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第一章：特殊平行四边形
第三节：菱形的有关计算
北师大版 九年级上
教学目标
复习导入
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2.菱形的性质
1.菱形的定义
（Ａ）菱形的四条边都相等
（Ｂ）菱形的对角线互相垂直
3.菱形的判定
(A).有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
(B).对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
(C).有四条边相等的四边形是菱形.
教学目标
探究新知
菱形被它的一条对角线分成两个什么三角形？它们之间有什么关系？
菱形被它的两条对角线分成
四个什么三角形？它们有什么关系？
菱形的周长=4×边长
两个全等的等腰三角形
四个全等的直角三角形
O
教学目标
菱形面积公式
菱形是特殊的平行四边形,
那么能否利用平行四边形
面积公式计算菱形的面积吗
菱形
A
B
C
D
O
E
S菱形=BC× AE
想一想:已知菱形的两条对角线的长，能求出它的面积吗
= S△ABD+S△BCD = AC×BD
S菱形ABCD
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
教学目标
小结
菱形的有关计算
菱形的周长=4×边长
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
例1：如图，菱形的对角线BD，AC的长分别是6和8，求菱形的周长与面积．
教学目标
例题讲解
解：菱形的对角线BD，AC的长分别是6和8，则菱形的面积为
×6×8=24
故菱形的周长为20，答：菱形的周长为20，面积为24．
菱形对角线互相垂直平分，∴BO=OD=3，AO=OC=4,∴AB=
教学目标
例题讲解
例2：四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于H，求DH的长．
解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8cm，BD=6cm， ∴AC⊥BD，OA=
OB=
∴Rt△AOB中，AB=
∵DH⊥AB，∵菱形ABCD的面积S=
AC BD= AB DH=
×6×8=5DH，∴DH=
教学目标
巩固练习
1.如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=4．求：（1）对角线AC，BD的长； （2）菱形ABCD的面积．
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠BAD=120°，
∴∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形
∴AC=AB=4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，A0=2，
∴OD=
∴BD=4
；
AC×BD=
4
=8
（2）
2.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明：四边形ADCF是菱形；
（3）若AB=4，AC=5，求菱形ADCF的面积．
教学目标
巩固练习
（1）证明：∵AF∥BD，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD中点，
∴AE=ED，
在△BDE和△FAE中 ｛
∴△AFE≌△DBE
（2）证明：连接CF
∵△AFE≌△DBE∴AF=BD
∵∠BAC=90°，BD=CD，∴AD=DC=DB，∴AF∥CD，AF=DC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵DA=CD，∴四边形ADCF是菱形．
（3）∵S△ABC=
×AB×AC=10，
∵四边形ADCF是菱形，
BD=DC，
S△ABC=2S△ADC ，
∴S菱形ADCF=2S△ADC=10．
3.已知：如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O，点E，F分别是AD，DC的中点．已知OE=
，EF=3，
教学目标
巩固练习
求菱形ABCD的周长和面积．
解：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，
∵点E，F分别是AD，DC的中点，
∴OE= AB，EF= AC，
∵OE= ，EF=3，
∴AB=5，AC=6，
∴菱形ABCD的周长为：4×5=20
∵AO= AC=3，AB=5，
∴BO= =4，
∴BD=2BO=8，
∴菱形ABCD的面积为： AC BD=24．
1.（2017 南充）已知菱形的周长为4 ，两条对角线的和为6，则菱形的面积为（ ）
A.2 B. C.3 D.4
教学目标
直击中考
D
教学目标
直击中考
2.（2017 绵阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（ ）
A. cm B. cm C. cm D. cm
B
教学目标
直击中考
3.（2017 乌鲁木齐）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，则菱形ABCD的面积为________
2
解：∵菱形ABCD， ∴AD=AB，OD=OB，OA=OC，
∵∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD=AB=2，∴OD=1，
在Rt△AOD中，根据勾股定理得：
AO= = ，∴AC=2 ，
故答案为：2
教学目标
课堂小结
菱形的周长=4×边长
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
菱形的有关计算
谢 谢！
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北师大版九年级上第一章《特殊平行四边形》
《菱形的性质与判定》(第3课时)教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）. 理解菱形的定义， 掌握菱形的性质和判定
（2）. 能运用菱形的性质和判定进行简单的计算与证明．
2.过程与方法
经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法。
3.情感态度和价值观
在学习过程中感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；在学习过程中通过 小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力。21世纪教育网版权所有
【教学重点】
菱形的性质、判定的理解和掌握
【教学难点】
菱形的性质、判定的综合应用.
【教学方法】
合作、探究
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
复习引入
菱形的定义；（2）菱形的性质；（3）菱形的判定；
二、探究新知
1.菱形的周长的计算公式
（1）菱形被它的一条对角线分成两个什么三角形？它们之间有什么关系？ （两个全等的等腰三角形）
（2）菱形被它的两条对角线分成四个什么三角形？它们有什么关系？
（四个全等的直角三角形）
菱形面积的计算
菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形的面积吗
想一想:已知菱形的两条对角线的长，能求出它的面积吗
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
小结：菱形的有关计算
菱形的周长=4×边长
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
三、例题讲解：
例1：如图，菱形的对角线BD，AC的长分别是6和8，求菱形的周长与面积．
解：菱形的对角线BD，AC的长分别是6和8，则菱形的面积为
×6×8=24
菱形对角线互相垂直平分，∴BO=OD=3，AO=OC=4，∴AB= =5 =5
故菱形的周长为20，答：菱形的周长为20，面积为24．
例2：四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于H，求DH的长．
解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8cm，BD=6cm， ∴AC⊥BD，
OA= AC=4cm， OB=BD=3cm，∴Rt△AOB中，
AB= ==5
∵DH⊥AB，∵菱形ABCD的面积S= AC BD=AB DH，×6×8=5DH，∴DH=
四、巩固练习
如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=4．求：（1）对角线AC，BD的长； （2）菱形ABCD的面积．21教育网
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，
∵∠BAD=120°，∴∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=4，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，A0=2，
∴OD=
(2)
2.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F21·cn·jy·com
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明：四边形ADCF是菱形；
（3）若AB=4，AC=5，求菱形ADCF的面积．
(1）证明：∵AF∥BD，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD中点，
∴AE=ED，
在△BDE和△FAE中，
∴△AFE≌△DBE
（2）证明：连接CF
∵△AFE≌△DBE∴AF=BD
∵∠BAC=90°，BD=CD，∴AD=DC=DB，∴AF∥CD，AF=DC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵DA=CD，∴四边形ADCF是菱形．www.21-cn-jy.com
∵S△ABC=
∵四边形ADCF是菱形，
BD=DC，
S△ABC=2S△ADC ，
∴S菱形ADCF=2S△ADC=10．
已知：如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O，点E，F分别是AD，DC的中点．已知OE=, www-2-1-cnjy-com
EF=3,求菱形ABCD的周长和面积．
解：∵菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，
∵点E，F分别是AD，DC的中点，
∴OE= AB，EF= AC，
∵OE=，EF=3，
∴AB=5，AC=6，
∴菱形ABCD的周长为：4×5=20
∵AO= AC=3，AB=5，∴BO=
∴BD=2BO=8，
∴菱形ABCD的面积为：AC BD=24．
五、直击中考
1.（2017 南充）已知菱形的周长为4 ，两条对角线的和为6，则菱形的面积为（ ）
A.2 B. C.3 D.42·1·c·n·j·y
答案：D
（2017 绵阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（ ） 【来源：21·世纪·教育·网】
cm B. cm C. cm D. cm
答案：B
3.（2017 乌鲁木齐）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，则菱形ABCD的面积为________21·世纪*教育网
解：∵菱形ABCD， ∴AD=AB，OD=OB，OA=OC，
∵∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD=AB=2，∴OD=1，
在Rt△AOD中，根据勾股定理得：
AO== ，∴AC= ，
故答案为：
课堂总结
菱形的有关计算：菱形的周长=4×边长
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
七、作业布置
习题1.3第3、4题．
【板书设计】
1.1.3菱形的性质和判定
菱形的性质：菱形的判定： 例题板书 投影区
学生板演区
【教学反思】
本节课是菱形的性质与判定的第三课时，通过前两节课的学习，学生已经经历了对菱形的性质及判定的探究及验证过程，基本掌握了菱形的各项性质及判别方法。在前两节课的学习中教师引导学生通过动手操作、小组合作等方式探究发现了菱形的性质及判别方法，并对这些发现进行了严格的推理证明。在探究过程中学生积累了许多关于菱形的活动经验，同时在学习中倡导学生进行合作学习，因此学生具有了一定的合作学习经验，也具备了合作交流的能力。21cnjy.com
菱形的周长=4×边长
S菱形=BC× AE
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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