D、E、F三点的圆一定经过定点________．
【答案】 （1，0） 【考点】圆的标准方程 【解析】【解答】解：曲线y= 的对称中心为（1，0），取过对称中心直线与曲线交于A，B，A，B中点为对称中心（1，0）， ∴过D、E、F三点的圆一定经过定点（1，0）． 故答案为（1，0）． 【分析】曲线y= 的对称中心为（1，0），取过对称中心直线与曲线交于A，B，A，B中点为对称中心（1，0），即可得出结论．
11、（2017江苏扬州二模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x﹣4）2+（y﹣8）2=1，圆C2：（x﹣6）2+（y+6）2=9．若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是________．
【答案】 x2+y2=81 【考点】圆的标准方程 【解析】【解答】解：由题意，圆C与圆C1和圆C2的公共弦分别为圆C1和圆C2的直径， 设C（x，0），则（x﹣4）2+（0﹣8）2+1=（x﹣6）2+（0+6）2+9，∴x=0， ∴圆C的方程是x2+y2=81． 故答案为x2+y2=81． 【分析】由题意，圆C与圆C1和圆C2的公共弦分别为圆C1和圆C2的直径，求出圆心坐标，可得结论．
12、（2017北京海淀查漏补缺）已知圆C过点（1，0），（0， ），（﹣3，0），则圆C的方程为________．
【答案】x2+y2+2x﹣3=0 【考点】圆的一般方程 【解析】【解答】解：根据题意，设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0 又由圆C过点（1，0），（0， ），（﹣3，0）， 则有 ， 解可得D=2，E=0，F=﹣3； 即圆的方程为：x2+y2+2x﹣3=0； 故答案为：x2+y2+2x﹣3=0． 【分析】根据题意，设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，又由圆过点的坐标，可得 ，解可得D、E、F的值，代入圆的方程即可得答案．
三、解答题
13、如图所示，圆心C的坐标为（2，2），圆C与x轴和y轴都相切． （1）求圆C的一般方程； （2）求与圆C相切，且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程．
【答案】解：（1）由题意，圆心C的坐标为（2，2），圆C与x轴和y轴都相切，则半径r=2 所以圆C的方程是：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4，一般方程是：x2+y2﹣4x﹣4y+4=0 （2）由题意，在x轴和y轴上截距相等的直线一定为斜率为﹣1，可设为y=﹣x+b， ∵直线与圆相切，∴=2， ∴b=4±2， 故直线方程为x+y﹣4±2=0． 【考点】圆方程的综合应用 【解析】【分析】（1）确定圆的半径，可得圆的标准方程，进而可得一般方程； ???????????? （2）设出直线方程，利用直线与圆相切，可得直线方程。
综合题
14、（2016浙江宁波余姚中学期中）已知圆M：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，直线l过点P（2，3）且与圆M交于A，B两点，且|AB|=2 ． 【来源：21·世纪·教育·网】
(1)求直线l方程；
(2)设Q（x0 ， y0）为圆M上的点，求x02+y02的取值范围．
【答案】（1）解：当直线L的斜率存在时，设直线L的方程为y﹣3=k（x﹣2），即kx﹣y+3﹣2k=0， 作MC⊥AB于C，在直角三角形MBC中，BC= ，MB=2， 所以MC=1，又因为MC= =1， 解得k= ，所以直线方程为3x﹣4y+6=0． 当直线斜率不存在时，其方程为x=2，圆心到此直线的距离也为1， 所以也符合题意， 综上可知，直线L的方程为3x﹣4y+6=0或x=2． （2）解：圆M：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，Q（x0 ， y0）为圆M上的点， x02+y02的几何意义是圆的上的点与坐标原点距离的平方，圆心到原点的距离为： ，圆的半径为2， x02+y02的取值范围：[0， ]，即[0，6+4 ] 【考点】直线与圆的位置关系，圆方程的综合应用 【解析】【分析】（1）分斜率存在和斜率不存在两种情况，分别由条件利用点到直线的距离公式，弦长公式求出斜率，可得直线l的方程．（2）利用 x02+y02的几何意义．求解圆心与坐标原点的距离，转化求解即可． 【来源：21cnj*y.co*m】
15、（2017江苏徐州期中）已知O为坐标原点，设动点M（2，t）（t＞0）．
(1)若过点P（0，4 ）的直线l与圆C：x2+y2﹣8x=0相切，求直线l的方程；
(2)求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；
(3)设A（1，0），过点A作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．
【答案】（1）解：圆C：x2+y2﹣8x=0化为（x﹣4）2+y2=16，得到圆心C（4，0），半径r=4． 斜率不存在时，x=0满足题意； 斜率存在时，设切线方程为y=kx+4 ，即kx﹣y+4 =0， 根据圆心到切线的距离等于半径可得4= ，解得k=﹣ ， 故切线方程为y=﹣ x+4 ， 综上所述，直线l的方程为y=﹣ x+4 或x=0 （2）解：以OM为直径的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣ ）= +1， 其圆心为（1， ），半径r= 因为以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2 所以圆心到直线3x﹣4y﹣5=0的距离d= = ，解得t=4 所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5 （3）证明：设N（x0 ， y0），则 =（x0﹣1，y0）， =（2，t）， =（x0﹣2，y0﹣t）， =（x0 ， y0）， ∵ ⊥ ，∴2（x0﹣1）+ty0=0，∴2x0+ty0=2， 又∵ ⊥ ，∴x0（x0﹣2）+y0（y0﹣t）=0， ∴x02+y02=2x0+ty0=2， 所以| |= = 为定值 【考点】圆方程的综合应用 【解析】【分析】（1）圆C：x2+y2﹣8x=0化为（x﹣4）2+y2=16，得到圆心C（4，0），半径r=4，分类讨论即可求直线l的方程；（2）设出以OM为直径的圆的方程，变为标准方程后找出圆心坐标和圆的半径，由以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长，过圆心作弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为中点，由弦的一半，半径以及圆心到直线的距离即弦心距构成直角三角形，利用点到直线的距离公式表示出圆心到3x﹣4y﹣5=0的距离d，根据勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，即可确定出所求圆的方程；（3）设出点N的坐标，由 ⊥ 得到两向量的数量积为0，利用平面向量的数量积的运算法则表示出一个关系式，又 ⊥ ，同理根据平面向量的数量积的运算法则得到另一个关系式，把前面得到的关系式代入即可求出线段ON的长，从而得到线段ON的长为定值．
16、（2016湖南五市十校教研期中）已知圆C的方程：x2+y2﹣4x﹣6y+m=0，若圆C与直线a：x+2y﹣3=0相交于M、N两点，且|MN|=2 ．
(1)求m的值；
(2)是否存在直线l：x﹣y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为 ，若存在，求出c的范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：方程x2+y2﹣4x﹣6y+m=0配方为（x﹣2）2+（y﹣3）2=13﹣m． ∵此方程表示圆， ∴13﹣m＞0，即m＜13．r= ， 圆C与直线a：x+2y﹣3=0相交于M、N两点，且|MN|=2 ． 圆的圆心到直线的距离为：d= = ． 可得 ． 即：5=13﹣m﹣3，解得m=5 （2）解：（x﹣2）2+（y﹣3）2=8．圆的圆心（2，3），半径为2 直线l：x﹣y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为 ， 则圆心C（2，3）到直线l：x﹣y+c=0的距离为： = ， 可得：2 ﹣ ＞ ， 解得﹣2＜c＜4 【考点】直线与圆的位置关系，圆方程的综合应用 【解析】【分析】（1）由方程x2+y2﹣4x﹣6y+m=0配方为（x﹣2）2+（y﹣3）2=13﹣m．由于此方程表示圆，可得13﹣m＞0，解出m的范围，利用弦心距与半径半弦长的关系，求解m即可．（2）求出圆心与半径，利用半径与圆的圆心到直线的距离的差大于 ，列出不等式求解即可． 21教育网
