【备考2018】高考数学真题精讲精练专题8.2 两条直线的位置关系（2013-2017）

2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
8.2 两条直线的位置关系
考纲剖析
1．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．
2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．
3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
知识回顾
1．两直线平行与垂直
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2? .特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为 ．21·cn·jy·com
(2)两条直线垂直
如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2? ，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．2·1·c·n·j·y
2．两直线的交点
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．21*cnjy*com
相交?方程组有 ，交点坐标就是方程组的解；
平行?方程组 ；
重合?方程组有 ．
3．距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝ .
特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝ .
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离为d＝ .【来源：21cnj*y.co*m】
可以验证，当A＝0或B＝0时，上式仍成立．
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，B不同时为0，且C1≠C2)间的距离d＝ .
精讲方法
一、用一般式方程判定直线的位置关系
两条直线位置关系的判定
已知直线，，则
（1）
（2）
（3）
（4）
二、两条直线的平行与垂直
（1）充分掌握两直线平行的条件及垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线和，。若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意。【出处：21教育名师】
（2）注意转化与化归思想的应用。
（3）利用斜率的几何意义可以证明不等式，利用两斜率之间的关系可以判断两直线的平行或垂直，数形结合的思想方法可帮助我们很直观地分析问题，抓住问题的实质。
例题精讲
考点一 两条直线平行与垂直
【例题1】（2017安徽黄山屯溪一中期中）已知直线l1：（k﹣3）x+（5﹣k）y+1=0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3=0垂直，则k的值是（?? ）
A、1或3B、1或5C、1或4D、1或2
【答案】C 【考点】两条直线垂直的判定 【解析】【解答】解：由题意得2（k﹣3）2﹣2（5﹣k）=0， 整理得k2﹣5k+4=0，解得k=1或k=4．故选C．【分析】由两直线ax+by+c=0与mx+ny+d=0垂直?am+bn=0解得即可．

【变式训练1】（2017黑龙江哈尔滨六中）过点（﹣1，3）且平行于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（?? ）
A、x﹣2y+7=0B、2x+y﹣1=0C、x﹣2y﹣5=0D、2x+y﹣5=0
考点二　两条直线的交点问题
【例题2】（2017江西赣州厚德外国语学校）已知点M（﹣1，2），N（3，3），若直线l：kx﹣y﹣2k﹣1=0与线段MN相交，则k的取值范围是（?? ）
21教育网
A、[4，+∞）B、（﹣∞，﹣1]C、（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）D、[﹣1，4]
【答案】 C【考点】两条直线的交点坐标【解析】【解答】解：∵直线l：kx﹣y﹣2k﹣1=0过定点P（2，﹣1）， 如图，M（﹣1，2），N（3，3），kPM= =﹣1，kPN═ =4．直线l与线段AB相交，则k的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．故选：C． 【分析】已知的直线l：kx﹣y﹣2k﹣1=0过定点，画出图形，求出直线PM、PN的斜率，数形结合可得k的取值范围．

【变式训练2】（2017山东淄博淄川中学）若三条直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+y﹣4=0，l3：2x﹣y+1=0相交于同一点，则实数a=（?? ）
A、﹣12B、﹣10C、10D、12
考点三　距离公式的应用
【例题3】（2017四川雅安中学）已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A、B的坐标分别是（﹣4，2），（3，1），则点C的坐标为（?? ）
A、（﹣2，4）B、（﹣2，﹣4）C、（2，4）D、（2，﹣4）
【答案】 C【考点】两点间距离公式的应用【解析】【解答】解：设A（﹣4，2）关于直线y=2x的对称点为（x，y），则 ，解得 ，即（4，﹣2）． ∴直线BC所在方程为：y﹣1= （x﹣3），化为：3x+y﹣10=0．同理可得：点B（3，1）关于直线y=2x的对称点为（﹣1，3），直线AC所在方程为：y﹣2= （x+4），化为：x﹣3y+10=0．联立 ，解得 ，可得C（2，4）．故选：C．【分析】设A（﹣4，2）关于直线y=2x的对称点为（x，y），利用垂直平分线的性质可得： ，解出可得直线BC所在方程；同理可得点B关于直线y=2x的对称点，即可得出直线AC所在方程，联立解出可得出．

【变式训练3】（2017浙江冲刺卷（2））已知m∈R，若点M（x，y）为直线l1：my=﹣x和l2：mx=y+m﹣3的交点，l1和l2分别过定点A和B，则|MA|?|MB|的最大值为________．
真题精析
一、选择题
1、（2017?新课标Ⅱ）过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为 的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（??? ）
A、B、2 C、2 D、3
2、（2013?新课标Ⅱ）已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（??? ）
A、（0，1）B、C、D、
二、填空题
3、（2016?上海）设a＞0，b＞0，若关于x，y的方程组 无解，则a+b的取值范围为________． 【版权所有：21教育】
4、（2014?四川）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|?|PB|的最大值是________．
5、（2016?上海）已知平行直线 ，则 的距离________.
三、综合题
6、（2017?新课标Ⅰ卷）设A，B为曲线C：y= 上两点，A与B的横坐标之和为4．
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
模拟题精练
一、单选题
1、直线与曲线不相交，则k的取值范围是( )
A、或3B、C、3D、
2、已知直线l垂直平面a，垂足为O.在矩形ABCD中AD=1，AB=2，若点A在l上移动，点 B在平面a上移动，则O、D两点间的最大距离为(??? ) 【来源：21·世纪·教育·网】
A、B、C、D、
3、关于x、y的方程组的解是， 则m－n的值是(??? )
A、1B、－1C、2D、不确定
4、已知直线l1:y=4x，l2:y=-4x，过的直线l与l1,l2分别交于A,B，若M是线段AB的中点，则|AB|等于（??） www-2-1-cnjy-com
A、12B、C、D、
5、已知集合， 若对于任意， 存在， 使得成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合：①；???????②；则以下选项正确的是（） 2-1-c-n-j-y
A、①是“垂直对点集” ，②不是“垂直对点集”B、①不是“垂直对点集”，②是“垂直对点集”C、①②都是“垂直对点集”D、①②都不是“垂直对点集”21世纪教育网版权所有
6、已知直线,,若,则a的值为（ ）
A、0或2B、0或一2C、2D、-2
7、在直角坐标系xOy中，已知点A（4，2）和B（0，b）满足|BO|=|BA|，那么b的值为（　　）
A、3B、4C、5D、6
8、若直线l1：x+ay+6=0与l2：（a﹣2）x+3y+2a=0平行，则l1与l2间的距离为（　　）
A、B、C、D、
9、直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关系是（　　）
A、平行B、垂直C、相交但不垂直D、不能确定
10、平行线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0的距离是（　　）
A、B、2C、D、
11、已知直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+14=0行，则它们之间的距离是（　　）
A、B、C、8D、2

12、（2017湖北宜昌部分重点中学期末）若直线l1：2x+（m+1）y+4=0与直线l2：mx+3y﹣2=0平行，则m的值为（?? ） 21cnjy.com
A、﹣2B、﹣3C、2或﹣3D、﹣2或﹣3
13、（2017广东省际名校模拟）已知动直线l0：ax+by+c﹣2=0（a＞0，c＞0）恒过点P（1，m）且Q（4，0）到动直线l0的最大距离为3，则 + 的最小值为（?? ）
A、B、C、1D、9
14、（2017云南昭通镇雄实验中学期中）过点P（4，﹣1）且与直线3x﹣4y+6=0垂直的直线方程是（?? ） 21*cnjy*com
A、4x+3y﹣13=0B、4x﹣3y﹣19=0C、3x﹣4y﹣16=0D、3x+4y﹣8=021教育名师原创作品
15、（2017江西九校联考一模）已知A（1，2），B（2，11），若直线y=（m﹣ ）x+1（m≠0）与线段AB相交，则实数m的取值范围是（?? ）
A、[﹣2，0）∪[3，+∞）B、（﹣∞，﹣1]∪（0，6]C、[﹣2，﹣1]∪[3，6]D、[﹣2，0）∪（0，6]

16、（2016河南南阳一中）若直线（3a+2）x+（1﹣4a）y+8=0和直线（5a﹣2）x+（a+4）y﹣7=0相互垂直，则a值为（?? ）
A、0B、1C、0或1D、0或﹣1
17、（2017辽宁大连庄河）直线ax+y+3a﹣1=0恒过定点M，则直线2x+3y﹣6=0关于M点对称的直线方程为（?? ）
A、2x+3y﹣12=0B、2x+3y+12=0C、2x﹣3y+12=0D、2x﹣3y﹣12=0
18、已知点 A（1，3），B（3，1），C（﹣1，0），则△ABC的面积为（?? ）
A、5B、C、10D、
19、（2017广东恵州期末）若直线 与直线2x+3y﹣6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围（?? ）
A、B、C、D、
20、（2017广西钦州期末）直线l过P（1，2），且A（2，3），B（4，﹣5）到l的距离相等，则直线l的方程是（?? ）
A、4x+y﹣6=0B、x+4y﹣6=0C、3x+2y﹣7=0或4x+y﹣6=0D、2x+3y﹣7=0或x+4y﹣6=0
21、（2017江西新余期末）过点（﹣1，3）且平行于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（?? ）
A、x﹣2y+7=0B、2x+y﹣1=0C、x﹣2y﹣5=0D、2x+y﹣5=0
22、（2017四川资阳期末）若直线2mx+y+6=0与直线（m﹣3）x﹣y+7=0平行，则m的值为（?? ）
A、﹣1B、1C、1或﹣1D、3
23、（2017四川资阳简阳期末）两直线3ax﹣y﹣2=0和（2a﹣1）x+5ay﹣1=0分别过定点A、B，则|AB|等于（?? ）
A、B、C、D、
二、解答题
24、已知直线l经过直线2x+y﹣2=0与x﹣2y﹣1=0的交点，且与直线y=（x﹣1）的夹角为30°，求直线l的方程．
25、（2017黑龙江双鸭山友谊红兴隆管理局一中）已知点A（3，3）、B（5，2）到直线l的距离相等，且直线l经过两直线l1：3x﹣y﹣1=0和l2：x+y﹣3=0的交点，求直线l的方程．
26、（2017安徽马鞍山期末）已知直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R） （Ⅰ）证明直线l经过定点并求此点的坐标；（Ⅱ）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（Ⅲ）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
三、填空题
27、（2016江苏盐城大丰新丰中学期中）已知直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1=0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3=0平行，则k的值是________．
28、（2017江苏南京盐城高二模）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x﹣y﹣4=0的距离的最大值为________．21·世纪*教育网
29、直线l经过点M0（1，5），倾斜角为 ，且交直线x﹣y﹣2=0于M点，则|MM0|=________．
30、（2017河北邯郸大名一中）直线l1： x﹣y+1=0，l2：x+5=0，则直线l1与l2的相交所成的锐角为________．
31、（2017山东淄博淄川中学）已知两点A（0，1），B（4，3），则线段AB的垂直平分线方程是________．
32、（2017江苏淮安清江中学期中）下列直线中与直线l：3x+2y﹣5=0相交的是________（填上正确的序号）． ①y=﹣ x+5②3x+2y=0 ③ + =1④ + =1．
33、已知倾斜角为α的直线l与直线x+2y﹣3=0垂直，则cos（ ﹣2α）的值为________．
34、（2017重庆秀山高中期中）已知直线l1：x+my+6=0，l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，
求：(1)若l1⊥l2 ， 求m的值；??
(2)若l1∥l2 ， 求m的值．
35、（2016安徽安庆期末）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
36、（2017湖北黄冈期末）已知A（4，﹣3），B（2，﹣1）和直线l：4x+3y﹣2=0．
(1)求在直角坐标平面内满足|PA|=|PB|的点P的方程；
(2)求在直角坐标平面内一点P满足|PA|=|PB|且点P到直线l的距离为2的坐标．
37、（2017江西赣州期末）已知直线l的方程为（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4=0，其中m∈R．
(1)求证：直线l恒过定点；
(2)当m变化时，求点P（3，1）到直线l的距离的最大值；
(3)若直线l分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程． www.21-cn-jy.com

2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
8.2 两条直线的位置关系（答案）
知识回顾
1．两直线平行与垂直
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2?k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行．21世纪教育网版权所有
(2)两条直线垂直
如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2?k1k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．【来源：21·世纪·教育·网】
2．两直线的交点
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．
相交?方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
平行?方程组无解；
重合?方程组有无数个解．
3．距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝.
特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离为d＝.
可以验证，当A＝0或B＝0时，上式仍成立．
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，B不同时为0，且C1≠C2)间的距离d＝.
例题精讲
考点一 两条直线平行与垂直
【变式训练1】（2017黑龙江哈尔滨六中）过点（﹣1，3）且平行于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（?? ）
A、x﹣2y+7=0B、2x+y﹣1=0C、x﹣2y﹣5=0D、2x+y﹣5=0
【答案】A 【考点】两条直线平行的判定，直线的一般式方程 【解析】【解答】解：由题意可设所求的直线方程为x﹣2y+c=0 ∵过点（﹣1，3）代入可得﹣1﹣6+c=0 则c=7∴x﹣2y+7=0故选A．【分析】由题意可先设所求的直线方程为x﹣2y+c=0再由直线过点（﹣1，3），代入可求c的值，进而可求直线的方程
考点二　两条直线的交点问题
【变式训练2】（2017山东淄博淄川中学）若三条直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+y﹣4=0，l3：2x﹣y+1=0相交于同一点，则实数a=（?? ）
A、﹣12B、﹣10C、10D、12
【答案】A 【考点】两条直线的交点坐标 【解析】【解答】解：由l2：x+y﹣4=0，l3：2x﹣y+1=0，可得交点坐标为（1，3）， 代入直线l1：ax+2y+6=0，可得a+6+6=0，∴a=﹣12，故选：A．【分析】由l2：x+y﹣4=0，l3：2x﹣y+1=0，可得交点坐标为（1，3），代入直线l1：ax+2y+6=0，可得a的值．
考点三　距离公式的应用
【变式训练3】（2017浙江冲刺卷（2））已知m∈R，若点M（x，y）为直线l1：my=﹣x和l2：mx=y+m﹣3的交点，l1和l2分别过定点A和B，则|MA|?|MB|的最大值为________．
【答案】5 【考点】两点间距离公式的应用 【解析】【解答】解：动直线l1：my=﹣x过定点A（0，0）， 动直线l2：mx=y+m﹣3化为m（x﹣1）﹣（y﹣3）=0，得x=1，y=3．过定点B（1，3）．∵此两条直线互相垂直，∴|MA|2+|PM|2=|AB|2=10，∴10≥2|MA|?|MB|，∴|MA|?|PM≤5，当且仅当|MA|=|MB|时取等号．故答案为：5．【分析】求出定点A，B的坐标，由于此两条直线互相垂直，可得|MA|2+|PM|2=|AB|2=10，再利用基本不等式的性质即可得出． 2-1-c-n-j-y
真题精析
一、选择题
1、（2017?新课标Ⅱ）过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为 的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（??? ）
A、B、2 C、2 D、3
【答案】C 【考点】直线的点斜式方程，点到直线的距离公式，抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系 【解析】【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），且斜率为 的直线：y= （x﹣1），过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为 的直线交C于点M（M在x轴上方），l可知： ，解得M（3，2 ）．可得N（﹣1，2 ），NF的方程为：y=﹣ （x﹣1），即 ，则M到直线NF的距离为： =2 ．故选：C．【分析】利用已知条件求出M的坐标，求出N的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．
2、（2013?新课标Ⅱ）已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（??? ）
A、（0，1）B、C、D、
【答案】B 【考点】确定直线位置的几何要素，点到直线的距离公式 【解析】【解答】解：由题意可得，三角形ABC的面积为 =1，由于直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣ ，0），由直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，故﹣ ≤0，故点M在射线OA上．设直线y=ax+b和BC的交点为N，则由 可得点N的坐标为（ ， ）．①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，故N（ ， ），把A、N两点的坐标代入直线y=ax+b，求得a=b= ．②若点M在点O和点A之间，此时b＞ ，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于 ，即 = ，即 = ，可得a= ＞0，求得 b＜ ，故有 ＜b＜ ．③若点M在点A的左侧，则b＜ ，由点M的横坐标﹣ ＜﹣1，求得b＞a．设直线y=ax+b和AC的交点为P，则由 求得点P的坐标为（ ， ），此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于 ，即 ?（1﹣b）?|xN﹣xP|= ，即 （1﹣b）?| ﹣ |= ，化简可得2（1﹣b）2=|a2﹣1|．由于此时 b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2=|a2﹣1|=1﹣a2 ． 两边开方可得 （1﹣b）= ＜1，∴1﹣b＜ ，化简可得 b＞1﹣ ，故有1﹣ ＜b＜ ．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得b的取值范围应是 ，故选：B． 【分析】先求得直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣ ，0），由﹣ ≤0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得b= ；②若点M在点O和点A之间，求得 ＜b＜ ； ③若点M在点A的左侧，求得 ＞b＞1﹣ ．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果． 21教育名师原创作品
二、填空题
3、（2016?上海）设a＞0，b＞0，若关于x，y的方程组 无解，则a+b的取值范围为________． 21*cnjy*com
【答案】（2，+∞） 【考点】基本不等式，两条直线平行的判定 【解析】【解答】解：∵关于x，y的方程组? 无解，∴直线ax+y=1与x+by=1平行，∵a＞0，b＞0，∴ ≠ 1 ，即a≠1，b≠1，且ab=1，则b= ，则a+b=a+ ，则设f（a）=a+ ，（a＞0且a≠1），则函数的导数f′（a）=1﹣ = ，当0＜a＜1时，f′（a）= ＜0，此时函数为减函数，此时f（a）＞f（1）=2，当a＞1时，f′（a）= ＞0，此时函数为增函数，f（a）＞f（1）=2，综上f（a）＞2，即a+b的取值范围是（2，+∞），故答案为：（2，+∞）．【分析】根据方程组无解，得到两直线平行，建立a，b的方程关系，利用转化法，构造函数，求函数的导数，利用函数的单调性进行求解即可．；本题主要考查直线平行的应用以及构造函数，求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系进行求解是解决本题的关键．
4、（2014?四川）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|?|PB|的最大值是________．
【答案】5 【考点】点到直线的距离公式 【解析】【解答】解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0）， 动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|?|PB|≤ =5（当且仅当 时取“=”）故答案为：5【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|?|PB|的最大值．
5、（2016?上海）已知平行直线 ，则 的距离________.
【答案】【考点】两条平行直线间的距离 【解析】【解答】利用两平行线间距离公式得 【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可．本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力．
三、综合题
6、（2017?新课标Ⅰ卷）设A，B为曲线C：y= 上两点，A与B的横坐标之和为4．
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
【答案】（1）解：设A（x1 ， ），B（x2 ， ）为曲线C：y= 上两点，则直线AB的斜率为k= = （x1+x2）= ×4=1；（2）设直线AB的方程为y=x+t，代入曲线C：y= ，可得x2﹣4x﹣4t=0，即有x1+x2=4，x1x2=﹣4t，再由y= 的导数为y′= x，设M（m， ），可得M处切线的斜率为 m，由C在M处的切线与直线AB平行，可得 m=1，解得m=2，即M（2，1），由AM⊥BM可得，kAM?kBM=﹣1，即为 ? =﹣1，化为x1x2+2（x1+x2）+20=0，即为﹣4t+8+20=0，解得t=7．则直线AB的方程为y=x+7． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，直线的斜率，两条直线垂直的判定，抛物线的应用 【解析】【分析】（1.）设A（x1 ， ），B（x2 ， ），运用直线的斜率公式，结合条件，即可得到所求；（2.）设M（m， ），求出y= 的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得m，即有M的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得x1 ， x2的关系式，再由直线AB：y=x+t与y= 联立，运用韦达定理，即可得到t的方程，解得t的值，即可得到所求直线方程． 21cnjy.com
模拟题精练
一、单选题
1、直线与曲线不相交，则k的取值范围是( )
A、或3B、C、3D、
【答案】 A【考点】方程组解的个数与两直线的位置关系【解析】【分析】曲线表示直线（去掉点)，所以直线与曲线不相交只有直线与平行或直线过点 ， 所以的取值为或3.选A【点评】曲线表示的不是完整的直线 ， 而是去掉了一个点，这点要特别注意.21·世纪*教育网
2、已知直线l垂直平面a，垂足为O.在矩形ABCD中AD=1，AB=2，若点A在l上移动，点 B在平面a上移动，则O、D两点间的最大距离为(??? ) 21*cnjy*com
A、B、C、D、
【答案】B 【考点】两点间的距离公式 【解析】【解答】因为当点点A在l上移动，点 B在平面a上移动，那么可知点B到直线L的距离为x，那么AO=?，同时有AD=1，那么结合余弦定理则有， 那么将数值代入表达式可知， 结合根式和二次函数的性质可知O、D两点间的最大距离为， 选B.【分析】解决该试题的关键是利用线段AB的定长为2，AD为1，那么随着点A.B的运动过程中，始终保持不变的量和改变的角度OAD之间的关系式来求解OD的最大值，采用余弦定理得到分析证明，属于难度试题.
3、关于x、y的方程组的解是， 则m－n的值是(??? )
A、1B、－1C、2D、不确定
【答案】B 【考点】方程组解的个数与两直线的位置关系 【解析】【解答】因为关于x、y的方程组的解是， 所以将代入方程可得：选B.【分析】已知方程组的解，代入方程组可以适合方程，从而可得m－n的值.
4、已知直线l1:y=4x，l2:y=-4x，过的直线l与l1,l2分别交于A,B，若M是线段AB的中点，则|AB|等于（??）
A、12B、C、D、
【答案】B 【考点】两点间的距离公式 【解析】【j解答】设、， 所以、． 所以． 故选B．【分析】主要是考查了两点之间的距离的运用，属于基础题。
5、已知集合， 若对于任意， 存在， 使得成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合：①；???????②；则以下选项正确的是（）
A、①是“垂直对点集” ，②不是“垂直对点集”B、①不是“垂直对点集”，②是“垂直对点集”C、①②都是“垂直对点集”D、①②都不是“垂直对点集”
【答案】B 【考点】两条直线垂直的判定 【解析】【解答】仔细分析题设条件，设， ， 条件就是， 如此可发现对②中的函数，其图象上任一点， 在其图象一定存在点使， ①对应的函数不符合题意，其实它上面的任一点， 则其图象上没有点， 使得， 选B．
6、已知直线,,若,则a的值为（ ）
A、0或2B、0或一2C、2D、-2
【答案】 B【考点】两条直线垂直的判定，两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】【解答】因为 ， 所以有 ， 即 ， 解得或 ， 故选B.
7、在直角坐标系xOy中，已知点A（4，2）和B（0，b）满足|BO|=|BA|，那么b的值为（　　）
A、3B、4C、5D、6
【答案】C 【考点】两点间距离公式的应用 【解析】【解答】∵点A（4，2）和B（0，b）满足|BO|=|BA|，∴b2=42+（2﹣b）2 ， ∴b=5．故选：C．【分析】根据两点间的距离公式表示|BO|=|BA|，即可求出b的值．
8、若直线l1：x+ay+6=0与l2：（a﹣2）x+3y+2a=0平行，则l1与l2间的距离为（　　）
A、B、C、D、
【答案】 B【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系，两条平行直线间的距离【解析】【解答】由l1∥l2得：解得：a=﹣1，∴l1与l2间的距离d=故选：B．【分析】先由两直线平行可求a得值，再根据两平行线间的距离公式，求出距离d即可．
9、直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关系是（　　）
A、平行B、垂直C、相交但不垂直D、不能确定
【答案】C 【考点】方程组解的个数与两直线的位置关系 【解析】【解答】解：由方程组可得 3x+4m﹣n=0，由于3x+4m﹣n=0有唯一解，故方程组有唯一解，故两直线相交．再由两直线的斜率分别为﹣2和﹣， 斜率之积不等于﹣1，故两直线不垂直．故选C．【分析】由方程组?有唯一解可得两直线相交，再由斜率之积不等于﹣1，可得两直线不垂直，由此得出结论． 【来源：21cnj*y.co*m】
10、平行线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0的距离是（　　）
A、B、2C、D、
【答案】B 【考点】两条平行直线间的距离 【解析】【解答】解：由直线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0平行，得m=8．∴直线6x+my+2=0化为6x+8y+2=0，即3x+4y+1=0．∴平行线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0的距离是． 故选：B．【分析】利用两直线平行求得m的值，化为同系数后由平行线间的距离公式得答案．
11、已知直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+14=0行，则它们之间的距离是（　　）
A、B、C、8D、2
【答案】 D【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系，两条平行直线间的距离【解析】【解答】解：∵直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+14=0平行，∴，∴m=8，故直线6x+my+14=0 即3x+4y+7=0，故两平行直线间的距离为 ，故选 D．【分析】根据两平行直线的斜率相等，在纵轴上的截距不相等，求出 m，利用两平行直线间的距离公式求出两平行直线间的距离．

12、（2017湖北宜昌部分重点中学期末）若直线l1：2x+（m+1）y+4=0与直线l2：mx+3y﹣2=0平行，则m的值为（?? ） www-2-1-cnjy-com
A、﹣2B、﹣3C、2或﹣3D、﹣2或﹣3
【答案】C 【考点】两条直线平行的判定 【解析】【解答】解：∵直线l1：2x+（m+1）y+4=0与直线l2：mx+3y﹣2=0平行，∴ = ， 解得m=2或﹣3，故选 C．【分析】根据两直线平行，且直线l2的斜率存在，故它们的斜率相等，解方程求得m的值．
13、（2017广东省际名校模拟）已知动直线l0：ax+by+c﹣2=0（a＞0，c＞0）恒过点P（1，m）且Q（4，0）到动直线l0的最大距离为3，则 + 的最小值为（?? ）
A、B、C、1D、9
【答案】B 【考点】点到直线的距离公式 【解析】【解答】解：动直线l0：ax+by+c﹣2=0（a＞0，c＞0）恒过点P（1，m），∴a+bm+c﹣2=0． 又Q（4，0）到动直线l0的最大距离为3，∴ =3，解得m=0．∴a+c=2．则 + = （a+c） = ，当且仅当c=2a= 时取等号．故选：B．【分析】由题意可得：可得a+bm+c﹣2=0．又Q（4，0）到动直线l0的最大距离为3，可得 =3，解得m=0．a+c=2．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
14、（2017云南昭通镇雄实验中学期中）过点P（4，﹣1）且与直线3x﹣4y+6=0垂直的直线方程是（?? ）
A、4x+3y﹣13=0B、4x﹣3y﹣19=0C、3x﹣4y﹣16=0D、3x+4y﹣8=0
【答案】A 【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，直线的一般式方程 【解析】【解答】解：因为两直线垂直，直线3x﹣4y+6=0的斜率为 ， 所以所求直线的斜率k=﹣ 则直线方程为y﹣（﹣1）=﹣ （x﹣4），化简得4x+3y﹣13=0故选A【分析】要求直线方程，即要知道一点和斜率，所以就要求直线的斜率，根据所求直线与已知直线垂直得到斜率乘积为﹣1即可求出斜率．
15、（2017江西九校联考一模）已知A（1，2），B（2，11），若直线y=（m﹣ ）x+1（m≠0）与线段AB相交，则实数m的取值范围是（?? ）
A、[﹣2，0）∪[3，+∞）B、（﹣∞，﹣1]∪（0，6]C、[﹣2，﹣1]∪[3，6]D、[﹣2，0）∪（0，6]
【答案】C 【考点】直线的斜率，两条直线的交点坐标 【解析】【解答】解：由题意得： 两点A（1，2），B（2，11）分布在直线y=（m﹣ ）x+1（m≠0）的两侧，∴（m﹣ ﹣2+1）[2（m﹣ ）﹣11+1]≤0，解得：﹣2≤m≤﹣1或3≤m≤6，故选：C．【分析】由题意知，两点A，B分布在直线的两侧，利用直线两侧的点的坐标代入直线的方程中的左式，得到的结果为异号，得到不等式，解之即得m的取值范围

16、（2016河南南阳一中）若直线（3a+2）x+（1﹣4a）y+8=0和直线（5a﹣2）x+（a+4）y﹣7=0相互垂直，则a值为（?? ）
A、0B、1C、0或1D、0或﹣1
【答案】 C【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】【解答】解：因为直线（3a+2）x+（1﹣4a）y+8=0和直线（5a﹣2）x+（a+4）y﹣7=0相互垂直，所以k1?k2=﹣1 即（﹣ ）?（﹣ ）=﹣1，化简得：（3a+2）（5a﹣2）=（4a﹣1）（a+4）即a2﹣a=0解得a=0或a=1故选C【分析】分别求出两条直线的斜率，因为两直线垂直得到斜率乘积为﹣1，列出关于a的方程，求出a的值即可．
17、（2017辽宁大连庄河）直线ax+y+3a﹣1=0恒过定点M，则直线2x+3y﹣6=0关于M点对称的直线方程为（?? ） 2·1·c·n·j·y
A、2x+3y﹣12=0B、2x+3y+12=0C、2x﹣3y+12=0D、2x﹣3y﹣12=0【版权所有：21教育】
【答案】B 【考点】恒过定点的直线 【解析】【解答】解：由直线ax+y+3a﹣1=0，可得a（x+3）+（y﹣1）=0 令 ，可得x=﹣3，y=1，∴M（﹣3，1），设直线2x+3y﹣6=0关于M点对称的直线方程为2x+3y+c=0，则 ，∴c=12或c=﹣6（舍去）故选B．【分析】由直线ax+y+3a﹣1=0可得定点坐标，设直线2x+3y﹣6=0关于M点对称的直线方程为2x+3y+c=0，则 ，求出c，即可得出结论．
18、已知点 A（1，3），B（3，1），C（﹣1，0），则△ABC的面积为（?? ）
A、5B、C、10D、
【答案】 A【考点】两点间距离公式的应用，点到直线的距离公式【解析】【解答】解：如图，△ABC的面积转化为三角形ACE与梯形AEDB的面积减去三角形CDB的面积，则S△ABC=S△CAE+SAEDB﹣S△CDB= ×3×2+ （1+3）×2﹣ 4×1=5．故选A． 【分析】先找出△ABC的位置，△ABC的面积转化为三角形ACE与梯形AEDB的面积减去三角形CDB的面积可得出答案．
19、（2017广东恵州期末）若直线 与直线2x+3y﹣6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围（?? ）
A、B、C、D、
【答案】B 【考点】直线的斜率，两条直线的交点坐标 【解析】【解答】解：联立两直线方程得： ， 将①代入②得：x= ③，把③代入①，求得y= ，所以两直线的交点坐标为（ ， ），因为两直线的交点在第一象限，所以得到 ，由①解得：k＞﹣ ；由②解得k＞ 或k＜﹣ ，所以不等式的解集为：k＞ ，设直线l的倾斜角为θ，则tanθ＞ ，所以θ∈（ ， ）．方法二、∵直线l恒过定点（0，﹣ ），作出两直线的图象．，设直线2x+3y﹣6=0与x轴交于点A，与y轴交于点B．从图中看出，斜率kAP＜k＜+∞，即 ＜k＜+∞，故直线l的倾斜角的取值范围应为（ ， ）．故选B．【分析】联立两直线方程到底一个二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到交点的坐标，根据交点在第一象限得到横纵坐标都大于0，联立得到关于k的不等式组，求出不等式组的解集即可得到k的范围，然后根据直线的倾斜角的正切值等于斜率k，根据正切函数图象得到倾斜角的范围．
20、（2017广西钦州期末）直线l过P（1，2），且A（2，3），B（4，﹣5）到l的距离相等，则直线l的方程是（?? ）
A、4x+y﹣6=0B、x+4y﹣6=0C、3x+2y﹣7=0或4x+y﹣6=0D、2x+3y﹣7=0或x+4y﹣6=0
【答案】C 【考点】直线的一般式方程，两点间距离公式的应用 【解析】【解答】解 设所求直线为l，由条件可知直线l平行于直线AB或过线段AB的中点，（1）AB的斜率为 =﹣4，当直线l∥AB时，l的方程是y﹣2=﹣4（x﹣1），即 4x+y﹣6=0．（2）当直线l经过线段AB的中点（3，﹣1）时，l的斜率为 = ，l的方程是 y﹣2= （x﹣1），即3x+2y﹣7=0．故所求直线的方程为3x+2y﹣7=0或4x+y﹣6=0． 故选C．【分析】由条件可知直线平行于直线AB或过线段AB的中点，当直线l∥AB时，利用点斜式求出直线方程；当直线经过线段AB的中点（2，3）时，易得所求的直线方程．
21、（2017江西新余期末）过点（﹣1，3）且平行于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（?? ）
A、x﹣2y+7=0B、2x+y﹣1=0C、x﹣2y﹣5=0D、2x+y﹣5=0
【答案】A 【考点】两条直线平行的判定，直线的一般式方程 【解析】【解答】解：由题意可设所求的直线方程为x﹣2y+c=0 ∵过点（﹣1，3）代入可得﹣1﹣6+c=0 则c=7∴x﹣2y+7=0故选A．【分析】由题意可先设所求的直线方程为x﹣2y+c=0再由直线过点（﹣1，3），代入可求c的值，进而可求直线的方程
22、（2017四川资阳期末）若直线2mx+y+6=0与直线（m﹣3）x﹣y+7=0平行，则m的值为（?? ）
A、﹣1B、1C、1或﹣1D、3
【答案】B 【考点】两条直线平行的判定 【解析】【解答】解：因为两条直线平行，所以： 解得 m=1故选B．【分析】直接利用两条直线平行的充要条件，解答即可． 【出处：21教育名师】
23、（2017四川资阳简阳期末）两直线3ax﹣y﹣2=0和（2a﹣1）x+5ay﹣1=0分别过定点A、B，则|AB|等于（?? ）
A、B、C、D、
【答案】C 【考点】恒过定点的直线 【解析】【解答】解：直线3ax﹣y﹣2=0经过定点A（0，﹣2）． （2a﹣1）x+5ay﹣1=0，化为：a（2x+5y）﹣x﹣1=0，令 ，解得x=﹣1，y= ，即直线（2a﹣1）x+5ay﹣1=0过定点B ．则|AB|= = ．故选：C．【分析】直线3ax﹣y﹣2=0经过定点A（0，﹣2）．（2a﹣1）x+5ay﹣1=0，化为：a（2x+5y）﹣x﹣1=0，令 ，解得B．利用两点之间的距离公式即可得出．
二、解答题
24、已知直线l经过直线2x+y﹣2=0与x﹣2y﹣1=0的交点，且与直线y=（x﹣1）的夹角为30°，求直线l的方程．
【答案】解：由 ，得；∵直线y=（x﹣1）的斜率为，∴其倾斜角为60°，且过点（1，0），又直线l与直线y=（x﹣1）的夹角为30°，且过点（1，0），作图如下： 易知，直线l的倾斜角为30°或90°，故直线l的方程x=1，或y= （x﹣1). 【考点】两直线的夹角与到角问题 【解析】【分析】依题意，可求得直线2x+y﹣2=0与x﹣2y﹣1=0的交点坐标为（1，0），作图易得直线l的倾斜角为30°或90°，从而可得直线l的方程.
25、（2017黑龙江双鸭山友谊红兴隆管理局一中）已知点A（3，3）、B（5，2）到直线l的距离相等，且直线l经过两直线l1：3x﹣y﹣1=0和l2：x+y﹣3=0的交点，求直线l的方程．
【答案】解：解方程组 得交点P（1，2）． （i）若A、B在直线L的同侧，则L∥AB，KAB= =﹣ ，∴直线的方程是：y﹣2=﹣ （x﹣1），即x+2y﹣5=0．（ii）若A、B分别在直线L的异侧，则直线L过线段AB的中点（4， ），∴直线L的两点式方程是 ，即x﹣6y+11=0．综（i）（ii）知直线L的方程是x+2y﹣5=0或x﹣6y+11=0 【考点】两条直线平行的判定，直线的点斜式方程，直线的两点式方程，直线的一般式方程与直线的平行关系 【解析】【分析】根据A、B在直线的同侧与异侧两种情况求解，在同侧时，利用直线平行则斜率相等求直线的斜率，从而求出直线方程；在异侧时，判定直线过线段的中点，利用两点式求直线方程．
26、（2017安徽马鞍山期末）已知直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R） （Ⅰ）证明直线l经过定点并求此点的坐标；（Ⅱ）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（Ⅲ）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
【答案】解：（I）证明：直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R），化为：k（x+2）﹣y+1=0，令 ，解得x=﹣2，y=1． ∴直线l经过定点（﹣2，1）．（Ⅱ）由直线l不经过第四象限，y=kx+2k+1．则k≥0，（Ⅲ）直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，由直线l的方程kx﹣y+1+2k=0可得与坐标轴的交点A ，B（0，1+2k）， ，k≠0，解得：k＞0．∴S= ×|1+2k|= = ≥ =4，当且仅当k= 时取等号．S的最小值为4，及此时直线l的方程为：x﹣2y+4=0 【考点】过两条直线交点的直线系方程 【解析】【分析】（I）直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R），化为：k（x+2）﹣y+1=0，令 ，解出即可得出．（Ⅱ）由直线l不经过第四象限，y=kx+2k+1．即可得出．（Ⅲ）直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，由直线l的方程kx﹣y+1+2k=0可得与坐标轴的交点A ，B（0，1+2k）， ，k≠0，解得：k＞0．故S= ×|1+2k|= ，利用基本不等式的性质即可得出．
三、填空题
27、（2016江苏盐城大丰新丰中学期中）已知直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1=0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3=0平行，则k的值是________．21教育网
【答案】 3或5【考点】两条直线平行的判定【解析】【解答】解：当k=3时两条直线平行， 当k≠3时有 所以k=5故答案为：3或5．【分析】考查题意，不难发现x=3为所求，然后利用直线平行的条件解答即可．
28、（2017江苏南京盐城高二模）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x﹣y﹣4=0的距离的最大值为________．
【答案】 3 【考点】点到直线的距离公式【解析】【解答】解：∵直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0的斜率乘积=k× =﹣1，（k=0时，两条直线也相互垂直），并且两条直线分别经过定点：M（0，2），N（2，0）． ∴两条直线的交点在以MN为直径的圆上．并且kMN=﹣1，可得MN与直线x﹣y﹣4=0垂直．∴点M到直线x﹣y﹣4=0的距离d= =3 为最大值．故答案为：3 ．【分析】直线l1：kx﹣y+2=0与直线l2：x+ky﹣2=0的斜率乘积=k× =﹣1，（k=0时，两条直线也相互垂直），并且两条直线分别经过定点：M（0，2），N（2，0）．可得点M到直线x﹣y﹣4=0的距离d为最大值．www.21-cn-jy.com
29、直线l经过点M0（1，5），倾斜角为 ，且交直线x﹣y﹣2=0于M点，则|MM0|=________．
【答案】 6 +6【考点】两点间的距离公式【解析】【解答】解：∵直线l经过点M0（1，5），倾斜角为 ， ∴直线参数方程为 ，代入x﹣y﹣2=0，得1+ ﹣5﹣ ﹣2=0，∴t=﹣ =﹣（6 +6）∴|MM0|=|t|=6 +6．故答案为：6 +6．【分析】由已知得直线参数方程，代入x﹣y﹣2=0，得1+ ﹣5﹣ ﹣2=0，由此能求出|MM0|．
30、（2017河北邯郸大名一中）直线l1： x﹣y+1=0，l2：x+5=0，则直线l1与l2的相交所成的锐角为________．
【答案】 30°【考点】两直线的夹角与到角问题【解析】【解答】解：∵直线l1： x﹣y+1=0的斜率为 ，倾斜角为60°， 而l2：x+5=0的斜率不存在，故它的倾斜角为90°，直线l1与l2的相交所成的锐角为30°，故答案为：30°．【分析】求出每条直线的直线的倾斜角和斜率，可得两条直线的夹角．
31、（2017山东淄博淄川中学）已知两点A（0，1），B（4，3），则线段AB的垂直平分线方程是________．
【答案】2x+y﹣6=0 【考点】两条直线垂直的判定，直线的一般式方程 【解析】【解答】解：两点A（0，1），B（4，3），中点坐标为：（2，2）， 直线AB的斜率为： = ，AB垂线的斜率为：﹣2，线段AB的垂直平分线方程是：y﹣2=﹣2（x﹣2），即：2x+y﹣6=0，故答案为2x+y﹣6=0．【分析】先求出中点的坐标，再求出垂直平分线的斜率，点斜式写出线段AB的垂直平分线的方程，再化为一般式．
32、（2017江苏淮安清江中学期中）下列直线中与直线l：3x+2y﹣5=0相交的是________（填上正确的序号）． ①y=﹣ x+5②3x+2y=0 ③ + =1④ + =1．
【答案】③ 【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系 【解析】【解答】解：直线l的斜率k=﹣ ，要使直线与l相交，则所求直线的斜率k′≠﹣ ． 又①、②、④中直线的斜率都等于﹣ ，③中直线的斜率等于﹣ ，故答案为③．【分析】直线l的斜率k=﹣ ，要使直线与l相交，则所求直线的斜率k′≠﹣ ．求出直线的斜率，即可得出结论．
33、已知倾斜角为α的直线l与直线x+2y﹣3=0垂直，则cos（ ﹣2α）的值为________．
【答案】﹣ 【考点】运用诱导公式化简求值，两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系 【解析】【解答】解：倾斜角为α的直线l与直线x+2y﹣3=0垂直，可得tanα=2， cos（ ﹣2α）=﹣sin2α=﹣ =﹣ =﹣ ．故答案为：﹣ ．【分析】利用直线的倾斜角求出α的正切函数值，利用诱导公式化简所求表达式，然后求解即可．
34、（2017重庆秀山高中期中）已知直线l1：x+my+6=0，l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，
求：(1)若l1⊥l2 ， 求m的值；??
(2)若l1∥l2 ， 求m的值．
【答案】 （1）解：由两直线垂直的充要条件可得：1?（m﹣2）+m?3=0，解得 ，故当l1⊥l2时，m= （2）解：由平行的条件可得： ，由 解得：m=﹣1或m=3；而当m=3时，l1与l2重合，不满足题意，舍去，故m=﹣1【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系，两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】【分析】（1）由两直线垂直的充要条件可得：1?（m﹣2）+m?3=0，解之即可；（2）由平行的条件可得： ，解后注意验证．
35、（2016安徽安庆期末）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：令x=0，得y=a﹣2．? 令y=0，得 （a≠﹣1）． ∵l在两坐标轴上的截距相等，∴ ，解之，得a=2或a=0．∴所求的直线l方程为3x+y=0或x+y+2=0（2）解：直线l的方程可化为 y=﹣（a+1）x+a﹣2．∵l不过第二象限， ∴ ，∴a≤﹣1．∴a的取值范围为（﹣∞，﹣1] 【考点】确定直线位置的几何要素，直线的截距式方程，过两条直线交点的直线系方程 【解析】【分析】（1）先求出直线l在两坐标轴上的截距，再利用 l在两坐标轴上的截距相等 建立方程，解方程求出a的值，从而得到所求的直线l方程．（2）把直线l的方程可化为 y=﹣（a+1）x+a﹣2，由题意得 ，解不等式组求得a的范围．
36、（2017湖北黄冈期末）已知A（4，﹣3），B（2，﹣1）和直线l：4x+3y﹣2=0．
(1)求在直角坐标平面内满足|PA|=|PB|的点P的方程；
(2)求在直角坐标平面内一点P满足|PA|=|PB|且点P到直线l的距离为2的坐标．
【答案】（1）解：∵A（4，﹣3），B（2，﹣1）， ∴线段AB的中点M的坐标为（3，﹣2），又kAB=﹣1，∴线段AB的垂直平分线方程为y+2=x﹣3，即点P的方程x﹣y﹣5=0．（2）解：设点P的坐标为（a，b）， ∵点P（a，b）在上述直线上，∴a﹣b﹣5=0．①又点P（a，b）到直线l：4x+3y﹣2=0的距离为2，∴ =2，即4a+3b﹣2=±10，②联立①②可得 或 ∴所求点P的坐标为（1，﹣4）或 ． 【考点】点到直线的距离公式 【解析】【分析】（1）A（4，﹣3），B（2，﹣1），可得线段AB的中点M的坐标为（3，﹣2），又kAB=﹣1，即可得出线段AB的垂直平分线方程．（2）设点P的坐标为（a，b），由于点P（a，b）在上述直线上，可得a﹣b﹣5=0．又点P（a，b）到直线l：4x+3y﹣2=0的距离为2，可得 =2，联立解出即可得出． 21·cn·jy·com
37、（2017江西赣州期末）已知直线l的方程为（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4=0，其中m∈R．
(1)求证：直线l恒过定点；
(2)当m变化时，求点P（3，1）到直线l的距离的最大值；
(3)若直线l分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．
【答案】（1）证明：直线l的方程为（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4=0，其中m∈R． 化为：m（﹣x+2y+3）+（2x+y+4）=0，令 ，解得 ，则直线l经过定点Q（﹣1，﹣2）（2）解：当m变化时，PQ⊥直线l时， 点P（3，1）到直线l的距离的最大= =5（3）解：由于直线l经过定点Q（﹣1，﹣2）．直线l的斜率k存在且k≠0， 因此可设直线l的方程为y+2=k（x+1），可得与x轴、y轴的负半轴交于A（ ，0），B（0，k﹣2）两点，＜0，k﹣2＜0，解得k＜0．∴∴S△OAB= × ×（2﹣k）= ≥2+ =4，当且仅当k=﹣2时取等号．此时直线l的方程为：y+2=﹣2（x+1），化为：2x+y+4=0 【考点】过两条直线交点的直线系方程 【解析】【分析】（1）直线l的方程为（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4=0，其中m∈R．化为：m（﹣x+2y+3）+（2x+y+4）=0，令 ，解出即可得出直线l经过定点．（2）当m变化时，PQ⊥直线l时，点P（3，1）到直线l的距离的最大．（3）由于直线l经过定点Q（﹣1，﹣2）．直线l的斜率k存在且k≠0，因此可设直线l的方程为y+2=k（x+1），可得与x轴、y轴的负半轴交于A（ ，0），B（0，k﹣2）两点， ＜0，k﹣2＜0，解得k＜0．可得S△OAB= × ×（2﹣k）= ，利用基本不等式的性质即可得出．