2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
8.7 抛物线
考纲剖析
1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．
2．理解数形结合的思想．
3．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.
知识回顾
1．抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离 的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的 ．2-1-c-n-j-y
(2)其数学表达式：|MF|＝ ．
2．抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准方程
续表
性质
顶点
对称轴
焦点
离心率
准线方程
范围
开口方向
精讲方法
一、抛物线
（一）抛物线的定义及应用
1．抛物线的离心率=1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线之间的距离，这样就可以使问题简单化。【来源：21·世纪·教育·网】
2．焦半径它们在解题中有重要作用，注意灵活运用。
（二）抛物线的标准方程与几何性质
1．求抛物线的标准方程常采用待定系数法。利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p的值；
2．对于直线和抛物线有两个交点问题，“点差法”是常用法。如若是抛物线上两点，则直线AB的斜率与可得如下等式。
注：抛物线的标准方程有四种类型，所以判断类型是关键，在方程类型已确定的前提下，由于标准方程中只有一个参数p，只需一个条件就可以确定一个抛物线的方程。
(三)直线与抛物线的位置关系
1.直线与抛物线的位置关系
设抛线方程为,直线Ax+By+C=0,将直线方程与抛物线方程联立,消去x得到关于y的方程my2+ny+q=0,2·1·c·n·j·y
(1)若m≠0,当⊿＞0时,直线与抛物线有两个公共点;
当⊿=0时,直线与抛物线只有一个公共点;
当⊿＜0时,直线与抛物线没有公共点.
(2)若m=0,直线与抛物线只有一个公共点,此时直线与抛物线的对称轴平行.
2.焦点弦问题
已知AB是过抛物线的焦点的弦,F为抛物线的焦点,A(x1,y1),B(x2,y2),则
(1) y1·y2=-p2,·=;
（2）
（3）；
（4）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。
二、小结
1．认真区分四种形式的标准方程
(1)区分y＝ax2(a≠0)与y2＝2px(p＞0)，前者不是抛物线的标准方程．
(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．21*cnjy*com
2．抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．
抛物线上的点到焦点的距离根据定义转化为到准线的距离，即|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋，它们在解题中有重要的作用，注意运用．21世纪教育网版权所有
例题精讲
考点一 抛物线的定义及其应用
【例题1】（2016海南师大附中临考模拟）过点F（0，3），且和直线y+3=0相切的动圆圆心轨迹方程是（?? ）
A、y2=12x B、y2=﹣12x C、x2=﹣12y D、x2=12y
【答案】D 【考点】抛物线的定义 【解析】【解答】解：由已知条件：过点F（0，3），且和直线y+3=0相切的动圆圆心轨迹是以点F（0，3）为焦点，直线y=﹣3为准线的抛物线，故其方程为x2=12y． 故选D． 【分析】由已知条件可知：动圆圆心符合抛物线的定义，进而可求出．
【变式训练1】如果点在以点F为焦点的抛物线上，则（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
考点二 抛物线的标准方程与几何性质
【例题2】设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（ ）
A、y2=4x或y2=8x B、y2=2x或y2=8x C、y2=4x或y2=16x D、y2=2x或y2=16x
【答案】C 【考点】抛物线的标准方程 【解析】【解答】解：∵抛物线C方程为y2=2px（p＞0）， ∴焦点F坐标为（， 0），可得|OF|=， ∵以MF为直径的圆过点（0，2）， ∴设A（0，2），可得AF⊥AM， Rt△AOF中，|AF|= ∴sin∠OAF= ∵根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点， ∴∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF= ∵|MF|=5，|AF|= ∴， 解之可得p=2或p=8 因此，抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x． 故选：C． 【分析】根据抛物线方程算出|OF|=， 设以MF为直径的圆过点A（0，2），在Rt△AOF中利用勾股定理算出|AF|=． 再由直线AO与以MF为直径的圆相切得到∠OAF=∠AMF，Rt△AMF中利用∠AMF的正弦建立关系式，从而得到关于p的方程，解之得到实数p的值，进而得到抛物线C的方程．
【变式训练2】设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a＞0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为________
考点三 直线与抛物线的位置关系
【例题3】（2017宁夏石嘴山三中四模）设抛物线y2=4x的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于两点A，B，若点M满足 = （ + ），过M作y轴的垂线与抛物线交于点P，若|PF|=2，则M点的横坐标为________．
【答案】3 【考点】抛物线的简单性质 【解析】【解答】解：由题意可知：抛物线y2=4x的焦点为F，准线为x=﹣1，M是AB的中点， 设A（x1 ， y2），B（x2 ， y2），直线AB的方程为y=k（x﹣1）， 将直线方程代入抛物线方程消去y得：k2x2﹣（2k2+4）+k2=0， 由根与系数的关系：x1+x2=2+ ，x1?x2=1， 又设P（x0 ， y0），y0= （y1+y2）= [k（x1﹣1）+k（x2﹣1）]= ， ∴x0= ， ∴P（ ， ）， |PF|=x0+1= +1=2， ∴k2=1， ∴M点的横坐标为3， 故答案为：3． 【分析】根据已知条件M是AB中点，设出A和B的坐标及直线方程，并将直线方程代入椭圆方程得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，表示出x1+x2和x1?x2 ， 并求出P点坐标，根据|PF|=2，求得k的值，即可求得M点的横坐标．
【变式训练3】抛物线的焦点为F，已知点A,B为抛物线上的两个动点，且满足.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（??） 21教育名师原创作品
A、 B、 C、1 D、
真题精析
一、选择题
1、(2015·新课标1卷）已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为 ， E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A,B是C的准线与E的两个交点，则|AB|= ( )
A、3 B、6 C、9 D、12
2、（2017?新课标Ⅱ）过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为 的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（??? ）
A、 B、2 C、2 D、3
3、（2014?新课标II）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（?? ） 21教育网
A、 B、 C、 D、
4、（2014?四川）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧， ? =2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（ ??）
A、2 B、3 C、 D、
5、（2014?辽宁）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（ ）
【来源：21cnj*y.co*m】
A、 B、 C、 D、
6、（2014?新课标I）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若 =4 ，则|QF|=（?? ） www.21-cn-jy.com
A、 B、3 C、 D、2
7、（2013?新课标Ⅱ）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（?? ） 【出处：21教育名师】
A、y2=4x或y2=8x B、y2=2x或y2=8x C、y2=4x或y2=16x D、y2=2x或y2=16x
8、（2016?全国）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y= （k＞0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（ ）
A、 B、1 C、 D、2
9、（2016?全国）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的标准线于D、E两点.已知|AB|= ，|DE|= ， 则C的焦点到准线的距离为（ ）
A、2 B、4 C、6 D、8
选择题
10、（2017?新课标Ⅱ）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|=________．
11、（2017?天津）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方 程为________．
12、（2016?浙江）若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．
13、（2014?湖南）如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a，b（a＜b），原点O为AD的中点，抛物线y2=2px（p＞0）经过C，F两点，则 =________．
14、（2013?江西）抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线 =1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=________．
15、（2017?山东）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 =1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
解答题
16、（2014?山东）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．(1)求C的方程；(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E， （ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标； （ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
17、（2013?辽宁）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），点M（x0 ， y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1﹣ 时，切线MA的斜率为﹣ ． (1)求P的值；(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．
18、（2016?全国）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1 ， l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
19、（2016?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x-y-2=0，抛物线C：y2=2px(p＞0).
(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q. ①求证：线段PQ的中点坐标为（2-p ， -p）； ②求p的取值范围.
20、（2016?浙江）如图，设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|﹣1，
(1)求p的值；
(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．
21、（2016?全国）在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．
(1)求 ；
(2)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．
四、解答题
22、（2017?新课标Ⅲ）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆． （Ⅰ）证明：坐标原点O在圆M上； （Ⅱ）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程． 21·世纪*教育网
23、（2017?新课标Ⅰ卷）设A，B为曲线C：y= 上两点，A与B的横坐标之和为4．（12分）
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
24、（2017?北京卷）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0， ）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（14分）
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点．
25、（2017?浙江）如图，已知抛物线x2=y，点A（﹣ ， ），B（ ， ），抛物线上的点P（x，y）（﹣ ＜x＜ ），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q． （Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围； （Ⅱ）求|PA|?|PQ|的最大值． 【版权所有：21教育】
模拟题精练
一、单选题
1、已知点P在抛物线上，且点P到x轴的距离与点P到此抛物线的焦点的距离之比为， 则点P到x轴的距离是???（????）
A、 B、 C、1 D、2
2、抛物线的焦点为,点为该抛物线上的动点,又点,则的最小值是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则实数t等于( )
A、1 B、2 C、3 D、4
4、（2017湖南怀化一模）已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点，且过点M（x0 ， 3），点M到焦点的距离为4，则OM（O为坐标原点）等于（?? ）
A、2 B、 C、 D、21
5、（2017山东日照二模）抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线C上一点，且P在第一象限，PM⊥l于点M，线段MF与抛物线C交于点N，若PF的斜率为 ，则 =（?? ）
A、 B、 C、 D、
6、（2017山东潍坊诸城模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=﹣2px（p＞0）的焦点F与双曲线x2﹣8y2=8的左焦点重合，点A在抛物线上，且|AF|=6，若P是抛物线准线上一动点，则|PO|+|PA|的最小值为（?? ） www-2-1-cnjy-com
A、3 B、4 C、3 D、3
7、（2017山西太原三模）已知点P在抛物线y2=x上，点Q在圆（x+ ）2+（y﹣4）2=1上，则|PQ|的最小值为（?? ）
A、 B、 C、 D、
二、填空题
8、（2017四川绵阳二诊）已知抛物线C：y2=4x，焦点为F，过点P（﹣1，0）作斜率为k（k＞0）的直线l与抛物线C交于A，B两点，直线AF，BF分别交抛物线C于M，N两点，若 + =18，则k=________．21*cnjy*com
9、（2017江苏南通第二次调研测）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 上一点 到焦点的距离为3，则点 的横坐标是________．
10、（2016吉林松原油田）已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足 =3 ，则弦AB的中点到准线的距离为________．
11、（2017内蒙古鄂尔多斯模拟）过抛物线C：y2=8x的焦点F作直线与C交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，则| |=________． 21cnjy.com
12、（2017宁夏银川九中五模）如图，抛物线y2=4x的一条弦AB经过焦点F，取线段OB的中点D，延长OA至点C，使|OA|=|AC|，过点C，D作y轴的垂线，垂足分别为E，G，则|EG|的最小值为________．
三、综合题
13、（2017湖北黄冈模拟）已知抛物线G：x2=2py（p＞0），直线y=k（x﹣1）+2与抛物线G相交A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）（x1＜x2），过A，B点分别作抛物线G的切线L1 ， L2 ， 两切线L1 ， L2相交H（x，y），(1)若k=1，有 L1⊥L2 ， 求抛物线G的方程；(2)若p=2，△ABH的面积为S1 ， 直线AB与抛物线G围成封闭图形的面积为S2 ， 证明： 为定值．
14、（2017山东k12教育联盟模拟）已知动圆过定点F（0，1），且与定直线l：y=﹣1相切．
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)若点A（x0 ， y0）是直线x﹣y﹣4=0上的动点，过点A作曲线C的切线，切点记为M，N． ①求证：直线MN恒过定点； ②△AMN的面积S的最小值． 21·cn·jy·com
15、（2017吉林白山二模）已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为x=﹣1，直线l与抛物线相交于不同的A，B两点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)如果直线l过抛物线的焦点，求 的值；
(3)如果 ，直线l是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．
16、（2017河南南阳六市一模）如图，抛物线C：y2=2px的焦点为F，抛物线上一定点Q（1，2）．
(1)求抛物线C的方程及准线l的方程；
(2)过焦点F的直线（不经过Q点）与抛物线交于A，B两点，与准线l交于点M，记QA，QB，QM的斜率分别为k1 ， k2 ， k3 ， 问是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3成立？若存在λ，求出λ的值；若不存在，说明理由．
17、（2017福建宁德三模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上的点M（x0 ， y0）到点N（2，0）距离的最小值为 ．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若x0＞2，圆E（x﹣1）2+y2=1，过M作圆E的两条切线分别交y轴A（0，a），B（0，b）两点，求△MAB面积的最小值．
18、（2017安徽六安舒城中学仿真）如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1：x2=2py（p＞0）的焦点，且抛物线C1上点M处的切线与圆C2：x2+y2=1相切于点Q． （Ⅰ）当直线MQ的方程为 时，求抛物线C1的方程； （Ⅱ）当正数p变化时，记S1 ， S2分别为△FMQ，△FOQ的面积，求 的最小值．
19、（2017黑龙江大庆实验中学考前模拟）已知抛物线E：y2=4x，设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且 ? = （其中O为坐标原点） （Ⅰ）求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标； （Ⅱ）过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值．
2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）：
8.7 抛物线（答案）
知识回顾
1．抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．21世纪教育网版权所有
(2)其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．
2．抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准方程
y2＝2px (p>0)
y2＝－2p
x(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
续表
性质
顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
例题精讲
考点一 抛物线的定义及其应用
【变式训练1】如果点在以点F为焦点的抛物线上，则（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
【答案】 C 【考点】抛物线的定义，抛物线的简单性质 【解析】【解答】根据抛物线的定义点P到点F的距离等于点P到其准线的距离 ， 故C正确.www.21-cn-jy.com
考点二 抛物线的标准方程与几何性质
【变式训练2】设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a＞0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为________
【答案】 y2=8x 【考点】抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【解答】解：焦点坐标（ ， 0），|0F|= ， 直线的点斜式方程 y=2（x﹣） 在y轴的截距是﹣ S△OAF=××=4 ∴a2=64，∵a＞0∴a=8，∴y2=8x 故答案为：y2=8x 【分析】先表示出抛物线的焦点坐标，进而可求出|0F|的值且能够得到直线l的方程，进而得到其在y轴的截距，然后表示出△OAF的面积可得到a的值，最后得到答案．
考点三 直线与抛物线的位置关系
【变式训练3】抛物线的焦点为F，已知点A,B为抛物线上的两个动点，且满足.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（??） 2·1·c·n·j·y
A、 B、 C、1 D、
【答案】A 【考点】基本不等式，抛物线的简单性质 【解析】【解答】设， 则
真题精析
一、选择题
1、(2015·新课标1卷）已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为 ， E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A,B是C的准线与E的两个交点，则|AB|= ( )
A、3 B、6 C、9 D、12
【答案】 B 【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，抛物线的简单性质 【解析】【解答】 ∵抛物线C：y2=8x的焦点为（2,0），准线方程为x=-2,∴椭圆E的右焦点为（2,0），∴椭圆E的焦点在x轴上，射方程为+=1(a>b>0), c=2,∵e==,∴a=4, ∴b2=a2-c2=12, ∴椭圆E方程为+=1, 将x=-2代入椭圆E的方程解得A（-2,3），B（-2，-3）， ∴|AB|= 6，故选B。 【分析】本题是抛物线与椭圆结合的基础题目，解此类间题的关键是要熟悉抛物线的定义、标准方程与性质、椭圆的定义、标准方程与性质，先由已知曲线与待确定曲线的关系结合已知曲线方程求出待确定曲线中的量，写出待确定曲线的方程或求出其相关性质.
2、（2017?新课标Ⅱ）过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为 的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（??? ）
A、 B、2 C、2 D、3
【答案】C 【考点】直线的点斜式方程，点到直线的距离公式，抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系 【解析】【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），且斜率为 的直线：y= （x﹣1）， 过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为 的直线交C于点M（M在x轴上方），l 可知： ，解得M（3，2 ）． 可得N（﹣1，2 ），NF的方程为：y=﹣ （x﹣1），即 ， 则M到直线NF的距离为： =2 ． 故选：C． 【分析】利用已知条件求出M的坐标，求出N的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．
3、（2014?新课标II）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（?? ） 21cnjy.com
A、 B、 C、 D、
【答案】D 【考点】抛物线的简单性质 【解析】【解答】解：由y2=2px，得2p=3，p= ， 则F（ ，0）． ∴过A，B的直线方程为y= （x﹣ ）， 即x= y+ ． 联立 ，得4y2﹣12 y﹣9=0． 设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， 则y1+y2=3 ，y1y2=﹣ ． ∴S△OAB=S△OAF+S△OFB= × |y1﹣y2|= = × = ． 故选：D． 【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．
4、（2014?四川）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧， ? =2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（ ??）
A、2 B、3 C、 D、
【答案】B 【考点】直线与圆锥曲线的关系 【解析】【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， 直线AB与x轴的交点为M（m，0）， 由 ?y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1?y2=﹣m， ∵ ? =2，∴x1?x2+y1?y2=2， 结合 及 ，得 ， ∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1?y2=﹣2，故m=2． 不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又 ， ∴S△ABO+S△AFO= = ×2×（y1﹣y2）+ × y1 ， = ． 当且仅当 ，即 时，取“=”号， ∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B． 【分析】可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及 ? =2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．
5、（2014?辽宁）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（ ）
【来源：21cnj*y.co*m】
A、 B、 C、 D、
【答案】 D 【考点】直线与圆锥曲线的关系 【解析】【解答】解：∵点A（﹣2，3）在抛物线C：y2=2px的准线上， 即准线方程为：x=﹣2， ∴p＞0， =﹣2即p=4， ∴抛物线C：y2=8x，在第一象限的方程为y=2 ， 设切点B（m，n），则n=2 ， 又导数y′=2 ，则在切点处的斜率为 ， ∴ 即 m =2 m ， 解得 =2 （ 舍去）， ∴切点B（8，8），又F（2，0）， ∴直线BF的斜率为 ， 故选D． 【分析】由题意先求出准线方程x=﹣2，再求出p，从而得到抛物线方程，写出第一象限的抛物线方程，设出切点，并求导，得到切线AB的斜率，再由两点的斜率公式得到方程，解出方程求出切点，再由两点的斜率公式求出BF的斜率．21*cnjy*com
6、（2014?新课标I）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若 =4 ，则|QF|=（?? ）
A、 B、3 C、 D、2
【答案】B 【考点】抛物线的简单性质 【解析】【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d， ∵ =4 ， ∴|PQ|=3d， ∴不妨设直线PF的斜率为﹣ =﹣2 ， ∵F（2，0）， ∴直线PF的方程为y=﹣2 （x﹣2）， 与y2=8x联立可得x=1， ∴|QF|=d=1+2=3， 故选：B． 【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．
7、（2013?新课标Ⅱ）设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（?? ）
A、y2=4x或y2=8x B、y2=2x或y2=8x C、y2=4x或y2=16x D、y2=2x或y2=16x
【答案】C 【考点】抛物线的标准方程 【解析】【解答】解：∵抛物线C方程为y2=2px（p＞0）， ∴焦点F坐标为（ ，0），可得|OF|= ， ∵以MF为直径的圆过点（0，2）， ∴设A（0，2），可得AF⊥AM， Rt△AOF中，|AF|= = ， ∴sin∠OAF= = ， ∵根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点， ∴∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF= = ， ∵|MF|=5，|AF|= ∴ = ，整理得4+ = ，解之可得p=2或p=8 因此，抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x． 故选：C． 方法二： ∵抛物线C方程为y2=2px（p＞0），∴焦点F（ ，0）， 设M（x，y），由抛物线性质|MF|=x+ =5，可得x=5﹣ ， 因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为 = ， 由已知圆半径也为 ，据此可知该圆与y轴相切于点（0，2），故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4， 即M（5﹣ ，4），代入抛物线方程得p2﹣10p+16=0，所以p=2或p=8． 所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x． 故答案C． 【分析】根据抛物线方程算出|OF|= ，设以MF为直径的圆过点A（0，2），在Rt△AOF中利用勾股定理算出|AF|= ．再由直线AO与以MF为直径的圆相切得到∠OAF=∠AMF，Rt△AMF中利用∠AMF的正弦建立关系式，从而得到关于p的方程，解之得到实数p的值，进而得到抛物线C的方程．
8、（2016?全国）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y= （k＞0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（ ）
A、 B、1 C、 D、2
【答案】D 【考点】抛物线的简单性质 【解析】【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F为（1，0），曲线y= （k＞0）与C交于点P在第一象限， 由PF⊥x轴得：P点横坐标为1， 代入C得：P点纵坐标为2， 故k=2， 故选：D 【分析】根据已知，结合抛物线的性质，求出P点坐标，再由反比例函数的性质，可得k值．；本题考查的知识点是抛物线的简单性质，反比例函数的性质，难度中档．
9、（2016?全国）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的标准线于D、E两点.已知|AB|= ，|DE|= ， 则C的焦点到准线的距离为（ ）
A、2 B、4 C、6 D、8
【答案】B 【考点】抛物线的简单性质，圆与圆锥曲线的综合 【解析】【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4 ，|AM|=2 ， |DE|=2 ，|DN|= ，|ON|= ，xA= = ， |OD|=|OA|， = +5， 解得：p=4． C的焦点到准线的距离为：4． 故选：B． 【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可.本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力．转化思想的应用．
选择题
10、（2017?新课标Ⅱ）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|=________． 【出处：21教育名师】
【答案】6 【考点】抛物线的简单性质 【解析】【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点， 可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为： ， |FN|=2|FM|=2 =6． 故答案为：6． 【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M坐标，然后求解即可．
11、（2017?天津）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方 程为________．
【答案】（x+1）2+ =1 【考点】圆的标准方程，抛物线的简单性质 【解析】【解答】解：设抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线l：x=﹣1，∵点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切与点A， ∵∠FAC=120°，∴∠FAO=30°，∴OA= = =1，∴OA= ，∴A（0， ），如图所示： ∴C（﹣1， ），圆的半径为CA=1，故要求的圆的标准方程为 ， 故答案为：（x+1）2+ =1． 【分析】根据题意可得F（﹣1，0），∠FAO=30°，OA= =1，由此求得OA的值，可得圆心C的坐标以及圆的半径，从而求得圆C方程．
12、（2016?浙江）若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．
【答案】9 【考点】抛物线的简单性质 【解析】【解答】解：抛物线的准线为x=﹣1， ∵点M到焦点的距离为10， ∴点M到准线x=﹣1的距离为10， ∴点M到y轴的距离为9． 故答案为：9． 【分析】根据抛物线的性质得出M到准线x=﹣1的距离为10，故到y轴的距离为9．本题考查了抛物线的性质，属于基础题．
13、（2014?湖南）如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a，b（a＜b），原点O为AD的中点，抛物线y2=2px（p＞0）经过C，F两点，则 =________．
【答案】 【考点】直线与圆锥曲线的关系 【解析】【解答】解：由题意可得 ， ， 将C，F两点的坐标分别代入抛物线方程y2=2px中，得 ∵a＞0，b＞0，p＞0，两式相比消去p得 ，化简整理得a2+2ab﹣b2=0， 此式可看作是关于a的一元二次方程，由求根公式得 ， 取 ， 从而 ， 故答案为： ． 【分析】可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出C，F两点的坐标，再将坐标代入抛物线方程中，消去参数p后，得到a，b的关系式，再寻求 的值．
14、（2013?江西）抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线 =1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=________． 【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】6 【考点】抛物线的简单性质，双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：抛物线的焦点坐标为（0， ），准线方程为：y=﹣ ， 准线方程与双曲线联立可得： ， 解得x=± ， 因为△ABF为等边三角形，所以 ，即p2=3x2 ， 即 ，解得p=6． 故答案为：6． 【分析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出p即可．
15、（2017?山东）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 =1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
【答案】y=± x 【考点】抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，双曲线的标准方程，双曲线的简单性质，圆锥曲线的综合 【解析】【解答】解：把x2=2py（p＞0）代入双曲线 =1（a＞0，b＞0）， 可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0， ∴yA+yB= ， ∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴yA+yB+2× =4× ， ∴ =p， ∴ = ． ∴该双曲线的渐近线方程为：y=± x． 故答案为：y=± x． 【分析】把x2=2py（p＞0）代入双曲线 =1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出．
解答题
16、（2014?山东）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．(1)求C的方程；(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E， （ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标； （ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】 （1）解：当点A的横坐标为3时，过点A作AG⊥x轴于G， A（3， ），F（ ，0）， ， ∴ ． ∵△ADF为正三角形， ∴ ． ?又∵ ， ∴ ， ∴p=2． ∴C的方程为y2=4x． 当D在焦点F的左侧时， ． 又|FD|=2|FG|=2（ ﹣3）=p﹣6， ∵△ADF为正三角形， ∴3+ =p﹣6，解得p=18， ∴C的方程为y2=36x．此时点D在x轴负半轴，不成立，舍． ∴C的方程为y2=4x． （2）解：（ⅰ）设A（x1 ， y1），|FD|=|AF|=x1+1， ∴D（x1+2，0）， ∴kAD=﹣ ． 由直线l1∥l可设直线l1方程为 ， 联立方程 ，消去x得 ???? ① 由l1和C有且只有一个公共点得△=64+32y1m=0，∴y1m=﹣2， 这时方程①的解为 ，代入 得x=m2 ， ∴E（m2 ， 2m）． 点A的坐标可化为 ，直线AE方程为y﹣2m= （x﹣m2）， 即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴直线AE过定点（1，0）； （ⅱ）直线AB的方程为 ，即 ． 联立方程 ，消去x得 ， ∴ ， ∴ = ， 由（ⅰ）点E的坐标为 ，点E到直线AB的距离为： = ， ∴△ABE的面积 = ， 当且仅当y1=±2时等号成立， ∴△ABE的面积最小值为16． 【考点】抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式，结合等边三角形的性质，求出的p值；（2）（ⅰ）设出点A的坐标，求出直线AB的方程，利用直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，求出点E的坐标，写出直线AE的方程，将方程化为点斜式，可求出定点；（ⅱ） 利用弦长公式求出弦AB的长度，再求点E到直线AB的距离，得到关于面积的函数关系式，再利用基本不等式求最小值．
17、（2013?辽宁）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），点M（x0 ， y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1﹣ 时，切线MA的斜率为﹣ ． (1)求P的值；(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．
【答案】 （1）解：因为抛物线C1：x2=4y上任意一点（x，y）的切线斜率为y′= ，且切线MA的斜率为﹣ ， 所以设A点坐标为（x，y），得 ，解得x=﹣1，y= = ，点A的坐标为（﹣1， ）， 故切线MA的方程为y=﹣ （x+1）+ 因为点M（1﹣ ，y0）在切线MA及抛物线C2上，于是 y0=﹣ （2﹣ ）+ =﹣ ???? ① ∴y0=﹣ =﹣ ????????? ② 解得p=2 （2）解：设N（x，y），A（x1 ， ），B（x2 ， ），x1≠x2 ， 由N为线段AB中点知x= ? ③，y= = ??? ④ 切线MA，MB的方程为y= （x﹣x1）+ ，⑤；y= （x﹣x2）+ ⑥， 由⑤⑥得MA，MB的交点M（x0 ， y0）的坐标满足x0= ，y0= 因为点M（x0 ， y0）在C2上，即x02=﹣4y0 ， 所以x1x2=﹣ ⑦ 由③④⑦得x2= y，x≠0 当x1=x2时，A，B丙点重合于原点O，A，B中点N为O，坐标满足x2= y 因此中点N的轨迹方程为x2= y 【考点】抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系 【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义，先表示出切线方程，再由M在抛物线上及在直线上两个前提下，得到相应的方程，解出p值．（2）由题意，可先设出A，B两个端点的坐标及中点的坐标，再由中点坐标公式建立方程，直接求解出中点N的轨迹方程
18、（2016?全国）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1 ， l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
【答案】（1）证明：连接RF，PF， 由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=180°， ∴∠PFQ=90°， ∵R是PQ的中点， ∴RF=RP=RQ， ∴△PAR≌△FAR， ∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA， ∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR， ∴∠FQB=∠PAR， ∴∠PRA=∠PRF， ∴AR∥FQ （2）A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， ?F（ ，0），准线为 x=﹣ ， ?S△PQF= |PQ|= |y1﹣y2|， 设直线AB与x轴交点为N， ∴S△ABF= |FN||y1﹣y2|， ∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍， ∴2|FN|=1，∴xN=1，即N（1，0）． 设AB中点为M（x，y），由 得 ?=2（x1﹣x2）， 又 = ， ∴ = ，即y2=x﹣1． ∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1． 【考点】轨迹方程，抛物线的简单性质 【解析】【分析】（1）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PRF，即可证明AR∥FQ；（2）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．
19、（2016?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x-y-2=0，抛物线C：y2=2px(p＞0).
(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q. ①求证：线段PQ的中点坐标为（2-p ， -p）； ②求p的取值范围.
【答案】（1）解： ， 与 轴的交点坐标为 即抛物线的焦点为 ， （2）解：① 设点 ， 则： ，即 ， 又 关于直线 对称， 即 ， 又 中点一定在直线 上 线段 上的中点坐标为 ； ② 中点坐标为 即 ，即关于 有两个不等根 ， ， 【考点】抛物线的标准方程，抛物线的简单性质 【解析】【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程．（2）：①设点P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），通过抛物线方程，求解kPQ ， 通过P，Q关于直线l对称，点的kPQ=﹣1，推出 ，PQ的中点在直线l上，推出 =2﹣p，即可证明线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②利用线段PQ中点坐标（2﹣p，﹣p）．推出 ，得到关于y2+2py+4p2﹣4p=0，有两个不相等的实数根，列出不等式即可求出p的范围．
20、（2016?浙江）如图，设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|﹣1，
(1)求p的值；
(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．
【答案】（1）解：由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于A到直线x=﹣1的距离， 由抛物线定义得， ，即p=2 （2）解：由（1）得，抛物线方程为y2=4x，F（1，0），可设（t2 ， 2t），t≠0，t≠±1， ∵AF不垂直y轴， ∴设直线AF：x=sy+1（s≠0）， 联立 ，得y2﹣4sy﹣4=0． y1y2=﹣4， ∴B ， 又直线AB的斜率为 ，故直线FN的斜率为 ， 从而得FN： ，直线BN：y=﹣ ， 则N（ ）， 设M（m，0），由A、M、N三点共线，得 ， 于是m= = ，得m＜0或m＞2． 经检验，m＜0或m＞2满足题意． ∴点M的横坐标的取值范围为（﹣∞，0）∪（2，+∞）． 【考点】抛物线的简单性质 【解析】【分析】（1）利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程，进一步求得p值； （2）设出直线AF的方程，与抛物线联立，求出B的坐标，求出直线AB，FN的斜率，从而求出直线BN的方程，根据A、M、N三点共线，可求出M的横坐标的表达式，从而求出m的取值范围． 本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查数学转化思想方法，属中档题．
21、（2016?全国）在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．
(1)求 ；
(2)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．
【答案】（1）解：将直线l与抛物线方程联立，解得P（ ，t）， ∵M关于点P的对称点为N， ∴ = ， =t， ∴N（ ，t）， ∴ON的方程为y= x， 与抛物线方程联立，解得H（ ，2t） ∴ = =2； （2）解：由（1）知kMH= ， ∴直线MH的方程为y= x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2﹣4ty+4t2=0， ∴△=16t2﹣4×4t2=0， ∴直线MH与C除点H外没有其它公共点． 【考点】抛物线的简单性质 【解析】【分析】（Ⅰ）求出P，N，H的坐标，利用 = ，求 ；（2）直线MH的方程为y= x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2﹣4ty+4t2=0，利用判别式可得结论．；本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，正确联立方程是关键．
四、解答题
22、（2017?新课标Ⅲ）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆． （Ⅰ）证明：坐标原点O在圆M上； （Ⅱ）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程． www-2-1-cnjy-com
【答案】解：方法一：证明：（Ⅰ）当直线l的斜率不存在时，则A（2，2），B（2，﹣2）， 则 =（2，2）， =（2，﹣2），则 ? =0， ∴ ⊥ ， 则坐标原点O在圆M上； 当直线l的斜率存在，设直线l的方程y=k（x﹣2），设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， ，整理得：k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0， 则x1x2=4，4x1x2=y12y22=（y1y2）2 ， 由y1y2＜0， 则y1y2=﹣4， 由 ? =x1x2+y1y2=0， 则 ⊥ ，则坐标原点O在圆M上， 综上可知：坐标原点O在圆M上； 方法二：设直线l的方程x=my+2， ，整理得：y2﹣2my﹣4=0，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， 则y1y2=﹣4， 则（y1y2）2=4x1x2 ， 则x1x2=4，则 ? =x1x2+y1y2=0， 则 ⊥ ，则坐标原点O在圆M上， ∴坐标原点O在圆M上； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：x1x2=4，x1+x2= ，y1+y2= ，y1y2=﹣4， 圆M过点P（4，﹣2），则 =（4﹣x1 ， ﹣2﹣y1）， =（4﹣x2 ， ﹣2﹣y2）， 由 ? =0，则（4﹣x1）（4﹣x2）+（﹣2﹣y1）（﹣2﹣y2）=0， 整理得：k2+k﹣2=0，解得：k=﹣2，k=1， 当k=﹣2时，直线l的方程为y=﹣2x+4， 则x1+x2= ，y1+y2=﹣1， 则M（ ，﹣ ），半径为r=丨MP丨= = ， ∴圆M的方程（x﹣ ）2+（y+ ）2= ． 当直线斜率k=1时，直线l的方程为y=x﹣2， 同理求得M（3，1），则半径为r=丨MP丨= ， ∴圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10， 综上可知：直线l的方程为y=﹣2x+4，圆M的方程（x﹣ ）2+（y+ ）2= 或直线l的方程为y=x﹣2，圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10． 【考点】直线的点斜式方程，直线的斜截式方程，圆的标准方程，点与圆的位置关系，直线与圆锥曲线的关系 【解析】【分析】（Ⅰ）方法一：分类讨论，当直线斜率不存在时，求得A和B的坐标，由 ? =0，则坐标原点O在圆M上；当直线l斜率存在，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的可得 ? =0，则坐标原点O在圆M上； 方法二：设直线l的方程x=my+2，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得 ? =0，则坐标原点O在圆M上； （Ⅱ）由题意可知： ? =0，根据向量数量积的坐标运算，即可求得k的值，求得M点坐标，则半径r=丨MP丨，即可求得圆的方程． 21*cnjy*com
23、（2017?新课标Ⅰ卷）设A，B为曲线C：y= 上两点，A与B的横坐标之和为4．（12分）
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
【答案】（1）解：设A（x1 ， ），B（x2 ， ）为曲线C：y= 上两点， 则直线AB的斜率为k= = （x1+x2）= ×4=1； （2）设直线AB的方程为y=x+t，代入曲线C：y= ， 可得x2﹣4x﹣4t=0，即有x1+x2=4，x1x2=﹣4t， 再由y= 的导数为y′= x， 设M（m， ），可得M处切线的斜率为 m， 由C在M处的切线与直线AB平行，可得 m=1， 解得m=2，即M（2，1）， 由AM⊥BM可得，kAM?kBM=﹣1， 即为 ? =﹣1， 化为x1x2+2（x1+x2）+20=0， 即为﹣4t+8+20=0， 解得t=7． 则直线AB的方程为y=x+7． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，直线的斜率，两条直线垂直的判定，抛物线的应用 【解析】【分析】（1.）设A（x1 ， ），B（x2 ， ），运用直线的斜率公式，结合条件，即可得到所求； （2.）设M（m， ），求出y= 的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得m，即有M的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得x1 ， x2的关系式，再由直线AB：y=x+t与y= 联立，运用韦达定理，即可得到t的方程，解得t的值，即可得到所求直线方程．
24、（2017?北京卷）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0， ）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（14分）
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点．
【答案】（1）解：（1）∵y2=2px过点P（1，1）， ∴1=2p， 解得p= ， ∴y2=x， ∴焦点坐标为（ ，0），准线为x=﹣ ， （2）（2）证明：设过点（0， ）的直线方程为 y=kx+ ，M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）， ∴直线OP为y=x，直线ON为：y= x， 由题意知A（x1 ， x1），B（x1 ， ）， 由 ，可得k2x2+（k﹣1）x+ =0， ∴x1+x2= ，x1x2= ∴y1+ =kx1+ + =2kx1+ =2kx1+ = ∴A为线段BM的中点． 【考点】抛物线的简单性质，抛物线的应用，直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】（1.）根据抛物线过点P（1，1）．代值求出p，即可求出抛物线C的方程，焦点坐标和准线方程； （2.）设过点（0， ）的直线方程为y=kx+ ，M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），根据韦达定理得到x1+x2= ，x1x2= ，根据中点的定义即可证明．
25、（2017?浙江）如图，已知抛物线x2=y，点A（﹣ ， ），B（ ， ），抛物线上的点P（x，y）（﹣ ＜x＜ ），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q． （Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围； （Ⅱ）求|PA|?|PQ|的最大值． 21·cn·jy·com
【答案】解：（Ⅰ）由题可知P（x，x2），﹣ ＜x＜ ， 所以kAP= =x﹣ ∈（﹣1，1）， 故直线AP斜率的取值范围是：（﹣1，1）； （Ⅱ）由（I）知P（x，x2），﹣ ＜x＜ ， 所以 =（﹣ ﹣x， ﹣x2）， 设直线AP的斜率为k，则AP：y=kx+ k+ ，BP：y=﹣ x+ + ， 联立直线AP、BP方程可知Q（ ， ）， 故 =（ ， ）， 又因为 =（﹣1﹣k，﹣k2﹣k）， 故﹣|PA|?|PQ|= ? = + =（1+k）3（k﹣1）， 所以|PA|?|PQ|=（1+k）3（1﹣k）， 令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1， 则f′（x）=（1+x）2（2﹣4x）=﹣2（1+x）2（2x﹣1）， 由于当﹣1＜x＜﹣ 时f′（x）＞0，当 ＜x＜1时f′（x）＜0， 故f（x）max=f（ ）= ，即|PA|?|PQ|的最大值为 ． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，平面向量数量积的运算，斜率的计算公式，抛物线的应用，圆锥曲线的综合 【解析】【分析】（Ⅰ）通过点P在抛物线上可设P（x，x2），利用斜率公式结合﹣ ＜x＜ 可得结论； （Ⅱ）通过（I）知P（x，x2）、﹣ ＜x＜ ，设直线AP的斜率为k，联立直线AP、BP方程可知Q点坐标，进而可用k表示出 、 ，计算可知|PA|?|PQ|=（1+k）3（1﹣k），通过令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，求导结合单调性可得结论．
模拟题精练
一、单选题
1、已知点P在抛物线上，且点P到x轴的距离与点P到此抛物线的焦点的距离之比为， 则点P到x轴的距离是???（????）
A、 B、 C、1 D、2
【答案】B 【考点】抛物线的定义，抛物线的标准方程 【解析】【解答】抛物线的准线为， 设点到的距离为， 则.选B. 【版权所有：21教育】
2、抛物线的焦点为,点为该抛物线上的动点,又点,则的最小值是（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】B 【考点】解三角形，抛物线的定义，直线与圆锥曲线的关系 【解析】【解答】依题意可得过点A作x轴的垂线AB，过点P作直线AB的垂线，垂足为B.由于PF=PB，所以所以的最小值即等价于的最小值，等价于直线AP与抛物线相切时的值.假设直线AP：， 联立可得解得.所以.所以=.故选B.
3、已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则实数t等于( )
A、1 B、2 C、3 D、4
【答案】 A 【考点】抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，双曲线的标准方程，双曲线的简单性质 【解析】【解答】将抛物线方程化为标准形式 ， 可知其焦点为 ， 这也正是双曲线的一个焦点，所以解得： ， 即 ， .故选A.
4、（2017湖南怀化一模）已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点，且过点M（x0 ， 3），点M到焦点的距离为4，则OM（O为坐标原点）等于（?? ）
A、2 B、 C、 D、21
【答案】B 【考点】抛物线的简单性质 【解析】【解答】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为x2=2py（p＞0） ∵点M（x0 ， 3）到该抛物线焦点的距离为4， ∴3+ =4， ∴p=2， ∴抛物线方程为x2=4y， ∵M（x0 ， 3），∴x02=12， ∴|OM|= = ． 故选：B． 【分析】根据点M（x0 ， 3）到该抛物线焦点的距离为4，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点M的坐标，由此可求|OM|．
5、（2017山东日照二模）抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线C上一点，且P在第一象限，PM⊥l于点M，线段MF与抛物线C交于点N，若PF的斜率为 ，则 =（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】B 【考点】抛物线的简单性质 【解析】【解答】解：过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|， 设 =λ，则 ，∴cos∠MNQ= ．∴cos∠MFO= ． ∵|PM|=|PF|，∴∠PMF=∠PFM， ∴∠PFM=∠MFO，∴cos∠PFx=﹣cos2∠MFO=1﹣2cos2∠MFO=1﹣ ． ∵tan∠PFx= ，∴cos∠PFx= ， ∴1﹣ = ，解得λ2=10．即 ． 故选：B． 【分析】过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|，|PF|=|PM|，于是∠PFM=∠PMF=∠MFO=∠MNQ，设 =λ，则cos∠MNQ= ，利用二倍角公式求出cos∠PFx，列出方程解出λ．
6、（2017山东潍坊诸城模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=﹣2px（p＞0）的焦点F与双曲线x2﹣8y2=8的左焦点重合，点A在抛物线上，且|AF|=6，若P是抛物线准线上一动点，则|PO|+|PA|的最小值为（?? ）
A、3 B、4 C、3 D、3
【答案】D 【考点】抛物线的简单性质 【解析】【解答】解：双曲线的标准方程为 ，∴双曲线的左焦点为（﹣3，0），即F（﹣3，0）． ∴抛物线的方程为y2=﹣12x，抛物线的准线方程为x=3， ∵|AF|=6，∴A到准线的距离为6，∴A点横坐标为﹣3，不妨设A在第二象限，则A（﹣3，6）． 设O关于抛物线的准线的对称点为B（6，0），连结AB，则|PO|=|PB|， ∴|PO|+|PA|的最小值为|AB|． 由勾股定理得|AB|= = =3 ． 故选：D． 【分析】求出双曲线的左焦点得出抛物线的方程，解出A点坐标，取O关于准线的对称点B，则|AB|为|PO|+|PA|的最小值．
7、（2017山西太原三模）已知点P在抛物线y2=x上，点Q在圆（x+ ）2+（y﹣4）2=1上，则|PQ|的最小值为（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】A 【考点】抛物线的简单性质 【解析】【解答】解：∵点P在抛物线y2=x上，设P（t2 ， t）， ∵圆（x+ ）2+（y﹣4）2=1的圆心C（﹣ ，4），半径r=1， ∴|PC|2=（t2+ ）2+（t﹣4）2 ， =t4+2t2﹣8t+ ， 设f（t）=t4+2t2﹣8t+ ，f′（t）=4t3+4t﹣8，f″（t）=12t2+4＞0恒成立， ∴f′（t）在R上单调递增，当f′（t）=0，解得：t=1， ∴f（t）在（﹣∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增， ∴当t=1时，取最小值，最小值为 ， ∴丨PC丨的最小值为 ， 则丨PQ丨的最小值为：丨PQ丨min=丨PC丨min﹣r= ﹣1， ∴|PQ|的最小值 ﹣1， 故选A． 【分析】设P点坐标，求得圆心与半径，根据两点之间的距离公式，求得丨PC丨，根据函数的单调性，即可求得丨PC丨的最小值，则丨PQ丨min=丨PC丨min﹣r，即可求得答案．
二、填空题
8、（2017四川绵阳二诊）已知抛物线C：y2=4x，焦点为F，过点P（﹣1，0）作斜率为k（k＞0）的直线l与抛物线C交于A，B两点，直线AF，BF分别交抛物线C于M，N两点，若 + =18，则k=________．
【答案】 【考点】抛物线的定义，抛物线的标准方程，抛物线的简单性质 【解析】【解答】解：由题意，图形关于x轴对称，A，B，P三点共线，可得 = ． 由焦半径公式|AF|=x1+1=|NF|，||BF|=x2+1=|MF|， ∴ + = + =18，∴（y1+y2）2=20y1y2 ， 由 ，可得ky2﹣4y+4k=0， ∴y1+y2= ，y1y2=4，∴ =80， ∵k＞0，∴k= ． 故答案为 ． 【分析】由题意，图形关于x轴对称，A，B，P三点共线，可得 = ．由焦半径公式|AF|=x1+1=|NF|，||BF|=x2+1=|MF|， + = + =18，（y1+y2）2=20y1y2 ， 再利用韦达定理，即可得出结论．
9、（2017江苏南通第二次调研测）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 上一点 到焦点的距离为3，则点 的横坐标是________．
【答案】2 【考点】抛物线的简单性质，抛物线的应用 【解析】【解答】解：∵抛物线 ∴p=2， 由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的 ∴ ，∴x=2, 【分析】由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，已知|PF|=3，则P到准线的距离也为3，即 ，将p的值代入，进而求出x．
10、（2016吉林松原油田）已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足 =3 ，则弦AB的中点到准线的距离为________．
【答案】 【考点】点到直线的距离公式，抛物线的定义，抛物线的简单性质 【解析】【解答】解：设BF=m，由抛物线的定义知 AA1=3m，BB1=m ∴△ABC中，AC=2m，AB=4m， 直线AB方程为 与抛物线方程联立消y得3x2﹣10x+3=0 所以AB中点到准线距离为 故答案为 【分析】设BF=m，由抛物线的定义知AA1和BB1 ， 进而可推断出AC和AB，及直线AB的斜率，则直线AB的方程可得，与抛物线方程联立消去y，进而根据韦达定理求得x1+x2的值，则根据抛物线的定义求得弦AB的中点到准线的距离．
11、（2017内蒙古鄂尔多斯模拟）过抛物线C：y2=8x的焦点F作直线与C交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，则| |=________．
【答案】2 【考点】抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，抛物线的应用 【解析】【解答】解：设直线AB的方程y=k（x﹣2），（k≠0），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， 则 ，k2x2﹣（4k2+8）+4k2=0， x1+x2= ，x1x2=4， 丨AB丨=x1+x2+p= ， 则y1+y2= ， 则AB的中点M（ ， ）， 直线AB垂直平分线方程：y﹣ =﹣ （x﹣ ）， 当y=0，解得：x= ， 丨PF丨= ﹣2= ， ∴| |= =2， ∴| |=2， 故答案为：2． 【分析】设直线l的方程，代入抛物线的方程，由韦达定理及抛物线的焦点弦公式求得丨AB丨，利用中点坐标公式，求得中点M坐标，利用点斜式方程，求得直线AB垂直平分线方程，当y=0，求得P点坐标，求得丨PF丨，即可求得| |．
12、（2017宁夏银川九中五模）如图，抛物线y2=4x的一条弦AB经过焦点F，取线段OB的中点D，延长OA至点C，使|OA|=|AC|，过点C，D作y轴的垂线，垂足分别为E，G，则|EG|的最小值为________．
【答案】4 【考点】抛物线的简单性质 【解析】【解答】解：设直线AB的方程为x=my+1，代入抛物线y2=4x，可得y2﹣4my﹣4=0， 设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣4， ∴|EG|= y2﹣2y1= y2+ ≥4，当且仅当y2=4时，取等号，即|EG|的最小值为4， 故答案为4． 【分析】设直线AB的方程为x=my+1，代入抛物线y2=4x，可得y2﹣4my﹣4=0，|EG|= y2﹣2y1= y2+ ，利用基本不等式即可得出结论． 21教育名师原创作品
三、综合题
13、（2017湖北黄冈模拟）已知抛物线G：x2=2py（p＞0），直线y=k（x﹣1）+2与抛物线G相交A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）（x1＜x2），过A，B点分别作抛物线G的切线L1 ， L2 ， 两切线L1 ， L2相交H（x，y），(1)若k=1，有 L1⊥L2 ， 求抛物线G的方程；(2)若p=2，△ABH的面积为S1 ， 直线AB与抛物线G围成封闭图形的面积为S2 ， 证明： 为定值．
【答案】 （1）解：x2=2py（p＞0），即y= ， 导数为y′= ，切线L1 ， L2的斜率分别为 ， ， L1⊥L2 ， 可得 ? =﹣1， 联立直线y=x+1和x2=2py（p＞0）， 可得x2﹣2px﹣2p=0，即有x1x2=﹣2p， 即有﹣p2=﹣2p，解得p=2， 则抛物线G的方程为x2=4y； （2）解：证明：将直线y=k（x﹣1）+2代入抛物线方程x2=4y， 可得x2﹣4kx+4k﹣8=0， 即有x1+x2=4k，x1x2=4k﹣8， x1＜x2 ， 可得x2﹣x1= = =4 ． 抛物线的方程为y= x2 ， 求导得y′= x， 过抛物线上A、B两点的切线方程分别是y﹣y1= x1（x﹣x1），y﹣y2= x2（x﹣x2）， 即y= x1x﹣ x12 ， y= x2x﹣ x22 ， 解得两条切线l1、l2的交点H的坐标为（ ， ），即H（2k，k﹣2）． 可得H到直线y=k（x﹣1）+2的距离为d= = ， |AB|= ?|x2﹣x1|=4 ? ． 可得△ABH的面积为S1= d?|AB|= ? ?4 ? =4（k2﹣k+2）? ． 直线AB与抛物线G围成封闭图形的面积为S2= [k（x﹣1）+2﹣ x2]dx =[ kx2+（2﹣k）x﹣ x3]| = k（x2﹣x1）（x2+x1）+（2﹣k）（x2﹣x1）﹣ （x2﹣x1）[（x2+x1）2﹣x1x2] =（x2﹣x1）[2k2+2﹣k﹣ （16k2﹣4k+8）]=4 ? （k2﹣k+2）= （k2﹣k+2）? ． 则 为定值 【考点】抛物线的应用 【解析】【分析】（1）求出函数y= 的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，再将直线y=x+1代入抛物线方程，运用韦达定理，解方程可得p的值，进而得到抛物线的方程；（2）将直线y=k（x﹣1）+2代入抛物线方程x2=4y，运用韦达定理和弦长公式，求得|AB|，再由切线的方程求出交点H的坐标，运用点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式可得S1 ， 再由直线AB与抛物线G围成封闭图形的面积为S2= [k（x﹣1）+2﹣ x2]dx，化简计算即可得到面积的比值为定值．21·世纪*教育网
14、（2017山东k12教育联盟模拟）已知动圆过定点F（0，1），且与定直线l：y=﹣1相切．
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)若点A（x0 ， y0）是直线x﹣y﹣4=0上的动点，过点A作曲线C的切线，切点记为M，N． ①求证：直线MN恒过定点； ②△AMN的面积S的最小值．
【答案】（1）解：动圆过定点F（0，1），且与定直线l：y=﹣1相切． 由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹C是抛物线：可得方程：x2=4y （2）①证明：∵x2=4y，∴y′= ，设M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）， 曲线在点M的曲线方程为：y= x﹣y1 ， 在点N处的曲线方程为：y= x﹣y2 ， 代入点A（x0 ， y0），可得直线MN的方程：y= ，其中y0=x0﹣4，即x0（x﹣2）+2（4﹣y）=0， ∴直线MN恒过定点P（2，4）． ②解：联立 ，化为：x2﹣2x0x+4y0=0， △= = 0， ∴x1+x2=2x0 ， x1?x2=4x0﹣16． ∴|MN|= = ． 点A到直线MN的距离d= ． ∴S= d|MN|= ， 令t= = +12≥12， 则S≥ =12 ，当且仅当x0=2，y0=﹣2时，取等号． ∴△AMN的面积S的最小值为12 【考点】抛物线的应用 【解析】【分析】（1）动圆过定点F（0，1），且与定直线l：y=﹣1相切．由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹C是抛物线：可得方程．（2）①x2=4y，可得y′= ，设M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），曲线在点M的曲线方程为：y= x﹣y1 ， 在点N处的曲线方程为：y= x﹣y2 ， 代入点A（x0 ， y0），可得直线MN的方程：y= ，其中y0=x0﹣4，即x0（x﹣2）+2（4﹣y）=0，即可证明直线MN恒过定点． ②联立 ，化为：x2﹣2x0x+4y0=0，利用根与系数的关系可得|MN|= ．点A到直线MN的距离d= ．利用S= d|MN|，即可得出．
15、（2017吉林白山二模）已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为x=﹣1，直线l与抛物线相交于不同的A，B两点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)如果直线l过抛物线的焦点，求 的值；
(3)如果 ，直线l是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．
【答案】（1）解：已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为x=﹣1， 所以 ，p=2． ∴抛物线的标准方程为y2=4x （2）解：设l：my=x﹣1，与y2=4x联立，得y2﹣4my﹣4=0， 设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4， ∴ （3）解：假设直线l过定点，设l：my=x+n， ，得y2﹣4my+4n=0， 设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），∴y1+y2=4m，y1y2=4n． 由 ，解得n=﹣2， ∴l：my=x﹣2过定点（2，0） 【考点】抛物线的标准方程，抛物线的简单性质 【解析】【分析】（1）由抛物线的准线方程可知： ，p=2．即可求得抛物线方程；（2）设l：my=x﹣1，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得 的值；（3）设直线l方程，my=x+n，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得n的值，可知直线l过定点．
16、（2017河南南阳六市一模）如图，抛物线C：y2=2px的焦点为F，抛物线上一定点Q（1，2）． 2-1-c-n-j-y
(1)求抛物线C的方程及准线l的方程；
(2)过焦点F的直线（不经过Q点）与抛物线交于A，B两点，与准线l交于点M，记QA，QB，QM的斜率分别为k1 ， k2 ， k3 ， 问是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3成立？若存在λ，求出λ的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：把Q（1，2）代入y2=2px，得2p=4，所以抛物线方程为y2=4x， 准线l的方程为x=﹣1 （2）解：由条件可设直线AB的方程为y=k（x﹣1），k≠0． 由抛物线准线l：x=﹣1，可知M（﹣1，﹣2k），又Q（1，2），所以 ， 把直线AB的方程y=k（x﹣1），代入抛物线方程y2=4x，并整理，可得k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），则 ， 又Q（1，2），故 ．因为A，F，B三点共线，所以kAF=kBF=k， 即 ， 所以 ， 即存在常数λ=2，使得k1+k2=2k3成立 【考点】抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，抛物线的应用 【解析】【分析】（1）把Q（1，2）代入y2=2px，得2p=4，即可求抛物线C的方程及准线l的方程；（2）把直线AB的方程y=k（x﹣1），代入抛物线方程y2=4x，并整理，求出k1+k2 ， k3 ， 即可得出结论．
17、（2017福建宁德三模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上的点M（x0 ， y0）到点N（2，0）距离的最小值为 ．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若x0＞2，圆E（x﹣1）2+y2=1，过M作圆E的两条切线分别交y轴A（0，a），B（0，b）两点，求△MAB面积的最小值． 21教育网
【答案】（1）解： ，∵ ， ∴ = ． ∵x0≥0，所以当2﹣p≤0即p≥2时，|MN|min=2，不符合题意，舍去； 所以2﹣p＞0即0＜p＜2时， ， ∴（2﹣p）2=1，∴p=1或p=3（舍去），∴y2=2x （2）解：由题意可知， ，所以直线MA的方程为 ，即（y0﹣a）x﹣x0y+ax0=0， ∴ ，∴ ，整理得：a2（x0﹣2）+2ay0﹣x0=0， 同理： ，∴a，b为方程 的两根， ∴ ，∴ ，∴ ， ∵x0＞2，∴ = ，当且仅当x0=4时，取最小值． ∴当x0=4时，△MAB面积的最小值为8 【考点】抛物线的应用 【解析】【分析】（1） = ．可得2﹣p＞0即0＜p＜2时， ，可得p即可．（2）由题意可知直线MA的方程为 ，即（y0﹣a）x﹣x0y+ax0=0，由直线与圆相切得：a2（x0﹣2）+2ay0﹣x0=0， 同理： ，∴a，b为方程 的两根， 即 = ，即可得△MAB面积的最小值．
18、（2017安徽六安舒城中学仿真）如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1：x2=2py（p＞0）的焦点，且抛物线C1上点M处的切线与圆C2：x2+y2=1相切于点Q． （Ⅰ）当直线MQ的方程为 时，求抛物线C1的方程； （Ⅱ）当正数p变化时，记S1 ， S2分别为△FMQ，△FOQ的面积，求 的最小值．
【答案】解：（Ⅰ）设点 ，由x2=2py（p＞0）得， ，求导 ， 而直线MQ的斜率为1， ∴ 且 ， 解得： ． ∴抛物线的标准方程：x2=4 y； （Ⅱ）因为点M处的切线方程为： ，即 ， 根据切线又与圆相切，得d=r，即 ，化简得 ， 4p2=x04﹣4x02＞0，解得：丨x0丨＞2， 由方程组 ，解得：Q（ ， ）， 由丨PQ丨= 丨xP﹣xQ丨= 丨x0﹣ 丨= （x02﹣2）， 点F（0， ）到切线PQ的距离d= = = ， 则S1= 丨PQ丨?d= （x02﹣2），S1= 丨OF丨?丨xQ丨= ， ∴ = = = = + +3≥2 +3， 当且仅当 = 时，取“=”号，即x02=4+2 ，此时p= ， 所以 的最小值为 【考点】抛物线的应用 【解析】【分析】（Ⅰ）求导，根据导数的几何意义，求得 且 ，即可求得p的值，求得抛物线的标准方程；（Ⅱ）求得切线方程，利用点到直线的距离公式可知 ，将切线方程代入椭圆方程，求得丨PQ丨，分别表示出S1 ， S2 ， 根据基本不等式的性质，即可求得 的最小值．
19、（2017黑龙江大庆实验中学考前模拟）已知抛物线E：y2=4x，设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且 ? = （其中O为坐标原点） （Ⅰ）求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标； （Ⅱ）过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值．
【答案】解：（Ⅰ）设直线AB的方程为：x=my+t，A（ ，y1）、B（ ，y2）， 联立 得y2﹣4my﹣4t=0，则y1+y2=4m，与y1y2=﹣4t， 由 得： ?y1y2=﹣18或y1y2=2（舍）． 即 ，所以直线AB过定点 ； （Ⅱ）由（Ⅰ）得 = ， 同理得， = ， 则四边形AGBD面积 = ， 令 ， 则 是对称轴为μ＜0，开口向上，函数是关于μ的增函数，当μ=2时函数取得最小值． 故Smin=88． 当且仅当m=1时取到最小值88 【考点】抛物线的应用 【解析】【分析】（Ⅰ）设出直线AB的方程，联立直线与抛物线方程，利用数量积为0，求出k，化简直线方程推出直线必过定点，并求出该定点Q的坐标；（Ⅱ）利用韦达定理以及弦长公式，表示出三角形的面积，通过换元法，利用函数的单调性求解最小值即可．
