八年级数学上册《12.3第1课时角的平分线的性质》同步练习含答案

12.3　角的平分线的性质
第1课时　角的平分线的性质
基础题
知识点1　角平分线的作法
1．如果要作已知角AOB的平分线OC，合理的顺序是（
）
①作射线OC；②在OA、OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE；③分别以D、E为圆心，大于DE为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C.
A．①②③
B．②①③
C．②③①
D．③②①
2．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是（
）
A．SSS
B．ASA
C．AAS
D．角平分线上的点到角两边距离相等
3．已知△ABC，用尺规作图作出∠ABC的角平分线，保留作图痕迹，但不写作法．
知识点2　角平分线的性质
4．(茂名中考)如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P到边OB的距离为（
）
A．6
B．5
C．4
D．3
5．如图所示，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D.求证：OC＝OD.
6．如图，BD平分∠ABC，DE垂直于AB于E点，△ABC的面积等于90，AB＝18，BC＝12，求DE的长．
知识点3　文字命题的证明
7．命题“全等三角形对应边上的高线相等”的已知是________________________，结论是________________________________．
8．证明：全等三角形对应边上的中线相等．
中档题
9．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（
）
A．10
B．7
C．5
D．4
10．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（
）
A．M点
B．N点
C．P点
D．Q点
11．如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E.若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距离为________．
　　
已知，如图所示，△ABC的角平分线AD将BC边分成2∶1两部分，若AC＝3
cm，则AB＝________．
13．已知：如图所示，点O在∠BAC的平分线上，BO⊥AC，CO⊥AB，垂足分别为D，E，求证：OB＝OC.
14．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，垂足为E，且AB＝10
cm，求△DEB的周长．
15．求证：有两个角及其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等．
综合题
16．如图1，在△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上一点，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F.
(1)求证：D到PE的距离与D到PF的距离相等；
(2)如图2，若点P在AD的延长线上，其他条件不变，试猜想(1)中的结论还成立吗？请证明你的猜想．
参考答案
C　2.A　3.作图略．　4.A　
证明：∵E是∠AOB的平分线上一点，CE⊥OA，ED⊥OB，
∴EC＝ED.
在Rt△OCE和Rt△ODE中，
∴Rt△OCE≌Rt△ODE(HL)．
∴OC＝OD.　
过点D作DF⊥BC于点F.
∵BD平分∠ABC，DE垂直于AB于E点，
∴DE＝DF.
∵AB＝18，BC＝12，
∴S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝×18·DE＋×12·DF＝DE·(18＋12)＝15·DE.
∵△ABC的面积等于90，
∴15·DE＝90.
∴DE＝6.　
两个三角形全等　这两个三角形对应边上的高线相等　
8.已知：△ABC≌△A′B′C′，AD，A′D′分别是BC，B′C′边上的中线．求证：AD＝A′D′.
　　
证明：∵△ABC≌△A′B′C′，
∴AB＝A′B′，∠B＝∠B′，BC＝B′C′.
又∵AD，A′D′分别是BC，B′C′边上的中线，
∴BD＝BC，B′D′＝B′C′.
∴BD＝B′D′.
∴△ABD≌△A′B′D′(SAS)．
∴AD＝A′D′.　
C　10.A　11.4　12.6
cm　
证明：∵点O在∠BAC的平分线上，BO⊥AC，CO⊥AB，
∴OE＝OD，∠BEO＝∠CDO＝90°.
在△BEO与△CDO中，
∵∠BEO＝∠CDO，OE＝OD，∠EOB＝∠DOC，
∴△BEO≌△CDO(ASA)．
∴OB＝OC.　
∵AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE.
又∵AD＝AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED.
∴AE＝AC.
∴△DEB的周长为DE＋DB＋EB＝CD＋DB＋BE＝BC＋BE＝AC＋BE＝AE＋BE＝AB＝10
cm.　
15.已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′，∠BAC＝∠B′A′C′，AD，A′D′分别是∠BAC，∠B′A′C′的平分线，且AD＝A′D′.求证：△ABC≌△A′B′C′.
　　
证明：∵∠BAC＝∠B′A′C′，AD，A′D′分别是∠BAC，∠B′A′C′的角平分线，
∴∠BAD＝∠B′A′D′.
∵∠B＝∠B′，AD＝A′D′，
∴△ABD≌△A′B′D′(AAS)．
∴AB＝A′B′.
在△ABC和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A′B′C′(ASA)．　
(1)证明：∵PE∥AB，PF∥AC，
∴∠EPD＝∠BAD，∠DPF＝∠CAD.
∵△ABC中，AD是它的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD.
∴∠EPD＝∠DPF，即PD平分∠EPF.
∴D到PE的距离与D到PF的距离相等．
若点P在AD的延长线上，其他条件不变，(1)中的结论还成立．理由如下：
∵PE∥AB，PF∥AC，
∴∠EPD＝∠BAD，∠DPF＝∠CAD.
∵△ABC中，AD是它的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD.
∴∠EPD＝∠DPF，
即PD平分∠EPF.
∴D到PE的距离与D到PF的距离相等．